Preparar la segunda evaluación

El suelo, que no se examina solo

no da puntos — los sostiene todos4 escalones

Nada por sí mismo. Es lo que los cuatro ejercicios dan por sabido: buscar un dominio, invertir una función, pegar dos trozos y derivar.

En once años no ha caído un ejercicio que sea «halla el dominio». Pero un problema de optimización que plantea mal el intervalo, o un Taylor sobre una inversa que se invirtió con el signo cambiado, ya están perdidos antes de empezar. Es corto y va primero por eso.

El dominio se busca prohibiendo

Recorrer una fórmula buscando lo que no siempre se puede hacer, y escribir el intervalo que queda.

leerEl dominio se busca prohibiendo

El dominio no se calcula, se descarta. Y la cuarta prohibición, la de arcoseno y arcocoseno, es la que nadie mira.

ejemploUn dominio con una restricción que no se ve
Empieza aquí. Una sola función y la restricción que no está escrita en ninguna parte de la fórmula.
prácticaSeis dominios y seis rangos
Seis dominios de un tirón. Si salen en cinco minutos, esto está.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un dominio con una restricción que no se ve

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar el dominio de $f(x) = \arcsin(2x)$ .

El intervalo de valores de x para los que la función existe.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué operación de esta fórmula puede fallar?
02
El extremo derecho
COMP2
De $-1 \le 2x \le 1$ , ¿cuál es el mayor valor que puede tomar $x$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\arcsin$ solo está definido para argumentos en $[-1,1]$ .
2. Aquí el argumento es $2x$ , luego se exige $-1 \le 2x \le 1$ .
3. Dividiendo entre 2, el dominio es $\left[-\frac12,\frac12\right]$ .
4. Los extremos entran, porque $\arcsin(\pm1)$ sí existe.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante cualquier fórmula mires las cuatro prohibiciones sin que se te olvide la de las trigonométricas inversas, que es la que no se ve.

La inversa, y el signo que hay que elegir

Decidir si una función tiene inversa en un dominio dado, despejarla y quedarte con la rama correcta.

leerLa inversa existe cuando no hay empates

La inversa depende del dominio en el que se mire, no de la fórmula. El signo al despejar es la mitad de los errores del tema.

ejemploUna inversa, y el signo que hay que elegir
El caso mínimo donde el signo decide, con un valor de comprobación que lo hace evidente.
prácticaSeis inversas, y el signo que decide una de ellas
Seis inversas, y el signo que decide una de ellas.
examenEl coseno hiperbólico, y el trozo que sí se puede invertir
De la recuperación de la quinta de 2015-2016. El coseno hiperbólico no es inyectivo, y el ejercicio pide elegir el trozo donde sí lo es: es exactamente de lo que trata este escalón.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una inversa, y el signo que hay que elegir

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar la inversa de $f(x) = x^{2}$ definida en $(-\infty, 0]$ .

La fórmula de la inversa, con el signo correcto.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado se molesta en decir el dominio?
02
Un valor de comprobación
COMP2
Si $f^{-1}$ es la inversa, ¿cuánto vale $f^{-1}(9)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza sobra.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $(-\infty,0]$ la función es inyectiva, así que tiene inversa.
2. De $y = x^{2}$ se despeja $x = \pm\sqrt{y}$ .
3. Como el dominio de partida son los negativos, se toma la raíz negativa.
4. $f^{-1}(x) = -\sqrt{x}$ , definida para $x \ge 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Comprobar siempre que el dominio de la inversa coincide con el rango de la función. Si no cuadra, uno de los dos está mal.

Continuidad, y los empalmes

Comprobar las tres condiciones de continuidad en el punto donde una función a trozos cambia de definición.

leerContinuidad es una igualdad de tres cosas

ejemploUn parámetro que pega dos trozos
Un parámetro y un solo empalme. Es el esqueleto de todos los ejercicios de trozos del tema.
prácticaDos parámetros para pegar dos trozos
prácticaContinua en dos puntos, derivable solo en uno
Y el escalón siguiente: continua no implica derivable. En el empalme puede haber un pico.
prácticaTres tramos de carretera que tienen que empalmar suave

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un parámetro que pega dos trozos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar el valor de $k$ para que la función

f(x) = \begin{cases} x + k & x < 2 \\[4pt] x^{2} & x \ge 2 \end{cases}

sea continua en todo $\mathbb{R}$ .

El valor de k.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde puede fallar la continuidad de esta función?
02
El límite por la derecha
COMP2
¿Cuánto vale $\lim_{x\to 2^{+}} f(x)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El parámetro
COMP2
Igualando los dos límites laterales, ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Cada trozo es un polinomio, luego solo puede fallar en $x=2$ .
2. Por la izquierda el límite vale $2+k$ ; por la derecha, 4.
3. Además $f(2) = 4$ , porque el 2 pertenece a la segunda rama.
4. Igualando las tres cosas, $k = 2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Saber que son tres condiciones y no dos, y que la tercera —que el límite valga lo que vale la función— es la que se olvida.

