tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · cuarta evaluación

Cuarta evaluación · 2017-2018

12 de marzo de 2018 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un límite que no existe y una derivada direccionalFunciones reales de varias variables reales2 + 4 + 4 = 10 pts
a) Estudiar la existencia de límite de la función $z = \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ en el punto $(0,0)$ .

b) Calcular la derivada direccional de $z = x^{2}\,\text{sen}\,2y$ cuando nos dirigimos del punto $P = \left(1,\frac{\pi}{2}\right)$ al punto $Q = \left(4,\frac{\pi}{2}-4\right)$ .
Si el límite existe, y el valor de la derivada direccional.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El centro de gravedad de un cuarto de elipseIntegral múltiple1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $D$ el recinto limitado por las condiciones $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}\le 1$ , $x\ge 0$ , $y\ge 0$ . Calcular las coordenadas del centro de gravedad del recinto $D$ , suponiendo que la densidad en cada punto es $k$ .
Las coordenadas del centro de gravedad.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El paraboloide recortado por un cilindroIntegral múltiple1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $z\le 5-x^{2}-y^{2}$ , $x^{2}+y^{2}\le 1$ , $z\ge 0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ . b) Calcular el volumen de $S$ . c) Calcular el área de $S$ .
El dibujo, el volumen y el área de la superficie.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación (segundo cuatrimestral), 12 de marzo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · Sus dos apartados son los ejercicios 6.4 y 6.7 del boletín de problemas complementarios, que publica las soluciones.

Un límite que no existe y una derivada direccional

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Estudiar la existencia de límite de la función $z = \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ en el punto $(0,0)$ .

b) Calcular la derivada direccional de $z = x^{2}\,\text{sen}\,2y$ cuando nos dirigimos del punto $P = \left(1,\frac{\pi}{2}\right)$ al punto $Q = \left(4,\frac{\pi}{2}-4\right)$ .

Si el límite existe, y el valor de la derivada direccional.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado b) dice «nos dirigimos del punto $P$ al punto $Q$ ». ¿Cuál es el vector dirección?
02
El módulo del vector PQ
COMP2
$\vec{PQ} = Q - P = (3,\,-4)$ . ¿Cuánto mide?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada direccional
COMP2
Con $\nabla z\left(1,\frac{\pi}{2}\right) = (0,\,-2)$ y el unitario $\left(\frac35,-\frac45\right)$ , ¿cuánto vale la derivada direccional?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (8/5) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Nos acercamos por rectas $y=mx$ y sustituimos en $\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ .
2. Simplificando el $x^{2}$ queda $\dfrac{m}{1+m^{2}}$ , que depende de la recta.
3. Con $m=0$ vale 0 y con $m=1$ vale $1/2$ : dos valores distintos.
4. Luego el límite no existe.

Resolución completa

a) El límite no existe, y se demuestra con dos caminos.

Acercándose por rectas $y=mx$ :

\frac{x\cdot mx}{x^{2}+m^{2}x^{2}} = \frac{m}{1+m^{2}}

Queda la $m$ , así que el valor depende de por dónde vengas. Con dos números concretos:

camino	valor
$y=0$	$0$
$y=x$	$1/2$

Como $0\neq 1/2$ , el límite no existe.

b) La derivada direccional.

\vec{PQ} = Q-P = (3,-4), \qquad \lVert\vec{PQ}\rVert = 5, \qquad \vec u = \left(\tfrac35,-\tfrac45\right)

El gradiente de $z = x^{2}\,\text{sen}\,2y$ en $P\left(1,\frac{\pi}{2}\right)$ :

\nabla z = \bigl(2x\,\text{sen}\,2y,\; 2x^{2}\cos 2y\bigr) \;\Longrightarrow\; \nabla z\left(1,\tfrac{\pi}{2}\right) = (0,\,-2)

porque $\text{sen}\,\pi = 0$ y $\cos\pi = -1$ .

\boxed{\;D_{\vec u}z = (0,-2)\cdot\left(\tfrac35,-\tfrac45\right) = \frac85 = 1{,}6\;}

El control de siempre: $\lVert\nabla z\rVert = 2$ , y sale $1{,}6 < 2$ . ✓ Y es positivo, así que en esa dirección la función crece — coherente con que el gradiente apunte hacia abajo y el desplazamiento también.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación (segundo cuatrimestral), 12 de marzo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · Es el ejercicio 7.20 del boletín de problemas complementarios. Su hoja de soluciones tiene una errata en este ejercicio: ver la nota al final de la resolución.

El centro de gravedad de un cuarto de elipse

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el recinto limitado por las condiciones $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}\le 1$ , $x\ge 0$ , $y\ge 0$ . Calcular las coordenadas del centro de gravedad del recinto $D$ , suponiendo que la densidad en cada punto es $k$ .

