tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación · 2015-2016

2 de mayo de 2016 · 2 ejercicios · 20 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El coseno hiperbólico, y el trozo que sí se puede invertirFunciones reales de una variable real1 + 5 + 4 = 10 pts
Dada la función $\operatorname{Ch}(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

a) Representarla gráficamente.

b) Obtener un dominio en el cual exista la función inversa.

c) Obtener y representar la función inversa.
La gráfica, un dominio donde haya inversa, y la inversa con su gráfica.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El desarrollo del logaritmo, y la serie que sale de élEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
a) Hallar el desarrollo de McLaurin (Taylor centrado en $a=0$ ) de la función $\ln\left(1+x\right)$ .

b) Como aplicación hallar, si es posible, la suma de la serie
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots$
El desarrollo, su intervalo de validez, y la suma de la serie.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 2 de mayo de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El coseno hiperbólico, y el trozo que sí se puede invertir

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dada la función $\operatorname{Ch}(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

a) Representarla gráficamente.

b) Obtener un dominio en el cual exista la función inversa.

c) Obtener y representar la función inversa.

La gráfica, un dominio donde haya inversa, y la inversa con su gráfica.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no se puede invertir $\operatorname{Ch}$ en todo $\mathbb{R}$ ?
02
El valor mínimo
COMP2
¿Cuál es el menor valor que toma $\operatorname{Ch}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La inversa en un punto
COMP2
Tomando como dominio $[0,+\infty)$ , ¿cuánto vale $\operatorname{Ch}^{-1}(2)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $\operatorname{Ch}$ es par, positiva, con mínimo $\operatorname{Ch}(0)=1$ , y crece hacia $+\infty$ a los dos lados: su gráfica es la catenaria.
2. b) Como es par no es inyectiva, así que hay que restringir. En $[0,+\infty)$ la derivada $\operatorname{Ch}'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ es positiva, luego ahí es estrictamente creciente y la inversa existe.
3. La inversa tiene dominio $[1,+\infty)$ —el recorrido de $\operatorname{Ch}$ — y recorrido $[0,+\infty)$ .
4. c) Con $t=e^{x}$ , de $t+\frac1t=2y$ sale $t^{2}-2yt+1=0$ y $t=y\pm\sqrt{y^{2}-1}$ .
5. Como $x\ge 0$ obliga a $t\ge 1$ , se toma el signo más: $\operatorname{Ch}^{-1}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)$ .
6. Su gráfica es la de la rama derecha de $\operatorname{Ch}$ reflejada en la recta $y=x$ .

Resolución completa

a) La gráfica. $\operatorname{Ch}$ es la semisuma de $e^{x}$ y $e^{-x}$ : par, siempre positiva, con

\operatorname{Ch}'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \qquad \operatorname{Ch}''(x)=\operatorname{Ch}(x)>0

La derivada se anula solo en $x=0$ y la segunda es positiva en todas partes, así que hay un mínimo absoluto en $\operatorname{Ch}(0)=1$ y la curva es cóncava hacia arriba en todo $\mathbb{R}$ . Crece hacia $+\infty$ a los dos lados. Es la forma que toma una cadena colgada de sus dos extremos, y de ahí el nombre de catenaria.

b) Dónde existe la inversa. Al ser par, $\operatorname{Ch}$ no es inyectiva: $\operatorname{Ch}(-2)=\operatorname{Ch}(2)$ . Hay que quedarse con un trozo donde sí lo sea, y el natural es

[0,+\infty)

donde $\operatorname{Ch}'>0$ y por tanto es estrictamente creciente. (Vale igual $(-\infty,0]$ ; lo que no vale es todo $\mathbb{R}$ .) Con esa restricción, la inversa tiene dominio $[1,+\infty)$ y recorrido $[0,+\infty)$ .

c) La inversa. Se despeja $x$ de $y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ . Con $t=e^{x}$ :

t+\frac{1}{t}=2y \;\Longrightarrow\; t^{2}-2yt+1=0 \;\Longrightarrow\; t=y\pm\sqrt{y^{2}-1}

Las dos raíces son positivas y su producto vale $1$ , así que una es menor que $1$ y la otra mayor. Como hemos elegido $x\ge 0$ , hace falta $t=e^{x}\ge 1$ : el signo más.

