tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · segunda evaluación

Segunda evaluación · 2015-2016

23 de noviembre de 2015 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una exponencial compleja igualada a 1 + iNúmeros complejos2 + 6 + 2 = 10 pts
Resolver la ecuación $e^{iz} = 1+i$ y representar gráficamente los afijos de las soluciones.
Resolver la ecuación y representar las soluciones.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El depósito más barato, con dos precios distintosEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 5 + 3 = 10 pts
Debemos construir un depósito cilíndrico sin tapa de 5000 m³ de capacidad. ¿Cuáles serán las dimensiones más económicas del depósito si la base cuesta 5 €/m² y las paredes laterales 8 €/m²?
Calcular el radio y la altura más económicos.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Toda función que no se sale de su intervalo tiene un punto fijoFunciones reales de una variable real0 + 2 + 8 = 10 pts
Enunciar y demostrar el Teorema del Punto Fijo (el de la existencia, no el de la unicidad).
Enunciar y demostrar el teorema.
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cuál de las dos curvas es la derivadaEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 3 + 5 = 10 pts
La figura muestra las gráficas de una función $F(x)$ y de su derivada $F'(x)$ , definidas en un intervalo $(a,b)$ . Se pide:

Figura redibujada del enunciado original, que no etiqueta las curvas: eso es lo que pide el apartado (a). Los nombres m y M son nuestros, para poder referirse a los dos puntos que resuelven la identificacion.

a) Identificar de forma razonada qué gráfica corresponde a $F(x)$ y qué gráfica corresponde a $F'(x)$ .

b) Estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos de la nueva función $h(x) = e^{-2x}\left(F(x)\right)^{2}$ .
Identificar las curvas y estudiar $h$ .
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segunda evaluación, 23 de noviembre de 2015 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una exponencial compleja igualada a 1 + i

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación $e^{iz} = 1+i$ y representar gráficamente los afijos de las soluciones.

Resolver la ecuación y representar las soluciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?
02
El módulo del segundo miembro
COMP2
¿Cuánto vale $\ln\left|1+i\right|$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La parte real de la primera solución
COMP2
Con $k=0$ , ¿cuál es la parte real de $z$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Tomar logaritmos, que es multivaluado: $iz = \ln(1+i) = \ln\sqrt2+i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)$ , con $k\in\mathbb{Z}$ .
2. Despejar multiplicando por $-i$ , ya que $\frac1i = -i$ .
3. $z_k = \left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)-i\,\frac{\ln2}{2}$ : las componentes quedan intercambiadas respecto del logaritmo.
4. La representación: todos los afijos están sobre la recta horizontal $y = -\frac{\ln2}{2} \approx -0{,}347$ , separados $2\pi$ entre sí.
5. La parte imaginaria es la misma para todas, porque el módulo de $1+i$ no depende de $k$ ; lo que cambia con $k$ es solo el argumento, y ese acaba en la parte real.
Que la parte imaginaria salga negativa es lo que hace que el módulo sea mayor que 1. Comprobarlo es la verificación más rápida.

Resolución completa

Datos. $e^{iz} = 1+i$ , con $z$ complejo.

1 · Por qué hay infinitas soluciones

La exponencial compleja es periódica:

e^{w} = e^{w+2k\pi i} \qquad \forall k \in \mathbb{Z}

Nunca es inyectiva, así que una ecuación como esta tiene infinitas soluciones — una por vuelta. Decirlo desde el principio evita el error de dar solo una.

2 · El segundo miembro, en polar

\left|1+i\right| = \sqrt2, \qquad \arg(1+i) = \frac{\pi}{4}

—primer cuadrante, así que el arcotangente vale tal cual—.

3 · Tomar logaritmos

iz = \ln(1+i) = \ln\left|1+i\right| + i\left(\arg(1+i)+2k\pi\right)

iz = \ln\sqrt2+i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right), \qquad k\in\mathbb{Z}

4 · Despejar

Dividir entre $i$ es multiplicar por $-i$ , porque

\frac1i = \frac{1}{i}\cdot\frac{-i}{-i} = \frac{-i}{1} = -i

z = -i\left[\ln\sqrt2+i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\right] = -i\ln\sqrt2+\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)

\boxed{z_k = \left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right) - \frac{\ln2}{2}\,i, \qquad k\in\mathbb{Z}}

—usando $\ln\sqrt2 = \frac12\ln2 \approx 0{,}3466$ —.

