tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2016-2017

29 de mayo de 2017 · 7 ejercicios · 70 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Seis raíces, un hexágono y un perímetro que sale redondoNúmeros complejos2 + 5 + 3 = 10 pts
a) Hallar y representar gráficamente las raíces sextas de la unidad: $z=\sqrt[6]{1}$ .

b) Hallar el perímetro del polígono obtenido al unir los afijos de dichas raíces.
Las seis raíces, su dibujo y el perímetro del hexágono.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Demostrar que una función continua no se salta ningún valorFunciones reales de una variable real2 + 0 + 8 = 10 pts
Demostrar la siguiente propiedad:

Sea $y(x)$ una función continua en $[a,b]$ . Entonces:
$\forall H\in[m,M]\ \ \exists x\in[a,b]\ /\ y(x)=H$
donde $m$ y $M$ son el máximo y el mínimo, respectivamente, de $y(x)$ en $[a,b]$ .
La demostración, con los teoremas que se usan nombrados.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un recinto entre una parábola y su tangente, y el sólido que engendraIntegración2 + 5 + 3 = 10 pts
Dada la función $y=4x^{2}$ se pide:

a) Calcular el área del recinto situado en el primer cuadrante y limitado por la curva y su tangente que es paralela a la recta $y=8x$ .

b) Calcular el volumen del sólido engendrado al girar el recinto alrededor del eje OX.
El área del recinto y el volumen de revolución.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dónde se dibuja la curva de nivel que faltaFunciones reales de varias variables reales2 + 0 + 8 = 10 pts
La figura siguiente muestra dos curvas de nivel de cierta función $z=F(x,y)$ , correspondientes a las cotas $z=1.5$ y $z=1.6$ . En esta figura también se representan los vectores gradiente de algunos puntos A, B, C, D que están situados sobre una de las curvas de nivel.

Figura redibujada del enunciado original, que está hecho a mano y no es métrico. Lo que se conserva es lo que decide el ejercicio: los cuatro gradientes son perpendiculares a la curva 1,50, apuntan hacia la 1,60 y tienen longitudes distintas, la mayor en C y la menor en A.

¿En cuál de las siguientes figuras está correctamente representada la curva de nivel correspondiente a la cota z=1.55? Razona tu respuesta.

Las tres opciones, redibujadas. En (a) la curva nueva va pegada a la de 1,60; en (b), pegada a la de 1,50; en (c), a media distancia entre las dos.

Cuál de las tres, y por qué.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cono con tapa de paraboloideIntegral múltiple2 + 5 + 3 = 10 pts
Sea el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ ; $z\le 2-x^{2}-y^{2}$ ; $z\ge 0$ .

a) Dibujar el sólido y calcular su volumen.

b) Calcular el área de la superficie del sólido.
El dibujo, el volumen y el área.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una raíz doble, un seno y tres fracciones simplesTransformada de Laplace1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver el siguiente problema utilizando la transformada de Laplace:
$\left\{ \begin{aligned} y''+2y'+y&=\operatorname{sen}t\\ y(0)&=0,\quad y'(0)=1 \end{aligned} \right.$
La función y(t).
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un diente de sierra que baja, y la serie de Leibniz otra vezIntroducción al análisis de Fourier0 + 6 + 4 = 10 pts
Sea la función periódica de periodo $2\pi$ $f(t)=-t\ /\ t\in(-\pi,\pi)$ .

a) Dibujar $f(t)$ .

b) Calcular la serie de Fourier $S(t)$ de la función $f(t)$ .

c) Calcular $S(0)$ , $f(0)$ , $S(101\pi)$ y $f(101\pi)$ .

d) Calcular la suma $B=1-\dfrac13+\dfrac15-\dfrac17+\ldots$
El dibujo, la serie, los cuatro valores y la suma.
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 29 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Seis raíces, un hexágono y un perímetro que sale redondo

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Hallar y representar gráficamente las raíces sextas de la unidad: $z=\sqrt[6]{1}$ .

b) Hallar el perímetro del polígono obtenido al unir los afijos de dichas raíces.

