tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · segunda evaluación

Segunda evaluación · 2020-2021

23 de noviembre de 2020 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El tercer vértice de un hexágono regularNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Sean $z_1 = 5-2i$ y $z_2 = 3+i$ los afijos de dos vértices de un lado de un hexágono regular. Hallar el afijo del vértice $z_3$ , contiguo a $z_2$ , con mayor componente imaginaria.

Figura nuestra: el enunciado no trae dibujo. En negro el lado conocido, en verde el que hay que hallar. El punto gris es el centro del hexagono, que no hace falta calcular pero ayuda a ver por que el giro es de 120 grados.

Hallar el afijo $z_3$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Rolle, demostrado y luego negadoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 2 + 7 = 10 pts
a) Enunciar y demostrar el teorema de Rolle.

b) Estudiar si es posible aplicar el teorema de Rolle a la siguiente función, y en caso afirmativo aplicarlo:
$f(x) = \begin{cases} x^{3} & 0 \le x \le 1 \\[4pt] 2-x & 1 < x \le 2 \end{cases}$
Enunciar y demostrar Rolle, y estudiar el caso propuesto.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La raíz cúbica de 0,9 sin calculadoraEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
a) Calcular el desarrollo de McLaurin de orden 2 de la función $y(x) = \sqrt[3]{1+x}$ .

b) Utilizando el desarrollo anterior calcular el valor aproximado $\sqrt[3]{0.9}$ .

c) Acotar el error cometido en dicho cálculo.
Calcular el desarrollo, aproximar y acotar el error.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La tangente que recorta el triángulo más pequeñoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 8 + 1 = 10 pts
Calcular el punto de la función $y+x^{2}-4 = 0$ tal que la tangente a la función en dicho punto forme en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima.
Calcular el punto de tangencia.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segunda evaluación, 23 de noviembre de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El tercer vértice de un hexágono regular

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $z_1 = 5-2i$ y $z_2 = 3+i$ los afijos de dos vértices de un lado de un hexágono regular. Hallar el afijo del vértice $z_3$ , contiguo a $z_2$ , con mayor componente imaginaria.

Figura nuestra: el enunciado no trae dibujo. En negro el lado conocido, en verde el que hay que hallar. El punto gris es el centro del hexagono, que no hace falta calcular pero ayuda a ver por que el giro es de 120 grados.

Hallar el afijo $z_3$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué giro lleva del lado $z_2z_1$ al lado $z_2z_3$ ?
02
El lado como vector
COMP2
¿Cuánto mide el lado del hexágono? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El vértice pedido
COMP2
¿Cuál es la parte imaginaria de $z_3$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El ángulo. En un hexágono regular el ángulo interior vale $\frac{(6-2)\cdot180°}{6} = 120°$ : es el que forman los dos lados que concurren en $z_2$ .
2. El vector conocido: $z_1-z_2 = 2-3i$ , de módulo $\sqrt{13}$ .
3. Girarlo en torno al origen, que es lo que hace multiplicar por $e^{\pm i2\pi/3} = -\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i$ .
4. Trasladar de vuelta: $z_3 = z_2+\left(z_1-z_2\right) e^{\pm i2\pi/3}$ . Salen dos candidatos, los dos vecinos de $z_2$ .
5. Desempatar con la condición del enunciado: el de mayor parte imaginaria es $z_3 = \left(2+\frac{3\sqrt3}{2}\right) +\left(\frac52+\sqrt3\right)i \approx 4{,}60+4{,}23\,i$ .
Restar, girar y volver a sumar: son tres pasos y el del medio es el único que parece «de complejos». Los otros dos son los que se olvidan.

Resolución completa

Datos. $z_1 = 5-2i$ y $z_2 = 3+i$ , vértices consecutivos de un hexágono regular. Se pide el otro vecino de $z_2$ , el de parte imaginaria mayor.

1 · El ángulo del hexágono

En un polígono regular de $n$ lados, el ángulo interior mide

\frac{(n-2)\cdot180°}{n}

Con $n=6$ : 120°. Es el ángulo que forman los dos lados que se juntan en cada vértice.

Conviene no confundirlo con el ángulo central, que vale $\frac{360°}{6} = 60°$ y es el que forman dos radios consecutivos. Aquí hace falta el interior, porque se trabaja desde un vértice, no desde el centro.

