tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2019-2020

mayo y junio de 2020 · 13 ejercicios · 130 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un arco capaz escondido detrás de un conjugadoNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:
$\arg\left(\frac{\overline{z}+3i}{\overline{z}-3i}\right)=-\frac{\pi}{4}$
El lugar geométrico, con su dibujo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cuál de las dos gráficas es la derivadaEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 4 + 5 = 10 pts
La figura muestra las gráficas de las funciones $y\left(x\right)$ e $y'\left(x\right)$ definidas en $\left(a,b\right)$ .

Las dos gráficas del enunciado, redibujadas. El intervalo (a,b) está marcado en grueso sobre el eje.

a) Identificar, razonadamente, qué gráfica corresponde a cada una de las funciones.

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos relativos de la función $h\left(x\right)=e^{-4x}\,y^{4}\left(x\right)$ .
Cuál es cuál, y el estudio completo de h.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El rectángulo más grande que cabe en una elipseEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 8 + 1 = 10 pts
Sea la curva $\dfrac{x^{2}}{400}+\dfrac{y^{2}}{225}=1$ . Se inscribe en la curva un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes. Calcular las dimensiones del rectángulo de forma que su área sea máxima.
Las dimensiones del rectángulo de área máxima.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La recta tangente sin calcular la integralIntegración2 + 6 + 2 = 10 pts
Sea la función $f\left(x\right)=3+\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1+\operatorname{sen}t} {2+t^{2}}\,dt$ definida $\forall x\in\mathbb{R}$ . Sin calcular la integral, hallar un polinomio de primer grado, $p\left(x\right)=a+b\,x$ , que satisfaga $p\left(0\right)=f\left(0\right)$ ; $p'\left(0\right)=f'\left(0\right)$ .
El polinomio de primer grado.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un perímetro con un arco de parábola dentroIntegración0 + 8 + 2 = 10 pts
Calcular el perímetro del recinto limitado por las condiciones $x\ge0,\;y\ge0,\;y=4-x^{2}$ .
El perímetro completo del recinto.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cono metido dentro de un paraboloideIntegral múltiple0 + 8 + 2 = 10 pts
Calcular el volumen del sólido definido por las condiciones siguientes:
$z\le 18-9x^{2}-3y^{2}; \qquad 9x^{2}+3y^{2}\le\left(z-6\right)^{2}, \qquad z\ge 6$
El volumen del sólido.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cambiar el orden y quedarse con una sola integralIntegral múltiple0 + 8 + 2 = 10 pts
Sea la integral
$\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x^{2}}dy\right)dx +\int_{1}^{3}\left(\int_{0}^{\frac{3-x}{2}}dy\right)dx$
a) Dibujar el dominio de integración.

b) Cambiar el orden de integración y resolver la integral con los nuevos límites.
El dibujo del dominio y la integral con el orden cambiado.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La curva donde el integrando vale siempre lo mismoIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular de dos formas distintas la integral de línea
$I=\oint_{L}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dx+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dy$
donde $L$ es la curva $x^{2}+y^{2}=4R^{2}$ .
El valor de la integral, por dos caminos.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos términos, y solo uno resuenaEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO $y''+9y=-18e^{3x}+3\cos 3x$
La solución general.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una epidemia en un pueblo de cien habitantesEcuaciones diferenciales1 + 7 + 2 = 10 pts
La tasa de crecimiento del número de personas infectadas por cierta enfermedad contagiosa es proporcional al producto de las personas contagiadas y de las no contagiadas. En un municipio con una población de 100 habitantes, inicialmente hay una persona contagiada y al día siguiente cuatro. ¿En qué momento se habrá contagiado el 90 % de la población?
El instante en que se alcanza el 90 % de contagiados.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación con una integral dentroTransformada de Laplace1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea
$\begin{cases} y'\left(t\right)+y\left(t\right) -2\displaystyle\int_{0}^{t}y\left(u\right)du=t\\[4pt] y\left(0\right)=0 \end{cases}$
Utilizando la transformada de Laplace calcular $y\left(t\right)$ .
La función y(t).
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un empujón que llega tarde, y en el peor momentoTransformada de Laplace1 + 7 + 2 = 10 pts
Utilizando la transformada de Laplace resolver la EDO
$\begin{cases} y''+y=f\left(t\right)\\ y\left(0\right)=y'\left(0\right)=1 \end{cases} \qquad\text{donde}\qquad f\left(t\right)= \begin{cases} 0 & t<2\\ \cos\left(t-2\right) & t\ge2 \end{cases}$
La solución y(t).
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una rampa ampliada de forma imparIntroducción al análisis de Fourier0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $f\left(t\right)$ la función definida en el intervalo $\left(0,\pi\right)$ que aparece en la figura.

El segmento del enunciado, redibujado: sube de π a 2π mientras t recorre (0,π). Los extremos van huecos porque el intervalo es abierto.

a) Obtener la ampliación impar y periódica de la función $f\left(t\right)$ .

b) Dibujar la función ampliada.

c) Calcular la serie de Fourier, $S\left(t\right)$ , de $f\left(t\right)$ .

d) Calcular los valores de $S\left(t\right)$ y $f\left(t\right)$ en los puntos $t=0$ y $t=\frac{\pi}{2}$ .

e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2n+1}$ .
La ampliación, su dibujo, la serie, los valores y la suma.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un arco capaz escondido detrás de un conjugado

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:

\arg\left(\frac{\overline{z}+3i}{\overline{z}-3i}\right)=-\frac{\pi}{4}

El lugar geométrico, con su dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tipo de lugar geométrico es $\arg\frac{w-a}{w-b}=\theta$ con $\theta$ constante?
02
El radio de la circunferencia
COMP2
¿Cuánto vale el radio de la circunferencia del lugar geométrico?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Los puntos por donde pasa
COMP2
¿En qué punto del eje imaginario positivo corta la circunferencia?
Tu respuesta al paso 3forma binómica, por ejemplo 3i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Racionalizando, $\frac{\overline{z}+3i}{\overline{z}-3i} =\frac{\left(x^{2}+y^{2}-9\right)+6xi} {\left|\overline{z}-3i\right|^{2}}$ , con $\overline{z}=x+iy$ .
2. Que el argumento valga $-\frac{\pi}{4}$ obliga a dos cosas: parte imaginaria igual a menos la parte real, y parte real positiva.
3. De $6x=-\left(x^{2}+y^{2}-9\right)$ sale $\left(x+3\right)^{2}+y^{2}=18$ , y la condición de signo se reduce a $x<0$ : es el arco mayor, sin los extremos.

Resolución completa

La idea antes de la cuenta. El argumento de un cociente es la diferencia de argumentos:

\arg\frac{w-a}{w-b}=\arg\left(w-a\right)-\arg\left(w-b\right)

y eso es el ángulo bajo el que se ve el segmento $ab$ desde $w$ . Fijarlo es la definición del arco capaz, y el arco capaz es un arco de circunferencia que pasa por $a$ y por $b$ . Con $a=-3i$ y $b=3i$ , ya se sabe la respuesta a medias antes de escribir nada: una circunferencia por $3i$ y $-3i$ , y de ella un arco.

La cuenta. Con $\overline{z}=x+iy$ , se racionaliza multiplicando por el conjugado del denominador:

\frac{x+i\left(y+3\right)}{x+i\left(y-3\right)} =\frac{\left[x+i\left(y+3\right)\right]\left[x-i\left(y-3\right)\right]} {x^{2}+\left(y-3\right)^{2}}

El numerador, desarrollado:

x^{2}+\left(y+3\right)\left(y-3\right) +i\,x\left[\left(y+3\right)-\left(y-3\right)\right] =\left(x^{2}+y^{2}-9\right)+6x\,i

Las dos condiciones que impone $-\frac{\pi}{4}$ , y hay que escribir las dos:

condición	qué dice
$\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1$	$6x=-\left(x^{2}+y^{2}-9\right)$
$-\frac{\pi}{4}$ está en el cuarto cuadrante	parte real $>0$

La primera da la circunferencia:

x^{2}+6x+y^{2}=9 \;\Longrightarrow\; \boxed{\;\left(x+3\right)^{2}+y^{2}=18\;}

centro $\left(-3,0\right)$ y radio $3\sqrt2$ . Y en $x=0$ se comprueba que pasa por $\pm3i$ , como tenía que ser.

