Cálculo · tema 03

Funciones reales de variable real

Dominio, inversa, límites y continuidad. Bolzano, Weierstrass y el punto fijo. Derivadas, implícitas, razones de cambio y el diferencial.

Este tema parece cinco temas distintos —dominios, inversas, límites, derivadas, problemas de velocidades— y por debajo hay una sola pregunta repetida: qué le pasa a la función cerca de un punto.

El dominio pregunta si ahí hay función. El límite, si se acerca a algo. La continuidad, si ese algo es lo que vale. La derivada, a qué ritmo cambia. Y las aplicaciones son esa misma derivada leída como velocidad.

El dominio se busca prohibiendo

El dominio no se calcula: se descarta. Se recorre la fórmula buscando las tres operaciones que no siempre se pueden hacer:

dividir entre cero,
sacar una raíz de índice par de un número negativo,
meter un número no positivo en un logaritmo.

Y hay una cuarta que casi nadie mira: $\arcsin$ y $\arccos$ solo aceptan argumentos en $[-1,1]$ . En $f(x) = 3\arcsin(2x)$ eso obliga a $-1 \le 2x \le 1$ , es decir $x \in \left[-\frac12,\frac12\right]$ , y ese $\frac12$ no está escrito en ninguna parte de la fórmula.

El rango es otra cosa y se busca al revés: no prohibiendo, sino viendo hasta dónde llega. Para eso suele bastar reconocer la forma de la función —una parábola tiene vértice, un seno oscila entre $-1$ y 1, un valor absoluto tiene suelo— y componer.

Error típico · buscar el dominio solo en las raíces y las fracciones

Las funciones trigonométricas inversas restringen sin avisar. Si en la fórmula aparece $\arcsin$ o $\arccos$ , el dominio nunca es todo $\mathbb{R}$ , por muy limpio que parezca el resto.

La inversa existe cuando no hay empates

Una función tiene inversa en un dominio si es inyectiva ahí: si no hay dos valores distintos de $x$ con la misma imagen. Y esa condición no es de la fórmula, es del dominio en el que se mira.

$f(x) = x^{2}$ no tiene inversa en $\mathbb{R}$ , porque $2$ y $-2$ empatan. En $(-\infty,0]$ sí la tiene, y es $f^{-1}(x) = -\sqrt{1+x}$ — con el signo menos, porque la inversa tiene que devolver valores del dominio de partida, y ahí todos son negativos.

Ese signo es la mitad de los errores del tema. La receta —despejar $x$ y cambiar los nombres— no lo decide: lo decide mirar de dónde venían los valores.

Y hay una comprobación que cuesta diez segundos y caza casi todo:

\text{dominio de } f^{-1} = \text{rango de } f

Si sale un dominio que no coincide con el rango que se calculó antes, hay un error en uno de los dos.

Error típico · quedarse con la raíz positiva por costumbre

Al despejar de $y = x^{2}-1$ sale $x = \pm\sqrt{1+y}$ , y hay que elegir. Si el dominio era $(-\infty,0]$ , la inversa es la negativa. Escribir $+\sqrt{1+x}$ da una función que no devuelve al punto de partida.

Un límite no existe si dos caminos discrepan

La definición de límite exige que la función se acerque al mismo valor por todos lados. Así que para demostrar que un límite no existe basta encontrar dos formas de acercarse que den cosas distintas.

La herramienta es la caracterización por sucesiones: si $x_n \to a$ entonces $f(x_n)$ tiene que tender al límite, sea cual sea la sucesión. Con $f(x) = \cos\frac{\pi}{x}$ en $x=0$ :

a_n = \frac{1}{2n} \;\Longrightarrow\; f(a_n) = \cos(2\pi n) = 1

b_n = \frac{2}{2n+1} \;\Longrightarrow\; f(b_n) = \cos\frac{(2n+1)\pi}{2} = 0

Las dos sucesiones tienden a 0 y las imágenes tienden a cosas distintas. El límite no existe, y queda demostrado sin dibujar nada.

Esa es la ventaja del método: un dibujo sugiere, dos sucesiones demuestran.

Continuidad es una igualdad de tres cosas

f \text{ continua en } a \iff \exists f(a) \;\wedge\; \exists \lim_{x\to a} f(x) \;\wedge\; \lim_{x\to a} f(x) = f(a)

Hay valor, hay límite, y coinciden. Las tres condiciones, en ese orden.

En las funciones a trozos las tres se juegan siempre en el mismo sitio: el punto de empalme. Dentro de cada trozo la función suele ser continua por ser un polinomio o algo conocido, así que el ejercicio se reduce a igualar los límites laterales en la frontera.

Bolzano no encuentra la raíz, garantiza que existe

Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos distintos, entonces hay al menos un $c$ en $(a,b)$ con $f(c)=0$ .

Es un teorema de existencia: dice que la hay, no dónde. Para $y(x) = xe^{x}-1$ :

y(0) = -1 < 0, \qquad y(1) = e-1 \approx 1{,}72 > 0

Luego hay una raíz en $(0,1)$ . Y para saber que es la única, hace falta otro argumento: $y'(x) = e^{x}(1+x) > 0$ para $x>0$ , así que la función es estrictamente creciente y no puede cortar el eje dos veces.

Bolzano tiene una versión más general y un pariente que sorprende. La general es el teorema del valor intermedio: una función continua en $[a,b]$ toma todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$ . Bolzano es ese teorema con el valor $0$ en medio, y por eso los dos nombres se usan casi como sinónimos.

El pariente es el teorema de Darboux, y merece un párrafo porque un examen lo pidió entero —enunciar y demostrar, diez puntos, todos de COMP 4—:

Si $f$ es derivable en $[a,b]$ , entonces $f'$ toma todos los valores entre $f'(a)$ y $f'(b)$ .

Lo sorprendente es que no hace falta que $f'$ sea continua. Una derivada puede tener discontinuidades — $x^{2}\text{sen}(1/x)$ es el ejemplo clásico— y aun así no puede saltarse ningún valor: no existe la discontinuidad de salto en una derivada. Por eso Darboux no es un corolario de Bolzano aplicado a $f'$ , que exigiría continuidad de $f'$ y no la hay.

La demostración va por Fermat: para llegar a un valor intermedio $\lambda$ se construye $g(x)=f(x)-\lambda x$ , que es derivable y por tanto continua, y Weierstrass garantiza que alcanza su mínimo en $[a,b]$ . Los signos de $g'(a)$ y $g'(b)$ obligan a que ese mínimo sea interior, y ahí Fermat da $g'(c)=0$ , es decir $f'(c)=\lambda$ .

Y esa cadena —Weierstrass para que el extremo exista, Fermat para que la derivada se anule ahí— es la misma que sostiene Rolle y Lagrange en el tema 4. Conviene verla una vez: son tres teoremas con la misma columna vertebral.

Para pasar de abajo del eje a arriba sin levantar el lápiz hay que cruzarlo. Eso es todo lo que dice Bolzano — y por eso no dice dónde está el cruce.

Error típico · confundir existencia con unicidad

Bolzano garantiza «al menos una». Que sea exactamente una hay que probarlo aparte, casi siempre viendo que la derivada no cambia de signo.

El punto fijo, que es Bolzano disfrazado

Un enunciado que ha caído tres veces —2015-2016 y 2017-2018, y en una de ellas valía ocho de los diez puntos— dice esto: si $f$ es continua en $[a,b]$ y no se sale del intervalo, es decir $f(x) \in [a,b]$ para todo $x$ , entonces hay un punto que se queda quieto: existe $c$ con $f(c) = c$ .

Parece que hace falta un teorema nuevo y no lo hace. Todo el ejercicio está en construir la función auxiliar

g(x) = f(x) - x,

que es continua por ser diferencia de continuas, y aplicarle Bolzano. Como $f$ no se sale, $f(a) \ge a$ y $f(b) \le b$ , luego $g(a) \ge 0$ y $g(b) \le 0$ : signos opuestos. Existe $c$ con $g(c) = 0$ , que es lo mismo que $f(c) = c$ .

Ese paso de restar la $x$ es lo que se puntúa. Nadie lo ve la primera vez, y una vez visto se reutiliza: cuando un enunciado pide demostrar que dos funciones se cortan, o que una ecuación tiene solución, casi siempre lo que hay que hacer es pasarlo todo a un lado y llamarlo $g$ .

Error típico · exigir desigualdades estrictas donde no las hay

Aquí salen $g(a) \ge 0$ y $g(b) \le 0$ , con igualdad posible, y Bolzano en su forma estricta pide signos distintos. No es un agujero: si $g(a) = 0$ entonces $a$ ya es el punto fijo y hemos terminado, y lo mismo con $b$ . Los dos casos se despachan en una línea antes de aplicar el teorema.

Escribirla cuesta diez segundos y es exactamente el tipo de detalle por el que COMP4 baja de nota una demostración que por lo demás está bien.

Weierstrass: en un intervalo cerrado el máximo se alcanza

Si $f$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$ , entonces $f$ alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos: existen $x_1, x_2$ del intervalo con $f(x_1) \le f(x) \le f(x_2)$ para todo $x$ .

Suena a que no dice nada y es el permiso que hace legal media asignatura. Cuando un problema de optimización empieza por «halla el máximo», alguien tiene que haber garantizado antes que ese máximo existe, y ese alguien es Weierstrass. Sin él, buscar dónde se anula la derivada podría no llevar a nada.

Las dos hipótesis se caen con dos ejemplos de una línea:

Cerrado. $f(x) = x$ en el intervalo abierto $(0,1)$ es continua y no tiene máximo: se acerca a 1 sin llegar nunca.
Acotado. $f(x) = 1/x$ en $(0,1]$ es continua en su intervalo y se dispara.

El mismo tipo de función, y lo único que cambia es si los extremos del intervalo entran. Con el borde hueco, el máximo se acerca tanto como quieras y no lo toca nadie.

Aparece en siete de los once cursos, y casi nunca como pregunta principal: sale como la primera frase de la respuesta a un problema de máximos, o como la hipótesis que un enunciado quita a propósito para ver si te das cuenta.

La derivada es un límite, y a veces hay que calcularlo como tal

f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Casi siempre se usan las reglas y no la definición. Pero hay dos situaciones en las que la definición es obligatoria: cuando el enunciado dice «por definición», y cuando la función está definida a trozos y el punto es el empalme.

En ese segundo caso hay que calcular las dos derivadas laterales y exigir que coincidan. Y ojo con el atajo tentador: derivar cada trozo y comparar las fórmulas no es lo mismo, porque una función puede tener las dos derivadas laterales distintas aunque sea continua — ahí hay un pico.

Derivar sin despejar

Hay dos situaciones donde no se puede aislar $y$ , y las dos tienen su regla:

Implícita. Se deriva la ecuación entera respecto de $x$ tratando $y$ como función de $x$ —cada vez que se deriva una $y$ aparece un $y'$ por la regla de la cadena— y luego se despeja $y'$ .

Paramétrica. Con $x=x(t)$ e $y=y(t)$ :

\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}

que es la regla de la cadena leída al revés. Un detalle que decide ejercicios: si un mismo punto se alcanza con dos valores distintos del parámetro, la curva pasa dos veces por ahí y hay dos tangentes.

La derivada como velocidad

Los problemas de razones de cambio son todos el mismo: hay una relación geométrica entre magnitudes, se deriva respecto del tiempo, y se sustituye el instante.

Lo que se falla no es la derivada, es el orden. Primero se escribe la relación en general —con las magnitudes como funciones del tiempo—, se deriva, y solo al final se meten los números del instante concreto. Sustituir antes congela lo que debía variar y la derivada sale cero.

El mismo problema por los dos caminos. A la derecha, al poner el número antes de derivar, la relación deja de tener variables y su derivada es cero.

Error típico · sustituir los datos antes de derivar

Si en $d^{2} = x^{2}+9$ se pone $x=4$ antes de derivar, queda $d^{2}=25$ , una constante, y su derivada es 0. Hay que derivar primero, $2d\,d' = 2x\,x'$ , y sustituir después.

El diferencial: la recta tangente como calculadora

Cerca de un punto, la función y su recta tangente casi no se distinguen:

f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h

Con eso se aproximan valores sin calculadora. Para $\sqrt{27}$ se toma $a=25$ , que tiene raíz exacta, y $h=2$ :

\sqrt{27} \approx 5 + \frac{1}{2\cdot5}\cdot 2 = \frac{26}{5} = 5{,}2

Lo importante es elegir bien el punto de apoyo: el más cercano donde la función se sepa de memoria. Y para ángulos, pasarlos a radianes antes, porque la fórmula de la derivada del seno solo vale ahí.

Lo que hay que llevar sabido

Todo lo de abajo está explicado más arriba, con su porqué. Esto no es la fuente: es la relectura de la última hora. Si una línea no te dice nada, el sitio donde entenderla es su apartado.

Continuidad en un punto: tres cosas, en este orden

\exists\, f(a), \qquad \exists \lim_{x\to a} f(x), \qquad \lim_{x\to a} f(x) = f(a)

En las funciones a trozos las tres se juegan en el punto de empalme, y el límite existe solo si los dos laterales coinciden.

Los tres teoremas de continuidad, con sus hipótesis

teorema	hipótesis	conclusión
Bolzano	$f$ continua en $[a,b]$ , $f(a)$ y $f(b)$ de signo distinto	existe $c$ con $f(c)=0$
Weierstrass	$f$ continua en $[a,b]$ cerrado y acotado	$f$ alcanza máximo y mínimo absolutos
Punto fijo	$f$ continua en $[a,b]$ y $f([a,b]) \subseteq [a,b]$	existe $c$ con $f(c)=c$

El del punto fijo se demuestra siempre igual: aplicar Bolzano a $g(x) = f(x)-x$ . Y Bolzano da existencia, nunca unicidad — para eso hace falta el signo constante de la derivada.

Derivada

f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \qquad \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h

La primera es obligatoria cuando el enunciado dice «por definición» y cuando el punto es un empalme de una función a trozos. En implícitas, se deriva la ecuación entera y cada $y$ derivada deja un $y'$ .

Y el orden que decide los problemas de razones de cambio

Escribir la relación en general, derivar respecto del tiempo, y solo entonces sustituir los datos del instante. Al revés, la derivada sale cero.

Practica lo que acabas de leer

Un dominio con una restricción que no se ve

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un dominio con una restricción que no se ve

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar el dominio de $f(x) = \arcsin(2x)$ .

El intervalo de valores de x para los que la función existe.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué operación de esta fórmula puede fallar?
02
El extremo derecho
COMP2
De $-1 \le 2x \le 1$ , ¿cuál es el mayor valor que puede tomar $x$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\arcsin$ solo está definido para argumentos en $[-1,1]$ .
2. Aquí el argumento es $2x$ , luego se exige $-1 \le 2x \le 1$ .
3. Dividiendo entre 2, el dominio es $\left[-\frac12,\frac12\right]$ .
4. Los extremos entran, porque $\arcsin(\pm1)$ sí existe.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una inversa, y el signo que hay que elegir

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar la inversa de $f(x) = x^{2}$ definida en $(-\infty, 0]$ .