Lo que hay que ver: al multiplicar por $-i$ las dos componentes se intercambian. El argumento del logaritmo acaba en la parte real de $z$ , y el logaritmo del módulo en la imaginaria, con signo cambiado. Multiplicar por $-i$ es girar $-90°$ , y eso es exactamente lo que hace un giro de un cuarto de vuelta.

5 · La representación

Todos los afijos tienen la misma parte imaginaria:

\mathrm{Im}(z_k) = -\frac{\ln2}{2} \approx -0{,}347

y partes reales que van de $2\pi$ en $2\pi$ :

\ldots,\ \frac{\pi}{4}-2\pi,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4}+2\pi,\ \ldots

\boxed{\text{Puntos equiespaciados sobre la recta horizontal } y = -\tfrac{\ln2}{2}}

Es decir: una fila de puntos, separados $2\pi \approx 6{,}28$ , ligeramente por debajo del eje real.

6 · Por qué la parte imaginaria es negativa

Vale la pena entenderlo, porque es la comprobación más rápida. Con $z = a+bi$ :

e^{iz} = e^{i(a+bi)} = e^{ia-b} = e^{-b}\,e^{ia}

\left|e^{iz}\right| = e^{-b}

Para que el módulo sea $\sqrt2 > 1$ hace falta $e^{-b}>1$ , es decir $b<0$ . Y en efecto $b = -\frac{\ln2}{2}$ .

Esto también desmonta la idea de que $\left|e^{iz}\right| = 1$ : eso solo vale cuando $z$ es real.

7 · Comprobación

Con $k=0$ : $z = \frac{\pi}{4}-\frac{\ln2}{2}i \approx 0{,}7854-0{,}3466i$ .

iz = i\left(0{,}7854-0{,}3466i\right) = 0{,}3466+0{,}7854i

e^{iz} = e^{0,3466}\left(\cos0{,}7854+i\,\mathrm{sen}\,0{,}7854\right)

= 1{,}4142\left(0{,}7071+0{,}7071i\right) = 1+i \quad\checkmark

Con $k=1$ , la parte real crece $2\pi$ y el coseno y el seno repiten valores: el resultado es el mismo ✔ Es la periodicidad en acción.

Del módulo: $e^{0,3466} = \sqrt2$ ✔ que es exactamente $e^{\ln\sqrt2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segunda evaluación, 23 de noviembre de 2015 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El depósito más barato, con dos precios distintos

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Debemos construir un depósito cilíndrico sin tapa de 5000 m³ de capacidad. ¿Cuáles serán las dimensiones más económicas del depósito si la base cuesta 5 €/m² y las paredes laterales 8 €/m²?

Calcular el radio y la altura más económicos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no se minimiza la superficie total, sino otra cosa?
02
El radio óptimo
COMP2
¿Cuál es el radio más económico? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La proporción del depósito
COMP2
¿Cuánto vale el cociente $\dfrac{h}{r}$ en el óptimo?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ligadura: $\pi r^{2}h = 5000$ , de donde $h = \frac{5000}{\pi r^{2}}$ . Una sola incógnita.
2. La función objetivo es el COSTE, no el área: $C = 5\cdot\pi r^{2}+8\cdot2\pi rh$ .
3. Sustituyendo $h$ : $C(r) = 5\pi r^{2}+\frac{80000}{r}$ , con $r>0$ .
4. Derivar: $C'(r) = 10\pi r-\frac{80000}{r^{2}}$ , que se anula en $r^{3} = \frac{8000}{\pi}$ , es decir $r \approx 13{,}66$ m.
5. Justificar que es mínimo: $C''(r) = 10\pi+\frac{160000}{r^{3}} > 0$ para todo $r>0$ , así que $C$ es convexa. Y $h \approx 8{,}53$ m.
Que $C''>0$ para todo $r>0$ ahorra discutir extremos: la función es convexa en todo el dominio y el punto crítico es mínimo absoluto.

Resolución completa

Datos. Cilindro sin tapa de 5000 m³; base a 5 €/m², pared a 8 €/m².

