tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · segunda evaluación

Segunda evaluación · 2022-2023

28 de noviembre de 2022 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El coche que se aleja del edificio en llamasFunciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular la velocidad a la que el coche se está alejando del edificio en llamas.

Figura nuestra, redibujada: el enunciado original trae un dibujo con imagenes prestadas, que no podemos reproducir por derechos. En rojo la distancia D entre el fuego y el coche, que es lo que hay que derivar.

Calcular a qué velocidad crece la distancia al edificio.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cuántas condiciones caben en un polinomioFunciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
a) Sea la función
$f(x) = \begin{cases} g(x) & x<0 \\[4pt] e^{\mathrm{sen}\,x} & 0 \le x \le 2\pi \\[4pt] g(x) & 2\pi < x \end{cases}$
donde $g(x)$ es un polinomio de grado 2 o 3, es decir, $g(x) = ax^{2}+bx+c$ o $g(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ . ¿Qué grado debe tener $g(x)$ para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$ ? Razonar la respuesta.

b) Calcular los coeficientes de la función $g(x)$ .
Decidir el grado y calcular los coeficientes.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La recta que hace mínima la suma de los cortesEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Consideremos una recta que pasa por el punto $(1,4)$ . Sabiendo que dicha recta corta a los ejes OX y OY en los puntos $(a,0)$ y $(0,b)$ $\left(\text{con } a,b>0\right)$ , calcular la pendiente de la recta para que $a+b$ sea mínimo.
Calcular la pendiente que minimiza $a+b$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una cota de error, y el error de verdadEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 3 + 6 = 10 pts
En la imagen se muestran las gráficas de una función $y(x)$ y de sus dos primeras derivadas $y'(x)$ e $y''(x)$ .

Figura redibujada del enunciado original y medida sobre el PDF: la rejilla y las marcas del eje se localizaron por densidad de tinta, y las tres curvas se separaron por grosor de trazo. Los valores que salieron corresponden a y igual a menos dos x cubo menos tres x cuadrado mas ocho x mas cinco.

a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 1 en $a=-1$ .

b) Acotar el error cometido al aproximar el valor de la función $y(x)$ en $x = -\dfrac{1}{3}$ mediante el polinomio obtenido en el apartado anterior.

c) Calcular el error exacto y comprobar que la cota calculada en el apartado anterior es válida.
Calcular el polinomio, acotar el error y compararlo con el exacto.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 46 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segunda evaluación, 28 de noviembre de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · Es el ejercicio 3.17 del boletín del tema 3, con los mismos números · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El coche que se aleja del edificio en llamas

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la velocidad a la que el coche se está alejando del edificio en llamas.

Figura nuestra, redibujada: el enunciado original trae un dibujo con imagenes prestadas, que no podemos reproducir por derechos. En rojo la distancia D entre el fuego y el coche, que es lo que hay que derivar.

Calcular a qué velocidad crece la distancia al edificio.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se mantiene constante mientras el coche avanza?
02
La distancia en ese instante
COMP2
¿A qué distancia está el coche del fuego?
Tu respuesta al paso 2un número en km — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad
COMP2
¿A qué velocidad se aleja el coche del fuego?
Tu respuesta al paso 3un número en km/h — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La geometría. El fuego, la base del edificio y el coche forman un triángulo rectángulo con el cateto vertical fijo en 3 km.
2. La relación, válida en todo instante: $D^{2} = x^{2}+9$ , con $x$ y $D$ funciones del tiempo.
3. Derivar respecto de $t$ : $2D\,D' = 2x\,x'$ , de donde $D' = \frac{x}{D}\,x'$ .
4. Sustituir después de derivar: $x=4$ , $D=5$ y $x'=5$ .
5. $D' = \frac45\cdot5 = 4$ km/h. Y es menor que los 5 km/h del coche, como tiene que ser.
La comprobación más barata del ejercicio: el resultado tiene que ser menor que la velocidad del coche. Si sale mayor, hay un error de planteamiento.

Resolución completa

Datos. Edificio de 3 km con fuego en lo alto; coche a 4 km de la base alejándose a 5 km/h.

Este ejercicio está publicado como 3.17 en el boletín del tema 3, con los mismos números y la misma respuesta. Es una de las veinte repeticiones literales documentadas entre boletines y exámenes.

