tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · cuarta evaluación

Cuarta evaluación · 2023-2024

25 de marzo de 2024 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

La temperatura de una habitación, y la moscaFunciones reales de varias variables reales1 + 6 + 3 = 10 pts
La temperatura de una habitación viene determinada por la función $T(x,y) = \dfrac{2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}}$ donde $T$ se mide en °C y $x$ e $y$ en m. Sea el punto $P(1,2)$ .

a) Partiendo del punto $P$ , ¿qué curva habrá que seguir para que el valor de la temperatura no cambie?

b) ¿En qué dirección debe moverse una mosca que está en el punto $P$ para enfriarse lo antes posible?

c) ¿En qué punto se obtiene la temperatura máxima? Calcular dicho valor.

d) ¿Cuál es el valor máximo de cambio de temperatura en el punto $P$ ?

e) Si una mosca que se encuentra en el punto $P$ sigue la dirección de la recta $y = x-3$ , ¿se calentaría o se enfriaría?, ¿a qué velocidad?
La curva isoterma, la dirección de enfriamiento, el máximo y las dos velocidades.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cambiar el orden en una integral partida en dosIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la integral
$\int_{0}^{2}\left(\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} 2x^{2}y\;dx\right)dy \;+\; \int_{2}^{4}\left(\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}} 2x^{2}y\;dx\right)dy$
a) Dibujar el dominio de integración. b) Cambiar el orden de integración y calcular la integral resultante.
El dibujo del dominio y la integral en el otro orden.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cono elíptico, y plantear sin calcularIntegral múltiple0 + 5 + 5 = 10 pts
Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $\dfrac{y^{2}}{9}+\dfrac{z^{2}}{4}\le x^{2}$ , $-1\le x\le 2$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Sabiendo que la densidad en cada punto de $S$ es $f(x,y,z)=k$ , plantear (funciones y límites de integración), utilizando las coordenadas más adecuadas, las fórmulas para el cálculo del centro de gravedad de $S$ .
El dibujo del sólido y el planteamiento del centro de gravedad.
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación, 25 de marzo de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La temperatura de una habitación, y la mosca

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La temperatura de una habitación viene determinada por la función $T(x,y) = \dfrac{2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}}$ donde $T$ se mide en °C y $x$ e $y$ en m. Sea el punto $P(1,2)$ .

a) Partiendo del punto $P$ , ¿qué curva habrá que seguir para que el valor de la temperatura no cambie?

b) ¿En qué dirección debe moverse una mosca que está en el punto $P$ para enfriarse lo antes posible?

c) ¿En qué punto se obtiene la temperatura máxima? Calcular dicho valor.

d) ¿Cuál es el valor máximo de cambio de temperatura en el punto $P$ ?

e) Si una mosca que se encuentra en el punto $P$ sigue la dirección de la recta $y = x-3$ , ¿se calentaría o se enfriaría?, ¿a qué velocidad?

La curva isoterma, la dirección de enfriamiento, el máximo y las dos velocidades.

01
Reconocer el camino
COMP1
La temperatura solo depende de $x^{2}+y^{2}$ . ¿Qué forma tienen sus curvas de nivel?
02
La temperatura máxima
COMP2
$T$ es mayor cuanto menor sea el denominador. ¿Cuál es el valor máximo de la temperatura?
Tu respuesta al paso 2un número, en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor máximo de cambio en P
COMP2
Con $\nabla T(1,2) = -\dfrac{2}{6^{3/2}}(1,2)$ , ¿cuánto vale su módulo?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad siguiendo la recta
COMP2
La recta $y=x-3$ tiene dirección $(1,1)$ . ¿Cuánto vale la derivada direccional de $T$ en $P$ en esa dirección?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $T$ solo depende de $x^{2}+y^{2}$ , así que la isoterma por $P$ es la circunferencia $x^{2}+y^{2}=5$ .
2. b) Para enfriarse hay que seguir $-\nabla T$ , que apunta alejándose del origen: dirección $(1,2)$ .
3. c) El máximo está en el origen y vale 2 °C.
4. d) La velocidad máxima de cambio en $P$ es $\lVert\nabla T\rVert \approx 0{,}304$ °C/m.

