Cálculo · tema 11

Introducción al análisis de Fourier

Descomponer una función periódica en senos y cosenos. Paridad, Dirichlet en los saltos, y cómo sumar una serie numérica evaluando la serie de Fourier.

Taylor, en el tema 4, aproximaba una función con potencias: $1$ , $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ . Funcionaba muy bien cerca de un punto y cada vez peor al alejarse.

Fourier hace lo mismo con otras piezas: senos y cosenos. Y eso cambia dos cosas de golpe. La aproximación ya no es local —vale en todo el periodo— y sirve para funciones que a Taylor le sientan fatal: las que tienen esquinas y saltos, que es como son casi todas las señales reales.

S(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{2\pi n t}{T} + b_n\,\text{sen}\,\frac{2\pi n t}{T}\right)

Los coeficientes son integrales sobre un periodo:

a_n = \frac{2}{T}\int_{T} f(t)\cos\frac{2\pi n t}{T}\,dt, \qquad b_n = \frac{2}{T}\int_{T} f(t)\,\text{sen}\,\frac{2\pi n t}{T}\,dt

Y el examen, todos los años, pide lo mismo en el mismo orden: dibuja la función, calcula la serie, evalúa $S(t)$ en unos puntos, y de ahí saca la suma de una serie numérica. Ese último apartado es el que sorprende, y es el más bonito.

Mirar la paridad antes de integrar

El primer movimiento no es integrar: es mirar si la función es par o impar, porque eso mata la mitad de los coeficientes sin hacer ninguna cuenta.

la función es…	qué pasa	qué queda
par ( $f(-t)=f(t)$ )	todos los $b_n = 0$	serie de cosenos
impar ( $f(-t)=-f(t)$ )	todos los $a_n = 0$ , también $a_0$	serie de senos
ninguna de las dos	hay que calcular los dos	serie completa

La razón es que integrar una función impar sobre un intervalo simétrico da cero, y el producto de una par por una impar es impar.

Ahorra literalmente la mitad del ejercicio, y decirlo justificado —«como $f$ es impar, $a_n = 0$ para todo $n$ »— es una respuesta que puntúa en COMP4 tanto como la integral que te has ahorrado.

Calcular integrales que valen cero por simetría

Si $f(t)=t$ en $(-\pi,\pi)$ es impar, los $a_n$ valen cero todos, y ponerse a integrar $t\cos nt$ por partes es tirar diez minutos de examen — y arriesgarse a equivocarse en algo que se sabía nulo de antemano.

Y ojo con el caso inverso, que es peor: si la función no es par ni impar y das por nulos unos coeficientes «por simetría», la serie sale mal entera. La comprobación es rápida: sustituye $-t$ y mira qué sale.

La ampliación: cuando solo te dan media función

Cuatro de los diez exámenes de este tema empiezan por un apartado que no es calcular nada: «obtener la ampliación par —o impar— y periódica de $f(t)$ », y a continuación «dibujarla». Vale uno o dos puntos y decide el resto, porque la serie que hay que calcular es la de la función ampliada, no la del trozo que te dan.

La situación es siempre la misma: el enunciado define $f$ solo en $(0,\pi)$ —o en $(0,L)$ — y hay que rellenar el resto eligiendo tú la simetría:

ampliación par: se refleja como en un espejo, $F(-t)=F(t)$ . Sale una serie de cosenos.
ampliación impar: se refleja y se cambia el signo, $F(-t)=-F(t)$ . Sale una serie de senos.

Y una vez cubierto un periodo entero, se copia a izquierda y derecha indefinidamente. Eso es la parte «y periódica» del enunciado, y es la que más se olvida al dibujar.

El trozo continuo es lo que da el enunciado; el de trazos, lo que pones tú. La par no salta nunca en el origen y la impar sí lo hace en los extremos —y ahí es donde luego entra Dirichlet.

Qué se gana con cada una. Ninguna es «la correcta»: se usa la que pida el enunciado. Pero conviene ver el precio. La par no introduce ningún salto en el origen, así que su serie converge a la función en más puntos. La impar sí salta en $\pm\pi$ —y en $0$ , si $f(0^{+})\ne0$ —, y esos saltos son precisamente los puntos que después te piden evaluar.

Ampliar y luego integrar sobre el intervalo entero

Después de ampliar, la función está definida en $(-\pi,\pi)$ y da la sensación de que hay que integrar ahí. Se puede, pero es el doble de trabajo: la ampliación se hizo precisamente para que la simetría anule la mitad de los coeficientes, y para los que sobreviven basta con integrar en medio periodo y duplicar.

