tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · segunda evaluación

Segunda evaluación · 2025-2026

1 de diciembre de 2025 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una composición leída en dos gráficasEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 6 + 3 = 10 pts
Considerar la función compuesta $f(t) = h(x(t))$ , donde $x(t)$ y $h(x)$ son las funciones cuyas gráficas se muestran en la figura, siendo $x(t)$ dos veces derivable en $(c,d)$ y $h(x)$ dos veces derivable en $(a,b)$ .

Figura redibujada del enunciado original. Los dos puntos donde las curvas se aplanan estan a la misma altura q: es el detalle que decide el apartado (c).

a) Estudiar el crecimiento y los extremos locales de $f(t)$ .

b) Estudiar la concavidad y los puntos de inflexión de $f(t)$ .

c) Sea $P_2(t)$ el polinomio de Taylor de $f(t)$ de orden 2 en el punto $t=p$ . Obtener los coeficientes de $P_2(t)$ en función de $p$ y $q$ , y escribir la expresión de $P_2(t)$ .
Estudiar crecimiento, concavidad y calcular el polinomio de Taylor.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
A qué velocidad se acerca el corredor al platoFunciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Un campo de béisbol tiene un cuadrado interior tal que cada lado mide 90 pies. Un vértice es el plato de home, y consecutivamente están las bases, 1, 2 y 3. Supongamos que un jugador que corre de la segunda base a la tercera tiene una velocidad de 30 pies/s en el instante en que está a 20 pies de la tercera base. ¿A qué velocidad cambia la distancia del jugador desde el plato de home en ese instante?

Figura nuestra, redibujada: el enunciado original trae un plano de campo escaneado, que no podemos reproducir por derechos. En verde el corredor y su velocidad; en morado los 20 pies que le faltan hasta la tercera base; en rojo, la distancia D al plato, que es lo que se pide derivar.

Calcular la velocidad a la que cambia la distancia a home.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Las dos derivadas de la inversa, y el arcosenoFunciones reales de una variable real1 + 5 + 4 = 10 pts
Sean $f$ una función definida en un dominio $D$ y cuyo rango es $R$ y $f^{-1}$ su función inversa, definida en $R$ .

a) Demostrar que $\forall x \in R$ se verifica:
$\left(f^{-1}\right)'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} \qquad \wedge \qquad \left(f^{-1}\right)''(x) = \frac{-f''\big(f^{-1}(x)\big)}{\left(f'\big(f^{-1}(x)\big)\right)^{3}}$
b) Utilizando el apartado anterior, calcular el polinomio de Maclaurin de orden 2 de la función $f(x) = \mathrm{arcsen}(x)$ .

c) Utilizando el polinomio anterior, aproximar el valor de $\mathrm{arcsen}(0.1)$
Demostrar las dos fórmulas y aplicarlas al arcoseno.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El triángulo más grande bajo una exponencialEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $P = (a,b)$ un punto situado en el primer cuadrante que pertenece a la curva $f(x) = e^{-x}$ . La recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $P$ y los ejes coordenados forman un triángulo rectángulo. Calcular las coordenadas del punto $P$ para que el área del triángulo sea máxima.
Calcular las coordenadas de $P$ que maximizan el área.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segunda evaluación, 1 de diciembre de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una composición leída en dos gráficas

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar la función compuesta $f(t) = h(x(t))$ , donde $x(t)$ y $h(x)$ son las funciones cuyas gráficas se muestran en la figura, siendo $x(t)$ dos veces derivable en $(c,d)$ y $h(x)$ dos veces derivable en $(a,b)$ .

Figura redibujada del enunciado original. Los dos puntos donde las curvas se aplanan estan a la misma altura q: es el detalle que decide el apartado (c).

a) Estudiar el crecimiento y los extremos locales de $f(t)$ .

b) Estudiar la concavidad y los puntos de inflexión de $f(t)$ .

c) Sea $P_2(t)$ el polinomio de Taylor de $f(t)$ de orden 2 en el punto $t=p$ . Obtener los coeficientes de $P_2(t)$ en función de $p$ y $q$ , y escribir la expresión de $P_2(t)$ .

