tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · segunda evaluación

Segunda evaluación · 2021-2022

29 de noviembre de 2021 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Dónde una curva implícita tiene la pendiente pedidaFunciones reales de una variable real1 + 8 + 1 = 10 pts
Calcular los puntos en los cuales la recta tangente a la curva $x^{2}-xy+y^{2} = 3$ tiene pendiente $-1$ .
Calcular los puntos de tangente con pendiente $-1$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Construir los tres casos posibles de LagrangeEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 2 + 7 = 10 pts
Sea $y(x)$ una función definida en el intervalo $[-4,6]$ . En la figura se muestra la gráfica de $y(x)$ solo en el intervalo $[-4,0]$ , donde su expresión analítica es $y(x) = x^{2}-4$ .

Figura redibujada del enunciado original. A la derecha del origen no hay curva: esa es la parte que hay que construir, y de tres maneras distintas.

a) Enunciar el teorema de Lagrange (Teorema del valor medio).

b) Calcular la expresión analítica de $y(x)$ en el intervalo $(0,6]$ en los siguientes casos:

(i) De forma que pueda aplicarse el teorema. Calcular el punto o puntos a los cuales hace referencia el teorema.

(ii) De forma que no pueda aplicarse el teorema, pero se cumpla la tesis.

(iii) De forma que no pueda aplicarse el teorema y no se cumpla la tesis.
Enunciar el teorema y construir los tres casos.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Acotar el error hacia atrásEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 3 + 6 = 10 pts
En la imagen se muestran las gráficas de una función $f(x)$ y de sus dos primeras derivadas $f'(x)$ y $f''(x)$ .

Figura redibujada del enunciado original y medida sobre el PDF. Los valores que decide el ejercicio son exactos: en x igual a uno, f vale 4 y su derivada 5, que es su maximo; en x igual a cero, f vale 1 y la segunda derivada 2.

a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 1 en $a=1$ .

b) Acotar el error cometido al aproximar el valor de la función $f(x)$ en $x=0$ mediante el polinomio obtenido en el apartado anterior.

c) Calcular el error exacto y comprobar que la cota calculada en el apartado anterior es válida.
Calcular el polinomio, acotar el error y compararlo con el exacto.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 46 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La caja más grande que sale de un cartónEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Para construir una caja sin tapa se recortan cuatro cuadrados iguales en todas las esquinas de un cartón de forma rectangular. Sabiendo que las dimensiones del cartón son 24 cm x 36 cm, calcular de qué medida debe ser el cuadrado para que el volumen de la caja sea máximo.

Figura nuestra, redibujada. En rojo, los cuatro cuadrados que se recortan y la altura que producen al doblar: el mismo x hace las dos cosas, y eso es lo que liga las tres dimensiones.

Calcular el lado del cuadrado que maximiza el volumen.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segunda evaluación, 29 de noviembre de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dónde una curva implícita tiene la pendiente pedida

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los puntos en los cuales la recta tangente a la curva $x^{2}-xy+y^{2} = 3$ tiene pendiente $-1$ .

Calcular los puntos de tangente con pendiente $-1$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántas ecuaciones hay que resolver a la vez?
02
La condición sobre los puntos
COMP2
Al imponer $y'=-1$ sale una relación entre $x$ e $y$ . Si $x=5$ , ¿cuánto vale $y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Los puntos
COMP2
¿Cuál es la abscisa positiva de los dos puntos? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Derivación implícita, tratando $y$ como función de $x$ : $2x-y-xy'+2yy' = 0$ .
2. Despejar la pendiente: $y' = \dfrac{y-2x}{2y-x}$ , válido donde $2y-x\neq0$ .
3. Imponer $y'=-1$ : $y-2x = -2y+x$ , que se simplifica a $y=x$ .
4. Cruzar con la curva. Sustituyendo $y=x$ en $x^{2}-xy+y^{2}=3$ queda $x^{2}=3$ .
5. Los puntos son $\left(\sqrt3,\sqrt3\right)$ y $\left(-\sqrt3,-\sqrt3\right)$ , y en los dos el denominador $2y-x = \pm\sqrt3 \neq 0$ : la derivada existe ahí.
Comprobar que el denominador no se anula en los puntos hallados es el único punto de COMP4 del ejercicio. Es corto y se olvida.

Resolución completa

Datos. La curva $x^{2}-xy+y^{2}=3$ , y la pendiente $-1$ .

