medido sobre 11 convocatorias — nada por intuición
Preparar la cuarta evaluación
Los temas 6 y 7, el 10 % de la nota y el arranque del segundo cuatrimestre. Once cursos leídos y la misma forma en casi todos: se abre con el gradiente aplicado —ocho de once— y el resto son integrales múltiples, donde dibujar vale tanto como calcular.
El suelo, que no se examina solo
no da puntos — los sostiene todosNada por sí mismo. Es lo que los tres ejercicios dan por sabido: derivar parcialmente sin equivocarse de variable, y saber cuándo un límite en el plano no existe.
En los once cursos leídos no ha caído un ejercicio que sea «calcula estas derivadas parciales». Pero todo el ejercicio 1 se apoya en ellas, y una parcial mal hecha arrastra el gradiente, la derivada direccional y el plano tangente. Es corto y va primero por eso.
Derivar con la otra variable congelada
leerLas derivadas parciales: mirar en una sola direcciónCalcular derivadas parciales de primer y segundo orden tratando la otra variable como si fuera un número.
No hay regla nueva: son las del tema 3 con una letra haciendo de constante. Lo único que se añade es Schwarz, y su hipótesis.
- ejemploUna derivada parcial, con la otra variable congelada
Empieza aquí. Una función corta y las dos parciales, para ver la asimetría: el término desaparece en una y aporta en la otra.
- examenDos gradientes que no se calculan derivando a secas
De 2015-2016, y es el suelo llevado al límite: un gradiente que sale del teorema fundamental del Cálculo y otro con la regla de la cadena. Nada de geometría, solo derivar bien.
Una derivada parcial, con la otra variable congelada
paso 1 de 41.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Calcular y para .
Las dos derivadas parciales de primer orden.
- 01
Reconocer el camino
COMP1Al derivar respecto de , ¿qué se hace con la ?
Eso sería derivar respecto de las dos a la vez, que no es lo que significa . La regla del producto se usa si hay dos factores que dependen de .
Exacto. Derivar parcialmente respecto de es preguntarse cómo cambia la función moviéndote solo hacia el este, con la congelada. La se comporta como un .
Cuidado: eso es lo que le pasa a la derivada de una constante, no a la constante. Si es como un , entonces es como , y su derivada no es cero.
- 02
Evaluar la parcial respecto de x
COMP2Con , ¿cuánto vale ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Parece que has puesto en vez de : sería . El exponente del no se toca al derivar respecto de .
Has derivado de más. , y en eso es . Un sale de duplicar en algún sitio.
Sustituye e en . El vale 4.
Desarrollo
- 03
Y la parcial respecto de y
COMP2¿Cuánto vale , sabiendo que ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Te has dejado el término , que en vale 4. El aporta su 4, pero no es lo único.
Parece que has derivado como en vez de como . La derivada de respecto de es la constante 4.
en vale 4, y hay que sumarle el 4 del último término.
Desarrollo
Fíjate en la asimetría: al derivar respecto de , el término sí aporta; al derivar respecto de desaparece, porque para la es una constante.
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
No hace falta. La regla del producto se usa cuando los dos factores dependen de la variable respecto de la que derivas. Aquí, al derivar en , el factor es constante: es un producto por un número, no un producto de dos funciones.
El razonamiento, en orden
Para , la se congela; deriva a .
El término es constante para la , así que desaparece en .
Para , la se congela; deriva a .
Y el término sí aporta en , con su 4.
Resolución completa
La única idea del ejercicio: derivar parcialmente no es una regla nueva. Son las reglas de siempre con una letra haciendo de número.
Respecto de (la es un número):
El se va porque, mirado desde la , es una constante.
Respecto de (la es un número):
Evaluadas en : y . Puestas juntas forman el gradiente, — que es de lo que va el resto del tema.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Que ante no dudes ni un segundo de cuál se deriva y cuál se queda quieta, y que sepas que las cruzadas coinciden si son continuas.
Los límites, que ahora se niegan por caminos
leerEl límite: ahora importa por dónde te acerquesDemostrar que un límite en dos variables no existe encontrando dos caminos por los que sale distinto.
Es la misma estructura lógica que las dos subsucesiones del tema 2. Si aquello lo tienes, esto ya lo sabes.
- prácticaUn límite que no existe, y cómo se demuestra
El caso de libro, y cayó en 2017-2018. Si al sustituir queda la , has terminado.
- examenUn límite que no existe y una derivada direccional
El examen entero de 2017-2018, con el límite en el apartado a) y una direccional en el b). Es el único de los veintinueve que pide un límite, y por eso este escalón es corto.
Un límite que no existe, y cómo se demuestra
paso 1 de 31.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Estudiar el límite de la función en el punto .
Si el límite existe, y la justificación.
- 01
Reconocer el camino
COMP1Para negar que un límite en dos variables existe, ¿qué basta?
