tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2020-2021

8 de junio de 2021 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una parte real que se anula, y el punto que hay que quitarNúmeros complejos0 + 7 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición $Re\left(\dfrac{1+z}{1-z}\right)=0$ .
El lugar geométrico, con el punto que hay que excluir.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Qué lado conviene que sea el radioEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 8 + 2 = 10 pts
Un rectángulo de perímetro $P$ se gira sobre uno de sus lados para obtener un cilindro circular recto. Calcular las dimensiones que maximizan el volumen del cilindro.
Los dos lados del rectángulo, en función de P.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Estudiar una función que solo se conoce como integralIntegración1 + 6 + 3 = 10 pts
Sea la función $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1}{t^{2}+2t+2}\,dt$ .

a) ¿Toma $F(x)$ el valor $0$ ? Razonar la respuesta.

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento de $F(x)$ en $\mathbb{R}$ .

c) Estudiar la concavidad/convexidad de $F(x)$ en $\mathbb{R}$ .

d) Dibujar el gráfico de $F(x)$ .
Los ceros, la monotonía, la curvatura y el dibujo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un gradiente de una función que no se puede despejarFunciones reales de varias variables reales1 + 6 + 3 = 10 pts
Sea la función $z=f(x,y)$ tal que $xz+\ln(z)=y$ . Calcular un vector perpendicular a la curva de nivel $f(x,y)=1$ en el punto $(0,0)$ .
Un vector perpendicular, y de dónde sale.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un volumen que fija el radio del recintoIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la integral $\displaystyle\int_{-a}^{a}\left(\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}f(x,y)\,dy\right)dx$ . Calcular los posibles valores de $a$ tales que el volumen de la superficie $f(x,y)=+\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ en dicho recinto sea igual a $\dfrac{9\pi}{8}$ .
El valor de a.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un segundo miembro que obliga a variación de parámetrosEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO $y''+16y=\dfrac{1}{\operatorname{sen}4x}$ .
La solución general.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una fuerza que no aparece hasta el segundo dosTransformada de Laplace0 + 8 + 2 = 10 pts
Utilizando la transformada de Laplace resolver la EDO
$\left\{ \begin{aligned} y''+y&=f(t)\\ y(0)&=y'(0)=1 \end{aligned} \right. \qquad\text{donde}\qquad f(t)= \begin{cases} 0 & t<2\\[2pt] \cos(t-2) & t\ge2 \end{cases}$
La función y(t), con el tramo retrasado bien colocado.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una recta ampliada a onda triangular, y la suma de los impares al cuadradoIntroducción al análisis de Fourier0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $f(t)$ la función definida en el intervalo $(0,\pi)$ que aparece en la figura.

Figura redibujada del enunciado original. Es el segmento que une el punto (0, 2π) con el punto (π, π), es decir f(t) = 2π − t.

a) Obtener la ampliación par y periódica de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función ampliada.

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=\dfrac{\pi}{2}$ .

e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}$ .
La ampliación, su dibujo, la serie, los dos valores y la suma.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 8 de junio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una parte real que se anula, y el punto que hay que quitar

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición $Re\left(\dfrac{1+z}{1-z}\right)=0$ .

El lugar geométrico, con el punto que hay que excluir.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se obtiene la parte real de un cociente de complejos?
02
Un valor de control
COMP2
¿Cuánto vale $Re\left(\dfrac{1+z}{1-z}\right)$ en $z=2i$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe el lugar geométrico en $x$ e $y$ . La figura comprobará si es la misma región que la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa ^2 para los cuadrados
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Multiplicando por el conjugado del denominador, $\frac{1+z}{1-z}=\frac{\left(1-x^{2}-y^{2}\right)+2iy} {(1-x)^{2}+y^{2}}$ , con denominador real y positivo.
2. Una fracción con denominador no nulo se anula cuando se anula el numerador, así que la condición es $1-x^{2}-y^{2}=0$ .
3. Eso es $\left|z\right|=1$ : la circunferencia de centro el origen y radio $1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 8 de junio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Qué lado conviene que sea el radio

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un rectángulo de perímetro $P$ se gira sobre uno de sus lados para obtener un cilindro circular recto. Calcular las dimensiones que maximizan el volumen del cilindro.