1 · Por qué implícita

La ecuación es cuadrática en $y$ : se podría despejar, pero saldrían dos ramas con raíces cuadradas y derivarlas sería incómodo. La derivación implícita da la pendiente sin despejar nada.

2 · La derivada

Derivando los dos lados respecto de $x$ , con $y=y(x)$ :

2x-\left(y+xy'\right)+2yy' = 0

—el término $-xy$ es un producto, así que necesita la regla del producto—. Agrupando:

y'\left(2y-x\right) = y-2x \;\Longrightarrow\; y' = \frac{y-2x}{2y-x}

válido donde $2y-x \neq 0$ .

3 · Imponer la pendiente

\frac{y-2x}{2y-x} = -1 \;\Longrightarrow\; y-2x = -\left(2y-x\right) = -2y+x

y+2y = x+2x \;\Longrightarrow\; 3y = 3x \;\Longrightarrow\; y = x

Esto todavía no son los puntos: es la recta donde hay que buscarlos. La bisectriz del primer y tercer cuadrante.

4 · Cruzar con la curva

x^{2}-x\cdot x+x^{2} = 3

El término central cancela uno de los cuadrados:

x^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt3

\boxed{P_1 = \left(\sqrt3,\ \sqrt3\right), \qquad P_2 = \left(-\sqrt3,\ -\sqrt3\right)}

5 · Comprobar que la derivada existe ahí

El denominador $2y-x$ en los dos puntos:

2\sqrt3-\sqrt3 = \sqrt3 \neq 0, \qquad -2\sqrt3+\sqrt3 = -\sqrt3 \neq 0

Los dos válidos. Es un paso corto y es el único punto de COMP4 del ejercicio.

6 · Comprobación

Que los puntos están en la curva:

3-3+3 = 3 \quad\checkmark

Que la pendiente es la pedida, sustituyendo en la fórmula:

y'\left(\sqrt3,\sqrt3\right) = \frac{\sqrt3-2\sqrt3}{2\sqrt3-\sqrt3} = \frac{-\sqrt3}{\sqrt3} = -1 \quad\checkmark

y'\left(-\sqrt3,-\sqrt3\right) = \frac{-\sqrt3+2\sqrt3}{-2\sqrt3+\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{-\sqrt3} = -1 \quad\checkmark

7 · Qué curva es, de paso

$x^{2}-xy+y^{2}=3$ es una elipse girada 45°. Su eje mayor está sobre la recta $y=-x$ y el menor sobre $y=x$ .

Los dos puntos hallados son precisamente los extremos del eje menor, y por eso la tangente ahí es perpendicular a él, es decir paralela a $y=-x$ : pendiente $-1$ ✔ La simetría respecto del origen explica que vengan por parejas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segunda evaluación, 29 de noviembre de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Construir los tres casos posibles de Lagrange

COMP 11 punto por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $y(x)$ una función definida en el intervalo $[-4,6]$ . En la figura se muestra la gráfica de $y(x)$ solo en el intervalo $[-4,0]$ , donde su expresión analítica es $y(x) = x^{2}-4$ .

Figura redibujada del enunciado original. A la derecha del origen no hay curva: esa es la parte que hay que construir, y de tres maneras distintas.

a) Enunciar el teorema de Lagrange (Teorema del valor medio).

b) Calcular la expresión analítica de $y(x)$ en el intervalo $(0,6]$ en los siguientes casos:

(i) De forma que pueda aplicarse el teorema. Calcular el punto o puntos a los cuales hace referencia el teorema.

(ii) De forma que no pueda aplicarse el teorema, pero se cumpla la tesis.

(iii) De forma que no pueda aplicarse el teorema y no se cumpla la tesis.