Las seis raíces, su dibujo y el perímetro del hexágono.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo están repartidas las $n$ raíces $n$ -ésimas de un complejo?
02
El paso entre raíces
COMP2
¿Cuántos grados separan dos raíces consecutivas?
Tu respuesta al paso 2un número de grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El perímetro
COMP2
¿Cuánto vale el perímetro del hexágono?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $1=1\cdot e^{i0}$ , así que sus raíces sextas tienen módulo $\sqrt[6]{1}=1$ y argumentos $\frac{0+2\pi k}{6}$ con $k=0,\dots,5$ .
2. Son seis puntos sobre la circunferencia unidad separados $60^{\circ}$ : los vértices de un hexágono regular con un vértice en el $1$ .
3. El triángulo que forman el centro y dos vértices consecutivos tiene dos lados iguales al radio y $60^{\circ}$ entre ellos, luego es equilátero y el lado vale $1$ . El perímetro es $6$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 29 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Demostrar que una función continua no se salta ningún valor

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar la siguiente propiedad:

Sea $y(x)$ una función continua en $[a,b]$ . Entonces:

\forall H\in[m,M]\ \ \exists x\in[a,b]\ /\ y(x)=H

donde $m$ y $M$ son el máximo y el mínimo, respectivamente, de $y(x)$ en $[a,b]$ .

La demostración, con los teoremas que se usan nombrados.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dos teoremas hacen falta para demostrar esta propiedad?
02
El teorema en un caso concreto
COMP2
Para $y(x)=x^{3}-3x$ en $[0,2]$ , ¿en qué punto se alcanza el mínimo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por el teorema de Weierstrass, una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza su mínimo y su máximo: existen $x_{1},x_{2}\in[a,b]$ con $y(x_{1})=m$ e $y(x_{2})=M$ .
2. Sea $H\in[m,M]$ . Si $H=m$ o $H=M$ ya está: sirven $x_{1}$ o $x_{2}$ . Supongamos entonces $m<H<M$ .
3. Se considera $h(x)=y(x)-H$ , continua, en el intervalo cerrado de extremos $x_{1}$ y $x_{2}$ . Allí $h(x_{1})=m-H<0$ y $h(x_{2})=M-H>0$ .

Resolución completa

Antes de nada, una errata del enunciado. Dice « $m$ y $M$ son el máximo y el mínimo, respectivamente», y eso pondría el máximo primero. Pero entonces $[m,M]$ sería un intervalo al revés y estaría vacío. Lo que se quiere decir —y lo que todo el mundo entiende— es $m=\min$ y $M=\max$ . Se reproduce el enunciado tal cual y se aclara, que es lo honesto.

Qué se está pidiendo. Es el teorema del valor intermedio en su forma fuerte: una función continua en un cerrado toma todos los valores entre su mínimo y su máximo. Dicho de otro modo, su imagen es el intervalo $[m,M]$ entero, sin agujeros.

La demostración, en tres pasos.

1 · Weierstrass. $y$ es continua en $[a,b]$ , cerrado y acotado, así que alcanza su mínimo y su máximo: existen $x_{1},x_{2}\in[a,b]$ con

y(x_{1})=m,\qquad y(x_{2})=M

Este paso es el que suele olvidarse, y sin él no hay nada que hacer: que $m$ sea el ínfimo no garantiza que la función lo tome.

2 · Los casos triviales. Si $H=m$ sirve $x=x_{1}$ ; si $H=M$ sirve $x=x_{2}$ . Queda por ver $m<H<M$ .

3 · Bolzano. Sea $h(x)=y(x)-H$ , continua por serlo $y$ . En el intervalo cerrado de extremos $x_{1}$ y $x_{2}$ —contenido en $[a,b]$ , sea cual sea el orden en que estén— se tiene

h(x_{1})=m-H<0, \qquad h(x_{2})=M-H>0

Bolzano da entonces un punto $x$ entre $x_{1}$ y $x_{2}$ con $h(x)=0$ , es decir $y(x)=H$ . $\blacksquare$

Las dos hipótesis, y por qué cada una hace falta.