No estar definida es lo normal en estos ejercicios y no impide que el límite exista. El límite habla de lo que pasa cerca del punto, no en el punto.
Eso no demuestra nada en ningún sentido. Si coinciden, solo sabes que no has encontrado todavía el contraejemplo — puede estar en una parábola.
Eso es. La definición exige que salga lo mismo por todos los caminos, así que dos que discrepen la rompen. Es la misma estructura que las dos subsucesiones del tema 2.
- 02
Por la recta y = mx
COMP2Sustituyendo y simplificando, el límite queda . ¿Cuánto vale para ?
en forma exacta (1/2) o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Has puesto el numerador pero no has dividido: con el denominador es , así que sale .
Parece que has dado la vuelta a la fracción. Es , no .
Sustituye en . El denominador vale 2.
Desarrollo
Y por el eje , que es , sale . Dos caminos, dos valores.
- 03
Justificar el argumento
COMP4Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Que dependa de es exactamente lo que impide que exista. Un límite es un número, no una función del camino por el que llegas. Si cada dirección da un valor distinto, no hay un valor al que la función se aproxime.
El razonamiento, en orden
Nos acercamos por rectas y sustituimos: .
Simplificando el queda , que no depende de .
Con el límite vale ; con vale .
Dos caminos dan valores distintos, luego el límite no existe.
Resolución completa
Se acerca uno por rectas, que es el camino estándar:
Queda la , y eso ya es la respuesta. El valor depende de la recta por la que llegues, así que no hay un único número al que la función se aproxime.
Para escribirlo del todo hacen falta dos números concretos, no una fórmula con parámetro:
camino valor (el eje , ) () Como , el límite no existe.
Y al revés no vale. Si al sustituir se hubiera ido la y hubiera salido siempre , no habríamos demostrado nada: quedaría probar que también sale por cualquier otro camino, y para eso las rectas no bastan.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Saber que las rectas sirven para negar y nunca para afirmar, y escribir la demostración con dos valores numéricos concretos, no con una fórmula que lleve la dentro.
lo tienes cuando:Derivar parcialmente una función de dos variables sin dudar cuál se congela, y demostrar que un límite no existe encontrando dos caminos que discrepan. Los dos, sin pensarlo.
- ejemploUna derivada parcial, con la otra variable congelada
El gradiente aplicado
abre el examen 8 de 11 añosCae 10 de 11 años
Dada una función que modela algo físico —la altura de un monte, la temperatura de una placa, la contaminación del mar—, decir hacia dónde crece más rápido, hacia dónde no cambia, y cuánto cambia en una dirección dada. Y dibujarlo.
Abre el examen en ocho de los once cursos leídos, y cae en diez de los veintinueve ejercicios. Es además el único sitio de la evaluación donde COMP1 aparece siempre: los diez ejercicios de varias variables llevan puntos de reconocimiento —entre 0,5 y 3—, y de los dieciocho de integral múltiple solo cinco. Vale diez puntos, que en un examen de tres ejercicios es un tercio de la nota y en uno de dos, la mitad. Y las preguntas se repiten año tras año con otro decorado.
Las tres preguntas que contesta el gradiente
leerEl gradiente contesta las tres preguntasCalcular el gradiente y leer en él la dirección de máximo crecimiento, la de cambio nulo y la velocidad máxima.
El gradiente es perpendicular a la curva de nivel. De ese único hecho salen las otras dos respuestas.
- ejemploEl gradiente contesta tres preguntas de golpe
Empieza aquí. Una función sencilla y las tres preguntas de golpe, con números que salen exactos.
- prácticaEscabullirse de una concentración tóxica
Y el mismo esquema con decorado: máximo descenso, curva de nivel y punto de mayor concentración. Cayó en 2019-2020.
- examenLa temperatura de una habitación, y la mosca
De 2023-2024. Las tres preguntas con el decorado más limpio de todos: una habitación y un termómetro.
- examenEl mapa del Mauna Kea, leído sin conocer la función
De 2025-2026, el más reciente, y el más difícil de los diez: no te dan la función. Solo un mapa de curvas de nivel, y hay que contestar leyendo el dibujo.
El gradiente contesta tres preguntas de golpe
paso 1 de 31.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Sea , y el punto . Calcular el gradiente en , la velocidad máxima de cambio, y una dirección en la que la función no cambie.
El gradiente, su módulo y una dirección de cambio nulo.
- 01
Reconocer el camino
COMP1¿Qué dirección indica el vector gradiente en un punto?
La tangente a la superficie es un plano, no un vector. El gradiente vive en el plano del mapa, no en el espacio.
Justo la perpendicular. La dirección de cambio nulo es la tangente a la curva de nivel, y el gradiente es perpendicular a ella.
Sí. Y su módulo dice cuánto crece: es la velocidad de ese crecimiento máximo.