Los dos lados del rectángulo, en función de P.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si el rectángulo tiene lados $r$ y $h$ y gira sobre el lado $h$ , ¿qué ligadura impone el enunciado?
02
El lado que hace de radio
COMP2
El máximo se alcanza con $r=kP$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La proporción entre los dos lados
COMP2
¿Cuántas veces es el lado que hace de radio más largo que el lado sobre el que se gira?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la optimización. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al girar sobre uno de sus lados, ese lado es el eje, de modo que su longitud es la altura del cilindro y la del otro lado es el radio.
2. El perímetro fija $r+h=\frac{P}{2}$ , y sustituyendo, $V(r)=\pi r^{2}\left(\frac{P}{2}-r\right)$ con $r\in\left(0,\frac P2\right)$ .
3. $V'=\pi r(P-3r)$ se anula en $r=0$ y en $r=\frac P3$ ; el primero da volumen nulo y el segundo es máximo porque $V''\left(\frac P3\right)=-\pi P<0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 8 de junio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Estudiar una función que solo se conoce como integral

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1}{t^{2}+2t+2}\,dt$ .

a) ¿Toma $F(x)$ el valor $0$ ? Razonar la respuesta.

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento de $F(x)$ en $\mathbb{R}$ .

c) Estudiar la concavidad/convexidad de $F(x)$ en $\mathbb{R}$ .

d) Dibujar el gráfico de $F(x)$ .

Los ceros, la monotonía, la curvatura y el dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuánto vale $F'(x)$ ?
02
La función, en forma cerrada
COMP2
Completando cuadrados sale $F(x)=\arctan(x+1)-c$ . ¿Cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto de inflexión
COMP2
¿En qué punto cambia $F$ de convexa a cóncava?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El techo de la función
COMP2
¿A qué valor tiende $F(x)$ cuando $x\to+\infty$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por el teorema fundamental, $F'(x)=\frac{1}{x^{2}+2x+2}>0$ para todo $x$ , porque $x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1\ge1$ .
2. Luego $F$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ , y por tanto inyectiva: no puede tomar el mismo valor dos veces.
3. Y $F(0)=\int_{0}^{0}=0$ , así que sí toma el valor cero, y lo toma exactamente una vez, en $x=0$ .

Resolución completa

La idea que ordena todo el ejercicio: no hace falta calcular la integral para contestar a), b) y c). El teorema fundamental da

F'(x)=\frac{1}{x^{2}+2x+2}=\frac{1}{(x+1)^{2}+1}

y con eso se responde casi todo.

a) Sí, y solo una vez. $F(0)=0$ porque la integral de $0$ a $0$ es cero. Y como $F'>0$ en todo $\mathbb{R}$ , $F$ es estrictamente creciente y no puede volver a valer cero.

Cuidado con el argumento fácil y equivocado: «el integrando es positivo, luego $F>0$ ». Para $x<0$ los límites están invertidos y la integral es negativa.

b) Creciente en todo $\mathbb{R}$ . $(x+1)^{2}+1\ge1>0$ , así que $F'>0$ siempre y no hay extremos.

c) Convexa hasta $-1$ , cóncava después.

F''(x)=-\frac{2(x+1)}{\left[(x+1)^{2}+1\right]^{2}}

El denominador es positivo; el signo lo pone $-(x+1)$ . Inflexión en $x=-1$ , donde además $F'$ alcanza su valor máximo, $1$ : es el punto donde la gráfica sube más deprisa.

d) El dibujo, con la forma cerrada. Aquí sí conviene resolver la integral, porque las asíntotas se leen de un vistazo:

F(x)=\arctan(x+1)-\frac{\pi}{4}

\lim_{x\to-\infty}F=-\frac{3\pi}{4}\approx-2{,}36, \qquad \lim_{x\to+\infty}F=\frac{\pi}{4}\approx0{,}79

La gráfica de F. Creciente en todo el eje, con dos asíntotas horizontales, corte único con el eje en el origen e inflexión en x = −1, donde la curva pasa de convexa a cóncava.

Un detalle de escala que se suele fallar: la función no es simétrica. Baja hasta $-\frac{3\pi}{4}$ por la izquierda y solo sube hasta $\frac{\pi}{4}$ por la derecha, porque el punto de inflexión —el centro de simetría de la ese— está en $x=-1$ , no en el origen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 8 de junio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un gradiente de una función que no se puede despejar

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $z=f(x,y)$ tal que $xz+\ln(z)=y$ . Calcular un vector perpendicular a la curva de nivel $f(x,y)=1$ en el punto $(0,0)$ .