2 · Girar alrededor de un punto que no es el origen

Multiplicar un complejo por $e^{i\theta}$ lo gira en torno al origen. Para girar en torno a $z_2$ hacen falta tres pasos:

\underbrace{z_1-z_2}_{\text{trasladar}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\left(z_1-z_2\right)e^{i\theta}}_{\text{girar}} \;\longrightarrow\; \underbrace{z_2+\left(z_1-z_2\right)e^{i\theta}}_{\text{deshacer}}

Olvidar el primero y el tercero es el error clásico.

3 · El cálculo

z_1-z_2 = 2-3i, \qquad \left|z_1-z_2\right| = \sqrt{13}

e^{\pm i2\pi/3} = -\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i

Con $+120°$ :

(2-3i)\left(-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i\right) = -1+\sqrt3\,i+\tfrac32i+\tfrac{3\sqrt3}{2}

= \left(\tfrac{3\sqrt3}{2}-1\right)+\left(\sqrt3+\tfrac32\right)i

z_3 = 3+\tfrac{3\sqrt3}{2}-1 + \left(1+\sqrt3+\tfrac32\right)i

\boxed{z_3 = \left(2+\frac{3\sqrt3}{2}\right) +\left(\frac52+\sqrt3\right)i \approx 4{,}5981+4{,}2321\,i}

Con $-120°$ , el otro vecino:

z_3' = \left(2-\frac{3\sqrt3}{2}\right) +\left(\frac52-\sqrt3\right)i \approx -0{,}5981+0{,}7679\,i

Y como $4{,}23 > 0{,}77$ , el pedido es el primero.

4 · Comprobación

Del módulo. El giro conserva la longitud, así que el nuevo lado debe medir lo mismo:

\left|z_3-z_2\right| = \left|1{,}5981+3{,}2321i\right| = \sqrt{2{,}554+10{,}446} = \sqrt{13} \quad\checkmark

Del ángulo. El producto escalar de los dos vectores que salen de $z_2$ debe dar $\left|u\right|\left|v\right|\cos120° = -\frac{13}{2}$ :

(2)(1{,}5981)+(-3)(3{,}2321) = 3{,}196-9{,}696 = -6{,}5 = -\frac{13}{2} \quad\checkmark

De la distancia entre $z_1$ y $z_3$ . En un hexágono regular, dos vértices separados por uno tercero distan $\ell\sqrt3$ :

\left|z_3-z_1\right| = \left|-0{,}402+6{,}232i\right| = \sqrt{0{,}162+38{,}84} = 6{,}245

\sqrt{13}\cdot\sqrt3 = \sqrt{39} = 6{,}245 \quad\checkmark

Tres comprobaciones independientes.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segunda evaluación, 23 de noviembre de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Rolle, demostrado y luego negado

COMP 11 punto por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Enunciar y demostrar el teorema de Rolle.

b) Estudiar si es posible aplicar el teorema de Rolle a la siguiente función, y en caso afirmativo aplicarlo:

f(x) = \begin{cases} x^{3} & 0 \le x \le 1 \\[4pt] 2-x & 1 < x \le 2 \end{cases}

Enunciar y demostrar Rolle, y estudiar el caso propuesto.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué teorema se apoya la demostración de Rolle?
02
Los extremos del intervalo
COMP2
¿Cuánto vale $f(2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Las derivadas laterales
COMP2
¿Cuánto vale $f'(1^{-})$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración del apartado (a). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Enunciado. Si $f$ es continua en $[a,b]$ , derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$ , entonces existe $c\in(a,b)$ con $f'(c)=0$ .
2. Weierstrass. Como $f$ es continua en el cerrado y acotado $[a,b]$ , alcanza en él su máximo absoluto $M$ y su mínimo absoluto $m$ .
3. Caso $M=m$ . Entonces $f$ es constante, $f'(x)=0$ en todo $(a,b)$ , y cualquier punto sirve de $c$ .
4. Caso $M>m$ . Como $f(a)=f(b)$ , los dos extremos no pueden alcanzarse ambos en la frontera: al menos uno se alcanza en un punto interior $c\in(a,b)$ .
5. Fermat. En ese $c$ hay un extremo y $f$ es derivable —lo garantiza la hipótesis—, luego $f'(c)=0$ . $\blacksquare$
Cada hipótesis hace un trabajo distinto: la continuidad da los extremos, la igualdad los mete dentro, y la derivabilidad permite anular la derivada. Saber cuál hace qué es lo que se evalúa.

