tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · segunda evaluación

Segunda evaluación · 2018-2019

3 de diciembre de 2018 · 4 ejercicios · 40 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una potencia compleja que cae sobre el eje negativoNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Hallar los valores de $a$ $\left(a \in \mathbb{R}\right)$ para que el número complejo $z = \left(2e^{2i}\right)^{a}$ sea un número real negativo tal que $1 < \left|z\right| < 2^{6}$ .
Hallar los valores de $a$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos teoremas para el mismo extremoFunciones reales de una variable real0 + 6 + 4 = 10 pts
Sea la función $f(x) = e^{x}\left(x-1\right)-x+2$ , $x \in [0,1]$ .

a) Enunciar el teorema de Lagrange (teorema del valor medio). Estudiar mediante este teorema la existencia de extremos locales de $f(x)$ .

b) Enunciar el teorema de Bolzano. Estudiar mediante este teorema la existencia de extremos locales de $f(x)$ .
Enunciar los dos teoremas y estudiar los extremos con cada uno.
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Resolver una ecuación diferencial con una serieEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 5 + 3 = 10 pts
Sea $y(x)$ una función tal que $y'(x) = y(x)+e^{x}$ e $y(0) = 0$ . Calcular el desarrollo en serie de $y(x)$ en $a=0$ . Utilizar este desarrollo para deducir cuál es la función $y(x)$ .
Calcular el desarrollo y deducir la función.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Diez metros de alambre entre un círculo y un cuadradoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 8 + 1 = 10 pts
Un alambre de 10 m de longitud se corta en dos partes. Con una de ellas se forma un círculo y con la otra un cuadrado. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima?
Calcular dónde hay que cortar el alambre.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Segunda evaluación, 3 de diciembre de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una potencia compleja que cae sobre el eje negativo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar los valores de $a$ $\left(a \in \mathbb{R}\right)$ para que el número complejo $z = \left(2e^{2i}\right)^{a}$ sea un número real negativo tal que $1 < \left|z\right| < 2^{6}$ .

Hallar los valores de $a$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado impone dos condiciones. ¿Sobre qué actúa cada una?
02
El módulo y el argumento
COMP2
¿Cuál es el argumento de $z = \left(2e^{2i}\right)^{a}$ , en función de $a$ ? Evalúalo para $a=3$ .
Tu respuesta al paso 2un número en radianes — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El primer valor válido
COMP2
¿Cuál es el menor valor de $a$ que cumple todo? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La potencia en polar: $z = 2^{a}e^{2ai}$ , con módulo $2^{a}$ y argumento $2a$ .
2. Real negativo significa argumento $\pi$ módulo $2\pi$ : $2a = \pi+2k\pi$ , luego $a = \frac{(2k+1)\pi}{2}$ .
3. La cota del módulo, escrita como potencias de 2: $2^{0}<2^{a}<2^{6}$ , es decir $0<a<6$ .
4. Cruzar: de la familia $\frac{(2k+1)\pi}{2}$ solo caen dentro las de $k=0$ y $k=1$ .
5. $a = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571$ y $a = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712$ .
Los dos valores dan módulos muy distintos, $2{,}97$ y $26{,}2$ , y los dos caben en la horquilla. Comprobarlo cierra el ejercicio.

$k$	$a$	¿en $(0,6)$ ?
$-1$	$-1{,}571$	no
$0$	$1{,}5708$	sí
$1$	$4{,}7124$	sí
$2$	$7{,}854$	no

Resolución completa

Datos. $z = \left(2e^{2i}\right)^{a}$ con $a$ real, y se pide que sea real negativo con $1<\left|z\right|<64$ .

1 · La potencia, en polar

La base viene ya escrita en forma exponencial —módulo 2, argumento 2— y eso es una indicación del enunciado sobre cómo atacarlo.

z = \left(2e^{2i}\right)^{a} = 2^{a}\,e^{2ai}

\left|z\right| = 2^{a}, \qquad \arg z = 2a

Al elevar, el módulo se eleva y el argumento se multiplica. Las dos condiciones del enunciado actúan cada una sobre una de las dos cosas, así que se pueden tratar por separado.