Las coordenadas del centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
El recinto es un cuarto de elipse de semiejes 2 y 1. ¿Qué cambio de variable conviene?
02
El área del recinto
COMP2
Un cuarto de elipse de semiejes 2 y 1 tiene área $\pi ab/4$ . ¿Cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (pi/2) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La segunda coordenada del centro
COMP2
El momento respecto del eje $X$ vale $\frac{2}{3}$ . Con área $\frac{\pi}{2}$ , ¿cuánto vale $\overline{y}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (4/3pi) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $x=2\rho\cos\theta$ , $y=\rho\,\text{sen}\,\theta$ y $J=2\rho$ , el recinto es $\rho\in[0,1]$ , $\theta\in[0,\pi/2]$ .
2. La masa es $k\pi/2$ y los momentos $4k/3$ y $2k/3$ .
3. Luego $\overline{x} = 8/(3\pi)$ y $\overline{y} = 4/(3\pi)$ .
4. La densidad $k$ se cancela: con densidad constante el centro es geométrico.

Resolución completa

El cambio. Polares generalizadas con los semiejes dentro:

x = 2\rho\cos\theta, \qquad y = \rho\,\text{sen}\,\theta, \qquad J = ab\rho = 2\rho

y el recinto pasa a ser el rectángulo $\rho\in[0,1]$ , $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ .

La masa:

M = k\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{1} 2\rho\;d\rho\,d\theta = \frac{\pi k}{2}

Los dos momentos, que no son iguales:

\iint_D x\,dA = \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{1}(2\rho\cos\theta)(2\rho)\,d\rho\,d\theta = \frac43

\iint_D y\,dA = \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{1}(\rho\,\text{sen}\,\theta)(2\rho)\,d\rho\,d\theta = \frac23

El primero lleva un 2 de más, el que viene del semieje $a=2$ metido en la $x$ .

\boxed{\;G = \left(\frac{8}{3\pi},\ \frac{4}{3\pi}\right) \approx (0{,}849;\ 0{,}424)\;}

La hoja de soluciones del boletín tiene una errata aquí

Da las dos coordenadas iguales a $8/(3\pi)$ . La primera lo es; la segunda no. Se puede comprobar por tres caminos independientes:

La fórmula del centroide de un cuarto de elipse de semiejes $a$ y $b$ es $\left(\frac{4a}{3\pi},\frac{4b}{3\pi}\right)$ ; con $a=2$ , $b=1$ da $\left(\frac{8}{3\pi},\frac{4}{3\pi}\right)$ .

Por escala. Un cuarto de círculo de radio 1 tiene su centro en $\left(\frac{4}{3\pi},\frac{4}{3\pi}\right)$ ; esta elipse es ese cuarto estirado al doble solo en $x$ , así que solo la primera coordenada se duplica.

Los momentos de arriba, $4/3$ y $2/3$ : uno el doble del otro.

Si te sale $0{,}42$ y el boletín dice $0{,}85$ , el que está bien eres tú.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación (segundo cuatrimestral), 12 de marzo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El paraboloide recortado por un cilindro

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $z\le 5-x^{2}-y^{2}$ , $x^{2}+y^{2}\le 1$ , $z\ge 0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ . b) Calcular el volumen de $S$ . c) Calcular el área de $S$ .

El dibujo, el volumen y el área de la superficie.

01
Reconocer el camino
COMP1
Dentro del cilindro $\rho\le 1$ , ¿llega el paraboloide a tocar el plano $z=0$ ?
02
El volumen
COMP2
Integrando $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}(5-\rho^{2})\rho\,d\rho\,d\theta$ , ¿cuánto vale el volumen?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (9pi/2) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La superficie tiene tres trozos: la base, la pared lateral y la tapa curva.
2. La base es el disco de radio 1 en $z=0$ : área $\pi$ .
3. La pared es el cilindro $\rho=1$ desde $z=0$ hasta $z=4$ : área $2\pi\cdot 1\cdot 4 = 8\pi$ .
4. La tapa es el casquete del paraboloide: $\frac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt5-1\bigr)$ .

Resolución completa

a) El sólido. Un cilindro de radio 1 con la tapa abombada: el paraboloide $z=5-\rho^{2}$ lo corona, y como en $\rho=1$ vale 4, la tapa nunca baja al suelo. El sólido tiene tres caras: la base plana, la pared vertical y la cúpula.

b) El volumen:

V = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(5-\rho^{2}\bigr)\rho\;d\rho\,d\theta = 2\pi\left(\frac52-\frac14\right) = \boxed{\frac{9\pi}{2}\approx 14{,}14}

c) El área, que son tres trozos y ahí está la dificultad:

trozo	cálculo	valor
base, disco de radio 1	$\pi R^{2}$	$\pi \approx 3{,}14$
pared, cilindro de altura 4	$2\pi R h$	$8\pi \approx 25{,}13$
tapa, casquete del paraboloide	$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\sqrt{1+4\rho^{2}}\,\rho\,d\rho\,d\theta$	$\frac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt5-1\bigr)\approx 5{,}33$

\boxed{\;A = 9\pi + \frac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt5-1\bigr) \approx 33{,}60\;}

La pared lateral es el trozo grande y es el que se olvida. Vale $8\pi$ , casi las tres cuartas partes del total, y no aparece si das por hecho que el paraboloide cierra el sólido contra el suelo. La comprobación que lo evita cuesta una línea: evalúa la tapa en el borde del recinto y mira si llega a cero. Aquí vale 4, así que hay pared.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cuarta evaluación · 2017-2018

Reconocer el camino

El módulo del vector PQ

La derivada direccional

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El área del recinto

La segunda coordenada del centro

Justificar el argumento

La hoja de soluciones del boletín tiene una errata aquí

Reconocer el camino

El volumen

Justificar el argumento