tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · cuarta evaluación

Cuarta evaluación · 2025-2026

23 de marzo de 2026 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El mapa del Mauna Kea, leído sin conocer la funciónFunciones reales de varias variables reales1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $z = f(x,y)$ la función que modeliza la altura de parte de la superficie de la montaña Mauna Kea en Hawai. Para cada $(x,y)$ , $z = f(x,y)$ representa la altura (m) sobre el nivel del mar de dicho punto de la superficie. En la siguiente imagen se han representado diferentes curvas de nivel de $f$ , un punto $P$ sobre la superficie y tres vectores $u$ , $v$ , $w$ desde $P$ .

Figura redibujada del enunciado original. Diez curvas de nivel, todas la misma cúbica trasladada en vertical; el tono de las bandas cambia de forma monótona hacia la derecha, que es donde la altura es mayor. P está sobre la curva 7 y Q, sobre la misma curva, en el punto donde su tangente es horizontal.

a) Identifica entre los vectores $u$ , $v$ y $w$ el vector gradiente en $P$ . Razona tu respuesta.

b) Identifica cuál de las siguientes curvas corresponde a la curva de nivel de $P$ . Razona tu respuesta.
$\text{A. } (x-1)^{3} - y^{2} = -5 \qquad \text{B. } 3x + y = 3 \qquad \text{C. } (x-1)^{3} - y = -3$
c) ¿En qué altura se encuentra el punto $P$ ?

d) Si nos desplazamos desde el punto $P$ siguiendo las direcciones $u$ , $v$ y $w$ , ¿cuál será la velocidad de cambio de la altura en cada una de esas direcciones?

e) La recta tangente a la curva de nivel en el punto $Q$ es paralela a la recta $y = 0$ . Sabiendo que el valor máximo de la velocidad de cambio de la altura en ese punto es 1, calcula el vector gradiente en el punto $Q$ .

f) Supongamos que en un punto $R$ el gradiente es nulo. ¿Qué interpretación geométrica podríamos dar sobre dicho punto $R$ en este contexto de la montaña?
Leer el gradiente, la curva de nivel y la altura de un mapa de niveles.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos materiales, y dónde hay que poner el vérticeIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Se construye una pieza con dos materiales. La parte de la elipse está construida con aluminio y la triangular con PVC. La densidad del aluminio es el doble que la del PVC. Queremos que el centro de masa de la pieza esté en $(0,0)$ . ¿Cuál debe ser el valor de $a > 0$ ?

Figura redibujada del enunciado original. La media elipse tiene semiejes 1 y 3; el triángulo apoya en el segmento de (0,−3) a (0,3). La posición del vértice en el dibujo es arbitraria: a es precisamente lo que se pide.

El valor de a que pone el centro de masa en el origen.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Leer un sólido dentro de su propia integralIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
La siguiente integral representa la masa de un sólido $S$ :
$M_{S} = \int_{-3}^{3}\!\left(\int_{0}^{\sqrt{9-y^{2}}}\!\left( \int_{x^{2}+y^{2}-12}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} x \; dz\right) dx\right) dy$
a) Dibujar el sólido.

b) Calcular la masa.
Reconocer el sólido a partir de los límites y calcular la masa.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, 23 de marzo de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El mapa del Mauna Kea, leído sin conocer la función

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $z = f(x,y)$ la función que modeliza la altura de parte de la superficie de la montaña Mauna Kea en Hawai. Para cada $(x,y)$ , $z = f(x,y)$ representa la altura (m) sobre el nivel del mar de dicho punto de la superficie. En la siguiente imagen se han representado diferentes curvas de nivel de $f$ , un punto $P$ sobre la superficie y tres vectores $u$ , $v$ , $w$ desde $P$ .

Figura redibujada del enunciado original. Diez curvas de nivel, todas la misma cúbica trasladada en vertical; el tono de las bandas cambia de forma monótona hacia la derecha, que es donde la altura es mayor. P está sobre la curva 7 y Q, sobre la misma curva, en el punto donde su tangente es horizontal.

a) Identifica entre los vectores $u$ , $v$ y $w$ el vector gradiente en $P$ . Razona tu respuesta.

b) Identifica cuál de las siguientes curvas corresponde a la curva de nivel de $P$ . Razona tu respuesta.