\text{ampliación par:}\quad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)\cos\frac{n\pi t}{L}\,dt, \qquad b_n=0

Es decir: integras solo sobre lo que el enunciado te dio, y nunca sobre el espejo. Si te ves sustituyendo la fórmula del trozo reflejado, has ampliado dos veces.

Los coeficientes, con el periodo que toque

La parte larga del ejercicio, y donde se pierde el tiempo. Dos cosas la ordenan.

Y una palabra que algún enunciado usa sin explicar: el espectro. El espectro de la señal es la lista de las amplitudes de sus armónicos —el tamaño de cada $b_n$ , o $\sqrt{a_n^{2}+b_n^{2}}$ cuando hay de los dos— dibujada como un diagrama de barras contra $n$ . No hay que calcular nada nuevo: son los coeficientes que ya tienes, puestos en un gráfico. «Dibujar el espectro» es «dibujar una barra de altura $\lvert b_n\rvert$ sobre cada $n$ », y en las series que caen esas alturas decrecen como $\frac1n$ o $\frac{1}{n^2}$ — que es la forma de ver de un vistazo la velocidad de convergencia de la serie: cuanto antes se aplastan las barras, menos términos hacen falta.

Primera: casi siempre es una integración por partes, porque el integrando es un polinomio por un seno o un coseno. Y al evaluar en los extremos aparecen siempre las mismas dos simplificaciones, que conviene tener automatizadas:

\operatorname{sen}(n\pi)=0, \qquad \cos(n\pi)=(-1)^{n}

El caso de siempre, hecho. $f(t)=t$ en $(-\pi,\pi)$ , periodo $2\pi$ . Es impar, así que $a_n=0$ y solo hay que calcular los $b_n$ :

b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t\operatorname{sen}(nt)\,dt =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\operatorname{sen}(nt)\,dt

Por partes, con $u=t$ y $dv=\operatorname{sen}(nt)\,dt$ :

\int_{0}^{\pi}t\operatorname{sen}(nt)\,dt =\left[\frac{-t\cos(nt)}{n}\right]_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nt)\,dt =\frac{-\pi(-1)^{n}}{n}+0

La segunda integral se anula por $\operatorname{sen}(n\pi)=0$ , y en la primera el $\cos(n\pi)$ se convierte en $(-1)^{n}$ . De ahí

b_n=\frac{2(-1)^{n+1}}{n} \qquad\Longrightarrow\qquad S(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\operatorname{sen}(nt)

Segunda: el periodo no siempre es $2\pi$ . En la convocatoria de 2024-2025 la función tenía periodo $T=4$ , y ahí la fórmula general deja de poder copiarse de memoria:

a_n=\frac{2}{T}\int_{T}f(t)\cos\frac{2\pi n t}{T}\,dt \;\xrightarrow{\;T=4\;}\; a_n=\frac{1}{2}\int_{0}^{4}f(t)\cos\frac{n\pi t}{2}\,dt

Es el sitio donde más gente se equivoca del tema entero: se escribe $\cos(nt)$ por costumbre y toda la serie sale mal sin que nada avise. Antes de integrar, escribe $T$ en un lado del papel.

Dirichlet: a qué converge la serie donde la función salta

Aquí está la pregunta que más se falla, y es conceptual, no de cálculo.

La serie de Fourier no siempre vale lo que vale la función. En los puntos donde $f$ es continua, sí. Pero en un salto, la serie no elige un lado: se queda exactamente en medio.

S(t_0) = \frac{f(t_0^-) + f(t_0^+)}{2}

En un salto, S(t₀) no vale ni lo de la izquierda ni lo de la derecha, ni siquiera lo que valga f ahí definido. Vale la media de los dos límites laterales.

Y hay un detalle que se pregunta con mala idea: la serie es periódica, así que para evaluar $S(2001\pi)$ no hace falta nada raro. Se reduce el argumento al periodo básico y se mira si ese punto es de continuidad o de salto.

Reducir el argumento, que es lo primero

Ocho de los diez exámenes de este tema traen este apartado, y los puntos no se eligen al azar: uno de continuidad, uno de salto, y uno con el argumento enorme para obligarte a reducir. El procedimiento son dos líneas siempre:

restar múltiplos del periodo hasta caer dentro de un periodo básico;
mirar si ese punto es un salto. Si lo es, media de los dos límites; si no, el valor de la función.

