tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · segunda evaluación

Segunda evaluación · 2023-2024

27 de noviembre de 2023 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una derivada dibujada, y dos velocidadesEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 2 + 6 = 10 pts
La gráfica adjunta muestra la derivada $y'(x)$ de cierta función $y(x)$ . Las cotas son en cm.

Figura redibujada del enunciado original y medida sobre el PDF, no leida a ojo: la rejilla se localizo por densidad de tinta y la curva se siguio pixel a pixel. En verde, los dos puntos que piden los apartados (c) y (d), donde la derivada vale 0,50 y 0,52 respectivamente.

a) Estudiar el crecimiento y los extremos locales de $y(x)$ .

b) Estudiar la concavidad y los puntos de inflexión de $y(x)$ .

c) Supongamos que un punto $P(x,y)$ se desplaza en el plano XY sobre la gráfica de $y(x)$ . Supongamos que en el instante en el que $x = 0.5$ , la velocidad de desplazamiento horizontal de $P$ respecto al tiempo es igual a 2 cm/s. Calcular en ese mismo instante la velocidad de desplazamiento vertical de $P$ respecto al tiempo.

d) Supongamos que en el instante en el que $x = 6.5$ , la velocidad de desplazamiento vertical de $P$ respecto al tiempo es igual a 3 cm/s. Calcular en ese mismo instante la velocidad de desplazamiento horizontal de $P$ respecto al tiempo.
Estudiar $y$ y calcular las dos velocidades.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 46 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos teoremas para dos preguntas casi igualesFunciones reales de una variable real1 + 2 + 7 = 10 pts
Sea la función
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{7-16^{1/x}}{1+16^{1/x}} & x \neq 0 \\[10pt] 7 & x = 0 \end{cases}$
a) Demostrar que $f(x)$ toma el valor 1 en el intervalo $(2,4)$ .

b) Demostrar que $f'(x)$ toma el valor $\dfrac{8}{15}$ en el intervalo $(2,4)$ .
Demostrar las dos afirmaciones.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Taylor de una composición leída en seis curvasEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 5 + 4 = 10 pts
En la siguiente imagen se muestran las gráficas de las funciones $f(x)$ , $g(x)$ y de sus respectivas derivadas de primer y segundo orden.

Figura redibujada del enunciado original y medida por color sobre el PDF. Los valores que decide el ejercicio son exactos: en x igual a cero, f vale 1, su derivada 2 y la segunda 4; en x igual a uno, g vale 0, su derivada 2 y la segunda 0.

a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de la función $u(x) = f(g(x))$ en el punto $x=1$ .

b) Utilizando el polinomio obtenido en el apartado aproximar el valor de $u\left(\dfrac{3}{2}\right)$ .

c) Estudiar el crecimiento y la concavidad de la función $u(x)$ en el punto $x=0$ .
Calcular el polinomio, aproximar y estudiar $u$ en $x=0$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Diez metros de alambre entre un cuadrado y un triánguloEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Un alambre de 10 m de longitud se corta en dos partes. Con una de ellas se forma un cuadrado y con la otra un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima?
Calcular dónde hay que cortar el alambre.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segunda evaluación, 27 de noviembre de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una derivada dibujada, y dos velocidades

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 46 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La gráfica adjunta muestra la derivada $y'(x)$ de cierta función $y(x)$ . Las cotas son en cm.

Figura redibujada del enunciado original y medida sobre el PDF, no leida a ojo: la rejilla se localizo por densidad de tinta y la curva se siguio pixel a pixel. En verde, los dos puntos que piden los apartados (c) y (d), donde la derivada vale 0,50 y 0,52 respectivamente.

a) Estudiar el crecimiento y los extremos locales de $y(x)$ .

b) Estudiar la concavidad y los puntos de inflexión de $y(x)$ .

c) Supongamos que un punto $P(x,y)$ se desplaza en el plano XY sobre la gráfica de $y(x)$ . Supongamos que en el instante en el que $x = 0.5$ , la velocidad de desplazamiento horizontal de $P$ respecto al tiempo es igual a 2 cm/s. Calcular en ese mismo instante la velocidad de desplazamiento vertical de $P$ respecto al tiempo.

d) Supongamos que en el instante en el que $x = 6.5$ , la velocidad de desplazamiento vertical de $P$ respecto al tiempo es igual a 3 cm/s. Calcular en ese mismo instante la velocidad de desplazamiento horizontal de $P$ respecto al tiempo.