2 · Condición de argumento

Un número real negativo está sobre el semieje horizontal izquierdo: su argumento es $\pi$ , salvo vueltas completas.

2a = \pi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}

a = \frac{\pi}{2}+k\pi = \frac{(2k+1)\pi}{2}

Es decir, $a$ tiene que ser un múltiplo impar de $\frac{\pi}{2}$ .

3 · Condición de módulo

1 < 2^{a} < 2^{6}

Escribiendo el 1 como $2^{0}$ y usando que $2^{t}$ es estrictamente creciente, se comparan los exponentes sin necesidad de logaritmos:

0 < a < 6

4 · Cruzar las dos

$k$	$a = \frac{(2k+1)\pi}{2}$	$\lvert z\rvert = 2^{a}$	¿vale?
$-1$	$-1{,}571$	$0{,}337$	no, $a<0$
$0$	$1{,}5708$	$2{,}971$	sí
$1$	$4{,}7124$	$26{,}23$	sí
$2$	$7{,}854$	$231{,}4$	no, $a>6$

\boxed{a = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708 \qquad\text{y}\qquad a = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}7124}

5 · Comprobación

Del primero.

z = 2^{\pi/2}e^{i\pi} = -2{,}971

Real ✔ negativo ✔ y $1<2{,}971<64$ ✔

Del segundo.

z = 2^{3\pi/2}e^{3i\pi} = 2^{4,712}\,e^{i\pi} = -26{,}23

—porque $e^{3i\pi} = e^{i\pi} = -1$ —. Real, negativo, y $1<26{,}23<64$ ✔

De que no hay más. El siguiente candidato, $k=2$ , da módulo $231$ , muy por encima de 64; y el anterior, $k=-1$ , da $a$ negativo, con módulo $0{,}337 < 1$ . La horquilla $0<a<6$ tiene anchura 6, y los candidatos van de $\pi$ en $\pi \approx 3{,}14$ : caben exactamente dos ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Segunda evaluación, 3 de diciembre de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos teoremas para el mismo extremo

COMP 26 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(x) = e^{x}\left(x-1\right)-x+2$ , $x \in [0,1]$ .

a) Enunciar el teorema de Lagrange (teorema del valor medio). Estudiar mediante este teorema la existencia de extremos locales de $f(x)$ .

b) Enunciar el teorema de Bolzano. Estudiar mediante este teorema la existencia de extremos locales de $f(x)$ .

Enunciar los dos teoremas y estudiar los extremos con cada uno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos apartados llegan a la misma conclusión. ¿Sobre qué función actúa cada teorema?
02
Los valores en los extremos
COMP2
¿Cuánto vale $f(1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada en los extremos
COMP2
$f'(x) = xe^{x}-1$ . ¿Cuánto vale $f'(1)$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los dos apartados. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (a) Lagrange. Si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ , existe $c\in(a,b)$ con $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .
2. Aquí $f$ es continua y derivable —producto y suma de funciones que lo son— y $f(0)=f(1)=1$ , así que el cociente vale 0 y existe $c\in(0,1)$ con $f'(c)=0$ : hay un punto crítico.
3. (b) Bolzano. Si $g$ es continua en $[a,b]$ y $g(a)$ , $g(b)$ tienen signos opuestos, existe $c\in(a,b)$ con $g(c)=0$ .
4. Se aplica a $g = f' = xe^{x}-1$ , que es continua, con $f'(0) = -1 < 0$ y $f'(1) = e-1 > 0$ . Existe $c$ con $f'(c)=0$ : el mismo punto crítico, por otro camino.
5. Y que es un mínimo lo da el signo: $f'' = e^{x}(1+x) > 0$ , así que $f'$ es estrictamente creciente y solo cruza el cero una vez, pasando de negativa a positiva.
El enunciado dice «estudiar la existencia de extremos», no «de puntos críticos». La diferencia son los cuatro puntos de COMP4.