La segunda selecciona el arco. Sobre la circunferencia, $x^{2}+y^{2}-9=-6x$ , así que

\text{parte real}>0 \;\Longleftrightarrow\; -6x>0 \;\Longleftrightarrow\; x<0

\boxed{\;\left(x+3\right)^{2}+y^{2}=18,\quad x<0\;}

El arco mayor, sin los extremos $\pm3i$ : en $3i$ el denominador se anula y en $-3i$ el numerador, y en los dos casos el argumento no existe.

La circunferencia pasa por 3i y por −3i, como tenía que pasar. Solo vale el arco de la izquierda: en el otro el argumento sale +3π/4 en vez de −π/4.

Y el conjugado, que es la trampa del enunciado. Todo lo anterior es el lugar de $\overline{z}$ . El de $z$ sería su simétrico respecto del eje real… pero tanto la circunferencia como la condición $x<0$ ya son simétricas respecto de ese eje. Así que el conjunto no cambia: la respuesta es la misma con $z$ o con $\overline{z}$ .

Decirlo es lo que separa un ejercicio bien hecho de uno bien resuelto. Y conviene decirlo con la razón, no solo con el resultado: la simetría existe porque los dos puntos $\pm3i$ son conjugados entre sí, y conjugar el plano los intercambia sin mover el par.

Comprobación con un punto. El más cómodo es el extremo izquierdo, $x=-3-3\sqrt2\approx-7{,}243$ , $y=0$ :

\frac{-7{,}243+3i}{-7{,}243-3i}

Numerador y denominador son conjugados, así que el cociente tiene módulo $1$ y argumento el doble del numerador: $2\left(\pi-0{,}3927\right)=5{,}498$ , que restando $2\pi$ da $-0{,}7854=-\frac{\pi}{4}$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · La figura está redibujada en SVG a partir del original · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuál de las dos gráficas es la derivada

COMP 11 punto por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra las gráficas de las funciones $y\left(x\right)$ e $y'\left(x\right)$ definidas en $\left(a,b\right)$ .

Las dos gráficas del enunciado, redibujadas. El intervalo (a,b) está marcado en grueso sobre el eje.

a) Identificar, razonadamente, qué gráfica corresponde a cada una de las funciones.

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos relativos de la función $h\left(x\right)=e^{-4x}\,y^{4}\left(x\right)$ .

Cuál es cuál, y el estudio completo de h.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la relación que permite decidir cuál de las dos gráficas es la derivada?
02
La derivada de h
COMP2
$h'$ se puede escribir como $4e^{-4x}\,y^{k}\left(y'-y\right)$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuántos extremos relativos tiene h
COMP2
¿Cuántos extremos relativos tiene $h$ en $\left(a,b\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La curva que pasa por el origen sube hasta un máximo y ahí, justo debajo, la otra curva corta al eje $X$ .
2. Como $y'$ se anula en los extremos de $y$ , la que corta al eje en ese punto es $y'$ , y la del máximo es $y$ .
3. Se confirma con los signos: esa misma curva es positiva a la izquierda de ese punto y negativa a la derecha, que es exactamente donde $y$ crece y donde decrece.

dónde se anula $h'$	cuántas veces en $\left(a,b\right)$
$y=0$	dos: en $x=0$ y en $q$
$y'=y$ , los cortes de las curvas	dos: en $c$ y en $d$

Resolución completa

a) Cuál es cuál. El criterio es uno solo, y se aplica en un punto:

$y'$ se anula exactamente donde $y$ tiene tangente horizontal.

En la figura hay un sitio donde eso se lee sin dudar: la curva que pasa por el origen alcanza su máximo, y justo debajo, en la misma abscisa, la otra curva corta al eje $X$ . Esa coincidencia solo puede significar una cosa:

\boxed{\;y\;\text{es la que pasa por el origen};\qquad y'\;\text{es la de la meseta}\;}

Y se confirma con los signos, que es la comprobación que hay que escribir:

tramo	la de la meseta	la del origen
de $a$ hasta el máximo	positiva	creciente ✓
del máximo hasta $b$	negativa	decreciente ✓

Y un detalle más, que suma: en el tramo donde la de la meseta es casi constante, la del origen es casi un segmento recto. Pendiente constante, derivada constante. Encaja.

Por qué la asignación contraria no puede ser. Si la de la meseta fuese $y$ , entonces $y$ sería decreciente en casi todo el intervalo, y su derivada —la del origen— tendría que ser negativa allí. Pero la del origen es positiva en toda la primera mitad. Contradicción.

Los cuatro puntos donde h′ se anula: los dos ceros de y, en verde, y los dos cortes entre las curvas, en rojo. El máximo de y y el mínimo de y′ no cuentan.

b) El estudio de $h$ . Lo primero, derivar, y sacar factor común sin miedo:

h\left(x\right)=e^{-4x}y^{4}\left(x\right)

h'=-4e^{-4x}y^{4}+e^{-4x}\cdot 4y^{3}y' =\boxed{\;4e^{-4x}y^{3}\left(y'-y\right)\;}

Y ahora lo bonito: $e^{-4x}>0$ siempre, así que el signo de $h'$ es el de $y^{3}\left(y'-y\right)$ , o lo que es lo mismo:

\operatorname{signo}\left(h'\right) =\operatorname{signo}\left(y\right)\cdot \operatorname{signo}\left(y'-y\right)

Dos preguntas que se contestan mirando el dibujo: ¿dónde está $y$ por encima del eje?, y ¿dónde está $y'$ por encima de $y$ ?

Llamando $c$ y $d$ a las dos abscisas donde las curvas se cortan, y $q$ al segundo cero de $y$ :

tramo	signo de $y$	signo de $y'-y$	$h'$	$h$
$\left(a,0\right)$	$-$	$+$	$-$	decrece
$\left(0,c\right)$	$+$	$+$	$+$	crece
$\left(c,q\right)$	$+$	$-$	$-$	decrece
$\left(q,d\right)$	$-$	$-$	$+$	crece
$\left(d,b\right)$	$-$	$+$	$-$	decrece

\boxed{\;\text{mínimo en }0,\quad\text{máximo en }c,\quad \text{mínimo en }q,\quad\text{máximo en }d\;}

Los dos mínimos valen cero, y son absolutos. Esto no lo pide el enunciado y es lo que más suma: como $h=e^{-4x}y^{4}$ y una cuarta potencia nunca es negativa,

h\left(x\right)\ge 0\quad\text{para todo }x, \qquad h\left(0\right)=h\left(q\right)=0

así que en los ceros de $y$ la función $h$ no solo tiene un mínimo relativo: toca su valor mínimo posible.

Y una advertencia sobre lo que NO son extremos. El máximo de $y$ y el mínimo de $y'$ saltan a la vista en el dibujo y no pintan nada aquí: en $h'=4e^{-4x}y^{3}\left(y'-y\right)$ solo aparecen $y$ e $y'-y$ . Que un punto sea llamativo en la figura no lo convierte en crítico para otra función.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El rectángulo más grande que cabe en una elipse

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la curva $\dfrac{x^{2}}{400}+\dfrac{y^{2}}{225}=1$ . Se inscribe en la curva un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes. Calcular las dimensiones del rectángulo de forma que su área sea máxima.