Un vector perpendicular, y de dónde sale.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué vector es perpendicular a una curva de nivel?
02
La derivada respecto de x
COMP2
¿Cuánto vale $f_{x}(0,0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La pendiente de la curva de nivel
COMP2
La curva de nivel $f=1$ es una recta. ¿Cuál es su pendiente?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ecuación $xz+\ln z=y$ no se puede despejar en $z$ , pero define $z$ implícitamente: se escribe $G(x,y,z)=xz+\ln z-y=0$ .
2. Como $G_{z}=x+\frac1z$ no se anula en el punto —vale $1$ —, el teorema de la función implícita garantiza que $f$ existe y es derivable ahí.
3. Entonces $f_{x}=-\frac{G_{x}}{G_{z}}=-1$ y $f_{y}=-\frac{G_{y}}{G_{z}}=1$ , así que $\nabla f(0,0)=(-1,1)$ es perpendicular a la curva de nivel.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 8 de junio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un volumen que fija el radio del recinto

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la integral $\displaystyle\int_{-a}^{a}\left(\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}f(x,y)\,dy\right)dx$ . Calcular los posibles valores de $a$ tales que el volumen de la superficie $f(x,y)=+\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ en dicho recinto sea igual a $\dfrac{9\pi}{8}$ .

El valor de a.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué recinto del plano describen esos límites de integración?
02
El volumen en función de a
COMP2
El volumen sale de la forma $V=k\,\pi a^{3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de a
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los límites describen el semidisco superior de radio $a$ , que en polares es $0\le\theta\le\pi$ , $0\le r\le a$ .
2. La superficie $f=+\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ es la hoja superior de un cono, y en polares vale simplemente $r$ .
3. Con el jacobiano, $V=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a}r^{2}dr\,d\theta =\frac{\pi a^{3}}{3}$ , e igualando a $\frac{9\pi}{8}$ sale $a=\frac32$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 8 de junio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un segundo miembro que obliga a variación de parámetros

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $y''+16y=\dfrac{1}{\operatorname{sen}4x}$ .

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no sirven aquí los coeficientes indeterminados?
02
El wronskiano
COMP2
Con $y_{1}=\cos 4x$ e $y_{2}=\operatorname{sen}4x$ , ¿cuánto vale el wronskiano?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El término que crece sin límite
COMP2
La solución particular tiene un término $\alpha\,x\cos 4x$ . ¿Cuánto vale $\alpha$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica $r^{2}+16=0$ da $r=\pm4i$ , así que la homogénea es $C_{1}\cos 4x+C_{2}\operatorname{sen}4x$ .
2. Como el segundo miembro no es de los que admiten coeficientes indeterminados, se busca la particular con $y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}$ y las condiciones $u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0$ , $u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g$ .
3. Eso da $u_{1}'=-\frac{y_{2}g}{W}=-\frac14$ y $u_{2}'=\frac{y_{1}g}{W}=\frac{\cot 4x}{4}$ , de donde $u_{1}=-\frac x4$ y $u_{2}=\frac{1}{16}\ln\left|\operatorname{sen}4x\right|$ .

Resolución completa

Por qué este ejercicio existe. Casi todas las EDO de segundo orden que caen se resuelven con coeficientes indeterminados. Esta no: una cosecante no pertenece a la familia de funciones que se reproducen al derivar, y por eso hace falta el método general.

La homogénea. $r^{2}+16=0$ da $r=\pm4i$ :

y_{h}=C_{1}\cos 4x+C_{2}\operatorname{sen}4x

La particular, por variación de parámetros. Se busca $y_{p}=u_{1}(x)\cos 4x+u_{2}(x)\operatorname{sen}4x$ imponiendo

u_{1}'=-\frac{y_{2}\,g}{W}, \qquad u_{2}'=\frac{y_{1}\,g}{W}, \qquad g=\frac{1}{\operatorname{sen}4x}

El wronskiano es constante:

W=\cos 4x\cdot4\cos 4x+4\operatorname{sen}^{2}4x=4

Y aquí viene lo agradable del enunciado: el seno del denominador se cancela.

u_{1}'=-\frac{\operatorname{sen}4x}{4\operatorname{sen}4x}=-\frac14 \;\Longrightarrow\; u_{1}=-\frac{x}{4}

u_{2}'=\frac{\cos 4x}{4\operatorname{sen}4x}=\frac{\cot 4x}{4} \;\Longrightarrow\; u_{2}=\frac{1}{16}\ln\left|\operatorname{sen}4x\right|

—la segunda es una integral de las de reconocer: $\int\cot u\,du= \ln\left|\operatorname{sen}u\right|$ , y el cambio $u=4x$ deja otro $\frac14$ —.

