tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · segunda evaluación

Segunda evaluación · 2017-2018

4 de diciembre de 2017 · 3 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Dos complejos con tres condicionesNúmeros complejos2 + 6 + 2 = 10 pts
Hallar los números complejos $z_1$ y $z_2$ tales que $z_1+z_2 = 1+2i$ , $\dfrac{z_1}{z_2}$ es real y $\mathrm{Re}(z_1) = 2$ .
Hallar $z_1$ y $z_2$ .
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La trayectoria de un dron, de principio a finEstudio local de funciones reales de una variable real6 + 4 + 10 = 20 pts
La función $h(x) = -\dfrac{x^{3}}{160}+\dfrac{3x^{2}}{80}$ , cuya gráfica se muestra en la figura adjunta, representa la trayectoria que sigue un dron desde su despegue y hasta alcanzar una altura de 0.2 km durante 4 km de recorrido horizontal. Se pide:

Figura redibujada del enunciado original. En morado, el punto de inflexion donde la pendiente es maxima; en verde y a trazos, la prolongacion que pide el apartado (e), que no viene en el enunciado.

a) Calcular y representar gráficamente sobre la misma figura las funciones $h'(x) = \dfrac{dh}{dx}$ y $h''(x) = \dfrac{d^{2}h}{dx^{2}}$ .

b) Estudiar los intervalos de crecimiento/decrecimiento, concavidad/convexidad, extremos y puntos de inflexión de $h(x)$ , interpretando el significado de todo ello y relacionándolo con las gráficas de $h'(x)$ y $h''(x)$ .

c) Determinar el punto $x=p$ en el que la velocidad de la altura $h$ respecto al desplazamiento horizontal es máxima. Interpretar el significado y relacionarlo con las gráficas de $h'(x)$ y $h''(x)$ .

d) Supongamos que en el anterior punto, $x=p$ , la velocidad horizontal del dron es de 75 km/h. Calcular en ese instante cuál es la velocidad de la altura respecto al tiempo.

e) Supongamos que a partir del km 4 el dron mantiene constante la velocidad de la altura $h$ respecto al desplazamiento horizontal. Trazar en la figura la gráfica de su trayectoria a partir del km 4.
Resolver los cinco apartados.
- COMP 16 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El cable más corto entre dos postesEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 5 + 3 = 10 pts
Dos postes, de 2 y 3 metros de altura, distan 5 metros. Hay que conectar sus extremos superiores mediante un cable sujeto en algún punto del suelo, entre ellos. Se trata de encontrar ese punto, de modo que empleemos la menor cantidad posible de cable.

Figura nuestra: el enunciado no trae dibujo. En verde el cable, con el punto de sujecion a distancia x del poste corto.

Encontrar el punto de sujeción.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segunda evaluación, 4 de diciembre de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos complejos con tres condiciones

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar los números complejos $z_1$ y $z_2$ tales que $z_1+z_2 = 1+2i$ , $\dfrac{z_1}{z_2}$ es real y $\mathrm{Re}(z_1) = 2$ .

Hallar $z_1$ y $z_2$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa geométricamente que $\dfrac{z_1}{z_2}$ sea real?
02
La constante de proporcionalidad
COMP2
Escribiendo $z_1 = \lambda z_2$ con $\lambda$ real, ¿cuánto vale $\lambda$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La parte imaginaria de z1
COMP2
¿Cuánto vale $\mathrm{Im}(z_1)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Contar. Dos complejos son cuatro incógnitas reales; el enunciado da la suma —dos ecuaciones—, la parte real de $z_1$ —una— y el cociente real —una—. Cuatro y cuatro.
2. Traducir la condición del cociente: $\frac{z_1}{z_2}$ real equivale a $z_1 = \lambda z_2$ con $\lambda$ real, es decir a que los dos afijos estén alineados con el origen.
3. Las partes reales. De la suma, $\mathrm{Re}(z_2) = -1$ ; y de la proporcionalidad, $2 = -\lambda$ , luego $\lambda = -2$ .
4. Las partes imaginarias. Con $z_1 = 2+bi$ y $z_2 = -1+(2-b)i$ , la proporcionalidad da $b = -2(2-b)$ , de donde $b=4$ .
5. $z_1 = 2+4i$ y $z_2 = -1-2i$ , y en efecto $\frac{z_1}{z_2} = -2$ , real.
Contar incógnitas y ecuaciones antes de empezar dice que la solución debe ser única. Si al final salen dos, hay un error en algún paso.