Las dimensiones del rectángulo de área máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué cambio de variable ahorra casi toda la cuenta?
02
La base del rectángulo
COMP2
¿Cuánto mide el lado horizontal del rectángulo de área máxima?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área máxima
COMP2
¿Cuánto vale el área máxima?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $x=20\cos t$ , $y=15\operatorname{sen}t$ y $t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , el área es $A=4xy=1200\cos t\operatorname{sen}t=600\operatorname{sen}2t$ .
2. $\operatorname{sen}2t$ vale como mucho $1$ , y lo alcanza en $2t=\frac{\pi}{2}$ , es decir $t=\frac{\pi}{4}$ .
3. Entonces $x=20\cos\frac{\pi}{4}=10\sqrt2$ e $y=15\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}=\frac{15\sqrt2}{2}$ , y los lados miden $20\sqrt2$ y $15\sqrt2$ .

Resolución completa

La elipse. $\frac{x^{2}}{400}+\frac{y^{2}}{225}=1$ tiene semiejes

a=\sqrt{400}=20, \qquad b=\sqrt{225}=15

Un rectángulo inscrito con los lados paralelos a los ejes tiene sus cuatro vértices en $\left(\pm x,\pm y\right)$ , así que sus lados miden $2x$ y $2y$ y su área es

A=4xy

El camino corto: parametrizar. Con

x=20\cos t, \qquad y=15\operatorname{sen}t, \qquad t\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)

la ecuación de la elipse se cumple sola —es $\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t=1$ — y el área queda

A\left(t\right)=4\cdot20\cos t\cdot15\operatorname{sen}t =1200\cos t\operatorname{sen}t =600\operatorname{sen}2t

Y aquí no hace falta derivar: el seno vale como mucho $1$ , y lo alcanza cuando $2t=\frac{\pi}{2}$ , o sea $t=\frac{\pi}{4}$ .

x=20\cos\tfrac{\pi}{4}=\frac{20}{\sqrt2}=10\sqrt2, \qquad y=15\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{4}=\frac{15}{\sqrt2}=\frac{15\sqrt2}{2}

\boxed{\;\text{lados }20\sqrt2\approx28{,}28 \;\text{ y }\;15\sqrt2\approx21{,}21, \qquad A=600\;}

El camino largo, por si en el examen no sale el cambio. Despejando $y=\frac{15}{20}\sqrt{400-x^{2}}$ y maximizando

A\left(x\right)=4x\cdot\frac{15}{20}\sqrt{400-x^{2}} =3x\sqrt{400-x^{2}}

Conviene maximizar $A^{2}=9x^{2}\left(400-x^{2}\right)$ , que evita la raíz:

\frac{d}{dx}\left(400x^{2}-x^{4}\right)=800x-4x^{3}=4x\left(200-x^{2}\right)=0 \;\Longrightarrow\; x=\sqrt{200}=10\sqrt2

El mismo punto. Y maximizar $A^{2}$ en vez de $A$ es legítimo porque $A>0$ y elevar al cuadrado conserva el orden entre positivos — es la clase de justificación que COMP 4 busca, aunque aquí solo valga un punto.

El resultado que merece un comentario. Los lados son $a\sqrt2$ y $b\sqrt2$ : el rectángulo máximo tiene la misma proporción que la elipse, $\frac{20}{15}=\frac43$ . Y su área es

A=2ab

figura	área
rectángulo circunscrito, de lados $2a$ y $2b$	$4ab=1200$
elipse	$\pi ab\approx942{,}5$
rectángulo inscrito máximo	$2ab=600$

El inscrito se queda con la mitad del circunscrito, y con el $\frac{2}{\pi}\approx63{,}7\,\%$ de la elipse. Los tres cocientes son los mismos que en la circunferencia, porque una elipse no es más que una circunferencia estirada y el estiramiento multiplica todas las áreas por lo mismo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La recta tangente sin calcular la integral

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f\left(x\right)=3+\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1+\operatorname{sen}t} {2+t^{2}}\,dt$ definida $\forall x\in\mathbb{R}$ . Sin calcular la integral, hallar un polinomio de primer grado, $p\left(x\right)=a+b\,x$ , que satisfaga $p\left(0\right)=f\left(0\right)$ ; $p'\left(0\right)=f'\left(0\right)$ .

El polinomio de primer grado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué permite derivar $f$ sin calcular la integral?
02
El término independiente
COMP2
¿Cuánto vale $f\left(0\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La pendiente
COMP2
¿Cuánto vale $f'\left(0\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El integrando $\frac{1+\operatorname{sen}t}{2+t^{2}}$ es continuo en todo $\mathbb{R}$ , porque el denominador no se anula nunca.
2. Entonces el teorema fundamental da $f'\left(x\right)=\frac{1+\operatorname{sen}x}{2+x^{2}}$ , sin necesidad de conocer ninguna primitiva.
3. Con $f\left(0\right)=3$ y $f'\left(0\right)=\frac12$ sale $p\left(x\right)=3+\frac{x}{2}$ , que es la recta tangente a $f$ en el origen.

Resolución completa

Lo que pide el enunciado, traducido. Un polinomio de primer grado que coincide con $f$ en valor y en derivada en $x=0$ es la recta tangente a la gráfica de $f$ en el origen, y también su polinomio de Taylor de orden $1$ . Tres nombres para lo mismo, y decirlo ya es parte de la respuesta.

El término independiente sale de mirar los límites. En $x=0$ la integral va de $0$ a $0$ :

f\left(0\right)=3+\int_{0}^{0} \frac{1+\operatorname{sen}t}{2+t^{2}}\,dt=3+0=3

La pendiente sale del teorema fundamental, que es lo que el «sin calcular la integral» está pidiendo a gritos. El integrando

g\left(t\right)=\frac{1+\operatorname{sen}t}{2+t^{2}}

es continuo en todo $\mathbb{R}$ —el denominador $2+t^{2}\ge2$ no se anula nunca—, así que

f'\left(x\right)=g\left(x\right)=\frac{1+\operatorname{sen}x}{2+x^{2}}

f'\left(0\right)=\frac{1+\operatorname{sen}0}{2+0}=\frac12

El polinomio:

p\left(0\right)=a=3, \qquad p'\left(0\right)=b=\tfrac12

\boxed{\;p\left(x\right)=3+\frac{x}{2}\;}

La hipótesis que hay que nombrar. El teorema fundamental no se aplica porque sí: exige que el integrando sea continuo. Aquí lo es, y conviene escribir por qué — $2+t^{2}$ no se anula—, porque es la única línea de COMP 4 que este ejercicio ofrece.

Cómo de buena es la aproximación, medido:

$x$	$f\left(x\right)$	$p\left(x\right)$	error
$0{,}05$	$3{,}025614$	$3{,}025$	$0{,}00061$
$0{,}1$	$3{,}052409$	$3{,}05$	$0{,}00241$
$0{,}2$	$3{,}109210$	$3{,}1$	$0{,}00921$
$0{,}4$	$3{,}232886$	$3{,}2$	$0{,}03289$

El error se multiplica por cuatro cada vez que $x$ se dobla: va con $x^{2}$ , como corresponde al resto de Taylor de orden uno. Eso es lo que distingue la tangente de cualquier otra recta que pase por $\left(0,3\right)$ .

Y una comprobación que no cuesta nada. $f$ es creciente en todo $\mathbb{R}$ , porque $f'=\frac{1+\operatorname{sen}x}{2+x^{2}}\ge0$ —el numerador nunca es negativo—. Así que la recta $3+\frac{x}{2}$ tiene la pendiente positiva que le corresponde.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un perímetro con un arco de parábola dentro

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el perímetro del recinto limitado por las condiciones $x\ge0,\;y\ge0,\;y=4-x^{2}$ .

El perímetro completo del recinto.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De cuántos trozos se compone el borde del recinto?
02
Los dos lados rectos
COMP2
¿Cuánto suman los dos tramos rectos del borde?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El arco de parábola
COMP2
¿Cuánto mide el arco de parábola?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La parábola corta a los ejes en $\left(2,0\right)$ y $\left(0,4\right)$ , así que el recinto es el trozo del primer cuadrante que queda por debajo de ella.
2. Los dos lados rectos suman $2+4=6$ .
3. El arco es $\int_{0}^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\,dx =\sqrt{17}+\frac14\ln\left(4+\sqrt{17}\right)\approx4{,}6468$ .

