tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2015-2016

24 de mayo de 2016 · 7 ejercicios · 70 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un cociente que es real, y otro que es imaginario puroNúmeros complejos1 + 5 + 4 = 10 pts
Calcular y representar el lugar geométrico de los afijos de los complejos que verifican las condiciones siguientes:

a) $\omega=\dfrac{2z-i}{2+iz}\in\mathbb{R}$ ; b) $\omega=\dfrac{2z-i}{2+iz}$ es imaginario puro.
Los dos lugares, dibujados y con los puntos que hay que excluir.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cuatro integrales que hay que interpretar antes de calcularIntegración4 + 2 + 4 = 10 pts
La posición de una partícula está descrita por la función $x(t)$ , donde $x$ se mide en metros y $t$ en segundos (ver figura). Su velocidad por lo tanto será $v(t)=x'(t)$ y su aceleración $a(t)=x''(t)$ .

Figura redibujada del enunciado original. La curva pasa por nudos enteros de la cuadrícula, así que aquí se dibuja con la función que los une: x(t) = 2 − cos(πt/2), entre 1 y 3 metros.

a) Estimar $\dfrac18\displaystyle\int_{0}^{8}x(t)\,dt$ . ¿Cuál es su significado?

b) Calcular $\displaystyle\int_{0}^{1}v(t)\,dt$ . ¿Cuál es su significado?

c) Calcular $\dfrac14\displaystyle\int_{2}^{6}a(t)\,dt$ . ¿Cuál es su significado?

d) ¿Cuál es el signo de $\displaystyle\int_{2}^{4}a'(t)\,dt$ ?
Los cuatro valores y, sobre todo, qué significa cada uno.
- COMP 14 puntos por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cuál es la función y cuál la derivada, y qué hace su cuadradoEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 3 + 5 = 10 pts
La figura muestra las gráficas de una función $F(x)$ y de su derivada $F'(x)$ , definidas en un intervalo $[a,b]$ . Se pide:

Figura redibujada del enunciado original, que está hecho a mano. Se conserva lo que decide el ejercicio: una curva tiene una meseta casi horizontal a la izquierda y un mínimo profundo a la derecha; la otra tiene una joroba justo donde la primera corta al eje.

a) Identificar de forma razonada qué gráfica corresponde a $F(x)$ y qué gráfica corresponde a $F'(x)$ .

b) Estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos de la nueva función $h(x)=\left(F(x)\right)^{2}$ .
Quién es quién, y la monotonía y los extremos de F al cuadrado.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una integral impropia que la tabla de Laplace resuelve solaTransformada de Laplace0 + 4 + 6 = 10 pts
Aplicando la transformada de Laplace calcular el valor de la siguiente integral:
$\int_{0}^{\infty}t^{17}e^{-5t}\,dt$
El valor de la integral, y por qué la transformada la da directamente.
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 46 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cuenco parabólico con tapa esférica, y su superficieIntegral múltiple2 + 5 + 3 = 10 pts
Considerar el sólido delimitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z$ ; $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 6$ . Dibujar el sólido y calcular el área de su superficie.
El dibujo y el área total.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un polinomio, un seno que resuena y dos condiciones inicialesEcuaciones diferenciales0 + 7 + 3 = 10 pts
Resolver la siguiente EDO:
$\left\{ \begin{aligned} y''(x)+9y(x)&=x^{2}-x+13\operatorname{sen}(3x)\\ y(0)&=1\\ y'(0)&=0 \end{aligned} \right.$
La solución del problema de valores iniciales.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El diente de sierra clásico, y Leibniz al finalIntroducción al análisis de Fourier0 + 6 + 4 = 10 pts
Sea la $f(t)$ función periódica de periodo $2\pi$ definida del modo siguiente:
$f(t)=t\qquad -\pi<t<\pi$
a) Dibujar $f(t)$ .

b) Obtener su serie de Fourier $S(t)$ .

c) Calcular $S(0)$ , $S\left(\dfrac{121\pi}{2}\right)$ , $S(2001\pi)$ .

d) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$ .
El dibujo, la serie, los tres valores y la suma.
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 24 de mayo de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cociente que es real, y otro que es imaginario puro

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar el lugar geométrico de los afijos de los complejos que verifican las condiciones siguientes:

a) $\omega=\dfrac{2z-i}{2+iz}\in\mathbb{R}$ ; b) $\omega=\dfrac{2z-i}{2+iz}$ es imaginario puro.

