tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · cuarta evaluación

Cuarta evaluación · 2020-2021

29 de marzo de 2021 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El sólido entre un cilindro, una esfera y un paraboloideIntegral múltiple0 + 8 + 2 = 10 pts
Calcular el volumen del sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\ge 4$ , $x^{2}+y^{2}\le 16-z$ , $z\ge -\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}$ .
El volumen del sólido.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una región entre recta y parábola, y su centro de gravedadIntegral múltiple0 + 8 + 2 = 10 pts
Sea la integral $\displaystyle\int_{0}^{1}\left(\int_{3x}^{4-x^{2}} dy\right)dx$ .

a) Dibujar el dominio de integración $D$ . b) Cambiar el orden de integración. c) Sea $f(x,y)=k$ (constante) la densidad en cada punto del dominio $D$ . Calcular el centro de gravedad de $D$ .
El dibujo, la integral invertida y el centro de gravedad.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El área de una curva cerrada, con una integral de líneaIntegral curvilínea1 + 8 + 1 = 10 pts
Calcular el área limitada por la curva cerrada $x = \text{sen}\,t\,\cos t$ , $y = \text{sen}\,t$ , con $0\le t\le\pi$ , que se muestra en la figura.

Ayuda: calcular el trabajo realizado por el campo vectorial $V = (-y,\,x)$ a lo largo de la curva cerrada.
El área encerrada por la curva.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Cuarta evaluación (segundo parcial), 29 de marzo de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El sólido entre un cilindro, una esfera y un paraboloide

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el volumen del sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\ge 4$ , $x^{2}+y^{2}\le 16-z$ , $z\ge -\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}$ .

El volumen del sólido.

01
Reconocer el camino
COMP1
La primera condición es $x^{2}+y^{2}\ge 4$ , con el signo hacia fuera. ¿Qué describe?
02
Hasta dónde llega el sólido
COMP2
La tapa de abajo es la semiesfera $z=-\sqrt{16-\rho^{2}}$ y la de arriba el paraboloide $z=16-\rho^{2}$ . ¿Para qué valor de $\rho$ se juntan?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
El volumen sale $2\pi\bigl(36+8\sqrt3\bigr)$ . ¿Cuánto vale con dos decimales?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El sólido es una rosquilla: hay un cilindro vacío de radio 2 en el eje.
2. La tapa de arriba es el paraboloide $z=16-\rho^{2}$ y la de abajo la semiesfera inferior de radio 4.
3. Las dos se juntan en $\rho=4$ , así que $\rho$ va de 2 a 4.
4. La altura en cada punto es la suma $\left(16-\rho^{2}\right)+\sqrt{16-\rho^{2}}$ , porque la tapa de abajo es negativa.

Resolución completa

El sólido es una rosquilla, y verlo es lo primero.

condición	qué dice
$x^{2}+y^{2}\ge 4$	fuera de un cilindro de radio 2: hay un agujero
$x^{2}+y^{2}\le 16-z$	por debajo del paraboloide $z=16-\rho^{2}$
$z\ge -\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}$	por encima de la semiesfera inferior de radio 4

Los límites. La semiesfera solo existe hasta $\rho=4$ , y ahí el paraboloide también vale 0: las dos tapas se juntan en el borde. Así que

\rho\in[2,4], \qquad \theta\in[0,2\pi]

La altura en cada punto, con cuidado con el signo de la tapa inferior:

h(\rho) = \bigl(16-\rho^{2}\bigr) - \Bigl(-\sqrt{16-\rho^{2}}\Bigr) = \bigl(16-\rho^{2}\bigr) + \sqrt{16-\rho^{2}}

El volumen, partido en dos integrales que se hacen distinto:

V = 2\pi\underbrace{\int_{2}^{4}\bigl(16\rho-\rho^{3}\bigr)d\rho}_{36} \;+\; 2\pi\underbrace{\int_{2}^{4}\rho\sqrt{16-\rho^{2}}\,d\rho}_{8\sqrt3}

La segunda sale con el cambio $u = 16-\rho^{2}$ , que es el que pide cualquier raíz de esa forma.