1 · Qué tipo de problema es

Tasas relacionadas. Dos magnitudes ligadas por una identidad geométrica; se conoce la velocidad de una y se pide la de la otra. El método tiene un orden que no se puede alterar:

escribir la relación, válida en todo instante;
derivar respecto del tiempo;
solo entonces sustituir los valores del instante.

2 · Plantear

Sea $x(t)$ la distancia horizontal del coche a la base del edificio y $D(t)$ su distancia al fuego. El cateto vertical no cambia: el fuego está a 3 km de altura y ahí se queda.

D^{2} = x^{2}+3^{2} = x^{2}+9

3 · Derivar

2D\,\frac{dD}{dt} = 2x\,\frac{dx}{dt} \;\Longrightarrow\; \frac{dD}{dt} = \frac{x}{D}\cdot\frac{dx}{dt}

4 · Sustituir

En el instante del enunciado, $x=4$ , y por Pitágoras

D = \sqrt{16+9} = 5 \ \text{km}

el clásico triángulo 3-4-5. Con $\frac{dx}{dt} = 5$ km/h:

\boxed{\frac{dD}{dt} = \frac{4}{5}\cdot5 = 4 \ \text{km/h}}

5 · Por qué 4 y no 5

El coche va a 5 km/h, pero no se aleja del fuego a 5 km/h. Solo la componente de su movimiento en la dirección coche-fuego cuenta, y esa componente es

\frac{x}{D} = \frac45 = 0{,}8

es decir, el coseno del ángulo que forma la carretera con esa recta. El 20 % restante lo emplea en rodear el edificio.

6 · Comprobación

Por acotación. El resultado tiene que estar entre 0 y 5:

0 < 4 < 5 \quad\checkmark

Es la comprobación más barata que existe, y caza el error de dividir en vez de multiplicar, que daría $6{,}25$ — imposible.

Por los casos extremos.

dónde está el coche	$\frac{x}{D}$	$\frac{dD}{dt}$
en la base ( $x=0$ )	$0$	$0$
en $x=4$	$\frac45$	$4$
muy lejos ( $x\to\infty$ )	$\to1$	$\to5$

Justo sobre la base no se alejaría nada del fuego —solo bajaría por debajo de él—, y muy lejos los 3 km de altura serían despreciables y la distancia crecería casi a 5 km/h ✔ El resultado encaja en medio.

Numérica. En una décima de hora el coche avanza $0{,}5$ km:

D_{\text{nuevo}} = \sqrt{4{,}5^{2}+9} = \sqrt{29{,}25} = 5{,}408

Ha crecido $0{,}408$ km en $0{,}1$ h, es decir unos $4{,}08$ km/h ✔ Coherente con los 4 km/h instantáneos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segunda evaluación, 28 de noviembre de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuántas condiciones caben en un polinomio

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Sea la función

f(x) = \begin{cases} g(x) & x<0 \\[4pt] e^{\mathrm{sen}\,x} & 0 \le x \le 2\pi \\[4pt] g(x) & 2\pi < x \end{cases}

donde $g(x)$ es un polinomio de grado 2 o 3, es decir, $g(x) = ax^{2}+bx+c$ o $g(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ . ¿Qué grado debe tener $g(x)$ para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$ ? Razonar la respuesta.

b) Calcular los coeficientes de la función $g(x)$ .

Decidir el grado y calcular los coeficientes.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántas condiciones impone el enunciado sobre $g$ ?
02
El valor en los empalmes
COMP2
¿Cuánto vale $e^{\mathrm{sen}\,x}$ en $x=0$ y en $x=2\pi$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente principal
COMP2
Con $g$ de grado 3, ¿cuánto vale su coeficiente $a$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado (a). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Contar condiciones. Dos empalmes — $x=0$ y $x=2\pi$ — con dos condiciones cada uno: cuatro ecuaciones.
2. Contar incógnitas. Un polinomio de grado 2 tiene tres coeficientes; uno de grado 3 tiene cuatro.
3. Comprobar que grado 2 no basta. Con $g=ax^{2}+bx+c$ salen $c=1$ , $b=1$ y, de $g(2\pi)=1$ , $a=-\frac{1}{2\pi}$ . Pero entonces $g'(2\pi) = 4\pi a+1 = -1 \neq 1$ : la cuarta condición falla.
4. Luego hace falta grado 3, que aporta el coeficiente que faltaba.
5. (b) Resolviendo: $d=1$ , $c=1$ , $b=-\frac{3}{2\pi}$ y $a=\frac{1}{2\pi^{2}}$ .
El apartado (a) vale porque obliga a justificar, no a acertar. Contar orienta; comprobar demuestra.