\text{A. } (x-1)^{3} - y^{2} = -5 \qquad \text{B. } 3x + y = 3 \qquad \text{C. } (x-1)^{3} - y = -3

c) ¿En qué altura se encuentra el punto $P$ ?

d) Si nos desplazamos desde el punto $P$ siguiendo las direcciones $u$ , $v$ y $w$ , ¿cuál será la velocidad de cambio de la altura en cada una de esas direcciones?

e) La recta tangente a la curva de nivel en el punto $Q$ es paralela a la recta $y = 0$ . Sabiendo que el valor máximo de la velocidad de cambio de la altura en ese punto es 1, calcula el vector gradiente en el punto $Q$ .

f) Supongamos que en un punto $R$ el gradiente es nulo. ¿Qué interpretación geométrica podríamos dar sobre dicho punto $R$ en este contexto de la montaña?

Leer el gradiente, la curva de nivel y la altura de un mapa de niveles.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de mirar el dibujo: ¿qué dos cosas sabes siempre del gradiente respecto de la curva de nivel que pasa por el mismo punto?
02
Reconocer el camino
COMP1
Mira las tres flechas del dibujo. ¿Cuál es $\nabla f(P)$ ?
03
Reconocer el camino
COMP1
De las tres candidatas, ¿cuál es la curva de nivel que pasa por $P(0,2)$ ?
04
Apartado c) — la altura de P
COMP2
¿A qué altura está $P$ , según las etiquetas del mapa?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Apartado d) — la velocidad de cambio en la dirección de u
COMP2
¿Cuánto vale la derivada direccional de la altura en $P$ siguiendo la dirección de $u$ ?
Tu respuesta al paso 5un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
1 no sale de ningún sitio aquí; el 1 del enunciado es el valor máximo en $Q$ , que es otro punto y otro apartado. Piensa qué le pasa a la altura cuando te mueves por encima de una curva de nivel.
7 es la altura de $P$ , no su velocidad de cambio. Una es cuánto vale $f$ ; la otra, cuánto varía.
$u$ va pegado a la curva de nivel que pasa por $P$ . Por definición, una curva de nivel es el conjunto de puntos donde $f$ vale lo mismo.
Desarrollo
$u$ es tangente a la curva de nivel en $P$ , y sobre una curva de nivel la altura es constante. Por tanto
$D_{u}f(P) = \nabla f(P)\cdot \frac{u}{\lVert u\rVert} = 0$
Los otros dos no dan un número —el mapa no da el módulo del gradiente en $P$ — pero sí su signo y su carácter extremo, que es lo que el apartado pide:
- En la dirección de $w = \nabla f(P)$ la altura crece, y lo hace a la máxima velocidad posible en $P$ : $\lVert \nabla f(P)\rVert$ .
- En la dirección de $v$ , que es la opuesta, la altura decrece, y a esa misma velocidad máxima: $-\lVert \nabla f(P)\rVert$ .
Que $v$ sea más corto que $w$ en el dibujo no cambia nada: la derivada direccional se toma sobre el vector unitario, así que solo cuenta hacia dónde apuntan.
06
Apartado e) — la segunda componente del gradiente en Q
COMP2
En $Q$ la tangente a la curva de nivel es horizontal y el valor máximo de la velocidad de cambio es 1. La primera componente de $\nabla f(Q)$ es 0. ¿Cuánto vale la segunda?
Tu respuesta al paso 6un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado f). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Si $\nabla f(R) = 0$ , las dos derivadas parciales se anulan, así que $R$ es un punto crítico de $f$ .
2. Entonces la derivada direccional en $R$ vale 0 en todas las direcciones: te muevas hacia donde te muevas, la altura no empieza a cambiar.
3. Geométricamente, el plano tangente a la superficie en $R$ es horizontal.
4. En la montaña eso es un sitio llano: una cima, el fondo de un hoyo o un collado entre dos cumbres.

Resolución completa

El ejercicio entero se resuelve sin saber quién es $f$ , y conviene decírselo al corrector en la primera línea: todo sale de las dos propiedades del gradiente y de leer el mapa.

a) El gradiente es w

El gradiente cumple dos cosas: es perpendicular a la curva de nivel y apunta hacia donde $f$ crece.