Cerrado. En $(0,1]$ la función $y(x)=x$ es continua y no alcanza ínfimo: no hay mínimo que usar.
Continua. La función que vale $0$ en $[0,1)$ y $1$ en $[1,2]$ tiene mínimo $0$ y máximo $1$ , y no toma ningún valor intermedio.

Decir esto no es relleno: en un ejercicio con ocho de los diez puntos en la explicación formal, señalar dónde se usa cada hipótesis es exactamente lo que se está evaluando.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 29 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un recinto entre una parábola y su tangente, y el sólido que engendra

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dada la función $y=4x^{2}$ se pide:

a) Calcular el área del recinto situado en el primer cuadrante y limitado por la curva y su tangente que es paralela a la recta $y=8x$ .

b) Calcular el volumen del sólido engendrado al girar el recinto alrededor del eje OX.

El área del recinto y el volumen de revolución.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se localiza el punto de tangencia?
02
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área del recinto?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del sólido de revolución?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. «Tangente paralela a $y=8x$ » fija la pendiente en $8$ ; de $y'=8x=8$ sale $x=1$ y el punto de tangencia es $(1,4)$ .
2. La tangente es $y=8x-4$ , que corta al eje $OX$ en $x=\frac12$ ; junto con la parábola y ese eje encierran el recinto del primer cuadrante.
3. El área es $\int_{0}^{1}4x^{2}dx$ menos el triángulo de la tangente, $\frac43-1=\frac13$ ; y el volumen, $\frac{16\pi}{5}-\frac{8\pi}{3}=\frac{8\pi}{15}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 29 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dónde se dibuja la curva de nivel que falta

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura siguiente muestra dos curvas de nivel de cierta función $z=F(x,y)$ , correspondientes a las cotas $z=1.5$ y $z=1.6$ . En esta figura también se representan los vectores gradiente de algunos puntos A, B, C, D que están situados sobre una de las curvas de nivel.

Figura redibujada del enunciado original, que está hecho a mano y no es métrico. Lo que se conserva es lo que decide el ejercicio: los cuatro gradientes son perpendiculares a la curva 1,50, apuntan hacia la 1,60 y tienen longitudes distintas, la mayor en C y la menor en A.

¿En cuál de las siguientes figuras está correctamente representada la curva de nivel correspondiente a la cota z=1.55? Razona tu respuesta.

Las tres opciones, redibujadas. En (a) la curva nueva va pegada a la de 1,60; en (b), pegada a la de 1,50; en (c), a media distancia entre las dos.

Cuál de las tres, y por qué.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación hay entre el módulo del gradiente y la separación entre curvas de nivel?
02
La distancia, con un número
COMP2
Si en un punto de la curva $z=1{,}50$ el gradiente mide $2$ unidades de cota por unidad de longitud, ¿a qué distancia está la curva $z=1{,}55$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel y apunta hacia las cotas mayores, así que la curva $1{,}55$ tiene que quedar entre las dos y cortar cada flecha en ángulo recto.
2. Al avanzar por la dirección del gradiente, $\Delta z\approx\left\|\nabla F\right\|\,\Delta s$ ; como $\left\|\nabla F\right\|$ apenas cambia dentro de la franja, recorrer la mitad de la cota lleva la mitad del camino.
3. La cota $1{,}55$ está justo a medio camino entre $1{,}50$ y $1{,}60$ , luego su curva va a media distancia: la opción (c).

Resolución completa

La respuesta es la (c), y el razonamiento cabe en dos ideas.

1 · El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel. A lo largo de una curva de nivel la función no cambia, así que la derivada direccional en la dirección tangente vale cero: $\nabla F\perp$ tangente. Y apunta hacia donde $F$ crece, es decir, de la $1{,}50$ hacia la $1{,}60$ . Eso ya dice que la curva nueva va entre las dos y cruza las flechas en ángulo recto — pero las tres opciones lo cumplen, así que no basta.

