tal cual cayó — sin cambiar un número
Cálculo · cuarta evaluación
Cuarta evaluación · 2014-2015
23 de marzo de 2015 · 2 ejercicios · 20 puntos
Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.
La masa bajo un paraboloide, dentro de un cilindroIntegral múltiple0 + 5 + 5 = 10 pts
Considerar el sólido definido por las condiciones , , . Supongamos que la masa en cada punto se distribuye dentro de según la función de densidad .
a) Representar gráficamente . b) Plantear el volumen de en coordenadas cartesianas. c) Calcular la masa de .
El dibujo, el volumen planteado en cartesianas y la masa.
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dónde la derivada direccional máxima vale 4Funciones reales de varias variables reales3 + 2 + 5 = 10 pts
Dada la función , calcular y representar gráficamente los puntos en los que la derivada direccional máxima vale 4. Si se sabe además que la dirección en la que se da la derivada máxima es , calcular las coordenadas del punto en el que sucede.
El lugar geométrico de esos puntos, su dibujo, y el punto concreto.
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.
La masa bajo un paraboloide, dentro de un cilindro
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Considerar el sólido definido por las condiciones , , . Supongamos que la masa en cada punto se distribuye dentro de según la función de densidad .
a) Representar gráficamente . b) Plantear el volumen de en coordenadas cartesianas. c) Calcular la masa de .
El dibujo, el volumen planteado en cartesianas y la masa.
- 01
Reconocer el camino
COMP1El apartado b) pide el volumen en cartesianas y el c) la masa sin decir en cuáles. ¿Qué se está evaluando?
El c) no lo pide, y en cartesianas la masa sale muchísimo más larga. El enunciado deja libre el c) a propósito.
Exacto. Escribir los límites en cartesianas —con sus raíces— y luego cambiar a cilíndricas para integrar es la respuesta completa. Y el reparto lo confirma: COMP4 vale 5 de 10.
El b) dice «en coordenadas cartesianas» con todas las letras. Contestar en cilíndricas es no hacer el apartado.
- 02
La altura del sólido en el borde
COMP2La tapa es , o sea . ¿Qué altura tiene el sólido en ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…2 es la altura en el centro, donde . El paraboloide abre hacia arriba, así que en el borde está más alto.
4 es en el borde. Falta sumarle el 2 del término independiente.
.
Desarrollo
El sólido va de 2 de alto en el eje a 6 en el borde: es un cilindro con la tapa abombada hacia arriba.
- 03
La masa
COMP2Integrando en cilíndricas, la masa sale . ¿Cuánto vale con dos decimales?
en forma exacta o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…es el volumen, no la masa. La densidad no es 1: crece con la distancia al eje y con la altura.
es la mitad. Comprueba el desarrollo del integrando: sale , con tres términos.
, con pi = 3,14159…
Desarrollo
Integrando primero en hasta :
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Al revés. Despejando, : el sólido está por debajo. El signo de la desigualdad se invierte al pasar la a un lado, y confundirlo da un sólido infinito.
El razonamiento, en orden
a) Es un cilindro de radio 2 con la tapa abombada: el paraboloide , que va de 2 en el eje a 6 en el borde.
b) En cartesianas: .
c) Para la masa conviene cambiar a cilíndricas, donde los límites son constantes salvo el de .
La densidad crece al alejarse del eje y al subir, así que la masa pesa más que el volumen.
Resolución completa
a) El sólido. Reescribiendo la segunda condición, . Así que es un cilindro de radio 2 con la tapa abombada hacia arriba: el paraboloide sube de en el eje a en el borde, y el suelo es el plano .
b) El volumen en cartesianas, que es lo que el apartado pide:
Los dos límites de fuera llevan la raíz del círculo; el de dentro, la tapa.
c) La masa, y aquí sí conviene cambiar. En cilíndricas la densidad es y el recinto es cómodo:
El control de plausibilidad. El volumen es , y la densidad varía entre 2 —en el eje, junto al suelo— y —en el borde de la tapa—. Una masa de equivale a una densidad media de , que está dentro de ese rango y tirando a bajo: correcto, porque el volumen se concentra donde la densidad es menor. ✓
Y fíjate en que el enunciado pide plantear en cartesianas y calcular sin decir dónde. Eso es una invitación a cambiar de coordenadas, y aceptarla vale puntos.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Dónde la derivada direccional máxima vale 4
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Dada la función , calcular y representar gráficamente los puntos en los que la derivada direccional máxima vale 4. Si se sabe además que la dirección en la que se da la derivada máxima es , calcular las coordenadas del punto en el que sucede.
El lugar geométrico de esos puntos, su dibujo, y el punto concreto.
- 01
Reconocer el camino
COMP1«La derivada direccional máxima vale 4». ¿Qué ecuación es esa?
sería una curva de nivel. Lo que se pide es dónde la función cambia más deprisa a un ritmo dado, que es otra cosa.
El enunciado da el valor máximo, no la dirección. Fijar el vector entero sería otro problema, con una sola solución.
Sí. El valor máximo de la derivada direccional es , así que la condición es una ecuación en e — y por eso la respuesta es una curva, no un punto.
- 02
La curva que sale
COMP2De sale . Dividiendo entre 16, la curva es . ¿Cuánto vale ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…4 es , el denominador. El semieje es su raíz.
1 es el semieje en . En la elipse es el doble de larga, porque el coeficiente de en el gradiente es la mitad.
dividido entre 16 da .
Desarrollo
Una elipse de semiejes 1 en y 2 en . Ese es el lugar geométrico pedido, y hay que dibujarlo.
- 03
El punto concreto
COMP2Si la dirección de máximo cambio es , el gradiente tiene que ser paralelo a ella, así que . ¿Cuánto vale entonces ?
un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…también está en la elipse, pero ahí el gradiente sería : apunta hacia abajo, en el sentido contrario al que da el enunciado. El sentido de descarta esa raíz.
4 se sale de la elipse: con , la condición es , o sea .
Con x=0 la elipse da . Y el sentido de v elige el signo.
Desarrollo
Con , la elipse da . Y el sentido decide cuál de las dos vale:
punto gradiente ¿va con ? sí, hacia arriba no, hacia abajo - 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Un solo dato sobre un valor deja una ecuación, y una ecuación en dos incógnitas define una curva. Por eso el enunciado pide «calcular y representar gráficamente los puntos», en plural, y luego añade un segundo dato para quedarse con uno.
El razonamiento, en orden
El valor máximo de la derivada direccional es , y .
La condición da la elipse .
Si la dirección máxima es , el gradiente es vertical, luego .
De los dos puntos de la elipse con , el sentido de elige .
Resolución completa
El ejercicio tiene dos mitades y hay que ver que son distintas: con un dato sale una curva, y con dos sale un punto. Por eso COMP1 vale 3 de 10.
Primera mitad: el lugar geométrico.
Una elipse de semiejes 1 y 2, centrada en el origen y alargada en vertical. Hay que dibujarla: el enunciado lo pide.
Segunda mitad: el punto. Si la dirección de máximo cambio es , el gradiente tiene que ser paralelo y del mismo sentido:
y sustituyendo en la elipse, . El sentido descarta uno:
El detalle que separa el 8 del 10: las dos raíces cumplen que el gradiente es vertical, pero solo una cumple que sea del sentido de . Un enunciado que da un vector y no una recta está fijando también el sentido, y decirlo explícitamente es lo que puntúa en COMP4 — que aquí vale 5 de 10, más que el cálculo.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.