tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · segunda evaluación

Segunda evaluación · 2016-2017

28 de noviembre de 2016 · 3 ejercicios · 30 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un cociente, real primero e imaginario despuésNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:

a) $\dfrac{z-i}{z+i}$ es real

b) $\dfrac{z-i}{z+i}$ es imaginario puro
Calcular y representar los dos lugares geométricos.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos propiedades encadenadasEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 3 + 5 = 10 pts
Demostrar analíticamente las siguientes propiedades:

a) Sea $x_0$ un máximo de $y(x)$ en $D$ . Si $y(x)$ es derivable en $x_0$ entonces $y'(x_0) = 0$ .

b) Sea $y(x)$ una función dos veces derivable, creciente y cóncava en el intervalo $(a,b)$ . Entonces $y^{-1}(x)$ es convexa en $(a,b)$ .
Demostrar las dos propiedades.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Prolongar una parábola y buscarle el punto medioFunciones reales de una variable real2 + 3 + 5 = 10 pts
Sea $y(x)$ la función continua definida en el intervalo $[-5,7]$ cuya gráfica se muestra en la figura solamente en el intervalo $[-5,3]$ , donde su expresión analítica es $y(x) = \dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{4}x-2$ . Supongamos que en el intervalo $(3,7]$ la velocidad de $y(x)$ se mantiene constante e igual al valor de la velocidad en el punto $x=3$ .

Figura redibujada del enunciado original, esquematica: lo que importa son los dos extremos del tramo conocido y su vertice. A la derecha de x igual a tres no hay curva, y eso es lo que hay que construir.

a) Estudiar la derivabilidad de $y(x)$ en el punto $x=3$ .

b) Calcular la expresión analítica de $y(x)$ en el intervalo $[3,7]$ y representarla gráficamente sobre la figura.

c) Calcular la velocidad media $M$ de $y(x)$ en $[-5,7]$ .

d) Estudiar la existencia de un punto $z \in (-5,7)$ tal que $y'(z) = M$ y hallar dicho punto en el caso de que exista.
Resolver los cuatro apartados.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segunda evaluación, 28 de noviembre de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cociente, real primero e imaginario después

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:

a) $\dfrac{z-i}{z+i}$ es real

b) $\dfrac{z-i}{z+i}$ es imaginario puro

Calcular y representar los dos lugares geométricos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la vía más corta para atacar los dos apartados a la vez?
02
La parte imaginaria del cociente
COMP2
Tras racionalizar, la parte imaginaria del numerador es $kx$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio de la circunferencia
COMP2
El lugar del apartado (b) es una circunferencia centrada en el origen. ¿Cuál es su radio?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
2 saldría de $x^{2}+y^{2} = 4$ . La condición es $x^{2}+y^{2}-1 = 0$ , es decir radio 1.
Con radio 0 el lugar sería solo el origen, y ahí el cociente vale $\frac{-i}{i} = -1$ : real, no imaginario puro.
$\sqrt2$ saldría de $x^{2}+y^{2} = 2$ . El término independiente es $-1$ .
Imaginario puro significa parte real nula.
Desarrollo
«Imaginario puro» significa que la parte real se anula:
$x^{2}+y^{2}-1 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}+y^{2} = 1$
Es la circunferencia unidad: centro en el origen y radio 1.

Hay que excluir dos puntos:
- $z = -i$ , donde el denominador se anula;
- $z = i$ , donde el numerador se anula y el cociente vale 0, que no es imaginario puro.
Los dos puntos excluidos son precisamente los que aparecen en el enunciado, $\pm i$ , y los dos están sobre la circunferencia. No es casualidad: son los que hacen degenerar el cociente.
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Racionalizar una vez. Con $z=x+yi$ , el cociente vale $\dfrac{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)-2xi}{x^{2}+(y+1)^{2}}$ .
2. (a) Real ⟺ parte imaginaria nula ⟺ $-2x = 0$ ⟺ $x=0$ : el eje imaginario.
3. (b) Imaginario puro ⟺ parte real nula ⟺ $x^{2}+y^{2} = 1$ : la circunferencia unidad.
4. Excluir los puntos degenerados. En $z=-i$ el denominador se anula, así que ese punto sale de los dos lugares. Y en $z=i$ el cociente vale 0, que no es imaginario puro: sale de (b).
5. El dibujo: una recta vertical y una circunferencia, que se cortan justo en los dos puntos excluidos.
La recta y la circunferencia se cortan exactamente en $i$ y $-i$ , los dos puntos excluidos. El dibujo lo explica solo.