Resolución completa

La función tiene simetría radial, y verlo antes de derivar contesta medio ejercicio.

T(x,y) = \frac{2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}}

solo depende de la distancia al origen. Así que es máxima en el origen y decrece hacia afuera, con curvas de nivel circulares.

a) La isoterma por $P$ . Como $T$ es constante sobre circunferencias centradas en el origen, y $P(1,2)$ está a distancia $\sqrt5$ :

x^{2}+y^{2} = 5

b) Enfriarse cuanto antes. El gradiente es

\nabla T = \frac{-2\,(x,y)}{\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{3/2}} \qquad\Longrightarrow\qquad \nabla T(1,2) = \frac{-2}{6^{3/2}}\,(1,2)

que apunta hacia el origen. Para enfriarse hay que ir en sentido contrario: dirección $(1,2)$ , alejándose.

c) El máximo: en el origen, $T(0,0) = 2$ °C.

d) El valor máximo de cambio en $P$ es el módulo del gradiente:

\lVert\nabla T(1,2)\rVert = \frac{2\sqrt5}{6^{3/2}} = \frac{\sqrt5}{3\sqrt6} \approx 0{,}304\ \text{°C/m}

e) Siguiendo la recta $y=x-3$ , cuya dirección es $(1,1)$ :

D_{\vec u}T(1,2) = \frac{\nabla T\cdot(1,1)}{\sqrt2} = -\frac{1}{2\sqrt3} \approx -0{,}289

\boxed{\;\text{Se enfriaría, a unos } 0{,}29\ \text{°C/m}\;}

El apartado e) tiene dos respuestas y las dos puntúan. «Se enfriaría» es el signo, y « $0{,}29$ °C/m» es el número. Dar solo el número deja la pregunta a medias, y esa mitad es COMP4.

Y un detalle que conviene notar: la recta $y=x-3$ no pasa por $P$ —en $x=1$ vale $y=-2$ , no 2—. No es un error del enunciado: lo que da es solo la dirección en la que la mosca se mueve, y de una recta lo único que se usa aquí es su vector director, $(1,1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación, 25 de marzo de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cambiar el orden en una integral partida en dos

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la integral

\int_{0}^{2}\left(\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} 2x^{2}y\;dx\right)dy \;+\; \int_{2}^{4}\left(\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}} 2x^{2}y\;dx\right)dy

a) Dibujar el dominio de integración. b) Cambiar el orden de integración y calcular la integral resultante.

El dibujo del dominio y la integral en el otro orden.

01
Reconocer el camino
COMP1
La integral viene partida en dos. ¿Qué suele significar eso?
02
Dónde se juntan los dos trozos
COMP2
En $y=2$ , las dos descripciones tienen que coincidir. ¿Cuánto vale $\sqrt{y}$ ahí?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (√2) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La integral en el nuevo orden
COMP2
Invertida, la integral es $\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\int_{x^{2}}^{4-x^{2}} 2x^{2}y\;dy\,dx$ , y vale $\frac{128\sqrt2}{15}$ . ¿Cuánto es con cuatro decimales?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Los bordes son las parábolas $y=x^{2}$ (abajo) e $y=4-x^{2}$ (arriba), que se cortan en $x=\pm\sqrt2$ .
2. La partición en $y=2$ existe porque en el orden $dx\,dy$ la tapa lateral cambia de parábola a esa altura.
3. b) Al invertir, la región se describe de una sola vez: $x$ de $-\sqrt2$ a $\sqrt2$ , $y$ de $x^{2}$ a $4-x^{2}$ .
4. El integrando es par en $x$ , así que se puede integrar de 0 a $\sqrt2$ y duplicar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación, 25 de marzo de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cono elíptico, y plantear sin calcular

COMP 25 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $\dfrac{y^{2}}{9}+\dfrac{z^{2}}{4}\le x^{2}$ , $-1\le x\le 2$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Sabiendo que la densidad en cada punto de $S$ es $f(x,y,z)=k$ , plantear (funciones y límites de integración), utilizando las coordenadas más adecuadas, las fórmulas para el cálculo del centro de gravedad de $S$ .