Estudiar crecimiento, concavidad y calcular el polinomio de Taylor.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de derivar nada, ¿qué hay que leer en las dos gráficas?
02
El signo de la derivada
COMP2
$f'(t) = h'\big(x(t)\big)\cdot x'(t)$ . En $(c,d)$ , ¿cuántos extremos locales tiene $f$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente cuadrático
COMP2
En $P_2(t) = f(p)+f'(p)(t-p)+\frac{f''(p)}{2}(t-p)^2$ , ¿cuánto vale $f''(p)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
No es 1. Los dos sumandos de $f''$ se anulan en $t=p$ , cada uno por un motivo distinto, y la suma es exactamente cero.
No sale ningún 2. Revisa la fórmula: $f'' = h''\left(x\right)\left[x'\right]^{2}+h'\left(x\right)x''$ .
$\frac12$ es el factor que acompaña a $f''(p)$ en el polinomio, no su valor.
Deriva otra vez el producto:
$f''(t) = h''\big(x(t)\big)\left[x'(t)\right]^{2} + h'\big(x(t)\big)\,x''(t)$
Y mira qué pasa en $t=p$ con cada sumando.
Desarrollo
Derivando otra vez el producto:
$f''(t) = h''\big(x(t)\big)\left[x'(t)\right]^{2} + h'\big(x(t)\big)\cdot x''(t)$
En $t=p$ ocurren dos cosas a la vez:
- $t=p$ es el punto de inflexión de $x$ , luego $x''(p) = 0$ ;
- $x(p) = q$ , y $x=q$ es el punto de inflexión de $h$ , luego $h''(q) = 0$ .
Sustituyendo:
$f''(p) = \underbrace{h''(q)}_{0}\left[x'(p)\right]^{2} + h'(q)\cdot\underbrace{x''(p)}_{0} = 0$
Los dos sumandos se anulan, cada uno por su lado.
Por eso el polinomio de Taylor de orden 2 sale de grado 1: es una recta. Y por eso $t=p$ es también punto de inflexión de $f$ .
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de la concavidad. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fórmula: $f'' = h''\left(x\right)\left[x'\right]^{2} +h'\left(x\right)x''$ . El primer sumando lleva un cuadrado, así que su signo es el de $h''$ .
2. Tramo $t\in(c,p)$ . Ahí $x(t)$ está entre $q$ y $b$ , y en esa zona $h$ es convexa: $h''>0$ . Y $x$ también es convexa: $x''>0$ .
3. Luego $f'' = (+)(+) + (+)(+) > 0$ : $f$ es convexa en $(c,p)$ .
4. Tramo $t\in(p,d)$ . Ahí $x(t)$ está entre $a$ y $q$ , donde $h$ es cóncava: $h''<0$ . Y $x$ también: $x''<0$ .
5. Luego $f'' = (-)(+) + (+)(-) < 0$ : $f$ es cóncava en $(p,d)$ , y $t=p$ es punto de inflexión.
Si los dos sumandos hubieran salido con signos opuestos, no se podría decidir nada sin conocer los valores. Que el examen esté construido para que se refuercen no es casualidad.

Resolución completa

Datos. $f(t) = h(x(t))$ , con $x$ y $h$ dadas solo por sus gráficas.

1 · Qué se lee en el dibujo

No hay expresiones analíticas, y no hacen falta. Todo el ejercicio sale de cuatro signos y de dónde cambian:

	en su intervalo	se aplana en
$x(t)$	baja: $x'<0$	$t=p$ , donde vale $q$
$h(x)$	sube: $h'>0$	$x=q$ , donde vale $u$

Y el detalle que decide el ejercicio: los dos puntos de aplanamiento están en el mismo sitio. El de $x$ ocurre a la altura $q$ , y $q$ es justo la abscisa donde se aplana $h$ .

Ese aplanamiento es un punto de inflexión en los dos casos: la curva pasa de curvarse en un sentido a curvarse en el otro. Luego

x''(p) = 0, \qquad h''(q) = 0

2 · Apartado (a): crecimiento

f'(t) = h'\big(x(t)\big)\cdot x'(t)

El primer factor es positivo — $h$ sube— y el segundo negativo — $x$ baja—:

\boxed{f'(t)<0 \ \ \forall t\in(c,d):\ f \text{ es decreciente, sin extremos locales}}

No hay extremos porque $f'$ no llega a anularse: ninguno de los dos factores lo hace. Que las curvas se aplanen no basta; tendrían que llegar a ser horizontales.