Resolución completa

Datos. Enunciar y demostrar Rolle, y aplicarlo —si se puede— a una función a trozos.

1 · Apartado (a): el enunciado

Teorema de Rolle. Sea $f$ una función que cumple:

es continua en $[a,b]$ ,

es derivable en $(a,b)$ ,

$f(a) = f(b)$ .

Entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = 0$ .

Geométricamente: si una curva suave empieza y acaba a la misma altura, en algún punto intermedio su tangente es horizontal.

2 · Apartado (a): la demostración

Paso 1 — Weierstrass. $f$ es continua en $[a,b]$ , que es cerrado y acotado. Por el teorema de Weierstrass, $f$ alcanza en $[a,b]$ su máximo absoluto $M$ y su mínimo absoluto $m$ .

Paso 2 — el caso trivial. Si $M = m$ , la función es constante, y entonces $f'(x) = 0$ para todo $x \in (a,b)$ . Cualquier punto sirve de $c$ .

Paso 3 — el caso general. Si $M > m$ , al menos uno de los dos valores es distinto de $f(a) = f(b)$ . El punto donde se alcanza no puede ser $a$ ni $b$ , porque ahí la función vale lo mismo. Luego se alcanza en un punto interior:

\exists\, c \in (a,b) : f(c) = M \ \text{ o } \ f(c) = m

Paso 4 — Fermat. En $c$ hay un extremo local —de hecho absoluto— y $f$ es derivable ahí, porque $c \in (a,b)$ y la hipótesis 2 lo garantiza. Por el teorema de Fermat:

f'(c) = 0 \qquad \blacksquare

Qué hace cada hipótesis:

hipótesis	para qué sirve
continuidad en $[a,b]$	que existan máximo y mínimo (Weierstrass)
$f(a)=f(b)$	que al menos uno caiga dentro
derivabilidad en $(a,b)$	poder aplicar Fermat en ese punto

Ninguna sobra, y cada una hace un trabajo distinto.

3 · Apartado (b): comprobar las tres hipótesis

Hipótesis 3, $f(a)=f(b)$ :

f(0) = 0, \qquad f(2) = 2-2 = 0

Se cumple ✔

Hipótesis 1, continuidad. Dentro de cada rama es evidente. En el empalme:

f(1^{-}) = 1^{3} = 1, \qquad f(1^{+}) = 2-1 = 1, \qquad f(1) = 1

Se cumple ✔

Hipótesis 2, derivabilidad en $(0,2)$ . En el empalme:

f'(1^{-}) = \left.3x^{2}\right|_{1} = 3, \qquad f'(1^{+}) = -1

3 \neq -1

No se cumple. ✗ La función tiene un pico en $x=1$ , que es un punto interior del intervalo.

\boxed{\text{El teorema de Rolle NO es aplicable}}

4 · Y la tesis tampoco se cumple

El enunciado dice «en caso afirmativo, aplicarlo». No es el caso — pero merece la pena mirar si la conclusión se salva por otro camino, porque podría (las hipótesis son suficientes, no necesarias).

¿Existe algún $c \in (0,2)$ con $f'(c) = 0$ ?

tramo	$f'$	¿se anula?
$(0,1)$	$3x^{2}$	solo en $x=0$ , que es extremo del intervalo
$x=1$	no existe	—
$(1,2)$	$-1$	nunca

\boxed{\text{No existe tal } c: \text{ la tesis tampoco se cumple}}

5 · Por qué falla, en una frase

La función sí tiene un máximo interior: está en $x=1$ , donde vale 1. Ese es exactamente el punto donde Rolle habría puesto su $c$ .

Pero ahí la función no es derivable. El pico permite que la curva suba y baje sin pasar por ninguna tangente horizontal: llega con pendiente 3 y sale con pendiente $-1$ , saltándose el 0 sin tocarlo.

Es el contraejemplo estándar de por qué la derivabilidad no se puede quitar del enunciado.