- 02
El módulo del gradiente
COMP2Con , ¿cuánto vale la velocidad máxima de cambio en ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Has sumado las componentes. El módulo no es : es , que sale 10.
Eso es el producto de las componentes. El módulo de un vector es la raíz de la suma de sus cuadrados.
El módulo de es . Es el triángulo 3-4-5 escalado.
Desarrollo
Sale exacto porque es el triángulo multiplicado por 2. En un examen sin calculadora, los números están elegidos para que salga así.
- 03
Justificar el argumento
COMP4Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
es la dirección de máximo descenso, no la de cambio nulo. Por ahí la función cambia todo lo que puede, solo que hacia abajo. La de cambio nulo es la perpendicular.
El razonamiento, en orden
y , luego .
La velocidad máxima de cambio es .
Una dirección de cambio nulo es la perpendicular: , o su opuesta .
Esa perpendicular es tangente a la curva de nivel, que aquí es la circunferencia .
Resolución completa
Las tres preguntas, y las tres las contesta el mismo vector.
El gradiente. , , así que
La velocidad máxima de cambio es su módulo:
La dirección de cambio nulo es cualquiera perpendicular al gradiente. Para obtener una perpendicular a basta con cambiar el orden y un signo: . Aquí, .
Por qué tiene sentido. Las curvas de nivel de son circunferencias centradas en el origen. En pasa la de radio 5, y el gradiente apunta justo hacia afuera, en la dirección radial — que es, en efecto, perpendicular a la circunferencia. La geometría confirma la cuenta.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Que ante «¿hacia dónde crece más?» escribas sin pensar, y que la perpendicular la saques cambiando el orden y un signo.
La derivada direccional, y el vector que se normaliza
leerEl gradiente contesta las tres preguntasCalcular cuánto cambia la función en una dirección dada, normalizando el vector antes del producto escalar.
Y ojo con «desde hasta »: el vector es , y restarlo al revés cambia calentarse por enfriarse.
- ejemploLa derivada direccional, y el vector que hay que normalizar
Existe para cazar el error de no normalizar: el distractor es exactamente cinco veces la respuesta buena.
- prácticaHacia dónde nadar para calentarse
El caso aplicado, de 2017-2018. Y fíjate en que la respuesta a «se enfría o se calienta» es el signo, y hay que escribirla.
- examenEl vertido en el océano
De 2021-2022, con una gaussiana por función. La exponencial asusta y no debería: al derivar sale ella misma multiplicada por algo, y en el punto que piden se simplifica.
- examenDónde la derivada direccional máxima vale 4
De 2014-2015, y es la direccional del revés: te dan cuánto vale la máxima y hay que encontrar dónde. Sale una elipse, y hay que dibujarla.
La derivada direccional, y el vector que hay que normalizar
paso 1 de 41.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Sabiendo que , calcular la derivada direccional de en siguiendo la dirección del vector .
La derivada direccional en la dirección de v.
- 01
Reconocer el camino
COMP1Antes de hacer el producto escalar con el gradiente, ¿qué hay que hacerle al vector ?
No: la dirección la elige el enunciado y no se toca. La perpendicular al gradiente es otra cosa — la dirección en la que la función no cambia.
Ese es el error más caro del tema, y el más difícil de detectar porque el resultado sale creíble. Aquí mide 5, así que la respuesta saldría cinco veces más grande de lo que debe.
Exacto, y no es un formalismo. La derivada direccional mide cuánto cambia la función por cada unidad que avanzas. Si el vector mide 5, estarías midiendo cinco pasos y llamándolo uno.
- 02
El módulo del vector dirección
COMP2¿Cuánto mide ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Has sumado las componentes. El módulo es , no .
Eso es , la suma de los cuadrados. Falta la raíz.
. Otra vez el triángulo 3-4-5.
Desarrollo
- 03
La derivada direccional
COMP2¿Cuánto vale ?
en forma exacta (24/5) o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Ese es el producto escalar sin normalizar: . Es exactamente el error del enunciado: falta dividir entre el módulo, que es 5.
5 es el módulo del gradiente, y también el de . La derivada direccional es otra cosa: el producto escalar del gradiente por el vector unitario.
. El numerador es 24.
Desarrollo
Y una comprobación que siempre vale la pena: la derivada direccional nunca puede pasar del módulo del gradiente, que aquí es 5. Sale , así que es plausible. Si te hubiera salido 24, ese solo control ya delataba el fallo.
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Al revés: la máxima se da cuando apunta en la misma dirección que el gradiente, no cuando tiene sus componentes intercambiadas. Aquí y forman un ángulo pequeño pero no nulo, y por eso sale y no 5.
El razonamiento, en orden
El vector mide 5, así que .
.
Es positiva, así que en esa dirección la función crece.
Y es menor que , como tiene que ser.
Resolución completa
El error que este ejercicio existe para cazar es hacer sin normalizar, y sale : cinco veces la respuesta.
Normalizar.
El producto escalar.