Resolución completa

Datos. $z_1+z_2 = 1+2i$ , $\frac{z_1}{z_2}$ real y $\mathrm{Re}(z_1) = 2$ .

1 · Contar antes de calcular

Dos números complejos son cuatro incógnitas reales. El enunciado da:

condición	ecuaciones
$z_1+z_2 = 1+2i$	2 (real e imaginaria)
$\mathrm{Re}(z_1) = 2$	1
$\frac{z_1}{z_2}$ real	1

Cuatro ecuaciones, cuatro incógnitas: cabe esperar solución única.

2 · Traducir la condición del cociente

Es la única que no es inmediata. Un cociente de complejos es real cuando sus argumentos difieren en un múltiplo de $\pi$ , es decir cuando los dos afijos y el origen están alineados.

Algebraicamente:

\frac{z_1}{z_2} \in \mathbb{R} \;\Longleftrightarrow\; z_1 = \lambda\,z_2 \ \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}

Y esa forma es la cómoda: convierte la condición en dos ecuaciones lineales, una por cada componente.

3 · Las partes reales

De la suma:

\mathrm{Re}(z_2) = 1-\mathrm{Re}(z_1) = 1-2 = -1

De la proporcionalidad, comparando partes reales:

2 = \lambda\cdot(-1) \;\Longrightarrow\; \lambda = -2

4 · Las partes imaginarias

Llamando $b = \mathrm{Im}(z_1)$ , la suma da $\mathrm{Im}(z_2) = 2-b$ , y la proporcionalidad:

b = -2\,(2-b) \;\Longrightarrow\; b = -4+2b \;\Longrightarrow\; b = 4

\boxed{z_1 = 2+4i, \qquad z_2 = -1-2i}

5 · Comprobación

La suma:

(2+4i)+(-1-2i) = 1+2i \quad\checkmark

La parte real: $\mathrm{Re}(z_1) = 2$ ✔

El cociente, racionalizando:

\frac{2+4i}{-1-2i} = \frac{(2+4i)(-1+2i)}{(-1)^{2}+(-2)^{2}} = \frac{-2+4i-4i+8i^{2}}{5} = \frac{-10}{5} = -2

Real ✔ y además coincide con el $\lambda$ hallado, como tenía que ser.

Geométricamente. Los afijos son $(2,4)$ y $(-1,-2)$ , y los dos están sobre la recta $y = 2x$ , que pasa por el origen ✔ En lados opuestos, que es lo que dice el signo negativo de $\lambda$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segunda evaluación, 4 de diciembre de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · Vale 20 de los 40 puntos del examen · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La trayectoria de un dron, de principio a fin

COMP 16 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La función $h(x) = -\dfrac{x^{3}}{160}+\dfrac{3x^{2}}{80}$ , cuya gráfica se muestra en la figura adjunta, representa la trayectoria que sigue un dron desde su despegue y hasta alcanzar una altura de 0.2 km durante 4 km de recorrido horizontal. Se pide:

Figura redibujada del enunciado original. En morado, el punto de inflexion donde la pendiente es maxima; en verde y a trazos, la prolongacion que pide el apartado (e), que no viene en el enunciado.

a) Calcular y representar gráficamente sobre la misma figura las funciones $h'(x) = \dfrac{dh}{dx}$ y $h''(x) = \dfrac{d^{2}h}{dx^{2}}$ .

b) Estudiar los intervalos de crecimiento/decrecimiento, concavidad/convexidad, extremos y puntos de inflexión de $h(x)$ , interpretando el significado de todo ello y relacionándolo con las gráficas de $h'(x)$ y $h''(x)$ .

c) Determinar el punto $x=p$ en el que la velocidad de la altura $h$ respecto al desplazamiento horizontal es máxima. Interpretar el significado y relacionarlo con las gráficas de $h'(x)$ y $h''(x)$ .

d) Supongamos que en el anterior punto, $x=p$ , la velocidad horizontal del dron es de 75 km/h. Calcular en ese instante cuál es la velocidad de la altura respecto al tiempo.

e) Supongamos que a partir del km 4 el dron mantiene constante la velocidad de la altura $h$ respecto al desplazamiento horizontal. Trazar en la figura la gráfica de su trayectoria a partir del km 4.