La derivada como límite

Calcular una derivada con la definición cuando las reglas no valen, y demostrar que un límite no existe con dos sucesiones.

leerLa derivada es un límite, y a veces hay que calcularlo como tal

Y el atajo tentador que no vale: derivar cada trozo y comparar las fórmulas no es lo mismo que comparar las derivadas laterales.

prácticaDos derivadas calculadas como manda la definición
prácticaDos sucesiones que discrepan
Dos sucesiones que discrepan. Es la única forma limpia de demostrar que un límite NO existe, y vuelve en la tercera evaluación.

Lo tienes cuando

Reconocer los dos casos en que la definición es obligatoria: cuando el enunciado lo dice y cuando el punto es un empalme.

lo tienes cuando:

Sacar el dominio de una función con arcoseno dentro sin que se te escape la restricción, invertir una función eligiendo bien el signo, y decidir si una función a trozos es derivable en el empalme calculando las dos derivadas laterales. Sin dudar en ninguno de los tres.

El problema de optimización aplicado

9 de 11 años — casi siempre cierra el examen2 escalones

Cae 9 de 11 años

Encontrar las dimensiones que hacen máximo o mínimo algo — área, volumen, coste, distancia — a partir de un enunciado con palabras y un dibujo.

El hueco más frecuente de esta evaluación: nueve de los once años, y casi siempre el último ejercicio. Vale entre 7 y 8 puntos de cálculo, que es el máximo de COMP2 del examen. Y se falla antes de derivar: el paso de derivar es mecánico, y lo que puntúa es plantear.

Plantear, que es donde se falla

Separar la función objetivo de la restricción, y dejar el objetivo con una sola variable y su intervalo.

leerOptimizar es traducir, no derivar

Los siete pasos, y por qué el intervalo hay que escribirlo en el paso 1: si no está escrito, los bordes no se evalúan.

ejemploOptimizar, con la restricción a la vista
Empieza aquí. Objetivo y restricción a la vista, y el resultado es el que hay que reconocer: de todos los rectángulos con el mismo perímetro, el cuadrado.
prácticaUn producto máximo con la suma fijada
El mismo esqueleto sin decorado geométrico.
prácticaEl rectángulo más grande bajo una parábola
prácticaLa caja de cartón que menos material gasta
prácticaEl canal que más agua lleva
prácticaEl rectángulo más grande dentro de media circunferencia
prácticaEl rectángulo más grande dentro de un triángulo
prácticaEl póster que menos cartón gasta
prácticaEl triángulo más pequeño que pasa por un punto
examenEl tanque de propano, y por qué no sale una esfera
De la recuperación de la quinta de 2017-2018. Un tanque cilíndrico con dos casquetes, y la pregunta de fondo: por qué la solución óptima no es una esfera.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Optimizar, con la restricción a la vista

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Con 20 metros de valla se quiere cercar un rectángulo. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

Las dimensiones del rectángulo de área máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
En un problema de optimización, ¿qué es la «función objetivo»?
02
El objetivo con una sola variable
COMP2
Con perímetro $2x+2y=20$ , se despeja $y = 10-x$ y el área queda $A(x) = x(10-x)$ . ¿En qué valor de $x$ se anula $A'(x)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Objetivo, el área $A = xy$ ; restricción, el perímetro $2x+2y=20$ .
2. De la restricción, $y = 10-x$ , y el objetivo queda $A(x)=10x-x^{2}$ .
3. El intervalo es $0 < x < 10$ , porque los lados son positivos.
4. $A'(x)=10-2x$ se anula en $x=5$ , y $A''=-2<0$ , luego es máximo.
5. Con $x=5$ sale $y=5$ , un cuadrado de 25 m².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Llegar a la función de una variable sin haber derivado todavía. Si al empezar a derivar aún tienes dos incógnitas, el planteamiento está incompleto.