La fórmula de la inversa, con el signo correcto.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado se molesta en decir el dominio?
02
Un valor de comprobación
COMP2
Si $f^{-1}$ es la inversa, ¿cuánto vale $f^{-1}(9)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza sobra.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $(-\infty,0]$ la función es inyectiva, así que tiene inversa.
2. De $y = x^{2}$ se despeja $x = \pm\sqrt{y}$ .
3. Como el dominio de partida son los negativos, se toma la raíz negativa.
4. $f^{-1}(x) = -\sqrt{x}$ , definida para $x \ge 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un parámetro que pega dos trozos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar el valor de $k$ para que la función

f(x) = \begin{cases} x + k & x < 2 \\[4pt] x^{2} & x \ge 2 \end{cases}

sea continua en todo $\mathbb{R}$ .

El valor de k.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde puede fallar la continuidad de esta función?
02
El límite por la derecha
COMP2
¿Cuánto vale $\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El parámetro
COMP2
Igualando los dos límites laterales, ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Cada trozo es un polinomio, luego solo puede fallar en $x=2$ .
2. Por la izquierda el límite vale $2+k$ ; por la derecha, 4.
3. Además $f(2) = 4$ , porque el 2 pertenece a la segunda rama.
4. Igualando las tres cosas, $k = 2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Bolzano, y por qué la raíz existe

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que la ecuación $x^{3} + x - 1 = 0$ tiene una solución en el intervalo $[0,1]$ .

La comprobación de las hipótesis y la conclusión.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué garantiza el teorema de Bolzano?
02
El extremo izquierdo
COMP2
Con $f(x) = x^{3}+x-1$ , ¿cuánto vale $f(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El extremo derecho
COMP2
¿Y cuánto vale $f(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(x) = x^{3}+x-1$ es un polinomio, luego es continua en $[0,1]$ .
2. $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 1 > 0$ , signos distintos.
3. Por Bolzano existe $c \in (0,1)$ con $f(c) = 0$ .
4. Ese $c$ es la solución de la ecuación que se pedía.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Dos magnitudes que cambian a la vez

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cuadrado crece de forma que su lado aumenta a razón de 2 cm/s. ¿A qué velocidad crece su área en el instante en que el lado mide 5 cm?

La velocidad de crecimiento del área, en cm²/s.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso?
02
La derivada de la relación
COMP2
De $A = L^{2}$ , derivando respecto del tiempo sale $A' = k \cdot L \cdot L'$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El resultado
COMP2
Ahora sí, sustituye $L = 5$ y $L' = 2$ . ¿Cuánto vale $A'$ , en cm²/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en centímetros cuadrados por segundo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La relación entre las magnitudes es $A = L^{2}$ , con las dos dependiendo del tiempo.
2. Derivando respecto de $t$ , $\frac{dA}{dt} = 2L\frac{dL}{dt}$ .
3. En el instante pedido, $L = 5$ y $\frac{dL}{dt} = 2$ .
4. Luego $\frac{dA}{dt} = 20$ cm² por segundo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Aproximar una raíz, y elegir dónde apoyarse

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Aproximar $\sqrt{52}$ con la recta tangente, sin calculadora.

El valor aproximado, y sobre todo el punto de apoyo que lo hace bueno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para aproximar $\sqrt{52}$ con $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h$ , ¿dónde conviene poner el punto de apoyo $a$ ?
02
El valor aproximado
COMP2
Con $a = 49$ y $h = 3$ , y sabiendo que la derivada de $\sqrt{x}$ es $1/(2\sqrt{x})$ , ¿cuánto vale la aproximación?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se busca el cuadrado perfecto más cercano a 52: es 49, y su raíz es 7.
2. Con $a=49$ y $h=3$ queda $\sqrt{52} \approx 7 + \frac{3}{14} = \frac{101}{14}$ .
3. Como la raíz es cóncava, la tangente va por encima y la aproximación se pasa.
4. También sirve $a=64$ , pero está más lejos: da 7,25 en vez de 7,2143.

Resolución completa

La idea. Cerca de un punto, una función y su recta tangente casi no se distinguen. Eso convierte la tangente en una calculadora de bolsillo: $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h$ .

Lo que decide el resultado no es la fórmula, es el punto. Aquí hay tres candidatos con raíz exacta —25, 49 y 64— y los tres dan una cuenta correcta con resultados que no se parecen:

apoyo	$h$	aproximación	error
25	27	7,7	0,49
49	3	7,2143	0,0032
64	−12	7,25	0,039

El error va con el cuadrado de $h$ : desde el mismo punto de apoyo, acercarse a la mitad lo hace cuatro veces menor. En la tabla cambian las dos cosas a la vez —la distancia y el punto—, y por eso el salto de 25 a 49 no divide el error por 81 sino por más de 150. La regla que sale de aquí es la que hay que llevar al examen: el más cercano de los que te sabes de memoria, no el más redondo.

Y el signo. La raíz cuadrada es cóncava, así que su tangente va siempre por encima: con este método una raíz sale siempre pasada. Saberlo sirve para comprobar el resultado sin volver a hacer la cuenta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.1 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU

Seis dominios y seis rangos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Determinar el dominio y el rango de las siguientes funciones.

(a) $f(x) = x^{2}-3x+2$ · (b) $f(x) = 1+2\,\mathrm{sen}\,x$ · (c) $f(x) = 2+\left|x+1\right|$

(d) $f(x) = \sqrt{x-1}-2$ · (e) $f(x) = \frac{3\pi}{2}+3\arcsin(2x)$ · (f) $f(x) = -\pi+\arccos(x)$

Dar el dominio y el rango de las seis.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se busca un dominio?
02
El caso que casi nadie ve
COMP2
En $f(x) = \frac{3\pi}{2}+3\arcsin(2x)$ , ¿cuál es el extremo derecho del dominio?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un rango con vértice
COMP2
¿Cuál es el menor valor que toma $f(x) = x^{2}-3x+2$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el criterio para las seis funciones. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (a) Parábola: $D = \mathbb{R}$ , y el rango arranca en el vértice, $R = \left[-\frac14,\infty\right)$ .
2. (b) El seno oscila entre $-1$ y 1, así que $1+2\,\mathrm{sen}\,x$ oscila entre $-1$ y 3: $D = \mathbb{R}$ , $R = [-1,3]$ .
3. (c) El valor absoluto nunca es negativo, así que $2+\left|x+1\right| \ge 2$ : $D = \mathbb{R}$ , $R = [2,\infty)$ .
4. (d) La raíz exige $x \ge 1$ , y $\sqrt{x-1} \ge 0$ da $f \ge -2$ : $D = [1,\infty)$ , $R = [-2,\infty)$ .
5. (e) y (f) las restringen las trigonométricas inversas: $D = \left[-\frac12,\frac12\right]$ con $R = [0,3\pi]$ , y $D = [-1,1]$ con $R = [-\pi,0]$ .
Es el intercambio más común del tema: el dominio vive en el eje horizontal y el rango en el vertical. Confundirlos cambia el ejercicio entero.

Resolución completa

Datos. Seis funciones. Se piden dominio y rango de cada una.

1 · Las dos preguntas se hacen al revés

El dominio se busca prohibiendo. Se recorre la fórmula buscando las operaciones que no siempre se pueden hacer:

operación	restricción
dividir	el denominador no puede anularse
raíz de índice par	el radicando no puede ser negativo
logaritmo	el argumento tiene que ser positivo
$\arcsin$ , $\arccos$	el argumento tiene que estar en $[-1,1]$

El rango se busca componiendo. Se parte de lo que devuelve la pieza básica y se le aplican los estiramientos y desplazamientos de fuera.

2 · (a) $f(x) = x^{2}-3x+2$

Un polinomio no prohíbe nada: $D = \mathbb{R}$ .

Es una parábola que abre hacia arriba, con vértice en

x_v = \frac{3}{2}, \qquad f\!\left(\frac32\right) = \frac94-\frac92+2 = -\frac14

R = \left[-\frac14,\;\infty\right)

3 · (b) $f(x) = 1+2\,\mathrm{sen}\,x$

El seno acepta cualquier real: $D = \mathbb{R}$ .

Devuelve valores en $[-1,1]$ . Multiplicar por 2 lo estira a $[-2,2]$ y sumar 1 lo desplaza:

R = [-1,\;3]

4 · (c) $f(x) = 2+\left|x+1\right|$

El valor absoluto acepta todo: $D = \mathbb{R}$ .

Y nunca es negativo, con mínimo 0 alcanzado en $x=-1$ :

R = [2,\;\infty)

5 · (d) $f(x) = \sqrt{x-1}-2$

La raíz es de índice par, así que el radicando no puede ser negativo:

x-1 \ge 0 \;\Longrightarrow\; D = [1,\;\infty)

Y $\sqrt{x-1}$ recorre $[0,\infty)$ , así que restando 2:

R = [-2,\;\infty)

6 · (e) $f(x) = \frac{3\pi}{2}+3\arcsin(2x)$

Aquí está el apartado que se falla. El arcoseno solo acepta argumentos en $[-1,1]$ , y el argumento es $2x$ :

-1 \le 2x \le 1 \;\Longrightarrow\; D = \left[-\frac12,\;\frac12\right]

El factor 2 encoge el dominio a la mitad, y ese $\frac12$ no está escrito en ninguna parte de la fórmula.

Para el rango: $\arcsin$ devuelve valores en $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ . Multiplicando por 3 queda $\left[-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$ , y sumando $\frac{3\pi}{2}$ :

R = \left[0,\;3\pi\right]

7 · (f) $f(x) = -\pi+\arccos(x)$

El argumento es $x$ a secas:

D = [-1,\;1]

$\arccos$ devuelve valores en $[0,\pi]$ , y restando $\pi$ :

R = [-\pi,\;0]

8 · Comprobación

La comprobación más rápida de un rango es evaluar en los extremos del dominio y en los puntos singulares:

	punto	valor
(a)	$x=\frac32$	$-\frac14$ , el mínimo ✔
(d)	$x=1$	$-2$ , el mínimo ✔
(e)	$x=\pm\frac12$	$\frac{3\pi}{2}\pm\frac{3\pi}{2}$ , o sea $3\pi$ y 0 ✔
(f)	$x=-1$	$-\pi+\pi = 0$ ; $x=1$ da $-\pi+0 = -\pi$ ✔

En (f) conviene fijarse en que el arcocoseno es decreciente: el extremo izquierdo del dominio da el valor más grande del rango.

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\; & D=\mathbb{R},\; R=\left[-\tfrac14,\infty\right) & \text{(d)}\; & D=[1,\infty),\; R=[-2,\infty) \\ \text{(b)}\; & D=\mathbb{R},\; R=[-1,3] & \text{(e)}\; & D=\left[-\tfrac12,\tfrac12\right],\; R=[0,3\pi] \\ \text{(c)}\; & D=\mathbb{R},\; R=[2,\infty) & \text{(f)}\; & D=[-1,1],\; R=[-\pi,0] \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.2 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU · El apartado (e) cayó en 2015/2016 5E

Seis inversas, y el signo que decide una de ellas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la función inversa de las siguientes funciones en los dominios indicados, y el dominio de dicha función inversa.

(a) $f(x) = 1+e^{2x}$ , $D = \mathbb{R}$ · (b) $f(x) = x^{2}-1$ , $D = (-\infty,0]$ · (c) $f(x) = \ln(x+3)$ , $D = (-3,\infty)$

(d) $f(x) = \cos(x-1)$ , $D = [1,\pi+1]$ · (e) $f(x) = \cosh x$ , $D = [0,\infty)$ · (f) $f(x) = \mathrm{senh}\,x$ , $D = \mathbb{R}$

Calcular las seis inversas y sus dominios.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado especifica el dominio en cada apartado?
02
El apartado del signo
COMP2
Para $f(x) = x^{2}-1$ en $D = (-\infty,0]$ , ¿cuánto vale $f^{-1}(3)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La inversa del coseno hiperbólico
COMP2
Para $f(x) = \cosh x$ en $[0,\infty)$ , ¿cuál es el extremo izquierdo del dominio de $f^{-1}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método y las seis respuestas. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El método es siempre el mismo: escribir $y = f(x)$ , despejar $x$ y renombrar. Lo que cambia de un apartado a otro es qué hacer cuando el despeje da dos posibilidades.
2. (a) De $y = 1+e^{2x}$ sale $f^{-1}(x) = \frac12\ln(x-1)$ , con $D = (1,\infty)$ .
3. (b) De $y = x^{2}-1$ salen dos signos, y el dominio $(-\infty,0]$ elige el negativo: $f^{-1}(x) = -\sqrt{1+x}$ , con $D = [-1,\infty)$ .
4. (c) y (d) son directos: $f^{-1}(x) = e^{x}-3$ con $D=\mathbb{R}$ , y $f^{-1}(x) = 1+\arccos x$ con $D=[-1,1]$ .
5. (e) y (f) salen resolviendo una ecuación de segundo grado en $e^{x}$ : $\ln\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)$ con $D=[1,\infty)$ , y $\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ con $D=\mathbb{R}$ .
«Dominio de la inversa = rango de la función» es la comprobación que caza casi todos los errores de este ejercicio, incluido el del signo.

Resolución completa

Datos. Seis funciones con su dominio. Se pide la inversa de cada una y el dominio de esa inversa.

1 · Por qué el enunciado da los dominios

Una función tiene inversa donde es inyectiva: donde no hay dos $x$ distintas con la misma imagen. Y eso depende del dominio, no solo de la fórmula.

$x^{2}-1$ no tiene inversa en $\mathbb{R}$ porque $2$ y $-2$ empatan. En $(-\infty,0]$ sí. Por eso el enunciado especifica: sin esa restricción, tres de los seis apartados no tendrían respuesta.

2 · El método, y la comprobación que lo acompaña

Siempre igual: se escribe $y = f(x)$ , se despeja $x$ y se renombran las variables.

Y siempre se comprueba lo mismo:

\text{dominio de } f^{-1} = \text{rango de } f

Si el dominio que sale no coincide con el rango de la función, hay un error en alguno de los dos.

3 · (a) $f(x) = 1+e^{2x}$ en $\mathbb{R}$

y = 1+e^{2x} \;\Longrightarrow\; e^{2x} = y-1 \;\Longrightarrow\; 2x = \ln(y-1)

f^{-1}(x) = \frac{1}{2}\ln(x-1)

El logaritmo exige $x-1>0$ , así que $D = (1,\infty)$ . Y en efecto: $e^{2x}>0$ siempre, así que $f$ toma valores estrictamente mayores que 1. Coincide ✔

4 · (b) $f(x) = x^{2}-1$ en $(-\infty,0]$

y = x^{2}-1 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{1+y}

Aquí hay que elegir, y es el apartado que decide el ejercicio. El dominio de partida es $(-\infty,0]$ : todos los valores son negativos o cero. La inversa tiene que devolver valores de ahí, luego el signo es el negativo:

f^{-1}(x) = -\sqrt{1+x}, \qquad D = [-1,\infty)

Comprobación: en $(-\infty,0]$ la función $x^{2}-1$ decrece desde $+\infty$ hasta $-1$ , así que su rango es $[-1,\infty)$ ✔

5 · (c) y (d), directos

y = \ln(x+3) \;\Longrightarrow\; x = e^{y}-3 \;\Longrightarrow\; f^{-1}(x) = e^{x}-3, \qquad D = \mathbb{R}

y = \cos(x-1) \;\Longrightarrow\; x = 1+\arccos y \;\Longrightarrow\; f^{-1}(x) = 1+\arccos x, \qquad D = [-1,1]

En (d) el dominio $[1,\pi+1]$ está elegido para que $x-1$ recorra exactamente $[0,\pi]$ , que es donde el coseno es inyectivo. Otra vez: el dominio no es decorativo.