$u$ va a lo largo de la curva de nivel que pasa por $P$ —se ve que la sigue hacia $Q$ —, así que no puede ser el gradiente. Es la dirección de cambio nulo.
$v$ y $w$ cruzan las curvas, luego los dos son perpendiculares a ella, pero son opuestos. El que va hacia los números grandes —hacia el 8, el 9, el 10— es $w$ .

Así que $\nabla f(P)$ tiene la dirección y el sentido de $w$ . El mapa no da su módulo.

b) La curva es la C

B se descarta de dos formas: no pasa por $P$ ( $3\cdot 0 + 2 = 2 \neq 3$ ) y además es una recta, y en el mapa no hay curvas rectas.

A pasa por $P$ , así que sustituir no basta:

$(0-1)^{3} - 2^{2} = -1 - 4 = -5 \quad\checkmark$

Lo que la descarta es la forma. Al llevar $y^{2}$ , la ecuación $y^{2} = (x-1)^{3}+5$ es simétrica respecto del eje $x$ : para cada $x$ da dos valores opuestos de $y$ , y tiene tangente vertical donde corta a $y=0$ . Las curvas del mapa no son simétricas ni tienen tangentes verticales.

C pasa por $P$ y explica el dibujo:

(0-1)^{3} - 2 = -3 \quad\checkmark \qquad\text{y despejando}\qquad y = (x-1)^{3} + 3

que es una cúbica con punto de inflexión y tangente horizontal en $(1,3)$ — exactamente donde está $Q$ , y exactamente lo que el apartado e) da por sabido. Además todas las curvas del mapa tienen esa misma forma, que es lo que se espera de una familia $f(x,y) = \text{cte}$ cuando las curvas son trasladadas verticales unas de otras.

c) La altura de P es 7 m

Se lee: la curva que pasa por $P$ es la que lleva la etiqueta 7. Es la misma que pasa por $Q$ , así que $f(P) = f(Q) = 7$ .

d) Cero, máximo y mínimo

dirección	velocidad de cambio de la altura
$u$ , tangente a la curva de nivel	$0$ — la altura no cambia
$w$ , la del gradiente	$+\lVert\nabla f(P)\rVert$ , la mayor posible
$v$ , la opuesta al gradiente	$-\lVert\nabla f(P)\rVert$ , la menor posible

Con el mapa no se puede poner un número a las dos últimas, porque no da el módulo del gradiente en $P$ ; sí se puede decir que una es la máxima subida y la otra la máxima bajada. Y ojo: la derivada direccional se define sobre el vector unitario, así que la longitud con la que estén dibujadas las flechas no interviene.

e) El gradiente en Q es (0, −1)

Tangente horizontal $\Rightarrow$ gradiente vertical $\Rightarrow$ $\nabla f(Q) = (0,k)$ . Velocidad máxima 1 $\Rightarrow |k| = 1$ . Y subiendo desde $Q$ la altura baja —se pasa del 7 hacia el 6 y el 5—, luego $k = -1$ :

$\nabla f(Q) = (0,\,-1)$

f) Un punto llano

$\nabla f(R) = 0$ significa que todas las derivadas direccionales en $R$ son nulas, o sea que el plano tangente a la superficie es horizontal. En la montaña, eso es un sitio llano. Puede ser una cima, el fondo de un hoyo o un collado; el gradiente por sí solo no distingue cuál.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, 23 de marzo de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos materiales, y dónde hay que poner el vértice

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se construye una pieza con dos materiales. La parte de la elipse está construida con aluminio y la triangular con PVC. La densidad del aluminio es el doble que la del PVC. Queremos que el centro de masa de la pieza esté en $(0,0)$ . ¿Cuál debe ser el valor de $a > 0$ ?

Figura redibujada del enunciado original. La media elipse tiene semiejes 1 y 3; el triángulo apoya en el segmento de (0,−3) a (0,3). La posición del vértice en el dibujo es arbitraria: a es precisamente lo que se pide.

El valor de a que pone el centro de masa en el origen.