La solución general.

\boxed{\; y=C_{1}\cos 4x+C_{2}\operatorname{sen}4x -\frac{x}{4}\cos 4x +\frac{1}{16}\operatorname{sen}4x\,\ln\left|\operatorname{sen}4x\right| \;}

Dónde vive la solución. El segundo miembro se va a infinito donde $\operatorname{sen}4x=0$ , es decir en $x=\frac{k\pi}{4}$ . La solución vale en cada intervalo entre dos de esos puntos, no en todo $\mathbb{R}$ , y decirlo forma parte de la respuesta.

Y una lectura física de propina: el término $-\frac x4\cos 4x$ crece sin límite. Es resonancia: la fuerza externa tiene componentes en la frecuencia propia del oscilador, y el sistema acumula energía.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 8 de junio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una fuerza que no aparece hasta el segundo dos

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace resolver la EDO

\left\{ \begin{aligned} y''+y&=f(t)\\ y(0)&=y'(0)=1 \end{aligned} \right. \qquad\text{donde}\qquad f(t)= \begin{cases} 0 & t<2\\[2pt] \cos(t-2) & t\ge2 \end{cases}

La función y(t), con el tramo retrasado bien colocado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se escribe $f$ con la función escalón de Heaviside?
02
La transformada del segundo miembro
COMP2
$\mathcal{L}\{f\}=e^{-2s}g(s)$ . ¿Cuánto vale $g(1)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un valor de la solución
COMP2
¿Cuánto vale $y(4)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El segundo miembro se escribe $u(t-2)\cos(t-2)$ , con el mismo retraso en el escalón y en el coseno, de modo que $\mathcal{L}\{f\}=e^{-2s}\frac{s}{s^{2}+1}$ .
2. Transformando la ecuación con $y(0)=y'(0)=1$ queda $Y=\frac{s+1}{s^{2}+1}+e^{-2s}\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}$ .
3. El primer sumando antitransforma a $\cos t+\operatorname{sen}t$ , y el segundo, por el teorema de traslación, a $u(t-2)\frac{t-2}{2}\operatorname{sen}(t-2)$ .

Resolución completa

Escribir bien la fuerza. El paso que decide el ejercicio:

f(t)=u(t-2)\cos(t-2)

Los dos retrasos tienen que ser el mismo. Con esa forma, el segundo teorema de traslación da la transformada de un tirón:

\mathcal{L}\{f\}=e^{-2s}\,\frac{s}{s^{2}+1}

Transformar la ecuación. Con $\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y-sy(0)-y'(0)$ y $y(0)=y'(0)=1$ :

s^{2}Y-s-1+Y=e^{-2s}\frac{s}{s^{2}+1}

Y=\underbrace{\frac{s+1}{s^{2}+1}}_{\text{condiciones iniciales}} +\underbrace{e^{-2s}\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}}_{\text{la fuerza}}

La separación no es cosmética: cada sumando cuenta una historia distinta.

Antitransformar. El primero es inmediato: $\cos t+\operatorname{sen}t$ . El segundo necesita saber que

\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right] =\frac{t}{2}\operatorname{sen}t

—una de las que conviene llevar en el formulario, porque sale en cuanto hay resonancia—. Y el $e^{-2s}$ retrasa toda la función, el factor $\frac t2$ incluido:

\boxed{\; y(t)=\cos t+\operatorname{sen}t +u(t-2)\,\frac{t-2}{2}\,\operatorname{sen}(t-2) \;}

Lo que dice el resultado. Hasta $t=2$ el sistema oscila libre, con amplitud $\sqrt2$ . A partir de ahí entra una fuerza en su propia frecuencia, y el término $\frac{t-2}{2}\operatorname{sen}(t-2)$ crece sin límite: es resonancia, y el retraso solo desplaza el momento en que empieza.