Resolución completa

Datos. $f$ vale $e^{\mathrm{sen}\,x}$ en $[0,2\pi]$ y un polinomio $g$ fuera. Se pide el grado de $g$ y sus coeficientes.

1 · Las cuatro condiciones

Dentro de cada tramo $f$ ya es continua y derivable: la exponencial del seno lo es, y un polinomio también. Todo se juega en los dos empalmes, y en cada uno hay dos condiciones.

El tramo central vale, en sus dos extremos:

e^{\mathrm{sen}\,0} = e^{0} = 1, \qquad e^{\mathrm{sen}\,2\pi} = e^{0} = 1

y su derivada, $\left(e^{\mathrm{sen}\,x}\right)' = e^{\mathrm{sen}\,x} \cos x$ :

1\cdot\cos0 = 1, \qquad 1\cdot\cos2\pi = 1

Las cuatro condiciones son, entonces:

g(0)=1, \qquad g'(0)=1, \qquad g(2\pi)=1, \qquad g'(2\pi)=1

El tramo central empieza y acaba igual, con el mismo valor y la misma pendiente. Eso es lo que hace el problema simétrico.

2 · Apartado (a): por qué grado 3

Contar orienta: cuatro condiciones, y el grado 2 solo tiene tres coeficientes. Pero contar no demuestra — hay que comprobarlo.

Grado 2: $g(x) = ax^{2}+bx+c$ .

g(0) = c = 1, \qquad g'(0) = b = 1

g(2\pi) = 4\pi^{2}a+2\pi+1 = 1 \;\Longrightarrow\; a = -\frac{1}{2\pi}

Y ahora la cuarta condición:

g'(2\pi) = 2a(2\pi)+b = 4\pi\left(-\frac{1}{2\pi}\right)+1 = -2+1 = -1

-1 \neq 1

Falla. El polinomio de grado 2 puede cumplir tres condiciones, pero no las cuatro.

\boxed{\text{Hace falta grado 3}}

3 · Apartado (b): los coeficientes

g(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d, \qquad g'(x) = 3ax^{2}+2bx+c

En $x=0$ , inmediato:

d = 1, \qquad c = 1

En $x=2\pi$ , las dos condiciones:

g'(2\pi): \quad 12\pi^{2}a+4\pi b+1 = 1 \;\Longrightarrow\; 3\pi a+b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -3\pi a

g(2\pi): \quad 8\pi^{3}a+4\pi^{2}b+2\pi+1 = 1 \;\Longrightarrow\; 8\pi^{3}a+4\pi^{2}b = -2\pi

Sustituyendo $b$ :

8\pi^{3}a-12\pi^{3}a = -2\pi \;\Longrightarrow\; -4\pi^{3}a = -2\pi \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{2\pi^{2}}

b = -3\pi\cdot\frac{1}{2\pi^{2}} = -\frac{3}{2\pi}

\boxed{g(x) = \frac{x^{3}}{2\pi^{2}}-\frac{3x^{2}}{2\pi}+x+1}

4 · Comprobación

Las cuatro condiciones, una a una:

g(0) = 1 \quad\checkmark \qquad g'(0) = 1 \quad\checkmark

g(2\pi) = \frac{8\pi^{3}}{2\pi^{2}}-\frac{3\cdot4\pi^{2}}{2\pi}+2\pi+1 = 4\pi-6\pi+2\pi+1 = 1 \quad\checkmark

g'(2\pi) = \frac{3\cdot4\pi^{2}}{2\pi^{2}}-\frac{3\cdot2\cdot2\pi}{2\pi}+1 = 6-6+1 = 1 \quad\checkmark

Numérica. Con $\pi \approx 3{,}1416$ :

a \approx 0{,}0507, \qquad b \approx -0{,}4775

Y en un punto intermedio, $x = \pi$ :

g(\pi) = \frac{\pi^{3}}{2\pi^{2}}-\frac{3\pi^{2}}{2\pi}+\pi+1 = \frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{2}+\pi+1 = 1

Curioso: $g(\pi) = 1$ también. El polinomio corta tres veces la recta $y=1$ —en $0$ , $\pi$ y $2\pi$ —, y tenía que ser así: $g(x)-1$ es una cúbica con esas tres raíces.

