tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · cuarta evaluación

Cuarta evaluación · 2022-2023

27 de marzo de 2023 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Cuál de las tres funciones puede serFunciones reales de varias variables reales1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $f(x,y)$ una función que cumple las siguientes condiciones:
- En el punto $(1,1)$ la derivada direccional siguiendo la dirección $(1,0)$ es 4.
- En el punto $(1,1)$ la derivada direccional siguiendo la dirección $(1,1)$ es $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ .
a) Explicar si la función $f(x,y)$ puede ser alguna de las siguientes tres funciones:
$f_1(x,y) = 3x^{2}+y^{2}, \qquad f_2(x,y) = 2x^{2}-y^{2}, \qquad f_3(x,y) = 2x^{2}+y^{2}$
b) Calcular la ecuación del plano tangente en el punto $(1,1)$ .

c) Partiendo del punto $(1,1)$ , ¿en qué dirección se obtiene la derivada direccional máxima?

d) Partiendo del punto $(1,1)$ , ¿en qué dirección no variará el valor de $f$ ?
Cuál de las tres funciones cumple, el plano tangente y las dos direcciones.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La masa de un octante de bolaIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
La siguiente integral representa la masa de un sólido:
$M = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(\int_{-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}^{0}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}dz\right)dy\right)dx$
a) Dibujar el dominio de integración. b) Calcular la masa.
El dibujo del dominio y el valor de la masa.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El centro de gravedad de un cono elípticoIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{z^{2}}{9}\le y^{2}$ , $y \le 1$ , $y \ge 0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ . b) Sabiendo que la densidad en cada punto es $f(x,y,z)=k$ , calcular el centro de gravedad de $S$ .
El dibujo y el centro de gravedad.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, 27 de marzo de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuál de las tres funciones puede ser

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(x,y)$ una función que cumple las siguientes condiciones:

En el punto $(1,1)$ la derivada direccional siguiendo la dirección $(1,0)$ es 4.
En el punto $(1,1)$ la derivada direccional siguiendo la dirección $(1,1)$ es $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ .

a) Explicar si la función $f(x,y)$ puede ser alguna de las siguientes tres funciones:

f_1(x,y) = 3x^{2}+y^{2}, \qquad f_2(x,y) = 2x^{2}-y^{2}, \qquad f_3(x,y) = 2x^{2}+y^{2}

b) Calcular la ecuación del plano tangente en el punto $(1,1)$ .

c) Partiendo del punto $(1,1)$ , ¿en qué dirección se obtiene la derivada direccional máxima?

d) Partiendo del punto $(1,1)$ , ¿en qué dirección no variará el valor de $f$ ?

Cuál de las tres funciones cumple, el plano tangente y las dos direcciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da dos derivadas direccionales y pregunta qué función puede ser. ¿Cuál es el camino?
02
La primera componente del gradiente
COMP2
El vector $(1,0)$ ya es unitario. Si la derivada direccional en esa dirección vale 4, ¿cuánto vale $f_x(1,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La segunda componente
COMP2
Con $\vec v=(1,1)$ de módulo $\sqrt2$ , el segundo dato dice $\dfrac{f_x+f_y}{\sqrt2} = \dfrac{2}{\sqrt2}$ . ¿Cuánto vale $f_y(1,1)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De los dos datos sale $\nabla f(1,1) = (4,-2)$ .
2. a) $\nabla f_1(1,1) = (6,2)$ y $\nabla f_3(1,1) = (4,2)$ : ninguna cumple.
3. a) $\nabla f_2(1,1) = (4,-2)$ : es la única que puede ser.
4. c) La derivada máxima se da en la dirección del gradiente, $(4,-2)$ .

Resolución completa

a) Deducir el gradiente y comparar. Los dos datos son dos ecuaciones:

\nabla f\cdot(1,0) = f_x = 4, \qquad \frac{\nabla f\cdot(1,1)}{\sqrt2} = \frac{f_x+f_y}{\sqrt2} = \frac{2}{\sqrt2}

De la segunda, $f_x+f_y = 2$ , luego $f_y = -2$ :

\nabla f(1,1) = (4,\,-2)

Ahora se derivan las tres candidatas en $(1,1)$ :

función	$\nabla$ en $(1,1)$	¿cumple?
$f_1 = 3x^{2}+y^{2}$	$(6,\,2)$	no
$f_2 = 2x^{2}-y^{2}$	$(4,\,-2)$	sí
$f_3 = 2x^{2}+y^{2}$	$(4,\,2)$	no

\boxed{\;\text{Solo puede ser } f_2(x,y) = 2x^{2}-y^{2}\;}

b) El plano tangente en $(1,1)$ , con $f_2(1,1) = 2-1 = 1$ :

z = 1 + 4(x-1) - 2(y-1)

c) La derivada direccional máxima se da en la dirección del gradiente, $(4,-2)$ — o simplificando, $(2,-1)$ .

d) La dirección en la que no varía es la perpendicular: se cambian de orden las componentes y se le da la vuelta a un signo, $(2,4)$ o, más simple, $(1,2)$ .