Resolver los cinco apartados.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado (c) pide dónde es máxima «la velocidad de la altura respecto al desplazamiento horizontal». ¿Qué hay que maximizar?
02
El punto de pendiente máxima
COMP2
¿En qué kilómetro $p$ es máxima la pendiente?
Tu respuesta al paso 2un número en km — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado (d)
COMP2
Con velocidad horizontal 75 km/h en $x=p$ , ¿a qué velocidad gana altura el dron? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número en km/h — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (e). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Qué se mantiene constante: «la velocidad de la altura respecto al desplazamiento horizontal», es decir $h'(x)$ — no la velocidad respecto al tiempo.
2. Cuánto vale al llegar al km 4: $h'(4) = \frac{3\cdot4}{160}(4-4) = 0$ .
3. Luego a partir de ahí $h'(x) = 0$ constante.
4. Una función con derivada nula es constante, así que la altura se queda en su valor de ese momento: $h(4) = -\frac{64}{160}+\frac{48}{80} = 0{,}2$ km.
5. La gráfica es una recta horizontal a 0,2 km desde el km 4 en adelante: el dron pasa a vuelo de crucero.
El apartado (e) parece de dibujo y es de lectura: todo depende de notar que $h'(4)=0$ , cosa que la propia gráfica ya sugiere al aplanarse.

Resolución completa

Datos. $h(x) = -\frac{x^{3}}{160}+\frac{3x^{2}}{80}$ en $[0,4]$ , con $x$ y $h$ en kilómetros.

Este ejercicio vale 20 de los 40 puntos del examen: la mitad. Y su reparto es COMP1 3, COMP2 2, COMP4 5 — casi todo interpretación. El enunciado subraya dos veces «interpretando el significado», y ahí está la nota.

1 · Apartado (a): las dos derivadas

h'(x) = -\frac{3x^{2}}{160}+\frac{3x}{40}

Conviene factorizarla, porque así se leen los ceros de un vistazo:

h'(x) = \frac{3x}{160}\left(4-x\right)

h''(x) = -\frac{3x}{80}+\frac{3}{40} = \frac{3}{80}\left(2-x\right)

	forma	ceros	tipo
$h$	cúbica	$0$ y $6$	curva en S
$h'$	parábola invertida	$0$ y $4$	máximo en $x=2$
$h''$	recta decreciente	$2$	corta en $x=2$

2 · Apartado (b): el estudio, con su significado

Crecimiento. $h'(x) = \frac{3x}{160}(4-x) > 0$ en todo $(0,4)$ , porque los dos factores lo son.

h \text{ es creciente en } (0,4)

Significado: el dron sube durante todo el recorrido. No baja en ningún momento.

Extremos. $h'$ se anula en $x=0$ y $x=4$ , los dos extremos del intervalo. Dentro no hay ninguno.

Significado: arranca horizontal —despegue suave— y llega horizontal —nivelación—. En medio no hay ni cumbres ni valles.

Concavidad. $h''(x) = \frac{3}{80}(2-x)$ :

tramo	$h''$	$h$	qué hace el dron
$(0,2)$	$>0$	convexa	acelera su ascenso
$(2,4)$	$<0$	cóncava	frena su ascenso

Punto de inflexión en $x=2$ , con $h(2) = 0{,}1$ km.

Significado: el dron cambia de régimen en el km 2. Antes gana pendiente; después la va perdiendo hasta nivelarse.

Relación con las gráficas. $h'$ es una parábola invertida con máximo en $x=2$ ; $h''$ es una recta que cruza el eje en ese mismo punto. Los tres hechos son el mismo visto desde tres alturas: la trayectoria tiene su inflexión donde la pendiente es máxima y donde la curvatura cambia de signo.

3 · Apartado (c): dónde sube más deprisa

«La velocidad de $h$ respecto al desplazamiento horizontal» es $\frac{dh}{dx} = h'(x)$ . Maximizarla exige anular su derivada:

h''(x) = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{p = 2 \ \text{km}}

Y es máximo porque $h''$ pasa de $+$ a $-$ .

h'(2) = \frac{3\cdot2}{160}\left(4-2\right) = \frac{6}{160}\cdot2 = 0{,}075

Significado: en el km 2 el dron sube 75 metros por cada kilómetro recorrido, la mayor tasa de todo el vuelo. En las gráficas, es la cima de $h'$ y el corte de $h''$ con el eje.