Estudiar $y$ y calcular las dos velocidades.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación liga las dos velocidades de los apartados (c) y (d)?
02
El apartado (c)
COMP2
Con $\frac{dx}{dt} = 2$ cm/s en $x=0{,}5$ , ¿cuánto vale $\frac{dy}{dt}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número en cm/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (d)
COMP2
Con $\frac{dy}{dt} = 3$ cm/s en $x=6{,}5$ , ¿cuánto vale $\frac{dx}{dt}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número en cm/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los apartados (a) y (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (a) Crecimiento. Lo da el signo de la curva dibujada. $y'>0$ en $(0,2)$ y $(6,8)$ ; $y'<0$ en $(2,6)$ y $(8;9{,}5)$ .
2. Luego $y$ tiene máximos en $x=2$ y $x=8$ , y un mínimo en $x=6$ : son los puntos donde la curva corta al eje cambiando de signo.
3. (b) Concavidad. La da la pendiente de la curva dibujada, que es $y''$ .
4. $y'$ crece en $(0,1)$ , $(4,7)$ y $(9;9{,}5)$ — ahí $y$ es convexa— y decrece en $(1,4)$ y $(7,9)$ — ahí es cóncava.
5. Los puntos de inflexión de $y$ están donde $y'$ tiene sus extremos: $x=1$ , $x=4$ , $x=7$ y $x=9$ .
Dos lecturas distintas de la misma curva: su signo habla del crecimiento de $y$ , su pendiente de la concavidad. Confundirlas cuesta los seis puntos de COMP4 de este ejercicio.

Resolución completa

Datos. La gráfica de $y'$ en $[0;9{,}5]$ , con cotas en centímetros.

Nota sobre la figura. Está redibujada y medida sobre el PDF original, no leída a ojo: la rejilla se localizó por densidad de tinta y la curva se siguió píxel a píxel. Los valores que salieron —máximo $0{,}69$ en $x=1$ , mínimo $-1{,}89$ en $x=4$ , máximo $0{,}73$ en $x=7$ , mínimo $-1{,}0$ en $x=9$ — y, sobre todo, $y'(0{,}5) = 0{,}50$ e $y'(6{,}5) = 0{,}52$ , que son los que piden los apartados (c) y (d).

1 · Dos lecturas de la misma curva

La curva dibujada es $y'$ . De ella se sacan dos cosas distintas:

qué se mira	qué dice de $y$
el signo de la curva	si $y$ crece o decrece
la pendiente de la curva	si $y$ es cóncava o convexa

Y en consecuencia:

los cortes de la curva con el eje son los extremos de $y$ ;
los extremos de la curva son las inflexiones de $y$ .

2 · Apartado (a): crecimiento y extremos

La curva corta al eje en $x = 0$ , $2$ , $6$ y $8$ , y termina en $x=9{,}5$ volviendo a cero.

tramo	$y'$	$y$
$(0,2)$	$+$	crece
$(2,6)$	$-$	decrece
$(6,8)$	$+$	crece
$(8;9{,}5)$	$-$	decrece

\boxed{\text{máximos en } x=2 \text{ y } x=8; \quad \text{mínimo en } x=6}

En $x=0$ la derivada también se anula, pero sin cambiar de signo a los dos lados dentro del dominio: es el extremo del intervalo, no un extremo local interior.

3 · Apartado (b): concavidad e inflexión

La pendiente de la curva es $y''$ . La curva sube y baja alternativamente:

tramo	$y'$	$y''$	$y$
$(0,1)$	sube	$+$	convexa
$(1,4)$	baja	$-$	cóncava
$(4,7)$	sube	$+$	convexa
$(7,9)$	baja	$-$	cóncava
$(9;9{,}5)$	sube	$+$	convexa

\boxed{\text{inflexiones en } x = 1,\ 4,\ 7 \text{ y } 9}

que son exactamente los extremos de la curva dibujada.