\boxed{\;V = 72\pi + 16\sqrt3\,\pi \approx 313{,}26\;}

La comprobación de plausibilidad. El sólido cabe holgadamente en un cilindro de radio 4 y altura 16, o sea $256\pi\approx 804$ . Sale 313, algo más de un tercio: razonable para algo que se estrecha por arriba y tiene un agujero en el centro. ✓

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Cuarta evaluación (segundo parcial), 29 de marzo de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una región entre recta y parábola, y su centro de gravedad

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la integral $\displaystyle\int_{0}^{1}\left(\int_{3x}^{4-x^{2}} dy\right)dx$ .

a) Dibujar el dominio de integración $D$ . b) Cambiar el orden de integración. c) Sea $f(x,y)=k$ (constante) la densidad en cada punto del dominio $D$ . Calcular el centro de gravedad de $D$ .

El dibujo, la integral invertida y el centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
El integrando es 1. ¿Qué representa entonces la integral?
02
Dónde se cortan las dos curvas
COMP2
Igualando $3x = 4-x^{2}$ , ¿cuál es la raíz positiva?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
Integrando $\int_{0}^{1}(4-x^{2}-3x)\,dx$ , ¿cuánto vale el área?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (13/6) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La abscisa del centro de gravedad
COMP2
El momento respecto del eje $Y$ vale $\frac{3}{4}$ . Con área $\frac{13}{6}$ , ¿cuánto vale $\overline{x}$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta (9/26) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La región está entre la recta $y=3x$ (abajo) y la parábola $y=4-x^{2}$ (arriba), de $x=0$ a $x=1$ , y sus vértices son $(0,0)$ , $(0,4)$ y $(1,3)$ .
2. b) Al invertir hay que partirla en dos, porque la frontera derecha cambia de la recta a la parábola en $y=3$ .
3. b) Queda $\int_{0}^{3}\int_{0}^{y/3}dx\,dy + \int_{3}^{4}\int_{0}^{\sqrt{4-y}}dx\,dy$ .
4. c) Con densidad constante la $k$ se cancela y el centro es puramente geométrico.

Resolución completa

a) El dominio. Entre la recta $y=3x$ y la parábola $y=4-x^{2}$ , con $x$ de 0 a 1. Se cortan en $x=1$ , donde las dos valen 3, así que los vértices son

(0,0),\qquad (0,4),\qquad (1,3)

un triángulo curvo con el lado derecho en punta.

b) Invertir el orden. Barriendo con tiras horizontales la frontera derecha cambia a media altura, así que hay que partir en $y=3$ :

\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{y/3} dx\,dy \;+\; \int_{3}^{4}\!\!\int_{0}^{\sqrt{4-y}} dx\,dy

Comprobación: las dos suman $\frac96 + \frac23 = \frac{13}{6}$ , el mismo valor que la integral original. ✓ Hacer esa comprobación es lo que confirma que la inversión está bien.

c) El centro de gravedad. Con densidad constante la $k$ se cancela y queda el centroide.

A = \frac{13}{6}

\iint_D x\,dA = \int_{0}^{1} x\bigl(4-x^{2}-3x\bigr)dx = \frac34 \qquad\Longrightarrow\qquad \overline{x} = \frac{3/4}{13/6} = \frac{9}{26} \approx 0{,}346

\iint_D y\,dA = \frac12\int_{0}^{1}\Bigl[\bigl(4-x^{2}\bigr)^{2}-9x^{2}\Bigr]dx = \frac{79}{15} \qquad\Longrightarrow\qquad \overline{y} = \frac{79/15}{13/6} = \frac{158}{65} \approx 2{,}431

\boxed{\;G = \left(\tfrac{9}{26},\ \tfrac{158}{65}\right) \approx (0{,}35;\ 2{,}43)\;}