Resolución completa

Datos. $f(x) = e^{x}(x-1)-x+2$ en $[0,1]$ .

1 · Preparar el terreno

Los valores en los extremos:

f(0) = e^{0}(-1)-0+2 = 1

f(1) = e^{1}\cdot0-1+2 = 1

f(0) = f(1) = 1

La derivada, que se simplifica notablemente:

f'(x) = e^{x}(x-1)+e^{x}-1 = e^{x}\left[(x-1)+1\right]-1 = xe^{x}-1

f'(0) = -1, \qquad f'(1) = e-1 \approx 1{,}718

Continuidad y derivabilidad: $f$ es suma y producto de una exponencial y polinomios, así que es de clase $C^{\infty}$ en $\mathbb{R}$ . Las hipótesis de los dos teoremas se cumplen sin discusión, y hay que decirlo.

2 · Apartado (a): Lagrange

Teorema de Lagrange. Si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ , existe al menos un $c\in(a,b)$ tal que
$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Aplicándolo en $[0,1]$ :

f'(c) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = \frac{1-1}{1} = 0

\boxed{\exists\, c \in (0,1) : f'(c) = 0}

Como $f(0)=f(1)$ , esto es en realidad Rolle — el caso particular de Lagrange con extremos iguales. Vale la pena señalarlo.

3 · Apartado (b): Bolzano

Teorema de Bolzano. Si $g$ es continua en $[a,b]$ y $g(a)$ y $g(b)$ tienen signos opuestos, existe al menos un $c\in(a,b)$ tal que $g(c)=0$ .

Bolzano no habla de derivadas, así que se aplica a $f'$ tratándola como una función cualquiera:

g(x) = f'(x) = xe^{x}-1

Es continua en $[0,1]$ —producto y suma de continuas— y

g(0) = -1 < 0, \qquad g(1) = e-1 > 0

Signos opuestos, luego

\boxed{\exists\, c \in (0,1) : f'(c) = 0}

La misma conclusión por otro camino. Y ese es el sentido del ejercicio: dos herramientas distintas que se encuentran en el mismo sitio.

4 · Pero eso todavía no son extremos

Los dos teoremas dan un punto crítico, no un extremo. Que $f'(c)=0$ es condición necesaria, no suficiente: $x^{3}$ tiene derivada nula en 0 y allí no hay extremo.

Para cerrarlo hace falta el signo de $f'$ :

f''(x) = e^{x}+xe^{x} = e^{x}(1+x)

En $[0,1]$ los dos factores son positivos, luego $f''>0$ y $f'$ es estrictamente creciente. Una función estrictamente creciente cruza el cero una sola vez, y lo hace pasando de negativa a positiva.

tramo	$f'$	$f$
$(0,c)$	$<0$	decrece
$(c,1)$	$>0$	crece

\boxed{\text{En } c \text{ hay un MÍNIMO local, y es el único extremo interior}}

5 · Dónde está y cuánto vale

El enunciado no lo pide, pero cierra el cuadro. La ecuación

ce^{c} = 1

no tiene solución en forma elemental —es la constante omega—, pero numéricamente

c \approx 0{,}5671, \qquad f(c) \approx 0{,}6696

6 · Comprobación

Que es mínimo, numéricamente:

$x$	$f(x)$
$0$	$1$
$0{,}3$	$0{,}755$
$0{,}5671$	$\mathbf{0{,}6696}$
$0{,}8$	$0{,}755$
$1$	$1$

El del punto crítico es el menor ✔ Y la simetría aproximada de los valores a los lados confirma que está cerca del centro.