De hecho eso permite escribirlo de otra forma:

g(x) = 1+\frac{x(x-\pi)(x-2\pi)}{2\pi^{2}}

Desarrollando se recupera lo mismo ✔ Es una comprobación por vía completamente distinta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segunda evaluación, 28 de noviembre de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La recta que hace mínima la suma de los cortes

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Consideremos una recta que pasa por el punto $(1,4)$ . Sabiendo que dicha recta corta a los ejes OX y OY en los puntos $(a,0)$ y $(0,b)$ $\left(\text{con } a,b>0\right)$ , calcular la pendiente de la recta para que $a+b$ sea mínimo.

Calcular la pendiente que minimiza $a+b$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la ligadura entre $a$ y $b$ ?
02
El corte con OX
COMP2
¿Cuánto vale $a$ en el óptimo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La pendiente
COMP2
¿Cuál es la pendiente de esa recta?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La forma segmentaria: $\frac xa+\frac yb = 1$ , que lleva los dos cortes dentro.
2. La ligadura, imponiendo que pase por $(1,4)$ : $\frac1a+\frac4b = 1$ , de donde $b = \frac{4a}{a-1}$ con $a>1$ .
3. La función objetivo: $S(a) = a+\frac{4a}{a-1}$ , con una sola incógnita.
4. Derivar: $S'(a) = 1-\frac{4}{(a-1)^{2}}$ , que se anula en $a=3$ dentro del dominio.
5. Justificar que es mínimo: $S''(a) = \frac{8}{(a-1)^{3}} > 0$ para $a>1$ . Y deshacer: $b=6$ , pendiente $-2$ .
Que $b$ salga el doble de $a$ tiene que ver con que la ordenada de $(1,4)$ es cuatro veces su abscisa. Merece la pena verlo, pero deducirlo requiere hacer la cuenta.

Resolución completa

Datos. Una recta por $(1,4)$ que corta los semiejes positivos en $(a,0)$ y $(0,b)$ . Se pide la pendiente que minimiza $a+b$ .

1 · Elegir bien la ecuación de la recta

Se podría escribir $y = mx+n$ y despejar los cortes, pero hay una forma que ya los lleva dentro: la segmentaria

\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1

Sus cortes con los ejes son exactamente $(a,0)$ y $(0,b)$ . Elegirla ahorra la mitad del trabajo.

2 · La ligadura

La recta pasa por $(1,4)$ :

\frac{1}{a}+\frac{4}{b} = 1

Despejando $b$ :

\frac4b = \frac{a-1}{a} \;\Longrightarrow\; b = \frac{4a}{a-1}

El dominio: hace falta $b>0$ , y como $a>0$ , eso obliga a

a > 1

Tiene sentido geométrico: si el corte con $OX$ estuviera a la izquierda de $x=1$ , la recta pasaría por $(1,4)$ subiendo, y no podría cortar el semieje $OY$ positivo.

3 · Optimizar

S(a) = a+\frac{4a}{a-1}, \qquad a>1

S'(a) = 1+\frac{4(a-1)-4a}{(a-1)^{2}} = 1-\frac{4}{(a-1)^{2}}

S'(a) = 0 \;\Longrightarrow\; (a-1)^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; a = 3 \ \text{ o } \ a = -1

La segunda queda fuera del dominio.

Que es mínimo:

S''(a) = \frac{8}{(a-1)^{3}} > 0 \quad \text{para } a>1

Positiva en todo el dominio: $S$ es convexa ahí, así que el punto crítico es mínimo absoluto.

4 · Deshacer

b = \frac{4\cdot3}{2} = 6, \qquad a+b = 9

La recta pasa por $(3,0)$ y $(0,6)$ :

\boxed{m = \frac{0-6}{3-0} = -2}

es decir, $y = -2x+6$ .

5 · Comprobación

Que pasa por el punto dado. $-2(1)+6 = 4$ ✔

Numérica, probando otras rectas por $(1,4)$ :

$a$	$b = \frac{4a}{a-1}$	$a+b$
$1{,}5$	$12$	$13{,}5$
$2$	$8$	$10$
$3$	$6$	$\mathbf{9}$
$5$	$5$	$10$
$9$	$4{,}5$	$13{,}5$

El $9$ es el menor ✔ Y nótese que $a=5$ da $a=b$ —la recta a 45°— con suma $10$ : peor que el óptimo. La simetría no era la respuesta.