3 · Apartado (b): concavidad

Derivando el producto:

f''(t) = h''\big(x(t)\big)\left[x'(t)\right]^{2} + h'\big(x(t)\big)\cdot x''(t)

El primer sumando lleva $\left[x'\right]^{2}$ , que es siempre positivo: su signo es el de $h''$ . El segundo lleva $h'>0$ : su signo es el de $x''$ .

Tramo $(c,p)$ . Como $x$ baja desde $b$ , ahí $x(t)$ recorre $(q,b)$ . En esa zona $h$ es convexa —la parte de la derecha de su gráfica—, luego $h''>0$ . Y $x$ también es convexa antes de $p$ : $x''>0$ .

f'' = (+)\cdot(+) + (+)\cdot(+) > 0

Tramo $(p,d)$ . Ahí $x(t)$ recorre $(a,q)$ , donde $h$ es cóncava: $h''<0$ . Y $x$ también: $x''<0$ .

f'' = (-)\cdot(+) + (+)\cdot(-) < 0

\boxed{f \text{ convexa en } (c,p),\quad \text{cóncava en } (p,d), \quad \text{inflexión en } t=p}

Los dos efectos se refuerzan, no compiten. Si hubieran salido con signos opuestos, no se podría concluir nada sin los valores.

4 · Apartado (c): el polinomio de Taylor

P_2(t) = f(p)+f'(p)\,(t-p)+\frac{f''(p)}{2}\,(t-p)^{2}

Término independiente.

f(p) = h\big(x(p)\big) = h(q) = u

Coeficiente lineal.

f'(p) = h'\big(x(p)\big)\cdot x'(p) = h'(q)\cdot x'(p)

Coeficiente cuadrático. Aquí está la gracia:

f''(p) = \underbrace{h''(q)}_{=\,0}\left[x'(p)\right]^{2} + h'(q)\cdot\underbrace{x''(p)}_{=\,0} = 0

\boxed{P_2(t) = u + h'(q)\,x'(p)\,(t-p)}

El polinomio de orden 2 resulta ser de grado 1: una recta. Y no es una casualidad ni un error: es la traducción algebraica de que $t=p$ es punto de inflexión de $f$ . En un punto de inflexión, la parábola que mejor aproxima a la curva es su propia tangente.

5 · Comprobación

De coherencia entre los tres apartados. El apartado (b) dice que $p$ es punto de inflexión de $f$ ; el apartado (c) da $f''(p)=0$ . Las dos cosas son la misma dicha de dos maneras ✔

Del signo del coeficiente lineal. Debe ser negativo, porque (a) dice que $f$ decrece:

h'(q)\cdot x'(p) = (+)\cdot(-) < 0 \quad\checkmark

Con un ejemplo concreto, que es la única forma de validar del todo un ejercicio sin números. Tomando

x(t) = -t^{3}, \qquad h(x) = x^{3}

—las dos con inflexión en el origen, $x$ decreciente y $h$ creciente— sale $f(t) = \left(-t^{3}\right)^{3} = -t^{9}$ , que en efecto es decreciente, convexa para $t<0$ , cóncava para $t>0$ , y cuyo polinomio de Taylor de orden 2 en $t=0$ es el nulo, de grado menor que 2 ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segunda evaluación, 1 de diciembre de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

A qué velocidad se acerca el corredor al plato

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un campo de béisbol tiene un cuadrado interior tal que cada lado mide 90 pies. Un vértice es el plato de home, y consecutivamente están las bases, 1, 2 y 3. Supongamos que un jugador que corre de la segunda base a la tercera tiene una velocidad de 30 pies/s en el instante en que está a 20 pies de la tercera base. ¿A qué velocidad cambia la distancia del jugador desde el plato de home en ese instante?

Figura nuestra, redibujada: el enunciado original trae un plano de campo escaneado, que no podemos reproducir por derechos. En verde el corredor y su velocidad; en morado los 20 pies que le faltan hasta la tercera base; en rojo, la distancia D al plato, que es lo que se pide derivar.