01
Reconocer el camino
COMP1
«El centro de masa está en $(0,0)$ ». ¿Qué condición hay que imponer de verdad?
02
El momento de la media elipse
COMP2
Para la media elipse $\{x^{2}+y^{2}/9 \le 1,\; x\le 0\}$ , ¿cuánto vale $\iint x\,dA$ (sin la densidad)?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de a
COMP2
Con el aluminio a densidad $2\rho$ y el PVC a densidad $\rho$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\overline{y}=0$ no hay que imponerlo: la pieza es simétrica respecto del eje $x$ y las dos densidades también, así que sale solo.
2. $\overline{x}=0$ equivale a que el momento estático respecto del eje $y$ sea nulo, porque la masa total no es cero.
3. El momento del aluminio es $2\rho\iint x\,dA = 2\rho(-2) = -4\rho$ , negativo porque toda esa parte está a la izquierda.
4. El momento del PVC es $\rho\,a^{2}$ , positivo y creciente con $a$ : cuanto más lejos se lleva el vértice, más tira hacia la derecha.
5. Igualando, $a^{2}=4$ , y como el enunciado pide $a>0$ , la solución es $a=2$ .

Resolución completa

Qué hay que imponer

El centro de masa de una pieza plana de densidad variable $\rho(x,y)$ es

\overline{x} = \frac{\iint_{D} x\,\rho\,dA}{\iint_{D}\rho\,dA}, \qquad \overline{y} = \frac{\iint_{D} y\,\rho\,dA}{\iint_{D}\rho\,dA}

$\overline{y}=0$ es gratis. La pieza y las dos densidades son simétricas respecto del eje $x$ , así que el numerador de $\overline{y}$ se anula por simetría. Decirlo ahorra media hoja y es justo lo que la COMP4 valora.

$\overline{x}=0$ equivale a anular el numerador, porque la masa total es positiva. Y el numerador se parte en dos trozos, cada uno con su densidad constante:

2\rho\iint_{\text{elipse}} x\,dA \;+\; \rho\iint_{\text{tri}} x\,dA \;=\; 0

Los dos momentos

Media elipse $x^{2}+\dfrac{y^{2}}{9}\le 1$ con $x\le 0$ . Para cada $x\in[-1,0]$ la banda vertical mide $6\sqrt{1-x^{2}}$ :

\iint_{\text{elipse}} x\,dA = \int_{-1}^{0} 6x\sqrt{1-x^{2}}\,dx = -2

Triángulo de vértices $(0,\pm 3)$ y $(a,0)$ . La banda en $x$ mide $6\left(1-\frac{x}{a}\right)$ :

\iint_{\text{tri}} x\,dA = \int_{0}^{a} 6x\left(1-\frac{x}{a}\right)dx = a^{2}

La ecuación

2\rho\,(-2) + \rho\,a^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; a^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; a = 2

$\rho$ desaparece: solo cuenta que una densidad sea el doble de la otra.

La comprobación que conviene escribir

Con $a=2$ , el triángulo tiene área $3a = 6$ y centroide en $\overline{x} = a/3 = 2/3$ ; la media elipse, área $3\pi/2$ y centroide en $-4/(3\pi)$ . Momentos:

2\rho\cdot\frac{3\pi}{2}\cdot\left(-\frac{4}{3\pi}\right) = -4\rho, \qquad \rho\cdot 6\cdot\frac{2}{3} = 4\rho

Se cancelan. Y una comprobación de sentido común que vale un punto: el dibujo del enunciado sitúa el vértice cerca de $x = 3{,}5$ , pero eso es solo una posición cualquiera para poder dibujar la pieza — $a$ es justamente lo que se pide. La respuesta, $a=2$ , cae más a la izquierda de lo que sugiere el dibujo, y tiene que ser así: el aluminio pesa el doble y tira mucho.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación, 23 de marzo de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Leer un sólido dentro de su propia integral

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La siguiente integral representa la masa de un sólido $S$ :

M_{S} = \int_{-3}^{3}\!\left(\int_{0}^{\sqrt{9-y^{2}}}\!\left( \int_{x^{2}+y^{2}-12}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} x \; dz\right) dx\right) dy

a) Dibujar el sólido.

b) Calcular la masa.