1 · Lo que hace distinto a este problema

El clásico minimiza superficie. Aquí los dos materiales cuestan distinto, así que hay que minimizar coste, y el óptimo se desplaza: como la pared es un 60 % más cara, conviene un depósito más ancho y bajo.

2 · Plantear

La ligadura, que reduce dos incógnitas a una:

V = \pi r^{2}h = 5000 \;\Longrightarrow\; h = \frac{5000}{\pi r^{2}}

Las superficies, con el depósito sin tapa:

parte	área	precio
base	$\pi r^{2}$	5 €/m²
pared lateral	$2\pi rh$	8 €/m²

La función objetivo:

C = 5\pi r^{2}+16\pi rh = 5\pi r^{2}+16\pi r\cdot\frac{5000}{\pi r^{2}}

C(r) = 5\pi r^{2}+\frac{80000}{r}, \qquad r>0

3 · Optimizar

C'(r) = 10\pi r-\frac{80000}{r^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; 10\pi r^{3} = 80000

r^{3} = \frac{8000}{\pi} \;\Longrightarrow\; \boxed{r = \frac{20}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 13{,}6557 \ \text{m}}

h = \frac{5000}{\pi r^{2}} \approx 8{,}5348 \ \text{m}

Que es mínimo:

C''(r) = 10\pi+\frac{160000}{r^{3}} > 0 \qquad \forall r>0

Positiva en todo el dominio: $C$ es convexa y el punto crítico es mínimo absoluto. No hay que discutir extremos.

4 · La proporción, que es lo bonito

\frac{h}{r} = \frac{5000}{\pi r^{3}} = \frac{5000}{\pi\cdot\frac{8000}{\pi}} = \frac{5000}{8000} = \frac58

\boxed{\frac{h}{r} = \frac{\text{precio de la base}} {\text{precio de la pared}}}

Los $\pi$ y el volumen se cancelan: la proporción óptima no depende del tamaño del depósito, solo de los precios.

situación	$\frac hr$
sin tapa, precios iguales	$1$
sin tapa, base 5 y pared 8	$\frac58 = 0{,}625$
con tapa, precios iguales	$2$

Cuanto más cara la pared, más bajo y ancho el depósito: se ahorra superficie lateral a costa de base.

5 · El coste

C = 5\pi(13{,}6557)^{2}+\frac{80000}{13{,}6557} = 2929{,}5+5858{,}2

C_{\min} \approx 8788

es decir, unos 8788 €.

Y nótese que la pared cuesta exactamente el doble que la base: $5858 = 2\times2929$ . No es casualidad, y sale de la condición de óptimo.

6 · Comprobación

Del volumen:

\pi(13{,}6557)^{2}(8{,}5348) = \pi\cdot186{,}47\cdot8{,}5348 \approx 5000 \ \text{m}^{3} \quad\checkmark

Numérica del coste:

$r$	$C(r)$
$12$	$8929$
$13{,}66$	$\mathbf{8788}$
$15$	$8867$

El del punto crítico es el menor ✔ Y la curva es bastante plana cerca del óptimo, lo que es habitual en estos problemas.

De la relación 2:1 entre costes. En el óptimo, $C'(r) = 0$ significa $10\pi r^{3} = 80000$ , y entonces

\frac{\text{coste pared}}{\text{coste base}} = \frac{80000/r}{5\pi r^{2}} = \frac{80000}{5\pi r^{3}} = \frac{80000}{5\cdot8000} = 2 \quad\checkmark

Otra regla general del problema: en el óptimo, la pared cuesta el doble que la base.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segunda evaluación, 23 de noviembre de 2015 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Toda función que no se sale de su intervalo tiene un punto fijo

COMP 22 puntos por calcular
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar y demostrar el Teorema del Punto Fijo (el de la existencia, no el de la unicidad).