Con $T=2\pi$ —el de 2023-2024—. Para $t=2024\pi$ : como $2024$ es par, $2024\pi$ es un múltiplo exacto de $2\pi$ , así que se reduce a $t=0$ . Y en la ampliación impar el origen es un salto: se llega por la izquierda a $-\pi/2$ y se sale por la derecha a $+\pi/2$ , luego $S=0$ . Para $t=\frac{201\pi}{2}$ : dividiendo entre $2\pi$ salen $50{,}25$ periodos, y ese cuarto de periodo sobrante es $\frac{\pi}{2}$ , donde la función es continua.

Con $T=4$ —el de 2024-2025, y aquí es donde se ve que la reducción no entiende de $\pi$ —:

te piden	restas	caes en	y ahí
$S(-40{,}2)$	$+11\cdot4$	$3{,}8$	continua, vale $1$
$S(20)$	$-5\cdot4$	$0$	salto: media de $1$ y $0$ , o sea $0{,}5$
$S(49{,}5)$	$-12\cdot4$	$1{,}5$	continua, vale $0{,}75$

Fíjate en el del medio: $20$ parece el más fácil de los tres y es el único con trampa, porque cae justo en la costura entre dos periodos.

Contestar S(t₀) = f(t₀) en un salto

Es la trampa clásica y el enunciado la tiende a propósito: te pide $S(0)$ y $f(0)$ en el mismo apartado, precisamente porque son distintos.

Si $f(t)=t$ en $(-\pi,\pi)$ extendida con periodo $2\pi$ , en $t=\pi$ hay un salto de $\pi$ a $-\pi$ . La función puede valer lo que quiera ahí; la serie vale $(\pi + (-\pi))/2 = 0$ .

Que te pidan los dos valores en la misma pregunta es la señal de que no coinciden.

El apartado que sorprende: sumar una serie numérica

Este es el remate de casi todos los ejercicios de examen del tema, y parece magia hasta que se ve el mecanismo.

Tienes una serie de Fourier, que es una igualdad entre una función y una suma infinita. Evalúala en un punto concreto bien elegido y esa igualdad se convierte en una suma numérica con valor conocido.

Por ejemplo, si la serie de una función impar sale

S(t) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\,\text{sen}\,nt

y evalúas en $t = \pi/2$ , los senos valen $1, 0, -1, 0, 1,\dots$ y la igualdad $S(\pi/2) = f(\pi/2)$ te da directamente

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}

que es una suma que por métodos del tema 2 no habrías sabido calcular.

Esa de ahí arriba tiene nombre —la serie de Leibniz— y conviene tenerla reconocida, porque es la que más veces remata un ejercicio de examen:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}

Ojo con el signo, que es donde se pierde el punto: si el enunciado escribe $(-1)^{n+1}$ en vez de $(-1)^{n}$ , todos los términos cambian y la suma es $-\frac{\pi}{4}$ . Con $n=0$ , el primer término es $-1$ y no $+1$ : comprobarlo tarda tres segundos.

Y las otras dos que salen del mismo mecanismo, cada una de su función:

serie	vale	de dónde sale
$\sum_{n\ge0} \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}$	$\dfrac{\pi}{4}$	una impar cualquiera, evaluada en $t=\pi/2$
$\sum_{n\ge0} \dfrac{1}{(2n+1)^{2}}$	$\dfrac{\pi^{2}}{8}$	la ampliación par de $t$ , o sea $\lvert t\rvert$ , en $t=0$
$\sum_{n\ge1} \dfrac{1}{n^{2}}$	$\dfrac{\pi^{2}}{6}$	la ampliación par de $t^{2}$ , en $t=\pi$

Las tres están comprobadas sumando cuatro millones de términos y evaluando la serie de Fourier correspondiente, porque el sitio equivocado da el resultado equivocado sin que nada avise: $\lvert t\rvert$ en $t=0$ no da $\frac{\pi^{2}}{6}$ sino $\frac{\pi^{2}}{8}$ , y hace falta $t^{2}$ para la otra.

Y una que no sale de aquí, aunque se le parezca: la armónica alternada $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$ sale del desarrollo de $\ln(1+x)$ en $x=1$ , que es del tema 4. Si un enunciado la pide, el camino es Taylor y no Fourier.

