tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · segunda evaluación

Segunda evaluación · 2024-2025

2 de diciembre de 2024 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Todo lo que dice la gráfica de la derivadaEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 3 + 6 = 10 pts
Sea $h(x)$ una función continua en $[a,b]$ y dos veces derivable en $(a,b)$ . La figura adjunta muestra la gráfica de $h'(x)$ .

Figura redibujada del enunciado original. Los nombres x1, x2, x3, m y M son nuestros: el examen no los pone, pero sin ellos no se puede hablar de los cinco puntos que deciden el ejercicio. En verde los ceros de h', en morado sus extremos.

a) Estudiar la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión de $h(x)$ .

b) Considerar la nueva función $f(x) = \left(h'(x)\right)^{2n}$ , donde $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$ . Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos locales de $f(x)$ .
Estudiar la concavidad de $h$ y los extremos de $f$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 46 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Taylor sobre una curva que no se puede despejarFunciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $C$ la curva definida por $y = y^{3}+xy+1$ y el punto $P=(-1,1)$ .

a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de $C$ en el punto $P$ .

b) Utilizando el polinomio obtenido en el apartado anterior aproximar el valor de la curva $C$ en el punto $x = -1.1$ .
Calcular el polinomio de Taylor y aproximar.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Reconstruir una cúbica a partir de cuatro pistasEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 5 + 4 = 10 pts
Sea $f(x)$ una función polinómica de tercer grado tal que tiene un punto de inflexión en $x=0$ y es convexa en el intervalo $(0,2)$ . La recta tangente a $f(x)$ en el punto $x=1$ es $y = 2x-1$ . Además, se sabe que la cota máxima del error del polinomio de McLaurin de orden 2 en dicho punto es $\dfrac{1}{2}$ . Obtener la función $f(x)$ .
Obtener la función $f(x)$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El punto de la parábola más cercano a un punto dadoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Sean la función $y^{2} = x+1$ tal que $y>0$ y $P=(a,b)$ un punto de la misma. Calcular los valores de $a$ y $b$ para que la distancia del punto $P$ al punto $A=(3,0)$ sea mínima.
Calcular $a$ y $b$ que minimizan la distancia.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segunda evaluación, 2 de diciembre de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Todo lo que dice la gráfica de la derivada

COMP 11 punto por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 46 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $h(x)$ una función continua en $[a,b]$ y dos veces derivable en $(a,b)$ . La figura adjunta muestra la gráfica de $h'(x)$ .

Figura redibujada del enunciado original. Los nombres x1, x2, x3, m y M son nuestros: el examen no los pone, pero sin ellos no se puede hablar de los cinco puntos que deciden el ejercicio. En verde los ceros de h', en morado sus extremos.

a) Estudiar la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión de $h(x)$ .

b) Considerar la nueva función $f(x) = \left(h'(x)\right)^{2n}$ , donde $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$ . Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos locales de $f(x)$ .

Estudiar la concavidad de $h$ y los extremos de $f$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
La gráfica es de $h'$ , no de $h$ . Para la concavidad de $h$ , ¿qué hay que mirar?
02
Los puntos de inflexión
COMP2
¿Cuántos puntos de inflexión tiene $h$ en $(a,b)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

tramo	$h'$	$h''$	$h$
$(a,m)$	baja	$<0$	cóncava
$(m,M)$	sube	$>0$	convexa
$(M,b)$	baja	$<0$	cóncava

Los extremos de f

COMP2

¿Cuántos extremos locales tiene $f(x) = \left(h'(x)\right)^{2n}$ en $(a,b)$ ?

Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

Derivando con la regla de la cadena:

f'(x) = 2n\left(h'(x)\right)^{2n-1}\cdot h''(x)

Se anula donde se anule cualquiera de los dos factores:

$h'(x) = 0$ : en $x_1$ , $x_2$ y $x_3$
$h''(x) = 0$ : en $m$ y $M$

Son cinco puntos críticos, y en los cinco hay cambio de signo:

	$h'$	$h''$	$f'$
$(a,x_1)$	$+$	$-$	$-$	decrece
$(x_1,m)$	$-$	$-$	$+$	crece
$(m,x_2)$	$-$	$+$	$-$	decrece
$(x_2,M)$	$+$	$+$	$+$	crece
$(M,x_3)$	$+$	$-$	$-$	decrece
$(x_3,b)$	$-$	$-$	$+$	crece

Tres mínimos en $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ y dos máximos en $m$ y $M$ .