4 · Apartados (c) y (d): las velocidades

El punto $P$ se mueve sobre la curva, así que su ordenada es $y\big(x(t)\big)$ y la regla de la cadena da

\frac{dy}{dt} = y'(x)\cdot\frac{dx}{dt}

Una sola fórmula, usada en las dos direcciones.

(c) En $x=0{,}5$ la gráfica da $y'=0{,}5$ , y el dato es $\frac{dx}{dt}=2$ :

\boxed{\frac{dy}{dt} = 0{,}5\cdot2 = 1 \ \text{cm/s}}

(d) En $x=6{,}5$ la gráfica vuelve a dar $y'=0{,}5$ , pero ahora el dato es $\frac{dy}{dt}=3$ :

\boxed{\frac{dx}{dt} = \frac{3}{0{,}5} = 6 \ \text{cm/s}}

Que la pendiente valga lo mismo en los dos puntos es deliberado: la única diferencia entre los apartados es cuál de las dos velocidades es el dato, y por tanto si hay que multiplicar o dividir. Es la trampa del ejercicio.

5 · Comprobación

Del signo. En $x=0{,}5$ y en $x=6{,}5$ la curva está por encima del eje, así que la pendiente de $y$ es positiva y las dos velocidades deben tener el mismo signo. Los dos resultados son positivos ✔

Del orden de magnitud. Con pendiente $\frac12$ , la componente vertical es la mitad de la horizontal:

\text{(c)}\ 1 = \tfrac12\cdot2 \quad\checkmark \qquad \text{(d)}\ 3 = \tfrac12\cdot6 \quad\checkmark

De coherencia con (a) y (b). El punto $x=6{,}5$ está entre el mínimo de $y$ (en 6) y su máximo (en 8): $y$ sube ahí, como confirma el signo ✔ Y está entre las inflexiones 4 y 7, o sea en un tramo convexo de $y$ , donde la pendiente aún está aumentando.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segunda evaluación, 27 de noviembre de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos teoremas para dos preguntas casi iguales

COMP 11 punto por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función

f(x) = \begin{cases} \dfrac{7-16^{1/x}}{1+16^{1/x}} & x \neq 0 \\[10pt] 7 & x = 0 \end{cases}

a) Demostrar que $f(x)$ toma el valor 1 en el intervalo $(2,4)$ .

b) Demostrar que $f'(x)$ toma el valor $\dfrac{8}{15}$ en el intervalo $(2,4)$ .

Demostrar las dos afirmaciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos apartados se parecen mucho, pero piden teoremas distintos. ¿Cuáles?
02
Los valores en los extremos
COMP2
¿Cuánto vale $f(4)$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El cociente incremental
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración completa. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La hipótesis común: $f$ es continua en $[2,4]$ y derivable en $(2,4)$ , porque $16^{1/x}$ lo es para $x\neq0$ y el denominador $1+16^{1/x}$ nunca se anula —es suma de 1 y algo positivo—. El valor $f(0)=7$ del enunciado no interviene: el 0 está fuera del intervalo.
2. Los extremos: $f(2) = \frac{7-4}{1+4} = \frac35$ y $f(4) = \frac{7-2}{1+2} = \frac53$ .
3. (a) Bolzano. Como $\frac35 < 1 < \frac53$ , el teorema del valor intermedio garantiza que existe $c\in(2,4)$ con $f(c) = 1$ .
4. (b) Lagrange. El cociente incremental vale $\frac{5/3-3/5}{2} = \frac{8}{15}$ .
5. Y el teorema del valor medio garantiza que existe $c\in(2,4)$ con $f'(c) = \frac{8}{15}$ , que es lo pedido.
Comprobar que el denominador nunca se anula es lo que hace legítimo decir «continua y derivable». Sin esa frase, la demostración está incompleta aunque el resultado sea correcto.

Resolución completa

Datos. $f(x) = \dfrac{7-16^{1/x}}{1+16^{1/x}}$ para $x\neq0$ , con $f(0)=7$ . Se pide demostrar dos cosas en $(2,4)$ .

1 · Lo primero: las hipótesis

Los dos apartados son teoremas de existencia, y los teoremas de existencia se ganan comprobando hipótesis. Aquí:

$16^{1/x} = e^{\frac{\ln16}{x}}$ es continua y derivable para todo $x \neq 0$ , por composición de funciones que lo son;
el denominador $1+16^{1/x}$ es siempre mayor que 1, porque $16^{1/x}>0$ : nunca se anula, así que el cociente hereda la continuidad y la derivabilidad.