Como fórmulas para calcular $\pi$ son pésimas —la de Leibniz necesita cuatro millones de términos para seis decimales—; como resultados, son de los que justifican el tema entero.

Cómo se elige el punto, que es lo único con dificultad:

Si quieres que sobrevivan los términos impares, evalúa donde los pares se anulen — típicamente $t = \pi/2$ .
Si quieres todos los términos, evalúa en un punto donde el seno o el coseno valgan 1.
Y cuidado: si el punto elegido es un salto, el lado izquierdo de la igualdad no es $f(t_0)$ sino la media de Dirichlet.

Lo que hay que llevar sabido

pregunta del enunciado	qué hacer
«obtener la serie de Fourier»	mira la paridad antes de integrar
$f$ par	solo cosenos: $b_n=0$
$f$ impar	solo senos: $a_n=0$ y $a_0=0$
«calcular $S(t_0)$ y $f(t_0)$ »	señal de salto: aplica Dirichlet
« $S(2001\pi)$ »	reduce al periodo básico primero
«calcular la suma de la serie…»	evalúa la serie de Fourier en un punto
«extensión par de $f$ »	refleja como un espejo; sale serie de cosenos
«extensión impar»	refleja y cambia el signo; serie de senos
«y periódica»	después de ampliar, copia el periodo a los dos lados
el periodo no es $2\pi$	escribe $T$ aparte antes de integrar; el argumento es $\frac{2\pi n t}{T}$
al evaluar en los extremos	$\operatorname{sen}(n\pi)=0$ y $\cos(n\pi)=(-1)^{n}$

Y las tres frases de COMP4:

La paridad anula la mitad de los coeficientes, y decirlo justificado vale tanto como calcularlos.
En un salto, la serie converge a la media de los límites laterales, no al valor de la función.
La serie de Fourier es periódica aunque la fórmula de $f$ solo esté dada en un intervalo.

Practica lo que acabas de leer

La paridad, que ahorra la mitad del trabajo

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La paridad, que ahorra la mitad del trabajo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Decidir, sin calcular ninguna integral, qué coeficientes de Fourier se anulan para cada una de estas funciones periódicas de periodo $2\pi$ :

a) $f(t) = t^{2}$ en $(-\pi,\pi)$ b) $g(t) = t^{3}$ en $(-\pi,\pi)$

Qué coeficientes son nulos en cada caso, y por qué.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se comprueba si una función es par o impar?
02
El valor de la función reflejada
COMP2
Para $g(t)=t^{3}$ , ¿cuánto vale $g(-2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $f(-t)=(-t)^{2}=t^{2}=f(t)$ , luego $f$ es par.
2. Por tanto todos los $b_n$ valen 0 y la serie es de cosenos.
3. b) $g(-t)=(-t)^{3}=-t^{3}=-g(t)$ , luego $g$ es impar.
4. Por tanto todos los $a_n$ valen 0, incluido $a_0$ , y la serie es de senos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

A qué converge la serie en un salto

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)$ la función periódica de periodo 2 definida por $f(t) = -1$ si $-1<t<0$ y $f(t)=1$ si $0<t<1$ . Calcular el valor de su serie de Fourier $S(t)$ en $t=0$ y en $t=0{,}5$ .

Los valores S(0) y S(0,5).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice el teorema de Dirichlet en un punto donde la función salta?
02
El valor en el salto
COMP2
En $t=0$ la función pasa de $-1$ a $1$ . ¿Cuánto vale $S(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $t=0$ hay un salto: por la izquierda $-1$ , por la derecha $1$ .
2. Dirichlet dice que $S(0)$ es la media, o sea 0.
3. En $t=0{,}5$ la función es continua y vale 1.
4. Luego $S(0{,}5) = 1$ , porque en los puntos de continuidad serie y función coinciden.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Ampliar media función, y reducir un argumento enorme

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)=t$ definida solo en $(0,\pi)$ . Se construye su ampliación impar y periódica $F(t)$ , de periodo $2\pi$ .

a) ¿Cuánto vale $F$ justo a la izquierda de $\pi$ , y justo a la derecha?

b) ¿A qué punto del periodo básico se reduce $t=41\pi$ ?