Que $2n-1$ sea impar es lo que hace que $\left(h'\right)^{2n-1}$ conserve el signo de $h'$ . Si el exponente de $f$ fuera impar, el análisis cambiaría por completo.

04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f \ge 0$ siempre, porque $2n$ es par. Eso ya adelanta que donde $h'$ se anula, $f$ toca su valor más bajo posible.
2. $f' = 2n\left(h'\right)^{2n-1}h''$ , y como $2n-1$ es impar, el signo de $\left(h'\right)^{2n-1}$ es el de $h'$ .
3. Luego el signo de $f'$ es el producto de los signos de $h'$ y $h''$ , los dos legibles en la figura.
4. En los tres ceros de $h'$ hay mínimos, con $f=0$ ; y como $f\ge0$ , son mínimos absolutos.
5. En los dos extremos de $h'$ hay máximos de $f$ , porque ahí $\left|h'\right|$ es localmente mayor.
Un enunciado con un parámetro que al final no influye es una pregunta disfrazada: «¿te has dado cuenta de que da igual?».

Resolución completa

Datos. La gráfica de $h'$ , con tres ceros y dos extremos.

1 · Qué se lee en la figura

La curva dibujada es $h'$ . De ella se leen dos cosas distintas:

su signo, que da el crecimiento de $h$ ;
su pendiente, que es $h''$ y da la concavidad de $h$ .

Los cinco puntos que importan:

punto	qué es en la figura	qué significa
$x_1,x_2,x_3$	cortes con el eje	extremos de $h$
$m$	mínimo de $h'$	inflexión de $h$
$M$	máximo de $h'$	inflexión de $h$

Todo sube un escalón: los ceros de la curva dibujada hablan de los extremos de $h$ , y los extremos de la curva dibujada hablan de sus inflexiones.

2 · Apartado (a): concavidad de $h$

$h''$ es la pendiente de la curva. Leyéndola de izquierda a derecha:

\boxed{ \begin{aligned} h \text{ cóncava en } & (a,m) \\ h \text{ convexa en } & (m,M) \\ h \text{ cóncava en } & (M,b) \\ \text{inflexiones en } & x=m \ \text{ y } \ x=M \end{aligned}}

Nótese que no hace falta conocer $h$ : la concavidad es información de segunda derivada, y la segunda derivada está dibujada como pendiente.

3 · Apartado (b): la función $f = \left(h'\right)^{2n}$

Antes de derivar, una observación que ahorra la mitad del trabajo: el exponente $2n$ es par, luego

f(x) \ge 0 \quad \forall x

Así que donde $h'$ se anule, $f$ valdrá 0, y ese es su valor más pequeño posible: serán mínimos absolutos.

La derivada:

f'(x) = 2n\left(h'(x)\right)^{2n-1}\cdot h''(x)

El exponente $2n-1$ es impar, así que $\left(h'\right)^{2n-1}$ tiene el mismo signo que $h'$ . Por tanto

\mathrm{signo}\left(f'\right) = \mathrm{signo}\left(h'\right)\cdot\mathrm{signo}\left(h''\right)

y los dos factores se leen directamente en el dibujo.

4 · La tabla de signos

tramo	$h'$	$h''$	$f'$	$f$
$(a,x_1)$	$+$	$-$	$-$	decrece
$(x_1,m)$	$-$	$-$	$+$	crece
$(m,x_2)$	$-$	$+$	$-$	decrece
$(x_2,M)$	$+$	$+$	$+$	crece
$(M,x_3)$	$+$	$-$	$-$	decrece
$(x_3,b)$	$-$	$-$	$+$	crece

\boxed{ \begin{aligned} \text{mínimos (absolutos, } f=0\text{) en } & x_1,\ x_2,\ x_3 \\ \text{máximos locales en } & m,\ M \end{aligned}}

5 · Por qué $n$ no influye

El enunciado deja $n$ genérico, y esa es la pregunta escondida. El análisis no depende de $n$ porque:

$2n$ es par para todo $n\ge1$ , luego $f\ge0$ siempre;
$2n-1$ es impar para todo $n\ge1$ , luego el signo se conserva.

Lo único que cambia con $n$ es cuánto valen los máximos: con $n$ grande, $f$ se aplasta contra el eje donde $\left|h'\right|<1$ y se dispara donde $\left|h'\right|>1$ . La forma cualitativa es la misma.