Resolución completa

El recinto, antes que nada. Las tres condiciones dibujan el trozo del primer cuadrante que queda por debajo de la parábola:

y=0\;\Longrightarrow\;x=2, \qquad x=0\;\Longrightarrow\;y=4

El borde tiene tres trozos y hay que sumar los tres. El arco queda entre la cuerda —2√5 ≈ 4,47— y la suma de los dos catetos, que es 6.

Un cuarto de «campana» con dos lados rectos y un arco. El perímetro son los tres, y este es el ejercicio donde más gente entrega solo el arco.

Los lados rectos, que no necesitan integral:

lado	de	a	mide
eje $X$	$\left(0,0\right)$	$\left(2,0\right)$	$2$
eje $Y$	$\left(0,0\right)$	$\left(0,4\right)$	$4$

El arco. Con $y=4-x^{2}$ y $y'=-2x$ :

L=\int_{0}^{2}\sqrt{1+\left(y'\right)^{2}}\,dx =\int_{0}^{2}\sqrt{1+4x^{2}}\;dx

La primitiva de $\sqrt{1+u^{2}}$ conviene tenerla de memoria, porque en el examen no hay calculadora ni formulario:

\int\sqrt{1+u^{2}}\,du =\frac{u\sqrt{1+u^{2}}}{2}+\frac12\ln\left(u+\sqrt{1+u^{2}}\right)+C

Con $u=2x$ , $du=2dx$ :

L=\frac12\int_{0}^{4}\sqrt{1+u^{2}}\,du =\frac12\left[\frac{u\sqrt{1+u^{2}}}{2} +\frac12\ln\left(u+\sqrt{1+u^{2}}\right)\right]_{0}^{4}

=\frac12\left[\frac{4\sqrt{17}}{2} +\frac12\ln\left(4+\sqrt{17}\right)\right] =\sqrt{17}+\frac14\ln\left(4+\sqrt{17}\right)

\approx4{,}1231+0{,}5237=4{,}6468

El perímetro:

\boxed{\;P=6+\sqrt{17}+\frac14\ln\left(4+\sqrt{17}\right) \approx10{,}6468\;}

La comprobación que hay que hacer siempre con un arco. El arco tiene que ser mayor que la cuerda y menor que la suma de los catetos:

\underbrace{\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt5\approx4{,}472}_{\text{cuerda}} \;<\; \underbrace{4{,}647}_{\text{arco}} \;<\; \underbrace{2+4=6}_{\text{los dos catetos}}

Encaja, y con poco margen por abajo: la parábola se separa poco de su cuerda.

Por qué la longitud de arco casi nunca sale «bonita». El integrando $\sqrt{1+4x^{2}}$ lleva una raíz de un polinomio de grado dos, y esas primitivas traen siempre un logaritmo o un arco hiperbólico. Que aparezca $\ln\left(4+\sqrt{17}\right)$ no es señal de haberse equivocado: es lo normal. La longitud de una parábola es un caso de los pocos que se pueden escribir en forma cerrada — la de una elipse, sin ir más lejos, no se puede.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cono metido dentro de un paraboloide

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el volumen del sólido definido por las condiciones siguientes:

z\le 18-9x^{2}-3y^{2}; \qquad 9x^{2}+3y^{2}\le\left(z-6\right)^{2}, \qquad z\ge 6

El volumen del sólido.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué cambio de variable convierte las dos superficies en superficies de revolución?
02
Dónde se cortan las dos superficies
COMP2
¿A qué altura $z$ se cortan el cono y el paraboloide?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del sólido?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $u=3x$ , $v=\sqrt3\,y$ y $r^{2}=u^{2}+v^{2}$ , las condiciones quedan $z\le18-r^{2}$ y $r\le z-6$ , y $dx\,dy=\frac{du\,dv}{3\sqrt3}$ .
2. Las dos superficies se cortan donde $6+r=18-r^{2}$ , es decir en $r=3$ , $z=9$ .
3. Entonces $V=\frac{2\pi}{3\sqrt3}\int_{0}^{3}\left(12-r-r^{2}\right)r\,dr =\frac{11\pi\sqrt3}{2}$ .

Resolución completa

Las tres condiciones, traducidas.

condición	qué superficie es
$z\le18-9x^{2}-3y^{2}$	por debajo de un paraboloide elíptico con la cima en $\left(0,0,18\right)$
$9x^{2}+3y^{2}\le\left(z-6\right)^{2}$	dentro de un cono de vértice $\left(0,0,6\right)$
$z\ge6$	la hoja de arriba del cono, no la de abajo

El cambio que lo pone todo en revolución. Las dos primeras condiciones usan la misma combinación $9x^{2}+3y^{2}$ , así que un solo cambio las arregla las dos:

u=3x,\qquad v=\sqrt3\,y \;\Longrightarrow\; 9x^{2}+3y^{2}=u^{2}+v^{2}=r^{2}

dx\,dy=\frac{du\,dv}{3\sqrt3}

Y en las nuevas variables:

\text{cono: } z=6+r, \qquad \text{paraboloide: } z=18-r^{2}

Dónde se cortan:

6+r=18-r^{2} \;\Longrightarrow\; r^{2}+r-12=0 \;\Longrightarrow\; r=3 \quad\left(\text{la otra raíz, }-4,\text{ no vale}\right)

z=6+3=9

El corte por el eje, en las coordenadas estiradas u = 3x, v = √3y. El cono sube en punta desde z = 6 y la parábola baja desde z = 18; se cruzan en z = 9.

El volumen. Para cada $r$ entre $0$ y $3$ , la altura del sólido va del cono al paraboloide:

V=\frac{1}{3\sqrt3}\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{3} \left[\left(18-r^{2}\right)-\left(6+r\right)\right]r\,dr\,d\theta =\frac{2\pi}{3\sqrt3}\int_{0}^{3}\left(12-r-r^{2}\right)r\,dr

\int_{0}^{3}\left(12r-r^{2}-r^{3}\right)dr =\left[6r^{2}-\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{3} =54-9-\frac{81}{4}=\frac{99}{4}

\boxed{\;V=\frac{2\pi}{3\sqrt3}\cdot\frac{99}{4} =\frac{33\pi}{2\sqrt3}=\frac{11\pi\sqrt3}{2}\approx29{,}93\;}

La comprobación, por rebanadas horizontales. Es un camino distinto y conviene hacerlo, porque el jacobiano es el sitio donde más se falla. Para cada altura $z$ , el radio de la sección en las variables $u,v$ es

r\left(z\right)=\min\left\{z-6,\;\sqrt{18-z}\right\}

—el cono manda abajo y el paraboloide arriba, y se cambian el turno en $z=9$ —:

\frac{1}{3\sqrt3}\left[\int_{6}^{9}\pi\left(z-6\right)^{2}dz +\int_{9}^{18}\pi\left(18-z\right)dz\right] =\frac{9\pi+40{,}5\pi}{3\sqrt3} =\frac{49{,}5\pi}{3\sqrt3}

que es el mismo número, $29{,}9277$ ✓. Y ojo al límite superior: $z$ llega hasta $18$ , no hasta $9$ . Por encima del corte el sólido sigue, ya solo limitado por el paraboloide, y estrechándose hasta la punta.

La condición que parece de adorno y no lo es. $z\ge6$ selecciona la hoja superior del cono. Sin ella, $9x^{2}+3y^{2}\le\left(z-6\right)^{2}$ se cumpliría también con $z<6$ —el cuadrado no distingue signos— y el sólido incluiría un segundo cono hacia abajo, infinito. Nombrarlo vale la mitad de los puntos de COMP 4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cambiar el orden y quedarse con una sola integral

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la integral

\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x^{2}}dy\right)dx +\int_{1}^{3}\left(\int_{0}^{\frac{3-x}{2}}dy\right)dx

a) Dibujar el dominio de integración.

b) Cambiar el orden de integración y resolver la integral con los nuevos límites.