2 · El módulo del gradiente fija la distancia. Al avanzar una longitud $ds$ en la dirección del gradiente,

dz=\left\|\nabla F\right\|\,ds \qquad\Longrightarrow\qquad ds=\frac{\Delta z}{\left\|\nabla F\right\|}

Dentro de una franja estrecha, $\left\|\nabla F\right\|$ apenas cambia. Y entonces la distancia es proporcional al salto de cota:

\frac{d(1{,}50\to1{,}55)}{d(1{,}50\to1{,}60)} =\frac{0{,}05}{0{,}10}=\frac12

La curva $1{,}55$ va a media distancia. Eso descarta la (a), que la pega a la $1{,}60$ , y la (b), que la pega a la $1{,}50$ .

Para qué sirven entonces los cuatro gradientes. No para colocar la curva nueva, sino para leer el terreno: son más largos donde la función crece más deprisa. En C, el más largo de los cuatro, la ladera es la más empinada del dibujo, y ahí las curvas de nivel deberían apretarse. En A, el más corto, el terreno es casi llano. Esa lectura es la que se pide en un mapa topográfico, y es exactamente la que el ejercicio quiere comprobar que se tiene.

Y una honestidad sobre el dibujo. El original está hecho a mano y no es métrico: las dos curvas dadas van casi paralelas mientras que los cuatro gradientes tienen longitudes muy distintas, cosa que no puede pasar a la vez. La figura es esquemática, y el argumento que decide —el de la proporcionalidad— no depende de eso.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 29 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cono con tapa de paraboloide

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ ; $z\le 2-x^{2}-y^{2}$ ; $z\ge 0$ .

a) Dibujar el sólido y calcular su volumen.

b) Calcular el área de la superficie del sólido.

El dibujo, el volumen y el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde se cortan el cono y el paraboloide?
02
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del sólido?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área total
COMP2
¿Cuánto mide la superficie completa del sólido?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera condición deja el interior del cono $r\le z$ ; la segunda, lo que queda por debajo del paraboloide $z=2-r^{2}$ ; y la tercera corta por el plano $z=0$ .
2. Las dos superficies se cortan en $r=1$ , $z=1$ , así que la sombra del sólido sobre el plano $XY$ es el disco de radio $1$ .
3. Sobre cada punto de ese disco, $z$ va desde la pared del cono hasta la tapa, y el volumen es $2\pi\int_{0}^{1}\left[(2-r^{2})-r\right]r\,dr=\frac{5\pi}{6}$ .

Resolución completa

a) Qué sólido es. Dos superficies:

$x^{2}+y^{2}\le z^{2}$ con $z\ge0$ : el interior del cono de $45^{\circ}$ , abierto hacia arriba.
$z\le 2-x^{2}-y^{2}$ : por debajo del paraboloide invertido, que corona en $(0,0,2)$ .

Se cortan donde $r=2-r^{2}$ , o sea $r^{2}+r-2=0$ : $r=1$ , $z=1$ .

La sección meridiana. El cono sube desde el origen a 45 grados hasta el radio 1, y desde ahí la tapa parabólica cierra el sólido en la altura 2. Al girar el perfil sale el cuerpo.

El volumen, con tubos. La sombra es el disco de radio $1$ , y sobre cada punto la altura va del cono a la tapa:

V=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\left[\left(2-r^{2}\right)-r\right] r\,dr\,d\theta =2\pi\left(1-\frac14-\frac13\right) =\boxed{\;\frac{5\pi}{6}\;}\approx2{,}62

El límite $r=1$ es lo que hay que justificar: más allá, la pared del cono queda por encima de la tapa y la altura sería negativa.

b) El área, que son dos trozos y ninguna tapa plana.

