tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2023-2024

10 de junio de 2024 · 9 ejercicios · 90 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Dos condiciones, dos incógnitas y dos solucionesNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea el número complejo $z=\dfrac{2b-3ai}{3-4i}$ , con $a,b\in\mathbb{R}$ . Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $z$ sea imaginario puro y $\left|z\right|=1$ .
Los valores de a y b, y el z que resulta.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cinco afirmaciones, y solo una es ciertaEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Sean $f(x)$ y $g(x)$ las funciones cuyas gráficas se muestran en la figura. Decir, razonando formalmente, si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:

Figura redibujada del enunciado original. Las dos curvas pasan por nudos enteros de la cuadrícula, así que aquí se dibujan con las parábolas que los unen: f(x) = 6 − (x−3)² y g(u) = 1 + (u−5)².

a) La función $f^{-1}(x)$ definida en el intervalo $(3,4)$ es decreciente.

b) La función $f^{-1}(x)$ definida en el intervalo $(3,4)$ es convexa.

c) La función $h(x)=g(f(x))$ es creciente en el intervalo $(1,2)$ .

d) La función $h(x)=g(f(x))$ es cóncava en el intervalo $(1,2)$ .

e) Sea $P_{2}(x)=a+b(x-4)+c\left(x-4\right)^{2}$ el polinomio de Taylor de orden 2 de $f(x)$ . Entonces $a>0$ , $b<0$ , $c>0$ .
Verdadero o falso, razonado, en las cinco afirmaciones.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Taylor de una función que no se conoce, y el error acotado con una gráficaEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $y(x)$ una función tal que
$y'(x)=\frac{y}{x}+\ln x, \qquad y(1)=1$
a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de $y(x)$ en el punto $x=1$ .

b) Supongamos que aproximamos el valor $y(1{,}5)$ utilizando el polinomio obtenido en el apartado anterior. Acotar el error cometido en dicha aproximación.

Figura redibujada del enunciado original: el examen da la gráfica de la derivada tercera para que el error se pueda acotar sin resolver la ecuación.

El polinomio de Taylor de orden 2 y una cota del error en x = 1,5.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El rectángulo inscrito que se lleva la mitad del triánguloEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles de base 6 cm y altura 12 cm. Obtener el valor de dicha área.
La base y la altura del rectángulo, y su área.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La tangente a una función definida por una integralIntegración1 + 5 + 4 = 10 pts
Sea $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\left(f(t)+t^{2}+t^{3}\right)dt$ donde $f(x)$ es una función continua.

a) Calcular $F'(x)$ .

b) Sabiendo que $f(1)=1$ y $\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,dt=1$ , calcular la ecuación de la recta tangente a la función $F(x)$ en el punto $x=1$ .
La derivada de F y la recta tangente en x = 1.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La bola que rueda por la cúpula, y dónde acabaFunciones reales de varias variables reales1 + 7 + 2 = 10 pts
Considerar la superficie definida por la función $f(x,y)=5-\dfrac{x^{2}}{2}-y^{2}$ cuya gráfica se muestra en la figura. Se suelta una bola en el punto $P\left(1,1,\frac{7}{2}\right)$ que se indica y rueda por la superficie hasta terminar en algún punto $S$ del plano horizontal $XY$ . La bola no está sometida a ninguna otra fuerza más que a la de la gravedad. Se pide:

Figura redibujada del enunciado original, que es una vista tridimensional de la superficie: aquí se dibuja con sus curvas de nivel y las dos secciones principales, que es lo que se puede trazar a mano.

a) Plantear la(s) ecuación(es) diferencial(es) y la(s) condición(es) inicial(es) que debe cumplir la trayectoria de la bola.

b) Resolver dicha(s) ecuación(es).

c) Determinar el punto $S$ .
La ecuación de la trayectoria, su solución y el punto de llegada.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un prisma con la tapa curva, y los dos órdenes de integraciónIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $0\le z\le 1+(y-1)^{2}$ , $0\le y\le 1$ , $0\le x\le 4$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Especificar, sin calcular, cuáles son los límites de integración de las siguientes dos integrales para el cálculo del volumen $V$ de $S$ :
$V=\int\left(\int\left(\int dz\right)dy\right)dx \qquad V=\int\left(\int\left(\int dy\right)dz\right)dx$
c) Calcular el volumen $V$ utilizando cualquiera de los órdenes de integración.
El dibujo, los límites en los dos órdenes y el volumen.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un sistema que no arranca hasta el segundo dosTransformada de Laplace1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO
$\begin{cases} y''+y'=f(t)\\ y(0)=y'(0)=0 \end{cases} \qquad\text{donde}\qquad f(t)= \begin{cases} 0 & 0\le t<2\\ \operatorname{sen}(t-2) & t\ge 2 \end{cases}$
La solución del problema de valor inicial.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una rampa que solo ocupa media ondaIntroducción al análisis de Fourier0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la función
$f(t)= \begin{cases} \dfrac{\pi}{2}-t & 0<t\le\dfrac{\pi}{2}\\[8pt] 0 & \dfrac{\pi}{2}<t\le\pi \end{cases}$
a) Obtener la ampliación impar y periódica, $F(t)$ , de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función ampliada, $F(t)$ .

