tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2021-2022

10 de junio de 2022 · 9 ejercicios · 90 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un parámetro que se despeja y una región que sale de dos condicionesNúmeros complejos0 + 8 + 2 = 10 pts
a) Calcular el valor de $a\in\mathbb{R}$ para que el número complejo $z=\dfrac{8+8i}{a-2i}$ sea imaginario puro.

b) Sea $z_{1}=3+a\,i$ , donde $a$ es el valor obtenido en el apartado anterior. Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:
$\left\{ \begin{aligned} \left|z-z_{1}\right| &\le \left|\overline{z}+\overline{z_{1}}\right|\\ \left|z-\left(\overline{z_{1}}-i\right)\right| &\ge 2 \end{aligned} \right.$
El valor de a, y la región del plano que cumple las dos condiciones.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cinco afirmaciones sobre dos gráficas, y las cuatro que fallanEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Sean $f(x)$ y $g(x)$ las funciones cuyas gráficas se muestran en la figura. Decir, razonando formalmente, si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:

Figura redibujada del enunciado original. Las dos curvas pasan por nudos enteros de la cuadrícula, así que aquí se dibujan con las parábolas que los unen: f(x) = 6 − (x−3)² y g(u) = 1 + (u−5)².

a) La función $f^{-1}(x)$ definida en el intervalo $(3,4)$ es decreciente.

b) La función $f^{-1}(x)$ definida en el intervalo $(3,4)$ es convexa.

c) La función $h(x)=g(f(x))$ es creciente en el intervalo $(1,2)$ .

d) La función $h(x)=g(f(x))$ es cóncava en el intervalo $(1,2)$ .

e) Sea $P_{2}(x)=a+b(x-4)+c\left(x-4\right)^{2}$ el polinomio de Taylor de orden 2 de $f(x)$ . Entonces $a>0$ , $b<0$ , $c>0$ .
Verdadero o falso en las cinco, con el argumento.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos series conocidas, y una derivada número veinticinco sin derivarEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
a) Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de $f(x)=e^{\left|x\right|}$ .

b) Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de $g(x)=x^{2}\sin x$ .

c) Obtener $g^{24)}(0)$ y $g^{25)}(0)$ .
Las dos series y las dos derivadas en el origen.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
De dónde sale el tercio de la fórmula del conoIntegración1 + 7 + 2 = 10 pts
Utilizando la integral definida calcular el volumen de un cono de radio $r$ y altura $h$ .
El volumen, deducido con una integral y no citado de memoria.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cuenco parabólico rematado en punta, y su superficieIntegral múltiple0 + 8 + 2 = 10 pts
Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z$ ; $x^{2}+y^{2}\le(z-6)^{2}$ ; $0\le z\le6$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Calcular el área de la superficie de $S$ .
El dibujo del sólido y el área total de su superficie.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un segundo miembro con dos partes, y una de ellas resuenaEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO $y''+y'-6y=-e^{2x}+12x^{2}+2x+3$ .
La solución general.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un denominador sin raíces reales, y qué hacer con élTransformada de Laplace0 + 8 + 2 = 10 pts
Calcular $\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{s+3}{s^{2}+4s+5}\right)$ .
La función del tiempo cuya transformada es ese cociente.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El barco que persigue la mancha, resuelto con LaplaceTransformada de Laplace1 + 7 + 2 = 10 pts
Un petrolero ha naufragado y contaminado la superficie de cierta región marina. Las embarcaciones de limpieza que operan en la zona tienen la misión de ir recogiendo crudo de la superficie, pero moviéndose siempre en la trayectoria en la que mayor concentración de crudo encuentren. Se ha estimado que la concentración de crudo en cada punto $(x,y)$ de esa zona viene dada por la función $F(x,y)=x^{2}+y^{2}+x\,y$ . Supongamos que una embarcación de limpieza se encuentra en el punto $(1,1)$ y que se desea calcular la trayectoria $\left(x(t),y(t)\right)$ que deberá seguir.

a) Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales que deben verificar $x(t)$ e $y(t)$ .

b) Utilizando la transformada de Laplace resolver el sistema anterior y obtener $x(t)$ e $y(t)$ .
El sistema con sus condiciones iniciales, y las dos funciones.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La onda cuadrada, y de dónde sale la serie de LeibnizIntroducción al análisis de Fourier0 + 8 + 2 = 10 pts
Sea $f(t)$ la función periódica de período $T=2\pi$ definida de la siguiente forma:
$f(t)= \begin{cases} 1 & 0\le t\le\pi\\[2pt] 0 & \pi<t<2\pi \end{cases}$
a) Dibujar la función periódica $f(t)$ .

b) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

c) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=4\pi$ y $t=\dfrac{\pi}{2}$ .

d) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}$ .
La serie, los valores del apartado c) y la suma pedida.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un parámetro que se despeja y una región que sale de dos condiciones

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el valor de $a\in\mathbb{R}$ para que el número complejo $z=\dfrac{8+8i}{a-2i}$ sea imaginario puro.

b) Sea $z_{1}=3+a\,i$ , donde $a$ es el valor obtenido en el apartado anterior. Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:

\left\{ \begin{aligned} \left|z-z_{1}\right| &\le \left|\overline{z}+\overline{z_{1}}\right|\\ \left|z-\left(\overline{z_{1}}-i\right)\right| &\ge 2 \end{aligned} \right.

El valor de a, y la región del plano que cumple las dos condiciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que imponer para que $z$ sea imaginario puro?
02
El parámetro
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El centro del disco excluido
COMP2
La segunda condición habla del punto $\overline{z_{1}}-i$ . ¿Cuál es su parte imaginaria?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe el lugar geométrico en $x$ e $y$ , ya simplificado. La figura comprobará si es la misma región que la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa & para juntar las dos condiciones y ^2 para los cuadrados
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como $\overline{z}+\overline{z_{1}}=\overline{z+z_{1}}$ y conjugar no cambia el módulo, la primera condición es $\left|z-z_{1}\right|\le\left|z+z_{1}\right|$ .
2. Escrita así, dice que $z$ está al menos tan cerca de $z_{1}$ como de $-z_{1}$ : es el semiplano que deja la mediatriz de esos dos puntos, que pasa por el origen y es perpendicular a $z_{1}$ .
3. En coordenadas esa mediatriz es $3x+2y=0$ , y el semiplano bueno es $3x+2y\ge0$ , el que contiene a $z_{1}$ .

Resolución completa

a) El parámetro. Se multiplica por el conjugado del denominador y se anula la parte real:

z=\frac{(8+8i)(a+2i)}{a^{2}+4} =\frac{(8a-16)+i(8a+16)}{a^{2}+4}

8a-16=0\;\Longrightarrow\;a=2, \qquad z=\frac{32i}{8}=4i

Conviene decir en voz alta que la parte imaginaria no se anula, porque «imaginario puro» excluye el cero.

b) La primera condición, sin cuentas. Con $z_{1}=3+2i$ :

\left|\overline{z}+\overline{z_{1}}\right| =\left|\overline{z+z_{1}}\right| =\left|z+z_{1}\right|

porque la suma de conjugados es el conjugado de la suma y el conjugado tiene el mismo módulo. La condición se convierte en

\left|z-z_{1}\right|\le\left|z+z_{1}\right|

que se lee sola: estar más cerca de $z_{1}$ que de $-z_{1}$ . Eso es un semiplano, el que limita la mediatriz del segmento que une $-z_{1}$ con $z_{1}$ ; y como ese segmento tiene su punto medio en el origen, la mediatriz pasa por el origen y es perpendicular a $z_{1}$ .