A_{\text{cono}}=\pi\cdot1\cdot\sqrt2=\pi\sqrt2\approx4{,}44

A_{\text{paraboloide}}=2\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr =\frac{\pi\left(5\sqrt5-1\right)}{6}\approx5{,}33

A=\boxed{\;\pi\sqrt2+\frac{\pi\left(5\sqrt5-1\right)}{6}\;}\approx9{,}77

El disco de radio $1$ a la altura $z=1$ no cuenta: está dentro del sólido, no en su frontera.

Comprobación de sentido. Un cilindro de radio $1$ y altura $2$ tendría volumen $2\pi\approx6{,}28$ , y el sólido —que se estrecha por abajo y se redondea por arriba— se queda en $2{,}62$ , un $42\,\%$ . Razonable. Y el área, $9{,}77$ , contra los $2\pi+2\pi\cdot2=18{,}8$ de ese cilindro: también encaja.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 29 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una raíz doble, un seno y tres fracciones simples

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver el siguiente problema utilizando la transformada de Laplace:

\left\{ \begin{aligned} y''+2y'+y&=\operatorname{sen}t\\ y(0)&=0,\quad y'(0)=1 \end{aligned} \right.

La función y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué forma tiene la descomposición en fracciones simples de $\dfrac{s^{2}+2}{(s+1)^{2}\left(s^{2}+1\right)}$ ?
02
El coeficiente de la raíz doble
COMP2
¿Cuánto vale $B$ , el numerador sobre $(s+1)^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un valor de la solución
COMP2
¿Cuánto vale $y(2)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando con $y(0)=0$ e $y'(0)=1$ : $\left(s^{2}+2s+1\right)Y-1=\frac{1}{s^{2}+1}$ , es decir $Y=\frac{s^{2}+2}{(s+1)^{2}\left(s^{2}+1\right)}$ .
2. El denominador tiene una raíz doble en $s=-1$ y un factor cuadrático irreducible, así que la descomposición lleva tres términos.
3. Sale $Y=\frac{1/2}{s+1}+\frac{3/2}{(s+1)^{2}} -\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+1}$ , y antitransformando, $y=\frac12 e^{-t}+\frac32 t e^{-t}-\frac12\cos t$ .

Resolución completa

Transformar. Con $\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y-sy(0)-y'(0)=s^{2}Y-1$ y $\mathcal{L}\{y'\}=sY$ :

\left(s^{2}+2s+1\right)Y-1=\frac{1}{s^{2}+1} \;\Longrightarrow\; Y=\frac{s^{2}+2}{(s+1)^{2}\left(s^{2}+1\right)}

La descomposición, con su forma correcta. Raíz doble en $s=-1$ y factor cuadrático irreducible:

Y=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1}

El más fácil es $B$ : se multiplica por $(s+1)^{2}$ y se hace $s=-1$ , con lo que todo lo demás se anula y queda $B=\frac{3}{2}$ . Los otros salen igualando coeficientes:

A=\frac12,\qquad B=\frac32,\qquad C=-\frac12,\qquad D=0

Antitransformar.

\boxed{\;y(t)=\frac12 e^{-t}+\frac32\,t\,e^{-t}-\frac12\cos t\;}

Las dos comprobaciones que hay que hacer siempre.

y(0)=\frac12+0-\frac12=0\ \checkmark

y'(t)=-\frac12 e^{-t}+\frac32\left(1-t\right)e^{-t} +\frac12\operatorname{sen}t \;\Longrightarrow\; y'(0)=-\frac12+\frac32=1\ \checkmark

Cómo se lee el resultado. Hay dos partes bien distintas:

la transitoria, $\frac12 e^{-t}+\frac32 t e^{-t}$ , que viene de la raíz doble y se apaga —el $t$ la hace crecer al principio, pero la exponencial gana enseguida—;
la permanente, $-\frac12\cos t$ , que es la respuesta al seno de entrada.