Y como $0 \notin [2,4]$ , el valor $f(0)=7$ no interviene. Está en el enunciado para que $f$ quede definida en todo $\mathbb{R}$ , no porque haga falta aquí.

f \text{ es continua en } [2,4] \text{ y derivable en } (2,4)

2 · Los valores en los extremos

Los exponentes están elegidos para que las potencias salgan enteras:

16^{1/2} = 4, \qquad 16^{1/4} = 2

f(2) = \frac{7-4}{1+4} = \frac{3}{5}, \qquad f(4) = \frac{7-2}{1+2} = \frac{5}{3}

3 · Apartado (a): Bolzano

Enunciado. Si $g$ es continua en $[a,b]$ y $g(a)$ y $g(b)$ tienen signos opuestos, existe $c\in(a,b)$ con $g(c)=0$ .

Se aplica a $g(x) = f(x)-1$ , que es continua en $[2,4]$ :

g(2) = \frac35-1 = -\frac25 < 0, \qquad g(4) = \frac53-1 = \frac23 > 0

Signos opuestos, luego existe $c\in(2,4)$ con $g(c)=0$ , es decir

\boxed{\exists\, c \in (2,4) : f(c) = 1}

Dicho de otra forma, por el teorema del valor intermedio: como $\frac35 < 1 < \frac53$ , el valor 1 está entre los dos extremos y una función continua los alcanza todos.

4 · Apartado (b): Lagrange

Enunciado. Si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ , existe $c\in(a,b)$ tal que

f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Las hipótesis ya están comprobadas. El cociente incremental:

\frac{f(4)-f(2)}{4-2} = \frac{\frac53-\frac35}{2} = \frac{\frac{25-9}{15}}{2} = \frac{16/15}{2} = \frac{8}{15}

\boxed{\exists\, c \in (2,4) : f'(c) = \frac{8}{15}}

El $\frac{8}{15}$ del enunciado es exactamente el cociente incremental. Reconocerlo es el ejercicio entero: no hay que derivar nada.

5 · Lo que no hay que hacer

Derivar $f$ . Sale una expresión considerable —hay una exponencial compuesta con $\frac1x$ y una regla del cociente— y no sirve de nada: el teorema garantiza la existencia sin necesidad de encontrar el punto.

Buscar el valor de $c$ . Ni el enunciado lo pide ni se puede despejar en forma cerrada. Los dos apartados dicen «demostrar que toma el valor», no «calcular dónde».

Añadir hipótesis de más. Bolzano no exige monotonía y no promete unicidad. Sobrecargar la demostración con condiciones innecesarias resta igual que omitir las necesarias.

6 · Comprobación

Numérica de (a). $f$ pasa de $0{,}6$ a $1{,}667$ , y en el punto medio $x=3$ :

16^{1/3} = 2{,}5198 \;\Longrightarrow\; f(3) = \frac{7-2{,}5198}{1+2{,}5198} = \frac{4{,}4802}{3{,}5198} = 1{,}2728

Ya pasó de 1, así que el corte está entre 2 y 3 ✔ Afinando, $f(c)=1$ para $c \approx 2{,}55$ .

Numérica de (b). La pendiente media entre los extremos es $\frac{8}{15} = 0{,}533$ . La pendiente instantánea en $x=3$ , estimada por diferencias centradas con $h=0{,}01$ , sale $\approx0{,}52$ : muy cercana, como corresponde a una función suave y monótona ✔

De coherencia entre los dos apartados. El valor 1 se alcanza dentro del intervalo (a), y la pendiente media es positiva (b): las dos cosas dicen que $f$ sube de $\frac35$ a $\frac53$ atravesando el 1 ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segunda evaluación, 27 de noviembre de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Taylor de una composición leída en seis curvas

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la siguiente imagen se muestran las gráficas de las funciones $f(x)$ , $g(x)$ y de sus respectivas derivadas de primer y segundo orden.