6 · (e) y (f), las hiperbólicas

Las dos se resuelven igual: con el cambio $u = e^{x}$ la ecuación se vuelve de segundo grado.

(e) $y = \cosh x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ :

2y = u+\frac1u \;\Longrightarrow\; u^{2}-2yu+1 = 0 \;\Longrightarrow\; u = y \pm \sqrt{y^{2}-1}

Como $x \ge 0$ implica $u = e^{x} \ge 1$ , se toma el signo $+$ :

f^{-1}(x) = \ln\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right), \qquad D = [1,\infty)

El dominio sale del rango: $\cosh$ vale 1 en $x=0$ y crece, y además la raíz exige $x^{2} \ge 1$ . Las dos condiciones dicen lo mismo ✔

(f) $y = \mathrm{senh}\,x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ :

u^{2}-2yu-1 = 0 \;\Longrightarrow\; u = y \pm \sqrt{y^{2}+1}

Aquí $\sqrt{y^{2}+1} > \left|y\right|$ , así que el signo $-$ daría un $u$ negativo, imposible para una exponencial. Se toma el $+$ :

f^{-1}(x) = \ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right), \qquad D = \mathbb{R}

Y el dominio es todo $\mathbb{R}$ porque $x^{2}+1$ nunca es negativo: el seno hiperbólico es biyectivo de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ , sin restringir nada.

7 · La diferencia entre (e) y (f), que es todo el tema

Las dos ecuaciones de segundo grado se parecen y el signo se elige por motivos distintos:

En (e), porque el dominio de partida obliga a $u \ge 1$ .
En (f), porque un $u$ negativo sería imposible: $e^{x}>0$ siempre.

En el primero manda el enunciado; en el segundo, la propia exponencial.

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\; & \tfrac12\ln(x-1),\; D=(1,\infty) & \text{(d)}\; & 1+\arccos x,\; D=[-1,1] \\ \text{(b)}\; & -\sqrt{1+x},\; D=[-1,\infty) & \text{(e)}\; & \ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right),\; D=[1,\infty) \\ \text{(c)}\; & e^{x}-3,\; D=\mathbb{R} & \text{(f)}\; & \ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right),\; D=\mathbb{R} \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.3 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU

Dos parámetros para pegar dos trozos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Determinar $k \in \mathbb{R}$ para que las siguientes funciones sean continuas:

(a) $f(x) = \begin{cases} x^{2}, & x<1 \\ kx-3, & x\ge1 \end{cases}$ · (b) $g(x) = \begin{cases} k^{2}x^{2}, & x\le2 \\ (1-k)x, & x>2 \end{cases}$

Determinar el valor de $k$ en los dos casos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde se juega la continuidad de una función a trozos?
02
Apartado (a)
COMP2
¿Para qué valor de $k$ es continua la primera función?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Apartado (b), el que tiene dos soluciones
COMP2
¿Cuál es el valor negativo de $k$ que hace continua la segunda función?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Dentro de cada trozo la función es un polinomio, y los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$ : el único punto conflictivo es el empalme.
2. Continuidad en un punto significa tres cosas: que exista el valor, que exista el límite y que coincidan. En un empalme, que exista el límite equivale a que los dos laterales sean iguales.
3. (a) En $x=1$ : $\lim_{x\to1^{-}} = 1$ y $f(1) = k-3$ . De $1 = k-3$ sale $k=4$ , único.
4. (b) En $x=2$ : $4k^{2} = 2-2k$ , es decir $2k^{2}+k-1 = 0$ , con dos soluciones: $k=-1$ y $k=\frac12$ .
5. Como en (b) hay dos valores de $k$ , hay dos funciones continuas distintas, y las dos son respuesta válida.
Cuando el parámetro aparece elevado al cuadrado hay que esperar más de una solución, y hay que darlas todas salvo que el enunciado descarte alguna.

Resolución completa

Datos. Dos funciones a trozos con un parámetro $k$ . Se pide el valor de $k$ que las hace continuas.

1 · Dónde se juega el ejercicio

Los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$ , así que dentro de cada trozo no hay nada que discutir. El único punto conflictivo es el empalme, y todo el ejercicio se reduce a lo que pasa ahí.

Continuidad en un punto $a$ significa tres cosas:

\exists f(a), \qquad \exists \lim_{x\to a} f(x), \qquad \lim_{x\to a} f(x) = f(a)

Y en un empalme, que el límite exista equivale a que los dos laterales coincidan.

2 · Apartado (a)

El empalme es $x=1$ . Conviene fijarse en de qué lado cae el punto: el enunciado pone $x \ge 1$ en el segundo trozo, así que $f(1)$ se calcula con $kx-3$ .

\lim_{x\to1^{-}} f(x) = \lim_{x\to1^{-}} x^{2} = 1

\lim_{x\to1^{+}} f(x) = f(1) = k\cdot1-3 = k-3

Igualando:

1 = k-3 \;\Longrightarrow\; \boxed{k = 4}

Es una ecuación de primer grado y tiene una solución.

3 · Apartado (b)

El empalme es $x=2$ , y aquí el punto cae en el primer trozo, porque lleva el $\le$ .

\lim_{x\to2^{-}} g(x) = g(2) = k^{2}\cdot 2^{2} = 4k^{2}

\lim_{x\to2^{+}} g(x) = (1-k)\cdot 2 = 2-2k

Igualando:

4k^{2} = 2-2k \;\Longleftrightarrow\; 4k^{2}+2k-2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2k^{2}+k-1 = 0

k = \frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1\pm3}{4}

\boxed{k = \frac12 \quad\text{y}\quad k = -1}

Las dos son válidas, y hay que darlas las dos. El parámetro aparece elevado al cuadrado, así que la ecuación es de segundo grado y no hay ninguna condición en el enunciado que descarte la negativa.

4 · Comprobación

(a) con $k=4$ : el primer trozo tiende a 1 y el segundo vale $4-3 = 1$ ✔

(b) con $k=\frac12$ : primer trozo $4\cdot\frac14 = 1$ ; segundo $\left(1-\frac12\right)\cdot2 = 1$ ✔

(b) con $k=-1$ : primer trozo $4\cdot1 = 4$ ; segundo $\left(1+1\right)\cdot2 = 4$ ✔

Las dos pegan, en alturas distintas: con $k=\frac12$ la función pasa por $(2,1)$ y con $k=-1$ por $(2,4)$ . Son dos funciones continuas diferentes, y el enunciado no pide elegir.

Resultado

\boxed{\;\text{(a) } k = 4 \qquad\qquad \text{(b) } k = -1 \;\text{ y }\; k = \tfrac12\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.4 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2018/2019 3E

Dos sucesiones que discrepan

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar el límite de la función $f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{x}\right)$ en el punto $x=0$ utilizando las sucesiones $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \left\{\frac{1}{2n}\right\}$ y $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \left\{\frac{2}{2n+1}\right\}$ .

Estudiar si existe el límite en $x=0$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado regala dos sucesiones y no una?
02
El primer camino
COMP2
¿A qué tiende $f(a_n) = \cos\left(\frac{\pi}{1/(2n)}\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El segundo camino
COMP2
¿A qué tiende $f(b_n)$ con $b_n = \frac{2}{2n+1}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Herramienta. Si $\lim_{x\to a} f(x) = L$ , entonces para toda sucesión $x_n \to a$ con $x_n \neq a$ se cumple $f(x_n) \to L$ .
2. Las dos sucesiones cumplen la hipótesis: $a_n \to 0$ y $b_n \to 0$ , y ninguna vale 0.
3. $f(a_n) = \cos(2\pi n) = 1$ para todo $n$ , luego $f(a_n) \to 1$ .
4. $f(b_n) = \cos\frac{(2n+1)\pi}{2} = 0$ para todo $n$ , luego $f(b_n) \to 0$ .
5. Si el límite existiera, las dos sucesiones de imágenes tendrían que tender a él, y por unicidad del límite $1 = 0$ : absurdo. El límite no existe.
El argumento no necesita dibujar la función. Un dibujo sugiere que oscila; dos sucesiones lo demuestran.

Resolución completa

Datos. $f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{x}\right)$ y el punto $x=0$ . Se dan las sucesiones $a_n = \frac{1}{2n}$ y $b_n = \frac{2}{2n+1}$ .

1 · La herramienta, y por qué el enunciado da dos sucesiones

La caracterización del límite por sucesiones dice:

\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \forall \{x_n\} \text{ con } x_n \to a,\ x_n \neq a:\quad f(x_n) \to L

Léase el «para toda»: el límite existe solo si todos los caminos llevan al mismo sitio. En contrapositivo, para demostrar que no existe basta exhibir dos sucesiones cuyas imágenes discrepen.

Por eso el enunciado da dos: una sola no demostraría nada.

Lo primero, comprobar que las dos son admisibles:

a_n = \frac{1}{2n} \to 0, \qquad b_n = \frac{2}{2n+1} \to 0

y ninguna vale 0, así que $f$ está definida en todos sus términos —el punto $x=0$ es justamente donde no lo está—.

2 · El primer camino

\frac{\pi}{a_n} = \frac{\pi}{\frac{1}{2n}} = 2\pi n

f(a_n) = \cos(2\pi n) = 1 \qquad \forall n \in \mathbb{N}

La sucesión de imágenes es constante igual a 1, así que su límite es 1.

3 · El segundo camino

\frac{\pi}{b_n} = \frac{\pi(2n+1)}{2}

Los valores son $\frac{3\pi}{2}$ , $\frac{5\pi}{2}$ , $\frac{7\pi}{2}$ …: todos múltiplos impares de $\frac{\pi}{2}$ , y ahí el coseno se anula.

f(b_n) = 0 \qquad \forall n \in \mathbb{N}

Su límite es 0.

4 · Conclusión

Si el límite de $f$ en 0 existiera y valiera $L$ , las dos sucesiones de imágenes tendrían que converger a $L$ . Pero una converge a 1 y la otra a 0, y por la unicidad del límite eso obligaría a $1 = 0$ .

\boxed{\;\text{El límite } \lim_{x\to0}\cos\frac{\pi}{x} \text{ no existe}\;}

5 · Qué está pasando de verdad

Conviene decirlo, porque explica por qué el ejercicio funciona: cuando $x \to 0^{+}$ , el argumento $\frac{\pi}{x}$ se va a $+\infty$ , y el coseno oscila cada vez más rápido entre $-1$ y 1 sin estabilizarse.

Las dos sucesiones del enunciado están elegidas para caer siempre en el mismo sitio de esa oscilación: $a_n$ en los máximos y $b_n$ en los ceros. De hecho, escogiendo bien la sucesión se puede hacer que las imágenes tiendan a cualquier valor de $[-1,1]$ .

6 · Comprobación

Los primeros términos, para ver que no es un artificio asintótico sino que ocurre desde el principio:

$n$	$a_n$	$f(a_n)$	$b_n$	$f(b_n)$
1	$0{,}5$	$\cos 2\pi = 1$	$0{,}667$	$\cos\frac{3\pi}{2} = 0$
2	$0{,}25$	$\cos 4\pi = 1$	$0{,}4$	$\cos\frac{5\pi}{2} = 0$
3	$0{,}167$	$\cos 6\pi = 1$	$0{,}286$	$\cos\frac{7\pi}{2} = 0$

Las dos columnas de $x$ bajan hacia 0 y las dos de $f$ se quedan clavadas en valores distintos ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.5 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2016/2017 5E

Una raíz que existe, y que además es la única

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que la función $y(x) = xe^{x}-1$ tiene al menos una raíz real positiva. ¿Tiene alguna raíz más?

Demostrar que hay una raíz positiva y decidir si hay más.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué teorema garantiza que una función continua tiene una raíz?
02
El extremo derecho del intervalo
COMP2
Para aplicar Bolzano se toma el intervalo $[0,b]$ . ¿Cuál es el menor entero $b$ que sirve?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración completa. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Continuidad. $y(x) = xe^{x}-1$ es producto y suma de funciones continuas en todo $\mathbb{R}$ , así que es continua en $[0,1]$ .
2. Cambio de signo. $y(0) = -1 < 0$ y $y(1) = e-1 \approx 1{,}72 > 0$ .
3. Por el teorema de Bolzano existe $c \in (0,1)$ con $y(c) = 0$ : hay al menos una raíz, y es positiva.
4. Para la unicidad se mira la derivada: $y'(x) = e^{x}+xe^{x} = e^{x}(1+x)$ .
5. Para $x>-1$ se tiene $e^{x}>0$ y $1+x>0$ , luego $y'(x)>0$ : la función es estrictamente creciente ahí y no puede cortar el eje dos veces. La raíz es única en $(-1,\infty)$ , y para $x \le -1$ la función es negativa. La raíz es única.
Existencia y unicidad son dos preguntas con dos herramientas distintas: Bolzano para la primera, la monotonía para la segunda.

Resolución completa

Datos. $y(x) = xe^{x}-1$ . Hay que demostrar que tiene al menos una raíz real positiva y decidir si tiene más.

1 · La herramienta y sus hipótesis

El teorema de Bolzano: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)\cdot f(b) < 0$ , entonces existe $c \in (a,b)$ con $f(c) = 0$ .

Es un teorema de existencia: garantiza que la raíz está, no dónde. Antes de usarlo hay que comprobar sus dos hipótesis, y eso es la mitad de la nota.

2 · Continuidad

$y(x) = xe^{x}-1$ es producto y suma de funciones continuas en todo $\mathbb{R}$ —un polinomio y una exponencial—, así que es continua en cualquier intervalo cerrado. En particular en $[0,1]$ .

3 · Cambio de signo

y(0) = 0\cdot e^{0}-1 = -1 < 0

y(1) = 1\cdot e^{1}-1 = e-1 \approx 1{,}718 > 0

Los dos extremos tienen signos opuestos.

4 · Conclusión de existencia

Por Bolzano, existe $c \in (0,1)$ con $y(c) = 0$ . Como $c>0$ , la raíz es positiva, que es lo que se pedía. $\blacksquare$

5 · ¿Hay alguna más?

Bolzano dice «al menos una». Para saber si es exactamente una hace falta otro argumento, y el habitual es la monotonía.

y'(x) = e^{x}+x e^{x} = e^{x}(1+x)

Como $e^{x}>0$ siempre, el signo de $y'$ es el de $1+x$ :

intervalo	signo de $y'$	comportamiento
$x < -1$	negativo	decreciente
$x > -1$	positivo	creciente

En $(-1,\infty)$ la función es estrictamente creciente, así que corta el eje como mucho una vez: la raíz $c$ es única ahí.