Y ahí está el detalle interesante: la entrada es un seno y la salida permanente es un coseno con signo, es decir, la misma frecuencia desfasada un cuarto de periodo. Un sistema con amortiguamiento siempre responde con retraso, y en este caso el retraso es de exactamente $90^{\circ}$ porque la excitación coincide con la frecuencia natural no amortiguada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 29 de mayo de 2017 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un diente de sierra que baja, y la serie de Leibniz otra vez

COMP 26 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función periódica de periodo $2\pi$ $f(t)=-t\ /\ t\in(-\pi,\pi)$ .

a) Dibujar $f(t)$ .

b) Calcular la serie de Fourier $S(t)$ de la función $f(t)$ .

c) Calcular $S(0)$ , $f(0)$ , $S(101\pi)$ y $f(101\pi)$ .

d) Calcular la suma $B=1-\dfrac13+\dfrac15-\dfrac17+\ldots$

El dibujo, la serie, los cuatro valores y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué simetría tiene $f$ , y qué consecuencia tiene?
02
El primer armónico
COMP2
¿Cuánto vale $b_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de la serie en el salto
COMP2
¿Cuánto vale $S(101\pi)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La suma pedida
COMP2
¿Cuánto vale $B=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $t=0$ la función es continua —vale $0$ y los dos límites laterales también—, así que $S(0)=f(0)=0$ .
2. $101\pi$ es congruente con $\pi$ módulo $2\pi$ , y ahí sí hay salto: los límites laterales son $-\pi$ y $+\pi$ , luego $S(101\pi)=0$ .
3. En cambio $f(101\pi)$ no está definida: el enunciado da $f$ en el intervalo abierto $(-\pi,\pi)$ , y $\pi$ queda fuera.

Resolución completa

a) El dibujo. En cada periodo la función baja en línea recta de $\pi$ a $-\pi$ y salta hacia arriba al empezar el siguiente. Los extremos van en hueco porque el enunciado da el intervalo abierto.

El diente de sierra descendente. Los extremos de cada rampa se marcan en hueco: el enunciado define f en el intervalo abierto, así que en los múltiplos impares de π la función no toma ningún valor.

b) La serie. $f(-t)=t=-f(t)$ : impar. Así que $a_{n}=0$ para todo $n$ —incluido el término constante— y solo hay senos:

b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(-t)\operatorname{sen}(nt)\,dt =\frac{2(-1)^{n}}{n}

S(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n}}{n}\operatorname{sen}(nt) =-2\operatorname{sen}t+\operatorname{sen}2t -\frac{2}{3}\operatorname{sen}3t+\cdots

c) Los cuatro valores.

punto	$S$	$f$
$t=0$	$0$	$0$
$t=101\pi$	$0$	no está definida

En $t=0$ la función es continua y la serie la reproduce. En $t=101\pi$ —que es $\pi$ dando cincuenta vueltas— hay un salto de $-\pi$ a $\pi$ , y la serie converge a la semisuma, $0$ . La función, en cambio, no vale nada ahí: el enunciado la define en el abierto $(-\pi,\pi)$ . Decirlo así es más honesto que inventarle un valor, y es exactamente el tipo de matiz que persigue un ejercicio con cuatro puntos de explicación formal.

d) La suma. Se busca un punto donde $S$ y $f$ coincidan y donde los senos den la serie pedida. En $t=\frac\pi2$ los pares se anulan y los impares valen $\pm1$ alternando:

S\!\left(\frac\pi2\right)=-2B, \qquad f\!\left(\frac\pi2\right)=-\frac\pi2

-2B=-\frac{\pi}{2}\;\Longrightarrow\;\boxed{\;B=\frac{\pi}{4}\;}

Por qué hay que elegir un punto de continuidad. Si se evaluara en $t=\pi$ , donde $S=0$ y $f$ no está definida, la igualdad no se podría escribir. El apartado c) está puesto justo antes para que uno se dé cuenta de dónde sí se puede.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2016-2017

Reconocer el camino

El paso entre raíces

El perímetro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El teorema en un caso concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El área

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La distancia, con un número

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen

El área total

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de la raíz doble

Un valor de la solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer armónico

El valor de la serie en el salto

La suma pedida

Justificar el argumento