tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · cuarta evaluación

Cuarta evaluación · 2018-2019

11 de marzo de 2019 · 3 ejercicios · 25 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un vector unitario perpendicular a la curva de nivelFunciones reales de varias variables reales0.5 + 3 + 1.5 = 5 pts
Sea la función $f(x,y) = x^{2}y^{2}+2y+2$ . Calcular un vector unitario perpendicular a la curva de nivel $f(x,y)=2$ en el punto $(0,0)$ .
Un vector unitario perpendicular a la curva de nivel en el origen.
- COMP 10.5 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 41.5 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El rombo que un cambio de variable vuelve cuadradoIntegral múltiple1 + 6 + 3 = 10 pts
Sea la integral $I = \displaystyle\iint_{D}(2x-y+1)\,dx\,dy$ , donde $D$ es el dominio limitado por $y=4x-4$ , $y=4x+4$ , $y=-4x-4$ e $y=-4x+4$ .

a) Dibujar el dominio $D$ .

b) Resolver la integral utilizando el cambio de variable $x = \dfrac{1}{2}(u+v)$ , $y = 2v-2u$ .
El dibujo del dominio y el valor de la integral.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cono y un paraboloide, y el momento de inerciaIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ , $z\le 6-x^{2}-y^{2}$ , $z\ge 0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ y calcular su volumen.

b) Sabiendo que $f(x,y,z)=k\,y^{2}$ denota la densidad en cada punto, plantear el momento de inercia de $S$ respecto del eje $OZ$ .
El dibujo, el volumen y el planteamiento del momento de inercia.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación (segundo cuatrimestral), 11 de marzo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · Es el ejercicio 6.12 del boletín de problemas complementarios, que publica la solución.

Un vector unitario perpendicular a la curva de nivel

COMP 10.5 puntos por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 41.5 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(x,y) = x^{2}y^{2}+2y+2$ . Calcular un vector unitario perpendicular a la curva de nivel $f(x,y)=2$ en el punto $(0,0)$ .

Un vector unitario perpendicular a la curva de nivel en el origen.

01
Reconocer el camino
COMP1
El ejercicio pide una perpendicular a una curva. ¿Con qué herramienta del tema se obtiene?
02
La componente en y del gradiente
COMP2
Con $f_y = 2x^{2}y+2$ , ¿cuánto vale $f_y(0,0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El gradiente es perpendicular a la curva de nivel, así que basta calcularlo.
2. $\nabla f(0,0) = (0,2)$ , de módulo 2.
3. Normalizando, el vector pedido es $(0,1)$ .
4. También vale $(0,-1)$ : el enunciado pide un vector, y hay dos unitarios perpendiculares.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación (segundo cuatrimestral), 11 de marzo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · Es el ejercicio 7.7 del boletín de problemas complementarios, que publica la solución.

El rombo que un cambio de variable vuelve cuadrado

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la integral $I = \displaystyle\iint_{D}(2x-y+1)\,dx\,dy$ , donde $D$ es el dominio limitado por $y=4x-4$ , $y=4x+4$ , $y=-4x-4$ e $y=-4x+4$ .

a) Dibujar el dominio $D$ .

b) Resolver la integral utilizando el cambio de variable $x = \dfrac{1}{2}(u+v)$ , $y = 2v-2u$ .

El dibujo del dominio y el valor de la integral.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da el cambio de variable en vez de dejarlo elegir. ¿Qué suele significar eso?
02
El jacobiano
COMP2
Con $x=\frac12(u+v)$ e $y=2v-2u$ , el jacobiano es el determinante $\begin{vmatrix} 1/2 & 1/2 \\ -2 & 2\end{vmatrix}$ . ¿Cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La integral
COMP2
En las variables nuevas el recinto es el cuadrado $[-1,1]\times[-1,1]$ y el integrando $3u-v+1$ . Con el jacobiano 2, ¿cuánto vale $I$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Las cuatro rectas forman un rombo de vértices $(\pm1,0)$ y $(0,\pm4)$ .
2. b) Con el cambio dado, $y-4x = -4u$ e $y+4x = 4v$ .
3. Las cuatro rectas pasan a ser $u=\pm1$ y $v=\pm1$ : el rombo se convierte en un cuadrado.
4. Con jacobiano 2 y el integrando $3u-v+1$ , la integral vale 8.