6 · Comprobación

Del valor máximo. En $[0,1]$ la función crece de 0 a 1; en $(1,2]$ decrece de 1 a 0. El máximo es 1 y está en $x=1$ ✔

De que el pico es real. Acercándose por la izquierda con $h = 0{,}01$ :

\frac{f(1)-f(0{,}99)}{0{,}01} = \frac{1-0{,}9703}{0{,}01} = 2{,}97 \approx 3

y por la derecha:

\frac{f(1{,}01)-f(1)}{0{,}01} = \frac{0{,}99-1}{0{,}01} = -1

Las dos pendientes son las anunciadas ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segunda evaluación, 23 de noviembre de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La raíz cúbica de 0,9 sin calculadora

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el desarrollo de McLaurin de orden 2 de la función $y(x) = \sqrt[3]{1+x}$ .

b) Utilizando el desarrollo anterior calcular el valor aproximado $\sqrt[3]{0.9}$ .

c) Acotar el error cometido en dicho cálculo.

Calcular el desarrollo, aproximar y acotar el error.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué valor de $x$ hay que usar para aproximar $\sqrt[3]{0{,}9}$ ?
02
El coeficiente cuadrático
COMP2
En $P_2(x) = 1+\frac{x}{3}+kx^{2}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La cota del error
COMP2
¿Cuál es la cota del error? Da la respuesta en unidades de $10^{-5}$ , en forma exacta, o con dos decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El desarrollo. $y(0)=1$ , $y'(0)=\frac13$ , $y''(0)=-\frac29$ , luego $P_2(x) = 1+\frac x3-\frac{x^{2}}{9}$ .
2. La sustitución. $0{,}9 = 1+(-0{,}1)$ , así que $x=-0{,}1$ .
3. $P_2(-0{,}1) = 1-\frac{0{,}1}{3}-\frac{0{,}01}{9} = 1-0{,}03333-0{,}00111 = 0{,}96556$ .
4. El resto de Lagrange: $R_2 = \frac{y'''(\xi)}{3!}x^{3}$ con $\xi$ entre $-0{,}1$ y 0, e $y'''(x) = \frac{10}{27}(1+x)^{-8/3}$ .
5. La cota: el máximo de $\left|y'''\right|$ en el intervalo está en $\xi=-0{,}1$ y vale $0{,}4905$ , luego $\left|R_2\right| \le 8{,}18\cdot10^{-5}$ .
El signo del error se puede deducir, y es información extra: la aproximación es por exceso. Pero la cota, en valor absoluto.

Resolución completa

Datos. $y(x) = \sqrt[3]{1+x}$ ; desarrollo de orden 2, aproximación de $\sqrt[3]{0{,}9}$ y cota del error.

1 · Apartado (a): el desarrollo

y(x) = (1+x)^{1/3}

	expresión	en $x=0$
$y$	$(1+x)^{1/3}$	$1$
$y'$	$\frac13(1+x)^{-2/3}$	$\frac13$
$y''$	$-\frac29(1+x)^{-5/3}$	$-\frac29$
$y'''$	$\frac{10}{27}(1+x)^{-8/3}$	$\frac{10}{27}$

\boxed{P_2(x) = 1+\frac{x}{3}-\frac{x^{2}}{9}}

El signo negativo del término cuadrático refleja que la raíz cúbica es cóncava: crece cada vez más despacio.

2 · Apartado (b): la aproximación

Hay que escribir el número como $1$ más algo pequeño:

0{,}9 = 1+(-0{,}1) \;\Longrightarrow\; x = -0{,}1

P_2(-0{,}1) = 1-\frac{0{,}1}{3}-\frac{0{,}01}{9} = 1-0{,}033333-0{,}001111

\boxed{P_2(-0{,}1) = 0{,}965556 \;\approx\; \sqrt[3]{0{,}9}}

Escrito en ese orden a propósito: $0{,}965556$ es lo que da el polinomio, no el valor de la raíz. La raíz vale $0{,}965489$ , y la diferencia entre las dos es justo lo que el apartado (c) va a acotar.

