tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · cuarta evaluación

Cuarta evaluación · 2021-2022

28 de marzo de 2022 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El vertido en el océanoFunciones reales de varias variables reales2 + 5 + 3 = 10 pts
Un barco petrolero ha vertido parte de su carga al océano. De forma aproximada, la contaminación de las aguas superficiales se rige por la ecuación
$f(x,y) = A\,e^{-(x+1)^{2}-y^{2}}\qquad \text{Tn}/\text{m}^{2}$
donde $A$ es una constante positiva.

a) Calcular la variación que se espera en la contaminación si nos desplazamos desde el punto $P(0,1)$ en la dirección $v = (-1,1)$ . ¿Qué se deduce del resultado obtenido?

b) Tras un estudio realizado en el punto $Q(1,0)$ se observa que la máxima variación de la contaminación es de $16\,e^{-4}$ . Calcular el valor de $A$ .

c) Calcular y representar gráficamente las curvas de nivel correspondientes a los puntos $P(0,1)$ y $Q(1,0)$ .

d) Razonar cuál es el punto del océano de mayor contaminación.
La variación en P, el valor de A, las dos curvas de nivel y el máximo.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La pieza semicircular con un rectángulo encimaIntegral múltiple1 + 7 + 2 = 10 pts
Un taller está diseñando la pieza plana que muestra la figura: la forma de la pieza es semicircular de radio 2, y sobre ella se ha añadido un rectángulo de base 1 —de $x=0$ a $x=1$ — y altura $H$ , hecho con el mismo material.

¿Cuál debe ser el valor de $H$ para que la coordenada $x_c$ del centro de gravedad $(x_c, y_c)$ de la pieza sea
$x_c = \frac{1}{4\pi+2}\;?$
El valor de la altura H.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El volumen de un paraboloide elípticoIntegral múltiple0 + 8 + 2 = 10 pts
Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $\dfrac{y^{2}}{9}+\dfrac{z^{2}}{3}\le x$ , $x\le 3$ .

a) Dibujar el sólido $S$ . b) Calcular el volumen de $S$ .
El dibujo del sólido y su volumen.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, 28 de marzo de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El vertido en el océano

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un barco petrolero ha vertido parte de su carga al océano. De forma aproximada, la contaminación de las aguas superficiales se rige por la ecuación

f(x,y) = A\,e^{-(x+1)^{2}-y^{2}}\qquad \text{Tn}/\text{m}^{2}

donde $A$ es una constante positiva.

a) Calcular la variación que se espera en la contaminación si nos desplazamos desde el punto $P(0,1)$ en la dirección $v = (-1,1)$ . ¿Qué se deduce del resultado obtenido?

b) Tras un estudio realizado en el punto $Q(1,0)$ se observa que la máxima variación de la contaminación es de $16\,e^{-4}$ . Calcular el valor de $A$ .

c) Calcular y representar gráficamente las curvas de nivel correspondientes a los puntos $P(0,1)$ y $Q(1,0)$ .

d) Razonar cuál es el punto del océano de mayor contaminación.

La variación en P, el valor de A, las dos curvas de nivel y el máximo.

01
Reconocer el camino
COMP1
La función solo depende de $(x+1)^{2}+y^{2}$ . ¿Qué forma tienen sus curvas de nivel?
02
La variación en la dirección v
COMP2
En $P(0,1)$ el gradiente es $A e^{-2}(-2,-2)$ . ¿Cuánto vale la derivada direccional siguiendo $v=(-1,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de A
COMP2
En $Q(1,0)$ el gradiente es $A e^{-4}(-4,0)$ , de módulo $4A e^{-4}$ . Si la máxima variación vale $16 e^{-4}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La derivada direccional en $P$ sale cero, luego $v$ es tangente a la curva de nivel por $P$ .
2. b) De $4Ae^{-4} = 16e^{-4}$ sale $A = 4$ .
3. c) Las curvas de nivel son circunferencias de centro $(-1,0)$ : por $P$ la de radio $\sqrt2$ , por $Q$ la de radio 2.
4. d) La contaminación es máxima donde el exponente se anula, o sea en $(-1,0)$ , y allí vale $A=4$ Tn/m².

Resolución completa

La función tiene simetría radial alrededor de $(-1,0)$ , que es donde cayó el vertido. Verlo antes de derivar contesta medio ejercicio.