Los dos límites laterales en pi, y el punto reducido.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace la ampliación impar con el trozo que da el enunciado?
02
El límite por la derecha en pi
COMP2
¿Cuánto vale $F(\pi^{+})$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Reducir el argumento
COMP2
$t=41\pi$ se reduce a $k\pi$ dentro de $(-\pi,\pi]$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ampliación impar copia $f$ en $(-\pi,0)$ con el signo cambiado, así que $F(t)=t$ en todo $(-\pi,\pi)$ .
2. Después se repite ese periodo indefinidamente, y eso crea un salto en cada múltiplo impar de $\pi$ : se llega a $+\pi$ y se sale de $-\pi$ .
3. $41\pi$ es un múltiplo impar de $\pi$ , así que al reducir cae en $\pi$ , que es uno de esos saltos, y allí $S=0$ .
4. Y hay un atajo que confirma el resultado: como $F$ es impar la serie es $S(t)=\sum b_n\operatorname{sen}(nt)$ , y $\operatorname{sen}(nk\pi)=0$ para todo entero, así que $S$ se anula en todos los múltiplos de $\pi$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un coeficiente calculado, con la integral entera

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para la función de periodo $2\pi$ definida por $f(t) = t$ en $(-\pi,\pi)$ , calcular el coeficiente $b_1$ de su serie de Fourier.

El valor de b₁.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de integrar, ¿qué se sabe de los coeficientes de esta función?
02
El primer coeficiente
COMP2
Con $b_n = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} t\,\text{sen}\,nt\,dt$ , ¿cuánto vale $b_1$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(-t) = -t = -f(t)$ , luego $f$ es impar y $a_n = 0$ para todo $n$ .
2. Queda solo $b_n = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} t\,\text{sen}\,nt\,dt$ .
3. Para $n=1$ , integrando por partes sale $2\pi$ , y dividido entre $\pi$ da $b_1 = 2$ .
4. El integrando $t\,\text{sen}\,t$ es par, así que la integral es el doble de la mitad derecha.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.5 · Problemas complementarios, tema 11 · Cálculo, UPV/EHU (2015/2016 6E)

La serie de f(t)=t, y una suma numérica de regalo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)$ la función periódica de periodo $2\pi$ definida por $f(t) = t$ para $-\pi < t < \pi$ .

a) Dibujar $f(t)$ . b) Obtener su serie de Fourier $S(t)$ . c) Calcular $S(0)$ , $S\left(\frac{121\pi}{2}\right)$ y $S(2001\pi)$ . d) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$ .

El dibujo, la serie, tres valores y la suma numérica.

01
Reconocer el camino
COMP1
$f(t)=t$ en $(-\pi,\pi)$ . ¿Qué se puede decir antes de integrar?
02
El valor en el salto
COMP2
En $t=\pi$ la función salta de $\pi$ (por la izquierda) a $-\pi$ (por la derecha, ya en el periodo siguiente). ¿Cuánto vale $S(\pi)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Reducir el argumento grande
COMP2
$S$ tiene periodo $2\pi$ . ¿A qué punto del intervalo $(-\pi,\pi]$ equivale $\frac{121\pi}{2}$ ? Da la respuesta como múltiplo de $\pi$ , es decir, el número que multiplica a $\pi$ .
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (1/2) o con un decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La gráfica es una diente de sierra: rectas de pendiente 1 que saltan en los múltiplos impares de $\pi$ .
2. b) Como $f$ es impar, $a_n=0$ y la serie es $S(t)=\sum \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\,\text{sen}\,nt$ .
3. c) $S(0)=0$ por continuidad, $S(121\pi/2)=\pi/2$ tras reducir, y $S(2001\pi)=0$ por ser un salto.
4. d) Evaluando la serie en $t=\pi/2$ se obtiene la suma pedida.

Resolución completa

a) La gráfica es una diente de sierra: en cada periodo, la recta $y=t$ subiendo de $-\pi$ a $\pi$ , y después un salto vertical de vuelta abajo. Los saltos están en los múltiplos impares de $\pi$ .

b) La serie. Como $f$ es impar, todos los $a_n$ se anulan —y $a_0$ también— sin calcular nada. Solo quedan los senos:

b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\,\text{sen}\,nt\,dt = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}

S(t) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\,\text{sen}\,nt = 2\left(\text{sen}\,t - \frac{\text{sen}\,2t}{2} + \frac{\text{sen}\,3t}{3} - \cdots\right)

c) Los tres valores, y cada uno ilustra una cosa distinta:

punto	situación	valor
$t=0$	continuidad, $f(0)=0$	$S(0)=0$
$t=\frac{121\pi}{2}$	$=\frac{\pi}{2}+30\cdot 2\pi$ , continuidad	$S = \frac{\pi}{2}$
$t=2001\pi$	múltiplo impar de $\pi$ : salto	$S = 0$

d) La suma de la serie, que es el remate. Evaluando la serie en $t = \pi/2$ , donde $f$ es continua y vale $\pi/2$ :