Figura redibujada del enunciado original y medida por color sobre el PDF. Los valores que decide el ejercicio son exactos: en x igual a cero, f vale 1, su derivada 2 y la segunda 4; en x igual a uno, g vale 0, su derivada 2 y la segunda 0.

a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de la función $u(x) = f(g(x))$ en el punto $x=1$ .

b) Utilizando el polinomio obtenido en el apartado aproximar el valor de $u\left(\dfrac{3}{2}\right)$ .

c) Estudiar el crecimiento y la concavidad de la función $u(x)$ en el punto $x=0$ .

Calcular el polinomio, aproximar y estudiar $u$ en $x=0$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué seis números hacen falta para el apartado (a)?
02
El coeficiente lineal
COMP2
¿Cuánto vale $u'(1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
¿Cuánto vale $u\left(\frac32\right)$ según el polinomio?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (c). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las fórmulas: $u'(0) = f'\big(g(0)\big)g'(0)$ y $u''(0) = f''\big(g(0)\big)\left[g'(0)\right]^{2} +f'\big(g(0)\big)g''(0)$ .
2. El problema: $g(0) \approx -1{,}7$ , y el panel de $f$ solo llega hasta $x=-1$ . No se pueden leer $f'\big(g(0)\big)$ ni $f''\big(g(0)\big)$ .
3. Pero no hacen falta los valores, solo los signos. En todo el tramo dibujado, $f$ , $f'$ y $f''$ son positivas y crecientes: es una exponencial.
4. Del panel derecho: $g'(0) = 1 > 0$ y $g''(0) > 0$ —la curva gris está por encima del eje en $x=0$ —.
5. Luego $u'(0) = (+)(+) > 0$ y $u''(0) = (+)(+)+(+)(+) > 0$ : $u$ es creciente y convexa en $x=0$ .
El apartado (c) es cualitativo a propósito. Que $g(0)$ caiga fuera del tramo dibujado de $f$ no es un descuido del examen: es lo que obliga a razonar con signos.

Resolución completa

Datos. Las gráficas de $f$ , $f'$ , $f''$ y de $g$ , $g'$ , $g''$ .

Nota sobre la figura. Redibujada y medida por color sobre el PDF, separando las tres curvas de cada panel por su tono: azul la función, rojo la primera derivada, gris la segunda. Los seis valores que decide el ejercicio salieron exactos.

1 · Las seis lecturas

El polinomio de Taylor de $u = f\circ g$ en $x=1$ necesita $u(1)$ , $u'(1)$ y $u''(1)$ , y las tres se montan con la regla de la cadena:

u'(x) = f'\big(g(x)\big)\,g'(x)

u''(x) = f''\big(g(x)\big)\left[g'(x)\right]^{2} + f'\big(g(x)\big)\,g''(x)

Lo esencial: $f$ no se evalúa en 1, sino en $g(1)$ . Del panel derecho:

g(1) = 0, \qquad g'(1) = 2, \qquad g''(1) = 0

—la curva azul corta el eje en $x=1$ , la roja alcanza ahí su máximo, y la gris corta el eje en el mismo sitio—.

Y como $g(1)=0$ , hay que leer el panel izquierdo en $x=0$ :

f(0) = 1, \qquad f'(0) = 2, \qquad f''(0) = 4

Los tres caen exactamente sobre líneas de la rejilla. (De hecho la función dibujada es $f(x) = e^{2x}$ , aunque el ejercicio no lo necesita.)

2 · Apartado (a): el polinomio

u(1) = f\big(g(1)\big) = f(0) = 1

u'(1) = f'(0)\cdot g'(1) = 2\cdot2 = 4

u''(1) = f''(0)\left[g'(1)\right]^{2}+f'(0)\,g''(1) = 4\cdot4+2\cdot0 = 16

\boxed{P_2(x) = 1+4(x-1)+8(x-1)^{2}}

El segundo sumando de $u''$ se anula porque $g''(1)=0$ .

3 · Apartado (b): la aproximación

P_2\!\left(\tfrac32\right) = 1+4\left(\tfrac12\right)+8\left(\tfrac12\right)^{2} = 1+2+2

\boxed{u\!\left(\tfrac32\right) \approx 5}

4 · Apartado (c): $u$ en $x=0$

Aquí aparece una dificultad que hay que nombrar en vez de esquivar:

g(0) \approx -1{,}7

y el panel de $f$ solo llega hasta $x=-1$ . No se pueden leer los valores de $f'$ y $f''$ ahí.