Los dos lugares, dibujados y con los puntos que hay que excluir.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que anular en cada apartado?
02
El radio de la circunferencia
COMP2
El apartado a) da una circunferencia. ¿Cuánto vale su radio?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto que sobra en los dos apartados
COMP2
¿Cuál es la parte imaginaria del punto donde se anula el denominador?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $z=x+iy$ y multiplicando por el conjugado del denominador, $\omega=\frac{3x+i\left(-2x^{2}-2y^{2}+5y-2\right)}{(2-y)^{2}+x^{2}}$ .
2. a) Anulando la parte imaginaria sale $x^{2}+\left(y-\frac54\right)^{2}=\frac{9}{16}$ : la circunferencia de centro $\left(0,\frac54\right)$ y radio $\frac34$ , quitando $z=2i$ .
3. b) Anulando la parte real, $3x=0$ , queda el eje imaginario; y hay que quitar $z=2i$ y también $z=\frac i2$ , donde $\omega=0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 24 de mayo de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuatro integrales que hay que interpretar antes de calcular

COMP 14 puntos por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La posición de una partícula está descrita por la función $x(t)$ , donde $x$ se mide en metros y $t$ en segundos (ver figura). Su velocidad por lo tanto será $v(t)=x'(t)$ y su aceleración $a(t)=x''(t)$ .

Figura redibujada del enunciado original. La curva pasa por nudos enteros de la cuadrícula, así que aquí se dibuja con la función que los une: x(t) = 2 − cos(πt/2), entre 1 y 3 metros.

a) Estimar $\dfrac18\displaystyle\int_{0}^{8}x(t)\,dt$ . ¿Cuál es su significado?

b) Calcular $\displaystyle\int_{0}^{1}v(t)\,dt$ . ¿Cuál es su significado?

c) Calcular $\dfrac14\displaystyle\int_{2}^{6}a(t)\,dt$ . ¿Cuál es su significado?

d) ¿Cuál es el signo de $\displaystyle\int_{2}^{4}a'(t)\,dt$ ?

Los cuatro valores y, sobre todo, qué significa cada uno.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\,dt$ ?
02
La media de la posición
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac18\displaystyle\int_{0}^{8}x(t)\,dt$ , en metros?
Tu respuesta al paso 2un número en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El desplazamiento del primer segundo
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_{0}^{1}v(t)\,dt$ , en metros?
Tu respuesta al paso 3un número en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración media
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac14\displaystyle\int_{2}^{6}a(t)\,dt$ ?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado d). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por Barrow, $\int_{2}^{4}a'(t)\,dt=a(4)-a(2)$ : el signo lo decide cuánto vale la aceleración en los extremos, no lo que haga en medio.
2. En $t=2$ la posición tiene un máximo, así que la curva es cóncava y $a(2)<0$ ; en $t=4$ tiene un mínimo, la curva es convexa y $a(4)>0$ .
3. Luego $a(4)-a(2)$ es positivo menos negativo: positivo.

Resolución completa

De qué va este ejercicio. Es el único del corpus con cuatro puntos de COMP 1 —reconocer— y solo dos de cálculo. No se trata de integrar: se trata de saber qué significa cada integral antes de escribir un número.

La curva pasa por nudos enteros y es $x(t)=2-\cos\frac{\pi t}{2}$ : dos oscilaciones completas entre $1$ y $3$ metros.

a) La posición media. El factor $\frac18$ delante de la integral sobre un intervalo de longitud $8$ es la definición de valor medio. Y como la curva es simétrica respecto de $x=2$ y recorre dos periodos enteros,

\frac18\int_{0}^{8}x\,dt=2\ \text{m}

b) El desplazamiento. Barrow:

\int_{0}^{1}v\,dt=x(1)-x(0)=2-1=1\ \text{m}

Es el desplazamiento, no la distancia recorrida — aunque aquí coincidan, porque la partícula no da la vuelta en ese tramo.

c) La aceleración media.