Y en $(-\infty,-1]$ no hay ninguna. El mínimo de $y$ está en $x=-1$ y vale

y(-1) = -e^{-1}-1 \approx -1{,}37 < 0

Como en ese tramo la función decrece hacia $y(-1)$ y $\lim_{x\to-\infty} xe^{x} = 0$ , allí $y$ se acerca a $-1$ por arriba sin llegar nunca a cero: siempre negativa.

\boxed{\;\text{Hay exactamente una raíz real, y está en } (0,1)\;}

6 · Comprobación

Acotando la raíz un poco más, para ver que el argumento es sólido:

$x$	$y(x) = xe^{x}-1$
$0{,}5$	$0{,}5\cdot1{,}649-1 = -0{,}176 < 0$
$0{,}6$	$0{,}6\cdot1{,}822-1 = +0{,}093 > 0$

La raíz está entre $0{,}5$ y $0{,}6$ . Bolzano vuelve a aplicarse en ese intervalo más pequeño, y ese es justamente el fundamento del método de bisección.

Y la unicidad se ve en la tabla: entre $0{,}5$ y $0{,}6$ la función sube, y sigue subiendo después. No vuelve a bajar nunca.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.6 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU

Continua en dos puntos, derivable solo en uno

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función

f(x) = \begin{cases} 0 & x \le -1 \\[4pt] ax^{3}+bx & -1 < x < 2 \\[4pt] 11x-16 & x \ge 2 \end{cases}

(a) Determinar $a$ y $b$ para que $f$ sea continua.

(b) Estudiar la derivabilidad de $f$ .

Determinar $a$ y $b$ , y estudiar dónde es derivable.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay dos empalmes y dos incógnitas. ¿Es casualidad?
02
El primer parámetro
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada por la izquierda en el punto malo
COMP2
En $x=-1$ , ¿cuánto vale la derivada por la derecha, es decir la del trozo $x^{3}-x$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de la derivabilidad. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $a=1$ y $b=-1$ la función es $0$ , $x^{3}-x$ y $11x-16$ en los tres tramos, y ya es continua en todo $\mathbb{R}$ .
2. Dentro de cada tramo es derivable por ser un polinomio: los únicos puntos que hay que mirar son $x=-1$ y $x=2$ .
3. En $x=-1$ : por la izquierda la derivada es 0 y por la derecha $3(-1)^{2}-1 = 2$ . Distintas, luego no es derivable.
4. En $x=2$ : por la izquierda $3\cdot4-1 = 11$ y por la derecha la pendiente de la recta, también 11. Coinciden, luego sí es derivable.
Que en $x=2$ la derivada salga exactamente 11 no es casualidad: el enunciado eligió esa pendiente para que uno de los dos empalmes fuera suave y el otro no.

Resolución completa

Datos. Una función definida en tres tramos con dos parámetros. Se pide hacerla continua y estudiar dónde es derivable.

1 · Apartado (a): dos empalmes, dos ecuaciones

Dentro de cada tramo la función es un polinomio, así que es continua ahí sin más. Los únicos puntos conflictivos son $x=-1$ y $x=2$ .

En $x=-1$ , el punto pertenece al primer tramo —lleva el $\le$ —, así que $f(-1) = 0$ . Y el segundo tramo tiende a

\lim_{x\to-1^{+}}\left(ax^{3}+bx\right) = -a-b

-a-b = 0 \;\Longleftrightarrow\; b = -a

En $x=2$ , el punto pertenece al tercer tramo, así que $f(2) = 11\cdot2-16 = 6$ . Y el segundo tiende a

\lim_{x\to2^{-}}\left(ax^{3}+bx\right) = 8a+2b

8a+2b = 6

El sistema. Sustituyendo $b=-a$ en la segunda:

8a-2a = 6 \;\Longrightarrow\; 6a = 6 \;\Longrightarrow\; a = 1, \quad b = -1

\boxed{a = 1, \qquad b = -1}

Dos condiciones y dos incógnitas: la solución es única. El tramo central queda $x^{3}-x$ .

2 · Apartado (b): la derivabilidad se estudia, no se impone

Conviene subrayarlo porque cambia el ejercicio: el enunciado no pide que $f$ sea derivable. Pregunta dónde lo es. Los parámetros ya están fijados por la continuidad, y ahora solo hay que mirar qué sale.

Dentro de cada tramo es derivable por ser polinómica. Quedan los dos empalmes.

3 · En $x=-1$ : no derivable

f'(-1^{-}) = 0 \qquad\text{(el trozo constante)}

f'(-1^{+}) = \left.3x^{2}-1\right|_{x=-1} = 3-1 = 2

Las derivadas laterales no coinciden, así que no es derivable en $x=-1$ . Geométricamente: los dos trozos se tocan, pero uno llega horizontal y el otro subiendo con pendiente 2. Hay un pico.

4 · En $x=2$ : sí derivable

f'(2^{-}) = \left.3x^{2}-1\right|_{x=2} = 12-1 = 11

f'(2^{+}) = 11 \qquad\text{(la pendiente de la recta)}

Coinciden, así que sí es derivable en $x=2$ , con $f'(2) = 11$ . Ahí la cúbica y la recta se empalman suavemente: la recta es justamente la tangente a la cúbica en ese punto.

5 · Lo que enseña el contraste

El mismo ejercicio tiene los dos casos, y esa es su gracia:

punto	continua	derivable
$x=-1$	sí	no
$x=2$	sí	sí

Continua no implica derivable. La implicación va solo en el otro sentido. Y este ejercicio lo demuestra sin necesidad de recurrir al valor absoluto, que es el ejemplo de siempre.

6 · Comprobación

Los valores en los empalmes, con $a=1$ y $b=-1$ :

	tramo izquierdo	tramo derecho	¿pega?
$x=-1$ , valor	$0$	$(-1)^{3}-(-1) = 0$	✔
$x=-1$ , pendiente	$0$	$2$	✗ pico
$x=2$ , valor	$8-2 = 6$	$22-16 = 6$	✔
$x=2$ , pendiente	$11$	$11$	✔ suave

Y una comprobación de coherencia: si la recta $11x-16$ es tangente a $x^{3}-x$ en $x=2$ , debe pasar por el punto $(2,6)$ y tener la pendiente de la cúbica ahí. $11\cdot2-16 = 6$ ✔ y $3\cdot4-1 = 11$ ✔.

Resultado

\boxed{\;\text{(a) } a=1,\; b=-1 \qquad \text{(b) no derivable en } x=-1;\ \text{derivable en } x=2\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.7 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU · El apartado (a) cayó en 2016/2017 3E

Dos derivadas calculadas como manda la definición

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

(a) Demostrar que la derivada de la función $f(x) = x$ es $f'(x) = 1$ .

(b) Demostrar que la derivada de la función $f(x) = x^{3}$ es $f'(x) = 3x^{2}$ .

Demostrar las dos derivadas por definición.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice «demostrar». ¿Qué excluye eso?
02
El cociente incremental de la cúbica
COMP2
Al desarrollar $\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}$ y simplificar, ¿cuál es el coeficiente de $x^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las dos demostraciones. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Definición. $f'(x) = \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , siempre que el límite exista.
2. (a) $\dfrac{(x+h)-x}{h} = \dfrac{h}{h} = 1$ para todo $h \neq 0$ , así que el límite es 1.
3. (b) $(x+h)^{3}-x^{3} = h\left(3x^{2}+3xh+h^{2}\right)$ , y al dividir entre $h$ queda $3x^{2}+3xh+h^{2}$ .
4. Haciendo $h\to0$ , los términos con $h$ se anulan y el límite es $3x^{2}$ .
5. En los dos casos hace falta sacar factor común $h$ antes de pasar al límite: sin eso el cociente es una indeterminación $\frac00$ .
Las dos demostraciones tienen la misma forma: desarrollar, cancelar, sacar $h$ factor común, simplificar y entonces sí pasar al límite.

Resolución completa

Datos. Demostrar, por definición, que $(x)' = 1$ y que $\left(x^{3}\right)' = 3x^{2}$ .

1 · De dónde hay que partir

El enunciado dice demostrar, y eso excluye usar la regla de la potencia: sería dar por cierto lo que se pide probar. Hay que partir de la definición:

f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

siempre que ese límite exista. Y hay un detalle que conviene decir antes de empezar: el cociente no está definido en $h=0$ . Por eso hace falta simplificar antes de pasar al límite; sustituir directamente daría $\frac00$ , que no es un número.

2 · Apartado (a): la identidad

\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{(x+h)-x}{h} = \frac{h}{h} = 1

La simplificación es válida porque $h \neq 0$ —el límite mira valores cercanos a 0, nunca el propio 0—.

El cociente vale exactamente 1 para todo $h\neq0$ , así que es una función constante y su límite es trivialmente 1:

f'(x) = \lim_{h\to0} 1 = 1 \qquad \blacksquare

Geométricamente era de esperar: $f(x)=x$ es una recta de pendiente 1, y su pendiente es la misma en todos los puntos.

3 · Apartado (b): la cúbica

Desarrollando el cubo del binomio:

(x+h)^{3} = x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}

Al restar $x^{3}$ , ese término se cancela —y es lo que hace que el numerador sea divisible por $h$ —:

(x+h)^{3}-x^{3} = 3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}

Sacando factor común $h$ :

= h\left(3x^{2}+3xh+h^{2}\right)

\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h} = 3x^{2}+3xh+h^{2} \qquad (h \neq 0)

Y ahora sí se puede pasar al límite, porque ya no hay indeterminación:

f'(x) = \lim_{h\to0}\left(3x^{2}+3xh+h^{2}\right) = 3x^{2} \qquad \blacksquare

4 · La estructura común

Las dos demostraciones son el mismo esquema, y merece la pena verlo porque se repite en cualquier derivada por definición:

Escribir el cociente incremental.
Desarrollar y cancelar el término que no lleva $h$ .
Sacar $h$ factor común y simplificar.
Solo entonces, pasar al límite.

El paso 3 es el que hace posible el 4. Sin él, el cociente sigue siendo $\frac00$ .

5 · Comprobación

Numéricamente, con $x=2$ y valores cada vez más pequeños de $h$ , el cociente de (b) debería acercarse a $3\cdot4 = 12$ :

$h$	$\frac{(2+h)^{3}-8}{h}$
$1$	$\frac{27-8}{1} = 19$
$0{,}1$	$\frac{9{,}261-8}{0{,}1} = 12{,}61$
$0{,}01$	$12{,}0601$
$0{,}001$	$12{,}006$

Baja hacia 12 ✔. Y encaja con la fórmula simplificada: $3x^{2}+3xh+h^{2} = 12+6h+h^{2}$ , que en $h=0{,}01$ da $12+0{,}06+0{,}0001 = 12{,}0601$ , exactamente el valor de la tabla ✔

Resultado

\boxed{\;\left(x\right)' = 1 \qquad\qquad \left(x^{3}\right)' = 3x^{2}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.8 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2018/2019 3E

La segunda derivada de una composición

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función compuesta $h(x) = f[g(x)]$ . Calcular $h''(x)$ .

Calcular la segunda derivada de la composición.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al derivar $h'(x) = f'[g(x)]\cdot g'(x)$ otra vez, ¿qué regla hace falta primero?
02
Cuántos sumandos tiene el resultado
COMP2
¿Cuántos sumandos tiene $h''(x)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Primera derivada, por la regla de la cadena: $h'(x) = f'[g(x)]\cdot g'(x)$ .
2. Para derivar otra vez hay que ver que $h'$ es un producto de dos funciones de $x$ : $f'[g(x)]$ y $g'(x)$ .
3. Regla del producto: $h'' = \left(f'[g(x)]\right)'g'(x) + f'[g(x)]\,g''(x)$ .
4. Y el primer factor se deriva con la cadena otra vez: $\left(f'[g(x)]\right)' = f''[g(x)]\,g'(x)$ .
5. Juntando: $h''(x) = f''[g(x)]\left[g'(x)\right]^{2}+f'[g(x)]\,g''(x)$ .
Con $f(u)=u^{2}$ y $g(x)=x^{3}$ se puede comprobar la fórmula con números y ver que la versión abreviada falla.

Resolución completa

Datos. $h(x) = f[g(x)]$ . Se pide $h''(x)$ .

1 · La primera derivada

Regla de la cadena:

h'(x) = f'[g(x)]\cdot g'(x)

Nada nuevo. Lo interesante empieza al derivar otra vez.

2 · Reconocer que ahora hay un producto

Este es el paso que decide el ejercicio. $h'$ ya no es una composición simple: es un producto de dos funciones de $x$ ,

\underbrace{f'[g(x)]}_{\text{compuesta}} \quad\text{y}\quad \underbrace{g'(x)}_{\text{normal}}

así que hay que aplicar la regla del producto, y dentro de ella la cadena otra vez.

3 · Derivar

h''(x) = \left(f'[g(x)]\right)'\cdot g'(x) + f'[g(x)]\cdot g''(x)

El primer factor es de nuevo una composición: la función $f'$ evaluada en $g(x)$ . Su derivada, por la cadena, es

\left(f'[g(x)]\right)' = f''[g(x)]\cdot g'(x)

Sustituyendo:

h''(x) = f''[g(x)]\,g'(x)\,g'(x) + f'[g(x)]\,g''(x)

\boxed{\;h''(x) = f''[g(x)]\left[g'(x)\right]^{2} + f'[g(x)]\,g''(x)\;}

4 · Por qué aparece el cuadrado

El $\left[g'(x)\right]^{2}$ no se escribe a mano: sale de multiplicar dos $g'$ que vienen de sitios distintos. Uno estaba ya en $h'$ , de la primera aplicación de la cadena; el otro lo trae la segunda aplicación al derivar $f'[g(x)]$ .

Ese cuadrado es la seña de identidad de la fórmula, y su ausencia delata inmediatamente un error.

5 · Comprobación con un caso concreto

La forma de asegurarse es probar con funciones donde la cuenta se puede hacer de las dos maneras. Con

f(u) = u^{2}, \qquad g(x) = x^{3} \;\Longrightarrow\; h(x) = \left(x^{3}\right)^{2} = x^{6}

Directo: $h'(x) = 6x^{5}$ y $h''(x) = 30x^{4}$ .

Por la fórmula: $f'(u) = 2u$ , $f''(u) = 2$ , $g'(x) = 3x^{2}$ , $g''(x) = 6x$ .

h'' = 2\cdot\left(3x^{2}\right)^{2} + 2x^{3}\cdot 6x = 2\cdot9x^{4} + 12x^{4} = 18x^{4}+12x^{4} = 30x^{4} \quad\checkmark

Y la versión equivocada, la que olvida el producto:

f''[g]\,g'' = 2\cdot 6x = 12x \quad\times

que no se parece en nada a $30x^{4}$ . La comprobación no solo confirma la fórmula: enseña de un vistazo lo lejos que queda el atajo.