El control que lo delata. La derivada direccional está siempre entre y , porque . Aquí eso es el intervalo , y se sale con mucho. Comprobar esa cota cuesta un segundo y caza el error más frecuente del tema.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Normalizar siempre, y comprobar que el resultado no supera al módulo del gradiente. Ese control de un segundo caza el error más caro del tema.
Deducir el gradiente a partir de datos
leerY al revés: deducir el gradiente a partir de datosMontar un sistema de dos ecuaciones cuando el enunciado da dos derivadas direccionales, o un máximo y su dirección.
- prácticaDeducir el gradiente a partir de dos direccionales
Dos direccionales, dos ecuaciones. De 2015-2016.
- prácticaDos ritmos de cambio, y las tres preguntas del gradiente
El mismo esquema con vectores no unitarios, que es lo que lo hace difícil. Fíjate en que los datos traen raíces a propósito.
- prácticaDeducir dos parámetros de la dirección del máximo
Y la versión con parámetros. Tiene dos soluciones y hay que dar las dos.
- prácticaUn vector unitario perpendicular a la curva de nivel
Corto, y es una frase disfrazada de cuenta. De 2018-2019.
- examenLa montaña de la que se conocen dos pendientes
De 2016-2017, y es el sistema de dos ecuaciones en su forma más desnuda: dos direcciones, dos pendientes, dos incógnitas.
- examenLa curva de nivel dada, y el gradiente que se deduce
De 2024-2025, y aquí el dato es la curva de nivel, no una direccional. De ella sale la dirección de cambio nulo, y el gradiente es su perpendicular.
- examenUn vector unitario perpendicular a la curva de nivel
De 2018-2019. El mismo ejercicio que el anterior de la lista, con la función dada: sirve para comprobar que los dos caminos —tener la función y tener la curva— llegan al mismo sitio.
Lo tienes cuando
Reconocer que el gradiente son dos incógnitas y que cada dato es una ecuación. Y saber los dos atajos: el máximo es el módulo, y su dirección es la del gradiente.
El plano tangente, y aproximar sin calculadora
leerEl plano tangente, y aproximar sin calculadoraEscribir el plano tangente en un punto y usarlo para aproximar valores que no se pueden calcular a mano.
En el examen de 2022-2023 el apartado b) era exactamente esto, y en el de 2019-2020 se daba el plano y se pedía la velocidad de cambio.
- prácticaAproximar un valor con el plano tangente
Los dos apartados juntos: el plano y la aproximación. El distractor es el error de signo en el incremento.
- examenCuál de las tres funciones puede ser
De 2022-2023, y es el más raro de los diez: dan tres condiciones y piden una función que las cumpla. No hay una sola respuesta correcta, y eso es lo que lo hace difícil de puntuar y de hacer.
Aproximar un valor con el plano tangente
paso 1 de 41.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Sea .
a) Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto . b) Utilizando la diferencial, aproximar el valor de .
El plano tangente en P y la aproximación de f(1,1; 1,9).
- 01
Reconocer el camino
COMP1¿Para qué sirve el plano tangente al aproximar?
Esa es la del gradiente. El plano tangente es otra cosa, aunque se construya con las mismas derivadas parciales.
Sí. Es la versión de dos variables de la recta tangente: cerca del punto de apoyo, plano y superficie casi coinciden, y el plano se evalúa con sumas y productos.
Solo en el punto de apoyo. Cuanto más te alejas, más se separan — es la misma limitación que tenía Taylor en el tema 4.
- 02
La parcial respecto de x en P
COMP2Con , ¿cuánto vale ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Signo cambiado. .
Parece que has sumado en vez de restar. El término aporta a la derivada en , con signo negativo.
. Ojo al signo.
Desarrollo
Y , que en vale .
- 03
La aproximación
COMP2Con el plano , ¿cuánto vale la aproximación de ?
con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Parece que has cambiado los signos de los incrementos. pero , así que un término suma y el otro resta.
3 es , el valor en el punto de apoyo. Falta corregirlo con los dos incrementos.
. Fíjate en que el segundo incremento es negativo.
Desarrollo
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Es una aproximación, no el valor exacto. El plano y la superficie solo coinciden exactamente en el punto de apoyo ; en cualquier otro hay error, aunque sea pequeño.
El razonamiento, en orden
El plano tangente es .
Aquí , y .
Luego el plano es .
Evaluándolo en sale , la aproximación pedida.
Resolución completa
a) El plano tangente. La fórmula se lee como una frase: partes de la altura en el punto y le sumas lo que subes al moverte en cada dirección.
Con :
En : , , y — que concuerda con la que da el enunciado. Conviene comprobarlo: si no cuadrara, el punto no estaría en la superficie y el ejercicio no tendría sentido.
b) La aproximación. Se evalúa el plano donde no sabemos evaluar la superficie:
El detalle que se falla: el segundo incremento es negativo, porque está por debajo de . Tratar los dos como positivos da , que es el distractor de este ejercicio.