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=2024\pi$ y $t=\dfrac{201\pi}{2}$ .
La ampliación, su dibujo, la serie y los dos valores.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos condiciones, dos incógnitas y dos soluciones

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el número complejo $z=\dfrac{2b-3ai}{3-4i}$ , con $a,b\in\mathbb{R}$ . Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $z$ sea imaginario puro y $\left|z\right|=1$ .

Los valores de a y b, y el z que resulta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál de las dos condiciones conviene usar sin hacer la división?
02
La relación entre a y b
COMP2
Imponiendo que $z$ sea imaginario puro sale $b=ka$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor positivo de a
COMP2
Con la condición del módulo, ¿cuál es el valor positivo de $a$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El módulo de un cociente es el cociente de los módulos, así que $\left|z\right|=\frac{\sqrt{4b^{2}+9a^{2}}}{5}$ , y la condición $\left|z\right|=1$ da $4b^{2}+9a^{2}=25$ .
2. Racionalizando, $z=\frac{6b+12a+i(8b-9a)}{25}$ , y ser imaginario puro obliga a $6b+12a=0$ , es decir $b=-2a$ .
3. Sustituyendo, $25a^{2}=25$ y $a=\pm 1$ .
4. Hay dos soluciones: $(a,b)=(1,-2)$ , que da $z=-i$ , y $(a,b)=(-1,2)$ , que da $z=i$ .
5. Las dos se comprueban de un vistazo: $\left|\pm i\right|=1$ y su parte real es cero.

Resolución completa

La condición del módulo, que sale gratis. El módulo de un cociente es el cociente de los módulos, así que no hace falta racionalizar:

\left|z\right|=\frac{\left|2b-3ai\right|}{\left|3-4i\right|} =\frac{\sqrt{4b^{2}+9a^{2}}}{5}=1 \;\Longrightarrow\; 4b^{2}+9a^{2}=25

La condición de ser imaginario puro, que sí la pide. Multiplicando por el conjugado del denominador:

z=\frac{(2b-3ai)(3+4i)}{25} =\frac{6b+12a}{25}+i\,\frac{8b-9a}{25}

Imaginario puro es parte real nula:

6b+12a=0 \;\Longrightarrow\; b=-2a

El sistema. Sustituyendo en la primera:

4\left(4a^{2}\right)+9a^{2}=25a^{2}=25 \;\Longrightarrow\; a=\pm 1

Las dos soluciones.

$a$	$b$	$z$
$1$	$-2$	$-i$
$-1$	$2$	$i$

Y las dos cumplen lo pedido: son imaginarios puros y de módulo $1$ . El enunciado no da ninguna condición que descarte una, así que hay que dar las dos.

La comprobación es rápida con la primera: con $a=1$ y $b=-2$ ,

z=\frac{-4-3i}{3-4i} =\frac{(-4-3i)(3+4i)}{25} =\frac{-12-16i-9i+12}{25} =\frac{-25i}{25}=-i

Fíjate en que el numerador, $-4-3i$ , no es imaginario puro: lo que lo convierte en uno es la división. Ese es el motivo de que no valga imponer la condición sobre el numerador.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión. La figura es la misma que la del ejercicio 3 de la recuperación de la quinta de 2017-2018.

Cinco afirmaciones, y solo una es cierta

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $f(x)$ y $g(x)$ las funciones cuyas gráficas se muestran en la figura. Decir, razonando formalmente, si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:

Figura redibujada del enunciado original. Las dos curvas pasan por nudos enteros de la cuadrícula, así que aquí se dibujan con las parábolas que los unen: f(x) = 6 − (x−3)² y g(u) = 1 + (u−5)².

a) La función $f^{-1}(x)$ definida en el intervalo $(3,4)$ es decreciente.

b) La función $f^{-1}(x)$ definida en el intervalo $(3,4)$ es convexa.

c) La función $h(x)=g(f(x))$ es creciente en el intervalo $(1,2)$ .

d) La función $h(x)=g(f(x))$ es cóncava en el intervalo $(1,2)$ .

e) Sea $P_{2}(x)=a+b(x-4)+c\left(x-4\right)^{2}$ el polinomio de Taylor de orden 2 de $f(x)$ . Entonces $a>0$ , $b<0$ , $c>0$ .

Verdadero o falso, razonado, en las cinco afirmaciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para los apartados a) y b), ¿qué relación hay entre la concavidad de $f$ y la de $f^{-1}$ ?

Cuántas son ciertas

COMP2

¿Cuántas de las cinco afirmaciones son ciertas?

Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

Solo la a). El resumen:

	afirmación	verdad
a)	$f^{-1}$ decreciente en $(3,4)$	cierta
b)	$f^{-1}$ convexa	falsa: es cóncava
c)	$h$ creciente en $(1,2)$	falsa: decrece
d)	$h$ cóncava en $(1,2)$	falsa: es convexa
e)	$a>0$ , $b<0$ , $c>0$	falsa: $c=-1$

03
El coeficiente que estropea la e)
COMP2
¿Cuánto vale el coeficiente $c$ del polinomio de Taylor de $f$ centrado en $x=4$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De la figura: $f(x)=6-(x-3)^{2}$ en $[1,5]$ y $g(u)=1+(u-5)^{2}$ ; $f$ crece hasta $x=3$ y decrece después, y $g$ decrece hasta $u=5$ y crece después.
2. a) En $(3,4)$ , $f$ es decreciente, y la inversa de una función decreciente es decreciente: cierta.
3. b) $\left(f^{-1}\right)''=-\frac{f''}{(f')^{3}}$ , con $f''=-2$ y $f'<0$ : sale negativa, así que $f^{-1}$ es cóncava y la afirmación es falsa.
4. c) $h'=g'(f(x))f'(x)$ ; en $(1,2)$ es $f'>0$ y $f(x)<5$ , luego $g'(f)<0$ y $h'<0$ : falsa, decrece.
5. d) $h''=g''(f)\left(f'\right)^{2}+g'(f)f''$ ; con $g''=2>0$ , $f''=-2$ y $g'(f)<0$ los dos sumandos son positivos, así que $h$ es convexa: falsa.
6. e) $a=f(4)=5>0$ y $b=f'(4)=-2<0$ , pero $c=\frac{f''(4)}{2}=-1<0$ : falsa.

Resolución completa

Lo que dice la figura. $f$ está definida en $[1,5]$ , vale $2$ en los dos extremos y tiene su máximo, $6$ , en $x=3$ . $g$ va de $g(2)=10$ hasta el mínimo $g(5)=1$ y sube hasta $g(6)=2$ . Las dos pasan por nudos enteros de la cuadrícula, así que son $f(x)=6-(x-3)^{2}$ y $g(u)=1+(u-5)^{2}$ .

a) $f^{-1}$ es decreciente en $(3,4)$ : CIERTA.

En $(3,4)$ la función $f$ es estrictamente decreciente —el máximo queda a su izquierda—, así que ahí sí es inyectiva y tiene inversa. Y la inversa de una función decreciente es decreciente: si $y_{1}<y_{2}$ , sus antiimágenes van al revés.

Explícitamente, $f^{-1}(y)=3+\sqrt{6-y}$ , cuya derivada $-\frac{1}{2\sqrt{6-y}}$ es negativa.

b) $f^{-1}$ es convexa: FALSA.

La regla es

\left(f^{-1}\right)''(y)=-\frac{f''(x)}{\left(f'(x)\right)^{3}}

y el cubo es lo que decide. Aquí $f''=-2<0$ y, en $(3,4)$ , $f'<0$ , así que $\left(f'\right)^{3}<0$ y

\left(f^{-1}\right)''=-\frac{-}{-}<0

$f^{-1}$ es cóncava, igual que $f$ . La reflexión en $y=x$ invierte la concavidad solo cuando la función es creciente.

c) $h=g\circ f$ es creciente en $(1,2)$ : FALSA.

h'(x)=g'\left(f(x)\right)\cdot f'(x)

En $(1,2)$ : $f$ crece, así que $f'>0$ ; y $f(x)$ va de $2$ a $5$ , valores por debajo del mínimo de $g$ , donde $g'<0$ . El producto es negativo: $h$ decrece.

d) $h$ es cóncava en $(1,2)$ : FALSA.

h''=g''\left(f\right)\left(f'\right)^{2}+g'\left(f\right)f''

Con $g''=2>0$ el primer sumando es positivo; y con $g'(f)<0$ y $f''=-2<0$ el segundo también. Los dos suman positivo: $h$ es convexa.

e) $a>0$ , $b<0$ , $c>0$ : FALSA.

a=f(4)=5>0, \qquad b=f'(4)=-2<0, \qquad c=\frac{f''(4)}{2}=-1<0

Los dos primeros signos son los que dice el enunciado; el tercero no. Y cuidado con la forma: como el polinomio está escrito con $c(x-4)^{2}$ y no con $c\frac{(x-4)^{2}}{2}$ , el coeficiente lleva el $\frac12$ dentro.

Resultado: solo la a) es cierta. Cuatro de cinco falsas, y las dos del medio fallan las dos por lo mismo: el reflejo de suponer que la composición hereda el comportamiento de $f$ sin mirar dónde cae su imagen dentro de $g$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Taylor de una función que no se conoce, y el error acotado con una gráfica

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $y(x)$ una función tal que

y'(x)=\frac{y}{x}+\ln x, \qquad y(1)=1

a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de $y(x)$ en el punto $x=1$ .

b) Supongamos que aproximamos el valor $y(1{,}5)$ utilizando el polinomio obtenido en el apartado anterior. Acotar el error cometido en dicha aproximación.

Figura redibujada del enunciado original: el examen da la gráfica de la derivada tercera para que el error se pueda acotar sin resolver la ecuación.