Haciendo la cuenta, que es la comprobación:

(x-3)^{2}+(y-2)^{2}\le(x+3)^{2}+(y+2)^{2} \;\Longrightarrow\; -12x-8y\le0 \;\Longrightarrow\; 3x+2y\ge0

La segunda. $\overline{z_{1}}-i=3-3i$ , así que

\left|z-(3-3i)\right|\ge2 \;\Longrightarrow\; (x-3)^{2}+(y+3)^{2}\ge4

el exterior del disco de centro $(3,-3)$ y radio $2$ , con su circunferencia.

El dibujo. El centro del disco está a distancia $\frac{\left|3\cdot3+2\cdot(-3)\right|}{\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}} \approx0{,}83$ de la recta, menos que el radio: la recta corta al disco, así que el agujero se come un trozo del borde del semiplano.

El lugar geométrico. La región sombreada es el semiplano de la derecha menos el disco. Las dos fronteras van con trazo continuo porque las dos desigualdades permiten la igualdad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · Es literalmente el mismo ejercicio, figura incluida, que el 2 de la ordinaria de 2023-2024 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cinco afirmaciones sobre dos gráficas, y las cuatro que fallan

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $f(x)$ y $g(x)$ las funciones cuyas gráficas se muestran en la figura. Decir, razonando formalmente, si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:

Figura redibujada del enunciado original. Las dos curvas pasan por nudos enteros de la cuadrícula, así que aquí se dibujan con las parábolas que los unen: f(x) = 6 − (x−3)² y g(u) = 1 + (u−5)².

a) La función $f^{-1}(x)$ definida en el intervalo $(3,4)$ es decreciente.

b) La función $f^{-1}(x)$ definida en el intervalo $(3,4)$ es convexa.

c) La función $h(x)=g(f(x))$ es creciente en el intervalo $(1,2)$ .

d) La función $h(x)=g(f(x))$ es cóncava en el intervalo $(1,2)$ .

e) Sea $P_{2}(x)=a+b(x-4)+c\left(x-4\right)^{2}$ el polinomio de Taylor de orden 2 de $f(x)$ . Entonces $a>0$ , $b<0$ , $c>0$ .

Verdadero o falso en las cinco, con el argumento.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para decidir si $f^{-1}$ es decreciente en $(3,4)$ , ¿qué hay que mirar?
02
El coeficiente de segundo grado
COMP2
En el polinomio del apartado e), ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada de la composición
COMP2
¿Cuánto vale $h'(1{,}5)$ , con $h=g\circ f$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de la curvatura de $h$ en $(1,2)$ . Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $h'=g'(f)\,f'$ , y derivando otra vez $h''=g''(f)\left(f'\right)^{2}+g'(f)\,f''$ .
2. $g''=2>0$ siempre y $\left(f'\right)^{2}\ge0$ , así que el primer sumando no es negativo.
3. En $(1,2)$ se tiene $f<5$ , luego $g'(f)<0$ ; y $f''=-2<0$ , así que el segundo sumando también es positivo. $h''>0$ : convexa, no cóncava, y d) es falsa.

Resolución completa

De entrada, algo que conviene saber: este ejercicio es el mismo, con la misma figura y el mismo reparto de puntos, que el ejercicio 2 de la convocatoria ordinaria de 2023-2024. Si ya lo has hecho allí, aquí lo que cambia son las preguntas guiadas, no el problema.

a) CIERTA. En $(3,4)$ la parábola ya pasó su máximo y decrece, así que es inyectiva y tiene inversa. Y

\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\!\left(f^{-1}(y)\right)}

un inverso tiene el signo de lo que invierte: $f'<0$ implica $\left(f^{-1}\right)'<0$ .

b) FALSA. Derivando otra vez,

\left(f^{-1}\right)''=-\frac{f''}{\left(f'\right)^{3}}

En $(3,4)$ se tiene $f''=-2<0$ y $f'<0$ , luego $\left(f'\right)^{3}<0$ y el cociente $\frac{f''}{(f')^{3}}$ es positivo; con el menos delante, $\left(f^{-1}\right)''<0$ : cóncava, no convexa.