Enunciar el teorema y construir los tres casos.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado (ii) pide que no se aplique el teorema pero sí se cumpla la tesis. ¿Por qué es posible?
02
El caso (i)
COMP2
Prolongando la misma parábola, $y(x)=x^{2}-4$ en todo $[-4,6]$ , ¿cuánto vale el punto $c$ de Lagrange?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El caso (iii)
COMP2
Tomando $y(x) = k$ constante en $(0,6]$ , ¿cuál es el menor valor entero de $k$ que hace que la tesis no se cumpla?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la construcción de los tres casos. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (a) El teorema. Si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ , existe $c\in(a,b)$ con $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .
2. (i) Prolongar la parábola: $y(x)=x^{2}-4$ en todo $[-4,6]$ . Continua y derivable, cociente $=2$ , y $c=1$ .
3. (ii) Romper la derivabilidad sin romper la continuidad: $y(x) = -4-4x$ en $(0,6]$ . En $x=0$ empalma el valor pero no la pendiente —0 por la izquierda, $-4$ por la derecha—.
4. Y ahí la tesis se cumple: el cociente vale $\frac{-28-12}{10} = -4$ , que es exactamente la pendiente del tramo recto. Todo punto de $(0,6)$ sirve como $c$ .
5. (iii) Romper la continuidad: $y(x) = 13$ en $(0,6]$ . El cociente vale $0{,}1$ , y $y'$ solo toma valores en $(-8,0]$ : no hay ningún $c$ .
Los tres casos son un mapa de lo que significa una implicación: hipótesis y tesis, hipótesis rotas y tesis viva, hipótesis rotas y tesis muerta. Solo falta el cuarto, que el teorema prohíbe.

Resolución completa

Datos. $y(x) = x^{2}-4$ en $[-4,0]$ ; el tramo $(0,6]$ hay que construirlo tres veces.

1 · Apartado (a): el teorema

Teorema de Lagrange (del valor medio). Sea $f$ una función continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ . Entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que
$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Geométricamente: hay al menos un punto interior donde la tangente es paralela a la cuerda que une los extremos.

Dos hipótesis, y son suficientes pero no necesarias. Eso es lo que hace posibles los apartados (ii) y (iii).

2 · Lo que se sabe del tramo izquierdo

y(-4) = 12, \qquad y(0) = -4, \qquad y'(x) = 2x \ \text{ en } (-4,0)

Así que en ese tramo $y'$ recorre todo el intervalo $(-8,0)$ . Es el rango de pendientes disponible, y de él depende todo.

3 · Caso (i): que se aplique

Hace falta continuidad en $[-4,6]$ y derivabilidad en $(-4,6)$ , es decir empalmar valor y pendiente en $x=0$ :

y(0^{+}) = -4, \qquad y'(0^{+}) = 0

La opción más simple: prolongar la misma parábola.

\boxed{y(x) = x^{2}-4 \quad \text{en } (0,6]}

Entonces $y(6) = 32$ y

\frac{y(6)-y(-4)}{10} = \frac{32-12}{10} = 2

y'(c) = 2c = 2 \;\Longrightarrow\; \boxed{c = 1}

que está en $(-4,6)$ ✔

4 · Caso (ii): que no se aplique, pero la tesis se cumpla

La clave es romper la hipótesis más débil: la derivabilidad. Se empalma el valor pero no la pendiente.

Tomando una recta $y = -4+kx$ en $(0,6]$ : es continua en 0 —vale $-4$ — pero su pendiente es $k$ , distinta de la 0 que trae la parábola. No derivable en $x=0$ : el teorema no se aplica.

¿Para qué $k$ se cumple la tesis? El cociente incremental es

\frac{(-4+6k)-12}{10} = \frac{6k-16}{10}

y basta con que coincida con la propia pendiente $k$ del tramo recto:

k = \frac{6k-16}{10} \;\Longrightarrow\; 10k = 6k-16 \;\Longrightarrow\; k = -4

\boxed{y(x) = -4-4x \quad \text{en } (0,6]}

Comprobación: $y(6) = -28$ , cociente $= \frac{-28-12}{10} = -4$ . Y $y'=-4$ en todo $(0,6)$ : la tesis se cumple, y de sobra — hay infinitos $c$ .

5 · Caso (iii): que no se aplique y la tesis falle

Ahora se rompe la continuidad, que es la hipótesis fuerte, y además hay que salirse del rango de pendientes disponibles.

Tomando $y = k$ constante en $(0,6]$ con $k \neq -4$ , la función salta en $x=0$ . El cociente vale $\frac{k-12}{10}$ , y las pendientes que $y$ llega a tener son

y' \in (-8,0) \ \text{ en la parábola}, \qquad y' = 0 \ \text{ en el tramo llano}

es decir, $(-8,0]$ . Para que la tesis falle basta con que el cociente quede fuera:

\frac{k-12}{10} > 0 \;\Longleftrightarrow\; k > 12

\boxed{y(x) = 32 \quad \text{en } (0,6]}

—o cualquier constante mayor que 12; con 13 ya basta—. El cociente vale

\frac{32-12}{10} = 2

y $y'$ nunca llega a 2: en la parábola es negativa y en el tramo llano es cero. No existe $c$ .