Resolución completa

Datos. El cociente $\frac{z-i}{z+i}$ , real en (a) e imaginario puro en (b).

1 · Un solo cálculo para los dos apartados

La condición de «ser real» y la de «ser imaginario puro» son complementarias: una anula la parte imaginaria y la otra la real. Así que basta racionalizar una vez y quedarse con las dos componentes.

Con $z = x+yi$ :

\frac{z-i}{z+i} = \frac{x+(y-1)i}{x+(y+1)i} = \frac{\left[x+(y-1)i\right]\left[x-(y+1)i\right]}{x^{2}+(y+1)^{2}}

Desarrollando el numerador:

x^{2}-x(y+1)i+x(y-1)i+(y-1)(y+1)

—el último término cambia de signo porque $i^{2}=-1$ —:

= \left(x^{2}+y^{2}-1\right)+x\left[(y-1)-(y+1)\right]i = \left(x^{2}+y^{2}-1\right)-2x\,i

\boxed{\frac{z-i}{z+i} = \frac{\left(x^{2}+y^{2}-1\right)-2x\,i}{x^{2}+(y+1)^{2}}}

El denominador es real y positivo, así que no afecta a los signos: todo se decide en el numerador.

2 · Apartado (a): real

Un complejo es real cuando su parte imaginaria se anula:

-2x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0

\boxed{\text{El EJE IMAGINARIO, salvo el punto } z=-i}

Y el resultado tiene sentido: si $z$ está sobre el eje imaginario, $z-i$ y $z+i$ también lo están, y el cociente de dos imaginarios puros es real.

3 · Apartado (b): imaginario puro

Ahora se anula la parte real:

x^{2}+y^{2}-1 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}+y^{2} = 1

\boxed{\text{La CIRCUNFERENCIA UNIDAD, salvo } z=\pm i}

4 · Los puntos que hay que excluir

punto	por qué
$z = -i$	anula el denominador: el cociente no existe
$z = i$	anula el numerador: el cociente vale 0, que no es imaginario puro

Los dos están sobre la circunferencia, y $-i$ además sobre el eje imaginario. Es lo que hace que los dos lugares se corten exactamente en los puntos prohibidos.

Cuánto se excluye el 0 depende del convenio —hay textos que lo consideran imaginario puro—, pero conviene mencionarlo: es un punto de COMP4.

5 · El dibujo

(a) una recta vertical, el eje $OY$ , con un agujero en $-i$ ;
(b) una circunferencia de centro el origen y radio 1, con agujeros en $i$ y $-i$ .

La recta pasa por el centro de la circunferencia y la corta justo en los dos puntos excluidos.

6 · Comprobación

Del apartado (a), con $z = 2i$ :

\frac{2i-i}{2i+i} = \frac{i}{3i} = \frac13

Real ✔

Del apartado (b), con $z = 1$ —que está en la circunferencia—:

\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)^{2}}{2} = \frac{1-2i-1}{2} = -i

Imaginario puro ✔

Con otro punto de la circunferencia, $z = \frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i$ :

\text{parte real del numerador} = \frac34+\frac14-1 = 0 \quad\checkmark

De que la recta y la circunferencia se cortan donde se dice. El eje imaginario corta $x^{2}+y^{2}=1$ en $y=\pm1$ , es decir en $i$ y $-i$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segunda evaluación, 28 de noviembre de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El apartado (a) volvió a caer en la segunda evaluación de 2019-2020 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos propiedades encadenadas

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar analíticamente las siguientes propiedades:

a) Sea $x_0$ un máximo de $y(x)$ en $D$ . Si $y(x)$ es derivable en $x_0$ entonces $y'(x_0) = 0$ .

b) Sea $y(x)$ una función dos veces derivable, creciente y cóncava en el intervalo $(a,b)$ . Entonces $y^{-1}(x)$ es convexa en $(a,b)$ .