6 · La estructura general

Merece la pena quedarse con la forma, porque se repite en cualquier derivada segunda de una composición:

h'' = \underbrace{f''\left[g\right]\left[g'\right]^{2}}_{\text{curvatura de } f} + \underbrace{f'\left[g\right]g''}_{\text{curvatura de } g}

Un sumando por cada forma de curvarse: la de la función de fuera y la de la de dentro. Si $g$ es una recta, $g''=0$ y el segundo desaparece; si $f$ es una recta, $f''=0$ y desaparece el primero.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.9 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2016/2017 2E

La segunda derivada de la función inversa

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f^{-1}(x)$ la función inversa de la función $f(x)$ . Calcular $\left[f^{-1}(x)\right]''$ .

Calcular la segunda derivada de la inversa.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De dónde sale la fórmula de la primera derivada de la inversa?
02
El exponente del denominador
COMP2
En $\left[f^{-1}(x)\right]'' = -\frac{f''(x)}{\left[f'(x)\right]^{n}}$ , ¿cuánto vale $n$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Punto de partida: $f\left[f^{-1}(x)\right] = x$ , que es lo que significa ser inversa.
2. Derivando con la cadena: $f'\left[f^{-1}(x)\right]\cdot\left[f^{-1}(x)\right]' = 1$ , de donde $\left[f^{-1}(x)\right]' = \dfrac{1}{f'\left[f^{-1}(x)\right]}$ .
3. Derivando otra vez, con la regla del cociente y numerador constante: $\left[f^{-1}\right]'' = -\dfrac{\left(f'\left[f^{-1}\right]\right)'} {\left(f'\left[f^{-1}\right]\right)^{2}}$ .
4. Y el numerador necesita la cadena: $\left(f'\left[f^{-1}\right]\right)' = f''\left[f^{-1}\right]\cdot\left[f^{-1}\right]' = \dfrac{f''\left[f^{-1}\right]}{f'\left[f^{-1}\right]}$ .
5. Juntando, el denominador queda elevado al cubo: $\left[f^{-1}(x)\right]'' = -\dfrac{f''\left[f^{-1}(x)\right]} {\left(f'\left[f^{-1}(x)\right]\right)^{3}}$ .
El signo menos es el otro detalle que se cae: viene de derivar un inverso, y si la función original es cóncava la inversa es convexa.

Resolución completa

Datos. $f^{-1}$ es la inversa de $f$ . Se pide $\left[f^{-1}(x)\right]''$ .

1 · Todo sale de una identidad

Ser inversa significa exactamente esto:

f\left[f^{-1}(x)\right] = x

y derivando esa igualdad salen las dos fórmulas del ejercicio. No hace falta ninguna herramienta nueva: solo la cadena, el cociente y paciencia.

2 · La primera derivada

Derivando los dos miembros respecto de $x$ , con la regla de la cadena en el izquierdo:

f'\left[f^{-1}(x)\right]\cdot\left[f^{-1}(x)\right]' = 1

\left[f^{-1}(x)\right]' = \frac{1}{f'\left[f^{-1}(x)\right]}

con la hipótesis, que hay que decir, de que $f'\left[f^{-1}(x)\right] \neq 0$ . Si la derivada de $f$ se anula en un punto, la inversa no es derivable en su imagen — ahí la gráfica de la inversa tiene tangente vertical.

3 · La segunda derivada

Se deriva otra vez. El numerador es constante, así que la regla del cociente se reduce a

\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^{2}}

con $u = f'\left[f^{-1}(x)\right]$ :

\left[f^{-1}(x)\right]'' = -\frac{\left(f'\left[f^{-1}(x)\right]\right)'} {\left(f'\left[f^{-1}(x)\right]\right)^{2}}

Y ese numerador es otra composición, que necesita la cadena:

\left(f'\left[f^{-1}(x)\right]\right)' = f''\left[f^{-1}(x)\right]\cdot\left[f^{-1}(x)\right]' = \frac{f''\left[f^{-1}(x)\right]}{f'\left[f^{-1}(x)\right]}

Sustituyendo, los denominadores se acumulan:

\left[f^{-1}(x)\right]'' = -\frac{f''\left[f^{-1}(x)\right]} {\left(f'\left[f^{-1}(x)\right]\right)^{3}}

Y evaluado en el punto correspondiente de la función original, que es como suele escribirse:

\boxed{\;\left[f^{-1}(x)\right]'' = -\frac{f''(x)}{\left[f'(x)\right]^{3}}\;}

4 · De dónde sale cada pieza

pieza	de dónde viene
el signo $-$	de derivar $\frac1u$
el $f''$ del numerador	de la regla de la cadena
dos factores del denominador	del cuadrado de la regla del cociente
el tercero	de la cadena, otra vez

El exponente 3 es la suma de dos aportaciones distintas. Ese es el contenido del ejercicio.

5 · Lo que dice la fórmula

El signo menos tiene una lectura geométrica que merece la pena escribir: la gráfica de $f^{-1}$ es la de $f$ reflejada respecto de la recta $y=x$ , y esa reflexión invierte la concavidad. Si $f$ es convexa y creciente, su inversa es cóncava.

Se ve en la fórmula: con $f'>0$ , el denominador es positivo y $\left[f^{-1}\right]''$ tiene el signo contrario a $f''$ .

6 · Comprobación

Con $f(x) = e^{x}$ , cuya inversa es $\ln x$ y se conoce:

f'(x) = e^{x}, \qquad f''(x) = e^{x}

La fórmula, evaluada en el punto $y=f(x)$ , da

\left[f^{-1}\right]''(y) = -\frac{e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{3}} = -\frac{1}{e^{2x}} = -\frac{1}{y^{2}}

Y directamente: $\left(\ln y\right)'' = \left(\frac1y\right)' = -\frac{1}{y^{2}}$ ✔

Coinciden. Y se ve la inversión de concavidad: $e^{x}$ es convexa — $f''>0$ — y $\ln$ es cóncava —segunda derivada negativa—.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.10 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU

Las seis derivadas de las inversas, en dos variables

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para cada función $f(x)$ del ejercicio 3.2 calcular la derivada de la función inversa, $\left[f^{-1}(x)\right]'$ , y expresar el resultado en función tanto de $x$ como de $y$ .

Calcular las seis derivadas y expresarlas en las dos variables.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa «expresar el resultado en función tanto de $x$ como de $y$ »?
02
El caso (a)
COMP2
Para $f(x) = 1+e^{2x}$ , la derivada de la inversa en función de $y$ es $\frac{1}{k(y-1)}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método y sus consecuencias. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fórmula. De $f\left[f^{-1}(y)\right] = y$ sale $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{f'(x)}$ , siempre que $f'(x) \neq 0$ .
2. Aplicada tal cual, da el resultado en función de $x$ , la variable de la función original.
3. Para pasarlo a $y$ se usa la relación $y = f(x)$ y se sustituye lo que haga falta. Por ejemplo en (a): $e^{2x} = y-1$ .
4. Las dos formas describen la misma derivada; la de $y$ es la que sirve para evaluar sin despejar nada.
5. En (e) y (f) el paso de $x$ a $y$ usa las identidades hiperbólicas: $\cosh^{2}-\mathrm{senh}^{2} = 1$ convierte $\frac{1}{\mathrm{senh}\,x}$ en $\frac{1}{\sqrt{y^{2}-1}}$ .
Distinguir en qué punto se evalúa cada cosa es todo el ejercicio. El enunciado pide las dos expresiones precisamente para forzar a separarlas.

Resolución completa

Datos. Las seis funciones del ejercicio 3.2. Se pide la derivada de cada inversa, en función de $x$ y en función de $y$ .

1 · La herramienta

De la identidad $f\left[f^{-1}(y)\right] = y$ , derivando, sale

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dx}} = \frac{1}{f'(x)}, \qquad f'(x) \neq 0

La fórmula da el resultado en función de $x$ , porque $f'$ está escrita en esa variable. Para pasarlo a $y$ hay que usar la relación $y=f(x)$ y sustituir.

Y hay que tener claro dónde se evalúa cada cosa: $f'$ se evalúa en el punto de $f$ , no en el de la inversa. Escribir $\frac{1}{f'(y)}$ es el error que el enunciado quiere prevenir pidiendo las dos formas.

2 · (a) $f(x) = 1+e^{2x}$

f'(x) = 2e^{2x} \;\Longrightarrow\; \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2e^{2x}} = \frac{1}{2}e^{-2x}

Y como $y = 1+e^{2x}$ , es decir $e^{2x} = y-1$ :

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2(y-1)}

3 · (b) $f(x) = x^{2}-1$ en $(-\infty,0]$

f'(x) = 2x \;\Longrightarrow\; \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2x}

Y como $y = x^{2}-1$ con $x \le 0$ , se tiene $x = -\sqrt{1+y}$ :

\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{2\sqrt{1+y}}

El signo menos vuelve a aparecer, y por el mismo motivo que en el ejercicio 3.2: el dominio de partida es el semieje negativo. La derivada de la inversa es negativa porque la inversa es decreciente.

4 · (c) $f(x) = \ln(x+3)$

f'(x) = \frac{1}{x+3} \;\Longrightarrow\; \frac{dx}{dy} = x+3

Y como $y = \ln(x+3)$ , es decir $x+3 = e^{y}$ :

\frac{dx}{dy} = e^{y}

Que es lo esperable: la inversa es $e^{y}-3$ y su derivada, $e^{y}$ .

5 · (d) $f(x) = \cos(x-1)$

f'(x) = -\,\mathrm{sen}(x-1) \;\Longrightarrow\; \frac{dx}{dy} = -\frac{1}{\mathrm{sen}(x-1)}

Para pasarlo a $y$ : con $y = \cos(x-1)$ y $x-1 \in [0,\pi]$ —donde el seno es no negativo—, la identidad fundamental da $\mathrm{sen}(x-1) = \sqrt{1-y^{2}}$ :

\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}

que es, en efecto, la derivada del arcocoseno.

6 · (e) y (f), las hiperbólicas

(e) $f(x) = \cosh x$ , con $f'(x) = \mathrm{senh}\,x$ :

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\mathrm{senh}\,x}

Y con la identidad $\cosh^{2}x-\mathrm{senh}^{2}x = 1$ , y $\mathrm{senh}\,x \ge 0$ en $[0,\infty)$ :

\mathrm{senh}\,x = \sqrt{\cosh^{2}x-1} = \sqrt{y^{2}-1} \;\Longrightarrow\; \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\sqrt{y^{2}-1}}

(f) $f(x) = \mathrm{senh}\,x$ , con $f'(x) = \cosh x$ :

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cosh x} = \frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{senh}^{2}x}} = \frac{1}{\sqrt{y^{2}+1}}

Aquí no hay que discutir signos: $\cosh$ es siempre positivo.

7 · Comprobación

La forma de asegurarse es derivar directamente las inversas calculadas en el ejercicio 3.2 y ver que coinciden:

	inversa (del 3.2)	su derivada	lo obtenido aquí
(a)	$\frac12\ln(x-1)$	$\frac{1}{2(x-1)}$	✔
(b)	$-\sqrt{1+x}$	$-\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$	✔
(c)	$e^{x}-3$	$e^{x}$	✔
(d)	$1+\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	✔
(e)	$\ln\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$	✔
(f)	$\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$	✔

Las seis coinciden. Y eso enseña algo útil: hay dos caminos —invertir y luego derivar, o derivar y luego invertir— y el segundo suele ser mucho más corto. En (e) y (f), derivar el logaritmo con la raíz dentro es bastante más trabajo que aplicar la fórmula.

Resultado

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\; & \tfrac{1}{2}e^{-2x} = \tfrac{1}{2(y-1)} & \text{(d)}\; & \tfrac{-1}{\mathrm{sen}(1-x)} = \tfrac{-1}{\sqrt{1-y^{2}}} \\ \text{(b)}\; & \tfrac{1}{2x} = \tfrac{-1}{2\sqrt{1+y}} & \text{(e)}\; & \tfrac{1}{\mathrm{senh}\,x} = \tfrac{1}{\sqrt{y^{2}-1}} \\ \text{(c)}\; & x+3 = e^{y} & \text{(f)}\; & \tfrac{1}{\cosh x} = \tfrac{1}{\sqrt{y^{2}+1}} \end{aligned}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.11 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU · El apartado (a) cayó en 2019/2020 3E AT

Seis derivadas sin despejar la y

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Derivación implícita. Suponiendo que $y$ es función de $x$ , calcular en cada caso $y'(x) = \frac{dy}{dx}$ .

(a) $y = e^{xy}$ · (b) $x^{2}+y^{2} = 1$ · (c) $10x^{4}-18xy^{2}+10y^{3} = 48$

(d) $x^{3}+y^{3} = 4$ · (e) $y = \mathrm{sen}(3x+4y)$ · (f) $x = 3-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Calcular $y'$ en los seis casos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué cambia al derivar una $y$ si $y$ es función de $x$ ?
02
El caso más limpio
COMP2
Para $x^{2}+y^{2} = 1$ , ¿cuánto vale $y'$ en el punto $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado con exponencial
COMP2
Para $y = e^{xy}$ , la derivada es $y' = \frac{y^{2}}{k-xy}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Paso 1. Derivar los dos miembros de la ecuación respecto de $x$ , tratando $y$ como función de $x$ .
2. Paso 2. Cada vez que se deriva algo que contiene $y$ , la cadena obliga a multiplicar por $y'$ : $\left(y^{3}\right)' = 3y^{2}y'$ .
3. Paso 3. Donde haya productos de $x$ e $y$ , la regla del producto: $\left(xy^{2}\right)' = y^{2}+2xy\,y'$ .
4. Paso 4. Agrupar todos los términos con $y'$ a un lado, sacar factor común y despejar.
5. El resultado depende en general de $x$ y de $y$ , y eso es normal: la ecuación describe una curva, y la pendiente cambia de un punto a otro.
El método no necesita que la ecuación defina una función global: basta que la defina localmente cerca del punto, que es lo que garantiza el teorema de la función implícita.

Resolución completa

Datos. Seis ecuaciones que ligan $x$ e $y$ . Se pide $y'$ en cada una, suponiendo que $y$ es función de $x$ .

1 · Por qué existe este método

En (b) y (d) se podría despejar $y$ y derivar como siempre. En (a), (c) y (e) no: no hay forma de aislar la $y$ . Y sin embargo la ecuación define una curva con tangente en cada punto, así que la pendiente existe.

La derivación implícita la calcula sin despejar. La idea es una sola: derivar los dos miembros tratando $y$ como función de $x$ , con lo que cada aparición de $y$ arrastra un $y'$ por la regla de la cadena.

2 · (a) $y = e^{xy}$

y' = e^{xy}\cdot\left(y+x\,y'\right)

—cadena para la exponencial, producto para el exponente—. Y ahora el detalle que limpia el resultado: el enunciado dice que $e^{xy} = y$ , así que se sustituye:

y' = y^{2}+xy\,y' \;\Longrightarrow\; y'\left(1-xy\right) = y^{2} \;\Longrightarrow\; \boxed{y' = \frac{y^{2}}{1-xy}}

3 · (b) $x^{2}+y^{2} = 1$

2x+2y\,y' = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{y' = -\frac{x}{y}}

El resultado tiene una lectura geométrica limpia: la tangente a la circunferencia es perpendicular al radio. La pendiente del radio en $(x,y)$ es $\frac{y}{x}$ , y $-\frac{x}{y}$ es su opuesta inversa.