Pero el apartado no pide valores: pide crecimiento y concavidad, y para eso bastan los signos.

De la gráfica de $f$ : las tres curvas — $f$ , $f'$ y $f''$ — están por encima del eje en todo el tramo dibujado, y crecen. No hay ningún indicio de que cambien de signo, y de hecho no lo hacen: es una exponencial.

f' > 0, \qquad f'' > 0

De la gráfica de $g$ en $x=0$ :

g'(0) = 1 > 0, \qquad g''(0) > 0

—la roja pasa por 1 y la gris está claramente por encima del eje—.

Componiendo:

u'(0) = \underbrace{f'\big(g(0)\big)}_{+}\cdot\underbrace{g'(0)}_{+} > 0

u''(0) = \underbrace{f''\big(g(0)\big)}_{+} \underbrace{\left[g'(0)\right]^{2}}_{+} + \underbrace{f'\big(g(0)\big)}_{+}\underbrace{g''(0)}_{+} > 0

\boxed{u \text{ es creciente y convexa en } x=0}

Los dos efectos se refuerzan, así que la conclusión no depende de los valores concretos. Por eso el apartado se puede responder aunque $g(0)$ caiga fuera del dibujo.

5 · Comprobación

Con la función real. El panel izquierdo es $f(x)=e^{2x}$ : en efecto $f(0)=1$ , $f'(0)=2$ y $f''(0)=4$ ✔ Y $f'>0$ , $f''>0$ en todo $\mathbb{R}$ , lo que confirma la extrapolación del apartado (c).

Del polinomio en su centro. $P_2(1) = 1 = u(1)$ ✔

Del signo del coeficiente cuadrático. Es $+8$ , luego $u$ es convexa cerca de $x=1$ . Coherente: allí $u'' = 16 > 0$ ✔

Del orden de magnitud de (b). Con $u(x) = e^{2g(x)}$ y $g(1{,}5) \approx 0{,}88$ leído en el panel derecho:

u(1{,}5) \approx e^{1{,}76} \approx 5{,}8

frente a los 5 del polinomio. La diferencia es la esperable a media unidad del centro con un desarrollo de orden 2 ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Segunda evaluación, 27 de noviembre de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Diez metros de alambre entre un cuadrado y un triángulo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un alambre de 10 m de longitud se corta en dos partes. Con una de ellas se forma un cuadrado y con la otra un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima?

Calcular dónde hay que cortar el alambre.

01
Reconocer el camino
COMP1
Llamando $x$ a la parte del cuadrado, ¿cuál es su área?
02
El área del triángulo
COMP2
Con $10-x$ metros de alambre, el triángulo equilátero tiene área $k(10-x)^{2}$ . ¿Cuánto vale $k$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Dónde cortar
COMP2
¿Cuántos metros hay que dedicar al cuadrado? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La variable y la ligadura. Si $x$ es el trozo del cuadrado, al triángulo le quedan $10-x$ , con $0\le x\le10$ . Una sola incógnita.
2. Los lados, que no son los trozos: $\frac x4$ y $\frac{10-x}{3}$ .
3. La función objetivo: $A(x) = \frac{x^{2}}{16}+\frac{\sqrt3}{36}(10-x)^{2}$ .
4. Derivar e igualar: $\frac x8 = \frac{\sqrt3(10-x)}{18}$ , de donde $x = \frac{40\left(3\sqrt3-4\right)}{11} \approx 4{,}35$ m.
5. Justificar que es mínimo: $A''(x) = \frac18+\frac{\sqrt3}{18} > 0$ para todo $x$ , así que $A$ es convexa y el punto crítico es mínimo absoluto.
Reconocer que $A$ es una parábola en $x$ —los dos sumandos son cuadráticos— ahorra toda la discusión de extremos. Es el punto de COMP1.

Resolución completa

Datos. Un alambre de 10 m que se parte en dos: con una parte un cuadrado, con la otra un triángulo equilátero. Se pide minimizar la suma de áreas.