Demostrar las dos propiedades.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace falta para que el apartado (b) tenga sentido siquiera?
02
El signo del denominador
COMP2
En $\left(y^{-1}\right)'' = \dfrac{-y''}{\left(y'\right)^{3}}$ —con todo evaluado en $y^{-1}(x)$ —, ¿qué signo tiene el denominador? Responde 1 si positivo, $-1$ si negativo.
Tu respuesta al paso 21 o -1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La inversa existe. $y$ es estrictamente creciente, luego inyectiva, luego tiene inversa en su imagen.
2. La derivada de la inversa. De $y\left(y^{-1}(x)\right) = x$ , derivando: $\left(y^{-1}\right)'(x) = \dfrac{1}{y'\left(y^{-1}(x)\right)}$ , que exige $y' \neq 0$ .
3. La segunda derivada, derivando otra vez y aplicando la cadena dos veces: $\left(y^{-1}\right)''(x) = \dfrac{-y''\left(y^{-1}(x)\right)} {\left[y'\left(y^{-1}(x)\right)\right]^{3}}$ .
4. Los signos. $y$ creciente da $y'>0$ , luego $\left(y'\right)^{3}>0$ ; e $y$ cóncava da $y''<0$ , luego $-y''>0$ .
5. Numerador y denominador positivos, así que $\left(y^{-1}\right)''>0$ : la inversa es convexa. $\blacksquare$
Las dos hipótesis de (b) trabajan en sitios distintos: el crecimiento en el denominador y la concavidad en el numerador. Quitar cualquiera de las dos rompe la conclusión.

Resolución completa

Enunciados. (a) el teorema de Fermat; (b) que la inversa de una función creciente y cóncava es convexa.

El apartado (a) volvió a caer, palabra por palabra, en la segunda evaluación de 2019-2020, esa vez como ejercicio entero de 10 puntos y con COMP2 = 0.

1 · Apartado (a): teorema de Fermat

Hipótesis. Hay un máximo en $x_0$ —luego existe $\delta>0$ con $y(x) \le y(x_0)$ para $\left|x-x_0\right|<\delta$ — y $y$ es derivable ahí. Se sobreentiende que $x_0$ es interior, sin lo cual no hay dos lados.

El numerador tiene signo fijo. Para todo $h$ con $\left|h\right|<\delta$ :

y(x_0+h)-y(x_0) \le 0

Por la derecha ( $h>0$ ), el denominador es positivo:

\frac{y(x_0+h)-y(x_0)}{h} \le 0 \;\Longrightarrow\; y'(x_0) = \lim_{h\to0^{+}} \le 0

Por la izquierda ( $h<0$ ), el denominador es negativo y el cociente cambia de signo:

\frac{y(x_0+h)-y(x_0)}{h} \ge 0 \;\Longrightarrow\; y'(x_0) = \lim_{h\to0^{-}} \ge 0

La derivabilidad garantiza que los dos límites son el mismo número, y ese número cumple $\le0$ y $\ge0$ a la vez:

\boxed{y'(x_0) = 0} \qquad \blacksquare

2 · Apartado (b): lo primero, que la inversa exista

$y$ es creciente en $(a,b)$ , luego inyectiva, luego admite inversa en su imagen. Decirlo es el primer punto: sin esto, el enunciado habla de una función que podría no existir.

3 · Las dos derivadas de la inversa

Partiendo de la definición $y\left(y^{-1}(x)\right) = x$ y derivando:

y'\left(y^{-1}(x)\right)\cdot\left(y^{-1}\right)'(x) = 1 \;\Longrightarrow\; \left(y^{-1}\right)'(x) = \frac{1}{y'\left(y^{-1}(x)\right)}

lo que exige $y' \neq 0$ — garantizado porque $y$ es estrictamente creciente.

Derivando otra vez, con la cadena aplicada dos veces:

\left(y^{-1}\right)''(x) = \frac{-y''\left(y^{-1}(x)\right)} {\left[y'\left(y^{-1}(x)\right)\right]^{3}}

4 · El signo

pieza	de dónde sale	signo
$y' > 0$	$y$ es creciente	—
$\left(y'\right)^{3} > 0$	el cubo es impar y conserva el signo	$+$
$y'' < 0$	$y$ es cóncava	—
$-y'' > 0$	por el menos de la fórmula	$+$

\left(y^{-1}\right)'' = \frac{+}{+} > 0

\boxed{y^{-1} \text{ es CONVEXA en su dominio}} \qquad \blacksquare

5 · Por qué el cubo importa

Es la parte fina del ejercicio. El denominador está elevado al cubo, y el cubo es una potencia impar: conserva el signo.

Si $y$ fuera decreciente en vez de creciente:

y'<0 \;\Longrightarrow\; \left(y'\right)^{3}<0 \;\Longrightarrow\; \left(y^{-1}\right)'' = \frac{+}{-} < 0

y la inversa saldría cóncava, no convexa. La hipótesis de crecimiento no es decorativa.