Enunciar y demostrar el teorema.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué teorema se apoya la demostración?
02
La función auxiliar en los extremos
COMP2
Con $g(x) = f(x)-x$ y $f:[a,b]\to[a,b]$ , ¿qué signo tiene $g(a)$ ? Responde 1 si es $\ge0$ , $-1$ si es $\le0$ .
Tu respuesta al paso 21 o -1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Enunciado. Si $f:[a,b]\to[a,b]$ es continua, existe $c\in[a,b]$ tal que $f(c) = c$ .
2. La función auxiliar: $g(x) = f(x)-x$ , continua en $[a,b]$ por ser diferencia de continuas.
3. Los signos. Como $f(a)\ge a$ , se tiene $g(a)\ge0$ ; y como $f(b)\le b$ , se tiene $g(b)\le0$ .
4. Los casos borde. Si $g(a)=0$ , entonces $c=a$ ; si $g(b)=0$ , entonces $c=b$ . En los dos casos ya hay punto fijo.
5. El caso general. Si $g(a)>0$ y $g(b)<0$ , Bolzano da $c\in(a,b)$ con $g(c)=0$ , es decir $f(c)=c$ . $\blacksquare$
Los casos borde parecen burocracia y no lo son: Bolzano en su forma estricta exige signos opuestos, y si alguno de los dos es cero hay que tratarlo aparte.

Resolución completa

Enunciado pedido. El teorema del punto fijo, en su versión de existencia.

1 · El enunciado

Teorema del punto fijo. Sea $f:[a,b]\to[a,b]$ una función continua. Entonces existe al menos un $c \in [a,b]$ tal que
$f(c) = c$

Las dos hipótesis, y qué hace cada una:

hipótesis	para qué sirve
$f$ continua	poder aplicar Bolzano
$f\left([a,b]\right) \subseteq [a,b]$	fijar los signos en los extremos

La segunda es la que suele olvidarse al enunciarlo, y es la esencial: dice que la función no se sale del intervalo.

2 · La idea, antes de la demostración

Un punto fijo es donde la gráfica de $f$ corta a la diagonal $y=x$ .

Y la hipótesis dice que la gráfica está encerrada en el cuadrado $[a,b]\times[a,b]$ . Una curva continua que empieza en el borde izquierdo de ese cuadrado —a la altura que sea— y acaba en el derecho tiene que cruzar la diagonal: no hay forma de ir de un lado a otro sin tocarla sin salirse.

Eso es lo que la demostración escribe con rigor.

3 · La demostración

Paso 1 — la función auxiliar. Sea

g(x) = f(x)-x

Es continua en $[a,b]$ , por ser diferencia de dos funciones continuas. Y un punto fijo de $f$ es exactamente un cero de $g$ .

Paso 2 — los signos en los extremos. Como $f$ toma valores en $[a,b]$ :

f(a) \ge a \;\Longrightarrow\; g(a) = f(a)-a \ge 0

f(b) \le b \;\Longrightarrow\; g(b) = f(b)-b \le 0

Paso 3 — los casos borde. Si $g(a) = 0$ , entonces $f(a)=a$ y $c=a$ resuelve. Si $g(b)=0$ , entonces $c=b$ . En los dos casos ya hay punto fijo y no hace falta seguir.

Paso 4 — el caso general. Si no, se tiene

g(a) > 0 \qquad\text{y}\qquad g(b) < 0

Signos estrictamente opuestos, y $g$ continua en $[a,b]$ : por el teorema de Bolzano existe $c \in (a,b)$ con

g(c) = 0 \;\Longrightarrow\; f(c) = c \qquad \blacksquare

4 · Por qué el enunciado aclara «no el de la unicidad»

Porque el teorema no la da. Una función continua de $[a,b]$ en $[a,b]$ puede tener:

un punto fijo, como $f(x) = \frac{x}{2}$ en $[0,1]$ , que solo lo tiene en 0;
varios, como cualquier función que oscile alrededor de la diagonal;
infinitos: la identidad $f(x)=x$ los tiene todos.

Para la unicidad hace falta una hipótesis más fuerte —que $f$ sea contractiva, es decir que acerque los puntos—, y eso es otro teorema.

Y no hace falta monotonía ni derivabilidad: Bolzano solo pide continuidad.

5 · Las dos hipótesis son necesarias

Sin continuidad. La función de $[0,1]$ en $[0,1]$

f(x) = \begin{cases} 1 & x<\tfrac12 \\[3pt] 0 & x\ge\tfrac12 \end{cases}

no tiene ningún punto fijo: salta por encima de la diagonal sin tocarla.

Sin la condición de llegada. $f(x) = x+1$ es continua en $[0,1]$ pero llega a $[1,2]$ , y no tiene punto fijo: $x+1 = x$ es imposible.