1 · Plantear

La variable. Sea $x$ la longitud destinada al cuadrado. Al triángulo le quedan $10-x$ , y

0 \le x \le 10

El error que hay que evitar desde el principio: $x$ es el perímetro, no el lado.

figura	perímetro	lado	área
cuadrado	$x$	$\dfrac{x}{4}$	$\dfrac{x^{2}}{16}$
triángulo	$10-x$	$\dfrac{10-x}{3}$	$\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{(10-x)^{2}}{9}$

La función objetivo:

A(x) = \frac{x^{2}}{16}+\frac{\sqrt3}{36}(10-x)^{2}

2 · Optimizar

A'(x) = \frac{2x}{16}-\frac{2\sqrt3}{36}(10-x) = \frac{x}{8}-\frac{\sqrt3}{18}(10-x)

Igualando a cero y multiplicando por 72:

9x = 4\sqrt3\left(10-x\right)

x\left(9+4\sqrt3\right) = 40\sqrt3 \;\Longrightarrow\; x = \frac{40\sqrt3}{9+4\sqrt3}

Racionalizando —el conjugado da $81-48 = 33$ —:

\boxed{x = \frac{40\left(3\sqrt3-4\right)}{11} \approx 4{,}3496 \ \text{m} \ \text{para el cuadrado}}

10-x \approx 5{,}6504 \ \text{m} \ \text{para el triángulo}

3 · Que es mínimo, y por qué basta una línea

A''(x) = \frac18+\frac{\sqrt3}{18} > 0

constante y positiva: $A$ es una parábola convexa. Y una parábola convexa alcanza su mínimo absoluto en su vértice, sin necesidad de mirar los extremos del intervalo.

Esa observación —que los dos sumandos son cuadráticos en $x$ — es lo que convierte la discusión en una línea.

4 · Por qué al triángulo le toca más

Le corresponden $5{,}65$ m, más de la mitad. No es casual: para un mismo perímetro, el triángulo equilátero encierra menos área que el cuadrado.

figura	área con perímetro $p$
cuadrado	$\dfrac{p^{2}}{16} = 0{,}0625\,p^{2}$
triángulo	$\dfrac{\sqrt3}{36}p^{2} = 0{,}0481\,p^{2}$

Como se quiere minimizar, conviene dar más alambre a la figura menos eficiente. Si el problema pidiera el máximo, la respuesta sería dárselo todo al cuadrado.

5 · Comprobación

Del valor mínimo:

A(4{,}3496) = \frac{18{,}919}{16}+0{,}0481\cdot31{,}927 = 1{,}1824+1{,}5359 = 2{,}718 \ \text{m}^{2}

Contra los extremos, que aunque no hagan falta confirman el resultado:

$x$	$A(x)$
$0$ (todo triángulo)	$4{,}811$
$4{,}35$	$\mathbf{2{,}718}$
$5$	$2{,}766$
$10$ (todo cuadrado)	$6{,}250$

El del punto crítico es el menor ✔

Del máximo, de paso. El mayor de la tabla es $x=10$ : todo el alambre al cuadrado. Coherente con que el cuadrado sea la figura más eficiente de las dos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segunda evaluación · 2023-2024

Reconocer el camino

El apartado (c)

El apartado (d)

Justificar el argumento

1 · Dos lecturas de la misma curva

2 · Apartado (a): crecimiento y extremos

3 · Apartado (b): concavidad e inflexión

4 · Apartados (c) y (d): las velocidades

5 · Comprobación

Reconocer el camino

Los valores en los extremos

El cociente incremental

Justificar el argumento

1 · Lo primero: las hipótesis

2 · Los valores en los extremos

3 · Apartado (a): Bolzano

4 · Apartado (b): Lagrange

5 · Lo que no hay que hacer

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El coeficiente lineal

La aproximación

Justificar el argumento

1 · Las seis lecturas

2 · Apartado (a): el polinomio

3 · Apartado (b): la aproximación

4 · Apartado (c): uuu en x=0x=0x=0

5 · Comprobación

Reconocer el camino

El área del triángulo

Dónde cortar

Justificar el argumento

1 · Plantear

2 · Optimizar

3 · Que es mínimo, y por qué basta una línea

4 · Por qué al triángulo le toca más

5 · Comprobación

4 · Apartado (c): $u$ en $x=0$