El polinomio de Taylor de orden 2 y una cota del error en x = 1,5.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Para qué da el enunciado la gráfica de $y'''$ ?
02
La segunda derivada en el punto
COMP2
¿Cuánto vale $y''(1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La cota del error
COMP2
Leyendo en la gráfica que $\left|y'''\right|\le 0{,}18$ en $[1;1{,}5]$ , ¿cuál es la cota del error en $x=1{,}5$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cinco decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) El enunciado da $y(1)=1$ , y la ecuación evaluada en $x=1$ da $y'(1)=\frac11+\ln 1=1$ .
2. Derivando la ecuación, $y''=\frac{y'x-y}{x^{2}}+\frac1x$ , y en $x=1$ vale $0+1=1$ .
3. Por tanto $P_{2}(x)=1+(x-1)+\frac{1}{2}(x-1)^{2}$ , y $P_{2}(1{,}5)=1{,}625$ .
4. b) El resto de Lagrange es $R_{2}(x)=\frac{y'''(\xi)}{3!}(x-1)^{3}$ para algún $\xi\in(1;1{,}5)$ , y no se sabe cuál: hace falta acotar $\left|y'''\right|$ en todo el intervalo.
5. La gráfica del enunciado da esa cota: en $[1;1{,}5]$ el valor absoluto no pasa de $0{,}18$ .
6. Así que $\left|R_{2}(1{,}5)\right|\le \frac{0{,}18\cdot 0{,}125}{6}=0{,}00375$ .

Resolución completa

a) El polinomio. No hace falta resolver la ecuación: los tres valores que necesita el polinomio de orden 2 salen de ella.

y(1)=1 \qquad\text{(dato)}

y'(x)=\frac{y}{x}+\ln x \;\Longrightarrow\; y'(1)=\frac{1}{1}+\ln 1=1

Derivando la ecuación, con la regla del cociente:

y''(x)=\frac{y'x-y}{x^{2}}+\frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; y''(1)=\frac{1-1}{1}+1=1

P_{2}(x)=1+(x-1)+\frac{1}{2}(x-1)^{2}

b) La cota del error. El resto de Lagrange de orden 2 es

R_{2}(x)=\frac{y'''(\xi)}{3!}\left(x-1\right)^{3} \qquad\text{con }\xi\text{ entre }1\text{ y }x

Como no se sabe dónde está $\xi$ , hay que acotar $\left|y'''\right|$ en todo el intervalo — y eso es exactamente lo que da la gráfica del enunciado. En $[1;1{,}5]$ la curva arranca en cero y baja, sin llegar a su mínimo, que cae más a la derecha: el mayor valor absoluto se alcanza en el extremo derecho y es unos $0{,}18$ .

\left|R_{2}(1{,}5)\right| \le\frac{0{,}18}{6}\left(0{,}5\right)^{3} =0{,}00375

La comprobación, resolviendo. La ecuación es lineal: $y'-\frac{y}{x}=\ln x$ , con factor integrante $\frac1x$ , y

\left(\frac{y}{x}\right)'=\frac{\ln x}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x}=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C \;\Longrightarrow\; y=x\left(1+\frac{(\ln x)^{2}}{2}\right)

con $C=1$ por la condición inicial. De ahí

y'''(x)=-\frac{\ln x}{x^{2}}

que es exactamente la curva dibujada: se anula en $x=1$ , tiene su mínimo $-\frac{1}{2e}\approx-0{,}184$ en $x=\sqrt{e}\approx 1{,}65$ y tiende a cero por abajo. Con la fórmula exacta, $y(1{,}5)=1{,}6233$ y $P_{2}(1{,}5)=1{,}625$ : el error real es $0{,}0017$ , por debajo de la cota, como tenía que ser.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El rectángulo inscrito que se lleva la mitad del triángulo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles de base 6 cm y altura 12 cm. Obtener el valor de dicha área.

La base y la altura del rectángulo, y su área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación liga la base y la altura del rectángulo inscrito?
02
La base del rectángulo
COMP2
¿Cuánto mide la base del rectángulo de área máxima, en centímetros?
Tu respuesta al paso 2un número en centímetros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuál es el área máxima, en centímetros cuadrados?
Tu respuesta al paso 3un número en centímetros cuadrados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el origen en el centro de la base, los vértices del triángulo son $(-3,0)$ , $(3,0)$ y $(0,12)$ , y el lado derecho es la recta $y=12-4x$ .
2. El rectángulo inscrito de semiancho $x$ tiene base $2x$ y altura $12-4x$ , con $0<x<3$ .
3. $A(x)=24x-8x^{2}$ , y $A'(x)=24-16x$ se anula en $x=\frac32$ .
4. $A''=-16<0$ , así que es máximo; y en los extremos $x=0$ y $x=3$ el área vale cero, lo que confirma que el máximo es interior.
5. Las dimensiones son $3$ cm de base y $6$ cm de altura, y el área vale $18$ cm².
6. Es exactamente la mitad del área del triángulo, $36$ cm², y eso pasa siempre: el rectángulo inscrito de área máxima en un triángulo se lleva la mitad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La tangente a una función definida por una integral

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\left(f(t)+t^{2}+t^{3}\right)dt$ donde $f(x)$ es una función continua.

a) Calcular $F'(x)$ .

b) Sabiendo que $f(1)=1$ y $\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,dt=1$ , calcular la ecuación de la recta tangente a la función $F(x)$ en el punto $x=1$ .