\frac14\int_{2}^{6}a\,dt=\frac{v(6)-v(2)}{4}=\frac{0-0}{4}=0

En $t=2$ y $t=6$ la posición está en un máximo, así que la velocidad es nula en los dos. La aceleración media es cero: el tramo empieza y acaba con la misma velocidad.

d) El signo.

\int_{2}^{4}a'\,dt=a(4)-a(2)

En $t=2$ hay un máximo de posición —curva cóncava, $a<0$ — y en $t=4$ un mínimo —convexa, $a>0$ —. Así que la diferencia es positiva. Con la función explícita, $a(4)-a(2)=\frac{\pi^{2}}{4}+\frac{\pi^{2}}{4}= \frac{\pi^{2}}{2}\approx4{,}93$ .

El hilo que une los cuatro apartados. Tres de ellos son la misma idea con distinto disfraz: la integral de una derivada es la variación de la función. En b) la derivada es $v=x'$ ; en c) es $a=v'$ ; en d) es $a'$ . El único que no lo es —el a)— lleva delante el $\frac18$ que lo convierte en una media. Reconocer eso vale los cuatro puntos de COMP 1.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 24 de mayo de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuál es la función y cuál la derivada, y qué hace su cuadrado

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra las gráficas de una función $F(x)$ y de su derivada $F'(x)$ , definidas en un intervalo $[a,b]$ . Se pide:

Figura redibujada del enunciado original, que está hecho a mano. Se conserva lo que decide el ejercicio: una curva tiene una meseta casi horizontal a la izquierda y un mínimo profundo a la derecha; la otra tiene una joroba justo donde la primera corta al eje.

a) Identificar de forma razonada qué gráfica corresponde a $F(x)$ y qué gráfica corresponde a $F'(x)$ .

b) Estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos de la nueva función $h(x)=\left(F(x)\right)^{2}$ .

Quién es quién, y la monotonía y los extremos de F al cuadrado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se compara para decidir cuál de las dos es la derivada?
02
Dónde está el máximo
COMP2
Con la pareja de la figura, $F'(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac43 x^{3} +0{,}74x^{2}-0{,}144x+3{,}2474$ . ¿En qué punto tiene $F$ su máximo?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El otro cero de F
COMP2
$F$ corta al eje en $x=0$ y una vez más. ¿Dónde?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $h=F^{2}$ , así que $h'=2F\,F'$ : el signo de $h'$ es el producto de los signos de $F$ y de $F'$ .
2. $F$ es negativa a la izquierda de su primer cero y a la derecha del segundo; $F'$ es positiva hasta su único cero, en el máximo de $F$ , y negativa después.
3. Multiplicando signos: $h$ decrece, crece, decrece y vuelve a crecer. Los mínimos de $h$ están en los dos ceros de $F$ —donde $h=0$ — y el máximo, en el máximo de $F$ .

Resolución completa

a) Quién es quién. La regla es la de siempre: los ceros de la derivada caen en los extremos de la función, y el sentido del cruce decide si es máximo o mínimo.

Mirando las dos curvas:

Una tiene una meseta casi horizontal a la izquierda, cruza el eje por el centro y se hunde hasta un mínimo profundo cerca del extremo derecho.
La otra entra por debajo del eje, sube cruzándolo, hace una joroba y baja.

Y la joroba de la segunda cae exactamente donde la primera corta al eje. Además la primera es positiva antes de ese punto —donde la segunda sube— y negativa después —donde baja—. Todo encaja en un solo sentido:

F=\text{la de la joroba}, \qquad F'=\text{la de la meseta}

Al revés no funciona: los extremos de la curva de la meseta —el mínimo profundo de la derecha— tendrían que coincidir con ceros de la otra, y no coinciden.