Sin calculadora, el valor exacto sería . El plano da con un error de una centésima moviéndote una décima en cada eje: eso es lo que significa que la aproximación sea local.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Escribir el plano de memoria leyéndolo como una frase, y no equivocarte con el signo de los incrementos al evaluar.
lo tienes cuando:Coger un enunciado nuevo con una función de dos variables y contestar en menos de cinco minutos las cuatro preguntas de siempre: dirección de máximo cambio, dirección de cambio nulo, velocidad hacia un vector dado, y el dibujo. Y no equivocarte nunca al normalizar.
- ejemploEl gradiente contesta tres preguntas de golpe
La integral múltiple, planteada y dibujada
18 de 29 ejercicios — el bloque giganteCae 11 de 11 años
Dibujar un recinto o un sólido y escribir la integral que le corresponde: cambiar el orden de integración, calcular un volumen, una masa o un centro de gravedad.
Es el bloque más grande de la evaluación con diferencia: dieciocho de los veintinueve ejercicios de los once cursos leídos, y está en los once sin faltar a ninguno. El reparto oficial dice dónde se pierde la nota: COMP2 entre 5 y 8 puntos y COMP4 entre 2 y 5, así que entre un cuarto y la mitad del ejercicio es dibujar el recinto y escribir los límites, no integrar.
Leer los límites de un recinto
leerEl recinto manda, y hay que dibujarloTraducir un dibujo en límites de integración, sabiendo que los de dentro llevan la otra variable y los de fuera son números.
- ejemploLa primera integral doble, sobre un rectángulo
El caso más fácil, con los cuatro límites constantes. Sirve para ver que una doble son dos integrales encadenadas y nada más.
- ejemploLeer los límites de un recinto dibujado
Y ahora con un recinto de verdad. La pieza trampa es justo el error de dejar una letra fuera.
- examenUna región entre recta y parábola, y su centro de gravedad
De 2020-2021, y es el primer examen que hacer entero: dibujar, cambiar el orden y calcular una masa, en ese orden.
- examenEl rombo que un cambio de variable vuelve cuadrado
De 2018-2019. Cuatro rectas que forman un rombo, y un cambio de variable que lo convierte en un cuadrado. El jacobiano del cambio es lo que se evalúa.
La primera integral doble, sobre un rectángulo
paso 1 de 41.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Calcular .
El valor de la integral doble.
- 01
Reconocer el camino
COMP1En , ¿cuál se integra primero y respecto de qué variable?
Al revés. La de fuera se hace la última, cuando ya no queda . El orden lo marcan los diferenciales, de dentro hacia fuera.
El resultado sí da igual sobre un rectángulo con límites constantes, y eso es cierto. Pero el orden de ejecución lo fija la notación: primero , después .
Eso es. Se lee de dentro hacia fuera, y el diferencial que está pegado a la función dice cuál es la variable: aquí .
- 02
La integral de dentro
COMP2¿Cuánto vale , tratando como constante? Escribe el resultado evaluado en .
en forma exacta (3/2) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Te has dejado el término que viene de integrar la . La primitiva es , y en vale .
Parece que has integrado la también. Con , la es constante: , no .
La primitiva respecto de y es . Evalúala en 1 y en 0, con x=1.
Desarrollo
En eso vale . Fíjate en que el resultado todavía depende de : es lo normal, porque queda una integral por hacer.
- 03
La integral de fuera
COMP2¿Cuánto vale ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Te has dejado el término , que integrado entre 0 y 2 aporta 1. , y hay que sumarle ese 1.
Parece que has usado como si fuera constante: … pero además has sumado la . El integrando es , no .
y .
Desarrollo
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Es justo lo esperable. Después de integrar en la variable desaparece, pero la sigue ahí hasta que se integra en el paso siguiente. Lo que sería un error es que quedara una .
El razonamiento, en orden
Se integra de dentro hacia fuera; primero respecto de , con la congelada.
Sale , que todavía depende de : queda una integral.
Integrando eso entre 0 y 2 sale 3.
Sobre un rectángulo con límites constantes, el otro orden daría lo mismo.
Resolución completa
Una integral doble se hace por dentro. No hay técnica nueva: son dos integrales de una variable, encadenadas.
Primera, en , con la como si fuera un número:
Segunda, en , ya sobre una función de una sola variable:
Por qué este caso es el fácil. Los cuatro límites son números, así que el recinto es un rectángulo y el orden da igual. En cuanto el recinto deja de ser un rectángulo, los límites de dentro llevan la otra variable y el orden sí importa — que es de lo que va el resto del tema.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Leer los límites de un recinto dibujado
paso 1 de 31.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Sea el triángulo limitado por las rectas , e . Escribir con el orden .
Los límites de integración en el orden dy dx.
- 01
Reconocer el camino
COMP1Con el orden , ¿qué representan los límites de la integral interior?