El dibujo del sólido y el planteamiento del centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
El reparto de este ejercicio es COMP2 5 y COMP4 5, y el apartado b) dice «plantear». ¿Qué se está evaluando?
02
El jacobiano del cambio
COMP2
Con $y = 3\rho\cos\theta$ y $z = 2\rho\,\text{sen}\,\theta$ —cilíndricas generalizadas alrededor del eje $X$ —, ¿cuánto vale el jacobiano, como coeficiente que multiplica a $\rho$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Son dos conos elípticos unidos por el vértice en el origen: uno de $x=-1$ a 0 y otro de 0 a 2.
2. b) Con $y=3\rho\cos\theta$ y $z=2\rho\,\text{sen}\,\theta$ , la condición pasa a ser $\rho\le|x|$ y el jacobiano es $6\rho$ .
3. Los límites son $x\in[-1,2]$ , $\rho\in[0,|x|]$ , $\theta\in[0,2\pi]$ .
4. Por simetría en $y$ y en $z$ , las coordenadas $\overline{y}$ y $\overline{z}$ del centro valen 0.

Resolución completa

a) El sólido. La condición $\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}\le x^{2}$ es un cono elíptico con eje el eje $X$ y vértice en el origen: al cortar por un $x$ fijo sale la elipse de semiejes $3|x|$ y $2|x|$ , que crece al alejarse del origen.

Como $x$ va de $-1$ a $2$ , son dos conos unidos por el vértice: uno corto hacia atrás y otro el doble de largo hacia delante.

b) El planteamiento, que es lo que se pide.

Las coordenadas más adecuadas son cilíndricas generalizadas alrededor del eje $X$ , con los semiejes metidos en el cambio:

y = 3\rho\cos\theta, \qquad z = 2\rho\,\text{sen}\,\theta, \qquad x = x, \qquad J = 6\rho

Con eso la condición se vuelve $\rho\le|x|$ , y los límites quedan constantes salvo uno:

x\in[-1,2], \qquad \rho\in\bigl[0,|x|\bigr], \qquad \theta\in[0,2\pi]

La masa:

M = k\int_{-1}^{2}\!\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{|x|} 6\rho\;d\rho\,d\theta\,dx

Y las tres coordenadas del centro:

\overline{x} = \frac{1}{M}\,k\!\int_{-1}^{2}\!\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{|x|}\! x\;6\rho\;d\rho\,d\theta\,dx

\overline{y} = 0, \qquad \overline{z} = 0 \qquad\text{por simetría}

Decir eso último justificado vale tanto como plantear las integrales, y ahorra dos de las cuatro.

La comprobación, aunque el enunciado no la pida. Si se calculan las integrales sale $M = 18\pi k$ y momento $22{,}5\pi k$ , o sea $\overline{x} = 5/4$ . Está entre $-1$ y $2$ y desplazado hacia el cono grande, que es exactamente donde tiene que caer. Hacer esta comprobación mental —sin integrar— y decir «el centro estará en el eje $X$ , entre 0 y 2, más cerca de 2 que de 0» es una frase que suma en COMP4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cuarta evaluación · 2023-2024

Reconocer el camino

La temperatura máxima

El valor máximo de cambio en P

La velocidad siguiendo la recta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se juntan los dos trozos

La integral en el nuevo orden

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El jacobiano del cambio

Justificar el argumento