4 · (c) $10x^{4}-18xy^{2}+10y^{3} = 48$

El término del medio necesita la regla del producto y la cadena:

40x^{3}-18\left(y^{2}+2xy\,y'\right)+30y^{2}y' = 0

40x^{3}-18y^{2}-36xy\,y'+30y^{2}y' = 0

Agrupando:

y'\left(30y^{2}-36xy\right) = 18y^{2}-40x^{3}

\boxed{y' = \frac{18y^{2}-40x^{3}}{30y^{2}-36xy} = \frac{9y^{2}-20x^{3}}{3\left(5y^{2}-6xy\right)}}

5 · (d) $x^{3}+y^{3} = 4$

3x^{2}+3y^{2}y' = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{y' = -\frac{x^{2}}{y^{2}}}

6 · (e) $y = \mathrm{sen}(3x+4y)$

y' = \cos(3x+4y)\cdot\left(3+4y'\right)

y' = 3\cos(3x+4y)+4y'\cos(3x+4y)

y'\left[1-4\cos(3x+4y)\right] = 3\cos(3x+4y)

\boxed{y' = \frac{3\cos(3x+4y)}{1-4\cos(3x+4y)}}

7 · (f) $x = 3-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

1 = -\frac{2x+2y\,y'}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = -\frac{x+y\,y'}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

\sqrt{x^{2}+y^{2}} = -x-y\,y' \;\Longrightarrow\; y\,y' = -x-\sqrt{x^{2}+y^{2}}

\boxed{y' = -\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{y}}

8 · Comprobación

Los apartados que sí se pueden despejar sirven para validar el método.

(b) En el semiplano superior, $y = \sqrt{1-x^{2}}$ , y derivando directamente:

y' = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} = -\frac{x}{y} \quad\checkmark

(d) $y = \sqrt[3]{4-x^{3}}$ , y derivando:

y' = \frac{1}{3}\left(4-x^{3}\right)^{-2/3}\cdot\left(-3x^{2}\right) = -\frac{x^{2}}{\left(4-x^{3}\right)^{2/3}} = -\frac{x^{2}}{y^{2}} \quad\checkmark

Las dos coinciden con lo obtenido implícitamente, y de paso enseñan lo que se ahorra: por el camino explícito hay que manejar raíces y exponentes fraccionarios; por el implícito, dos líneas.

(b) numéricamente, en $\left(\frac35,\frac45\right)$ , que está en la circunferencia porque $\frac{9}{25}+\frac{16}{25} = 1$ ✔:

y' = -\frac{3/5}{4/5} = -\frac34

Negativa, como corresponde a un arco que baja en el primer cuadrante ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.12 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU

Una tangente a una curva con forma de flor

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la recta tangente a la curva $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} = 8x^{2}y^{2}$ en el punto $P(-1,1)$ .

Calcular la ecuación de la recta tangente.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que comprobar antes de derivar?
02
La pendiente
COMP2
¿Cuál es la pendiente de la tangente en $P(-1,1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Comprobar el punto. Con $x=-1$ , $y=1$ : $\left(1+1\right)^{3} = 8$ y $8\cdot1\cdot1 = 8$ . $P$ está en la curva.
2. Derivar implícitamente, con la cadena en el primer miembro y el producto en el segundo: $3\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\left(2x+2yy'\right) = 16xy^{2}+16x^{2}y\,y'$ .
3. Sustituir el punto antes de despejar, que ahorra manejar la expresión general: queda $-24+24y' = -16+16y'$ .
4. De ahí $y' = 1$ : la pendiente de la tangente.
5. Punto-pendiente: $y-1 = 1\cdot(x+1)$ , es decir $y = x+2$ .
En el origen sí habría problema: ahí se cortan los cuatro pétalos y no hay una sola tangente. Pero $P(-1,1)$ está en mitad de un pétalo.

Resolución completa

Datos. La curva $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} = 8x^{2}y^{2}$ y el punto $P(-1,1)$ . Se pide la recta tangente.

1 · Comprobar que el punto está en la curva

Un paso de una línea que casi nadie escribe y que en un examen vale puntos de COMP4:

\left((-1)^{2}+1^{2}\right)^{3} = 2^{3} = 8

8\cdot(-1)^{2}\cdot 1^{2} = 8

Coinciden: $P$ pertenece a la curva. Si no fuera así, hablar de «la tangente en $P$ » no tendría sentido.

2 · Por qué hay que derivar implícitamente

La ecuación es de grado 6 y no hay forma razonable de despejar $y$ . Ni falta: la derivación implícita da la pendiente sin necesidad.

Conviene además señalar que la curva no es la gráfica de una función —es una cuadrifolia, con cuatro pétalos, y una misma $x$ tiene varias $y$ —. Eso no impide que tenga tangente: solo obliga a trabajar localmente, cerca del punto.

3 · Derivar

Primer miembro, con la cadena:

\left[\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}\right]' = 3\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\cdot\left(2x+2y\,y'\right)

Segundo miembro, con el producto y la cadena:

\left[8x^{2}y^{2}\right]' = 16xy^{2}+8x^{2}\cdot 2y\,y' = 16xy^{2}+16x^{2}y\,y'

Igualando:

3\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\left(2x+2y\,y'\right) = 16xy^{2}+16x^{2}y\,y'

4 · Sustituir el punto antes de despejar

Este es el atajo que conviene tener: como solo interesa un punto, se sustituye ya y se evita arrastrar la expresión general.

Con $x=-1$ , $y=1$ y por tanto $x^{2}+y^{2} = 2$ :

3\cdot 2^{2}\cdot\left(-2+2y'\right) = 16(-1)(1)+16(1)(1)\,y'

12\left(-2+2y'\right) = -16+16y'

-24+24y' = -16+16y' \;\Longrightarrow\; 8y' = 8 \;\Longrightarrow\; y' = 1

5 · La recta

Punto-pendiente con $P(-1,1)$ y $m=1$ :

y-1 = 1\cdot\left(x-(-1)\right) = x+1

\boxed{\;y = x+2\;}

6 · Representación gráfica

La curva es una cuadrifolia: cuatro pétalos que salen del origen, uno en cada cuadrante, simétricos respecto de los dos ejes y de las bisectrices. El punto $P(-1,1)$ está en la punta del pétalo del segundo cuadrante —sobre la bisectriz $y=-x$ —, y la recta $y=x+2$ lo toca ahí pasando por $(0,2)$ y por $(-2,0)$ .

7 · Comprobación

De la pendiente, por simetría. La curva es simétrica respecto de la bisectriz $y=-x$ , y $P$ está justo sobre ella. En el extremo de un pétalo la tangente es perpendicular al radio que va del origen al punto. Ese radio va de $(0,0)$ a $(-1,1)$ y tiene pendiente $-1$ ; la perpendicular tiene pendiente $+1$ ✔

Esa comprobación geométrica confirma el resultado sin repetir la cuenta, que es lo que se busca de una comprobación.

Del punto: la recta $y=x+2$ pasa por $(-1,1)$ porque $-1+2 = 1$ ✔

De que $P$ es el extremo del pétalo: su distancia al origen es $\sqrt2$ , y en la curva, escribiendo $x = r\cos\theta$ , $y = r\,\mathrm{sen}\,\theta$ , sale $r^{6} = 8r^{4}\cos^{2}\theta\,\mathrm{sen}^{2}\theta$ , es decir $r^{2} = 2\,\mathrm{sen}^{2}(2\theta)$ . El máximo de $r$ es $\sqrt2$ , y se alcanza cuando $\mathrm{sen}(2\theta) = \pm1$ : en las bisectrices ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.13 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU

Tres derivadas en función del parámetro

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la derivada $\frac{dy}{dx}$ de las siguientes curvas en forma paramétrica en función del parámetro $t$ .

(a) $\begin{cases} x = t^{3}-t \\ y = 4-t^{2} \end{cases}$ · (b) $\begin{cases} x = 2t^{3}+1 \\ y = t^{2}\cos t \end{cases}$ · (c) $\begin{cases} x = 3\cos t \\ y = 2\,\mathrm{sen}\,t \end{cases}$

Calcular las tres derivadas en función de $t$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De dónde sale la fórmula $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ?
02
El instante donde falla la fórmula
COMP2
En el apartado (a), la fórmula deja de valer donde $\frac{dx}{dt} = 0$ . ¿Cuál es el valor positivo de $t$ ahí?
Tu respuesta al paso 2un número, o una expresión como 1/√3 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las tres derivadas y sus hipótesis. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fórmula. Por la regla de la cadena, $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$ , de donde $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ siempre que $\frac{dx}{dt}\neq0$ .
2. (a) $\frac{dx}{dt} = 3t^{2}-1$ y $\frac{dy}{dt} = -2t$ , luego $\frac{dy}{dx} = \dfrac{-2t}{3t^{2}-1}$ .
3. (b) $\frac{dx}{dt} = 6t^{2}$ y $\frac{dy}{dt} = 2t\cos t - t^{2}\,\mathrm{sen}\,t$ , luego $\frac{dy}{dx} = \dfrac{2\cos t - t\,\mathrm{sen}\,t}{6t}$ tras simplificar una $t$ .
4. (c) $\frac{dx}{dt} = -3\,\mathrm{sen}\,t$ y $\frac{dy}{dt} = 2\cos t$ , luego $\frac{dy}{dx} = -\dfrac{2\cos t}{3\,\mathrm{sen}\,t}$ .
5. En cada caso hay que decir dónde falla: en (a) para $t = \pm\frac{1}{\sqrt3}$ , en (b) para $t=0$ y en (c) para $t = k\pi$ .
Cancelar una $t$ es legítimo y conveniente, pero la restricción $t\neq0$ viaja con el resultado. Es el mismo cuidado que con cualquier simplificación de un cociente.

Resolución completa

Datos. Tres curvas en paramétricas. Se pide $\frac{dy}{dx}$ en función de $t$ .

1 · La fórmula y su hipótesis

Si $y$ depende de $x$ y $x$ depende de $t$ , la regla de la cadena da

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}

y despejando:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad\text{siempre que}\qquad \frac{dx}{dt} \neq 0

Esa condición no es un detalle: donde $\frac{dx}{dt}=0$ la curva tiene tangente vertical y $\frac{dy}{dx}$ no existe. Señalar esos puntos forma parte de la respuesta.

2 · (a) $x = t^{3}-t$ , $y = 4-t^{2}$

\frac{dx}{dt} = 3t^{2}-1, \qquad \frac{dy}{dt} = -2t

\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{-2t}{3t^{2}-1}}

Dónde falla: $3t^{2}-1 = 0$ , es decir $t = \pm\frac{1}{\sqrt3} \approx \pm0{,}577$ . Ahí la curva tiene tangente vertical.

Y hay otro punto interesante: en $t=0$ el numerador se anula, así que $\frac{dy}{dx} = 0$ y la tangente es horizontal. La curva pasa por $(0,4)$ con tangente horizontal, que es su punto más alto.

3 · (b) $x = 2t^{3}+1$ , $y = t^{2}\cos t$

\frac{dx}{dt} = 6t^{2}

Para $y$ hace falta la regla del producto:

\frac{dy}{dt} = 2t\cos t + t^{2}\left(-\mathrm{sen}\,t\right) = 2t\cos t - t^{2}\,\mathrm{sen}\,t

\frac{dy}{dx} = \frac{2t\cos t - t^{2}\,\mathrm{sen}\,t}{6t^{2}}

Sacando factor común $t$ arriba y simplificando para $t\neq0$ :

\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos t - t\,\mathrm{sen}\,t}{6t}}

Dónde falla: en $t=0$ , donde $\frac{dx}{dt} = 0$ . La simplificación no lo arregla: el $6t$ del denominador sigue anulándose ahí.

4 · (c) $x = 3\cos t$ , $y = 2\,\mathrm{sen}\,t$

\frac{dx}{dt} = -3\,\mathrm{sen}\,t, \qquad \frac{dy}{dt} = 2\cos t

\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos t}{-3\,\mathrm{sen}\,t} = -\frac{2\cos t}{3\,\mathrm{sen}\,t} = -\frac{2}{3}\cot t}

Dónde falla: $\mathrm{sen}\,t = 0$ , es decir $t = k\pi$ . Esos son los puntos $(\pm3,0)$ , los extremos del eje mayor, donde la tangente es vertical.

5 · Qué curva es cada una

La (c) merece un comentario porque se reconoce: eliminando el parámetro,

\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2} = \cos^{2}t+\mathrm{sen}^{2}t = 1

es una elipse de semiejes 3 y 2. Y la derivada obtenida coincide con la que da la derivación implícita sobre esa ecuación:

\frac{2x}{9}+\frac{2y\,y'}{4} = 0 \;\Longrightarrow\; y' = -\frac{4x}{9y} = -\frac{4\cdot3\cos t}{9\cdot2\,\mathrm{sen}\,t} = -\frac{2\cos t}{3\,\mathrm{sen}\,t} \quad\checkmark

Los dos métodos dan lo mismo, como tiene que ser.

6 · Comprobación

(a) en $t=1$ : el punto es $x = 0$ , $y = 3$ , y la derivada $\frac{-2}{2} = -1$ .

Se puede contrastar viendo por dónde pasa la curva cerca: en $t=1{,}1$ , $x = 0{,}231$ e $y = 2{,}79$ . La pendiente aproximada es

\frac{2{,}79-3}{0{,}231-0} \approx -0{,}91

cerca de $-1$ , y se acerca más cuanto menor sea el salto ✔

(c) en $t = \frac{\pi}{4}$ : el punto es $\left(\frac{3\sqrt2}{2},\sqrt2\right) \approx (2{,}12,\,1{,}41)$ y la derivada vale $-\frac23$ .

Sustituyendo en la fórmula implícita: $-\frac{4\cdot2{,}12}{9\cdot1{,}41} = -\frac{8{,}49}{12{,}73} \approx -0{,}667 = -\frac23$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.14 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU

Un punto por el que la curva pasa dos veces

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la ecuación de la recta tangente (o tangentes) de la curva

\begin{cases} x = t^{5}-4t^{3} \\ y = t^{2} \end{cases}

en el punto $P(0,4)$ .

Calcular la recta tangente o tangentes en $P$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice «la recta tangente (o tangentes)». ¿Qué está avisando?
02
Los valores del parámetro
COMP2
¿Cuál es el valor positivo de $t$ para el que la curva pasa por $P(0,4)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La pendiente en uno de los pasos
COMP2
¿Cuál es la pendiente de la tangente correspondiente a $t=2$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, o una fracción como 1/8 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Buscar los parámetros. Hay que resolver el sistema $t^{5}-4t^{3} = 0$ y $t^{2} = 4$ . Sale $t = 2$ y $t = -2$ : la curva pasa dos veces por $P$ .
2. El $t=0$ cumple la primera ecuación pero no la segunda: da el punto $(0,0)$ , no $(0,4)$ . Hay que imponer las dos coordenadas.
3. La derivada: $\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{5t^{4}-12t^{2}}$ .
4. En $t=2$ vale $\frac{4}{32} = \frac18$ , y en $t=-2$ vale $-\frac18$ .
5. Dos tangentes, por punto-pendiente desde $(0,4)$ : $y = 4+\frac{x}{8}$ y $y = 4-\frac{x}{8}$ , o en compacto $y = 4 \pm \frac{x}{8}$ .
$P(0,4)$ es un punto doble de la curva. Es exactamente lo que el «(o tangentes)» del enunciado estaba avisando.