Que $f'$ solo se anula una vez. $f'(x) = xe^{x}-1$ es estrictamente creciente en $[0,1]$ porque $f''>0$ , y va de $-1$ a $1{,}718$ : cruza el cero exactamente una vez ✔

De coherencia entre apartados. Lagrange dio $f'(c)=0$ usando que $f(0)=f(1)$ ; Bolzano lo dio usando que $f'(0)$ y $f'(1)$ tienen signos opuestos. Y las dos cosas son consistentes: si $f$ empieza y acaba igual pero baja en medio, su derivada tiene que cambiar de signo ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Segunda evaluación, 3 de diciembre de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Resolver una ecuación diferencial con una serie

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $y(x)$ una función tal que $y'(x) = y(x)+e^{x}$ e $y(0) = 0$ . Calcular el desarrollo en serie de $y(x)$ en $a=0$ . Utilizar este desarrollo para deducir cuál es la función $y(x)$ .

Calcular el desarrollo y deducir la función.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se obtienen las derivadas sucesivas en 0 sin conocer $y$ ?
02
Las primeras derivadas
COMP2
¿Cuánto vale $y'''(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente general
COMP2
El coeficiente de $x^{n}$ en el desarrollo es $\frac{1}{k!}$ . ¿Cuánto vale $k$ en función de $n$ ? Evalúalo para $n=5$ .
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción de la función. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las derivadas en 0 salen de derivar la ecuación repetidamente: $y^{(n)}(0) = n$ para todo $n\ge1$ , y $y(0)=0$ .
2. El desarrollo: $y(x) = \sum_{n\ge1}\frac{n}{n!}x^{n} = \sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{(n-1)!}$ .
3. Sacar factor común $x$ : $y(x) = x\sum_{n\ge1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ .
4. Cambiar el índice con $m = n-1$ : $y(x) = x\sum_{m\ge0}\frac{x^{m}}{m!}$ .
5. Y esa suma es la serie de la exponencial, así que $y(x) = xe^{x}$ .
Reconocer la serie de $e^{x}$ tras el cambio de índice es lo que el enunciado llama «deducir cuál es la función». Sin ese último paso el ejercicio queda a medias.

Resolución completa

Datos. $y' = y+e^{x}$ con $y(0)=0$ . Se pide el desarrollo en serie en $a=0$ y, a partir de él, la función.

1 · Las derivadas salen de la propia ecuación

No hace falta resolver la ecuación diferencial: la ecuación misma da las derivadas, una a una, evaluando en 0.

y(0) = 0 \qquad \text{(dato)}

y'(0) = y(0)+e^{0} = 0+1 = 1

Derivando la ecuación:

y'' = y'+e^{x} \;\Longrightarrow\; y''(0) = 1+1 = 2

y''' = y''+e^{x} \;\Longrightarrow\; y'''(0) = 2+1 = 3

y^{(4)}(0) = 3+1 = 4

Patrón:

y^{(n)}(0) = n \qquad \forall n\ge1

Cada derivada suma 1 a la anterior, porque el término $e^{x}$ vale siempre 1 en el origen.

2 · El desarrollo

y(x) = \sum_{n\ge0}\frac{y^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \underbrace{0}_{n=0}+\sum_{n\ge1}\frac{n}{n!}x^{n}

Y simplificando el coeficiente, que es donde está la gracia:

\frac{n}{n!} = \frac{n}{n\cdot(n-1)!} = \frac{1}{(n-1)!}

\boxed{y(x) = \sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{(n-1)!} = x+x^{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{4}}{6}+\cdots}

3 · Deducir la función

Sacando factor común $x$ :

y(x) = x\sum_{n\ge1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}

Y con el cambio de índice $m = n-1$ , que hace que la suma empiece en 0:

y(x) = x\sum_{m\ge0}\frac{x^{m}}{m!}

Esa suma es exactamente la serie de la exponencial:

\sum_{m\ge0}\frac{x^{m}}{m!} = e^{x}

\boxed{y(x) = x\,e^{x}}

4 · Comprobación

Que cumple la ecuación:

y' = e^{x}+xe^{x} = e^{x}(1+x)

y+e^{x} = xe^{x}+e^{x} = e^{x}(1+x)

Iguales ✔

Que cumple la condición inicial: $y(0) = 0\cdot1 = 0$ ✔

Que el desarrollo coincide. Multiplicando la serie de $e^{x}$ por $x$ :

x\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots\right) = x+x^{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{4}}{6}+\cdots

que son los términos obtenidos ✔

Numéricamente, en $x=0{,}5$ :

y(0{,}5) = 0{,}5\,e^{0,5} = 0{,}8244

y sumando los cuatro primeros términos del desarrollo:

0{,}5+0{,}25+0{,}0625+0{,}0104 = 0{,}8229

La diferencia es $1{,}5\cdot10^{-3}$ , del orden del siguiente término $\frac{x^{5}}{24} = 1{,}3\cdot10^{-3}$ ✔

5 · Por qué el método funciona

Es un caso de serie de potencias como método de resolución: en vez de integrar la ecuación, se construye la solución coeficiente a coeficiente.

Sirve especialmente cuando la ecuación no tiene solución elemental —y entonces la serie es la respuesta—. Aquí sí la tiene, y por eso el enunciado puede pedir «deducir cuál es la función»: la serie se reconoce.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Segunda evaluación, 3 de diciembre de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · Variante del ejercicio 4 de 2023-2024, que reparte el mismo alambre entre un cuadrado y un triángulo · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Diez metros de alambre entre un círculo y un cuadrado

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un alambre de 10 m de longitud se corta en dos partes. Con una de ellas se forma un círculo y con la otra un cuadrado. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima?

Calcular dónde hay que cortar el alambre.

01
Reconocer el camino
COMP1
Llamando $x$ a la parte del círculo, ¿cuál es su área?
02
Dónde cortar
COMP2
¿Cuántos metros hay que dedicar al círculo? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área mínima
COMP2
¿Cuánto vale la suma mínima de áreas? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número en metros cuadrados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La variable. $x$ es la parte del círculo, $10-x$ la del cuadrado, con $0\le x\le10$ .
2. Los radios y lados, que no son los trozos: el radio es $\frac{x}{2\pi}$ y el lado $\frac{10-x}{4}$ .
3. La función objetivo: $A(x) = \frac{x^{2}}{4\pi}+\frac{(10-x)^{2}}{16}$ .
4. Derivar e igualar: $\frac{x}{2\pi} = \frac{10-x}{8}$ , de donde $x = \frac{10\pi}{4+\pi} \approx 4{,}40$ m.
5. Justificar: $A''(x) = \frac{1}{2\pi}+\frac18 > 0$ constante, así que $A$ es una parábola convexa y el punto crítico es mínimo absoluto. No hace falta mirar los extremos.
En el ejercicio de 2023-2024 el reparto era entre cuadrado y triángulo, y el triángulo —el menos eficiente de los dos— recibía más. Misma lógica, distinto par de figuras.

Resolución completa

Datos. Alambre de 10 m repartido entre un círculo y un cuadrado; se pide minimizar la suma de áreas.

Es la variante del ejercicio 4 de 2023-2024, donde el reparto era entre un cuadrado y un triángulo equilátero. Mismo esquema, otro par de figuras — y conviene resolverlos juntos.

1 · Plantear

Sea $x$ la longitud destinada al círculo. Al cuadrado le quedan $10-x$ , con $0\le x\le10$ .