4 · Apartado (d): ahora con el tiempo

Los apartados anteriores hablan de $x$ ; este introduce $t$ . La regla de la cadena los conecta:

\frac{dh}{dt} = \frac{dh}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = h'(x)\cdot\frac{dx}{dt}

\frac{dh}{dt} = 0{,}075\cdot75

\boxed{\frac{dh}{dt} = 5{,}625 \ \text{km/h}}

Unos 94 m/min de ascenso, con el dron avanzando a 75 km/h.

5 · Apartado (e): el vuelo de crucero

Lo que se mantiene constante es $h'$ , no la velocidad respecto al tiempo. Y al llegar al km 4:

h'(4) = \frac{3\cdot4}{160}\left(4-4\right) = 0

Mantener eso constante significa mantener pendiente cero. Una función con derivada nula es constante, así que la altura se queda donde estaba:

h(4) = -\frac{64}{160}+\frac{3\cdot16}{80} = -0{,}4+0{,}6 = 0{,}2 \ \text{km}

\boxed{h(x) = 0{,}2 \ \text{km para } x \ge 4: \text{ recta horizontal}}

En la figura, la línea de trazos verde.

El error del apartado es suponer que se mantiene la pendiente máxima, la del km 2. No: se mantiene la que trae al llegar, que es cero.

6 · Comprobación

Que la altura final es la del enunciado. El enunciado dice «hasta alcanzar una altura de 0.2 km durante 4 km», y en efecto $h(4)=0{,}2$ ✔ Dos datos independientes que cuadran.

Que la trayectoria empalma suavemente. En $x=4$ la curva llega con $h'=0$ y la prolongación tiene $h'=0$ : la unión es derivable, sin pico ✔ Es lo que se ve en la figura.

Del punto de inflexión. $h(2) = -\frac{8}{160}+\frac{12}{80} = -0{,}05+0{,}15 = 0{,}1$ km, exactamente la mitad de la altura final, en la mitad del recorrido ✔ La curva en S es simétrica respecto de ese punto, como toda cúbica respecto de su inflexión.

De la velocidad vertical. $5{,}625$ es el $7{,}5\ \%$ de 75, y $7{,}5$ es la pendiente en tanto por ciento ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segunda evaluación, 4 de diciembre de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El cable más corto entre dos postes

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dos postes, de 2 y 3 metros de altura, distan 5 metros. Hay que conectar sus extremos superiores mediante un cable sujeto en algún punto del suelo, entre ellos. Se trata de encontrar ese punto, de modo que empleemos la menor cantidad posible de cable.

Figura nuestra: el enunciado no trae dibujo. En verde el cable, con el punto de sujecion a distancia x del poste corto.

Encontrar el punto de sujeción.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué función hay que minimizar?
02
El punto óptimo
COMP2
¿A qué distancia del poste de 2 m hay que clavar el cable?
Tu respuesta al paso 2un número en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La longitud mínima
COMP2
¿Cuánto cable hace falta? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La variable. $x$ es la distancia del poste de 2 m al punto de sujeción, con $0\le x\le5$ .
2. La función objetivo: $L(x) = \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(5-x)^{2}+9}$ , suma de dos hipotenusas.
3. Derivar: $L'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} -\frac{5-x}{\sqrt{(5-x)^{2}+9}}$ , que se anula en $x=2$ .
4. O reflejar, que es más rápido: el extremo alto pasa a $(5,-3)$ , la recta que lo une con $(0,2)$ tiene pendiente $-1$ y corta el suelo en $x=2$ .
5. La longitud: $L = 2\sqrt2+3\sqrt2 = 5\sqrt2 \approx 7{,}07$ m, que coincide con $\sqrt{5^{2}+5^{2}}$ , la distancia al punto reflejado.
El reparto sale $2$ y $3$ , proporcional a las alturas de los postes. No es casualidad: la condición de ángulos iguales lo impone.

Resolución completa

Datos. Postes de 2 y 3 m separados 5 m; cable de un extremo al otro pasando por un punto del suelo.

1 · Plantear

Poniendo el poste corto en $x=0$ y el largo en $x=5$ , y llamando $x$ a la distancia del punto de sujeción al poste corto:

tramo	catetos	longitud
$L_1$	$x$ y $2$	$\sqrt{x^{2}+4}$
$L_2$	$5-x$ y $3$	$\sqrt{(5-x)^{2}+9}$

L(x) = \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(5-x)^{2}+9}, \qquad 0 \le x \le 5

2 · La vía corta: reflexión

Hay un truco clásico que resuelve esto sin derivar.