6 · Comprobación con ejemplos

$f(x) = \cos x$ en $[0,1]$ . Continua, y $\cos$ de algo en $[0,1]$ cae en $[0{,}54;\,1]\subset[0,1]$ ✔ Luego hay punto fijo:

g(0) = 1-0 = 1 > 0, \qquad g(1) = 0{,}5403-1 = -0{,}4597 < 0

Y en efecto $\cos c = c$ para $c \approx 0{,}739$ ✔ — la constante de Dottie, que es lo que sale al pulsar «cos» repetidamente en una calculadora.

$f(x) = x^{2}$ en $[0,1]$ . Continua y llega a $[0,1]$ ✔ Sus puntos fijos son $x=0$ y $x=1$ : dos, lo que confirma que el teorema no promete unicidad ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Segunda evaluación, 23 de noviembre de 2015 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuál de las dos curvas es la derivada

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra las gráficas de una función $F(x)$ y de su derivada $F'(x)$ , definidas en un intervalo $(a,b)$ . Se pide:

Figura redibujada del enunciado original, que no etiqueta las curvas: eso es lo que pide el apartado (a). Los nombres m y M son nuestros, para poder referirse a los dos puntos que resuelven la identificacion.

a) Identificar de forma razonada qué gráfica corresponde a $F(x)$ y qué gráfica corresponde a $F'(x)$ .

b) Estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos de la nueva función $h(x) = e^{-2x}\left(F(x)\right)^{2}$ .

Identificar las curvas y estudiar $h$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué criterio identifica cuál es la derivada?
02
Los puntos críticos de h
COMP2
$h'(x) = 2e^{-2x}F(x)\left[F'(x)-F(x)\right]$ . ¿Cuántas condiciones distintas anulan $h'$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (a) El criterio. $F'$ se anula donde $F$ tiene extremos. Se buscan en el dibujo las abscisas donde una curva se aplana y se comprueba si la otra corta el eje ahí.
2. La curva de trazos corta el eje justo en la abscisa donde la continua tiene su mínimo, y vuelve a cortarlo donde la continua tiene su máximo. Luego la de trazos es $F'$ y la continua es $F$ .
3. Comprobación de signos: donde la de trazos está por debajo del eje, la continua baja; donde está por encima, sube. Coherente.
4. (b) La derivada: $h' = 2e^{-2x}F\left(F'-F\right)$ , y como $e^{-2x}>0$ siempre, el signo lo deciden $F$ y $F'-F$ .
5. Los puntos críticos son los ceros de $F$ y los cortes de las dos curvas, y en cada uno hay que mirar si $h'$ cambia de signo.
La observación $h\ge0$ es útil pero se queda corta: clasifica la mitad de los puntos críticos, no todos.

Resolución completa

Datos. Dos curvas sin etiquetar, una de las cuales es la derivada de la otra.

1 · Apartado (a): el criterio de identificación

La relación que hay que usar es:

$F'$ corta al eje exactamente donde $F$ tiene un extremo, y el signo de $F'$ dice si $F$ sube o baja.

Es el único criterio fiable. Los que no sirven:

«la derivada está más abajo» — depende de las escalas;
«la derivada es más suave» — al derivar se pierde suavidad;
«los ceros coinciden» — los ceros de $F$ y los de $F'$ no tienen relación.

Aplicándolo a la figura. La curva continua tiene dos puntos donde se aplana: un mínimo, marcado $m$ , y un máximo, marcado $M$ . Y la curva de trazos corta al eje precisamente en esas dos abscisas.

Además, los signos encajan:

tramo	curva de trazos	curva continua
antes de $m$	por debajo del eje	baja
entre $m$ y $M$	por encima	sube
después de $M$	por debajo	baja

\boxed{\text{La continua es } F; \text{ la de trazos es } F'}

Si se probara al revés —suponer que la continua es la derivada— habría que encontrar extremos de la de trazos justo donde la continua corta el eje, y no ocurre. Descartar la otra opción es parte de «identificar de forma razonada».