\frac{\pi}{2} = 2\left(\text{sen}\,\frac{\pi}{2} - \frac{\text{sen}\,\pi}{2} + \frac{\text{sen}\,\frac{3\pi}{2}}{3} - \cdots\right)

Los senos de los múltiplos pares de $\pi/2$ se anulan y los impares valen $1,-1,1,-1,\dots$ , así que queda

\frac{\pi}{2} = 2\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}+\cdots\right)

\boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = \frac{\pi}{4}\;}

Esto es lo que hace especial al tema. Esa suma no se puede calcular con nada del tema 2: los criterios de convergencia dicen que converge, pero no a cuánto. Fourier da el valor exacto, y de propina. El truco está en elegir el punto donde evaluar: $\pi/2$ mata los términos pares y deja justo la serie que se pide.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.8 · Problemas complementarios, tema 11 · Cálculo, UPV/EHU (2017/2018 6E)

La extensión par, y una serie de cuadrados

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(t) = t$ donde $0 \le t < \pi$ .

a) Obtener la extensión par de la función $f(t)$ . b) Representar gráficamente la función extendida. c) Obtener la serie de Fourier $S(t)$ de la función $f(t)$ . d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=\pi$ . e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}$ .

La extensión par, su serie, los valores pedidos y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
La función solo está dada en $[0,\pi)$ . ¿Qué es «extenderla de forma par»?
02
El valor de la extensión a la izquierda
COMP2
Si la extensión es par, ¿cuánto vale la función extendida en $t = -2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La extensión par es $|t|$ en $(-\pi,\pi)$ , extendida con periodo $2\pi$ .
2. b) La gráfica es una sucesión de uves, continua en todas partes.
3. c) Al ser par, $b_n=0$ y la serie es de cosenos, con $a_0/2 = \pi/2$ .
4. d) Como la extensión es continua, $S(0)=f(0)=0$ y $S(\pi)=f(\pi)=\pi$ .

Resolución completa

a) y b) La extensión par. Se refleja el trozo dado como en un espejo:

f_{\text{par}}(t) = |t|, \qquad t\in(-\pi,\pi)

Repetida con periodo $2\pi$ , la gráfica es una sucesión de uves con los vértices en los múltiplos pares de $\pi$ y los picos en los impares. Y —esto importa para el apartado d)— es continua en todas partes, incluidos los picos.

c) La serie. Al ser par, $b_n = 0$ y solo hay cosenos:

\frac{a_0}{2} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\,dt = \frac{\pi}{2}, \qquad a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\cos nt\,dt = \frac{2\,((-1)^{n}-1)}{\pi n^{2}}

Ese numerador vale $0$ si $n$ es par y $-4$ si es impar, así que solo sobreviven los impares:

S(t) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2n-1)t\bigr)}{(2n-1)^{2}}

d) Los valores. La extensión es continua, así que serie y función coinciden en los dos puntos:

S(0)=f(0)=0, \qquad S(\pi)=f(\pi)=\pi

Compáralo con la diente de sierra. Allí la extensión tenía saltos y Dirichlet daba la media; aquí la extensión par los ha eliminado. La misma función de partida, extendida de dos maneras, da comportamientos distintos en los bordes — y el enunciado pide los dos valores precisamente para ver si lo has notado.

e) La suma. Evaluando la serie en $t=0$ , donde $S(0)=0$ y todos los cosenos valen 1:

0 = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}

\boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}} = \frac{\pi^{2}}{8}\;}

Y aquí el punto elegido es el más cómodo posible: en $t=0$ todos los cosenos valen 1 y la serie se queda desnuda.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.2a · Problemas complementarios, tema 11 · Cálculo, UPV/EHU

Cinco puntos, y hay que decidir uno a uno

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t) = t$ para $-1 < t < 1$ , extendida con periodo $T=2$ , y sea $S(t)$ su serie de Fourier. Calcular $S(0)$ , $S(0{,}5)$ , $S(1)$ , $S(2)$ y $S(3{,}5)$ .