Cerrar el problema, con Weierstrass

Comprobar que el punto crítico es el extremo que se pide, evaluando también en los bordes del intervalo.

leerWeierstrass: en un intervalo cerrado el máximo se alcanza

El teorema que garantiza que el máximo existe, y que convierte el paso 6 en evaluar cuatro números y compararlos.

ejemploDos magnitudes que cambian a la vez
Traducir un enunciado a una función de una variable, sin optimizar todavía.
examenEl triángulo más grande bajo una exponencial
Del más reciente hacia atrás. El bloque está cuando salgan tres seguidos sin abrir la pista.
examenEl punto de la parábola más cercano a un punto dado
examenDiez metros de alambre entre un cuadrado y un triángulo
examenLa recta que hace mínima la suma de los cortes
examenLa caja más grande que sale de un cartón
examenLa tangente que recorta el triángulo más pequeño
examenDiez metros de alambre entre un círculo y un cuadrado
examenEl cable más corto entre dos postes
examenEl depósito más barato, con dos precios distintos

Lo tienes cuando

Hacer uno de examen entero, con su dibujo, su intervalo y su comprobación de sentido físico. Sin dejar el paso 6 a medias.

lo tienes cuando:

Coger un enunciado nuevo y llegar a la función objetivo de una sola variable, con su intervalo escrito, en menos de cinco minutos. Y cerrar siempre comprobando que es máximo o mínimo y que la solución tiene sentido físico.

Los teoremas, enunciados y demostrados

8 de 11 — puntos de explicar, no de calcular4 escalones

Cae 8 de 11 años

Enunciar un teorema con sus hipótesis, demostrarlo, o construir un ejemplo que enseñe qué pasa cuando una hipótesis falla.

El bloque de COMP4 de esta evaluación, y el segundo más frecuente: ocho de los once años. Aquí el cálculo vale poco o nada — en 2019-2020 el ejercicio de Fermat valía diez puntos y ninguno era de calcular. Es donde más nota se gana por hora de estudio, porque el material es cerrado: son cinco teoremas y no cambian.

Fermat, y por qué se busca donde la derivada se anula

Demostrar que en un extremo interior la derivada se anula, y reconocer que el recíproco es falso.

leerFermat: por qué se busca donde la derivada se anula

El que justifica todo lo demás, y el que más veces se ha pedido demostrado. La demostración cabe en tres líneas.

ejemploUn punto crítico, y decidir qué es
Empieza aquí. Se ve que anularse no basta y que hace falta la segunda derivada para decidir qué es cada punto.
examenPor qué la derivada se anula en un máximo
Diez puntos, y ninguno de calcular.
examenDos propiedades encadenadas

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un punto crítico, y decidir qué es

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para $f(x) = x^{3} - 3x$ , encontrar sus puntos críticos y clasificarlos.

Los puntos donde la derivada se anula y qué es cada uno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si $f'(c) = 0$ , ¿qué se puede afirmar del punto $c$ ?
02
El punto crítico positivo
COMP2
Resolviendo $f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0$ , ¿cuál es la solución positiva?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Clasificarlo
COMP2
Con $f''(x) = 6x$ , ¿cuánto vale $f''(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f'(x) = 3x^{2}-3$ se anula en $x = \pm 1$ .
2. $f''(x) = 6x$ , y $f''(1) = 6 > 0$ , luego en $x=1$ hay un mínimo.
3. $f''(-1) = -6 < 0$ , luego en $x=-1$ hay un máximo.
4. Son extremos relativos y no absolutos, porque la función no está acotada.

Resolución completa

Los candidatos. Se buscan donde la derivada se anula, que es lo que Fermat autoriza:

f'(x) = 3x^{2}-3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1

Clasificarlos con el signo de la segunda derivada, $f''(x) = 6x$ :

punto	$f''$	qué es
$x=-1$	$-6 < 0$	máximo relativo
$x=1$	$6 > 0$	mínimo relativo

El detalle que se pierde. Son extremos relativos. La función es una cúbica y no está acotada, así que no tiene máximo ni mínimo absolutos. Si el enunciado pidiera absolutos sobre un intervalo cerrado, habría que evaluar también en los bordes.

Y si $f''(c)$ saliera cero, el criterio no diría nada y habría que mirar el signo de $f'$ a los dos lados del punto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Recitar las tres palabras del enunciado —local, interior, derivable— con un contraejemplo para cada una.

Rolle y Lagrange, que son el mismo

Comprobar las dos hipótesis en sus dos intervalos y encontrar el punto que el teorema garantiza.

leerRolle y Lagrange son el mismo teorema

Continuidad en el cerrado y derivabilidad en el abierto. La diferencia entre los dos intervalos no es un descuido.

ejemploEl teorema del valor medio, aplicado
Empieza aquí. Las hipótesis, la pendiente media y el punto, con los números más simples posibles.
prácticaTres funciones y una pendiente media
prácticaTres veces que la derivada tiene que anularse
examenConstruir los tres casos posibles de Lagrange
Construir los tres casos posibles, que es la variante dura.
examenRolle, demostrado y luego negado
examenProlongar una parábola y buscarle el punto medio

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El teorema del valor medio, aplicado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Comprobar que $f(x) = x^{2}$ cumple las hipótesis del teorema de Lagrange en $[0,2]$ y encontrar el punto $c$ que el teorema garantiza.