3 · Apartado (c): la cota

R_2(x) = \frac{y'''(\xi)}{3!}\,x^{3}, \qquad \xi \text{ entre } -0{,}1 \text{ y } 0

y'''(x) = \frac{10}{27}(1+x)^{-8/3}

Dónde es mayor. El exponente es negativo, así que la expresión crece cuando $1+x$ disminuye. En el intervalo $[-0{,}1;\,0]$ el mínimo de $1+x$ es $0{,}9$ :

M = \max\left|y'''\right| = \frac{10}{27}\,(0{,}9)^{-8/3} = \frac{10}{27}\cdot1{,}3244 = 0{,}4905

\left|R_2\right| \le \frac{0{,}4905}{6}\cdot(0{,}1)^{3}

\boxed{\left|R_2\right| \le 8{,}18\cdot10^{-5}}

4 · Comprobación

El error real. El valor exacto es $\sqrt[3]{0{,}9} = 0{,}9654894$ , y

\left|0{,}965556-0{,}965489\right| = 6{,}65\cdot10^{-5}

6{,}65\cdot10^{-5} \le 8{,}18\cdot10^{-5} \quad\checkmark

La cota se cumple, y con poco margen: es una cota ajustada, porque el intervalo es corto y $y'''$ apenas varía en él.

El signo del error, que es información extra. Como $y'''>0$ y $x^{3} = -0{,}001 < 0$ , el resto es negativo:

y(x) = P_2(x)+R_2(x) < P_2(x)

La aproximación queda por exceso. Y en efecto $0{,}965556 > 0{,}965489$ ✔

Por elevación al cubo, que es una vía independiente:

0{,}965556^{3} = 0{,}900186

frente a $0{,}9$ . La diferencia, $1{,}9\cdot10^{-4}$ , es aproximadamente tres veces el error en la raíz — lo que corresponde a derivar $t^{3}$ en $t\approx0{,}97$ , cuyo factor es $3t^{2} \approx 2{,}8$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Segunda evaluación, 23 de noviembre de 2020 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La tangente que recorta el triángulo más pequeño

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el punto de la función $y+x^{2}-4 = 0$ tal que la tangente a la función en dicho punto forme en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima.

Calcular el punto de tangencia.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Entre qué valores puede estar la abscisa $a$ del punto de tangencia?
02
Los cortes de la tangente
COMP2
La tangente en $x=a$ corta al eje $OY$ en un punto. ¿Cuál es su ordenada, en función de $a$ ? Evalúala para $a=1$ .
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto óptimo
COMP2
¿Cuál es la abscisa del punto de tangencia? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La curva. $y+x^{2}-4=0$ es $y = 4-x^{2}$ : parábola invertida con vértice en $(0,4)$ y cortes en $x=\pm2$ .
2. El dominio. El punto debe estar en el primer cuadrante: $0<a<2$ .
3. La tangente en $\left(a,4-a^{2}\right)$ es $y = 4+a^{2}-2ax$ , y corta los ejes en $\left(\frac{4+a^{2}}{2a},0\right)$ y $\left(0,4+a^{2}\right)$ .
4. El área: $A(a) = \frac{\left(a^{2}+4\right)^{2}}{4a}$ , y $A'(a) = \frac{\left(a^{2}+4\right)\left(3a^{2}-4\right)}{4a^{2}}$ .
5. El óptimo: $a = \frac{2}{\sqrt3}$ , con $A'$ pasando de negativa a positiva. El punto es $\left(\frac{2\sqrt3}{3},\frac83\right)$ .
El área se dispara en los dos extremos del dominio: cerca del vértice porque la base se va al infinito, y cerca de $x=2$ porque la tangente se vuelve muy inclinada. El mínimo está en medio.

Resolución completa

Datos. La curva $y+x^{2}-4=0$ y una tangente que recorta un triángulo con los ejes en el primer cuadrante.

1 · La curva y el dominio

y = 4-x^{2}

Parábola invertida, vértice en $(0,4)$ , cortes con $OX$ en $x=\pm2$ .

Para que el punto de tangencia esté en el primer cuadrante:

a>0 \qquad\text{y}\qquad 4-a^{2}>0 \;\Longrightarrow\; \boxed{0<a<2}

2 · La tangente y sus cortes

y' = -2x \;\Longrightarrow\; y'(a) = -2a

y-\left(4-a^{2}\right) = -2a(x-a) \;\Longrightarrow\; y = 4+a^{2}-2ax

corte	valor
con $OY$ ( $x=0$ )	$4+a^{2}$
con $OX$ ( $y=0$ )	$\dfrac{4+a^{2}}{2a}$

Los dos son positivos en el dominio, así que el triángulo existe y está en el primer cuadrante.