Resolución completa

Datos. La curva $x = t^{5}-4t^{3}$ , $y = t^{2}$ , y el punto $P(0,4)$ . Se piden las tangentes ahí.

1 · El aviso del enunciado

«La recta tangente (o tangentes)». Ese paréntesis es la pista: en una curva paramétrica, un mismo punto del plano puede alcanzarse con varios valores del parámetro. Cada uno es un paso distinto de la curva por ese punto, y cada paso tiene su propia pendiente.

2 · Buscar los parámetros

Hay que imponer las dos coordenadas a la vez:

\begin{cases} t^{5}-4t^{3} = 0 \\ t^{2} = 4 \end{cases}

De la segunda: $t = \pm2$ .

De la primera: $t^{3}\left(t^{2}-4\right) = 0$ , que da $t=0$ y $t=\pm2$ .

Los valores comunes son $t=2$ y $t=-2$ .

El $t=0$ hay que descartarlo explícitamente: cumple la primera ecuación pero no la segunda, y corresponde al punto $(0,0)$ . Es el error que se comete al resolver solo una de las dos.

3 · La derivada

\frac{dx}{dt} = 5t^{4}-12t^{2}, \qquad \frac{dy}{dt} = 2t

\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{5t^{4}-12t^{2}}

Conviene comprobar que el denominador no se anula en los dos parámetros que interesan: $5\cdot16-12\cdot4 = 32 \neq 0$ ✔ para los dos, porque solo aparecen potencias pares de $t$ .

4 · Las dos pendientes

t=2: \quad \frac{dy}{dx} = \frac{4}{80-48} = \frac{4}{32} = \frac18

t=-2: \quad \frac{dy}{dx} = \frac{-4}{80-48} = -\frac{4}{32} = -\frac18

Son opuestas, y hay una razón: $x(t)$ es una función impar de $t$ e $y(t)$ es par. Cambiar $t$ por $-t$ refleja la curva respecto del eje $OY$ , y la curva es simétrica.

5 · Las rectas

Punto-pendiente desde $P(0,4)$ , que además es la ordenada en el origen:

y = 4+\frac{1}{8}x \qquad\text{y}\qquad y = 4-\frac{1}{8}x

\boxed{\;y = 4 \pm \frac{x}{8}\;}

6 · Qué está pasando en ese punto

$P(0,4)$ es un punto doble de la curva: un punto donde se cruza consigo misma. La curva llega ahí una vez con $t=-2$ y otra con $t=2$ , y en cada pasada lleva una dirección distinta.

No es una singularidad ni un fallo: en cada rama por separado la curva es perfectamente suave. Simplemente hay dos ramas.

7 · Comprobación

De que los dos parámetros dan el mismo punto:

t=2: \quad x = 32-32 = 0, \quad y = 4 \quad\checkmark

t=-2: \quad x = -32+32 = 0, \quad y = 4 \quad\checkmark

De las pendientes, numéricamente. Cerca de $t=2$ , con $t = 2{,}05$ :

x = 2{,}05^{5}-4\cdot2{,}05^{3} = 36{,}2-34{,}5 = 1{,}72, \qquad y = 4{,}20

Pendiente aproximada:

\frac{4{,}20-4}{1{,}72-0} \approx 0{,}116

cerca de $\frac18 = 0{,}125$ , y se acerca más cuanto menor sea el salto ✔

De la simetría: con $t=-2{,}05$ sale $x = -1{,}72$ e $y = 4{,}20$ , el punto reflejado. La pendiente aproximada es $-0{,}116$ , la opuesta ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.15 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU

Cuatro valores aproximados sin calculadora

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando el diferencial, aproximar los siguientes valores:

(a) $e^{0,2}$ · (b) $\ln 0{,}9$ · (c) $\sqrt{27}$ · (d) $\mathrm{sen}\,58^{\circ}$

Aproximar los cuatro valores con el diferencial.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que elegir antes de aplicar la fórmula del diferencial?
02
La raíz
COMP2
¿Cuánto sale $\sqrt{27}$ aproximado por el diferencial desde $a=25$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El ángulo
COMP2
Para aproximar $\mathrm{sen}\,58^{\circ}$ hay que apoyarse en $60^{\circ}$ . ¿Cuánto vale $h$ en radianes?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método y los cuatro resultados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La idea. Cerca de un punto, la función y su recta tangente casi coinciden: $f(a+h) \approx f(a)+f'(a)\,h$ .
2. El punto de apoyo se elige donde $f(a)$ y $f'(a)$ se sepan exactamente, y lo más cerca posible del valor buscado.
3. (a) $f=e^{x}$ , $a=0$ , $h=0{,}2$ : $e^{0,2} \approx 1+1\cdot0{,}2 = 1{,}2$ .
4. (b) $f=\ln x$ , $a=1$ , $h=-0{,}1$ : $\ln0{,}9 \approx 0+1\cdot(-0{,}1) = -0{,}1$ .
5. (c) $f=\sqrt x$ , $a=25$ , $h=2$ : $\sqrt{27} \approx 5+\frac{2}{10} = \frac{26}{5} = 5{,}2$ . (d) $f=\mathrm{sen}\,x$ , $a=\frac{\pi}{3}$ , $h=-\frac{\pi}{90}$ : $\mathrm{sen}\,58^{\circ} \approx \frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{180} \approx 0{,}84857$ .
El error del diferencial crece con $h^{2}$ , así que duplicar la distancia multiplica el error por cuatro. Cerca siempre.

Resolución completa

Datos. Cuatro valores que aproximar con el diferencial.

1 · La herramienta

Cerca de un punto, la función y su recta tangente casi no se distinguen:

f(a+h) \approx f(a)+f'(a)\,h

Para que sirva hacen falta dos cosas: que $f(a)$ y $f'(a)$ se conozcan exactamente, y que $h$ sea pequeño. Elegir bien el punto de apoyo es todo el ejercicio.

2 · (a) $e^{0,2}$

f(x) = e^{x}, \qquad f'(x) = e^{x}, \qquad a = 0, \qquad h = 0{,}2

e^{0,2} \approx e^{0}+e^{0}\cdot0{,}2 = 1+0{,}2 = 1{,}2

Valor exacto: $1{,}2214$ . Error: $0{,}021$ , un 1,8 %.

3 · (b) $\ln 0{,}9$

f(x) = \ln x, \qquad f'(x) = \frac{1}{x}, \qquad a = 1, \qquad h = -0{,}1

El apoyo es 1 porque $\ln 1 = 0$ es el único logaritmo que se sabe sin pensar.

\ln 0{,}9 \approx 0+1\cdot(-0{,}1) = -0{,}1

Valor exacto: $-0{,}10536$ . Error: $0{,}005$ .

El signo negativo era de esperar: $0{,}9 < 1$ y el logaritmo de un número menor que 1 es negativo.

4 · (c) $\sqrt{27}$

f(x) = \sqrt x, \qquad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}

El apoyo es $a = 25$ : el cuadrado perfecto más cercano a 27. Con $h=2$ :

\sqrt{27} \approx 5+\frac{1}{2\cdot5}\cdot2 = 5+\frac{2}{10} = \frac{26}{5} = 5{,}2

Valor exacto: $5{,}19615$ . Error: $0{,}004$ , menos del 0,1 %.

Conviene decir por qué no se elige 16, que también es cuadrado perfecto: está mucho más lejos, y el error crece con el cuadrado de la distancia.

5 · (d) $\mathrm{sen}\,58^{\circ}$

El apoyo natural es $60^{\circ}$ , cuyo seno y coseno se saben de memoria. Y aquí está el paso que más se falla:

h = 58^{\circ}-60^{\circ} = -2^{\circ} = -\frac{2\pi}{180} = -\frac{\pi}{90} \approx -0{,}0349

En radianes. La fórmula $\left(\mathrm{sen}\,x\right)' = \cos x$ solo es cierta con el ángulo en radianes; con grados habría un factor $\frac{\pi}{180}$ escondido.

\mathrm{sen}\,58^{\circ} \approx \mathrm{sen}\,\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}\cdot\left(-\frac{\pi}{90}\right) = \frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{90} = \frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{180}

\approx 0{,}866025-0{,}017453 = 0{,}848572

Valor exacto: $0{,}84805$ . Error: $0{,}0005$ .

6 · Comprobación y sentido del error

	aproximado	exacto	error	¿por encima o por debajo?
(a) $e^{0,2}$	$1{,}2$	$1{,}2214$	$0{,}021$	por debajo
(b) $\ln0{,}9$	$-0{,}1$	$-0{,}10536$	$0{,}005$	por encima
(c) $\sqrt{27}$	$5{,}2$	$5{,}19615$	$0{,}004$	por encima
(d) $\mathrm{sen}\,58^{\circ}$	$0{,}84857$	$0{,}84805$	$0{,}0005$	por encima

El sentido del error no es aleatorio, y saberlo es una comprobación en sí misma: la tangente queda por debajo de la curva donde la función es convexa ( $f''>0$ ) y por encima donde es cóncava ( $f''<0$ ).

$e^{x}$ es convexa, así que la aproximación se queda corta ✔
$\ln x$ , $\sqrt x$ y $\mathrm{sen}\,x$ en el primer cuadrante son cóncavas, así que la aproximación se pasa ✔

Los cuatro casos encajan. Si alguno no lo hiciera, habría un error de signo en algún sitio.

Resultado

\boxed{\;e^{0,2} \approx 1{,}2 \qquad \ln0{,}9 \approx -0{,}1 \qquad \sqrt{27} \approx \tfrac{26}{5} = 5{,}2 \qquad \mathrm{sen}\,58^{\circ} \approx \tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{\pi}{180} \approx 0{,}84857\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.16 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU · Cayó en 2014/2015 5E

Tres tramos de carretera que tienen que empalmar suave

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se van a construir tres tramos de carretera, dos de ellos rectos, con pendientes del 6 % y el 4 % respectivamente, y un tramo central parabólico. El tramo parabólico mide 2 km en horizontal, y empalma con la recta de subida en su extremo izquierdo, $A$ , y con la de bajada en el derecho, $B$ .

Calcular las ecuaciones de los tres tramos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa que una carretera «empalme» con otra en un punto?
02
El coeficiente cuadrático
COMP2
Si el tramo parabólico es $y = ax^{2}+bx$ con origen en $A$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura de B
COMP2
¿A qué altura está $B$ respecto de $A$ , en kilómetros?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Elegir el sistema de referencia. Se pone el origen en $A$ , el principio del tramo parabólico: así el tramo central no tiene término independiente.
2. Pendientes en porcentaje. Un 6 % significa pendiente $0{,}06$ , y el tramo que baja al 4 % tiene pendiente $-0{,}04$ .
3. Empalme suave en $A$ : $y'(0) = b = 0{,}06$ . Empalme suave en $B$ : $y'(2) = 4a+b = -0{,}04$ , de donde $a = -0{,}025$ .
4. El tramo central es $y = -0{,}025x^{2}+0{,}06x$ para $0<x<2$ , y el primero es la recta $y = 0{,}06x$ para $x<0$ .
5. El tercero pasa por $B = (2,\;0{,}02)$ con pendiente $-0{,}04$ : $y = -0{,}04x+0{,}1$ para $x>2$ .
Este ejercicio es el 3.6 con un contexto físico: allí se pedía derivabilidad en abstracto, aquí es que el coche no pegue un salto.

Resolución completa

Datos. Dos tramos rectos con pendientes del 6 % y del 4 %, unidos por un tramo parabólico de 2 km de longitud horizontal.

1 · Qué significa «empalmar» en una carretera

Este es el contenido del ejercicio, y es físico antes que matemático.

Si dos tramos solo coincidieran en altura, el vehículo pasaría de una inclinación a otra de golpe: un vértice. Para que la carretera sea transitable las pendientes también tienen que coincidir.

\text{empalmar suave} \iff \text{misma altura} \;\wedge\; \text{misma pendiente} \iff \text{derivable}

Y son las pendientes las que dan las ecuaciones. Las alturas salen después, como consecuencia.

2 · Elegir el sistema de referencia

Conviene poner el origen en $A$ , donde empieza el tramo parabólico. Así:

el tramo central pasa por $(0,0)$ y no tiene término independiente,
$B$ está en $x=2$ .

Elegir bien el origen ahorra una incógnita. Con el origen en otro sitio el problema sale igual, pero con más cuentas.

3 · Las pendientes, con su signo

Un 6 % significa que se sube 6 m por cada 100 m horizontales, es decir pendiente $0{,}06$ .

Y el 4 % es de bajada, así que su pendiente es $-0{,}04$ . Ese signo es la trampa del enunciado: el dibujo lo deja claro, el texto no.

4 · El tramo parabólico

y = ax^{2}+bx, \qquad y' = 2ax+b

En $A$ , es decir $x=0$ :

y'(0) = b = 0{,}06

En $B$ , es decir $x=2$ :

y'(2) = 4a+0{,}06 = -0{,}04 \;\Longrightarrow\; 4a = -0{,}10 \;\Longrightarrow\; a = -0{,}025

\boxed{y = -0{,}025x^{2}+0{,}06x \qquad 0<x<2}

El signo de $a$ es negativo, como tenía que ser: la parábola abre hacia abajo para poder pasar de subir a bajar.

5 · Los tramos rectos

El primero pasa por el origen con pendiente $0{,}06$ :

\boxed{y = 0{,}06x \qquad x<0}

El tercero pasa por $B$ con pendiente $-0{,}04$ . La altura de $B$ :

y(2) = -0{,}025\cdot4+0{,}06\cdot2 = -0{,}1+0{,}12 = 0{,}02

Punto-pendiente desde $B = (2,\;0{,}02)$ :

y-0{,}02 = -0{,}04(x-2) \;\Longrightarrow\; y = -0{,}04x+0{,}08+0{,}02

\boxed{y = -0{,}04x+0{,}1 \qquad x>2}

6 · Lo que sale de propina

La cima. El punto más alto está donde $y'=0$ :

-0{,}05x+0{,}06 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1{,}2 \text{ km}

y(1{,}2) = -0{,}025\cdot1{,}44+0{,}06\cdot1{,}2 = -0{,}036+0{,}072 = 0{,}036 \text{ km}

La carretera alcanza su altura máxima 1,2 km después de $A$ , 36 m por encima de él.

El desnivel neto. $B$ está solo 20 m por encima de $A$ , cuando al 6 % constante habría ganado 120 m. La diferencia es lo que se «pierde» al aplanar y empezar a bajar.

