Cuarta evaluación · 2024-2025

24 de marzo de 2025 · 2 ejercicios · 20 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

La curva de nivel dada, y el gradiente que se deduceFunciones reales de varias variables reales1 + 6 + 3 = 10 pts
La curva de nivel de una función $f(x,y)$ que pasa por el punto $P(-1,1)$ tiene por ecuación $x^{2}+y=2$ .

a) ¿En qué dirección es 0 la velocidad de cambio de la función en el punto $P$ ?

b) Calcular el gradiente en el punto $P$ sabiendo que la tasa máxima de cambio de $f$ en $P$ es 10.

c) Siguiendo la dirección del vector $b=(-2,3)$ , ¿cuál es la velocidad de cambio de la función en el punto $P$ ?

d) Dibujar el punto $P$ , la curva de nivel, y el gradiente y el vector $b$ en $P$ .
La dirección de cambio nulo, el gradiente, la velocidad hacia b y el dibujo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El sólido entre un cono y un paraboloide, boca abajoIntegral múltiple0 + 6 + 4 = 10 pts
Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ , $x^{2}+y^{2}\le 6+z$ , $z\le 0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ . b) Calcular el volumen de $S$ . c) Calcular el área de la superficie de $S$ .
El dibujo del sólido, su volumen y el área de su superficie.
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, 24 de marzo de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La curva de nivel dada, y el gradiente que se deduce

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La curva de nivel de una función $f(x,y)$ que pasa por el punto $P(-1,1)$ tiene por ecuación $x^{2}+y=2$ .

a) ¿En qué dirección es 0 la velocidad de cambio de la función en el punto $P$ ?

b) Calcular el gradiente en el punto $P$ sabiendo que la tasa máxima de cambio de $f$ en $P$ es 10.

c) Siguiendo la dirección del vector $b=(-2,3)$ , ¿cuál es la velocidad de cambio de la función en el punto $P$ ?

d) Dibujar el punto $P$ , la curva de nivel, y el gradiente y el vector $b$ en $P$ .

La dirección de cambio nulo, el gradiente, la velocidad hacia b y el dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da la curva de nivel, no la función. ¿Basta con eso para contestar el apartado a)?
02
La pendiente de la curva de nivel en P
COMP2
Derivando $x^{2}+y=2$ , o sea $y = 2-x^{2}$ , ¿cuánto vale la pendiente en $x=-1$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La primera componente del gradiente
COMP2
El gradiente es perpendicular a $(1,2)$ y su módulo vale 10. Tomando la rama con primera componente positiva, ¿cuánto vale esa componente?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (4√5) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad hacia el vector b
COMP2
Con $\nabla f = (4\sqrt5,\,-2\sqrt5)$ y $b=(-2,3)$ de módulo $\sqrt{13}$ , ¿cuánto vale la derivada direccional, en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La curva $y=2-x^{2}$ tiene pendiente 2 en $P$ , así que la dirección de cambio nulo es $(1,2)$ .
2. b) El gradiente es perpendicular a esa dirección y de módulo 10, luego $\nabla f = \pm(4\sqrt5,\,-2\sqrt5)$ .
3. El enunciado no fija el sentido, así que las dos ramas son solución y hay que darlas.
4. c) La derivada direccional hacia $b=(-2,3)$ vale $\mp 14\sqrt{5/13}\approx \mp 8{,}68$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, 24 de marzo de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El sólido entre un cono y un paraboloide, boca abajo

COMP 26 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ , $x^{2}+y^{2}\le 6+z$ , $z\le 0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ . b) Calcular el volumen de $S$ . c) Calcular el área de la superficie de $S$ .

El dibujo del sólido, su volumen y el área de su superficie.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con $z\le 0$ , ¿qué parte del cono $x^{2}+y^{2}= z^{2}$ interviene?
02
Dónde se cortan las dos superficies
COMP2
Igualando $z^{2} = 6+z$ y quedándose con la raíz que cumple $z\le 0$ , ¿cuánto vale $z$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
Integrando en cilíndricas, el volumen sale $\frac{32\pi}{3}$ . ¿Cuánto vale con cuatro decimales?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Es una lente boca abajo: por arriba la hoja inferior del cono, por abajo el paraboloide $z=\rho^{2}-6$ .
2. Se cortan en $z=-2$ , donde $\rho=2$ : la sombra es el círculo de radio 2.
3. b) La altura es $(-\rho)-(\rho^{2}-6)$ , y el volumen sale $32\pi/3$ .
4. c) El área son dos trozos, el del cono y el del paraboloide, cada uno con su elemento de superficie.

Resolución completa

a) El sólido. Todo por debajo del plano $z=0$ . La tapa de arriba es la hoja inferior del cono, $z=-\rho$ , que baja desde el origen; la de abajo es el paraboloide $z = \rho^{2}-6$ , con el vértice en $z=-6$ . Entre las dos queda una lente apuntando hacia abajo.

El borde. Igualando $z^{2}=6+z$ con $z\le 0$ :

z = -2, \qquad \rho^{2} = 4, \qquad \rho = 2

b) El volumen. La altura en cada punto de la sombra:

h(\rho) = (-\rho) - (\rho^{2}-6) = 6 - \rho - \rho^{2}

que vale 6 en el eje y 0 en el borde, como tiene que ser.

V = 2\pi\int_{0}^{2}\bigl(6\rho - \rho^{2} - \rho^{3}\bigr)d\rho = 2\pi\left(12 - \frac{8}{3} - 4\right) = \boxed{\frac{32\pi}{3} \approx 33{,}51}

c) El área, que son dos superficies curvas y hay que enumerarlas antes de integrar.

Del cono, con $z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , el elemento es $\sqrt2$ :

A_{\text{cono}} = \sqrt2\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\rho\,d\rho\,d\theta = 4\sqrt2\,\pi \approx 17{,}77

Del paraboloide, con $z_x=2x$ y $z_y=2y$ , el elemento es $\sqrt{1+4\rho^{2}}$ :

A_{\text{par}} = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\sqrt{1+4\rho^{2}}\;\rho\,d\rho\,d\theta = \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr) \approx 36{,}18

\boxed{\;A = 4\sqrt2\,\pi + \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr) \approx 53{,}95\;}

Lo que separa el volumen del área. El volumen es una integral sobre la sombra, con la diferencia de alturas. El área obliga a recorrer cada superficie por separado, con su propio elemento. Enumerar los trozos antes de empezar es lo que evita dejarse uno — y aquí, con COMP4 valiendo 4 de 10, dejarse el paraboloide cuesta más que equivocarse en una cuenta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cuarta evaluación · 2024-2025

Reconocer el camino

La pendiente de la curva de nivel en P

La primera componente del gradiente

La velocidad hacia el vector b

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se cortan las dos superficies

El volumen

Justificar el argumento