Calcular la velocidad a la que cambia la distancia a home.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación hay que derivar?
02
La distancia en ese instante
COMP2
¿A qué distancia está el corredor del plato en ese instante?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número en pies con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad
COMP2
¿A qué velocidad cambia la distancia a home? En forma exacta, o con cuatro decimales, con signo.
Tu respuesta al paso 3un número en pies por segundo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La geometría. El lado que va de la segunda a la tercera base es perpendicular al que va de la tercera a home, porque son lados consecutivos de un cuadrado.
2. La relación. Con $x$ = distancia del corredor a la tercera base: $D^{2} = x^{2}+90^{2}$ . Es una identidad que se cumple en todo instante, no solo en el del enunciado.
3. Derivar respecto del tiempo, tratando $x$ y $D$ como funciones de $t$ : $2D\,D' = 2x\,x'$ .
4. Sustituir al final, no antes: $x=20$ , $D=10\sqrt{85}$ y $x' = -30$ , con signo negativo porque $x$ disminuye.
5. $\frac{dD}{dt} = -\frac{12\sqrt{85}}{17} \approx -6{,}51$ pies/s: la distancia a home disminuye.
Derivar primero y sustituir después no es una preferencia de estilo: es lo único que funciona. Es el mismo cuidado que en el ejercicio 3.17 del boletín, el del coche y el edificio.

Resolución completa

Datos. Diamante de 90 pies de lado. El corredor va de la segunda a la tercera base a 30 pies/s y está a 20 pies de la tercera.

1 · La herramienta

Es un problema de tasas relacionadas: dos magnitudes ligadas por una identidad geométrica, se conoce la velocidad de una y se pide la de la otra.

El método es siempre el mismo, y el orden importa:

Escribir la relación entre las magnitudes, válida en todo instante.
Derivar respecto del tiempo.
Solo entonces sustituir los valores del instante concreto.

2 · La geometría

El plato y las tres bases forman un cuadrado de 90 pies de lado. El lado que va de la segunda a la tercera y el que va de la tercera a home son lados consecutivos: perpendiculares.

Llamando $x$ a la distancia que le falta al corredor para llegar a la tercera base, el corredor, la tercera base y el plato forman un triángulo rectángulo de catetos $x$ y $90$ :

D^{2} = x^{2}+90^{2} = x^{2}+8100

3 · Derivar

2D\,\frac{dD}{dt} = 2x\,\frac{dx}{dt} \;\Longrightarrow\; \frac{dD}{dt} = \frac{x}{D}\cdot\frac{dx}{dt}

4 · Sustituir

x = 20, \qquad D = \sqrt{400+8100} = \sqrt{8500} = 10\sqrt{85}, \qquad \frac{dx}{dt} = -30

El signo de $\frac{dx}{dt}$ es negativo porque $x$ es lo que le falta al corredor, y eso disminuye conforme avanza.

\frac{dD}{dt} = \frac{20}{10\sqrt{85}}\cdot(-30) = \frac{-60}{\sqrt{85}}

Racionalizando:

\boxed{\frac{dD}{dt} = -\frac{60\sqrt{85}}{85} = -\frac{12\sqrt{85}}{17} \approx -6{,}51 \ \text{pies/s}}

La distancia al plato disminuye a 6,51 pies por segundo.

5 · El error que persigue el ejercicio

Sustituir $x=20$ antes de derivar. Entonces $D^{2}=8500$ es una constante, su derivada es 0, y sale que la distancia no cambia — absurdo.

La relación hay que derivarla mientras sigue siendo una identidad entre funciones del tiempo. Los números del instante son datos de evaluación, no de planteamiento.