Fíjate en que los apartados c) y d) no dependen de qué función sea. Salen del gradiente, y el gradiente lo dieron los dos datos del enunciado. El apartado a) es un ejercicio de reconocimiento; los otros tres son las tres preguntas de siempre.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, 27 de marzo de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión. El resultado coincide con el del ejercicio 7.15(b) del boletín de problemas complementarios, que sí la publica.

La masa de un octante de bola

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La siguiente integral representa la masa de un sólido:

M = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(\int_{-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}^{0}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}dz\right)dy\right)dx

a) Dibujar el dominio de integración. b) Calcular la masa.

El dibujo del dominio y el valor de la masa.

01
Reconocer el camino
COMP1
Leyendo los tres límites de dentro hacia fuera, ¿qué sólido describen?
02
El integrando en esféricas
COMP2
$\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}$ en esféricas es $r^{n}$ . Multiplicado por el jacobiano $r^{2}\text{sen}\,\varphi$ , ¿qué exponente tiene la $r$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La masa
COMP2
Integrando, la masa sale $\dfrac{\pi}{14}$ . ¿Cuánto vale con cuatro decimales?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Los límites describen el octante de la bola unidad con $x\ge0$ , $y\ge0$ y $z\le 0$ .
2. b) El integrando es $r^{4}$ y el jacobiano $r^{2}\text{sen}\,\varphi$ , así que queda $r^{6}\text{sen}\,\varphi$ .
3. Los límites en esféricas son $r\in[0,1]$ , $\varphi\in[\pi/2,\pi]$ , $\theta\in[0,\pi/2]$ .
4. La integral se separa en tres factores y da $M = \pi/14$ .

Resolución completa

a) El dominio. Se lee de dentro hacia fuera:

límite	qué dice
$z$ de $-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ a $0$	dentro de la bola unidad y con $z\le 0$
$y$ de $0$ a $\sqrt{1-x^{2}}$	además $y\ge 0$
$x$ de $0$ a $1$	y $x\ge 0$

Es un octante de la bola unidad: el del primer cuadrante del plano $XY$ , por debajo del suelo.

b) La masa, en esféricas, que son las que le tocan a una esfera:

\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2} = r^{4}, \qquad dV = r^{2}\,\text{sen}\,\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta

Los límites, con $\varphi$ medido desde el eje $Z$ positivo:

r\in[0,1], \qquad \varphi\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right], \qquad \theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]

Los tres son constantes, así que la integral se parte en tres factores:

M = \underbrace{\int_{0}^{\pi/2}\!d\theta}_{\pi/2} \cdot \underbrace{\int_{\pi/2}^{\pi}\!\text{sen}\,\varphi\,d\varphi}_{1} \cdot \underbrace{\int_{0}^{1}\! r^{6}dr}_{1/7} = \boxed{\frac{\pi}{14} \approx 0{,}224}

La comprobación. El mismo sólido con densidad 1 tendría masa $\frac{1}{8}\cdot\frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{6}\approx 0{,}524$ . Aquí sale menos, $0{,}224$ , y tiene sentido: la densidad $r^{4}$ es casi cero cerca del centro y solo vale 1 en la cáscara, así que pesa menos que si fuera uniforme. Ese razonamiento de plausibilidad vale un punto de COMP4 y no cuesta ninguna cuenta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación, 27 de marzo de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El centro de gravedad de un cono elíptico

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{z^{2}}{9}\le y^{2}$ , $y \le 1$ , $y \ge 0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ . b) Sabiendo que la densidad en cada punto es $f(x,y,z)=k$ , calcular el centro de gravedad de $S$ .

El dibujo y el centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se puede decir del centro de gravedad antes de integrar?
02
El jacobiano
COMP2
Con $x = 2\rho\cos\theta$ y $z = 3\rho\,\text{sen}\,\theta$ , ¿cuánto vale el coeficiente del jacobiano $ab\rho$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La coordenada del centro
COMP2
Con $M = 2\pi k$ y momento $\frac{3\pi k}{2}$ , ¿cuánto vale $\overline{y}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (3/4) o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Es un cono elíptico con eje el eje $Y$ , vértice en el origen, y base la elipse de semiejes 2 y 3 en $y=1$ .
2. b) Por simetría en $x$ y en $z$ , $\overline{x}=\overline{z}=0$ .
3. Con cilíndricas generalizadas ( $J=6\rho$ , $\rho\le y$ ), la masa es $M = 2\pi k$ .
4. El momento respecto del plano $XZ$ vale $3\pi k/2$ , luego $\overline{y} = 3/4$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cuarta evaluación · 2022-2023

Reconocer el camino

La primera componente del gradiente

La segunda componente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El integrando en esféricas

La masa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El jacobiano

La coordenada del centro

Justificar el argumento