El control de plausibilidad. El recinto ocupa $x\in[0,1]$ e $y\in[0,4]$ , y está claramente cargado hacia arriba y hacia la izquierda: la tira vertical mide 4 en $x=0$ y se reduce a 0 en $x=1$ . Un centro en $(0{,}35;\,2{,}43)$ encaja. Si hubiera salido $x>0{,}5$ habría que volver atrás.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Cuarta evaluación (segundo parcial), 29 de marzo de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · Figura redibujada en SVG a partir de la parametrización del enunciado, porque las figuras de terceros se redibujan y no se recortan. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El área de una curva cerrada, con una integral de línea

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el área limitada por la curva cerrada $x = \text{sen}\,t\,\cos t$ , $y = \text{sen}\,t$ , con $0\le t\le\pi$ , que se muestra en la figura.

Ayuda: calcular el trabajo realizado por el campo vectorial $V = (-y,\,x)$ a lo largo de la curva cerrada.

El área encerrada por la curva.

01
Reconocer el camino
COMP1
La ayuda propone calcular el trabajo de $V=(-y,x)$ . ¿Por qué ese campo y no otro?
02
El integrando de Green
COMP2
Para $V=(-y,\,x)$ , ¿cuánto vale $\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
Sustituyendo la parametrización, el integrando se simplifica a $\text{sen}^{3}t$ y el área queda $\frac12\int_{0}^{\pi}\text{sen}^{3}t\,dt$ . ¿Cuánto vale?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (2/3) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $V=(-y,x)$ , Green da $\oint = \iint 2\,dA = 2A$ , luego $A = \frac12\oint(x\,dy-y\,dx)$ .
2. Sustituyendo $x=\frac12\text{sen}\,2t$ e $y=\text{sen}\,t$ , sale $x\,dy - y\,dx = \text{sen}^{3}t\,dt$ .
3. Integrando de 0 a $\pi$ y tomando la mitad, $A = \frac23$ .
4. La curva es cerrada porque en $t=0$ y en $t=\pi$ vuelve al origen.

Resolución completa

La ayuda del enunciado es el ejercicio entero, y entenderla es el punto de COMP1.

En t=0 y en t=π la curva está en el mismo punto, el origen. Eso es lo que la hace cerrada, y sin eso la ayuda del enunciado no serviría.

Por qué ese campo. Con $V=(-y,\,x)$ :

\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 1-(-1) = 2

constante, así que Green convierte la integral de línea en dos veces el área:

\oint_C -y\,dx + x\,dy = \iint_D 2\,dA = 2A \qquad\Longrightarrow\qquad A = \frac12\oint_C \bigl(x\,dy - y\,dx\bigr)

Sustituyendo la parametrización. Con $x = \text{sen}\,t\cos t = \frac12\text{sen}\,2t$ e $y=\text{sen}\,t$ :

dx = \cos 2t\;dt, \qquad dy = \cos t\;dt

x\,dy - y\,dx = \text{sen}\,t\cos^{2}t - \text{sen}\,t\cos 2t = \text{sen}\,t\bigl(\cos^{2}t - \cos 2t\bigr)

Y usando $\cos 2t = 2\cos^{2}t-1$ , el paréntesis se colapsa:

\cos^{2}t - \bigl(2\cos^{2}t-1\bigr) = 1-\cos^{2}t = \text{sen}^{2}t

x\,dy - y\,dx = \text{sen}^{3}t\;dt

El área:

A = \frac12\int_{0}^{\pi}\text{sen}^{3}t\;dt = \frac12\cdot\frac43 = \boxed{\frac23}

Lo que hace especial a este ejercicio es que mide un área sin integrar sobre la región. El recinto tiene una forma incómoda de describir con límites, pero su borde está parametrizado desde el enunciado: recorrer el borde sale gratis y el interior habría costado mucho. Es el sentido de Green leído del revés.

Y fíjate en que el enunciado da la ayuda. Sin ella, el ejercicio de COMP1 sería reconocer que hace falta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cuarta evaluación · 2020-2021

Reconocer el camino

Hasta dónde llega el sólido

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se cortan las dos curvas

El área

La abscisa del centro de gravedad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El integrando de Green

El área

Justificar el argumento