Recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación · 2016-2017

8 de mayo de 2017 · 2 ejercicios · 20 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una raíz que existe, y demostrar que no hay másFunciones reales de una variable real2 + 4 + 4 = 10 pts
Demostrar que la función $y(x)=xe^{x}-1$ tiene al menos una raíz real positiva. ¿Tiene más raíces?
La existencia de una raíz positiva, y cuántas raíces hay en total.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Los signos de un polinomio de Taylor, leídos en la gráficaEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 2 + 7 = 10 pts
Sea $P(x)=a+b(x-2)+c(x-2)^{2}$ el polinomio de Taylor de grado 2 de la función $y(x)$ mostrada en la figura. Obtener los signos de $a$ , $b$ y $c$ .

Figura redibujada del enunciado original, que es un esbozo sobre cuadrícula: aquí se traza la cúbica que pasa por lo que en él se lee —los cortes con el eje, el mínimo y el máximo—. El punto x = 2, que el original no marca, se señala aquí porque es el único que interviene.

El signo de cada uno de los tres coeficientes, razonado.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 8 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una raíz que existe, y demostrar que no hay más

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que la función $y(x)=xe^{x}-1$ tiene al menos una raíz real positiva. ¿Tiene más raíces?

La existencia de una raíz positiva, y cuántas raíces hay en total.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué teorema demuestra que existe una raíz, sin calcularla?
02
El extremo derecho del intervalo
COMP2
¿Cuánto vale $y(1)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El único punto crítico
COMP2
$y'(x)=(1+x)e^{x}$ . ¿En qué punto se anula?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Cuántas raíces reales
COMP2
¿Cuántas raíces reales tiene $y$ en total?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $y(x)=xe^{x}-1$ es continua en todo $\mathbb{R}$ , por ser producto y suma de funciones continuas.
2. $y(0)=-1<0$ e $y(1)=e-1>0$ , así que por el teorema de Bolzano existe $c\in(0,1)$ con $y(c)=0$ : hay una raíz real positiva.
3. $y'(x)=(1+x)e^{x}$ , y como $e^{x}>0$ siempre, el signo de $y'$ es el de $1+x$ : $y$ decrece en $(-\infty,-1)$ y crece en $(-1,+\infty)$ .
4. En $(0,+\infty)$ la función es estrictamente creciente, así que la raíz que da Bolzano es la única positiva.
5. En $(-\infty,-1]$ el mayor valor que toma $y$ es su límite en $-\infty$ , que vale $-1$ ; y su menor valor es el mínimo $y(-1)=-e^{-1}-1$ . Todo el tramo está por debajo del eje: no hay raíces negativas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 8 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Los signos de un polinomio de Taylor, leídos en la gráfica

COMP 11 punto por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $P(x)=a+b(x-2)+c(x-2)^{2}$ el polinomio de Taylor de grado 2 de la función $y(x)$ mostrada en la figura. Obtener los signos de $a$ , $b$ y $c$ .

Figura redibujada del enunciado original, que es un esbozo sobre cuadrícula: aquí se traza la cúbica que pasa por lo que en él se lee —los cortes con el eje, el mínimo y el máximo—. El punto x = 2, que el original no marca, se señala aquí porque es el único que interviene.

El signo de cada uno de los tres coeficientes, razonado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué son $a$ , $b$ y $c$ ?
02
El signo de a
COMP2
¿Cuál es el signo de $a$ ? Escribe $1$ si es positivo y $-1$ si es negativo.
Tu respuesta al paso 21 si es positivo, -1 si es negativo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El signo de b
COMP2
¿Y el signo de $b$ ? Escribe $1$ o $-1$ .
Tu respuesta al paso 31 si es positivo, -1 si es negativo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El signo de c
COMP2
¿Y el de $c$ ? Escribe $1$ o $-1$ .
Tu respuesta al paso 41 si es positivo, -1 si es negativo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El polinomio está escrito en potencias de $x-2$ , así que $a=y(2)$ , $b=y'(2)$ y $c=\dfrac{y''(2)}{2}$ .
2. En $x=2$ la curva va por debajo del eje horizontal, luego $a<0$ .
3. En $x=2$ la curva está subiendo —viene del mínimo y va hacia el corte de $x=3$ —, luego $b>0$ .
4. En $x=2$ la curva es cóncava hacia arriba, porque la inflexión no llega hasta cerca de $x=3$ , luego $c>0$ .
5. Los tres signos se leen en la gráfica sin conocer la fórmula de $y$ : eso es lo que hace útil escribir el polinomio centrado en el punto.

Resolución completa

Qué son los tres coeficientes. El polinomio de Taylor de grado 2 de $y$ centrado en $x=2$ es

P(x)=y(2)+y'(2)\,(x-2)+\frac{y''(2)}{2}\,(x-2)^{2}

Comparando con $P(x)=a+b(x-2)+c(x-2)^{2}$ :

a=y(2), \qquad b=y'(2), \qquad c=\frac{y''(2)}{2}

Y esa es toda la idea del ejercicio: escrito en potencias de $x-2$ , cada coeficiente es una propiedad local de la curva en $x=2$ —altura, pendiente y concavidad— y las tres se leen en el dibujo.

$a$ : la altura. En $x=2$ la gráfica está por debajo del eje horizontal: viene del mínimo y todavía no ha llegado al corte, que está en $x=3$ . Luego

a=y(2)<0

$b$ : la pendiente. En ese mismo punto la curva está subiendo —el mínimo queda a su izquierda, poco después de $x=1$ , y el corte con el eje a su derecha—. Luego

b=y'(2)>0

Este es el punto en el que más gente se equivoca: se confunde «está abajo» con «va bajando». Son dos cosas distintas y aquí tienen signos contrarios.

$c$ : la concavidad. Entre un mínimo y el punto de inflexión siguiente la curva es cóncava hacia arriba. En la gráfica el mínimo cae poco después de $x=1$ y la inflexión hacia $x=3$ , de modo que $x=2$ está en medio de ese tramo. Luego

y''(2)>0 \qquad\Longrightarrow\qquad c=\frac{y''(2)}{2}>0

Resultado. $a<0$ , $b>0$ , $c>0$ .

Cómo se comprueba a ojo. Con esos signos, $P$ es una parábola abierta hacia arriba, con vértice a la izquierda de $x=2$ y que en $x=2$ pasa por debajo del eje subiendo. Dibújala encima de la curva: en un entorno de $x=2$ las dos van juntas. Si algún signo estuviera cambiado, la parábola se separaría de la curva inmediatamente, y eso se ve.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación · 2016-2017

Reconocer el camino

El extremo derecho del intervalo

El único punto crítico

Cuántas raíces reales

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El signo de a

El signo de b

El signo de c

Justificar el argumento