El dibujo del dominio y la integral con el orden cambiado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado trae dos integrales en vez de una?
02
Dónde se enganchan las dos tapas
COMP2
¿Cuánto valen la parábola y la recta en $x=1$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de la integral
COMP2
¿Cuánto vale la integral?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En el dominio, $y$ va de $0$ a $1$ : el punto más alto es $\left(1,1\right)$ , donde la parábola y la recta se encuentran.
2. Para cada $y$ , la frontera izquierda es la parábola $x=\sqrt y$ y la derecha la recta $x=3-2y$ .
3. Así que la integral pasa a ser $\int_{0}^{1}\left(3-2y-\sqrt y\right)dy =3-1-\frac23=\frac43$ .

Resolución completa

a) El dominio. Se lee directamente de los límites: para cada $x$ , la variable $y$ va desde $0$ hasta una tapa que cambia en $x=1$ .

tramo	tapa de arriba
$0\le x\le1$	la parábola $y=x^{2}$
$1\le x\le3$	la recta $y=\frac{3-x}{2}$

Y en $x=1$ las dos valen $1$ , así que empalman sin dejar hueco:

x^{2}\Big|_{1}=1, \qquad \frac{3-x}{2}\Big|_{1}=1

Integrando en vertical hacen falta dos integrales, porque la tapa cambia en x = 1. En horizontal, la izquierda es siempre la parábola y la derecha siempre la recta.

Por qué vienen dos integrales. Porque en ese sentido la frontera de arriba tiene dos fórmulas, y una integral solo admite una. La región es una sola, pero hay que partirla.

b) Cambiando el orden. Ahora se barre en horizontal, y aquí está la ganancia: para cada $y$ entre $0$ y $1$ , la frontera izquierda es siempre la parábola y la derecha siempre la recta.

y=x^{2}\;\Longrightarrow\;x=\sqrt y, \qquad y=\frac{3-x}{2}\;\Longrightarrow\;x=3-2y

\int_{0}^{1}\left(\int_{\sqrt y}^{\,3-2y}dx\right)dy =\int_{0}^{1}\left(3-2y-\sqrt y\right)dy

Una sola integral en vez de dos. Y sale sin esfuerzo:

\left[3y-y^{2}-\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_{0}^{1} =3-1-\frac23 =\boxed{\;\frac43\;}

La comprobación, que aquí es obligada porque el ejercicio la regala: la integral original, tal como viene,

\int_{0}^{1}x^{2}dx+\int_{1}^{3}\frac{3-x}{2}dx =\frac13+1=\frac43\;\checkmark

Los dos caminos coinciden, que es lo que Fubini promete: si la función es integrable en el recinto, el orden no cambia el número. Cuando no coinciden, el fallo está en los límites nuevos, casi siempre por olvidar que la $y$ solo llega hasta $1$ .

Y una lectura del resultado. El integrando es $1$ , así que lo que se ha calculado es el área de la región: $\frac43$ unidades cuadradas. Se puede comprobar por geometría elemental sin ninguna integral, partiendo por la vertical $x=1$ :

trozo	qué es	área
$0\le x\le1$	bajo la parábola	$\frac13$
$1\le x\le3$	triángulo de base $2$ y altura $1$	$1$

Total $\frac43$ ✓. Que un problema de integrales dobles se pueda cerrar con el área de un triángulo es la mejor señal de que los límites están bien.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La curva donde el integrando vale siempre lo mismo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular de dos formas distintas la integral de línea

I=\oint_{L}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dx+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dy

donde $L$ es la curva $x^{2}+y^{2}=4R^{2}$ .

El valor de la integral, por dos caminos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tiene de especial el integrando sobre esta curva concreta?
02
El valor del integrando sobre la curva
COMP2
Tomando $R=3$ , ¿cuánto vale $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ en cualquier punto de $L$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El resultado
COMP2
¿Cuánto vale $I$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el segundo camino, el de Green. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $P=Q=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , las derivadas cruzadas son $Q_{x}=\frac{x}{r}$ y $P_{y}=\frac{y}{r}$ , con $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .
2. Green da entonces $I=\iint_{D}\frac{x-y}{r}\,dA$ , sobre el disco de radio $2R$ .
3. En polares eso es $\int_{0}^{2R}\!\!\int_{0}^{2\pi} r\left(\cos\theta-\operatorname{sen}\theta\right)\,d\theta\,dr$ , y la integral en $\theta$ de una vuelta entera vale cero.

Resolución completa

Lo primero, y es medio ejercicio: mirar la curva. El integrando es

\sqrt{x^{2}+y^{2}}

que es la distancia al origen. Y la curva es la circunferencia $x^{2}+y^{2}=4R^{2}$ , centrada en el origen y de radio $2R$ . Así que sobre $L$ , y solo sobre $L$ ,

\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2R=\text{constante}

Primera forma · parametrizando. Sacando la constante fuera:

I=2R\oint_{L}\left(dx+dy\right)

Con $x=2R\cos t$ , $y=2R\operatorname{sen}t$ y $t$ de $0$ a $2\pi$ :

I=2R\int_{0}^{2\pi} \left(-2R\operatorname{sen}t+2R\cos t\right)dt =4R^{2}\Big[\cos t+\operatorname{sen}t\Big]_{0}^{2\pi} =4R^{2}\left(1-1\right)=\boxed{\;0\;}

Y hay una versión todavía más corta, que conviene saber decir: $dx+dy$ es la diferencial exacta de $x+y$ , y sobre una curva cerrada una diferencial exacta integra cero, porque el punto final es el de partida.

Segunda forma · por Green. Con $P=Q=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r$ :

\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{x}{r}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y}{r} \;\Longrightarrow\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{x-y}{r}

I=\iint_{D}\frac{x-y}{r}\,dA

En polares, $dA=r\,dr\,d\theta$ y $\frac{x-y}{r}=\cos\theta-\operatorname{sen}\theta$ :

I=\int_{0}^{2R}\!\!\int_{0}^{2\pi} \left(\cos\theta-\operatorname{sen}\theta\right)r\,d\theta\,dr =\left(\int_{0}^{2R}r\,dr\right) \underbrace{\int_{0}^{2\pi}\left(\cos\theta-\operatorname{sen}\theta\right)d\theta} _{=\,0} =0

Los dos caminos dan $0$ , que es lo que el enunciado quería ver.

Pero cero por dos motivos distintos, y decirlo es lo que vale COMP 4. Por el primer camino sale cero porque el integrando es constante y la curva cerrada. Por el segundo sale cero porque el rotacional, que no es nulo, se cancela al integrarlo: $\frac{x-y}{r}$ es positivo por debajo de la recta $y=x$ y negativo por encima, y el disco es simétrico respecto de esa recta.

\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{x-y}{r}\neq0 \quad\text{salvo en }y=x

Así que el campo no es conservativo. Que su circulación sobre esta circunferencia concreta sea cero no dice nada sobre otras curvas: sobre una circunferencia descentrada, sin ir más lejos, la simetría se rompe y el resultado no es cero.

La letra pequeña de Green. $P$ y $Q$ son continuas en todo el plano pero no son derivables en el origen, que está dentro del recinto. Las derivadas parciales están acotadas — $\left|\frac{x}{r}\right|\le1$ — y la integral doble converge sin problema, así que el resultado es correcto; pero la aplicación estricta del teorema pide recortar un disco pequeño alrededor del origen y hacer tender su radio a cero. Nombrarlo es la diferencia entre aplicar Green y saber cuándo se puede aplicar.

Y una comprobación que no cuesta nada: el resultado no depende de $R$ . Tiene sentido — la integral vale cero para cualquier circunferencia centrada en el origen, sea cual sea su tamaño.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos términos, y solo uno resuena

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $y''+9y=-18e^{3x}+3\cos 3x$

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué los dos términos del segundo miembro se tratan distinto?
02
La parte exponencial
COMP2
En $y_{p}=Ae^{3x}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La parte resonante
COMP2
En $y_{p}=x\left(B\cos3x+C\operatorname{sen}3x\right)$ , ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica $r^{2}+9=0$ da $r=\pm3i$ , así que $y_{h}=C_{1}\cos3x+C_{2}\operatorname{sen}3x$ .
2. Para $-18e^{3x}$ se prueba $Ae^{3x}$ , que no resuena, y sale $A=-1$ .
3. Para $3\cos3x$ sí hay resonancia, y hay que probar $x\left(B\cos3x+C\operatorname{sen}3x\right)$ : sale $B=0$ , $C=\frac12$ .