Reconocer el sólido a partir de los límites y calcular la masa.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos límites de la integral en $z$ son $z = x^{2}+y^{2}-12$ y $z = -\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . ¿Qué son?
02
Dónde se cortan las dos superficies
COMP2
¿A qué distancia $r$ del eje $z$ se cortan el cono y el paraboloide?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La masa
COMP2
Pasando a cilíndricas, ¿cuánto vale $M_{S}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la justificación del cambio a cilíndricas. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los límites $-3\le y\le 3$ y $0\le x\le\sqrt{9-y^{2}}$ describen el medio disco $x^{2}+y^{2}\le 9$ con $x\ge 0$ .
2. En polares, $r$ va de 0 a 3 y la condición $x\ge 0$ es $\cos\theta\ge 0$ , o sea $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$ .
3. El jacobiano del cambio aporta un factor $r$ , así que $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$ .
4. La densidad es $x = r\cos\theta$ , luego el integrando completo es $r^{2}\cos\theta$ .

Resolución completa

El ejercicio va al revés de lo habitual: la integral está dada y hay que reconstruir el sólido a partir de ella. Conviene leerla de dentro hacia fuera.

a) El sólido

La integral de dentro dice entre qué dos superficies está encerrado, para cada $(x,y)$ :

suelo: $z = x^{2}+y^{2}-12$ , un paraboloide de revolución con vértice en $(0,0,-12)$ que abre hacia arriba;
techo: $z = -\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , la hoja inferior de un cono con vértice en el origen.

Las dos de fuera dicen sobre qué región del plano: $-3\le y\le 3$ y $0\le x\le\sqrt{9-y^{2}}$ , es decir el medio disco $x^{2}+y^{2}\le 9$ con $x\ge 0$ .

Y las dos cosas encajan, lo cual es la comprobación de que se ha leído bien: igualando $r^{2}-12=-r$ sale $r^{2}+r-12=0$ , con raíces $3$ y $-4$ ; descartada la negativa, las superficies se cortan justo en $r=3$ , a la altura $z=-3$ — el borde del medio disco.

Así que $S$ es la mitad —la de $x\ge 0$ — del cuerpo que queda atrapado entre el cuenco del paraboloide y el embudo del cono, desde el vértice del paraboloide en $z=-12$ hasta la circunferencia de corte.

Figura nuestra, no del enunciado: el apartado a) pide dibujar el sólido y esto es la respuesta. A la izquierda, el corte por un semiplano que contiene al eje z; a la derecha, la base sobre la que se integra.

b) La masa

La densidad es $x$ , que en la región es $\ge 0$ : coherente con que sea una densidad.

En cilíndricas, $x = r\cos\theta$ y $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$ ; la condición $x\ge 0$ es $\cos\theta\ge 0$ , o sea $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$ :

M_{S}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{3}\!\!\int_{r^{2}-12}^{-r} r^{2}\cos\theta \; dz\,dr\,d\theta

La integral en $z$ solo aporta la altura del sólido en cada $r$ :

(-r)-(r^{2}-12) = 12-r-r^{2}

que es positiva en todo $[0,3)$ y se anula justo en $r=3$ , como debe ser. Separando el ángulo:

M_{S} = \left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\right) \int_{0}^{3}\left(12r^{2}-r^{3}-r^{4}\right)dr = 2\left(108-\frac{81}{4}-\frac{243}{5}\right) = \frac{783}{10}

\boxed{M_{S} = \dfrac{783}{10} = 78{,}3}

El error que cuesta el ejercicio

Dar por hecho que, como el sólido es de revolución, el ángulo aporta $2\pi$ . La densidad no es de revolución: vale $x$ . Si se integrara sobre el disco entero, $\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0$ y la masa saldría cero — lo cual es correcto para ese otro sólido, porque la mitad con $x<0$ tendría densidad negativa. Por eso el enunciado se queda con medio disco.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cuarta evaluación · 2025-2026

Reconocer el camino

Reconocer el camino

Reconocer el camino

Apartado c) — la altura de P

Apartado d) — la velocidad de cambio en la dirección de u

Apartado e) — la segunda componente del gradiente en Q

Justificar el argumento

a) El gradiente es w

b) La curva es la C

c) La altura de P es 7 m

d) Cero, máximo y mínimo

e) El gradiente en Q es (0, −1)

f) Un punto llano

Reconocer el camino

El momento de la media elipse

El valor de a

Justificar el argumento

Qué hay que imponer

Los dos momentos

La ecuación

La comprobación que conviene escribir

Reconocer el camino

Dónde se cortan las dos superficies

La masa

Justificar el argumento

a) El sólido

b) La masa

El error que cuesta el ejercicio