6 · Lo que enseña el ejercicio

caso	hipótesis	tesis
(i)	se cumplen	se cumple, y el teorema lo garantizaba
(ii)	fallan	se cumple igual, por otra razón
(iii)	fallan	falla
—	se cumplen	falla: imposible

La última fila es la que el teorema prohíbe. Las otras tres son todas posibles, y construirlas demuestra haber entendido que una implicación no es una equivalencia.

7 · Comprobación

Del caso (i), gráficamente. La cuerda de $(-4,12)$ a $(6,32)$ tiene pendiente 2, y la tangente a la parábola en $x=1$ también ✔

Del caso (ii). La función va de 12 a $-28$ bajando siempre: primero por la parábola con pendientes en $(-8,0)$ , luego en línea recta con pendiente $-4$ . La pendiente media, $-4$ , cae dentro del segundo tramo ✔

Del caso (iii). La función sube en promedio —de 12 a 32— pero $y'\le0$ en todo punto donde existe. El salto en $x=0$ es el que hace todo el trabajo de subir, y ahí no hay derivada ✔ Esa es exactamente la razón por la que Lagrange exige continuidad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segunda evaluación, 29 de noviembre de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Acotar el error hacia atrás

COMP 11 punto por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 46 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la imagen se muestran las gráficas de una función $f(x)$ y de sus dos primeras derivadas $f'(x)$ y $f''(x)$ .

Figura redibujada del enunciado original y medida sobre el PDF. Los valores que decide el ejercicio son exactos: en x igual a uno, f vale 4 y su derivada 5, que es su maximo; en x igual a cero, f vale 1 y la segunda derivada 2.

a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 1 en $a=1$ .

b) Acotar el error cometido al aproximar el valor de la función $f(x)$ en $x=0$ mediante el polinomio obtenido en el apartado anterior.

c) Calcular el error exacto y comprobar que la cota calculada en el apartado anterior es válida.

Calcular el polinomio, acotar el error y compararlo con el exacto.

01
Reconocer el camino
COMP1
Se desarrolla en $a=1$ y se evalúa en $x=0$ . ¿Cambia algo respecto de lo habitual?
02
El polinomio
COMP2
¿Cuánto vale $P_1(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El error exacto
COMP2
¿Cuál es el error exacto al aproximar $f(0)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El resto de Lagrange: $R_1(x) = \frac{f''(\xi)}{2!}(x-1)^{2}$ , con $\xi$ entre 1 y $x$ .
2. El intervalo donde vive $\xi$ es $(0,1)$ : está a la izquierda del centro, porque se evalúa en $x=0$ .
3. La cota de $\left|f''\right|$ ahí. En $[0,1]$ la curva punteada va de 2, sube hasta un máximo de unos $5{,}6$ y baja a 0. Redondeando a la línea de rejilla de arriba, $M=6$ .
4. La distancia al cuadrado: $(0-1)^{2} = 1$ .
5. $\left|R_1\right| \le \frac{6}{2}\cdot1 = 3$ .
Redondear la cota hacia arriba siempre es legítimo: una cota generosa sigue siendo una cota. Redondear hacia abajo la invalida.

Resolución completa

Datos. Las gráficas de $f$ , $f'$ y $f''$ .

Nota sobre la figura. Redibujada y medida sobre el PDF. Los valores que necesita el ejercicio salieron exactos: $f(1)=4$ , $f'(1)=5$ —su máximo—, $f(0)=1$ y $f''(0)=2$ .

1 · Apartado (a): el polinomio

P_1(x) = f(1)+f'(1)\,(x-1)

De la gráfica:

f(1) = 4, \qquad f'(1) = 5

\boxed{P_1(x) = 4+5(x-1) = 5x-1}

Es la recta tangente a $f$ en $x=1$ . Y nótese, de paso, que $x=1$ es donde $f'$ alcanza su máximo, así que $f''(1)=0$ : la tangente ahí es la que más se ajusta de toda la zona.