La comprobación de las hipótesis y el valor de c.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dos hipótesis pide el teorema de Lagrange, y en qué intervalos?
02
La pendiente media
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto que el teorema garantiza
COMP2
Resolviendo $f'(c) = 2$ , con $f'(x) = 2x$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza sobra.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(x)=x^{2}$ es un polinomio, luego continua en $[0,2]$ y derivable en $(0,2)$ .
2. La pendiente media vale $\frac{4-0}{2} = 2$ .
3. Lagrange garantiza un $c \in (0,2)$ con $f'(c) = 2$ .
4. Resolviendo $2c = 2$ sale $c = 1$ , que efectivamente está dentro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Escribir los dos enunciados sin confundir el cerrado con el abierto, y saber que Rolle es Lagrange cuando la pendiente media vale cero.

Bolzano, existencia y unicidad

Demostrar que una ecuación tiene solución en un intervalo, y añadir el argumento que prueba que es única.

leerBolzano no encuentra la raíz, garantiza que existe

Con la figura. Es un teorema de existencia: dice que la hay, no dónde.

ejemploBolzano, y por qué la raíz existe
Empieza aquí. Nombrar la función, comprobar los signos y concluir. Tres líneas.
prácticaUna raíz que existe, y que además es la única
examenDos teoremas para dos preguntas casi iguales
examenDos teoremas para el mismo extremo
examenUna raíz que existe, y demostrar que no hay más
De la recuperación de la quinta de 2016-2017. Bolzano da la existencia y la monotonía da la unicidad: las dos mitades del argumento, en un solo ejercicio.
examenEl teorema de Darboux, y por qué no basta con Bolzano
De la recuperación de la quinta de 2018-2019, y vale 0/0/10: enunciar y demostrar Darboux. Está aquí porque el propio enunciado lo contrasta con Bolzano, y la diferencia es la pregunta.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Bolzano, y por qué la raíz existe

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que la ecuación $x^{3} + x - 1 = 0$ tiene una solución en el intervalo $[0,1]$ .

La comprobación de las hipótesis y la conclusión.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué garantiza el teorema de Bolzano?
02
El extremo izquierdo
COMP2
Con $f(x) = x^{3}+x-1$ , ¿cuánto vale $f(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El extremo derecho
COMP2
¿Y cuánto vale $f(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(x) = x^{3}+x-1$ es un polinomio, luego es continua en $[0,1]$ .
2. $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 1 > 0$ , signos distintos.
3. Por Bolzano existe $c \in (0,1)$ con $f(c) = 0$ .
4. Ese $c$ es la solución de la ecuación que se pedía.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Distinguir los dos argumentos: Bolzano da la existencia, y la unicidad sale del signo constante de la derivada. Son dos, y los dos hay que escribirlos.

El punto fijo, que es Bolzano disfrazado

Construir la función auxiliar que convierte un problema de punto fijo en uno de Bolzano.

leerEl punto fijo, que es Bolzano disfrazado

Ese paso de restar la x es lo que se puntúa. Nadie lo ve la primera vez, y una vez visto se reutiliza.

ejemploBolzano, y por qué la raíz existe
Bolzano aplicado sin disfraz. El punto fijo es esto con la función auxiliar delante.
examenToda función que no se sale de su intervalo tiene un punto fijo
Ocho de los diez puntos del ejercicio.
examenLa desigualdad que sobrevive al límite
Este es de sucesiones y está aquí a propósito: es la única vez en once años que la segunda evaluación pidió una demostración del tema 2, y la técnica es la misma.

Lo tienes cuando

Que el paso de restar la x te salga solo, y que sepas despachar en una línea los casos de igualdad en los extremos.

lo tienes cuando:

Escribir de memoria, en papel y sin apuntes, los enunciados de Fermat, Rolle, Lagrange, Bolzano y Weierstrass con sus hipótesis exactas, y para cada uno un contraejemplo de lo que pasa al quitarle una. Si tienes que pensar cuál pide continuidad en el cerrado, todavía no.

Taylor, y la cota del error que se olvida

7 de 11 — la cota del error es lo que se deja3 escalones

Cae 7 de 11 años

Calcular un polinomio de Taylor o de Maclaurin, usarlo para aproximar un valor, y acotar el error cometido. O al revés: cuántos términos hacen falta para una precisión dada.

Siete de los once años. Es el bloque que más se deja a medias, porque calcular el polinomio se hace y acotar el resto no: el resto suele valer tantos puntos como el cálculo, y una aproximación sin cota es un número sin garantía.

