tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · cuarta evaluación

Cuarta evaluación · 2015-2016

4 de abril de 2016 · 2 ejercicios · 20 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El paraboloide, su centro de gravedad y su áreaIntegral múltiple1 + 6 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le 1-z$ , $z\ge 0$ , siendo la densidad en cada punto $(x,y,z)$ constante.

a) Dibujar el sólido $S$ . b) Calcular el centro de gravedad de $S$ . c) Calcular el área de $S$ .
El dibujo, el centro de gravedad y el área de la superficie.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos gradientes que no se calculan derivando a secasFunciones reales de varias variables reales3 + 3 + 4 = 10 pts
Calcular los gradientes de las siguientes funciones:

a) $f(x,y) = \displaystyle\int_{x}^{y}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt$

b) $z = f\left(x,\;\dfrac{x}{y}\right)$
El gradiente de cada una de las dos funciones.
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación (segundo cuatrimestral), 4 de abril de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El paraboloide, su centro de gravedad y su área

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le 1-z$ , $z\ge 0$ , siendo la densidad en cada punto $(x,y,z)$ constante.

a) Dibujar el sólido $S$ . b) Calcular el centro de gravedad de $S$ . c) Calcular el área de $S$ .

El dibujo, el centro de gravedad y el área de la superficie.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se puede decir del centro de gravedad antes de integrar nada?
02
El volumen
COMP2
El sólido es el paraboloide $z = 1-\rho^{2}$ sobre el disco unidad. ¿Cuánto vale su volumen?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (pi/2) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura del centro de gravedad
COMP2
El momento respecto del plano $XY$ vale $\frac{\pi}{6}$ . Con volumen $\frac{\pi}{2}$ , ¿a qué altura está el centro?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (1/3) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Es un paraboloide de revolución boca abajo, con la base en el disco unidad y el vértice en $(0,0,1)$ .
2. b) Por simetría de revolución, $\overline{x}=\overline{y}=0$ .
3. b) Con $V=\pi/2$ y momento $\pi/6$ , el centro está en $(0,0,1/3)$ .
4. c) El área son dos trozos: la base plana y la superficie curva.

Resolución completa

a) El sólido. El paraboloide $z=1-\rho^{2}$ boca abajo, apoyado en el disco unidad y con el vértice en $(0,0,1)$ . Como en $\rho=1$ la tapa vale 0, el paraboloide sí cierra contra el suelo: no hay pared lateral.

b) El centro de gravedad.

La simetría primero: el sólido es de revolución alrededor del eje $Z$ , así que

\overline{x} = \overline{y} = 0

El volumen:

V = 2\pi\int_{0}^{1}\bigl(1-\rho^{2}\bigr)\rho\,d\rho = \frac{\pi}{2}

El momento respecto del plano $XY$ :

\int z\,dV = 2\pi\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1-\rho^{2}}\! z\;dz\;\rho\,d\rho = \pi\int_{0}^{1}\bigl(1-\rho^{2}\bigr)^{2}\rho\,d\rho = \frac{\pi}{6}

\boxed{\;G = \left(0,\ 0,\ \tfrac13\right)\;}

c) El área, que son dos trozos:

trozo	valor
base, disco de radio 1	$\pi \approx 3{,}14$
tapa, casquete del paraboloide	$\frac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt5-1\bigr)\approx 5{,}33$

\boxed{\;A = \pi + \frac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt5-1\bigr) \approx 8{,}47\;}

Dos comprobaciones que caben en el margen. El volumen es exactamente la mitad del cilindro que lo contiene ( $\pi\cdot1^{2}\cdot1$ ), que es un hecho conocido de los paraboloides de revolución. Y el centro está a $1/3$ de la altura, por debajo de la media: coherente con un sólido cuya parte ancha es la de abajo.

Compáralo con el cono, cuyo centroide está a $1/4$ de la altura: el paraboloide es más «gordo» arriba que el cono, y por eso su centro queda más alto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación (segundo cuatrimestral), 4 de abril de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos gradientes que no se calculan derivando a secas

COMP 13 puntos por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los gradientes de las siguientes funciones:

a) $f(x,y) = \displaystyle\int_{x}^{y}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt$

b) $z = f\left(x,\;\dfrac{x}{y}\right)$

El gradiente de cada una de las dos funciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
COMP1 vale 3 puntos de 10 y COMP2 solo 3. ¿Qué anuncia ese reparto?
02
La derivada respecto del límite inferior
COMP2
Para $f(x,y)=\int_{x}^{y}\cos(t^{2})dt$ , el teorema fundamental da $f_y = \cos(y^{2})$ . ¿Cuánto vale $f_x$ en $x=0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se llama $u=x$ y $v=x/y$ , así que $z = f(u,v)$ y hay que usar la regla de la cadena.
2. Derivando en $x$ : $z_x = f_u\cdot 1 + f_v\cdot\frac{1}{y}$ .
3. Derivando en $y$ : $z_y = f_u\cdot 0 + f_v\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right)$ .
4. Luego $\nabla z = \left(f_u + \frac{f_v}{y},\; -\frac{x}{y^{2}}f_v\right)$ .

Resolución completa

Los dos apartados tienen truco, y el mismo: ninguno se deriva aplicando reglas a una fórmula. COMP1 vale 3 puntos por eso.

a) Un gradiente con una integral dentro.

La primitiva de $\cos(t^{2})$ no es elemental —es la integral de Fresnel— así que calcular la integral es imposible. Y no hace falta: el teorema fundamental del cálculo derivada un integral respecto de sus límites sin resolverla.

f(x,y) = \int_{x}^{y}\cos\bigl(t^{2}\bigr)dt

derivada	valor	por qué
$f_y$	$\cos\bigl(y^{2}\bigr)$	límite superior: el integrando evaluado ahí
$f_x$	$-\cos\bigl(x^{2}\bigr)$	límite inferior: lo mismo, con signo cambiado

\boxed{\;\nabla f = \Bigl(-\cos\bigl(x^{2}\bigr),\;\cos\bigl(y^{2}\bigr)\Bigr)\;}

b) Un gradiente de una composición.

Aquí $f$ es genérica: no se da su fórmula. Llamando $u=x$ y $v=\dfrac{x}{y}$ , la regla de la cadena da

z_x = f_u\frac{\partial u}{\partial x} + f_v\frac{\partial v}{\partial x} = f_u + \frac{f_v}{y}

z_y = f_u\frac{\partial u}{\partial y} + f_v\frac{\partial v}{\partial y} = 0 - \frac{x}{y^{2}}f_v

\boxed{\;\nabla z = \left(f_u + \frac{f_v}{y},\;\; -\frac{x}{y^{2}}\,f_v\right)\;}

La respuesta queda en función de $f_u$ y $f_v$ , y eso es correcto. No es una respuesta a medias: la regla de la cadena dice cómo se propagan las derivadas de una composición sea cual sea la función de dentro. Buscar «la fórmula de $f$ » es el error del apartado, y en un examen se traduce en dejarlo en blanco.

Fíjate también en que $u=x$ hace que $\partial u/\partial y = 0$ : la primera variable de $f$ no depende de $y$ , y por eso el segundo gradiente solo lleva $f_v$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cuarta evaluación · 2015-2016

Reconocer el camino

El volumen

La altura del centro de gravedad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada respecto del límite inferior

Justificar el argumento