Las parciales:

\nabla f = A\,e^{-(x+1)^{2}-y^{2}}\bigl(-2(x+1),\; -2y\bigr)

a) La variación en $P(0,1)$ . Ahí el exponente vale $-1-1=-2$ :

\nabla f(0,1) = A e^{-2}(-2,-2)

\nabla f(0,1)\cdot v = A e^{-2}\bigl[(-2)(-1)+(-2)(1)\bigr] = 0

Y lo que se deduce es la parte que puntúa: la variación es nula porque $v=(-1,1)$ es tangente a la curva de nivel que pasa por $P$ . Un barco que se moviera en esa dirección encontraría la misma contaminación.

b) El valor de $A$ . En $Q(1,0)$ el exponente vale $-4$ :

\lVert\nabla f(1,0)\rVert = 4A e^{-4} = 16 e^{-4} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{A = 4}

c) Las curvas de nivel. Como $f$ solo depende de $(x+1)^{2}+y^{2}$ , son circunferencias centradas en $(-1,0)$ :

punto	distancia al centro	curva
$P(0,1)$	$\sqrt{1+1}=\sqrt2$	$(x+1)^{2}+y^{2}=2$
$Q(1,0)$	$2$	$(x+1)^{2}+y^{2}=4$

d) El punto de mayor contaminación. La exponencial es máxima cuando su exponente es lo menos negativo posible, o sea cero:

(x+1)^{2}+y^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; (x,y) = (-1,0)

Y allí $f = A e^{0} = 4$ Tn/m². Es el punto del vertido, como cabía esperar.

El apartado d) no necesita derivar nada. «Razonar» es la palabra del enunciado, y el razonamiento es que una exponencial decreciente es máxima donde su exponente se anula. Ponerse a resolver $\nabla f = (0,0)$ llega al mismo sitio dando un rodeo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, 28 de marzo de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · Figura redibujada en SVG a partir del enunciado original, porque las figuras de terceros se redibujan y no se recortan. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La pieza semicircular con un rectángulo encima

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un taller está diseñando la pieza plana que muestra la figura: la forma de la pieza es semicircular de radio 2, y sobre ella se ha añadido un rectángulo de base 1 —de $x=0$ a $x=1$ — y altura $H$ , hecho con el mismo material.

¿Cuál debe ser el valor de $H$ para que la coordenada $x_c$ del centro de gravedad $(x_c, y_c)$ de la pieza sea

x_c = \frac{1}{4\pi+2}\;?

El valor de la altura H.

01
Reconocer el camino
COMP1
La pieza es un semicírculo más un rectángulo. ¿Cómo se combinan sus centros de gravedad?
02
El área del semicírculo
COMP2
¿Cuánto vale el área de un semicírculo de radio 2?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (2pi) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura H
COMP2
Planteando $\dfrac{H/2}{2\pi+H} = \dfrac{1}{4\pi+2}$ , ¿cuánto vale $H$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El semicírculo tiene área $2\pi$ y su centro está en el eje $Y$ , así que aporta momento cero en $x$ .
2. El rectángulo tiene área $H$ y su centro está en $x=1/2$ , así que aporta momento $H/2$ .
3. Luego $x_c = \dfrac{H/2}{2\pi+H}$ .
4. Igualando a $1/(4\pi+2)$ y despejando sale $H=1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación, 28 de marzo de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El resultado coincide con el del ejercicio 7.27(b) del boletín de problemas complementarios, que sí publica solución.

El volumen de un paraboloide elíptico

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $\dfrac{y^{2}}{9}+\dfrac{z^{2}}{3}\le x$ , $x\le 3$ .

a) Dibujar el sólido $S$ . b) Calcular el volumen de $S$ .

El dibujo del sólido y su volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al cortar el sólido por un plano $x =$ constante, ¿qué sale?
02
El área de la sección
COMP2
La sección en $x$ es la elipse de semiejes $3\sqrt{x}$ y $\sqrt{3x}$ . Su área es $\pi ab = c\,x$ . ¿Cuánto vale el coeficiente $c$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (3√3) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
Integrando $A(x)$ de 0 a 3, el volumen sale $\dfrac{27\sqrt3\,\pi}{2}$ . ¿Cuánto vale con dos decimales?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Es un paraboloide elíptico con eje el eje $X$ , vértice en el origen y abierto hacia las $x$ positivas.
2. La tapa es el plano $x=3$ , donde la sección es la elipse de semiejes $3\sqrt3$ y 3.
3. b) La sección en $x$ tiene área $3\sqrt3\,\pi\,x$ , que crece linealmente.
4. Integrando de 0 a 3 sale $V = 27\sqrt3\,\pi/2 \approx 73{,}46$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cuarta evaluación · 2021-2022

Reconocer el camino

La variación en la dirección v

El valor de A

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El área del semicírculo

La altura H

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El área de la sección

El volumen

Justificar el argumento