Construir el polinomio

Calcular el polinomio de Taylor de un orden dado alrededor de un punto, y reconocer que Maclaurin es el caso centrado en cero.

leerEl polinomio de Taylor es la mejor imitación local

Incluye qué es Maclaurin, y por qué reconstruir un polinomio a partir de condiciones no necesita plantear un sistema.

ejemploUn polinomio de Taylor de orden 2
Empieza aquí. El desarrollo más simple que hay, y su cota del resto calculada al final.
prácticaLa tangente de dos grados, y cuánto se equivoca
examenReconstruir una cúbica a partir de cuatro pistas
La variante de contar condiciones: un polinomio de grado n queda fijado por n+1 datos.
examenCuántas condiciones caben en un polinomio
examenLos signos de un polinomio de Taylor, leídos en la gráfica
De la recuperación de la quinta de 2016-2017, y vale 1/2/7. No hay que calcular el polinomio: hay que decir el signo de cada coeficiente mirando la gráfica.
examenEl polinomio de McLaurin sin resolver la ecuación
De la recuperación de la quinta de 2020-2021. La función viene dada por una ecuación implícita y aun así el polinomio sale, derivando la ecuación en vez de la función.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un polinomio de Taylor de orden 2

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el polinomio de Maclaurin de orden 2 de $f(x) = e^{x}$ y usarlo para aproximar $e^{0{,}1}$ .

El polinomio y el valor aproximado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué quiere decir que el polinomio sea «de Maclaurin»?
02
El coeficiente de x²
COMP2
En $P_2(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2}$ , ¿cuánto vale el coeficiente de $x^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con dos decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
Sustituyendo $x = 0{,}1$ , ¿cuánto vale $P_2(0{,}1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , y en 0 valen 1.
2. Luego $P_2(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ .
3. Sustituyendo $x = 0{,}1$ sale $1{,}105$ .
4. Es una aproximación, así que la respuesta completa lleva una cota del error.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la fórmula te salga sin mirarla, con sus factoriales en el denominador, y que sepas que los coeficientes son las derivadas.

El resto, que es lo que se pregunta

Acotar el error de una aproximación, y resolver el problema inverso: cuántos términos hacen falta para una precisión dada.

leerEl resto es la parte que se suele olvidar, y es la que se pregunta

El punto intermedio no se conoce y no hace falta: se acota. Los dos ejercicios típicos salen los dos de aquí.

prácticaCuántos términos para una precisión dada
examenUna cota de error, y el error de verdad
Aquí y en el siguiente el ejercicio ES la cota. Comparar la cota con el error de verdad es lo que se pregunta.
examenAcotar el error hacia atrás
examenLa raíz cúbica de 0,9 sin calculadora
examenEl polinomio de una exponencial cuyo exponente no se conoce

Lo tienes cuando

Que nunca entregues un valor aproximado sin su cota, aunque el enunciado no la pida con esas palabras.

Los seis que hay que saberse

Obtener el desarrollo de una función componiendo o derivando uno de los seis conocidos, en vez de calcular derivadas sucesivas.

leerSeis desarrollos que conviene tener memorizados

La serie binómica es la que resuelve las raíces sin calculadora, que es como cayó en 2020-2021.

prácticaOcho desarrollos, y solo tres hay que calcular
Ocho desarrollos y solo tres hay que calcular.
examenTaylor sobre una curva que no se puede despejar
La variante moderna, en la que la función no se puede despejar.
examenTaylor de una composición leída en seis curvas
examenResolver una ecuación diferencial con una serie
examenEl desarrollo del logaritmo, y la serie que sale de él
De la recuperación de la quinta de 2015-2016. Del desarrollo del logaritmo sale la suma de la armónica alternada: el mismo truco de evaluar en un punto que usa Fourier.
examenTres desarrollos de McLaurin, y el tercero no existe
De la recuperación de la quinta de 2018-2019. Tres desarrollos, y el tercero no existe: saber decir por qué vale tanto como calcular los otros dos.

Lo tienes cuando

Escribir los seis de memoria con su radio de convergencia, que forma parte de la respuesta.

lo tienes cuando:

Escribir el polinomio de Maclaurin de orden n de cualquiera de los seis desarrollos de memoria, y a continuación acotar el resto sin que te lo pidan. Y saber hacer el ejercicio en las dos direcciones.

La derivada leída en una gráfica, y las velocidades

7 de 11 — el que más cambia de forma4 escalones

Cae 7 de 11 años

Sacar conclusiones sobre una función a partir de la gráfica de su derivada, derivar una inversa o una implícita, o resolver un problema de velocidades relacionadas.

Siete de los once años, y es el hueco que más ha cambiado de forma: hasta 2018-2019 eran razones de cambio con enunciado; desde 2023-2024, los tres últimos cursos seguidos, el enunciado trae dibujada la derivada y hay que contestar sobre la función. Es el formato más nuevo del examen.