6 · Comprobación

Con un caso concreto, que es la única forma de validar del todo un ejercicio gráfico. Tomando $h'(x) = \mathrm{sen}\,x$ en $(0,3\pi)$ —tres ceros interiores y dos extremos, la misma estructura— y $n=1$ :

f(x) = \mathrm{sen}^{2}x, \qquad f'(x) = 2\,\mathrm{sen}\,x\cos x = \mathrm{sen}\,2x

que se anula en los múltiplos de $\frac\pi2$ : los ceros del seno dan mínimos con $f=0$ , y sus extremos dan máximos con $f=1$ ✔ Exactamente la estructura descrita.

De coherencia entre apartados. Los puntos críticos de $f$ son la unión de los extremos y las inflexiones de $h$ : tres más dos, cinco. Es lo que tiene que pasar, porque $f'$ es un producto de $h'$ y $h''$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segunda evaluación, 2 de diciembre de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Taylor sobre una curva que no se puede despejar

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $C$ la curva definida por $y = y^{3}+xy+1$ y el punto $P=(-1,1)$ .

a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de $C$ en el punto $P$ .

b) Utilizando el polinomio obtenido en el apartado anterior aproximar el valor de la curva $C$ en el punto $x = -1.1$ .

Calcular el polinomio de Taylor y aproximar.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que comprobar antes de empezar a derivar?
02
La derivada primera
COMP2
¿Cuánto vale $y'(-1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada segunda
COMP2
¿Cuánto vale $y''(-1)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Comprobar que $P$ está en la curva: $1 = 1^{3}+(-1)(1)+1 = 1$ ✔
2. Derivación implícita, tratando $y$ como función de $x$ : $y'\left(1-3y^{2}-x\right) = y$ , de donde $y'(-1) = -1$ .
3. Segunda derivada, derivando la forma agrupada: $y''\left(1-3y^{2}-x\right) = y'\left(2+6yy'\right)$ , de donde $y''(-1) = -4$ .
4. El polinomio: $P_2(x) = 1-(x+1)-2(x+1)^{2}$ , donde el $-2$ es $\frac{y''}{2} = \frac{-4}{2}$ .
5. La aproximación en $x=-1{,}1$ , es decir $x+1 = -0{,}1$ : $P_2 = 1+0{,}1-0{,}02 = 1{,}08$ .
Que no se pueda despejar $y$ no es un obstáculo: es la razón de ser de la derivación implícita.

Resolución completa

Datos. La curva $y = y^{3}+xy+1$ y el punto $P=(-1,1)$ .

1 · Comprobar que el punto está en la curva

Es el primer paso y cuesta diez segundos:

1 \overset{?}{=} 1^{3}+(-1)(1)+1 = 1-1+1 = 1 \quad\checkmark

Si no se cumpliera, no habría nada que desarrollar en $P$ .

2 · Por qué hay que derivar implícitamente

La ecuación es cúbica en $y$ : despejarla es incómodo y no hace falta. El polinomio de Taylor solo necesita tres números — $y(-1)$ , $y'(-1)$ e $y''(-1)$ — y los tres se obtienen derivando la igualdad tal como está, tratando $y$ como función de $x$ .

3 · Primera derivada

y = y^{3}+xy+1 \;\Longrightarrow\; y' = 3y^{2}y'+y+xy'

Agrupando:

y'\left(1-3y^{2}-x\right) = y \tag{$\ast$}

En $P$ : el paréntesis vale $1-3+1 = -1$ , y el segundo miembro $1$ :

y'(-1) = \frac{1}{-1} = -1

4 · Segunda derivada

Conviene derivar $(\ast)$ sin despejar: así se evita la regla del cociente y una fracción de dos pisos.

y''\left(1-3y^{2}-x\right)+y'\left(-6yy'-1\right) = y'

y''\left(1-3y^{2}-x\right) = y'+y'\left(6yy'+1\right) = y'\left(2+6yy'\right)

Con $y=1$ , $y'=-1$ y el paréntesis $=-1$ :

-y'' = (-1)\left(2+6(1)(-1)\right) = (-1)(-4) = 4 \;\Longrightarrow\; y''(-1) = -4

5 · Apartado (a): el polinomio

P_2(x) = y(-1)+y'(-1)(x+1)+\frac{y''(-1)}{2}(x+1)^{2}

\boxed{P_2(x) = 1-(x+1)-2(x+1)^{2}}

Desarrollando, si se prefiere: $P_2(x) = -2x^{2}-5x-2$ .