Dos confirmaciones de propina. El hombro de $F'$ , donde su pendiente se anula, corresponde al tramo en que $F$ sube casi en línea recta; y el mínimo de $F'$ marca el punto donde $F$ baja lo más deprisa que va a bajar, que es una inflexión.

b) La función $h=F^{2}$ .

h'(x)=2\,F(x)\,F'(x)

El signo es el producto de los dos. Llamando $x_{0}$ y $x_{2}$ a los ceros de $F$ y $x_{1}$ al máximo:

tramo	$F$	$F'$	$h'$	$h$
$(a,x_{0})$	$-$	$+$	$-$	decrece
$(x_{0},x_{1})$	$+$	$+$	$+$	crece
$(x_{1},x_{2})$	$+$	$-$	$-$	decrece
$(x_{2},b)$	$-$	$-$	$+$	crece

Los extremos. En $x_{0}$ y en $x_{2}$ , mínimos de $h$ con valor cero —no puede haber nada menor, porque un cuadrado no es negativo—; y en $x_{1}$ , un máximo relativo de valor $F(x_{1})^{2}$ .

Lo que hay que llevarse. Elevar al cuadrado convierte los ceros de $F$ en mínimos de $h$ , y conserva los extremos de $F$ como extremos de $h$ . En la parte donde $F$ es negativa, la monotonía se invierte: es el detalle que separa una respuesta razonada de una copiada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 24 de mayo de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una integral impropia que la tabla de Laplace resuelve sola

COMP 24 puntos por calcular
COMP 46 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Aplicando la transformada de Laplace calcular el valor de la siguiente integral:

\int_{0}^{\infty}t^{17}e^{-5t}\,dt

El valor de la integral, y por qué la transformada la da directamente.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación hay entre esa integral y la transformada de Laplace?
02
El denominador
COMP2
$\mathcal{L}\left\{t^{n}\right\}=\dfrac{n!}{s^{k}}$ . ¿Cuánto vale $k$ para $n=17$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de la integral
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_{0}^{\infty}t^{17}e^{-5t}\,dt$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por definición, $\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt$ , así que la integral del enunciado es $\mathcal{L}\left\{t^{17}\right\}$ evaluada en $s=5$ .
2. De la tabla, $\mathcal{L}\left\{t^{n}\right\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$ para $s>0$ , y aquí $n=17$ .
3. Sustituyendo, el valor es $\frac{17!}{5^{18}}\approx93{,}24$ ; la integral converge porque la exponencial domina a cualquier potencia.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 24 de mayo de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cuenco parabólico con tapa esférica, y su superficie

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar el sólido delimitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z$ ; $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 6$ . Dibujar el sólido y calcular el área de su superficie.

El dibujo y el área total.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿A qué altura se cortan el paraboloide y la esfera?
02
El casquete parabólico
COMP2
¿Cuánto mide la parte de paraboloide que limita el sólido?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área total
COMP2
¿Cuánto mide la superficie completa del sólido?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera condición deja lo que está por encima del paraboloide $z=r^{2}$ ; la segunda, lo que está dentro de la esfera de radio $\sqrt6$ .
2. Se cortan en $z=2$ , $r=\sqrt2$ , de modo que la sombra del sólido sobre el plano $XY$ es el disco de radio $\sqrt2$ .
3. La frontera son dos casquetes curvos: el de paraboloide con $r\le\sqrt2$ y el de esfera desde esa altura hasta el polo. No hay ninguna cara plana.

Resolución completa

Qué sólido es. Dos condiciones:

$x^{2}+y^{2}\le z$ : por encima del paraboloide $z=r^{2}$ , o sea dentro del cuenco.
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le6$ : dentro de la esfera de radio $\sqrt6$ .

El corte sale sustituyendo $r^{2}=z$ en la esfera:

z+z^{2}=6\;\Longrightarrow\;z^{2}+z-6=0\;\Longrightarrow\;z=2

—la otra raíz, $-3$ , es negativa—. Y entonces $r=\sqrt2$ .

La sección meridiana. El cuenco parabólico sube desde el origen hasta la altura 2 con radio √2, y desde ahí la tapa esférica lo cierra en el polo, a la altura √6.

La superficie, que son dos casquetes y ninguna tapa plana.

El paraboloide. Para $z=r^{2}$ , $dS=\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr\,d\theta$ :

A_{1}=2\pi\int_{0}^{\sqrt2}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr =2\pi\left[\frac{\left(1+4r^{2}\right)^{3/2}}{12}\right]_{0}^{\sqrt2} =\frac{13\pi}{3}

Sale redondo porque en $r=\sqrt2$ el radicando vale $9$ , y $9^{3/2}=27$ .