6 · Comprobación

Por el orden de magnitud. El factor $\frac{x}{D}$ es el coseno del ángulo entre la dirección de carrera y la dirección hacia home:

\frac{20}{92{,}2} \approx 0{,}217

Solo el 22 % de la velocidad del corredor apunta al plato. Y en efecto $0{,}217\cdot30 \approx 6{,}5$ ✔

Por los extremos. Si el corredor estuviera justo sobre la tercera base ( $x=0$ ), correría perpendicularmente a la línea que lo une con home, y la distancia no cambiaría: la fórmula da $\frac{0}{90}\cdot(-30) = 0$ ✔

Si estuviera en la segunda base ( $x=90$ ), el factor sería $\frac{90}{90\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2}$ , y la velocidad $-\frac{30}{\sqrt2} \approx -21{,}2$ pies/s, la mayor de todo el recorrido ✔ Tiene sentido: cuanto más lejos de la tercera, más directamente apunta hacia el plato.

Que el resultado es menor que 30 en valor absoluto ✔ Ninguna componente puede superar a la velocidad total.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segunda evaluación, 1 de diciembre de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El apartado (a) es el ejercicio 3.9 del boletín del tema 3 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Las dos derivadas de la inversa, y el arcoseno

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $f$ una función definida en un dominio $D$ y cuyo rango es $R$ y $f^{-1}$ su función inversa, definida en $R$ .

a) Demostrar que $\forall x \in R$ se verifica:

\left(f^{-1}\right)'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} \qquad \wedge \qquad \left(f^{-1}\right)''(x) = \frac{-f''\big(f^{-1}(x)\big)}{\left(f'\big(f^{-1}(x)\big)\right)^{3}}

b) Utilizando el apartado anterior, calcular el polinomio de Maclaurin de orden 2 de la función $f(x) = \mathrm{arcsen}(x)$ .

c) Utilizando el polinomio anterior, aproximar el valor de $\mathrm{arcsen}(0.1)$

Demostrar las dos fórmulas y aplicarlas al arcoseno.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De qué identidad hay que partir para demostrar la primera fórmula?
02
La derivada segunda del arcoseno
COMP2
Aplicando la segunda fórmula a $\mathrm{arcsen}$ , ¿cuánto vale $\left(\mathrm{arcsen}\right)''(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Por qué la aproximación es tan buena
COMP2
El polinomio da $\mathrm{arcsen}(0{,}1) \approx 0{,}1$ . El primer término que falta en ese desarrollo es de grado $k$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración del apartado (a). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Partir de la definición de inversa: $f\big(f^{-1}(x)\big) = x$ para todo $x \in R$ .
2. Derivar los dos lados con la regla de la cadena: $f'\big(f^{-1}(x)\big)\cdot\left(f^{-1}\right)'(x) = 1$ .
3. Despejar, lo que exige $f'\big(f^{-1}(x)\big) \neq 0$ : $\left(f^{-1}\right)'(x) = \dfrac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}$ .
4. Derivar otra vez esa expresión, tratándola como $\left[f'\big(f^{-1}(x)\big)\right]^{-1}$ y aplicando la cadena dos veces —una por el exponente y otra por la $f^{-1}$ de dentro—.
5. Sale $-\dfrac{f''\big(f^{-1}\big)\cdot\left(f^{-1}\right)'} {\left[f'\big(f^{-1}\big)\right]^{2}}$ , y sustituyendo $\left(f^{-1}\right)'$ por la fórmula ya probada aparece el cubo del denominador.
El cubo del denominador es la huella de haber aplicado bien la cadena. Si sale un cuadrado, falta un paso.

Resolución completa

Datos. $f$ con inversa $f^{-1}$ . Se piden las dos primeras derivadas de la inversa y su aplicación al arcoseno.

Este ejercicio está publicado como 3.9 en el boletín de problemas complementarios del tema 3, con el mismo enunciado. Es la vigésima repetición literal que encontramos entre boletines y exámenes.

1 · Apartado (a), primera fórmula

Se parte de la definición de función inversa:

f\big(f^{-1}(x)\big) = x \qquad \forall x \in R

Derivando los dos lados con la regla de la cadena:

f'\big(f^{-1}(x)\big)\cdot\left(f^{-1}\right)'(x) = 1

\boxed{\left(f^{-1}\right)'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}}

La hipótesis que hay que decir en voz alta: el despeje solo vale si $f'\big(f^{-1}(x)\big) \neq 0$ . Donde la derivada de $f$ se anula, su inversa tiene tangente vertical y no es derivable. Ese es el tipo de detalle que reparte los puntos de COMP4.