Los cinco valores de la serie.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de evaluar en cada punto, ¿qué hay que decidir?
02
Un punto de continuidad
COMP2
En $t=0{,}5$ la función es continua. ¿Cuánto vale $S(0{,}5)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un punto de salto lejano
COMP2
$t=3{,}5$ se reduce restando periodos: $3{,}5 - 2 = 1{,}5$ , y $1{,}5 - 2 = -0{,}5$ . ¿Cuánto vale $S(3{,}5)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los cinco valores. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $S(0)=0$ y $S(0{,}5)=0{,}5$ , los dos por continuidad.
2. $S(1)=0$ , porque en $t=1$ hay un salto de 1 a $-1$ y la media es 0.
3. $S(2)=0$ , porque $2$ se reduce a $0$ , que es continuo y vale 0.
4. $S(3{,}5) = -0{,}5$ , reduciendo dos periodos.

Resolución completa

El procedimiento es el mismo cinco veces: reducir al periodo básico y decidir si allí hay salto.

La función es la diente de sierra: la recta $y=t$ entre $-1$ y $1$ , repetida cada 2. Los saltos están en los enteros impares.

punto	reducido	situación	$S$
$0$	$0$	continuidad	$0$
$0{,}5$	$0{,}5$	continuidad	$0{,}5$
$1$	$1$	salto de $1$ a $-1$	$0$
$2$	$0$	continuidad	$0$
$3{,}5$	$-0{,}5$	continuidad	$-0{,}5$

El error que este ejercicio caza es aplicar $f(t)=t$ fuera de $(-1,1)$ y contestar $S(2)=2$ o $S(3{,}5)=3{,}5$ . La fórmula describe un periodo; la función se repite, y la serie con ella. Reducir primero no es un paso opcional.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.6 · Problemas complementarios, tema 11 · Cálculo, UPV/EHU (2016/2017 6E)

Donde la función no está definida y la serie sí

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función periódica de periodo $2\pi$ dada por $f(t) = -t$ con $t \in (-\pi, \pi)$ .

a) Dibujar $f(t)$ . b) Calcular la serie de Fourier $S(t)$ de la función. c) Calcular $S(0)$ , $f(0)$ , $S(101\pi)$ y $f(101\pi)$ . d) Calcular el valor de la suma $B = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$

La serie, los cuatro valores y la suma B.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado c) pide $S$ y $f$ en los mismos dos puntos. ¿Qué está anunciando?
02
Reducir el argumento grande
COMP2
$101\pi$ se reduce restando múltiplos de $2\pi$ . ¿A qué punto del intervalo $[-\pi,\pi]$ equivale? Da el número que multiplica a $\pi$ .
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $t=0$ la función es continua, así que $S(0)=f(0)=0$ .
2. $101\pi$ se reduce a $\pi$ , que es un punto de salto.
3. Por Dirichlet, $S(101\pi)$ es la media de los laterales $-\pi$ y $\pi$ , o sea 0.
4. Pero $f(101\pi)$ no está definida, porque el enunciado define $f$ solo en el intervalo abierto.

Resolución completa

La respuesta del apartado c) tiene una asimetría que es todo el ejercicio.

b) La serie. $f(t)=-t$ es impar, así que solo hay senos:

S(t) = 2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k}\,\text{sen}(kt)

c) Los cuatro valores:

	valor	por qué
$S(0)$	$0$	continuidad
$f(0)$	$0$	$f(0) = -0$
$S(101\pi)$	$0$	se reduce a $\pi$ , salto, media de $-\pi$ y $\pi$
$f(101\pi)$	no definida	el enunciado define $f$ en el abierto

Esa última fila es la que se falla. La función se da en $(-\pi,\pi)$ , abierto: los extremos no tienen valor. La serie en cambio existe en todos los puntos —es una suma de senos, que están definidos siempre— y allí vale 0.

d) La suma. Evaluando la serie en $t=\pi/2$ , donde $f$ es continua y vale $-\pi/2$ , los senos de los pares se anulan y los impares alternan:

-\frac{\pi}{2} = -2\left(1-\frac13+\frac15-\cdots\right) \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;B = \frac{\pi}{4}\;}

Que una función no esté definida en un punto y su serie sí no es una rareza de examen: es lo normal. La serie de Fourier es una suma de senos y cosenos, funciones continuas todas, y existe en todo $\mathbb{R}$ aunque la función original tenga huecos o saltos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.7 · Problemas complementarios, tema 11 · Cálculo, UPV/EHU (2014/2015 6E)

Una serie que coincide con la función en todas partes

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dada la función periódica $f(t)$ de periodo $\pi$ definida por $f(t) = |t|$ en $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ , se pide:

a) Desarrollar la función en serie de Fourier. b) Estudiar la convergencia de la serie $S(t)$ obtenida.