La derivada de F y la recta tangente en x = 1.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace falta saber de $f$ para escribir la tangente en $x=1$ ?
02
La pendiente
COMP2
¿Cuánto vale $F'(1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto de paso
COMP2
¿Cuánto vale $F(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) El integrando es continuo — $f$ lo es por hipótesis y los polinomios también—, así que por el teorema fundamental del cálculo $F$ es derivable y $F'(x)=f(x)+x^{2}+x^{3}$ .
2. b) La pendiente es $F'(1)=f(1)+1+1=3$ .
3. El punto de paso es $F(1)=\int_{0}^{1}f+\frac13+\frac14=\frac{19}{12}$ .
4. La tangente es $y-\frac{19}{12}=3(x-1)$ , es decir $y=3x-\frac{17}{12}$ .
5. Se comprueba sustituyendo $x=1$ : $3-\frac{17}{12}=\frac{19}{12}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La bola que rueda por la cúpula, y dónde acaba

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar la superficie definida por la función $f(x,y)=5-\dfrac{x^{2}}{2}-y^{2}$ cuya gráfica se muestra en la figura. Se suelta una bola en el punto $P\left(1,1,\frac{7}{2}\right)$ que se indica y rueda por la superficie hasta terminar en algún punto $S$ del plano horizontal $XY$ . La bola no está sometida a ninguna otra fuerza más que a la de la gravedad. Se pide:

Figura redibujada del enunciado original, que es una vista tridimensional de la superficie: aquí se dibuja con sus curvas de nivel y las dos secciones principales, que es lo que se puede trazar a mano.

a) Plantear la(s) ecuación(es) diferencial(es) y la(s) condición(es) inicial(es) que debe cumplir la trayectoria de la bola.

b) Resolver dicha(s) ecuación(es).

c) Determinar el punto $S$ .

La ecuación de la trayectoria, su solución y el punto de llegada.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dirección sigue la bola en cada punto?
02
El exponente de la trayectoria
COMP2
La trayectoria en el plano $XY$ es $y=Kx^{p}$ . ¿Cuánto vale $p$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La abscisa del punto de llegada
COMP2
¿Cuánto vale la coordenada $x$ del punto $S$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Sin más fuerza que la gravedad, la bola sigue en cada punto la dirección de máxima pendiente de bajada, que es la de $-\nabla f=(x,\,2y)$ .
2. La trayectoria en el plano $XY$ cumple entonces $\frac{dx}{x}=\frac{dy}{2y}$ , con la condición inicial $(x,y)=(1,1)$ .
3. b) Es de variables separadas: $2\ln x=\ln y+C$ , o sea $y=Kx^{2}$ , y la condición inicial da $K=1$ : $y=x^{2}$ .
4. c) La bola llega al plano $XY$ donde $f=0$ ; sustituyendo $y=x^{2}$ queda $x^{4}+\frac{x^{2}}{2}-5=0$ .
5. Con $u=x^{2}$ sale $u=2$ , así que $S=\left(\sqrt2,\,2,\,0\right)$ , que además está sobre la elipse $\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{5}=1$ donde la superficie corta al suelo.

Resolución completa

a) La ecuación. La bola solo está sometida a la gravedad, así que en cada punto baja por donde más baja: la dirección de $-\nabla f$ , que es perpendicular a las curvas de nivel.

\nabla f=\left(-x,\;-2y\right) \qquad\Longrightarrow\qquad -\nabla f=\left(x,\;2y\right)

Que la trayectoria $(x(t),y(t))$ tenga esa dirección en cada punto significa que su vector tangente es proporcional a $(x,2y)$ :

\frac{dx}{x}=\frac{dy}{2y}, \qquad \left(x,y\right)=(1,1)\ \text{al empezar}

b) La solución. Es de variables separadas:

\int\frac{2\,dx}{x}=\int\frac{dy}{y} \;\Longrightarrow\; 2\ln x=\ln y+C \;\Longrightarrow\; y=Kx^{2}

y la condición inicial $(1,1)$ da $K=1$ :

y=x^{2}

La proyección de la trayectoria sobre el plano $XY$ es una parábola, no una recta. Y era de esperar: la superficie no es de revolución —el coeficiente de $x^{2}$ es la mitad del de $y^{2}$ —, así que la bola se desvía hacia donde la ladera es más empinada.

c) El punto de llegada. La bola termina donde la superficie toca el suelo, es decir donde $f=0$ , sobre su trayectoria:

5-\frac{x^{2}}{2}-\left(x^{2}\right)^{2}=0 \;\Longrightarrow\; x^{4}+\frac{x^{2}}{2}-5=0

Con $u=x^{2}$ : $u^{2}+\frac u2-5=0$ , de raíces $u=2$ y $u=-\frac52$ . Solo la positiva tiene sentido:

S=\left(\sqrt{2},\;2,\;0\right)

La figura de la trayectoria.

Figura nuestra: las curvas de nivel de la superficie vistas desde arriba, y la trayectoria de la bola cortándolas siempre en ángulo recto.