2 · Apartado (a), segunda fórmula

Se deriva la expresión anterior, escrita como una potencia:

\left(f^{-1}\right)''(x) = \frac{d}{dx}\left[f'\big(f^{-1}(x)\big)\right]^{-1}

= -\left[f'\big(f^{-1}(x)\big)\right]^{-2} \cdot f''\big(f^{-1}(x)\big)\cdot\left(f^{-1}\right)'(x)

La cadena se aplica dos veces: una por el exponente $-1$ y otra por la $f^{-1}$ que hay dentro de $f'$ . Y ahora se sustituye $\left(f^{-1}\right)'$ por la fórmula ya demostrada:

= -\frac{f''\big(f^{-1}(x)\big)} {\left[f'\big(f^{-1}(x)\big)\right]^{2}} \cdot\frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}

\boxed{\left(f^{-1}\right)''(x) = \frac{-f''\big(f^{-1}(x)\big)} {\left(f'\big(f^{-1}(x)\big)\right)^{3}}}

El cubo sale de ahí: un cuadrado de la derivada del exponente más un factor de la sustitución. Si en el desarrollo aparece un cuadrado, es que falta el último paso.

3 · Apartado (b): el arcoseno

El arcoseno es la inversa del seno en $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ , así que se aplica todo lo anterior con

f = \mathrm{sen}, \qquad f' = \cos, \qquad f'' = -\mathrm{sen}

Término independiente. $\mathrm{arcsen}(0) = 0$ .

Derivada primera.

\left(\mathrm{arcsen}\right)'(x) = \frac{1}{\cos\big(\mathrm{arcsen}\,x\big)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

usando que $\cos\big(\mathrm{arcsen}\,x\big) = \sqrt{1-x^{2}}$ , positivo porque el arcoseno vive en el primer y cuarto cuadrante.

\left(\mathrm{arcsen}\right)'(0) = 1

Derivada segunda. Los dos signos menos se cancelan:

\left(\mathrm{arcsen}\right)''(x) = \frac{-\left(-\mathrm{sen}\big(\mathrm{arcsen}\,x\big)\right)} {\cos^{3}\big(\mathrm{arcsen}\,x\big)} = \frac{x}{\left(1-x^{2}\right)^{3/2}}

\left(\mathrm{arcsen}\right)''(0) = 0

El polinomio:

\boxed{P_2(x) = 0+1\cdot x+\frac{0}{2}x^{2} = x}

De orden 2, pero de grado 1: el coeficiente cuadrático se anula porque el arcoseno es una función impar, y las funciones impares no tienen términos pares en su desarrollo.

4 · Apartado (c): la aproximación

\boxed{\mathrm{arcsen}(0{,}1) \approx 0{,}1}

5 · Comprobación

Del valor. El exacto es $\mathrm{arcsen}(0{,}1) = 0{,}1001674\ldots$ , así que el error es $1{,}7\cdot10^{-4}$ ✔ Pequeño, como corresponde a un punto tan cerca del centro del desarrollo.

Por el término siguiente. El desarrollo completo es

\mathrm{arcsen}\,x = x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{3x^{5}}{40}+\cdots

El término cúbico aporta $\frac{0{,}1^{3}}{6} = 1{,}667\cdot10^{-4}$ , y el error observado es $1{,}674\cdot10^{-4}$ ✔ No coinciden exactamente —ni deben: faltan el término de grado 5 y los siguientes— pero la diferencia entre ambos es de $7\cdot10^{-7}$ , del orden de $\frac{3\cdot0{,}1^{5}}{40}$ , que es justo el término que sigue. Cuadran los dos primeros omitidos, no solo el primero.

Por la paridad. $\mathrm{arcsen}$ es impar, luego su desarrollo solo tiene potencias impares. El coeficiente de $x^{2}$ tenía que salir 0 ✔

De la fórmula, con un caso conocido. Aplicándola a $f(x)=x^{3}$ , cuya inversa es $x^{1/3}$ :

\left(f^{-1}\right)''(x) = \frac{-6\,x^{1/3}}{\left(3x^{2/3}\right)^{3}} = \frac{-6x^{1/3}}{27x^{2}} = -\frac{2}{9}x^{-5/3}

y derivando $x^{1/3}$ dos veces a mano sale $\frac13\cdot\left(-\frac23\right)x^{-5/3} = -\frac29 x^{-5/3}$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Segunda evaluación, 1 de diciembre de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El triángulo más grande bajo una exponencial

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $P = (a,b)$ un punto situado en el primer cuadrante que pertenece a la curva $f(x) = e^{-x}$ . La recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $P$ y los ejes coordenados forman un triángulo rectángulo. Calcular las coordenadas del punto $P$ para que el área del triángulo sea máxima.