Cuando lo dibujado es la derivada

Traducir cada rasgo de la gráfica de la derivada en una propiedad de la función que no ves.

leerCuando lo que te dan dibujado es la derivada

Con la figura. Es el formato de los tres últimos cursos y desconcierta la primera vez.

ejemploLo dibujado es la derivada, no la función
Empieza aquí, con la derivada más simple posible, y fíjate en lo que no se puede saber.
examenUna composición leída en dos gráficas
examenTodo lo que dice la gráfica de la derivada
examenUna derivada dibujada, y dos velocidades
examenCuál de las dos curvas es la derivada
examenCuál de las dos curvas es la derivada, y qué hace la cuarta potencia
De la recuperación de la quinta de 2018-2019, y es el mismo formato que volvió a caer en 2021-2022 y en 2023-2024: dos curvas sin etiquetar, y hay que decidir cuál es cuál antes de poder hacer nada.
examenUna composición que cambia de sentido cuatro veces
De la recuperación de la quinta de 2017-2018. El signo de la derivada de una composición se lee encadenando dos gráficas, y cambia cuatro veces.
examenCuál de las dos gráficas es la derivada
Del examen global de mayo-junio de 2020, y es la cuarta vez que cae este formato. Aquí la identificación no es el ejercicio: es el requisito para poder empezar el apartado b).

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Lo dibujado es la derivada, no la función

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La gráfica de $f'$ es una recta que pasa por el origen con pendiente positiva, es decir $f'(x) = x$ . Decir dónde crece $f$ , dónde tiene extremos y cómo se curva.

Los intervalos de crecimiento, los extremos y la concavidad de f.

01
Reconocer el camino
COMP1
Lo dibujado corta el eje en $x=0$ . ¿Qué significa eso para $f$ ?
02
Dónde decrece
COMP2
$f$ decrece donde $f'$ es negativa. Con $f'(x) = x$ , ¿cuál es el mayor valor de $x$ en el que $f$ decrece?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Lo dibujado es $f'$ , así que su altura es la pendiente de $f$ .
2. Con $f' < 0$ para $x<0$ y $f' > 0$ para $x>0$ , la función decrece y luego crece.
3. En $x=0$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo de $f$ .
4. La curva dibujada sube siempre, luego $f'' > 0$ y $f$ es convexa en todo $\mathbb{R}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Escribir en el margen «lo dibujado es f prima» antes de contestar nada, y no confundir un mínimo de la curva con un mínimo de la función.

Velocidades relacionadas

Escribir la relación geométrica entre dos magnitudes, derivarla respecto del tiempo y sustituir al final.

leerLa derivada como velocidad

Con la figura de los dos órdenes enfrentados. Lo que se falla no es la derivada, es el orden.

ejemploDos magnitudes que cambian a la vez
Empieza aquí. Un cuadrado que crece, y se ve por qué sustituir antes da cero.
prácticaA qué velocidad se aleja el coche del incendio
prácticaLa velocidad de un avión medida por su ángulo
examenA qué velocidad se acerca el corredor al plato
examenEl coche que se aleja del edificio en llamas
examenLa trayectoria de un dron, de principio a fin

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Dos magnitudes que cambian a la vez

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cuadrado crece de forma que su lado aumenta a razón de 2 cm/s. ¿A qué velocidad crece su área en el instante en que el lado mide 5 cm?

La velocidad de crecimiento del área, en cm²/s.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso?
02
La derivada de la relación
COMP2
De $A = L^{2}$ , derivando respecto del tiempo sale $A' = k \cdot L \cdot L'$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El resultado
COMP2
Ahora sí, sustituye $L = 5$ y $L' = 2$ . ¿Cuánto vale $A'$ , en cm²/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en centímetros cuadrados por segundo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La relación entre las magnitudes es $A = L^{2}$ , con las dos dependiendo del tiempo.
2. Derivando respecto de $t$ , $\frac{dA}{dt} = 2L\frac{dL}{dt}$ .
3. En el instante pedido, $L = 5$ y $\frac{dL}{dt} = 2$ .
4. Luego $\frac{dA}{dt} = 20$ cm² por segundo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que jamás sustituyas un dato antes de derivar. Es el único error de este escalón y se comete siempre.

Derivar sin despejar

Derivar una ecuación implícita o una curva paramétrica, y sacar la tangente en un punto.

leerDerivar sin despejar

Implícita y paramétrica. El detalle que decide ejercicios: si un punto se alcanza con dos valores del parámetro, hay dos tangentes.

prácticaSeis derivadas sin despejar la y
prácticaUna tangente a una curva con forma de flor
prácticaTres derivadas en función del parámetro
prácticaUn punto por el que la curva pasa dos veces
prácticaLas seis derivadas de las inversas, en dos variables
prácticaLa segunda derivada de la función inversa
prácticaLa segunda derivada de una composición
examenLas dos derivadas de la inversa, y el arcoseno
examenDónde una curva implícita tiene la pendiente pedida
examenUna tangente sin despejar la y
De la recuperación de la quinta de 2020-2021. El folio de Descartes no se puede despejar, así que la derivación implícita no es un atajo: es la única vía.