c) FALSA. $h'=g'(f)\,f'$ . En $(1,2)$ , $f$ crece — $f'>0$ — pero toma valores por debajo de $5$ , donde $g$ decrece — $g'<0$ —. El producto es negativo: $h$ decrece.

d) FALSA.

h''=g''(f)\left(f'\right)^{2}+g'(f)\,f''

El primer sumando es $2\left(f'\right)^{2}\ge0$ . El segundo es producto de dos negativos, $g'(f)<0$ y $f''=-2<0$ , así que es positivo. Total: $h''>0$ , convexa.

e) FALSA. $a=f(4)=5>0$ y $b=f'(4)=-2<0$ se cumplen, pero $c=f''(4)/2=-1<0$ . La afirmación falla solo por el tercer signo, y merece la pena decirlo así: en un examen, «falsa» a secas vale menos que «falsa, y falla solo en $c$ ».

Lo que hay que llevarse. De las cinco, cuatro son falsas. El ejercicio no premia la intuición sino el hábito de escribir la fórmula de la derivada correspondiente y mirar el signo de cada factor por separado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos series conocidas, y una derivada número veinticinco sin derivar

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de $f(x)=e^{\left|x\right|}$ .

b) Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de $g(x)=x^{2}\sin x$ .

c) Obtener $g^{24)}(0)$ y $g^{25)}(0)$ .

Las dos series y las dos derivadas en el origen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué le pasa a $e^{\left|x\right|}$ en el origen?
02
El primer término de la otra serie
COMP2
En el desarrollo de $g(x)=x^{2}\sin x$ , ¿cuál es el exponente del primer término no nulo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada veinticinco
COMP2
¿Cuánto vale $g^{25)}(0)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La serie de McLaurin de $g$ es $\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+3}$ , y por unicidad del desarrollo el coeficiente de $x^{n}$ es $\frac{g^{n)}(0)}{n!}$ .
2. Como todos los exponentes son impares, el coeficiente de $x^{24}$ es cero y por tanto $g^{24)}(0)=0$ .
3. Para $x^{25}$ se resuelve $2k+3=25$ , sale $k=11$ y el coeficiente es $\frac{-1}{23!}$ .

Resolución completa

a) La serie de $e^{\left|x\right|}$ , y la advertencia que la acompaña. Sustituyendo $u=\left|x\right|$ en $e^{u}=\sum u^{n}/n!$ :

e^{\left|x\right|}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left|x\right|^{n}}{n!} =1+\left|x\right|+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{\left|x\right|^{3}}{3!}+\cdots

y converge para todo $x$ , porque la de $e^{u}$ converge en todo $\mathbb{R}$ .

Ahora la parte que vale COMP 4: esto no es una serie de potencias de $x$ . Un desarrollo de McLaurin de verdad necesita todas las derivadas en el origen, y $e^{\left|x\right|}$ no es derivable ahí: por la derecha vale $e^{x}$ , con derivada $1$ ; por la izquierda $e^{-x}$ , con derivada $-1$ . Lo que sí se puede decir, y es equivalente, es que

e^{\left|x\right|}= \begin{cases} \sum_{n\ge0}\frac{x^{n}}{n!} & x\ge0\\[4pt] \sum_{n\ge0}\frac{(-x)^{n}}{n!} & x\le0 \end{cases}

dos series de potencias distintas, una a cada lado.

b) La serie de $x^{2}\sin x$ . Aquí no hay ninguna trampa: se toma la de $\sin x$ y se multiplica.

g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\,x^{2k+3} =x^{3}-\frac{x^{5}}{6}+\frac{x^{7}}{120}-\cdots

c) Las dos derivadas, sin derivar ni una vez. La unicidad del desarrollo dice que el coeficiente de $x^{n}$ vale $\frac{g^{n)}(0)}{n!}$ . Entonces:

$g^{24)}(0)=0$ , porque no hay término en $x^{24}$ : todos los exponentes son impares. Otra forma de verlo: $g$ es impar, y las derivadas de orden par de una función impar se anulan en el origen.
$g^{25)}(0)$ : el exponente $25$ aparece con $k=11$ y coeficiente $\frac{-1}{23!}$ , luego

g^{25)}(0)=25!\cdot\frac{-1}{23!}=-25\cdot24=-600

Derivar veinticinco veces $x^{2}\sin x$ con la regla de Leibniz también funciona y es un ejercicio perfectamente resoluble, pero en un examen sin calculadora cuesta media hora. La serie lo resuelve en dos líneas, y esa es exactamente la razón de que los apartados a) y b) vayan delante.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

De dónde sale el tercio de la fórmula del cono

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la integral definida calcular el volumen de un cono de radio $r$ y altura $h$ .

El volumen, deducido con una integral y no citado de memoria.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué función hay que integrar, y respecto de qué variable?
02
El radio de una sección
COMP2
En un cono de radio $6$ y altura $10$ con el vértice arriba, ¿cuánto mide el radio de la sección a la altura $z=4$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El factor de la fórmula
COMP2
El volumen sale de la forma $V=k\,\pi r^{2}h$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se coloca el cono con la base en $z=0$ y el vértice en $z=h$ , y se corta por planos horizontales.
2. Cada corte es un disco cuyo radio va de $r$ a $0$ en línea recta, es decir $\rho(z)=r\left(1-\frac{z}{h}\right)$ .
3. El volumen es la integral de las áreas de esos discos, $V=\int_{0}^{h}\pi\rho(z)^{2}dz=\frac{\pi r^{2}h}{3}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cuenco parabólico rematado en punta, y su superficie

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z$ ; $x^{2}+y^{2}\le(z-6)^{2}$ ; $0\le z\le6$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Calcular el área de la superficie de $S$ .

El dibujo del sólido y el área total de su superficie.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿A qué altura se cortan las dos superficies que limitan el sólido?
02
El área del casquete parabólico
COMP2
¿Cuánto mide el área de la parte de paraboloide que limita el sólido?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área total
COMP2
¿Cuánto mide la superficie completa de $S$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera condición pone el sólido dentro del paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$ , es decir, por encima de él; la segunda lo pone dentro del cono $r=6-z$ ; y la tercera lo corta entre $z=0$ y $z=6$ .
2. Las dos superficies se cortan en $z=4$ , $r=2$ : por debajo manda el paraboloide, que es más estrecho, y por encima manda el cono.
3. La frontera es entonces el casquete de paraboloide con $r\le2$ más la parte de cono entre $z=4$ y el vértice; no hay ninguna cara plana, porque el paraboloide se cierra en el origen y el cono en su vértice.

Resolución completa

a) Qué sólido es. Tres condiciones, y conviene traducirlas una a una:

$x^{2}+y^{2}\le z$ deja los puntos por encima del paraboloide $z=r^{2}$ : el interior del cuenco.
$x^{2}+y^{2}\le(z-6)^{2}$ es el interior del cono de vértice $(0,0,6)$ ; con $z\le6$ la condición es $r\le6-z$ .
$0\le z\le6$ recorta la franja.

Se cortan donde $\sqrt z=6-z$ , o sea $z^{2}-13z+36=0$ , con raíces $4$ y $9$ . La buena es $z=4$ , y ahí el radio común es $2$ . Por debajo de esa altura el paraboloide es más estrecho y es él quien limita; por encima lo es el cono.

La sección meridiana del sólido. El sólido es lo que sale de girar este perfil alrededor del eje vertical: un cuenco parabólico hasta la altura 4, donde el radio vale 2, y desde ahí un cono que se cierra en punta en la altura 6.

b) La superficie, que son dos trozos y ninguna tapa. Merece la pena pararse en esto antes de integrar: el sólido no tiene ninguna cara plana. Abajo el paraboloide se cierra en el origen, arriba el cono se cierra en su vértice, y el disco de radio $2$ a la altura $4$ es interior, no frontera.