3 · El área

A(a) = \frac12\cdot\underbrace{\frac{4+a^{2}}{2a}}_{\text{base}} \cdot\underbrace{\left(4+a^{2}\right)}_{\text{altura}} = \frac{\left(a^{2}+4\right)^{2}}{4a}

4 · Optimizar

Derivando con la regla del cociente y factorizando, que es lo que hace la cuenta manejable:

A'(a) = \frac{4\left(a^{2}+4\right)\cdot4a^{2} -4\left(a^{2}+4\right)^{2}}{16a^{2}} = \frac{\left(a^{2}+4\right)\left[4a^{2}-a^{2}-4\right]}{4a^{2}}

A'(a) = \frac{\left(a^{2}+4\right)\left(3a^{2}-4\right)}{4a^{2}}

El factor $a^{2}+4$ es siempre positivo y $4a^{2}$ también, así que el signo de $A'$ es el de $3a^{2}-4$ :

$a$	$3a^{2}-4$	$A$
$0<a<\frac{2}{\sqrt3}$	$-$	decrece
$a=\frac{2}{\sqrt3}$	$0$	mínimo
$\frac{2}{\sqrt3}<a<2$	$+$	crece

a = \frac{2}{\sqrt3} = \frac{2\sqrt3}{3} \approx 1{,}1547

y = 4-\frac43 = \frac83

\boxed{P = \left(\frac{2\sqrt3}{3},\ \frac83\right) \approx (1{,}1547;\ 2{,}6667)}

Y el área mínima:

A_{\min} = \frac{\left(\frac43+4\right)^{2}}{4\cdot\frac{2}{\sqrt3}} = \frac{\left(\frac{16}{3}\right)^{2}\sqrt3}{8} = \frac{256}{9}\cdot\frac{\sqrt3}{8} = \frac{32\sqrt3}{9} \approx 6{,}158

5 · Por qué el mínimo está dentro

En los dos extremos del dominio el área se dispara:

\lim_{a\to0^{+}}A(a) = +\infty

—la tangente se vuelve casi horizontal y su corte con $OX$ se va al infinito—, y

A(2) = \frac{64}{8} = 8 > 6{,}16

Así que el mínimo local es absoluto en $(0,2)$ .

6 · Comprobación

Numérica:

$a$	$A(a)$
$0{,}8$	$6{,}66$
$1$	$6{,}25$
$1{,}1547$	$\mathbf{6{,}158}$
$1{,}4$	$6{,}28$
$2$	$8$

El del punto crítico es el menor ✔

De la relación entre los cortes. En el óptimo:

\text{base} = \frac{16/3}{2\cdot\frac{2}{\sqrt3}} = \frac{16/3}{4/\sqrt3} = \frac{4\sqrt3}{3} \approx 2{,}309

\text{altura} = \frac{16}{3} \approx 5{,}333

Y $\frac12\cdot2{,}309\cdot5{,}333 = 6{,}158$ ✔

Una coincidencia que sirve de comprobación: la abscisa del corte con $OX$ vale $\frac{4\sqrt3}{3} = 2a$ , exactamente el doble de la abscisa del punto de tangencia. Es decir, en el óptimo el punto de tangencia resulta ser el punto medio del segmento de tangente comprendido entre los dos ejes.

Se comprueba directamente: la condición del óptimo es $3a^{2}=4$ , y el corte con $OX$ es $\frac{4+a^{2}}{2a}$ , que con $4 = 3a^{2}$ se convierte en $\frac{4a^{2}}{2a} = 2a$ ✔ No es una regla general que se pueda usar a ciegas en otros problemas, pero aquí cierra la cuenta por una vía distinta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segunda evaluación · 2020-2021

Reconocer el camino

El lado como vector

El vértice pedido

Justificar el argumento

1 · El ángulo del hexágono

2 · Girar alrededor de un punto que no es el origen

3 · El cálculo

4 · Comprobación

Reconocer el camino

Los extremos del intervalo

Las derivadas laterales

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): el enunciado

2 · Apartado (a): la demostración

3 · Apartado (b): comprobar las tres hipótesis

4 · Y la tesis tampoco se cumple

5 · Por qué falla, en una frase

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El coeficiente cuadrático

La cota del error

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): el desarrollo

2 · Apartado (b): la aproximación

3 · Apartado (c): la cota

4 · Comprobación

Reconocer el camino

Los cortes de la tangente

El punto óptimo

Justificar el argumento

1 · La curva y el dominio

2 · La tangente y sus cortes

3 · El área

4 · Optimizar

5 · Por qué el mínimo está dentro

6 · Comprobación