2 · Apartado (b): la derivada de $h$

h(x) = e^{-2x}\left(F(x)\right)^{2}

Derivando, con producto y cadena:

h'(x) = -2e^{-2x}F^{2}+e^{-2x}\cdot2F\,F'

\boxed{h'(x) = 2e^{-2x}\,F(x)\left[F'(x)-F(x)\right]}

3 · Los tres factores

factor	signo	¿se anula?
$2e^{-2x}$	siempre $+$	nunca
$F(x)$	según la figura	en los cortes de $F$ con el eje
$F'(x)-F(x)$	según la figura	donde las dos curvas se cortan

Y esa última condición es la clave del ejercicio: $F'=F$ se lee directamente como el punto donde las dos curvas dibujadas se cruzan. No hace falta ninguna expresión analítica.

\mathrm{signo}\left(h'\right) = \mathrm{signo}(F)\cdot\mathrm{signo}\left(F'-F\right)

4 · Cómo se clasifica cada punto crítico

Los ceros de $F$ . Ahí $h = e^{-2x}\cdot0 = 0$ . Y como

h(x) = e^{-2x}F^{2} \ge 0 \qquad \forall x

—producto de una exponencial positiva por un cuadrado— esos puntos son mínimos absolutos. La función toca el suelo y rebota.

Los cortes de las dos curvas. Ahí $F' = F$ , y el signo de $h'$ lo decide el cambio del factor $F'-F$ : si las curvas se cruzan pasando la de trazos de estar por encima a por debajo, $F'-F$ pasa de $+$ a $-$ , y $h'$ cambia de signo según sea el signo de $F$ en esa zona.

Con $F>0$ en la zona del corte —que es lo que muestra la figura, donde el mínimo de $F$ queda por encima del eje— el corte da un máximo de $h$ .

5 · El cuadro resultante

\boxed{ \begin{aligned} &\text{mínimos absolutos } (h=0) \text{ en los ceros de } F \\ &\text{máximo local donde las dos curvas se cortan con } F>0 \end{aligned}}

La observación $h\ge0$ resuelve la mitad del apartado, pero solo la mitad: dice que los ceros de $F$ son mínimos, y no dice nada de los otros puntos críticos. Entre dos mínimos con valor 0 tiene que haber algo más alto, y eso son los cortes.

6 · Comprobación

Con un ejemplo concreto. Tomando $F(x) = x$ , que cumple lo esencial —tiene un cero y corta a su derivada—:

h(x) = e^{-2x}x^{2}, \qquad h'(x) = 2e^{-2x}x\left(1-x\right)

Los puntos críticos son $x=0$ —donde $F=0$ — y $x=1$ —donde $F'=F$ , es decir $1=x$ — ✔ exactamente las dos condiciones previstas.

Y clasificándolos: $h(0) = 0$ es mínimo absoluto, y $h(1) = e^{-2} \approx 0{,}135$ es máximo local ✔ El cuadro se cumple.

Del signo. $h(x) = e^{-2x}x^{2} \ge 0$ para todo $x$ , con igualdad solo en $x=0$ ✔

De la identificación. En el ejemplo, $F=x$ y $F'=1$ : la derivada es constante y no corta al eje, porque $F$ no tiene extremos. Coherente con el criterio ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segunda evaluación · 2015-2016

Reconocer el camino

El módulo del segundo miembro

La parte real de la primera solución

Justificar el argumento

1 · Por qué hay infinitas soluciones

2 · El segundo miembro, en polar

3 · Tomar logaritmos

4 · Despejar

5 · La representación

6 · Por qué la parte imaginaria es negativa

7 · Comprobación

Reconocer el camino

El radio óptimo

La proporción del depósito

Justificar el argumento

1 · Lo que hace distinto a este problema

2 · Plantear

3 · Optimizar

4 · La proporción, que es lo bonito

5 · El coste

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La función auxiliar en los extremos

Justificar el argumento

1 · El enunciado

2 · La idea, antes de la demostración

3 · La demostración

4 · Por qué el enunciado aclara «no el de la unicidad»

5 · Las dos hipótesis son necesarias

6 · Comprobación con ejemplos

Reconocer el camino

Los puntos críticos de h

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): el criterio de identificación

2 · Apartado (b): la derivada de hhh

3 · Los tres factores

4 · Cómo se clasifica cada punto crítico

5 · El cuadro resultante

6 · Comprobación

2 · Apartado (b): la derivada de $h$