El casquete parabólico. Para una superficie $z=g(x,y)$ ,

dS=\sqrt{1+g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}\,dA =\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr\,d\theta

A_{1}=2\pi\int_{0}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr =2\pi\left[\frac{(1+4r^{2})^{3/2}}{12}\right]_{0}^{2} =\frac{\pi\left(17\sqrt{17}-1\right)}{6}

El cono. Se puede integrar igual —para $z=6-r$ el factor es $\sqrt2$ , y $A_{2}=2\pi\sqrt2\int_{0}^{2}r\,dr=4\sqrt2\,\pi$ — o usar directamente la fórmula del área lateral, $\pi Rg$ , con $R=2$ y generatriz $g=2\sqrt2$ . Sale lo mismo, y en un examen sin calculadora la segunda vía ahorra tiempo si se justifica.

El total.

A=\frac{\pi\left(17\sqrt{17}-1\right)}{6}+4\sqrt2\,\pi \approx36{,}18+17{,}77=53{,}95

Comprobación de sentido. La esfera que envolvería al sólido tendría radio algo más de $3$ y área del orden de $110$ ; una superficie de $54$ para un cuerpo que cabe holgadamente dentro es razonable. Y el casquete parabólico, que es más ancho y más curvado, pesa el doble que el cono: también encaja.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un segundo miembro con dos partes, y una de ellas resuena

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $y''+y'-6y=-e^{2x}+12x^{2}+2x+3$ .

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para el trozo $-e^{2x}$ del segundo miembro, ¿por qué no sirve el ensayo $y_{p}=Ae^{2x}$ ?
02
El coeficiente de la parte exponencial
COMP2
Con el ensayo $y_{p}=A\,x\,e^{2x}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El término independiente del polinomio
COMP2
Con el ensayo $y_{q}=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma$ para la parte polinómica, ¿cuánto vale $\gamma$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica $r^{2}+r-6=0$ tiene raíces $2$ y $-3$ , así que la homogénea es $C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x}$ .
2. Por superposición se busca una particular para cada trozo del segundo miembro y se suman.
3. Para $-e^{2x}$ , como $2$ es raíz simple, el ensayo es $Axe^{2x}$ y sale $A=-\frac15$ ; para el polinomio de grado dos, el ensayo es un polinomio de grado dos y sale $-2x^{2}-x-\frac43$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un denominador sin raíces reales, y qué hacer con él

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular $\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{s+3}{s^{2}+4s+5}\right)$ .

La función del tiempo cuya transformada es ese cociente.

01
Reconocer el camino
COMP1
El denominador $s^{2}+4s+5$ no tiene raíces reales. ¿Qué se hace?
02
El resto tras separar el coseno
COMP2
Escrito como $\dfrac{s+2}{(s+2)^{2}+1}+\dfrac{k}{(s+2)^{2}+1}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un valor de la antitransformada
COMP2
¿Cuánto vale $f(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se completan cuadrados en el denominador, $s^{2}+4s+5=(s+2)^{2}+1$ , y se escribe el numerador en función de $s+2$ : $s+3=(s+2)+1$ .
2. El primer sumando, $\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}$ , es la transformada de $e^{-2t}\cos t$ por el teorema de desplazamiento en $s$ .
3. El segundo, $\frac{1}{(s+2)^{2}+1}$ , es la de $e^{-2t}\sin t$ , y por linealidad $f(t)=e^{-2t}\left(\cos t+\sin t\right)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El barco que persigue la mancha, resuelto con Laplace