Eso valdría solo si la región fuera un rectángulo. En general la altura de la región cambia con , y por eso los límites de dentro dependen de .
Esos son los límites de fuera. Los de dentro, con orden , van en .
Exacto. Te quedas en un , subes en vertical, y anotas la curva por la que entras y la curva por la que sales.
- 02
El límite superior interior
COMP2Fijado un entre 0 y 2, la vertical entra por . ¿Por dónde sale, evaluado en ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…2 es el límite de la , no la altura del triángulo en ese punto. La tapa superior es la recta , así que en la altura es .
Por es por donde entra la vertical, no por donde sale. Sale por la recta inclinada .
La tapa de arriba es la recta y=x. Sustituye x=1,5.
Desarrollo
La región está entre (abajo) e (arriba), así que
En la vertical va de a .
- 03
Justificar el argumento
COMP4Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Ha quedado una en el límite exterior, y eso es imposible: el resultado no puede depender de una variable ya integrada. El orden correcto es .
El razonamiento, en orden
El triángulo tiene vértices , y .
Con orden , fijas y subes: entras por y sales por .
La vertical corta al triángulo para entre 0 y 2.
Luego la integral es .
Resolución completa
Dibujar primero. El triángulo tiene vértices , y : la hipotenusa es la recta y el lado derecho es .
La pregunta del orden : me quedo en un y subo.
- Entro por , el eje horizontal.
- Salgo por , la hipotenusa.
- Y eso pasa para entre y .
El control de siempre: el límite interior lleva una — correcto, porque la altura del triángulo cambia con . Los exteriores son números — correcto.
Y con el otro orden, para practicar la vista: fijas un y vas hacia la derecha. Entras por la hipotenusa, , y sales por ; y eso pasa para entre 0 y 2. Sale . Mismo recinto, otra lectura.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Que el control «si me sale una letra en el límite exterior, está mal» te salga solo.
Cambiar el orden de integración
leerCambiar el orden de integraciónReescribir una integral doble con el otro orden, releyendo el dibujo con la otra pregunta.
Muchas veces la integral original es imposible y la cambiada sale en dos líneas. Ese es el motivo de que se pida.
- prácticaInvertir el orden de integración
De 2017-2018, y es el caso completo: hay que partir el recinto porque la tapa cambia en .
- examenCambiar el orden en una integral partida en dos
De 2023-2024, y va al revés que el anterior: la integral viene partida en dos y al cambiar el orden se junta en una. Ver eso es todo el ejercicio.
Lo tienes cuando
Saber que no se hace con álgebra sino con el dibujo, y reconocer cuándo el cambio obliga a partir el recinto en dos.
Elegir las coordenadas por la forma del recinto
leerCuando el recinto es redondo: polaresDecidir entre cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas mirando el sólido, y aplicar el jacobiano que toca.
- ejemploLa primera integral en polares, y el jacobiano
El área de un círculo, que sabes cuánto vale. Por eso sirve para comprobar el jacobiano.
- prácticaEl centro de gravedad de un cuarto de elipse
Polares generalizadas sobre un cuarto de elipse, y el centro de gravedad. De 2017-2018.
- examenEl centro de gravedad de un cuarto de elipse
El mismo ejercicio tal como cayó, con su reparto de puntos. Está aquí para que compares tu respuesta con el enunciado original.
- examenEl volumen de un paraboloide elíptico
De 2021-2022, y el eje de revolución es el , no el . Las cilíndricas siguen valiendo, pero hay que girarlas — y ese es el paso que se falla.
La primera integral en polares, y el jacobiano
paso 1 de 41.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Calcular el área del círculo de radio 3 centrado en el origen mediante una integral doble en coordenadas polares.
El área del círculo, calculada con la integral.
- 01
Reconocer el camino
COMP1Al cambiar a polares, ¿en qué se convierte el diferencial de área?
Ese es el error número uno del tema. Sin el , el área de este círculo saldría — que es su perímetro, no su área.
El aparece en las esféricas, no en las polares. En el plano el factor es a la primera.
Sí, y ese no es decoración: dos trocitos con el mismo y el mismo tienen áreas distintas según lo lejos que estén del centro.
- 02
La integral en el radio
COMP2¿Cuánto vale ?
en forma exacta (9/2) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Eso sería , sin el jacobiano. Con el la primitiva es , que en 3 vale .
9 es . Falta dividir entre 2, que viene de la primitiva .
La primitiva de ρ es ρ²/2. Evalúala en 3.
Desarrollo
- 03
El área total
COMP2Multiplicando por la integral en el ángulo, , ¿cuánto vale el área?
en forma exacta (9pi) o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Eso es , el perímetro de la circunferencia de radio 3. Sale justo cuando te dejas el jacobiano: es la señal de ese error.
Eso es : te has dejado el 2 del del ángulo. La vuelta completa son radianes, no .