La esfera. El casquete va de $z=2$ al polo $z=\sqrt6$ , con altura $h=\sqrt6-2$ . Usando que el área de un casquete esférico es $2\pi Rh$ —el teorema de Arquímedes, que no depende de dónde esté la franja—:

A_{2}=2\pi\sqrt6\left(\sqrt6-2\right)=2\pi\left(6-2\sqrt6\right)

\boxed{\;A=\frac{13\pi}{3}+2\pi\left(6-2\sqrt6\right)\approx20{,}53\;}

Comprobación de sentido. Una esfera entera de radio $\sqrt6$ tiene área $4\pi\cdot6\approx75{,}4$ , y el casquete de arriba se lleva solo $6{,}9$ : es una tapa pequeña, coherente con que el corte esté a $z=2$ de un radio $2{,}45$ . Y el cuenco parabólico, más ancho y más curvado, pesa el doble que ella. Todo cuadra.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 24 de mayo de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · En el cuadernillo original está numerado «2» por segunda vez: hay una errata en la numeración · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un polinomio, un seno que resuena y dos condiciones iniciales

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la siguiente EDO:

\left\{ \begin{aligned} y''(x)+9y(x)&=x^{2}-x+13\operatorname{sen}(3x)\\ y(0)&=1\\ y'(0)&=0 \end{aligned} \right.

La solución del problema de valores iniciales.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántas soluciones particulares hay que buscar, y por qué?
02
El término independiente del polinomio
COMP2
Con el ensayo $ax^{2}+bx+c$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente del término resonante
COMP2
Con el ensayo $x\left(A\cos 3x+B\operatorname{sen}3x\right)$ para el $13\operatorname{sen}3x$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica $r^{2}+9=0$ da $r=\pm3i$ , así que la homogénea es $C_{1}\cos 3x+C_{2}\operatorname{sen}3x$ .
2. Por superposición, la particular es la suma de las dos: $\frac{x^{2}}{9}-\frac{x}{9}-\frac{2}{81}$ para el polinomio, y $-\frac{13}{6}x\cos 3x$ para el seno, que resuena.
3. Solo entonces se imponen las condiciones iniciales sobre la solución completa: $y(0)=1$ da $C_{1}=\frac{83}{81}$ e $y'(0)=0$ da $C_{2}=\frac{41}{54}$ .

Resolución completa

La homogénea. $r^{2}+9=0$ da $r=\pm3i$ :

y_{h}=C_{1}\cos 3x+C_{2}\operatorname{sen}3x

Dos particulares, una por trozo.

El polinomio $x^{2}-x$ . Como $0$ no es raíz, el ensayo es un polinomio del mismo grado:

y_{p_{1}}=\frac{x^{2}}{9}-\frac{x}{9}-\frac{2}{81}

El $-\frac{2}{81}$ sale del término independiente, donde entra el $2a$ de la segunda derivada — es el coeficiente que más se olvida.

El seno $13\operatorname{sen}3x$ . Aquí resuena: $\operatorname{sen} 3x$ ya es solución de la homogénea, así que el ensayo lleva una $x$ :

y_{p_{2}}=-\frac{13}{6}\,x\cos 3x

La solución general.

y=C_{1}\cos 3x+C_{2}\operatorname{sen}3x +\frac{x^{2}}{9}-\frac{x}{9}-\frac{2}{81} -\frac{13}{6}x\cos 3x

Las condiciones iniciales, sobre la solución completa.

y(0)=C_{1}-\frac{2}{81}=1 \;\Longrightarrow\; C_{1}=\frac{83}{81}

y'(0)=3C_{2}-\frac19-\frac{13}{6}=0 \;\Longrightarrow\; C_{2}=\frac{41}{54}

\boxed{\; y=\frac{83}{81}\cos 3x+\frac{41}{54}\operatorname{sen}3x +\frac{x^{2}}{9}-\frac{x}{9}-\frac{2}{81} -\frac{13}{6}x\cos 3x \;}

El error que cuesta el ejercicio entero. Imponer las condiciones iniciales sobre la homogénea sola. La particular vale $-\frac{2}{81}$ en el origen y su derivada vale $-\frac19-\frac{13}{6}$ : si no se cuentan, las constantes salen mal y la solución, aun resolviendo la ecuación, no pasa por donde tiene que pasar.