Con un cuadrado en el denominador el signo se borraría y la orientación daría igual — y por eso confundir el exponente es el error caro.

6 · Comprobación

Con un ejemplo. $y(x) = \sqrt{x}$ en $(0,\infty)$ :

y' = \frac{1}{2\sqrt x} > 0 \ \text{(creciente)}, \qquad y'' = -\frac{1}{4x^{3/2}} < 0 \ \text{(cóncava)}

Su inversa es $y^{-1}(x) = x^{2}$ , cuya segunda derivada es $2 > 0$ : convexa ✔

Con otro. $y(x) = \ln x$ : creciente y cóncava. Su inversa es $e^{x}$ , convexa ✔

Geométricamente. La gráfica de $y^{-1}$ es la de $y$ reflejada en la bisectriz $y=x$ . Esa reflexión intercambia los ejes, y con ellos el sentido de la curvatura: lo que se doblaba hacia abajo pasa a doblarse hacia arriba. Es la misma conclusión sin una sola cuenta — pero un dibujo no es una demostración, y el enunciado pide «demostrar analíticamente».

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segunda evaluación, 28 de noviembre de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Prolongar una parábola y buscarle el punto medio

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $y(x)$ la función continua definida en el intervalo $[-5,7]$ cuya gráfica se muestra en la figura solamente en el intervalo $[-5,3]$ , donde su expresión analítica es $y(x) = \dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{4}x-2$ . Supongamos que en el intervalo $(3,7]$ la velocidad de $y(x)$ se mantiene constante e igual al valor de la velocidad en el punto $x=3$ .

Figura redibujada del enunciado original, esquematica: lo que importa son los dos extremos del tramo conocido y su vertice. A la derecha de x igual a tres no hay curva, y eso es lo que hay que construir.

a) Estudiar la derivabilidad de $y(x)$ en el punto $x=3$ .

b) Calcular la expresión analítica de $y(x)$ en el intervalo $[3,7]$ y representarla gráficamente sobre la figura.

c) Calcular la velocidad media $M$ de $y(x)$ en $[-5,7]$ .

d) Estudiar la existencia de un punto $z \in (-5,7)$ tal que $y'(z) = M$ y hallar dicho punto en el caso de que exista.

Resolver los cuatro apartados.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice que en $(3,7]$ «la velocidad se mantiene constante». ¿Qué función es esa velocidad?
02
La pendiente heredada
COMP2
¿Cuánto vale $y'(3)$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad media
COMP2
¿Cuánto vale la velocidad media $M$ en $[-5,7]$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (d). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Comprobar las hipótesis de Lagrange. $y$ es continua en $[-5,7]$ —lo dice el enunciado— y derivable en $(-5,7)$ , porque en $x=3$ las dos pendientes coinciden, según el apartado (a).
2. Luego el teorema garantiza que existe $z$ con $y'(z) = M = \frac{5}{12}$ . No hay que discutir si existe: existe.
3. Buscarlo en el tramo recto, donde $y' = \frac74$ constante: $\frac74 \neq \frac{5}{12}$ , así que ahí no está.
4. Buscarlo en la parábola, donde $y'(x) = \frac x2+\frac14$ : $\frac{z}{2}+\frac14 = \frac{5}{12}$ da $\frac z2 = \frac16$ , es decir $z = \frac13$ .
5. Y $\frac13 \in (-5,3)$ , así que es válido. Es el único, porque en el tramo recto la derivada es constante y distinta.
El apartado (d) tiene dos mitades: que existe —lo da Lagrange— y dónde está —hay que buscarlo tramo a tramo—. Las dos puntúan.

Resolución completa

Datos. $y(x) = \frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{4}-2$ en $[-5,3]$ , y en $(3,7]$ la velocidad se mantiene constante e igual a la de $x=3$ .

1 · Lo que se sabe del tramo conocido

y'(x) = \frac{x}{2}+\frac14

y(3) = \frac94+\frac34-2 = 1, \qquad y'(3) = \frac32+\frac14 = \frac74

y(-5) = \frac{25}{4}-\frac54-2 = 3

La parábola tiene su vértice donde $y'=0$ , es decir en $x = -\frac12$ , con $y\left(-\frac12\right) = -\frac{33}{16} \approx -2{,}06$ .