. El 2 se cancela con el denominador.
Desarrollo
Y coincide con . Esa coincidencia es la comprobación: si no cuadrara, el jacobiano estaría mal.
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Sin el jacobiano saldría , que no es la mitad de : es el perímetro. Y esa es justo la pista que delata el error — sale una longitud donde debía salir un área.
El razonamiento, en orden
En polares el círculo de radio 3 es el rectángulo , .
El área es , y en polares .
La integral se separa porque los límites son constantes y el integrando también.
Sale , que coincide con .
Resolución completa
En polares el círculo deja de tener forma. Lo que en cartesianas exige límites con raíces, aquí son dos pares de números:
El área, sin olvidar el jacobiano:
La comprobación que hay que hacer siempre. El área de un círculo de radio 3 es . ✓
Y si el jacobiano se hubiera perdido:
que es la longitud de la circunferencia. Cuando una cuenta de áreas te devuelve algo que se parece a un perímetro, el jacobiano se ha quedado por el camino.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
No olvidar nunca el , y tener a mano el control que lo delata: si una cuenta de áreas te devuelve algo que parece un perímetro, el jacobiano se ha quedado por el camino.
Sólidos, volúmenes y centros de gravedad
leerPara qué sirve todo estoPlantear una integral triple sobre un sólido descrito con desigualdades, y calcular volumen, masa o centro de gravedad.
Las cuatro aplicaciones comparten esqueleto: cambia lo que va dentro de la integral, no la integral.
- prácticaUn sólido, y la misma integral en tres órdenes
De 2014-2015. El apartado b) dice «sin hacer el cálculo»: lo que se corrige es el planteamiento, y un orden obliga a partir el sólido en dos.
- examenLa masa bajo un paraboloide, dentro de un cilindro
De 2014-2015, y la densidad no es constante: hay que arrastrarla dentro de la integral.
- examenUn cono y un paraboloide, y el momento de inercia
De 2018-2019. Cono y paraboloide, volumen y momento de inercia, con la densidad — que rompe la simetría y obliga a integrar de verdad.
- examenEl sólido entre un cilindro, una esfera y un paraboloide
De 2020-2021, y es el más largo de los dieciocho: tres superficies, y el sólido es lo que queda fuera del cilindro.
- examenEl centro de gravedad de un cono elíptico
De 2022-2023. Cono elíptico alrededor del eje , y el centro de gravedad: dos coordenadas salen por simetría y solo una se calcula.
- examenLa pieza semicircular con un rectángulo encima
De 2021-2022, y el centro de masa es el dato: hay que despejar la altura del rectángulo para que caiga donde piden.
- examenDos materiales, y dónde hay que poner el vértice
De 2025-2026, y el mismo esquema con dos densidades distintas. La masa deja de ser el área y pasa a ser una suma ponderada.
Lo tienes cuando
Dibujar el sólido antes de escribir nada, y buscar la simetría antes de integrar: una coordenada del centro de gravedad puede salir sin hacer ninguna cuenta.
Plantear sin calcular, y leer un sólido dentro de su integral
leerIntegrales triples, y qué coordenadas elegirEscribir la integral completa —función, orden y límites— sin resolverla, y hacer el camino inverso: mirar una integral triple y dibujar el sólido del que salió.
Los límites de fuera son números y los de dentro pueden llevar variables. Esa frase, leída del revés, es el método entero para reconstruir un sólido a partir de su integral.
- prácticaUn sólido, y la misma integral en tres órdenes
Empieza por este, que ya conoces del escalón anterior: la misma integral en tres órdenes, y el apartado que se corrige es el planteamiento.
- examenEl cono de helado, en cilíndricas y en esféricas
De 2016-2017, y pide el mismo volumen planteado dos veces, en cilíndricas y en esféricas, sin calcular ninguna de las dos. Es la forma más pura de este hueco.
- examenUn cono elíptico, y plantear sin calcular
De 2023-2024, y el enunciado lo dice con todas las letras: «plantear (funciones y límites de integración)».
- examenLa masa de un octante de bola
De 2022-2023, y aquí empieza el camino inverso: te dan la integral y hay que dibujar el dominio. Los tres límites describen un octavo de bola.
- examenLeer un sólido dentro de su propia integral
De 2025-2026, y es el inverso completo: de la integral salen el cono y el paraboloide, y hay que dibujar el sólido antes de tocar nada.
Lo tienes cuando
Que ante «plantear, sin calcular» no te lances a integrar, porque lo que se corrige son los límites. Y que ante una integral dada sepas leer las tres desigualdades que la generan: los límites de dentro son las tapas, los de fuera la sombra en el plano.
El área de la superficie, que no es el volumen
leerEl área de una superficie, que no es el área de su sombraCalcular cuánta chapa recubre el sólido: la integral doble con la raíz, sumando todas las caras.