Calcular las coordenadas de $P$ que maximizan el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántas incógnitas independientes tiene el problema?
02
Los cortes de la tangente
COMP2
La tangente en $P=(a,e^{-a})$ corta al eje $OX$ . ¿En qué abscisa, en función de $a$ ? Evalúala para $a=2$ .
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto óptimo
COMP2
¿Cuál es la abscisa $a$ del punto que maximiza el área?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
$\frac1e \approx 0{,}368$ es la ordenada $b$ del punto óptimo, no su abscisa.
2 saldría de resolver mal $\frac{d}{da}\left[(1+a)^{2}e^{-a} \right] = 0$ . Al factorizar queda $(1+a)(1-a)$ , cuya raíz positiva es 1.
$-1$ es la otra raíz, la que anula $(1+a)$ . Queda fuera: el enunciado exige el primer cuadrante, o sea $a>0$ .
$A(a) = \frac12(1+a)^{2}e^{-a}$ . Deriva y factoriza.
Desarrollo
El triángulo tiene por catetos los dos cortes:
$A(a) = \frac12\cdot\underbrace{(1+a)}_{\text{base}} \cdot\underbrace{e^{-a}(1+a)}_{\text{altura}} = \frac12(1+a)^{2}e^{-a}$
Derivando el producto:
$A'(a) = \frac12\left[2(1+a)e^{-a}-(1+a)^{2}e^{-a}\right] = \frac12(1+a)e^{-a}\left[2-(1+a)\right]$ $A'(a) = \frac12(1+a)\,e^{-a}\,(1-a)$
Se anula en $a=-1$ y $a=1$ . Como $e^{-a}>0$ y $1+a>0$ en el primer cuadrante, el signo lo decide $(1-a)$ :
- $A'>0$ para $a<1$
- $A'<0$ para $a>1$
Máximo en $a=1$ .
Factorizar antes de igualar a cero ahorra resolver una cuadrática y además deja el estudio del signo hecho. Merece la pena siempre.
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ligadura. $P$ está sobre la curva, luego $b=e^{-a}$ y el problema tiene una sola incógnita.
2. La tangente en $\left(a,e^{-a}\right)$ es $y = e^{-a}\left(1+a-x\right)$ , y corta a los ejes en $(1+a,\,0)$ y en $\left(0,\,e^{-a}(1+a)\right)$ .
3. La función objetivo: $A(a) = \frac12(1+a)^{2}e^{-a}$ , definida para $a>0$ .
4. Derivar y factorizar: $A'(a) = \frac12(1+a)e^{-a}(1-a)$ , que en $a>0$ solo se anula en $a=1$ .
5. Comprobar que es máximo por el cambio de signo de $A'$ , y dar el punto: $P = \left(1,\frac1e\right)$ , con $A_{\max} = \frac2e$ .
Justificar que un punto crítico es máximo es exactamente lo que valen los 2 puntos de COMP4 de este ejercicio. Sin esa justificación, la cuenta está pero la nota no.

Resolución completa

Datos. $P=(a,b)$ en el primer cuadrante sobre $f(x)=e^{-x}$ . La tangente en $P$ y los ejes forman un triángulo; se pide $P$ que maximice su área.

1 · El método, y el primer paso que decide todo

Todo problema de optimización tiene el mismo esqueleto:

Identificar la ligadura, que reduce las incógnitas a una.
Escribir la función objetivo en función de esa única variable.
Derivar, anular y justificar que el punto hallado es el extremo pedido.

Aquí la ligadura es « $P$ pertenece a la curva»:

b = e^{-a}, \qquad a>0

El problema tiene una incógnita, no dos.