2 · Apartado (a): derivabilidad en $x=3$

«La velocidad se mantiene constante e igual a la del punto $x=3$ » significa

y'(x) = \frac74 \qquad \text{para } x \in (3,7]

y en particular $y'(3^{+}) = \frac74$ .

Por la izquierda, $y'(3^{-}) = \frac74$ también.

\boxed{y \text{ ES derivable en } x=3, \text{ con } y'(3) = \frac74}

No hay pico. La prolongación empalma con la parábola de forma suave, y eso es exactamente lo que va a permitir aplicar Lagrange en el apartado (d).

3 · Apartado (b): la expresión en $[3,7]$

Una función con derivada constante es una recta de esa pendiente. Y pasa por $(3,1)$ :

\boxed{y(x) = 1+\frac74(x-3) = \frac{7x}{4}-\frac{17}{4} \qquad x\in[3,7]}

y(7) = 1+\frac74\cdot4 = 8

Gráficamente, la recta tangente a la parábola en $x=3$ , prolongada hasta el final.

4 · Apartado (c): la velocidad media

M = \frac{y(7)-y(-5)}{7-(-5)} = \frac{8-3}{12}

\boxed{M = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167}

Nótese lo pequeña que es comparada con la del tramo recto, $\frac74$ : en la primera parte la función baja hasta el vértice, y eso rebaja la media.

5 · Apartado (d): el punto de Lagrange

Que existe. $y$ es continua en $[-5,7]$ —dato del enunciado— y derivable en $(-5,7)$ —lo acaba de establecer el apartado (a)—. El teorema de Lagrange garantiza que existe $z$ con $y'(z) = M$ .

Dónde está. Hay que buscarlo tramo a tramo:

tramo	$y'$	¿vale $\frac5{12}$ ?
$(3,7)$	$\frac74$ constante	no
$(-5,3)$	$\frac x2+\frac14$	hay que resolver

\frac{z}{2}+\frac14 = \frac{5}{12} \;\Longrightarrow\; \frac{z}{2} = \frac{5}{12}-\frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac16

\boxed{z = \frac13}

Y $\frac13 \in (-5,3)$ ✔

Que es único. En el tramo recto la derivada es constante y distinta de $M$ , y en la parábola la derivada es estrictamente creciente, así que toma cada valor una sola vez. Lagrange garantizaba al menos uno; aquí resulta haber exactamente uno, y eso hay que comprobarlo.

6 · Comprobación

Del punto:

y'\!\left(\tfrac13\right) = \frac{1/3}{2}+\frac14 = \frac16+\frac14 = \frac{2+3}{12} = \frac{5}{12} \quad\checkmark

De la velocidad media, por otra vía. La media de una derivada sobre un intervalo es su valor medio integral:

\frac{1}{12}\int_{-5}^{7}y'(x)\,dx = \frac{y(7)-y(-5)}{12}

que es la misma cuenta ✔ El teorema fundamental garantiza que las dos lecturas coinciden.

De la continuidad y la derivabilidad en el empalme:

\text{valor: } 1 = 1 \quad\checkmark \qquad \text{pendiente: } \tfrac74 = \tfrac74 \quad\checkmark

De coherencia. El valor $z=\frac13$ está a la derecha del vértice $\left(-\frac12\right)$ , donde la parábola ya sube. Tiene sentido: la pendiente media es positiva, así que el punto donde se alcanza tiene que estar en la zona creciente ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segunda evaluación · 2016-2017

Reconocer el camino

La parte imaginaria del cociente

El radio de la circunferencia

Justificar el argumento

1 · Un solo cálculo para los dos apartados

2 · Apartado (a): real

3 · Apartado (b): imaginario puro

4 · Los puntos que hay que excluir

5 · El dibujo

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El signo del denominador

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): teorema de Fermat

2 · Apartado (b): lo primero, que la inversa exista

3 · Las dos derivadas de la inversa

4 · El signo

5 · Por qué el cubo importa

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La pendiente heredada

La velocidad media

Justificar el argumento

1 · Lo que se sabe del tramo conocido

2 · Apartado (a): derivabilidad en x=3x=3x=3

3 · Apartado (b): la expresión en [3,7][3,7][3,7]

4 · Apartado (c): la velocidad media

5 · Apartado (d): el punto de Lagrange

6 · Comprobación

2 · Apartado (a): derivabilidad en $x=3$

3 · Apartado (b): la expresión en $[3,7]$