Por los extremos del dominio.

\lim_{a\to1^{+}}S(a) = +\infty, \qquad \lim_{a\to\infty}S(a) = +\infty

—en el primer caso porque $b$ se dispara, en el segundo porque lo hace $a$ —. El mínimo tiene que estar en medio ✔

Del signo de la pendiente. Para cortar los dos semiejes positivos, la recta debe bajar. Y $-2<0$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Segunda evaluación, 28 de noviembre de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una cota de error, y el error de verdad

COMP 11 punto por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 46 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la imagen se muestran las gráficas de una función $y(x)$ y de sus dos primeras derivadas $y'(x)$ e $y''(x)$ .

Figura redibujada del enunciado original y medida sobre el PDF: la rejilla y las marcas del eje se localizaron por densidad de tinta, y las tres curvas se separaron por grosor de trazo. Los valores que salieron corresponden a y igual a menos dos x cubo menos tres x cuadrado mas ocho x mas cinco.

a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 1 en $a=-1$ .

b) Acotar el error cometido al aproximar el valor de la función $y(x)$ en $x = -\dfrac{1}{3}$ mediante el polinomio obtenido en el apartado anterior.

c) Calcular el error exacto y comprobar que la cota calculada en el apartado anterior es válida.

Calcular el polinomio, acotar el error y compararlo con el exacto.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para acotar el error de un polinomio de Taylor de orden 1, ¿qué derivada hace falta?
02
El polinomio
COMP2
¿Cuánto vale $y(-1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La cota del error
COMP2
¿Cuál es la cota del error al aproximar $y\left(-\frac13\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (c). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El valor exacto. De la gráfica sale $y(x) = -2x^{3}-3x^{2}+8x+5$ , y con $x=-\frac13$ : $y\left(-\frac13\right) = \frac{56}{27}$ .
2. El valor aproximado. $P_1\left(-\frac13\right) = -4+8\cdot\frac23 = \frac43$ .
3. El error exacto: $\left|\frac{56}{27}-\frac43\right| = \left|\frac{56-36}{27} \right| = \frac{20}{27} \approx 0{,}7407$ .
4. La comprobación: $\frac{20}{27} \le \frac43$ , es decir $0{,}741 \le 1{,}333$ . La cota es válida.
5. Y tiene que serlo por construcción: la cota usa el máximo de $\left|y''\right|$ , mientras que el error real usa su valor en un punto concreto del interior.
Que el error real sea aproximadamente la mitad de la cota es lo típico: la cota supone el peor caso —que $y''$ valga su máximo en todo el intervalo— y eso casi nunca ocurre.

Resolución completa

Datos. Las gráficas de $y$ , $y'$ e $y''$ .

Nota sobre la figura. Redibujada y medida sobre el PDF: la rejilla y las marcas del eje se localizaron por densidad de tinta, y las tres curvas se separaron por grosor de trazo, ya que las tres son negras. Los valores obtenidos corresponden a $y(x) = -2x^{3}-3x^{2}+8x+5$ , aunque el ejercicio no necesita la expresión: le bastan cuatro lecturas.

1 · Qué se lee y para qué

dato	dónde se lee	para qué
$y(-1) = -4$	curva gruesa	término independiente de $P_1$
$y'(-1) = 8$	parábola de trazos	coeficiente lineal de $P_1$
$y''$ en $\left[-1,-\frac13\right]$	recta de trazos	la cota del error

La gráfica de $y''$ no está de adorno: es el dato del apartado (b).

2 · Apartado (a): el polinomio

P_1(x) = y(-1)+y'(-1)\,(x+1)

\boxed{P_1(x) = -4+8(x+1) = 8x+4}

Es la recta tangente a $y$ en $x=-1$ .

3 · Apartado (b): la cota

El resto de Lagrange de orden 1:

R_1(x) = \frac{y''(\xi)}{2!}\,(x+1)^{2}, \qquad \xi \text{ entre } -1 \text{ y } x

No se sabe dónde está $\xi$ , así que se acota $\left|y''\right|$ en todo el intervalo $\left[-1,-\frac13\right]$ .