Resolución completa

La homogénea. $r^{2}+9=0$ da $r=\pm3i$ , raíces imaginarias puras:

y_{h}=C_{1}\cos3x+C_{2}\operatorname{sen}3x

Y con eso ya está dicho lo importante del ejercicio: la frecuencia propia del sistema es $3$ . Ahora se mira el segundo miembro con esa información en la mano.

término	¿resuena?	por qué
$-18e^{3x}$	no	$3$ no es raíz; las raíces son $\pm3i$
$3\cos3x$	sí	tiene frecuencia $3$ , la misma que la homogénea

El $3$ del exponente y el $3$ del coseno son el mismo número y no significan lo mismo. Esa es la trampa que el examen ha puesto a propósito.

La particular de la exponencial. Se prueba $y=Ae^{3x}$ :

y''+9y=9Ae^{3x}+9Ae^{3x}=18Ae^{3x}=-18e^{3x} \;\Longrightarrow\; A=-1

y_{p_{1}}=-e^{3x}

La particular del coseno, con resonancia. Como $\cos3x$ ya es solución de la homogénea, la prueba estándar fallaría —daría $0=3\cos3x$ —, y hay que multiplicar por $x$ :

y_{p_{2}}=x\left(B\cos3x+C\operatorname{sen}3x\right)

Derivando dos veces y sustituyendo salen $B=0$ y $C=\frac12$ . En vez de la cuenta larga, conviene recordar el caso general:

y''+\omega^{2}y=a\cos\omega x \;\Longrightarrow\; y_{p}=\frac{a}{2\omega}\,x\operatorname{sen}\omega x

Con $a=3$ y $\omega=3$ : $\frac{3}{6}=\frac12$ .

y_{p_{2}}=\frac{x}{2}\operatorname{sen}3x

La comprobación, que es corta y evita el error de signo más común:

y=\tfrac{x}{2}\operatorname{sen}3x \;\Longrightarrow\; y''=3\cos3x-\tfrac{9x}{2}\operatorname{sen}3x

y''+9y=3\cos3x-\tfrac{9x}{2}\operatorname{sen}3x +\tfrac{9x}{2}\operatorname{sen}3x=3\cos3x\;\checkmark

La solución general, por el principio de superposición:

\boxed{\;y=C_{1}\cos3x+C_{2}\operatorname{sen}3x -e^{3x}+\frac{x}{2}\operatorname{sen}3x\;}

Qué significa el término resonante. El factor $x$ delante del seno hace que esa parte de la solución crezca sin límite, aunque la fuerza $3\cos3x$ esté acotada entre $-3$ y $3$ . Es el fenómeno de resonancia: si se empuja un columpio justo a su ritmo, la amplitud crece sin parar. En un puente o en una estructura eso es un problema de ingeniería, no una curiosidad matemática.

Aunque aquí, dicho sea de paso, el término $-e^{3x}$ crece mucho más deprisa todavía y acaba tapándolo: para $x$ grande, la solución está dominada por la exponencial.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una epidemia en un pueblo de cien habitantes

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La tasa de crecimiento del número de personas infectadas por cierta enfermedad contagiosa es proporcional al producto de las personas contagiadas y de las no contagiadas. En un municipio con una población de 100 habitantes, inicialmente hay una persona contagiada y al día siguiente cuatro. ¿En qué momento se habrá contagiado el 90 % de la población?

El instante en que se alcanza el 90 % de contagiados.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué ecuación describe el enunciado?
02
La constante
COMP2
¿Cuánto vale $100k$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El instante buscado
COMP2
¿Cuántos días tardan en contagiarse el 90 % de los habitantes?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Separando variables, $\frac{dP}{P\left(100-P\right)}=k\,dt$ , y descomponiendo en fracciones simples sale $\frac{1}{100}\ln\frac{P}{100-P}=kt+C$ .
2. Despejando, $P=\frac{100}{1+Ae^{-100kt}}$ , y $P\left(0\right)=1$ da $A=99$ .
3. $P\left(1\right)=4$ da $e^{-100k}=\frac{8}{33}$ , y entonces $P=90$ ocurre en $t=\frac{\ln 891}{\ln\left(33/8\right)} \approx4{,}79$ días.

Resolución completa

El modelo, palabra por palabra. «La tasa de crecimiento es proporcional al producto de las contagiadas y de las no contagiadas»:

\frac{dP}{dt}=k\,P\left(100-P\right)

Es la ecuación logística, y la lógica es transparente: el contagio necesita un enfermo y un sano, así que la velocidad es proporcional al número de encuentros posibles entre unos y otros.

Resolviéndola por variables separadas:

\frac{dP}{P\left(100-P\right)}=k\,dt

La fracción se descompone —y el truco es que las dos partes suman $100$ —:

\frac{1}{P\left(100-P\right)} =\frac{1}{100}\left(\frac1P+\frac{1}{100-P}\right)

\frac{1}{100}\ln\frac{P}{100-P}=kt+C \;\Longrightarrow\; \frac{P}{100-P}=D\,e^{100kt}

P\left(t\right)=\frac{100}{1+Ae^{-100kt}}

Las dos constantes salen de los dos datos:

dato	ecuación	resultado
$P\left(0\right)=1$	$\frac{100}{1+A}=1$	$A=99$
$P\left(1\right)=4$	$1+99e^{-100k}=25$	$e^{-100k}=\frac{24}{99}=\frac{8}{33}$

100k=\ln\frac{33}{8}\approx1{,}41707

P\left(t\right)=\frac{100}{1+99\left(\frac{8}{33}\right)^{t}}

El 90 %:

\frac{100}{1+99e^{-100kt}}=90 \;\Longrightarrow\; 99e^{-100kt}=\frac{10}{9}-1=\frac19 \;\Longrightarrow\; e^{-100kt}=\frac{1}{891}

\boxed{\;t=\frac{\ln 891}{\ln\left(33/8\right)} =\frac{6{,}7923}{1{,}4171}\approx4{,}79\text{ días}\;}

Es decir, durante el quinto día.

La comprobación, que es inmediata:

$t$	$P\left(t\right)$
$0$	$1$ ✓
$1$	$4$ ✓
$4{,}79$	$90$ ✓

Por qué la respuesta parece sorprendentemente rápida. De $1$ a $4$ en un día, y de $4$ a $90$ en menos de cuatro más. La razón es que la logística tiene su punto de inflexión en la mitad de la población:

P=50 \;\Longrightarrow\; P'=k\cdot50\cdot50=\frac{100^{2}k}{4}

que es la velocidad máxima. Antes de $50$ la epidemia acelera; después frena. Los primeros contagios son lentos porque hay pocos enfermos que contagien; los últimos, porque quedan pocos sanos a los que contagiar. Todo el trabajo se hace en el medio, y por eso el tramo de $4$ a $90$ se despacha tan rápido.

Y el detalle que hay que decir: $P$ nunca llega a $100$ . La asíntota se acerca pero no se toca. Preguntar por el $90\,\%$ y no por «cuándo se contagian todos» no es casualidad del enunciado: la segunda pregunta no tendría respuesta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 6 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación con una integral dentro

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea

\begin{cases} y'\left(t\right)+y\left(t\right) -2\displaystyle\int_{0}^{t}y\left(u\right)du=t\\[4pt] y\left(0\right)=0 \end{cases}

Utilizando la transformada de Laplace calcular $y\left(t\right)$ .