2 · Apartado (b): la cota

R_1(x) = \frac{f''(\xi)}{2!}\,(x-1)^{2}, \qquad \xi \text{ entre } 1 \text{ y } x

Aquí $x=0$ , así que $\xi$ está en $(0,1)$ : a la izquierda del centro. La fórmula no distingue direcciones — $(x-1)^{2}$ es positivo en los dos sentidos—, pero sí importa dónde hay que acotar $f''$ .

La cota de $\left|f''\right|$ en $[0,1]$ . Leyendo la curva punteada: entra valiendo 2 en $x=0$ , sube hasta un máximo de unos $5{,}6$ hacia $x=0{,}6$ , y baja hasta 0 en $x=1$ .

\max_{[0,1]}\left|f''\right| \approx 5{,}6

Se redondea hacia arriba, a la línea de rejilla siguiente:

M = 6

Redondear hacia arriba es siempre legítimo: una cota generosa sigue siendo una cota. Hacerlo hacia abajo la invalidaría.

\left|R_1(0)\right| \le \frac{M}{2}\,(0-1)^{2} = \frac{6}{2}\cdot1

\boxed{\left|R_1(0)\right| \le 3}

(Con el valor medido $5{,}6$ saldría $2{,}8$ , también válida y algo más fina.)

3 · Apartado (c): el error exacto

De la gráfica, $f(0) = 1$ . Y el polinomio:

P_1(0) = 5\cdot0-1 = -1

\boxed{\left|f(0)-P_1(0)\right| = \left|1-(-1)\right| = 2}

La comprobación:

2 \le 3 \quad\checkmark

La cota es válida.

4 · Por qué el error es tan grande

Un error de 2 sobre un valor de 1 es el doble del valor. La aproximación es mala, y hay dos razones:

La distancia. Se extrapola una unidad entera desde el centro, y el resto crece con el cuadrado de esa distancia.
La curvatura. En $[0,1]$ la función se dobla mucho: $f''$ llega a $5{,}6$ . Una recta no puede seguir eso.

Es un buen recordatorio de que el polinomio de Taylor es una aproximación local: cerca del centro es excelente, y a una unidad ya no sirve.

5 · El error que persigue el apartado (b)

Tomar $f''$ en un solo punto en vez del máximo del intervalo.

En $x=1$ : $f''=0$ , cota 0. Falsa — el error es 2.
En $x=0$ : $f''=2$ , cota 1. Falsa también.

Solo el máximo sobre todo el intervalo da una cota que se cumple. Ahí están los seis puntos de COMP4 de este ejercicio.

6 · Comprobación

Del polinomio en su centro. $P_1(1) = 4 = f(1)$ ✔

Del signo del error. $f(0) = 1 > -1 = P_1(0)$ : la función queda por encima de su tangente en $x=0$ . Coherente con que $f''>0$ en todo $(0,1)$ , es decir con que $f$ sea convexa ahí ✔ Una función convexa siempre queda por encima de sus tangentes.

De coherencia entre gráficas. $f'$ tiene su máximo en $x=1$ , y en ese mismo punto $f''$ corta el eje ✔ Y $f$ tiene su máximo donde $f'$ corta el eje, en $x\approx1{,}45$ ✔ Las tres curvas son consistentes entre sí, lo que valida la lectura.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Segunda evaluación, 29 de noviembre de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La caja más grande que sale de un cartón

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para construir una caja sin tapa se recortan cuatro cuadrados iguales en todas las esquinas de un cartón de forma rectangular. Sabiendo que las dimensiones del cartón son 24 cm x 36 cm, calcular de qué medida debe ser el cuadrado para que el volumen de la caja sea máximo.

Figura nuestra, redibujada. En rojo, los cuatro cuadrados que se recortan y la altura que producen al doblar: el mismo x hace las dos cosas, y eso es lo que liga las tres dimensiones.

Calcular el lado del cuadrado que maximiza el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Entre qué valores puede moverse $x$ ?
02
El volumen
COMP2
Desarrollando $V(x) = x(24-2x)(36-2x)$ , ¿cuál es el coeficiente de $x^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El lado óptimo
COMP2
¿Cuánto debe medir el lado del cuadrado? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número en cm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La variable. $x$ es el lado del cuadrado recortado, y hace dos cosas a la vez: reduce la base y es la altura de la caja.
2. El dominio: $0<x<12$ , porque la base $24-2x$ debe ser positiva.
3. El volumen: $V(x) = x(24-2x)(36-2x) = 4x^{3}-120x^{2}+864x$ .
4. Derivar: $V'(x) = 12\left(x^{2}-20x+72\right)$ , cuyas raíces son $10\pm2\sqrt7$ . Solo $10-2\sqrt7 \approx 4{,}71$ está en el dominio.
5. Justificar que es máximo: $V''(x) = 24x-240$ , y $V''(4{,}71) = -127 < 0$ .
Que $x$ aparezca tres veces en el volumen —dos restando y una multiplicando— es lo que hace el problema cúbico y no trivial.