Refléjese el poste alto por debajo del suelo: su extremo pasa de $(5,3)$ a $(5,-3)$ . Para cualquier punto $P$ del suelo, la distancia de $P$ al extremo real y al reflejado es la misma —el suelo es el eje de simetría—, así que

L(x) = \overline{AP}+\overline{PB} = \overline{AP}+\overline{PB'}

donde $A=(0,2)$ y $B'=(5,-3)$ . Y esa suma es mínima cuando $P$ está sobre el segmento recto $AB'$ : la recta es el camino más corto.

La recta de $(0,2)$ a $(5,-3)$ tiene pendiente

m = \frac{-3-2}{5-0} = -1 \;\Longrightarrow\; y = 2-x

y corta al suelo, $y=0$ , en

\boxed{x = 2 \ \text{m desde el poste de 2 m}}

Y la longitud mínima es directamente la distancia $\overline{AB'}$ :

\boxed{L = \sqrt{5^{2}+5^{2}} = 5\sqrt2 \approx 7{,}0711 \ \text{m}}

3 · La vía larga: derivar

L'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}-\frac{5-x}{\sqrt{(5-x)^{2}+9}}

Igualando a cero:

\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} = \frac{5-x}{\sqrt{(5-x)^{2}+9}}

Elevando al cuadrado y operando se llega a $x=2$ . Y comprobándolo directamente:

\frac{2}{\sqrt8}-\frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{2}{2\sqrt2}-\frac{3}{3\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2} = 0 \quad\checkmark

Que es mínimo: $L$ es suma de dos funciones convexas —cada raíz lo es— luego es convexa, y su punto crítico es el mínimo absoluto.

4 · Lo que dice la condición de óptimo

La ecuación $L'=0$ se puede leer así:

\frac{x}{L_1} = \frac{5-x}{L_2}

y esos dos cocientes son los cosenos de los ángulos que forman los dos tramos con el suelo. Es decir:

En el óptimo, los dos tramos forman el mismo ángulo con el suelo.

Es la ley de reflexión — la misma que sigue un rayo de luz al rebotar. Por eso el truco del espejo funciona.

Aquí los dos ángulos valen 45°, porque los triángulos salen isósceles: catetos $2$ y $2$ el primero, $3$ y $3$ el segundo.

5 · Por qué el reparto es 2 y 3

De la igualdad de ángulos sale, por semejanza de triángulos:

\frac{x}{2} = \frac{5-x}{3} \;\Longrightarrow\; 3x = 10-2x \;\Longrightarrow\; x = 2

El punto divide los 5 m en proporción a las alturas de los postes, $2:3$ . Es una regla general para este problema, y sirve para comprobar el resultado de un vistazo.

6 · Comprobación

Numérica:

$x$	$L(x)$
$1$	$7{,}208$
$2$	$\mathbf{7{,}0711}$
$2{,}5$	$7{,}075$
$3$	$7{,}134$

El de $x=2$ es el menor ✔ Y nótese que el punto medio, $2{,}5$ , queda muy cerca: la función es bastante plana cerca del óptimo.

Por cota inferior. El cable no puede medir menos que la distancia directa entre los dos extremos:

\sqrt{5^{2}+1^{2}} = \sqrt{26} \approx 5{,}099

Y $7{,}07 > 5{,}10$ ✔ La diferencia es lo que cuesta bajar al suelo.

De los ángulos. $\tan\theta_1 = \frac{2}{2} = 1$ y $\tan\theta_2 = \frac{3}{3} = 1$ : los dos 45° ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segunda evaluación · 2017-2018

Reconocer el camino

La constante de proporcionalidad

La parte imaginaria de z1

Justificar el argumento

1 · Contar antes de calcular

2 · Traducir la condición del cociente

3 · Las partes reales

4 · Las partes imaginarias

5 · Comprobación

Reconocer el camino

El punto de pendiente máxima

El apartado (d)

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): las dos derivadas

2 · Apartado (b): el estudio, con su significado

3 · Apartado (c): dónde sube más deprisa

4 · Apartado (d): ahora con el tiempo

5 · Apartado (e): el vuelo de crucero

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El punto óptimo

La longitud mínima

Justificar el argumento

1 · Plantear

2 · La vía corta: reflexión

3 · La vía larga: derivar

4 · Lo que dice la condición de óptimo

5 · Por qué el reparto es 2 y 3

6 · Comprobación