La función y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué Laplace va tan bien en esta ecuación?
02
El polinomio del denominador
COMP2
Al despejar, $Y\left(s\right)=\frac{1}{s\left(s^{2}+s-2\right)}$ . ¿Cuál es la raíz positiva de $s^{2}+s-2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en t = 1
COMP2
¿Cuánto vale $y\left(1\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando: $sY-y\left(0\right)+Y-\frac{2Y}{s}=\frac{1}{s^{2}}$ , y con $y\left(0\right)=0$ queda $Y\cdot\frac{s^{2}+s-2}{s} =\frac{1}{s^{2}}$ .
2. Entonces $Y=\frac{1}{s\left(s+2\right)\left(s-1\right)}$ , con tres polos simples.
3. Descomponiendo, $Y=-\frac{1}{2s}+\frac{1}{6\left(s+2\right)} +\frac{1}{3\left(s-1\right)}$ , y antitransformando $y=-\frac12+\frac16e^{-2t}+\frac13e^{t}$ .

Resolución completa

Por qué esta ecuación es un buen anuncio de Laplace. Mezcla una derivada y una integral de la propia incógnita. En el dominio del tiempo eso es incómodo; en el de $s$ , las dos se vuelven operaciones aritméticas:

operación en $t$	en $s$
$y'\left(t\right)$	$sY-y\left(0\right)$
$\displaystyle\int_{0}^{t}y\left(u\right)du$	$\dfrac{Y}{s}$

Derivar multiplica por $s$ e integrar divide entre $s$ : es la misma regla leída en los dos sentidos, y conviene decirlo así porque evita el error de confundirlas.

Transformando la ecuación entera, con $\mathcal{L}\left\{t\right\} =\frac{1}{s^{2}}$ y $y\left(0\right)=0$ :

sY+Y-\frac{2Y}{s}=\frac{1}{s^{2}} \;\Longrightarrow\; Y\cdot\frac{s^{2}+s-2}{s}=\frac{1}{s^{2}}

Y\left(s\right)=\frac{1}{s\left(s^{2}+s-2\right)} =\frac{1}{s\left(s+2\right)\left(s-1\right)}

Tres polos simples, así que la descomposición es la más cómoda posible. Con el atajo de evaluar en cada raíz:

se hace	queda
$s=0$	$\frac{1}{2\cdot\left(-1\right)}=-\frac12$
$s=-2$	$\frac{1}{\left(-2\right)\left(-3\right)}=\frac16$
$s=1$	$\frac{1}{1\cdot3}=\frac13$

Y=-\frac{1}{2s}+\frac{1}{6\left(s+2\right)}+\frac{1}{3\left(s-1\right)}

\boxed{\;y\left(t\right)=-\frac12+\frac16e^{-2t}+\frac13e^{t}\;}

Las comprobaciones, y aquí hay dos que salen gratis:

y\left(0\right)=-\frac12+\frac16+\frac13=0\;\checkmark

y'\left(0\right)=-\frac13+\frac13=0

y esa segunda tiene que ser cero: poniendo $t=0$ en la ecuación original, la integral se anula y $y\left(0\right)$ también, así que $y'\left(0\right)=0$ ✓.

El segundo camino, por si en el examen se atasca la antitransformada. Derivando la ecuación original —y usando el teorema fundamental para la integral—:

y''+y'-2y=1

con $y\left(0\right)=0$ e $y'\left(0\right)=0$ . La característica $r^{2}+r-2=0$ da $r=1$ y $r=-2$ ; la particular constante es $-\frac12$ ; y las condiciones iniciales fijan los coeficientes a $\frac13$ y $\frac16$ . La misma solución, sin Laplace.

Merece la pena verlo porque explica de dónde salían los polos: los $r$ de la característica son exactamente los polos de $Y\left(s\right)$ , y el polo en $s=0$ es el término constante que aporta el segundo miembro.

Cómo se comporta. Para $t$ grande manda $\frac13e^{t}$ : la solución se dispara. Tiene sentido, porque la integral acumulada realimenta la ecuación con signo positivo —el $-2\int$ pasa al otro lado como $+2\int$ — y eso es inestabilidad. Con un $+2\int$ en la ecuación, las raíces serían complejas y la solución oscilaría.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 7 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un empujón que llega tarde, y en el peor momento

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace resolver la EDO

\begin{cases} y''+y=f\left(t\right)\\ y\left(0\right)=y'\left(0\right)=1 \end{cases} \qquad\text{donde}\qquad f\left(t\right)= \begin{cases} 0 & t<2\\ \cos\left(t-2\right) & t\ge2 \end{cases}

La solución y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se escribe $f$ para poder transformarla?
02
La transformada del segundo miembro
COMP2
En $\mathcal{L}\left\{f\right\}=e^{-as}\frac{s}{s^{2}+1}$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La antitransformada del término nuevo
COMP2
$\mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right\}$ es $\frac{t}{2}\operatorname{sen}t$ . ¿Cuánto vale en $t=\frac{\pi}{2}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando con $y\left(0\right)=y'\left(0\right)=1$ : $s^{2}Y-s-1+Y=e^{-2s}\frac{s}{s^{2}+1}$ .
2. Despejando, $Y=\frac{s+1}{s^{2}+1} +e^{-2s}\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}$ .
3. Antitransformando término a término, $y=\cos t+\operatorname{sen}t +u_{2}\left(t\right)\frac{t-2}{2}\operatorname{sen} \left(t-2\right)$ .

Resolución completa

La fuerza, escrita como toca. $f$ está definida a trozos y eso no se transforma directamente. Con la función escalón unidad,

f\left(t\right)=u_{2}\left(t\right)\cos\left(t-2\right)

Y aquí hay una suerte que conviene notar: el argumento del coseno ya viene desplazado el mismo $2$ que el escalón, que es exactamente la forma $u_{a}\left(t\right)g\left(t-a\right)$ que pide el segundo teorema de traslación:

\mathcal{L}\left\{u_{a}\left(t\right)g\left(t-a\right)\right\} =e^{-as}G\left(s\right) \;\Longrightarrow\; \mathcal{L}\left\{f\right\}=e^{-2s}\cdot\frac{s}{s^{2}+1}

Transformando la ecuación, con $y\left(0\right)=y'\left(0\right)=1$ :

\left(s^{2}Y-s\cdot1-1\right)+Y=e^{-2s}\frac{s}{s^{2}+1}

Y\left(s\right)=\underbrace{\frac{s+1}{s^{2}+1}}_{\text{lo que ya traía}} +\underbrace{e^{-2s}\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}} _{\text{lo que aporta la fuerza}}

La primera parte es de tabla:

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+1}\right\} =\cos t+\operatorname{sen}t

La segunda tiene el denominador al cuadrado, y ese cuadrado es la señal de que va a aparecer un factor $t$ . Con $\mathcal{L}\left\{t\,g\right\}=-G'\left(s\right)$ y $G=\frac{1}{s^{2}+1}$ :

-G'\left(s\right)=\frac{2s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}} \;\Longrightarrow\; \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right\} =\frac{t}{2}\operatorname{sen}t

Y el $e^{-2s}$ de delante retrasa esa respuesta hasta $t=2$ :

\boxed{\;y\left(t\right)=\cos t+\operatorname{sen}t +u_{2}\left(t\right)\,\frac{t-2}{2}\, \operatorname{sen}\left(t-2\right)\;}

es decir

y\left(t\right)= \begin{cases} \cos t+\operatorname{sen}t & t<2\\[4pt] \cos t+\operatorname{sen}t +\dfrac{t-2}{2}\operatorname{sen}\left(t-2\right) & t\ge2 \end{cases}

Las comprobaciones:

qué	cuenta
$y\left(0\right)$	$1+0=1$ ✓
$y'\left(0\right)$	$-0+1=1$ ✓
continuidad en $t=2$	el término nuevo vale $0$ y su derivada también, así que $y$ e $y'$ empalman ✓

Y lo que de verdad cuenta este ejercicio. El sistema $y''+y$ tiene frecuencia propia $1$ . La fuerza que llega en $t=2$ es $\cos\left(t-2\right)$ : la misma frecuencia. Es una resonancia, pero con retraso.

tramo	qué hace
$t<2$	oscila libre, con amplitud $\sqrt2$ y sin crecer
$t\ge2$	la amplitud crece linealmente, con el factor $\frac{t-2}{2}$

El factor $t-2$ , y no $t$ , dice que el reloj de la resonancia empieza cuando llega el empujón, no cuando arranca el sistema. Un empujón que llega tarde no pierde eficacia: simplemente empieza a acumular más tarde.