Vista desde arriba, la trayectoria cruza cada curva de nivel perpendicularmente: esa es la traducción geométrica de «seguir el gradiente», y es la comprobación que se puede hacer a ojo sobre el dibujo.

Un control. El punto $S$ tiene que estar sobre la elipse donde la superficie corta al plano, $\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{5}=1$ . Y lo está: $\frac{2}{10}+\frac{4}{5}=1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un prisma con la tapa curva, y los dos órdenes de integración

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $0\le z\le 1+(y-1)^{2}$ , $0\le y\le 1$ , $0\le x\le 4$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Especificar, sin calcular, cuáles son los límites de integración de las siguientes dos integrales para el cálculo del volumen $V$ de $S$ :

V=\int\left(\int\left(\int dz\right)dy\right)dx \qquad V=\int\left(\int\left(\int dy\right)dz\right)dx

c) Calcular el volumen $V$ utilizando cualquiera de los órdenes de integración.

El dibujo, los límites en los dos órdenes y el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué forma tiene la sección del sólido por un plano $x=$ constante?
02
El límite que cambia
COMP2
En el segundo orden, $dy\,dz\,dx$ , la integral se parte en dos tramos de $z$ . ¿En qué valor de $z$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
$z=2$ es la altura máxima del sólido, no donde cambia la descripción. Por debajo de $z=1$ la franja ocupa todo el intervalo $0\le y\le 1$ ; por encima, solo una parte.
El valor donde cambia es el mínimo de la tapa, $1+(y-1)^{2}$ , que se alcanza en $y=1$ y vale $1$ .
$4$ es la longitud en la dirección $x$ , que no interviene: la sección es la misma para todo $x$ .
¿Hasta qué altura llega el sólido en todos los puntos de $0\le y\le 1$ ?
Desarrollo
La tapa $z=1+(y-1)^{2}$ vale $1$ en su punto más bajo, $y=1$ , y $2$ en el más alto, $y=0$ . Por tanto:
- para $0\le z\le 1$ la franja horizontal ocupa todo el intervalo $0\le y\le 1$ ;
- para $1\le z\le 2$ solo la parte donde $1+(y-1)^{2}\ge z$ , es decir $y\le 1-\sqrt{z-1}$ .
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen de $S$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La sección por cualquier plano $x=$ cte es la misma: la región bajo la parábola $z=1+(y-1)^{2}$ con $0\le y\le 1$ . El sólido es un prisma de longitud $4$ .
2. b) Primer orden: $V=\int_{0}^{4}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1+(y-1)^{2}}dz\,dy\,dx$ , sin partir nada.
3. Segundo orden: hay que partir en $z=1$ , porque hasta esa altura la franja ocupa todo $0\le y\le 1$ y por encima solo $0\le y\le 1-\sqrt{z-1}$ .
4. Es decir, $V=\int_{0}^{4}\left[\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}dy\,dz +\int_{1}^{2}\int_{0}^{1-\sqrt{z-1}}dy\,dz\right]dx$ .
5. c) Con el primer orden, $V=4\int_{0}^{1}\left[1+(y-1)^{2}\right]dy =\frac{16}{3}$ .
6. Y con el segundo sale lo mismo: $4\left[1+\int_{1}^{2}\left(1-\sqrt{z-1}\right)dz\right] =4\left(1+\frac13\right)=\frac{16}{3}$ .

Resolución completa

a) El sólido.

Figura nuestra: el apartado a) pide dibujarlo y el examen no trae ninguna. La cara delantera es la sección, y se repite igual a lo largo de las cuatro unidades de x.

Las tres condiciones son independientes salvo una: el techo, $z\le 1+(y-1)^{2}$ , depende de $y$ . Como no depende de $x$ , la sección por cualquier plano $x=$ cte es la misma, y el sólido es un prisma de longitud $4$ cuya base es la región bajo una parábola.

Esa parábola tiene el vértice en $(y,z)=(1,1)$ y sube hasta $(0,2)$ : el sólido es alto $2$ en un borde y $1$ en el otro.

b) Los dos órdenes.

Con $dz$ primero, la variable que depende de otra va la primera y no hay nada que partir:

V=\int_{0}^{4}\left(\int_{0}^{1} \left(\int_{0}^{1+(y-1)^{2}}dz\right)dy\right)dx

Con $dy$ primero hay que despejar $y$ de la tapa, y entonces sí:

z\le 1+(y-1)^{2} \;\Longleftrightarrow\; (y-1)^{2}\ge z-1 \;\Longleftrightarrow\; y\le 1-\sqrt{z-1}

—el valor absoluto se resuelve así porque $y\le 1$ —. Y como la raíz solo tiene sentido a partir de $z=1$ , la integral se parte:

V=\int_{0}^{4}\left[ \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}dy\right)dz +\int_{1}^{2}\left(\int_{0}^{1-\sqrt{z-1}}dy\right)dz \right]dx

El motivo, dicho en una frase: hasta la altura $1$ el sólido llena toda la anchura, y por encima solo una parte.

c) El volumen. Con el primer orden:

V=4\int_{0}^{1}\left[1+(y-1)^{2}\right]dy =4\left[y+\frac{(y-1)^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =4\left(1+\frac13\right)=\frac{16}{3}

Y con el segundo, para comprobar:

4\left[1+\int_{1}^{2}\left(1-\sqrt{z-1}\right)dz\right] =4\left[1+\left(1-\frac23\right)\right]=\frac{16}{3}

Un control de tamaño. El sólido está entre el prisma de altura $1$ —volumen $4$ — y el de altura $2$ —volumen $8$ —. $\frac{16}{3}\approx 5{,}33$ cae entre los dos y más cerca del pequeño, que es lo razonable: la tapa solo llega a $2$ en un borde.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un sistema que no arranca hasta el segundo dos

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO

\begin{cases} y''+y'=f(t)\\ y(0)=y'(0)=0 \end{cases} \qquad\text{donde}\qquad f(t)= \begin{cases} 0 & 0\le t<2\\ \operatorname{sen}(t-2) & t\ge 2 \end{cases}

La solución del problema de valor inicial.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué conviene Laplace aquí y no los coeficientes indeterminados?
02
La transformada del segundo miembro
COMP2
$\mathcal{L}\left\{f\right\}=\dfrac{e^{-as}}{s^{2}+1}$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor al que tiende la solución
COMP2
¿A qué valor no tiende $y(t)$ cuando $t\to\infty$ ? Es decir: ¿cuánto vale el término constante de la solución?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El segundo miembro se escribe con el escalón: $f(t)=u(t-2)\operatorname{sen}(t-2)$ , cuya transformada es $\frac{e^{-2s}}{s^{2}+1}$ .
2. Con $y(0)=y'(0)=0$ , la ecuación transformada es $\left(s^{2}+s\right)Y=\frac{e^{-2s}}{s^{2}+1}$ , o sea $Y=\frac{e^{-2s}}{s(s+1)(s^{2}+1)}$ .
3. En fracciones simples, $\frac{1}{s(s+1)(s^{2}+1)} =\frac1s-\frac{1}{2(s+1)}-\frac12\cdot\frac{s+1}{s^{2}+1}$ .
4. Antitransformando esa parte, $g(t)=1-\frac{e^{-t}}{2}-\frac{\cos t+\operatorname{sen}t}{2}$ , que cumple $g(0)=g'(0)=0$ .
5. El factor $e^{-2s}$ retrasa todo dos unidades: $y(t)=u(t-2)\,g(t-2)$ , es decir $y\equiv 0$ hasta $t=2$ y $g(t-2)$ a partir de ahí.

Resolución completa

El segundo miembro, escrito de una vez. La forma a trozos se escribe con la función escalón unidad:

f(t)=u(t-2)\operatorname{sen}(t-2)

y el segundo teorema del desplazamiento da su transformada sin integrar nada:

\mathcal{L}\left\{f\right\}=e^{-2s}\,\mathcal{L}\left\{\operatorname{sen}t\right\} =\frac{e^{-2s}}{s^{2}+1}

La ecuación transformada. Con $y(0)=y'(0)=0$ :

\left(s^{2}+s\right)Y(s)=\frac{e^{-2s}}{s^{2}+1} \qquad\Longrightarrow\qquad Y(s)=\frac{e^{-2s}}{s(s+1)\left(s^{2}+1\right)}

Las fracciones simples. Se descompone la parte sin el exponencial:

\frac{1}{s(s+1)(s^{2}+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1}

Con $s=0$ sale $A=1$ ; con $s=-1$ , $B=-\frac12$ ; y con $s=i$ , $C=D=-\frac12$ . Es decir

\frac{1}{s(s+1)(s^{2}+1)} =\frac{1}{s}-\frac{1}{2(s+1)}-\frac{1}{2}\cdot\frac{s+1}{s^{2}+1}

La antitransformada.

g(t)=1-\frac{1}{2}e^{-t}-\frac{1}{2}\left(\cos t+\operatorname{sen}t\right)

Conviene comprobarla: $g(0)=1-\frac12-\frac12=0$ y $g'(0)=\frac12-\frac12=0$ . Que salgan cero las dos no es casualidad — son las condiciones iniciales trasladadas.

El retardo. El factor $e^{-2s}$ traslada todo dos unidades:

y(t)=u(t-2)\,g(t-2)= \begin{cases} 0 & t<2\\[6pt] 1-\dfrac{e^{-(t-2)}}{2} -\dfrac{\cos(t-2)+\operatorname{sen}(t-2)}{2} & t\ge 2 \end{cases}

Lo que dice la solución. Hasta $t=2$ el sistema está parado: no hay entrada y no hay energía almacenada. A partir de ahí arranca desde cero —sin salto, y con pendiente cero— y acaba oscilando indefinidamente alrededor de $1$ , porque el término $\frac{e^{-t}}{2}$ se apaga pero el seno y el coseno no. Ese $1$ es el que aporta el $\frac1s$ de las fracciones simples, y viene de que la ecuación es $y''+y'$ y no $y''+y$ : hay una raíz en $s=0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una rampa que solo ocupa media onda

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función

f(t)= \begin{cases} \dfrac{\pi}{2}-t & 0<t\le\dfrac{\pi}{2}\\[8pt] 0 & \dfrac{\pi}{2}<t\le\pi \end{cases}

a) Obtener la ampliación impar y periódica, $F(t)$ , de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función ampliada, $F(t)$ .