El error a evitar: $x$ es el perímetro, no el radio ni el lado.

figura	perímetro	dimensión	área
círculo	$x$	$r = \dfrac{x}{2\pi}$	$\pi r^{2} = \dfrac{x^{2}}{4\pi}$
cuadrado	$10-x$	$\ell = \dfrac{10-x}{4}$	$\dfrac{(10-x)^{2}}{16}$

A(x) = \frac{x^{2}}{4\pi}+\frac{(10-x)^{2}}{16}

2 · Optimizar

A'(x) = \frac{2x}{4\pi}-\frac{2(10-x)}{16} = \frac{x}{2\pi}-\frac{10-x}{8}

Igualando a cero y multiplicando por $8\pi$ :

4x = \pi\left(10-x\right) \;\Longrightarrow\; x\left(4+\pi\right) = 10\pi

\boxed{x = \frac{10\pi}{4+\pi} \approx 4{,}3990 \ \text{m} \ \text{para el círculo}}

10-x = \frac{40}{4+\pi} \approx 5{,}6010 \ \text{m} \ \text{para el cuadrado}

Que es mínimo:

A''(x) = \frac{1}{2\pi}+\frac18 > 0

constante y positiva: $A$ es una parábola convexa, y su mínimo absoluto está en el vértice. No hace falta discutir los extremos del intervalo.

3 · Cuánto vale

A_{\min} = \frac{4{,}399^{2}}{4\pi}+\frac{5{,}601^{2}}{16} = 1{,}5399+1{,}9607

\boxed{A_{\min} \approx 3{,}5006 \ \text{m}^{2}}

4 · Por qué al círculo le toca menos

Para un mismo perímetro $p$ :

figura	área
círculo	$\dfrac{p^{2}}{4\pi} = 0{,}0796\,p^{2}$
cuadrado	$\dfrac{p^{2}}{16} = 0{,}0625\,p^{2}$

El círculo es más eficiente: encierra un 27 % más de área con el mismo alambre. Es la desigualdad isoperimétrica, y el círculo la gana frente a cualquier otra figura.

Y como aquí se quiere minimizar, conviene darle menos material a la figura más eficiente. Por eso $4{,}40 < 5{,}60$ .

Si el problema pidiera el máximo, la respuesta sería dárselo todo al círculo.

5 · Comprobación

Numérica:

$x$	$A(x)$
$0$ (todo cuadrado)	$6{,}250$
$3$	$3{,}783$
$4{,}399$	$\mathbf{3{,}501}$
$6$	$3{,}865$
$10$ (todo círculo)	$7{,}958$

El del punto crítico es el menor ✔ Y el mayor está en $x=10$ , coherente con que el círculo sea la figura más eficiente.

Comparando con el ejercicio de 2023-2024, donde el reparto era cuadrado + triángulo:

	figura menos eficiente	recibe	área mínima
2018-2019	cuadrado	$5{,}60$ m	$3{,}50$ m²
2023-2024	triángulo	$5{,}65$ m	$2{,}72$ m²

En los dos, la figura menos eficiente se lleva algo más de la mitad ✔ Y el mínimo es más bajo en 2023-2024 porque el triángulo es todavía peor que el cuadrado, así que el par entero encierra menos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Segunda evaluación · 2018-2019

Reconocer el camino

El módulo y el argumento

El primer valor válido

Justificar el argumento

1 · La potencia, en polar

2 · Condición de argumento

3 · Condición de módulo

4 · Cruzar las dos

5 · Comprobación

Reconocer el camino

Los valores en los extremos

La derivada en los extremos

Justificar el argumento

1 · Preparar el terreno

2 · Apartado (a): Lagrange

3 · Apartado (b): Bolzano

4 · Pero eso todavía no son extremos

5 · Dónde está y cuánto vale

6 · Comprobación

Reconocer el camino

Las primeras derivadas

El coeficiente general

Justificar el argumento

1 · Las derivadas salen de la propia ecuación

2 · El desarrollo

3 · Deducir la función

4 · Comprobación

5 · Por qué el método funciona

Reconocer el camino

Dónde cortar

El área mínima

Justificar el argumento

1 · Plantear

2 · Optimizar

3 · Cuánto vale

4 · Por qué al círculo le toca menos

5 · Comprobación