Lo tienes cuando

Que cada y derivada te deje su y prima sin pensarlo, y que recuerdes que un punto alcanzado con dos valores del parámetro tiene dos tangentes.

El diferencial como calculadora

Aproximar un valor con la recta tangente, eligiendo bien el punto de apoyo.

leerEl diferencial: la recta tangente como calculadora

ejemploAproximar una raíz, y elegir dónde apoyarse
El ejemplo de entrada. Una sola raíz, y la pregunta que decide todo lo demás: dónde apoyarse. Los tres candidatos con raíz exacta dan cuentas correctas y resultados que no se parecen.
prácticaCuatro valores aproximados sin calculadora
Cuatro valores aproximados sin calculadora, que es como se hace en el examen porque no la hay. Y conviene saber que el diferencial no cae nunca como ejercicio propio —en las doce convocatorias lo que se pide es acotar el error de un Taylor, que es otra cosa—: aquí es una herramienta para lo demás, no un hueco del examen.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Aproximar una raíz, y elegir dónde apoyarse

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Aproximar $\sqrt{52}$ con la recta tangente, sin calculadora.

El valor aproximado, y sobre todo el punto de apoyo que lo hace bueno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para aproximar $\sqrt{52}$ con $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h$ , ¿dónde conviene poner el punto de apoyo $a$ ?
02
El valor aproximado
COMP2
Con $a = 49$ y $h = 3$ , y sabiendo que la derivada de $\sqrt{x}$ es $1/(2\sqrt{x})$ , ¿cuánto vale la aproximación?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se busca el cuadrado perfecto más cercano a 52: es 49, y su raíz es 7.
2. Con $a=49$ y $h=3$ queda $\sqrt{52} \approx 7 + \frac{3}{14} = \frac{101}{14}$ .
3. Como la raíz es cóncava, la tangente va por encima y la aproximación se pasa.
4. También sirve $a=64$ , pero está más lejos: da 7,25 en vez de 7,2143.

Resolución completa

La idea. Cerca de un punto, una función y su recta tangente casi no se distinguen. Eso convierte la tangente en una calculadora de bolsillo: $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)\,h$ .

Lo que decide el resultado no es la fórmula, es el punto. Aquí hay tres candidatos con raíz exacta —25, 49 y 64— y los tres dan una cuenta correcta con resultados que no se parecen:

apoyo	$h$	aproximación	error
25	27	7,7	0,49
49	3	7,2143	0,0032
64	−12	7,25	0,039

El error va con el cuadrado de $h$ : desde el mismo punto de apoyo, acercarse a la mitad lo hace cuatro veces menor. En la tabla cambian las dos cosas a la vez —la distancia y el punto—, y por eso el salto de 25 a 49 no divide el error por 81 sino por más de 150. La regla que sale de aquí es la que hay que llevar al examen: el más cercano de los que te sabes de memoria, no el más redondo.

Y el signo. La raíz cuadrada es cóncava, así que su tangente va siempre por encima: con este método una raíz sale siempre pasada. Saberlo sirve para comprobar el resultado sin volver a hacer la cuenta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Elegir el punto más cercano donde la función se sepa de memoria, y acordarte de pasar los ángulos a radianes antes.

lo tienes cuando:

Delante de una gráfica, escribir sin dudar dónde crece la función, dónde tiene sus extremos y dónde se dobla, diciendo en voz alta cuál de las dos curvas estás mirando. Y en un problema de velocidades, plantear la relación en general antes de sustituir ningún número.

Complejos, que salían hasta 2020-2021

no cae desde 2021-20226 referencias

Cae 6 de 11 años

Lo mismo que el examen de la primera evaluación: una ecuación, un logaritmo, una potencia o un vértice que falta.

Durante seis cursos seguidos el ejercicio 1 de esta evaluación era de complejos, y desde 2021-2022 no ha vuelto a aparecer. Va el último a propósito y no en medio: si tu curso mantiene el formato reciente, esto no cae y se puede saltar entero. Está aquí porque callarlo sería esconder seis ejercicios de examen que existen.