En la gráfica $y''$ es una recta, luego es monótona y su máximo en valor absoluto está en un extremo:

y''(-1) = 6, \qquad y''\!\left(-\tfrac13\right) = -2

M = \max_{\left[-1,-1/3\right]}\left|y''\right| = 6

Con $x = -\frac13$ , la distancia al centro es $\frac23$ :

\left|R_1\right| \le \frac{M}{2}\left(\tfrac23\right)^{2} = \frac{6}{2}\cdot\frac49

\boxed{\left|R_1\right| \le \frac43 \approx 1{,}3333}

El error que hay que evitar es evaluar $y''$ solo en el punto donde se aproxima. Daría $\left|-2\right|=2$ y una cota de $\frac89 = 0{,}889$ , menor que el error real: una cota que no acota nada.

4 · Apartado (c): el error exacto

Con $y(x) = -2x^{3}-3x^{2}+8x+5$ y $x = -\frac13$ :

y\!\left(-\tfrac13\right) = -2\left(-\tfrac{1}{27}\right)-3\left(\tfrac19\right) -\tfrac83+5 = \tfrac{2}{27}-\tfrac{9}{27}-\tfrac{72}{27}+\tfrac{135}{27}

y\!\left(-\tfrac13\right) = \frac{56}{27} \approx 2{,}0741

Y el polinomio:

P_1\!\left(-\tfrac13\right) = -4+8\cdot\tfrac23 = -4+\tfrac{16}{3} = \tfrac43 \approx 1{,}3333

\boxed{\left|R_1\right|_{\text{exacto}} = \left|\tfrac{56}{27}-\tfrac{36}{27}\right| = \frac{20}{27} \approx 0{,}7407}

La comprobación:

\frac{20}{27} \le \frac43 \qquad\Longleftrightarrow\qquad 0{,}741 \le 1{,}333 \quad\checkmark

5 · Por qué la cota sobra tanto

El error real es el 56 % de la cota. No es un fallo: es lo normal.

La cota supone el peor caso —que $y''$ valga su máximo, 6, en todo el intervalo—, y eso solo ocurre en el extremo izquierdo. En el resto $y''$ es menor, e incluso cambia de signo en $x=-\frac12$ .

De hecho se puede localizar el $\xi$ del teorema:

\frac{y''(\xi)}{2}\cdot\frac49 = \frac{20}{27} \;\Longrightarrow\; y''(\xi) = \frac{20}{27}\cdot\frac{9}{4}\cdot2 = \frac{10}{3}

Y con $y''(x) = -12x-6$ :

-12\xi-6 = \tfrac{10}{3} \;\Longrightarrow\; \xi = -\frac{7}{9} \approx -0{,}778

que está efectivamente entre $-1$ y $-\frac13$ ✔ El teorema no solo se cumple: se puede señalar el punto.

6 · Comprobación

Del polinomio en su centro. $P_1(-1) = -4 = y(-1)$ ✔

Del signo del error. $y\left(-\frac13\right) > P_1\left(-\frac13 \right)$ , es decir la función va por encima de su tangente en ese punto. Coherente: entre $-1$ y $-\frac12$ la función es convexa — $y''>0$ — y una función convexa queda por encima de su tangente ✔

De la expresión medida. Los cuatro valores leídos en la gráfica — $y(-1)=-4$ , $y'(-1)=8$ , $y''(-1)=6$ , $y''\left(-\frac13\right)=-2$ — son todos coherentes con $y(x) = -2x^{3}-3x^{2}+8x+5$ ✔ Cuatro coincidencias independientes son bastante más que una casualidad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segunda evaluación · 2022-2023

Reconocer el camino

La distancia en ese instante

La velocidad

Justificar el argumento

1 · Qué tipo de problema es

2 · Plantear

3 · Derivar

4 · Sustituir

5 · Por qué 4 y no 5

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El valor en los empalmes

El coeficiente principal

Justificar el argumento

1 · Las cuatro condiciones

2 · Apartado (a): por qué grado 3

3 · Apartado (b): los coeficientes

4 · Comprobación

Reconocer el camino

El corte con OX

La pendiente

Justificar el argumento

1 · Elegir bien la ecuación de la recta

2 · La ligadura

3 · Optimizar

4 · Deshacer

5 · Comprobación

Reconocer el camino

El polinomio

La cota del error

Justificar el argumento

1 · Qué se lee y para qué

2 · Apartado (a): el polinomio

3 · Apartado (b): la cota

4 · Apartado (c): el error exacto

5 · Por qué la cota sobra tanto

6 · Comprobación