Y una comprobación barata. Sustituir $x=0$ en la solución final tiene que dar $1$ , y derivarla y sustituir tiene que dar $0$ . Son dos evaluaciones y detectan cualquier despiste en las constantes.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 24 de mayo de 2016 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El diente de sierra clásico, y Leibniz al final

COMP 26 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la $f(t)$ función periódica de periodo $2\pi$ definida del modo siguiente:

f(t)=t\qquad -\pi<t<\pi

a) Dibujar $f(t)$ .

b) Obtener su serie de Fourier $S(t)$ .

c) Calcular $S(0)$ , $S\left(\dfrac{121\pi}{2}\right)$ , $S(2001\pi)$ .

d) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$ .

El dibujo, la serie, los tres valores y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué simplifica el hecho de que $f(t)=t$ sea impar?
02
El primer armónico
COMP2
¿Cuánto vale $b_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en el punto raro
COMP2
¿Cuánto vale $S\left(\dfrac{121\pi}{2}\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La suma pedida
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $t=0$ la función es continua y vale cero, así que $S(0)=0$ ; y además todos los senos se anulan ahí, lo que lo confirma sin teoría.
2. $\frac{121\pi}{2}=60\pi+\frac\pi2$ y $60\pi$ son treinta vueltas enteras, así que equivale a $\frac\pi2$ , punto de continuidad: $S=\frac\pi2$ .
3. $2001$ es impar, luego $2001\pi\equiv\pi\pmod{2\pi}$ , y ahí hay un salto de $\pi$ a $-\pi$ : la serie converge a la semisuma, $0$ .

Resolución completa

a) El dibujo. En cada periodo la función sube en línea recta de $-\pi$ a $\pi$ y cae de golpe al empezar el siguiente. Los extremos van en hueco, porque el enunciado da el intervalo abierto.

El diente de sierra. Los extremos de cada rampa se marcan en hueco: el enunciado define f en el intervalo abierto, así que en los múltiplos impares de π la función no toma ningún valor.

b) La serie. $f(t)=t$ es impar, así que $a_{n}=0$ para todo $n$ —incluido el término constante— y solo quedan senos:

b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\operatorname{sen}(nt)\,dt =\frac{2(-1)^{n+1}}{n}

S(t)=2\left(\operatorname{sen}t-\frac{\operatorname{sen}2t}{2} +\frac{\operatorname{sen}3t}{3}-\cdots\right)

c) Los tres valores, y lo que enseña cada uno.

punto	se reduce a	qué pasa allí	$S$
$0$	$0$	continuo	$0$
$\frac{121\pi}{2}$	$\frac\pi2$	continuo	$\frac\pi2$
$2001\pi$	$\pi$	salto de $\pi$ a $-\pi$	$0$

Los números grandes están puestos a propósito: lo primero es reducir módulo $2\pi$ . $\frac{121\pi}{2}=60\pi+\frac\pi2$ , y $60\pi$ son treinta vueltas; $2001\pi$ es $1000$ vueltas más $\pi$ .

d) La suma. El punto bueno es $t=\frac\pi2$ , donde la serie coincide con la función y los senos impares valen $\pm1$ alternando:

\frac\pi2=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac{\pi}{4}\;}

Es la serie de Leibniz, y aparece siempre por el mismo camino: un diente de sierra evaluado donde los senos impares alternan.

Un detalle de honestidad. El enunciado pide $S$ en los tres puntos, pero no $f$ . Menos mal: en $2001\pi$ la función no está definida, porque el intervalo es abierto. La serie sí vale ahí, y vale cero.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2015-2016

Reconocer el camino

El radio de la circunferencia

El punto que sobra en los dos apartados

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La media de la posición

El desplazamiento del primer segundo

La aceleración media

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde está el máximo

El otro cero de F

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El denominador

El valor de la integral

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El casquete parabólico

El área total

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término independiente del polinomio

El coeficiente del término resonante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer armónico

El valor en el punto raro

La suma pedida

Justificar el argumento