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un petrolero ha naufragado y contaminado la superficie de cierta región marina. Las embarcaciones de limpieza que operan en la zona tienen la misión de ir recogiendo crudo de la superficie, pero moviéndose siempre en la trayectoria en la que mayor concentración de crudo encuentren. Se ha estimado que la concentración de crudo en cada punto $(x,y)$ de esa zona viene dada por la función $F(x,y)=x^{2}+y^{2}+x\,y$ . Supongamos que una embarcación de limpieza se encuentra en el punto $(1,1)$ y que se desea calcular la trayectoria $\left(x(t),y(t)\right)$ que deberá seguir.

a) Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales que deben verificar $x(t)$ e $y(t)$ .

b) Utilizando la transformada de Laplace resolver el sistema anterior y obtener $x(t)$ e $y(t)$ .

El sistema con sus condiciones iniciales, y las dos funciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué sistema hay que plantear?
02
La velocidad inicial
COMP2
¿Cuánto vale $x'(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Dónde está el barco al cabo de una unidad de tiempo
COMP2
¿Cuánto vale $x(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. «Moverse siempre hacia donde más concentración hay» significa que el vector velocidad lleva en cada instante la dirección del gradiente, así que $x'=F_{x}$ e $y'=F_{y}$ .
2. Con $F=x^{2}+y^{2}+xy$ eso es $x'=2x+y$ , $y'=x+2y$ , y el barco parte de $(1,1)$ , luego $x(0)=y(0)=1$ .
3. Transformando y resolviendo, el determinante $(s-1)(s-3)$ se simplifica con el numerador y queda $X=Y=\frac{1}{s-3}$ , es decir $x(t)=y(t)=e^{3t}$ .

Resolución completa

a) De la frase al sistema. «Moverse siempre en la trayectoria en la que mayor concentración encuentren» es la definición de seguir el gradiente: en cada punto, la dirección de máximo crecimiento de $F$ es $\nabla F$ . Si el barco lleva esa dirección en todo instante,

\left\{ \begin{aligned} x'(t)&=F_{x}=2x+y\\ y'(t)&=F_{y}=x+2y\\ x(0)&=y(0)=1 \end{aligned} \right.

Un apunte que vale COMP 4: el enunciado fija la dirección, no la rapidez. Tomar $\left(x',y'\right)=\nabla F$ es la elección natural —la velocidad es el propio gradiente— y con ella la trayectoria geométrica queda determinada; cualquier otra parametrización de la misma curva también valdría.

b) Laplace. Con $\mathcal{L}\{x'\}=sX-1$ :

\left\{ \begin{aligned} (s-2)X-Y&=1\\ -X+(s-2)Y&=1 \end{aligned} \right. \qquad \det=(s-2)^{2}-1=(s-1)(s-3)

X=\frac{(s-2)\cdot1+1\cdot1}{(s-1)(s-3)} =\frac{s-1}{(s-1)(s-3)} =\frac{1}{s-3}

y lo mismo para $Y$ . Por tanto

x(t)=y(t)=e^{3t}

La simplificación importa. Si uno no ve que el numerador y el determinante comparten el factor $s-1$ y se lanza a las fracciones simples, aparece un término en $e^{t}$ con coeficiente cero, y con él la oportunidad de equivocarse. La señal es la de siempre: antes de descomponer, mira si numerador y denominador tienen algo en común.

Qué dice el resultado. La trayectoria es $x=y=e^{3t}$ : la recta $y=x$ , recorrida cada vez más deprisa. Tiene sentido, porque $F$ es simétrica en $x$ e $y$ y el punto de partida está sobre la bisectriz; cualquier desvío rompería una simetría que nada rompe. Y el $3$ es el autovalor de $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ asociado al vector $(1,1)$ , que es la dirección de arranque.