6 · Apartado (b): la aproximación

Con $x=-1{,}1$ , o sea $x+1 = -0{,}1$ :

P_2(-1{,}1) = 1-(-0{,}1)-2(-0{,}1)^{2} = 1+0{,}1-0{,}02

\boxed{y(-1{,}1) \approx 1{,}08}

7 · Comprobación

Que el polinomio pasa por $P$ . En $x=-1$ el polinomio vale $1-0-0 = 1$ ✔

Que la curva es cóncava ahí. $y''(-1) = -4 < 0$ , y en efecto el coeficiente cuadrático del polinomio es negativo ✔

Sustituyendo la aproximación en la ecuación original, que es la comprobación buena. Con $x=-1{,}1$ e $y \approx 1{,}08$ :

y^{3}+xy+1 = 1{,}2597-1{,}188+1 = 1{,}0717

frente a $y = 1{,}08$ . La diferencia es $0{,}008$ , del orden del cubo del incremento ✔ Coherente con un polinomio de orden 2: el primer término omitido es el cúbico.

Con el valor exacto. Para $x=-1{,}1$ la ecuación queda $y^{3}-2{,}1y+1 = 0$ , y su raíz cerca de 1 es

y(-1{,}1) = 1{,}085844\ldots

frente a la aproximación $1{,}08$ : un error de $5{,}8\cdot10^{-3}$ ✔

Ese error es unas cuatro veces mayor que el $8\cdot10^{-3}$ que dio la comprobación anterior por sustitución, y no hay contradicción: aquella medía cuánto incumple la ecuación el valor aproximado, y esta cuánto se aparta de la raíz. Las dos cosas se relacionan por la pendiente de la cúbica en ese punto, que vale $3y^{2}-2{,}1 \approx 1{,}43$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segunda evaluación, 2 de diciembre de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Reconstruir una cúbica a partir de cuatro pistas

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(x)$ una función polinómica de tercer grado tal que tiene un punto de inflexión en $x=0$ y es convexa en el intervalo $(0,2)$ . La recta tangente a $f(x)$ en el punto $x=1$ es $y = 2x-1$ . Además, se sabe que la cota máxima del error del polinomio de McLaurin de orden 2 en dicho punto es $\dfrac{1}{2}$ . Obtener la función $f(x)$ .

Obtener la función $f(x)$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Una cúbica tiene cuatro coeficientes. ¿Cuántas condiciones da el enunciado?
02
El coeficiente cúbico
COMP2
Escribiendo $f(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El término independiente
COMP2
¿Cuánto vale $d$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Planteamiento: $f(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ , cuatro incógnitas.
2. Inflexión en $x=0$ : $f''(0) = 2b = 0$ , luego $b=0$ .
3. Cota del error: en una cúbica $f'''=6a$ es constante, así que $\left|R_2(1)\right| = \left|a\right| = \frac12$ . La convexidad en $(0,2)$ obliga a $a>0$ , luego $a=\frac12$ .
4. Recta tangente, que da dos condiciones: $f(1)=1$ y $f'(1)=2$ .
5. De $f'(1)=2$ sale $c=\frac12$ , y de $f(1)=1$ sale $d=0$ . Luego $f(x) = \frac{x^{3}+x}{2}$ .
Cuatro incógnitas, cuatro ecuaciones y una desigualdad de desempate. Contar bien qué es cada cosa es el punto de COMP1.

Resolución completa

Datos. Cúbica con inflexión en $x=0$ , convexa en $(0,2)$ , tangente $y=2x-1$ en $x=1$ , y cota del error del Maclaurin de orden 2 igual a $\frac12$ .

1 · Contar antes de calcular

f(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d

Cuatro incógnitas. El enunciado da cuatro ecuaciones:

condición	ecuación
inflexión en $x=0$	$f''(0)=0$
la tangente pasa por el punto	$f(1)=1$
la tangente tiene esa pendiente	$f'(1)=2$
cota del error $=\frac12$	$\left\\|R_2(1)\right\\|=\frac12$

Y una desigualdad aparte: convexa en $(0,2)$ . No es una quinta ecuación; sirve para elegir un signo.