La serie de Fourier y su convergencia.

01
Reconocer el camino
COMP1
La gráfica es una sucesión de uves pegadas. ¿Qué tiene de especial frente a la diente de sierra?
02
El término constante
COMP2
El valor medio de $|t|$ sobre un periodo es $\frac{a_0}{2}$ . Para $|t|$ en $(-\pi/2,\pi/2)$ ese valor es $\pi/4$ . ¿Cuánto vale con cuatro decimales?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (pi/4) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $|t|$ es par, así que $b_n=0$ y la serie es de cosenos.
2. El término constante es el valor medio, $\pi/4$ .
3. Solo sobreviven los armónicos impares, y la serie es $S(t)=\frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum\frac{\cos[2(2k+1)t]}{(2k+1)^{2}}$ .
4. b) La función es continua en todo $\mathbb{R}$ , así que $S(t)=f(t)$ para todo $t$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.9 · Problemas complementarios, tema 11 · Cálculo, UPV/EHU (2019/2020 6E)

La ampliación impar, y el signo de la suma

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t) = 2\pi - t$ la función definida en el intervalo $(0,\pi)$ .

a) Obtener la ampliación impar y periódica de la función $f(t)$ . b) Obtener la serie de Fourier $S(t)$ . c) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=\frac{\pi}{2}$ . d) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}$ .

La ampliación, la serie, los valores y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se construye la ampliación impar de una función dada en $(0,\pi)$ ?
02
El valor en el punto medio
COMP2
En $t=\pi/2$ la función es continua. ¿Cuánto vale $f(\pi/2)$ si $f(t) = 2\pi - t$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (3pi/2) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La ampliación impar es $2\pi-t$ en $(0,\pi)$ y $-2\pi-t$ en $(-\pi,0)$ .
2. b) Al ser impar, $a_n=0$ y la serie es $S(t)=\sum \frac{4-2(-1)^{k}}{k}\,\text{sen}(kt)$ .
3. c) En $\pi/2$ hay continuidad, así que $S=f=3\pi/2$ .
4. c) En $t=0$ la serie vale 0, pero $f(0)$ no está definida: el intervalo dado es abierto.

Resolución completa

a) La ampliación impar. Se refleja cambiando el signo:

f_{\text{imp}}(t) = \begin{cases} 2\pi - t & 0<t<\pi\\[4pt] -2\pi - t & -\pi<t<0 \end{cases}

b) La serie. Al ser impar, todos los $a_n$ se anulan:

S(t) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4-2(-1)^{k}}{k}\,\text{sen}(kt)

c) Los valores, y aquí está la gracia:

punto	$S$	$f$
$t=0$	$0$ (salto de $-2\pi$ a $2\pi$ )	no definida
$t=\pi/2$	$3\pi/2$	$3\pi/2$

El origen es un salto, y uno grande: la ampliación impar salta de $-2\pi$ a $2\pi$ . La media es 0 — que es siempre el valor de una serie de senos en el origen, porque todos los senos se anulan ahí.

d) La suma. Evaluando en $t=\pi/2$ , donde los senos de índice par se anulan y los impares alternan:

\frac{3\pi}{2} = \text{(la serie con solo términos impares)} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1} = -\frac{\pi}{4}\;}

Fíjate en el signo. La suma sale $-\pi/4$ y no $+\pi/4$ , porque el exponente es $n+1$ y no $n-1$ : la serie empieza restando. Es el mismo número de siempre con el signo cambiado, y confundirlo es tirar el apartado entero después de haberlo hecho bien.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Introducción al análisis de Fourier

Mirar la paridad antes de integrar

La ampliación: cuando solo te dan media función

Los coeficientes, con el periodo que toque

Dirichlet: a qué converge la serie donde la función salta

Reducir el argumento, que es lo primero

El apartado que sorprende: sumar una serie numérica

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

El valor de la función reflejada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor en el salto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El límite por la derecha en pi

Reducir el argumento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer coeficiente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor en el salto

Reducir el argumento grande

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor de la extensión a la izquierda

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un punto de continuidad

Un punto de salto lejano

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Reducir el argumento grande

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término constante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor en el punto medio

Justificar el argumento