7 · Comprobación

Los dos empalmes, altura y pendiente:

	tramo izquierdo	tramo derecho	¿pega?
$A$ ( $x=0$ ), altura	$0$	$0$	✔
$A$ , pendiente	$0{,}06$	$0{,}06$	✔
$B$ ( $x=2$ ), altura	$0{,}02$	$-0{,}08+0{,}1 = 0{,}02$	✔
$B$ , pendiente	$-0{,}05\cdot2+0{,}06 = -0{,}04$	$-0{,}04$	✔

Los cuatro cuadran. Y una comprobación de sentido común: la parábola llega a su cima en $x=1{,}2$ , que está dentro del tramo $(0,2)$ . Si la cima hubiera caído fuera, el diseño sería incoherente con el dibujo.

Resultado

\boxed{\;y(x) = \begin{cases} 0{,}06x & x<0 \\[4pt] -0{,}025x^{2}+0{,}06x & 0<x<2 \\[4pt] -0{,}04x+0{,}1 & x>2 \end{cases}\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.17 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU

A qué velocidad se aleja el coche del incendio

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El coche de la figura se desplaza hacia la derecha a una velocidad constante de 5 km/h por una carretera recta. El edificio en llamas está al final de una carretera perpendicular, a 3 km del cruce, y en ese instante el coche está a 4 km del cruce.

¿A qué velocidad se está alejando del edificio en llamas?

Calcular la velocidad de alejamiento.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el error que hay que evitar en este tipo de problema?
02
La distancia en ese instante
COMP2
¿A qué distancia del edificio está el coche en ese instante, en km?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de alejamiento
COMP2
¿A qué velocidad se aleja el coche del edificio, en km/h?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Nombrar las magnitudes como funciones del tiempo: $x(t)$ es la distancia del coche al cruce y $d(t)$ la distancia al edificio. El 3 es constante.
2. Relación geométrica, por Pitágoras: $d(t)^{2} = x(t)^{2}+9$ .
3. Derivar respecto del tiempo, sin sustituir todavía: $2d\,d' = 2x\,x'$ , es decir $d' = \frac{x}{d}\,x'$ .
4. Ahora sí, los datos del instante: $x=4$ , $x'=5$ , y $d = \sqrt{16+9} = 5$ .
5. $d' = \frac45\cdot5 = 4$ km/h, menor que la velocidad del coche.
La regla, en una frase: deriva la relación, sustituye después. Los datos del instante son la última línea, nunca la primera.

Resolución completa

Datos. Coche a 5 km/h por una carretera recta, edificio a 3 km del cruce en la perpendicular, coche a 4 km del cruce en ese instante.

1 · Nombrar las magnitudes como funciones del tiempo

Es el paso que hace posible todo lo demás:

símbolo	qué es	¿varía?
$x(t)$	distancia del coche al cruce	sí, $x' = 5$ km/h
$d(t)$	distancia del coche al edificio	sí, es la incógnita
$3$	distancia del edificio al cruce	no, es constante

Que el 3 sea constante y el 4 no lo sea es toda la diferencia. El 4 es un valor en un instante; el 3 es un dato del problema.

2 · La relación geométrica

Las dos carreteras son perpendiculares, así que el coche, el cruce y el edificio forman un triángulo rectángulo. Por Pitágoras:

d(t)^{2} = x(t)^{2}+3^{2} = x(t)^{2}+9

Escrita en general, con las funciones del tiempo. Sin sustituir nada.

3 · Derivar respecto del tiempo

2d\,\frac{dd}{dt} = 2x\,\frac{dx}{dt}

—el 9 es constante y su derivada es 0—. Simplificando:

\frac{dd}{dt} = \frac{x}{d}\cdot\frac{dx}{dt}

4 · Ahora sí: los datos del instante

x = 4, \qquad \frac{dx}{dt} = 5, \qquad d = \sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5

\frac{dd}{dt} = \frac{4}{5}\cdot 5 = 4 \text{ km/h}

\boxed{\;v = 4 \text{ km/h}\;}

5 · El error que este problema está diseñado para provocar

Si se sustituye antes de derivar:

d^{2} = 4^{2}+9 = 25 \;\Longrightarrow\; d = 5

una constante. Y su derivada es cero: saldría que el coche no se aleja del edificio, lo cual es absurdo.

El fallo es conceptual, no de cuentas: al sustituir se congela lo que debía variar. Los números del instante describen una foto, y la derivada mide el cambio entre fotos.

La regla: deriva la relación, sustituye después.

6 · Por qué 4 y no 5

El resultado es menor que la velocidad del coche, y eso tiene una explicación geométrica que merece la pena escribir.

Solo la componente del movimiento en la dirección que une coche y edificio contribuye a alejarse. La otra componente lo hace girar alrededor del edificio sin cambiar la distancia.

El factor $\frac{x}{d} = \frac45$ es justamente el coseno del ángulo entre la carretera y la línea coche-edificio:

\frac{dd}{dt} = v\cos\theta = 5\cdot\frac45 = 4

7 · Comprobación

Casos límite, que confirman la fórmula sin repetir la cuenta:

Si el coche estuviera en el cruce ( $x=0$ ), sería $\frac{dd}{dt} = 0$ : en ese instante se mueve perpendicularmente a la línea que lo une con el edificio, así que no se aleja nada ✔
Si estuviera muy lejos ( $x \to \infty$ ), entonces $\frac{x}{d} \to 1$ y $\frac{dd}{dt} \to 5$ : de lejos, la carretera y la línea al edificio son casi paralelas ✔

Los dos extremos encajan, y el caso del problema queda entre ellos.

Numéricamente, con un salto pequeño: un minuto después — $\frac{1}{60}$ h— el coche ha avanzado $\frac{5}{60} = 0{,}0833$ km, y entonces

d = \sqrt{4{,}0833^{2}+9} = \sqrt{16{,}6733+9} = 5{,}0669

\frac{5{,}0669-5}{1/60} \approx 4{,}01 \text{ km/h} \quad\checkmark

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.18 · Problemas complementarios, tema 3 · Cálculo, UPV/EHU

La velocidad de un avión medida por su ángulo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un avión vuela con una velocidad y una altitud de $h = 6$ km constantes hacia una estación de radar que se encuentra en la superficie de la tierra. En un momento dado, desde la estación se ve el avión con un ángulo de $30^{\circ}$ , y este ángulo crece a un ritmo de $0{,}5^{\circ}$ por segundo.

Calcular la velocidad del avión.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación conviene usar entre el ángulo $\alpha$ y la distancia horizontal $x$ ?
02
El ritmo del ángulo, en radianes
COMP2
$0{,}5^{\circ}$ por segundo, ¿cuántos radianes por segundo son?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad
COMP2
¿Cuál es el valor absoluto de la velocidad del avión, en km/s?
Tu respuesta al paso 3un número, o una expresión como π/15 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Elegir la relación. Con $x(t)$ la distancia horizontal al radar y $\alpha(t)$ el ángulo de elevación, $\tan\alpha = \frac{h}{x}$ con $h=6$ constante.
2. Despejar lo que se busca: $x = \dfrac{h}{\tan\alpha} = h\cot\alpha$ .
3. Convertir el ritmo a radianes, porque la derivada trigonométrica solo vale ahí: $\alpha' = 0{,}5^{\circ}/\text{s} = \frac{\pi}{360}$ rad/s.
4. Derivar respecto del tiempo: $x' = -\dfrac{h}{\mathrm{sen}^{2}\alpha}\,\alpha'$ .
5. Sustituir el instante: $\alpha = 30^{\circ}$ , $\mathrm{sen}\,30^{\circ} = \frac12$ , y sale $x' = -\frac{\pi}{15} \approx -0{,}209$ km/s. El signo negativo dice que se acerca.
$0{,}209$ km/s son 754 km/h, plausible para un avión comercial. Ese contraste con la realidad es la mejor comprobación del ejercicio.

Resolución completa

Datos. Avión a $h=6$ km de altura constante, acercándose al radar. En el instante considerado el ángulo de elevación es $30^{\circ}$ y crece a $0{,}5^{\circ}$ por segundo.

1 · Elegir bien la relación

Hay varias relaciones trigonométricas posibles y no todas sirven igual. La clave es elegir la que ligue el ángulo con la magnitud constante y la que varía, sin meter una tercera.

Con $x(t)$ la distancia horizontal del avión al radar:

\tan\alpha = \frac{h}{x} = \frac{6}{x}

Aquí $h$ es constante y $x$ es lo que se busca. Si en cambio se usara $\mathrm{sen}\,\alpha = \frac{h}{r}$ , aparecería la distancia oblicua $r$ , que también varía, y haría falta otra ecuación.

2 · Despejar la magnitud que interesa

x = \frac{h}{\tan\alpha} = h\cot\alpha

3 · Convertir el ritmo a radianes

Paso obligatorio, y el que más se olvida:

\frac{d\alpha}{dt} = 0{,}5^{\circ}/\text{s} = 0{,}5\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{360} \text{ rad/s}

La fórmula $\left(\cot\alpha\right)' = -\frac{1}{\mathrm{sen}^{2}\alpha}$ presupone el ángulo en radianes. Con grados hay un factor $\frac{\pi}{180}$ escondido.

4 · Derivar respecto del tiempo

\frac{dx}{dt} = h\cdot\left(-\frac{1}{\mathrm{sen}^{2}\alpha}\right) \cdot\frac{d\alpha}{dt} = -\frac{h}{\mathrm{sen}^{2}\alpha}\cdot\frac{d\alpha}{dt}

Escrita en general, sin sustituir todavía.

5 · Sustituir el instante

\alpha = 30^{\circ}, \qquad \mathrm{sen}\,30^{\circ} = \frac12, \qquad \mathrm{sen}^{2}30^{\circ} = \frac14

\frac{dx}{dt} = -\frac{6}{\frac14}\cdot\frac{\pi}{360} = -24\cdot\frac{\pi}{360} = -\frac{24\pi}{360} = -\frac{\pi}{15}

\boxed{\;\frac{dx}{dt} = -\frac{\pi}{15} \approx -0{,}209 \text{ km/s}\;}

6 · El signo es parte de la respuesta

$\frac{dx}{dt}$ sale negativo, y eso no es un error: significa que $x$ disminuye, es decir que el avión se acerca al radar. Coincide con el enunciado, que dice que el ángulo crece — y el ángulo crece justamente porque el avión se acerca.

Si hubiera salido positivo, habría un error de signo en algún sitio.

7 · Comprobación con la realidad

La mejor comprobación de este problema es traducir el resultado a unidades que uno pueda juzgar:

0{,}209 \text{ km/s} \times 3600 \frac{\text{s}}{\text{h}} \approx 754 \text{ km/h}

Perfectamente plausible para un avión comercial de pasajeros.

Y sirve para cazar el error de las unidades: sin convertir a radianes el resultado habría sido

-\frac{6}{1/4}\cdot 0{,}5 = -12 \text{ km/s} = 43\,200 \text{ km/h}

unas 35 veces la velocidad del sonido. El disparate delata el fallo al instante, y por eso conviene siempre acabar preguntándose si el número es creíble.

8 · Comprobación numérica

Con un salto de un segundo: el ángulo pasa a $30{,}5^{\circ}$ y entonces

x = \frac{6}{\tan 30{,}5^{\circ}} = \frac{6}{0{,}5890} = 10{,}187 \text{ km}

mientras que antes era

x = \frac{6}{\tan 30^{\circ}} = \frac{6}{0{,}5774} = 10{,}392 \text{ km}

La diferencia es $-0{,}205$ km en un segundo, cerca de los $-0{,}209$ km/s calculados ✔ — y la pequeña discrepancia es justo el error de usar un salto finito en vez de una derivada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Funciones reales de variable real

El dominio se busca prohibiendo

La inversa existe cuando no hay empates

Un límite no existe si dos caminos discrepan

Continuidad es una igualdad de tres cosas

Bolzano no encuentra la raíz, garantiza que existe

El punto fijo, que es Bolzano disfrazado

Weierstrass: en un intervalo cerrado el máximo se alcanza

La derivada es un límite, y a veces hay que calcularlo como tal

Derivar sin despejar

La derivada como velocidad

El diferencial: la recta tangente como calculadora

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

El extremo derecho

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un valor de comprobación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El límite por la derecha

El parámetro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El extremo izquierdo

El extremo derecho

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada de la relación

El resultado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor aproximado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caso que casi nadie ve

Un rango con vértice

Justificar el argumento

1 · Las dos preguntas se hacen al revés

2 · (a) f(x)=x2−3x+2f(x) = x^{2}-3x+2f(x)=x2−3x+2

3 · (b) f(x)=1+2 sen xf(x) = 1+2\,\mathrm{sen}\,xf(x)=1+2senx

4 · (c) f(x)=2+∣x+1∣f(x) = 2+\left|x+1\right|f(x)=2+∣x+1∣

5 · (d) f(x)=x−1−2f(x) = \sqrt{x-1}-2f(x)=x−1​−2

6 · (e) f(x)=3π2+3arcsin⁡(2x)f(x) = \frac{3\pi}{2}+3\arcsin(2x)f(x)=23π​+3arcsin(2x)

7 · (f) f(x)=−π+arccos⁡(x)f(x) = -\pi+\arccos(x)f(x)=−π+arccos(x)

8 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El apartado del signo

La inversa del coseno hiperbólico

Justificar el argumento

1 · Por qué el enunciado da los dominios

2 · El método, y la comprobación que lo acompaña

3 · (a) f(x)=1+e2xf(x) = 1+e^{2x}f(x)=1+e2x en R\mathbb{R}R

4 · (b) f(x)=x2−1f(x) = x^{2}-1f(x)=x2−1 en (−∞,0](-\infty,0](−∞,0]

5 · (c) y (d), directos

6 · (e) y (f), las hiperbólicas

7 · La diferencia entre (e) y (f), que es todo el tema

Resultado

Reconocer el camino

Apartado (a)

Apartado (b), el que tiene dos soluciones

Justificar el argumento

1 · Dónde se juega el ejercicio

2 · Apartado (a)

3 · Apartado (b)

4 · Comprobación

Resultado

Reconocer el camino

El primer camino

El segundo camino

Justificar el argumento

1 · La herramienta, y por qué el enunciado da dos sucesiones

2 · El primer camino

3 · El segundo camino

4 · Conclusión

5 · Qué está pasando de verdad

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El extremo derecho del intervalo

2 · (a) $f(x) = x^{2}-3x+2$

3 · (b) $f(x) = 1+2\,\mathrm{sen}\,x$

4 · (c) $f(x) = 2+\left|x+1\right|$

5 · (d) $f(x) = \sqrt{x-1}-2$

6 · (e) $f(x) = \frac{3\pi}{2}+3\arcsin(2x)$

7 · (f) $f(x) = -\pi+\arccos(x)$

3 · (a) $f(x) = 1+e^{2x}$ en $\mathbb{R}$

4 · (b) $f(x) = x^{2}-1$ en $(-\infty,0]$

3 · En $x=-1$ : no derivable

4 · En $x=2$ : sí derivable

2 · (a) $f(x) = 1+e^{2x}$

3 · (b) $f(x) = x^{2}-1$ en $(-\infty,0]$

4 · (c) $f(x) = \ln(x+3)$