2 · La tangente y sus cortes

f(x) = e^{-x} \;\Longrightarrow\; f'(x) = -e^{-x}

Tangente en $\left(a,e^{-a}\right)$ :

y-e^{-a} = -e^{-a}(x-a) \;\Longrightarrow\; y = e^{-a}\left(1+a-x\right)

corte	se obtiene con	vale
eje $OX$	$y=0$	$x = 1+a$
eje $OY$	$x=0$	$y = e^{-a}(1+a)$

Nótese que el corte con $OX$ está siempre una unidad a la derecha del punto de tangencia: la subtangente de la exponencial es constante e igual a 1.

3 · La función objetivo

El triángulo es rectángulo con catetos sobre los ejes:

A(a) = \frac12\,(1+a)\cdot e^{-a}(1+a) = \frac12\,(1+a)^{2}e^{-a}

4 · Optimizar

A'(a) = \frac12\left[2(1+a)e^{-a}+(1+a)^{2}\left(-e^{-a}\right)\right]

Factorizando $(1+a)e^{-a}$ , que es lo que evita resolver una cuadrática:

A'(a) = \frac12(1+a)e^{-a}\left[2-(1+a)\right] = \frac12(1+a)\,e^{-a}\,(1-a)

En $a>0$ los factores $(1+a)$ y $e^{-a}$ son positivos, así que el signo de $A'$ es el de $(1-a)$ :

$a$	$A'$	$A$
$0<a<1$	$+$	crece
$a=1$	$0$	máximo
$a>1$	$-$	decrece

a = 1, \qquad b = e^{-1} = \frac1e

\boxed{P = \left(1,\ \frac1e\right)}

A_{\max} = \frac12\cdot2^{2}\cdot e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}7358

5 · Por qué el máximo es absoluto

El dominio $a>0$ es abierto y no acotado, así que un máximo local no tiene por qué ser absoluto. Hay que mirar los extremos:

\lim_{a\to0^{+}}A(a) = \frac12, \qquad \lim_{a\to\infty}A(a) = 0

—la exponencial gana al polinomio—. Los dos son menores que $\frac2e \approx 0{,}736$ , luego el máximo local sí es absoluto.

Este párrafo es lo que valen los 2 puntos de COMP4. Sin él la cuenta está completa y la respuesta también, pero la justificación no.

6 · Comprobación

Por la segunda derivada. Derivando $A'(a) = \frac12\left(1-a^{2}\right)e^{-a}$ :

A''(a) = \frac12\left[-2a-\left(1-a^{2}\right)\right]e^{-a}

A''(1) = \frac12\left[-2-0\right]e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0

Negativa: máximo ✔

Numéricamente, evaluando el área a los lados:

$a$	$A(a)$
$0{,}5$	$0{,}682$
$1$	$\mathbf{0{,}736}$
$1{,}5$	$0{,}697$

El de $a=1$ es el mayor ✔

De coherencia geométrica. En el óptimo la base mide $1+1 = 2$ y la altura $e^{-1}\cdot2 = \frac2e$ , luego $A = \frac12\cdot2\cdot\frac2e = \frac2e$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segunda evaluación · 2025-2026

Reconocer el camino

El signo de la derivada

El coeficiente cuadrático

Justificar el argumento

1 · Qué se lee en el dibujo

2 · Apartado (a): crecimiento

3 · Apartado (b): concavidad

4 · Apartado (c): el polinomio de Taylor

5 · Comprobación

Reconocer el camino

La distancia en ese instante

La velocidad

Justificar el argumento

1 · La herramienta

2 · La geometría

3 · Derivar

4 · Sustituir

5 · El error que persigue el ejercicio

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La derivada segunda del arcoseno

Por qué la aproximación es tan buena

Justificar el argumento

1 · Apartado (a), primera fórmula

2 · Apartado (a), segunda fórmula

3 · Apartado (b): el arcoseno

4 · Apartado (c): la aproximación

5 · Comprobación

Reconocer el camino

Los cortes de la tangente

El punto óptimo

Justificar el argumento

1 · El método, y el primer paso que decide todo

2 · La tangente y sus cortes

3 · La función objetivo

4 · Optimizar

5 · Por qué el máximo es absoluto

6 · Comprobación