Cuarta evaluación · 2016-2017

13 de marzo de 2017 · 2 ejercicios · 20 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

La montaña de la que se conocen dos pendientesFunciones reales de varias variables reales2 + 3 + 5 = 10 pts
La altura de una montaña viene dada por la función $F(x,y)$ . Si nos situamos en el punto $(0,0)$ y seguimos la dirección $(3,4)$ , se obtiene una pendiente cuyo valor es 3. En cambio, en la dirección $(4,-3)$ la pendiente es $-1$ .

a) Hallar el vector gradiente en el punto $(0,0)$ e interpretar su significado.

b) Calcular la velocidad a la que cambiará el valor de la altura si partiendo del punto $(0,0)$ seguimos la dirección y el sentido dados por el vector $(1,1)$ .
El gradiente en el origen, su interpretación, y la velocidad hacia (1,1).
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El cono de helado, en cilíndricas y en esféricasIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4$ ; $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ ; $z\ge 0$ .

a) Plantear el volumen de $S$ utilizando coordenadas cilíndricas. b) Plantear el volumen de $S$ utilizando coordenadas esféricas. c) Calcular el volumen de $S$ utilizando el apartado a) o b).
El volumen planteado de las dos formas, y calculado por una de ellas.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación (segundo cuatrimestral), 13 de marzo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La montaña de la que se conocen dos pendientes

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La altura de una montaña viene dada por la función $F(x,y)$ . Si nos situamos en el punto $(0,0)$ y seguimos la dirección $(3,4)$ , se obtiene una pendiente cuyo valor es 3. En cambio, en la dirección $(4,-3)$ la pendiente es $-1$ .

a) Hallar el vector gradiente en el punto $(0,0)$ e interpretar su significado.

b) Calcular la velocidad a la que cambiará el valor de la altura si partiendo del punto $(0,0)$ seguimos la dirección y el sentido dados por el vector $(1,1)$ .

El gradiente en el origen, su interpretación, y la velocidad hacia (1,1).

01
Reconocer el camino
COMP1
Este ejercicio reparte COMP4 5 puntos de 10, más que el cálculo. ¿Qué está diciendo ese reparto?
02
La primera ecuación
COMP2
El vector $(3,4)$ mide 5. Si la pendiente en esa dirección es 3, y $\nabla F = (a,b)$ , la ecuación es $\frac{3a+4b}{5}=3$ . ¿A qué equivale el numerador $3a+4b$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La primera componente del gradiente
COMP2
Resolviendo el sistema $3a+4b=15$ , $4a-3b=-5$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad hacia (1,1)
COMP2
Con $\nabla F=(1,3)$ y el vector $(1,1)$ de módulo $\sqrt2$ , ¿cuánto vale la derivada direccional?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta (2√2) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la interpretación del apartado a), que es donde está la mitad de la nota. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El gradiente $(1,3)$ apunta en la dirección de máxima pendiente de subida desde el origen.
2. Su módulo, $\sqrt{10}\approx 3{,}16$ , es esa pendiente máxima.
3. La curva de nivel que pasa por el origen es perpendicular a él ahí.
4. La dirección en la que la altura no cambia es $(-3,1)$ , o su opuesta.

Resolución completa

El reparto de puntos dice cómo hay que contestar: COMP2 vale 3 y COMP4 vale 5. El sistema es lo fácil; interpretar es lo que puntúa.

El sistema. Los dos vectores del enunciado miden 5, así que hay que normalizarlos antes de igualar:

\frac{(a,b)\cdot(3,4)}{5} = 3 \;\Longrightarrow\; 3a+4b = 15

\frac{(a,b)\cdot(4,-3)}{5} = -1 \;\Longrightarrow\; 4a-3b = -5

Resolviendo:

\boxed{\;\nabla F(0,0) = (1,\,3)\;}

a) La interpretación, que es la mitad de la nota:

$(1,3)$ es la dirección en la que la montaña sube más deprisa desde el origen: hacia el nordeste, y más hacia el norte que hacia el este.
Su módulo, $\sqrt{10}\approx 3{,}16$ , es esa pendiente máxima. Y ninguna dirección puede dar más: las dos pendientes del enunciado, 3 y $-1$ , están las dos dentro de $[-3{,}16;\,3{,}16]$ , como tenía que ser.
La curva de nivel que pasa por el origen le es perpendicular, así que la altura no cambia en la dirección $(-3,1)$ .

b) La velocidad hacia $(1,1)$ :

D_{\vec u}F(0,0) = \frac{(1,3)\cdot(1,1)}{\sqrt2} = \frac{4}{\sqrt2} = \boxed{2\sqrt2 \approx 2{,}83}

Positiva, así que subiendo — y cerca del máximo, porque $(1,1)$ apunta bastante en la misma dirección que $(1,3)$ .

La comprobación que se puede hacer en el examen sin nada más: las dos pendientes que da el enunciado tienen que caber dentro del intervalo $[-\lVert\nabla F\rVert,\;+\lVert\nabla F\rVert]$ . Con $\sqrt{10}$ , el intervalo es $[-3{,}16;\,3{,}16]$ y los datos son 3 y $-1$ : caben. Si no cupieran, el sistema estaría mal resuelto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación (segundo cuatrimestral), 13 de marzo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · Es el ejercicio 7.23 del boletín de problemas complementarios, que publica la solución.

El cono de helado, en cilíndricas y en esféricas

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4$ ; $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ ; $z\ge 0$ .

a) Plantear el volumen de $S$ utilizando coordenadas cilíndricas. b) Plantear el volumen de $S$ utilizando coordenadas esféricas. c) Calcular el volumen de $S$ utilizando el apartado a) o b).

El volumen planteado de las dos formas, y calculado por una de ellas.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado c) deja elegir cuál de los dos planteamientos usar. ¿Qué se está evaluando ahí?
02
El ángulo del cono
COMP2
En esféricas, la condición $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ con $z\ge 0$ limita $\varphi$ . ¿Hasta qué ángulo, en grados?
Tu respuesta al paso 2en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
El volumen sale $\frac{8\pi}{3}\bigl(2-\sqrt2\bigr)$ . ¿Cuánto vale con cuatro decimales?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El sólido es un cono de helado: la esfera de radio 2 recortada por el cono, y solo la mitad de arriba.
2. a) En cilíndricas, $\rho$ va de 0 a $\sqrt2$ y $z$ del cono $z=\rho$ a la esfera $z=\sqrt{4-\rho^{2}}$ .
3. b) En esféricas, $r\in[0,2]$ , $\varphi\in[0,\pi/4]$ , $\theta\in[0,2\pi]$ : los tres constantes.
4. c) Conviene el b), porque la integral se separa en tres factores independientes.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cuarta evaluación · 2016-2017

Reconocer el camino

La primera ecuación

La primera componente del gradiente

La velocidad hacia (1,1)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El ángulo del cono

El volumen

Justificar el argumento