Y por eso la solución no es acotada. Si la fuerza fuese $\cos\left(2\left(t-2\right)\right)$ —otra frecuencia— la respuesta seguiría siendo una oscilación acotada, sin factor $t$ ninguno.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 8 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatorias ordinaria y extraordinaria, mayo y junio de 2020 · Cálculo, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · La figura está redibujada en SVG a partir del original · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una rampa ampliada de forma impar

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f\left(t\right)$ la función definida en el intervalo $\left(0,\pi\right)$ que aparece en la figura.

El segmento del enunciado, redibujado: sube de π a 2π mientras t recorre (0,π). Los extremos van huecos porque el intervalo es abierto.

a) Obtener la ampliación impar y periódica de la función $f\left(t\right)$ .

b) Dibujar la función ampliada.

c) Calcular la serie de Fourier, $S\left(t\right)$ , de $f\left(t\right)$ .

d) Calcular los valores de $S\left(t\right)$ y $f\left(t\right)$ en los puntos $t=0$ y $t=\frac{\pi}{2}$ .

e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2n+1}$ .

La ampliación, su dibujo, la serie, los valores y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué función es la de la figura?
02
El primer coeficiente
COMP2
¿Cuánto vale $b_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma que pide el apartado e)
COMP2
¿Cuánto vale $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2n+1}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado d). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $t=\frac{\pi}{2}$ la función ampliada es continua, así que la serie converge a la propia función: $S\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{\pi}{2}\right) =\frac{3\pi}{2}$ .
2. En $t=0$ la ampliación impar da $f\left(0^{-}\right)=-\pi$ mientras que $f\left(0^{+}\right)=\pi$ : hay un salto.
3. Dirichlet dice que en un salto la serie converge a la media de los dos límites laterales, así que $S\left(0\right)=\frac{-\pi+\pi}{2}=0$ .

$n$	$b_{n}$
impar	$\dfrac6n$
par	$-\dfrac2n$

Resolución completa

La función de la figura. El segmento va de $\left(0,\pi\right)$ a $\left(\pi,2\pi\right)$ : pendiente $1$ y ordenada en el origen $\pi$ .

f\left(t\right)=t+\pi,\qquad t\in\left(0,\pi\right)

a) y b) La ampliación impar y periódica. Impar quiere decir $f\left(-t\right)=-f\left(t\right)$ , así que en $\left(-\pi,0\right)$ la función es

f\left(t\right)=-\left(-t+\pi\right)=t-\pi

y luego se repite con periodo $2\pi$ .

La ampliación impar repetida cada 2π. Los saltos de −π a π en cada múltiplo de π no estaban en f: los ha creado la ampliación, y son los que fijan S(0) = 0.

Y aparecen unos saltos que no estaban. En el origen, la rama de la derecha tiende a $\pi$ y la de la izquierda a $-\pi$ : un salto de altura $2\pi$ . Y en $t=\pi$ el salto es todavía mayor: por la izquierda la función llega a $2\pi$ y por la derecha arranca en $-2\pi$ , así que salta $4\pi$ de golpe.

dónde	por la izquierda	por la derecha	salto
$t=0,\;\pm2\pi,\ldots$	$-\pi$	$\pi$	$2\pi$
$t=\pm\pi,\;\pm3\pi,\ldots$	$2\pi$	$-2\pi$	$4\pi$

Esos saltos los ha creado la ampliación, no estaban en $f$ , y son los que van a mandar en el comportamiento de la serie. En todos ellos el punto medio de los dos límites laterales es cero, que es lo que la serie va a devolver.

c) La serie. Al ser impar, solo hay senos:

S\left(t\right)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\operatorname{sen}\left(nt\right), \qquad b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left(t+\pi\right) \operatorname{sen}\left(nt\right)dt

La integral se parte en dos, y las dos son conocidas:

\int_{0}^{\pi}t\operatorname{sen}\left(nt\right)dt =\frac{\pi\left(-1\right)^{n+1}}{n}, \qquad \int_{0}^{\pi}\pi\operatorname{sen}\left(nt\right)dt =\frac{\pi\left[1-\left(-1\right)^{n}\right]}{n}

b_{n}=\frac{2}{n}\left[\left(-1\right)^{n+1}+1-\left(-1\right)^{n}\right] =\frac{2\left[1+2\left(-1\right)^{n+1}\right]}{n}

$n$	$b_{n}$	los primeros
impar	$\dfrac6n$	$6,\;2,\;\frac65,\ldots$
par	$-\dfrac2n$	$-1,\;-\frac12,\;-\frac13,\ldots$

\boxed{\;S\left(t\right)=6\operatorname{sen}t -\operatorname{sen}2t+2\operatorname{sen}3t -\tfrac12\operatorname{sen}4t+\tfrac65\operatorname{sen}5t-\cdots\;}

d) Los dos valores.

En $t=\frac{\pi}{2}$ la función ampliada es continua, así que Dirichlet dice que la serie converge a la función:

S\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) =\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2}\approx4{,}712

En $t=0$ hay salto, y ahí la serie converge a la media de los límites laterales:

S\left(0\right)=\frac{f\left(0^{-}\right)+f\left(0^{+}\right)}{2} =\frac{-\pi+\pi}{2}=0

mientras que $f\left(0^{+}\right)=\pi$ . La serie y la función no coinciden en el origen, y decir por qué —el salto que introdujo la ampliación impar— es lo que valen aquí los puntos de COMP 4. Además se ve sin cuentas: todos los términos llevan $\operatorname{sen}\left(n\cdot0\right)=0$ .

e) La suma de la serie numérica. Es el regalo del apartado anterior. En $t=\frac{\pi}{2}$ , los términos pares se anulan — $\operatorname{sen}\left(n\frac{\pi}{2}\right)=0$ si $n$ es par— y los impares valen $\pm1$ alternando:

S\left(\tfrac{\pi}{2}\right) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{6}{2k+1}\left(-1\right)^{k} =6\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{2k+1}

Igualando con el valor ya calculado:

6\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{2k+1}=\frac{3\pi}{2} \;\Longrightarrow\; \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{2k+1}=\frac{\pi}{4}

que es la célebre serie de Leibniz. Y la que pide el enunciado lleva $\left(-1\right)^{n+1}$ , con todos los signos cambiados:

\boxed{\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2n+1} =-\frac{\pi}{4}\approx-0{,}7854\;}

Ojo al signo, que es donde el ejercicio pilla a más gente. Con $n=0$ el primer término es $\frac{\left(-1\right)^{1}}{1}=-1$ , no $+1$ . La serie empieza en negativo y suma $-\frac{\pi}{4}$ .

Y una nota sobre lo lenta que es. Sumando cuatro millones de términos se obtiene $0{,}785398$ , apenas seis decimales correctos. Como fórmula para calcular $\pi$ es pésima; como resultado teórico —que una suma alternada de inversos de impares dé exactamente $\frac{\pi}{4}$ — es de los que justifican el tema entero.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2019-2020

Reconocer el camino

El radio de la circunferencia

Los puntos por donde pasa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada de h

Cuántos extremos relativos tiene h

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La base del rectángulo

El área máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término independiente

La pendiente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Los dos lados rectos

El arco de parábola

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se cortan las dos superficies

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se enganchan las dos tapas

El valor de la integral

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor del integrando sobre la curva

El resultado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La parte exponencial

La parte resonante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La constante

El instante buscado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El polinomio del denominador

El valor en t = 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La transformada del segundo miembro

La antitransformada del término nuevo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer coeficiente

La suma que pide el apartado e)

Justificar el argumento