El apartado se escribió el 26 de agosto de 2026 porque faltaba, y faltaba pese a que tres de los dieciocho ejercicios de esta evaluación lo piden.
- ejemploLa primera área de una superficie, sin integrar nada
Empieza aquí. Un plano se inclina igual en todos sus puntos, así que el factor de la raíz es constante y no hay que integrar nada.
- examenEl paraboloide recortado por un cilindro
De 2017-2018, y trae los tres apartados juntos: dibujar, volumen y área. Compara los dos últimos, que es donde se ve que no son la misma cuenta.
- examenEl paraboloide, su centro de gravedad y su área
De 2015-2016. Un paraboloide apoyado en el plano: la superficie son dos, la curva y la tapa circular de abajo.
- examenEl sólido entre un cono y un paraboloide, boca abajo
De 2024-2025, y todo está boca abajo: . Es el mismo trabajo con los signos cambiados, y por eso conviene hacerlo el último.
La primera área de una superficie, sin integrar nada
paso 1 de 41.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Calcular el área del trozo del plano que queda justo encima del rectángulo del plano .
El área de ese trozo de plano.
- 01
Reconocer el camino
COMP1¿Por qué el área de ese trozo de plano no es la del rectángulo?
Eso es. El rectángulo es la sombra, y la superficie que la proyecta es más grande. Cuánto más grande lo dice el factor , que es exactamente la raíz de la fórmula.
El solo sube el plano sin inclinarlo, y subir una superficie no le cambia el área. Lo que decide son las pendientes, o sea las derivadas parciales.
El plano entero sí es infinito, pero aquí no se pide el plano: se pide el trozo que está encima de , que es acotado. Lo que hace que su área no sea es la inclinación, no el tamaño.
- 02
El factor de la raíz
COMP2¿Cuánto vale para este plano?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…es lo que hay dentro de la raíz. Falta sacarla: .
Parece que has sumado las derivadas sin elevarlas al cuadrado: . La fórmula lleva los cuadrados, y por eso el signo de la pendiente da igual.
sale de usar solo una de las dos parciales. El plano se inclina en las dos direcciones y las dos cuentan.
Las dos pendientes valen , así que dentro de la raíz hay .
Desarrollo
Y aquí está la gracia de que sea un plano: el factor es una constante, no depende del punto. Por eso este ejemplo no exige integrar nada.
- 03
El área
COMP2¿Cuánto vale el área de ese trozo de plano?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…es el área del rectángulo, o sea la de la sombra. Falta multiplicar por el factor de la inclinación.
es el factor, no el área. Hay que multiplicarlo por el área del recinto sobre el que se levanta la superficie.
: te has dejado la raíz. Dentro de la raíz hay , pero lo que multiplica es .
El factor es constante, así que sale fuera de la integral y lo que queda dentro es , que es el área de .
Desarrollo
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Subir una superficie no le cambia el área: el plano y el plano son el mismo plano trasladado, y los dos dan . El término independiente no aparece en la fórmula porque su derivada es cero. Lo que agranda el área es la pendiente.
El razonamiento, en orden
El área de una superficie sobre un recinto es , y la raíz es el factor que corrige la inclinación.
Aquí , así que la raíz vale en todos los puntos: es una constante y sale fuera de la integral.
Lo que queda dentro es , el área del rectángulo, que vale . El área buscada es .
Resolución completa
La idea. El rectángulo es la sombra que proyecta el trozo de plano. Como el plano está inclinado, la pieza real es mayor que su sombra, y el factor entre las dos es — que es lo que la fórmula escribe como una raíz:
La cuenta. Con las dos pendientes valen :
Es constante, porque un plano se inclina igual en todos sus puntos. Sale fuera de la integral y deja dentro el área de :
Por qué este ejemplo va el primero. Porque es el único caso en que la fórmula del área de una superficie no exige integrar: el factor es una constante y todo se reduce a una multiplicación. En cuanto la superficie se curva —un paraboloide, una esfera— el factor depende del punto y hay que integrarlo de verdad, casi siempre en polares. Pero la idea es la misma, y aquí se ve sin que la cuenta la tape.
La comprobación que conviene hacerse. El área ha salido tres veces la de la sombra, y eso encaja: el plano sube dos unidades por cada una que avanza en y otras dos en , así que está muy empinado. Si te sale un área menor que la del recinto, el error es seguro — la raíz nunca vale menos de , porque el de dentro ya está.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Lo tienes cuando
Que ante «calcular el área de » escribas una integral doble y no una triple, y que no te dejes ninguna cara: un sólido de dos superficies tiene dos áreas que sumar, y la tapa plana también cuenta.
lo tienes cuando:Ante un recinto descrito con desigualdades, dibujarlo y escribir la integral en cualquiera de los órdenes en menos de cinco minutos. Y elegir las coordenadas mirando la forma del recinto, no el integrando.
- ejemploLa primera integral doble, sobre un rectángulo