Resolución completa

Datos. Cartón de 24 × 36 cm; se recortan cuatro cuadrados de lado $x$ y se dobla.

1 · Plantear

El lado recortado $x$ hace dos cosas a la vez, y ahí está la gracia del problema:

reduce las dos dimensiones de la base, en $2x$ cada una —se quita por los dos extremos—;
es la altura de la caja al doblar las solapas.

dimensión	medida
altura	$x$
base corta	$24-2x$
base larga	$36-2x$

El dominio. Las dos bases deben ser positivas:

24-2x>0 \;\Longrightarrow\; x<12

\boxed{0<x<12}

Manda el lado corto. Declararlo no es un formalismo: hace falta después para descartar una raíz.

2 · La función objetivo

V(x) = x\,(24-2x)(36-2x)

Conviene desarrollar antes de derivar:

(24-2x)(36-2x) = 864-48x-72x+4x^{2} = 4x^{2}-120x+864

V(x) = 4x^{3}-120x^{2}+864x

3 · Optimizar

V'(x) = 12x^{2}-240x+864 = 12\left(x^{2}-20x+72\right)

x = \frac{20\pm\sqrt{400-288}}{2} = \frac{20\pm\sqrt{112}}{2} = 10\pm2\sqrt7

10+2\sqrt7 \approx 15{,}29 \quad \text{(fuera del dominio)}

\boxed{x = 10-2\sqrt7 \approx 4{,}7085 \ \text{cm}}

Que es máximo:

V''(x) = 24x-240 \;\Longrightarrow\; V''(4{,}7085) = 113-240 = -127 < 0 \quad\checkmark

Y como en los extremos del dominio el volumen se anula — $V(0)=0$ y $V(12)=0$ —, el máximo local es absoluto.

4 · La caja resultante

4{,}71 \times 14{,}58 \times 26{,}58 \ \text{cm}

V_{\max} \approx 1825 \ \text{cm}^{3}

No es un cubo ni tiene ninguna proporción redonda. Es lo que sale, y buscarle una regla bonita —«un sexto del lado corto», «un tercio de la diferencia»— lleva a respuestas equivocadas.

5 · Comprobación

Numérica, evaluando a los lados:

$x$	$V(x)$
$3$	$1620$
$4$	$1792$
$4{,}71$	$\mathbf{1825}$
$5$	$1820$
$6$	$1728$

El del punto crítico es el mayor ✔

De la raíz descartada. Con $x=15{,}29$ la base corta mediría $24-30{,}58 = -6{,}58$ : negativa. La fórmula da un número, pero la caja no existe ✔ Por eso el dominio no era decorativo.

De los extremos. $V(0)=0$ —no hay altura— y $V(12)=0$ —no hay base—. Entre dos ceros de una función positiva tiene que haber un máximo ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segunda evaluación · 2021-2022

Reconocer el camino

La condición sobre los puntos

Los puntos

Justificar el argumento

1 · Por qué implícita

2 · La derivada

3 · Imponer la pendiente

4 · Cruzar con la curva

5 · Comprobar que la derivada existe ahí

6 · Comprobación

7 · Qué curva es, de paso

Reconocer el camino

El caso (i)

El caso (iii)

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): el teorema

2 · Lo que se sabe del tramo izquierdo

3 · Caso (i): que se aplique

4 · Caso (ii): que no se aplique, pero la tesis se cumpla

5 · Caso (iii): que no se aplique y la tesis falle

6 · Lo que enseña el ejercicio

7 · Comprobación

Reconocer el camino

El polinomio

El error exacto

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): el polinomio

2 · Apartado (b): la cota

3 · Apartado (c): el error exacto

4 · Por qué el error es tan grande

5 · El error que persigue el apartado (b)

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El volumen

El lado óptimo

Justificar el argumento

1 · Plantear

2 · La función objetivo

3 · Optimizar

4 · La caja resultante

5 · Comprobación