2 · La inflexión

f''(x) = 6ax+2b \;\Longrightarrow\; f''(0) = 2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0

3 · La cota del error

El resto de Lagrange del polinomio de Maclaurin de orden 2 es

R_2(x) = \frac{f'''(\xi)}{3!}\,x^{3}, \qquad \xi \text{ entre } 0 \text{ y } x

En una cúbica $f'''$ es constante, $f'''(x) = 6a$ , así que el resto no depende de dónde caiga $\xi$ : la cota es exacta. Evaluando en $x=1$ :

\left|R_2(1)\right| = \frac{6\left|a\right|}{6} = \left|a\right| = \frac12

a = \pm\frac12

Aquí entra la convexidad. En $(0,2)$ se pide $f''(x) = 6ax > 0$ , y como $x>0$ en ese intervalo, hace falta $a>0$ :

a = \frac12

4 · La recta tangente

Da dos condiciones, no una:

f(1) = 2(1)-1 = 1, \qquad f'(1) = 2

Con $f(x) = \frac12x^{3}+cx+d$ y $f'(x) = \frac32x^{2}+c$ :

\frac32+c = 2 \;\Longrightarrow\; c = \frac12

\frac12+\frac12+d = 1 \;\Longrightarrow\; d = 0

5 · Resultado

\boxed{f(x) = \frac12x^{3}+\frac12x = \frac{x^{3}+x}{2}}

6 · Comprobación, condición por condición

condición	comprobación
inflexión en 0	$f''(x)=3x$ , luego $f''(0)=0$ ✔
convexa en $(0,2)$	$f''(x)=3x>0$ para $x>0$ ✔
$f(1)=1$	$\frac{1+1}{2}=1$ ✔
$f'(1)=2$	$f'(x)=\frac{3x^{2}+1}{2}$ , $f'(1)=\frac42=2$ ✔
cota $=\frac12$	$f'''=3$ , luego $\frac{3}{6}\cdot1 = \frac12$ ✔

Las cinco se cumplen.

Y una comprobación extra del error, calculándolo a mano. El polinomio de Maclaurin de orden 2 de $f$ es

P_2(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^{2} = 0+\frac12x+0 = \frac{x}{2}

El error real en $x=1$ :

\left|f(1)-P_2(1)\right| = \left|1-\frac12\right| = \frac12 \quad\checkmark

Coincide exactamente con la cota, como tenía que pasar: en una cúbica el resto de Lagrange no es una estimación, es el valor.

Nota sobre la función obtenida. $f(x) = \frac{x^{3}+x}{2}$ es impar, estrictamente creciente — $f' > 0$ siempre— y con un único punto de inflexión en el origen. No tiene extremos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Segunda evaluación, 2 de diciembre de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El punto de la parábola más cercano a un punto dado

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean la función $y^{2} = x+1$ tal que $y>0$ y $P=(a,b)$ un punto de la misma. Calcular los valores de $a$ y $b$ para que la distancia del punto $P$ al punto $A=(3,0)$ sea mínima.

Calcular $a$ y $b$ que minimizan la distancia.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué conviene minimizar $D^{2}$ en vez de $D$ ?
02
La abscisa óptima
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La ordenada
COMP2
¿Cuánto vale $b$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ligadura. $P$ está en la curva, luego $b^{2} = a+1$ con $b>0$ , y el problema tiene una sola incógnita.
2. La función objetivo. Se minimiza $D^{2}$ en vez de $D$ , porque la raíz es creciente y el mínimo cae en el mismo punto.
3. $D^{2}(a) = (a-3)^{2}+(a+1) = a^{2}-5a+10$ , una parábola convexa.
4. Derivar: $2a-5=0$ da $a=\frac52$ , y la segunda derivada vale $2>0$ : es mínimo.
5. Deshacer la ligadura: $b = \sqrt{7/2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ , positiva por hipótesis. Y $D = \frac{\sqrt{15}}{2}$ .
La perpendicularidad no es un dato del enunciado: es una consecuencia que sirve para comprobar el resultado por una vía distinta.

Resolución completa

Datos. La rama superior de $y^{2} = x+1$ y el punto $A=(3,0)$ .

1 · Qué curva es

$y^{2} = x+1$ es una parábola tumbada con vértice en $(-1,0)$ , abierta hacia la derecha. La condición $y>0$ se queda solo con la rama de arriba, es decir $y = \sqrt{x+1}$ para $x>-1$ .

El punto $A=(3,0)$ está fuera de esa rama: cae sobre el eje, donde $y=0$ .