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=2024\pi$ y $t=\dfrac{201\pi}{2}$ .

La ampliación, su dibujo, la serie y los dos valores.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Hasta dónde llega la integral que da los coeficientes?
02
El segundo coeficiente
COMP2
¿Cuánto vale $b_{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en los dos puntos
COMP2
$t=2024\pi$ y $t=\frac{201\pi}{2}$ dan el mismo valor de $S$ . ¿Cuál?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La ampliación impar es $F(t)=-f(-t)$ para $t<0$ , repetida con periodo $2\pi$ : una rampa que baja de $\frac{\pi}{2}$ a $0$ en $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , cero hasta $\pi$ , y la imagen cambiada de signo a la izquierda.
2. c) Al ser impar, todos los $a_{n}$ se anulan y $b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} \left(\frac{\pi}{2}-t\right)\operatorname{sen}(nt)\,dt$ .
3. Integrando por partes, $b_{n}=\frac{1}{n}-\frac{2\operatorname{sen}\frac{n\pi}{2}}{\pi n^{2}}$ : vale $\frac1n$ si $n$ es par y $\frac1n\mp\frac{2}{\pi n^{2}}$ si es impar.
4. d) $2024\pi\equiv 0$ , que es un salto entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$ : la serie converge a la media, $0$ .
5. $\frac{201\pi}{2}\equiv\frac{\pi}{2}$ , donde $F$ es continua y vale $0$ : la serie converge también a $0$ .

Resolución completa

a) La ampliación impar. Impar significa $F(-t)=-F(t)$ , y periódica de periodo $2\pi$ :

F(t)= \begin{cases} \frac{\pi}{2}-t & 0<t\le\frac{\pi}{2}\\[4pt] 0 & \frac{\pi}{2}<t\le\pi\\[4pt] 0 & -\pi<t\le-\frac{\pi}{2}\\[4pt] -\frac{\pi}{2}-t & -\frac{\pi}{2}<t<0 \end{cases}

y $F(t+2\pi)=F(t)$ . En $t=0$ y en los múltiplos pares de $\pi$ hay un salto, de $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$ , y allí se toma $F=0$ por imparidad.

b) El dibujo.

Figura nuestra: el apartado b) pide dibujarla y el examen no trae ninguna. Los circulitos huecos son los extremos que la función no alcanza; el relleno, el valor 0 que toma en el salto.

c) La serie. Al ser $F$ impar, todos los $a_{n}$ se anulan y quedan solo senos:

b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}F(t)\operatorname{sen}(nt)\,dt =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} \left(\frac{\pi}{2}-t\right)\operatorname{sen}(nt)\,dt

—el segundo tramo no aporta porque el integrando es cero—. Integrando por partes con $u=\frac\pi2-t$ :

\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\operatorname{sen}(nt)\,dt =\frac{\pi}{2n}-\frac{\operatorname{sen}\frac{n\pi}{2}}{n^{2}}

b_{n}=\frac{1}{n}-\frac{2\operatorname{sen}\frac{n\pi}{2}}{\pi n^{2}}

Para $n$ par el seno se anula y queda $b_{n}=\frac1n$ ; para $n$ impar hay que restar o sumar $\frac{2}{\pi n^{2}}$ según el signo de $\operatorname{sen}\frac{n\pi}{2}$ .

S(t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n}-\frac{2\operatorname{sen}\frac{n\pi}{2}}{\pi n^{2}}\right) \operatorname{sen}(nt)

d) Los dos puntos. Lo primero, reducir módulo $2\pi$ .

$2024\pi=1012\cdot 2\pi\equiv 0$ . Ahí hay un salto: por la derecha $F\to\frac{\pi}{2}$ y por la izquierda $F\to-\frac{\pi}{2}$ . El teorema de Dirichlet da la media:

S(2024\pi)=0

y $F(2024\pi)=0$ también, por el convenio de imparidad.

$\frac{201\pi}{2}=100\pi+\frac{\pi}{2}\equiv\frac{\pi}{2}$ . Ahí $F$ es continua —los dos trozos empalman en cero— y vale $0$ , así que

S\left(\frac{201\pi}{2}\right)=F\left(\frac{201\pi}{2}\right)=0

Los dos valen cero, pero por razones distintas, y eso es exactamente lo que el «justificando la respuesta» pide: en el primero porque la serie promedia un salto, y en el segundo porque la función es continua y vale cero.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2023-2024

Reconocer el camino

La relación entre a y b

El valor positivo de a

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuántas son ciertas

El coeficiente que estropea la e)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La segunda derivada en el punto

La cota del error

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La base del rectángulo

El área

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pendiente

El punto de paso

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El exponente de la trayectoria

La abscisa del punto de llegada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El límite que cambia

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La transformada del segundo miembro

El valor al que tiende la solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El segundo coeficiente

El valor en los dos puntos

Justificar el argumento