\operatorname{Ch}^{-1}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right), \qquad x\ge 1

La gráfica de la inversa es la de la rama derecha reflejada en la recta $y=x$ : arranca del punto $(1,0)$ —el reflejo de $(0,1)$ — con tangente vertical, y crece cada vez más despacio.

Figura nuestra: el examen manda representar las dos funciones y no trae ninguna. La mitad izquierda de la catenaria va a trazos porque es la que se descarta al restringir el dominio; la inversa es su reflexión en la recta y = x.

Un detalle que da puntos de COMP4. En $x=1$ la inversa tiene tangente vertical, y no es casualidad: es el reflejo del mínimo de $\operatorname{Ch}$ , donde la tangente era horizontal. Reflejar en $y=x$ cambia una pendiente $m$ por $\frac1m$ , y una pendiente cero se convierte en una vertical.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Quinta evaluación, PRIMER CUATRIMESTRAL, 2 de mayo de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El desarrollo del logaritmo, y la serie que sale de él

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Hallar el desarrollo de McLaurin (Taylor centrado en $a=0$ ) de la función $\ln\left(1+x\right)$ .

b) Como aplicación hallar, si es posible, la suma de la serie

1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots

El desarrollo, su intervalo de validez, y la suma de la serie.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la vía corta para el desarrollo de $\ln(1+x)$ ?
02
El coeficiente de x⁴
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de $x^{4}$ en el desarrollo?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma de la serie
COMP2
¿Cuánto vale $1-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\dfrac{d}{dx}\ln(1+x)=\dfrac{1}{1+x}$ , que es la suma de la serie geométrica de razón $-x$ : $1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots$ , válida para $\left|x\right|<1$ .
2. Integrando término a término entre $0$ y $x$ , y usando que $\ln 1=0$ : $\ln(1+x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}$ , con radio de convergencia $1$ .
3. En $x=1$ la serie es alternada con términos decrecientes hacia cero, así que converge por el criterio de Leibniz.
4. Y el teorema de Abel garantiza que su suma es el límite de $\ln(1+x)$ cuando $x\to 1^{-}$ , es decir $\ln 2$ .
5. El intervalo de convergencia es, por tanto, $(-1,1]$ : cerrado por la derecha y abierto por la izquierda.

Resolución completa

a) El desarrollo. La vía corta es no derivar nada. La derivada de $\ln(1+x)$ es $\frac{1}{1+x}$ , y eso es la suma de una serie geométrica de razón $-x$ :

\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n} \qquad\left|x\right|<1

Integrando entre $0$ y $x$ , y como $\ln 1=0$ :

\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}

Integrar una serie de potencias no cambia su radio de convergencia, así que sigue siendo $1$ . Lo que sí puede cambiar es el comportamiento en los extremos, y aquí cambia: la geométrica diverge en los dos, y esta no.

Los extremos, uno a uno.

En $x=1$ queda $1-\frac12+\frac13-\cdots$ : alternada, con términos decrecientes hacia cero, así que converge por el criterio de Leibniz.
En $x=-1$ queda $-1-\frac12-\frac13-\cdots$ : la serie armónica cambiada de signo, que diverge.

El intervalo de convergencia es $(-1,1]$ .

b) La suma. La serie del enunciado es exactamente el desarrollo evaluado en $x=1$ :

1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln 2\approx 0{,}6931

La letra pequeña, que es donde están los puntos de COMP4. El desarrollo se obtuvo integrando una serie válida para $\left|x\right|<1$ , así que en principio la igualdad solo está garantizada dentro del intervalo abierto. Que además valga en $x=1$ hay que justificarlo, y lo hace el teorema de Abel: si una serie de potencias converge en un extremo de su intervalo, su suma ahí coincide con el límite de la función. Como $\ln(1+x)\to\ln 2$ cuando $x\to 1^{-}$ , la suma es $\ln 2$ .

El «si es posible» del enunciado apunta justamente a eso: hay que comprobar que la serie converge y que se puede sustituir, no dar por hecho ninguna de las dos cosas.

Y la advertencia de siempre. Tentarse con $x=2$ para sacar $\ln 3$ no funciona: fuera del intervalo la serie diverge y la igualdad no significa nada. Para $\ln 3$ hay otros caminos, como usar $\ln\frac{1+t}{1-t}$ con $t=\frac12$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Recuperación del primer cuatrimestre, con la 5.ª evaluación · 2015-2016

Reconocer el camino

El valor mínimo

La inversa en un punto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de x⁴

La suma de la serie

Justificar el argumento