Un detalle físico honesto: el modelo manda al barco al infinito, porque $F$ no tiene máximo. Es lo que pasa cuando se toma una parábola como modelo de una mancha real: sirve cerca del punto de partida y deja de servir lejos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La onda cuadrada, y de dónde sale la serie de Leibniz

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)$ la función periódica de período $T=2\pi$ definida de la siguiente forma:

f(t)= \begin{cases} 1 & 0\le t\le\pi\\[2pt] 0 & \pi<t<2\pi \end{cases}

a) Dibujar la función periódica $f(t)$ .

b) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

c) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=4\pi$ y $t=\dfrac{\pi}{2}$ .

d) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}$ .

La serie, los valores del apartado c) y la suma pedida.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los coeficientes $a_{n}$ con $n\ge1$ salen todos cero. ¿Por qué?
02
El término constante
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{a_{0}}{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El primer armónico
COMP2
¿Cuánto vale $b_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La suma pedida
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El teorema de Dirichlet dice que en un punto de salto la serie converge a la semisuma de los límites laterales, y en un punto de continuidad al valor de la función.
2. $4\pi$ es congruente con $0$ módulo $2\pi$ , y ahí hay salto: por la izquierda $f$ vale $0$ y por la derecha $1$ , luego $S(4\pi)=\frac12$ .
3. En cambio $f(4\pi)=f(0)=1$ , porque el enunciado cierra el intervalo por la izquierda: la función y su serie no coinciden en ese punto.

Resolución completa

a) El dibujo. Un peldaño de altura $1$ durante media vuelta y cero durante la otra media, repetido cada $2\pi$ . El enunciado cierra el intervalo por los dos lados en el peldaño de arriba — $0\le t\le\pi$ —, así que en los saltos el valor alcanzado es el $1$ .

La onda cuadrada. Punto lleno donde el valor se alcanza y hueco donde no: en cada salto la función vale 1, según el enunciado.

b) La serie. El camino corto es restar la media:

u(t)=f(t)-\frac12= \begin{cases}+\frac12&0\le t\le\pi\\[2pt]-\frac12&\pi<t<2\pi\end{cases}

que es impar, y por tanto solo tiene senos. La media vuelve como término constante:

\frac{a_{0}}{2}=\frac12, \qquad a_{n}=0\ (n\ge1), \qquad b_{n}=\frac{1-(-1)^{n}}{n\pi}

S(t)=\frac12+\frac{2}{\pi} \left(\sin t+\frac{\sin 3t}{3}+\frac{\sin 5t}{5}+\cdots\right)

c) Los dos puntos, que son distintos a propósito.

t=4\pi\equiv0:\qquad S=\frac{0+1}{2}=\frac12,\qquad f(4\pi)=1

t=\frac\pi2:\qquad S=f=1

El primero es un salto y el segundo un punto de continuidad. Que la serie no reproduzca la función en $t=4\pi$ no es un fallo del cálculo: es lo que dice Dirichlet, y decirlo con esas palabras es lo que puntúa.

d) La suma. El apartado c) no estaba ahí por gusto: ha localizado el punto donde $S=f$ . En $t=\frac\pi2$ los senos impares valen $(-1)^{k}$ , y

1=\frac12+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1} \;\Longrightarrow\; \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}=\frac{\pi}{4}

que es la serie de Leibniz. La del enunciado lleva $(-1)^{n+1}$ , es decir, es esta con todos los signos cambiados:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}=-\frac{\pi}{4}

Dos cuidados que cuestan la mitad del apartado: elegir un punto de continuidad para poder igualar $S=f$ —en $t=0$ la igualdad sería falsa—, y mirar el exponente del $(-1)$ antes de escribir el resultado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2021-2022

Reconocer el camino

El parámetro

El centro del disco excluido

Verificar la región

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de segundo grado

La derivada de la composición

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer término de la otra serie

La derivada veinticinco

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El radio de una sección

El factor de la fórmula

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El área del casquete parabólico

El área total

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de la parte exponencial

El término independiente del polinomio

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El resto tras separar el coseno

Un valor de la antitransformada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad inicial

Dónde está el barco al cabo de una unidad de tiempo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término constante

El primer armónico

La suma pedida

Justificar el argumento