2 · Plantear

La ligadura: $P=(a,b)$ está en la curva, luego

b^{2} = a+1, \qquad b>0, \qquad a>-1

La función objetivo:

D = \sqrt{(a-3)^{2}+b^{2}}

Se minimiza $D^{2}$ , no $D$ . Justificación, que vale puntos: la función $t\mapsto\sqrt t$ es estrictamente creciente en $t\ge0$ , así que $D$ y $D^{2}$ alcanzan su mínimo en el mismo punto. Y derivar $D^{2}$ es derivar un polinomio en vez de una raíz.

3 · Sustituir y optimizar

D^{2}(a) = (a-3)^{2}+(a+1) = a^{2}-6a+9+a+1

D^{2}(a) = a^{2}-5a+10

Una parábola convexa en $a$ . Su mínimo:

\frac{d\left(D^{2}\right)}{da} = 2a-5 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac52

\frac{d^{2}\left(D^{2}\right)}{da^{2}} = 2 > 0 \;\Longrightarrow\; \text{mínimo}

Y como es una parábola convexa, el mínimo es absoluto en todo el dominio: no hace falta mirar los extremos.

4 · Deshacer la ligadura

b^{2} = \frac52+1 = \frac72 \;\Longrightarrow\; b = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1{,}8708

positiva por hipótesis.

\boxed{P = \left(\frac52,\ \frac{\sqrt{14}}{2}\right)}

Y la distancia mínima:

D^{2} = \frac{25}{4}-\frac{25}{2}+10 = \frac{15}{4} \;\Longrightarrow\; D = \frac{\sqrt{15}}{2} \approx 1{,}9365

5 · Por qué el óptimo no está en $a=3$

Sería lo intuitivo: el punto de la curva «justo encima» de $A$ . Pero al sustituir la ligadura, $b^{2}$ aporta un término lineal en $a$ :

D^{2} = \underbrace{(a-3)^{2}}_{\text{mínimo en } a=3} + \underbrace{(a+1)}_{\text{crece con } a}

El segundo sumando penaliza avanzar, así que el óptimo se desplaza hacia la izquierda de 3. Y en efecto $\frac52 < 3$ .

6 · Comprobación

Numérica, evaluando a los lados:

$a$	$D^{2}$
$2$	$4$
$2{,}5$	$\mathbf{3{,}75}$
$3$	$4$

El de $2{,}5$ es el menor ✔ Y la simetría de los otros dos confirma que el vértice está justo en medio.

Por perpendicularidad, que es una vía completamente independiente. En el punto más cercano, el segmento $PA$ debe ser perpendicular a la curva.

Pendiente de la curva en $P$ : derivando $y = \sqrt{x+1}$ ,

y' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{1}{2\cdot\frac{\sqrt{14}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{14}}

Pendiente del segmento $PA$ :

\frac{0-\frac{\sqrt{14}}{2}}{3-\frac52} = \frac{-\frac{\sqrt{14}}{2}}{\frac12} = -\sqrt{14}

Y en efecto

\frac{1}{\sqrt{14}}\cdot\left(-\sqrt{14}\right) = -1 \quad\checkmark

El producto de las pendientes es $-1$ : son perpendiculares.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segunda evaluación · 2024-2025

Reconocer el camino

Los puntos de inflexión

Los extremos de f

Justificar el argumento

1 · Qué se lee en la figura

2 · Apartado (a): concavidad de hhh

3 · Apartado (b): la función f=(h′)2nf = \left(h'\right)^{2n}f=(h′)2n

4 · La tabla de signos

5 · Por qué nnn no influye

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La derivada primera

La derivada segunda

Justificar el argumento

1 · Comprobar que el punto está en la curva

2 · Por qué hay que derivar implícitamente

3 · Primera derivada

4 · Segunda derivada

5 · Apartado (a): el polinomio

6 · Apartado (b): la aproximación

7 · Comprobación

Reconocer el camino

El coeficiente cúbico

El término independiente

Justificar el argumento

1 · Contar antes de calcular

2 · La inflexión

3 · La cota del error

4 · La recta tangente

5 · Resultado

6 · Comprobación, condición por condición

Reconocer el camino

La abscisa óptima

La ordenada

Justificar el argumento

1 · Qué curva es

2 · Plantear

3 · Sustituir y optimizar

4 · Deshacer la ligadura

5 · Por qué el óptimo no está en a=3a=3a=3

6 · Comprobación

2 · Apartado (a): concavidad de $h$

3 · Apartado (b): la función $f = \left(h'\right)^{2n}$

5 · Por qué $n$ no influye

5 · Por qué el óptimo no está en $a=3$