examenEl tercer vértice de un hexágono regular10 pts
El último que cayó, y el más geométrico: dos vértices de un hexágono y hay que encontrar el tercero. Girar $60°$ es multiplicar por un complejo de módulo uno, y ahí está todo.
examenEl logaritmo de un complejo de módulo uno10 pts
El único con logaritmo complejo, que es lo que menos se practica. La condición del cociente real fija el argumento, y el módulo uno hace que la parte real del logaritmo sea cero.
examenUna potencia compleja que cae sobre el eje negativo10 pts
Una potencia de exponente real con dos condiciones a la vez: que caiga en el eje negativo y que su módulo esté entre dos cotas. Es el más largo de los seis.
examenDos complejos con tres condiciones10 pts
Tres condiciones y dos incógnitas complejas, o sea cuatro números reales. Se resuelve montando el sistema, no operando con complejos: es el que más se parece a los del hueco 1.
examenUn cociente, real primero e imaginario después10 pts
Un lugar geométrico disfrazado de cociente: «que sea real» y «que sea imaginario puro» son dos condiciones sobre un ángulo, y salen una recta y una circunferencia. Si haces solo uno, este.
examenUna exponencial compleja igualada a 1 + i10 pts
El más antiguo, y el más corto: una exponencial compleja igualada a un número. Sale tomando logaritmos, y las infinitas soluciones se alinean en una horizontal, todas con la misma parte imaginaria y separadas $2\pi$ .

lo tienes cuando:

Si decides hacerlo, el criterio es el de la ruta de la primera evaluación, porque es la misma materia. Si decides saltártelo, asegúrate antes de que el examen de tu curso empieza por una gráfica y no por un número complejo.

Los exámenes enteros, cronometrados

papel en blanco y reloj3 referencias

Sentarte con el papel en blanco, sin apuntes y con reloj, y hacer los cuatro ejercicios seguidos.

Los bloques anteriores entrenan cada hueco por separado, y eso no es lo que pasa en el aula. Estos tres son los más recientes y los que mejor representan el formato actual: sin complejos, con una gráfica al principio y un problema de optimización al final.

examen2025-2026 · 1 de diciembre de 2025
Empieza por el último. Cada página abre en blanco: las resoluciones están en la otra pestaña y conviene no tocarlas hasta terminar.
examen2024-2025 · 2 de diciembre de 2024
examen2023-2024 · 27 de noviembre de 2023

lo tienes cuando:

Hacer uno entero dentro del tiempo, sin abrir ninguna pista, y que al corregirlo no haya ningún ejercicio en blanco.

Lo que hay que llevar sabido

8 de 11 años traen memoria pura2 referencias

Cae 8 de 11 años

El examen no deja formulario. Los enunciados de los teoremas se piden literales, con sus hipótesis, y los desarrollos de Taylor no se deducen.

En ocho de los once años hay un apartado que se contesta de memoria o no se contesta. Este bloque existe para el rato de antes de entrar, y por eso va el último: es repaso, no aprendizaje.

leerLo que hay que llevar sabido
Estudio local: la tabla de los tres teoremas, Taylor con su resto, los seis desarrollos y el criterio de la segunda derivada.
leerLo que hay que llevar sabido
Funciones reales: las tres condiciones de continuidad, la tabla de Bolzano, Weierstrass y punto fijo, y el orden de las razones de cambio.

lo tienes cuando:

Escribir en papel, de memoria y sin consultar nada, los cinco teoremas con sus hipótesis, la fórmula del resto de Taylor y los seis desarrollos. Si tienes que mirar una sola vez, todavía no.

Preparar la segunda evaluación

El suelo, que no se examina solo

El dominio se busca prohibiendo

Reconocer el camino

El extremo derecho

Justificar el argumento

La inversa, y el signo que hay que elegir

Reconocer el camino

Un valor de comprobación

Justificar el argumento

Continuidad, y los empalmes

Reconocer el camino

El límite por la derecha

El parámetro

Justificar el argumento

La derivada como límite

El problema de optimización aplicado

Plantear, que es donde se falla

Reconocer el camino

El objetivo con una sola variable

Justificar el argumento

Cerrar el problema, con Weierstrass

Los teoremas, enunciados y demostrados

Fermat, y por qué se busca donde la derivada se anula

Reconocer el camino

El punto crítico positivo

Clasificarlo

Justificar el argumento

Rolle y Lagrange, que son el mismo

Reconocer el camino

La pendiente media

El punto que el teorema garantiza

Justificar el argumento

Bolzano, existencia y unicidad

Reconocer el camino

El extremo izquierdo

El extremo derecho

Justificar el argumento

El punto fijo, que es Bolzano disfrazado

Taylor, y la cota del error que se olvida

Construir el polinomio

Reconocer el camino

El coeficiente de x²

La aproximación

Justificar el argumento

El resto, que es lo que se pregunta

Los seis que hay que saberse

La derivada leída en una gráfica, y las velocidades

Cuando lo dibujado es la derivada

Reconocer el camino

Dónde decrece

Justificar el argumento

Velocidades relacionadas

Reconocer el camino

La derivada de la relación

El resultado

Justificar el argumento

Derivar sin despejar

El diferencial como calculadora

Reconocer el camino

El valor aproximado

Justificar el argumento

Complejos, que salían hasta 2020-2021

Los exámenes enteros, cronometrados

Lo que hay que llevar sabido