Resolución completa

a) El dominio. Cortando las cuatro rectas dos a dos salen los vértices

(1,0),\qquad (0,4),\qquad (-1,0),\qquad (0,-4)

un rombo muy estirado en vertical, centrado en el origen.

b) El cambio, y por qué funciona. El truco está en mirar qué combinaciones aparecen en las rectas. Con $x=\frac12(u+v)$ e $y=2v-2u$ :

y-4x = (2v-2u) - 2(u+v) = -4u, \qquad y+4x = (2v-2u) + 2(u+v) = 4v

Y las cuatro rectas se escriben con esas dos combinaciones:

recta	en $uv$
$y=4x-4$	$u=1$
$y=4x+4$	$u=-1$
$y=-4x+4$	$v=1$
$y=-4x-4$	$v=-1$

El rombo se ha convertido en el cuadrado $[-1,1]\times[-1,1]$ : cuatro límites constantes.

El jacobiano:

J = \begin{vmatrix} \frac12 & \frac12 \\[2pt] -2 & 2 \end{vmatrix} = 2

El integrando, que también se simplifica:

2x-y = (u+v)-(2v-2u) = 3u-v

La integral:

I = \int_{-1}^{1}\!\!\int_{-1}^{1}\bigl(3u-v+1\bigr)\,2\;du\,dv = 2\bigl(0 - 0 + 4\bigr) = \boxed{8}

Los términos $3u$ y $-v$ son impares sobre un cuadrado centrado en el origen y se anulan sin calcular: solo sobrevive la constante.

La comprobación que cierra el ejercicio. El rombo tiene área $\frac{d_1 d_2}{2} = \frac{2\cdot 8}{2} = 8$ y el cuadrado 4. La razón es exactamente 2, que es el jacobiano. Eso no es casualidad: el jacobiano mide cuánto se deforma el área, y comprobarlo con dos áreas que sabes calcular a mano es la mejor forma de asegurarte de que no lo has puesto del revés.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación (segundo cuatrimestral), 11 de marzo de 2019 · Cálculo, UPV/EHU · Es el ejercicio 7.21 del boletín de problemas complementarios, que publica la solución.

Un cono y un paraboloide, y el momento de inercia

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ , $z\le 6-x^{2}-y^{2}$ , $z\ge 0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ y calcular su volumen.

b) Sabiendo que $f(x,y,z)=k\,y^{2}$ denota la densidad en cada punto, plantear el momento de inercia de $S$ respecto del eje $OZ$ .

El dibujo, el volumen y el planteamiento del momento de inercia.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado b) dice «plantear», no «calcular». ¿Qué hay que entregar?
02
Dónde se cortan las dos superficies
COMP2
En cilíndricas el cono es $z=\rho$ y el paraboloide $z=6-\rho^{2}$ . ¿Para qué $\rho$ positivo se cortan?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
Integrando la diferencia de alturas, el volumen sale $\dfrac{32\pi}{3}$ . ¿Cuánto vale con cuatro decimales?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El momento de inercia respecto de $OZ$ integra la distancia al eje al cuadrado por la densidad.
2. En cilíndricas esa distancia es $\rho$ , así que aparece $\rho^{2}$ .
3. La densidad $ky^{2}$ es $k\rho^{2}\text{sen}^{2}\theta$ , y el jacobiano añade otro $\rho$ .
4. Todo junto da el integrando $k\rho^{5}\text{sen}^{2}\theta$ .

Resolución completa

a) El sólido y su volumen. Es una lente entre el cono $z=\rho$ que sube desde el origen y el paraboloide $z=6-\rho^{2}$ que baja desde $z=6$ . Se cortan donde

\rho^{2}+\rho-6=0 \;\Longrightarrow\; \rho=2,\; z=2

V = 2\pi\int_{0}^{2}\bigl(6\rho-\rho^{3}-\rho^{2}\bigr)d\rho = 2\pi\left(12-4-\frac83\right) = \boxed{\frac{32\pi}{3}\approx 33{,}51}

b) El momento de inercia respecto de $OZ$ . La definición es

I_z = \iiint_S d^{2}\,\delta\;dV

donde $d$ es la distancia al eje —no la altura— y $\delta$ la densidad. Montándolo pieza a pieza en cilíndricas:

pieza	en cilíndricas
distancia al eje al cuadrado	$\rho^{2}$
densidad $k\,y^{2}$	$k\rho^{2}\text{sen}^{2}\theta$
jacobiano	$\rho$

El producto de las tres es $k\rho^{5}\text{sen}^{2}\theta$ , y con los límites del apartado a):

\boxed{\; I_z = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{\rho}^{6-\rho^{2}} k\,\rho^{5}\,\text{sen}^{2}\theta \;dz\,d\rho\,d\theta \;}

Las tres potencias de $\rho$ vienen de tres sitios distintos, y perder la cuenta es el error del apartado: dos del cuadrado de la distancia, dos de la densidad y una del jacobiano. Escribir de dónde sale cada una —como en la tabla— es exactamente lo que corrige COMP4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cuarta evaluación · 2018-2019

Reconocer el camino

La componente en y del gradiente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El jacobiano

La integral

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se cortan las dos superficies

El volumen

Justificar el argumento