La comprobación que conviene hacer siempre en estos ejercicios: que la solución es continua en $t=2$ y que también lo es su derivada. Aquí el término nuevo vale cero en $t=2$ y su derivada también, así que el empalme es suave — como tiene que ser, porque la fuerza es finita.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria ordinaria, 8 de junio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una recta ampliada a onda triangular, y la suma de los impares al cuadrado

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)$ la función definida en el intervalo $(0,\pi)$ que aparece en la figura.

Figura redibujada del enunciado original. Es el segmento que une el punto (0, 2π) con el punto (π, π), es decir f(t) = 2π − t.

a) Obtener la ampliación par y periódica de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función ampliada.

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=\dfrac{\pi}{2}$ .

e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}$ .

La ampliación, su dibujo, la serie, los dos valores y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué consecuencia tiene ampliar de forma par?
02
El término constante
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{a_{0}}{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El primer armónico
COMP2
¿Cuánto vale $a_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La suma pedida
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado d). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ampliación par de $f(t)=2\pi-t$ es $2\pi-\left|t\right|$ en $(-\pi,\pi)$ , repetida con periodo $2\pi$ : una onda triangular entre $\pi$ y $2\pi$ .
2. Esa onda es continua en todo $\mathbb{R}$ , también en los múltiplos impares de $\pi$ , porque allí los dos trozos llegan al mismo valor $\pi$ .
3. Al no haber saltos, Dirichlet da $S=f$ en todo punto: $S(0)=f(0)= 2\pi$ y $S(\pi/2)=f(\pi/2)=\frac{3\pi}{2}$ .

Resolución completa

a) La ampliación. La figura da $f(t)=2\pi-t$ en $(0,\pi)$ . Ampliar de forma par es reflejarla en el eje vertical y repetir con periodo $2\pi$ :

\tilde f(t)=2\pi-\left|t\right| \text{ en } (-\pi,\pi), \qquad \tilde f(t+2\pi)=\tilde f(t)

b) El dibujo. Una onda triangular que oscila entre $\pi$ y $2\pi$ , con los picos altos en los múltiplos pares de $\pi$ y los bajos en los impares.

La ampliación par y periódica. Es continua en todo el eje: en los múltiplos impares de π los dos tramos llegan al mismo valor π, y lo que hay es un pico, no un salto.

Merece la pena mirarla antes de calcular, porque contesta sola el apartado d): no hay ni un salto.

c) La serie. Al ser par, $b_{n}=0$ y

\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(2\pi-t)\,dt=\frac{3\pi}{2}

a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(2\pi-t)\cos(nt)\,dt =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}}

El término con $2\pi$ se anula —la integral del coseno en un número entero de semiperiodos es cero— y el que queda se hace por partes.

S(t)=\frac{3\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\left(\cos t+\frac{\cos 3t}{9} +\frac{\cos 5t}{25}+\cdots\right)

d) Los dos puntos. Como la ampliación es continua, la serie converge al valor de la función en todos ellos:

S(0)=f(0)=2\pi, \qquad S\!\left(\frac\pi2\right)=f\!\left(\frac\pi2\right)=\frac{3\pi}{2}

—en $\frac\pi2$ los cosenos impares se anulan y solo queda el término constante, lo que confirma la cuenta sin sumar nada—.

e) La suma. El apartado d) ya ha hecho el trabajo. En $t=0$ todos los cosenos valen $1$ :

2\pi=\frac{3\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}} \;\Longrightarrow\; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}

Una comprobación que casi nadie hace y vale la pena. La suma de todos los inversos de los cuadrados es $\frac{\pi^{2}}{6}$ (Basilea). Los pares son $\sum\frac{1}{(2n)^{2}}=\frac14\cdot\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{\pi^{2}}{24}$ , así que los impares valen $\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{\pi^{2}}{24}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ✓. Dos caminos independientes que dan lo mismo: eso es lo que convierte un resultado en una certeza.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2020-2021

Reconocer el camino

Un valor de control

Verificar la región

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El lado que hace de radio

La proporción entre los dos lados

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La función, en forma cerrada

El punto de inflexión

El techo de la función

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada respecto de x

La pendiente de la curva de nivel

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen en función de a

El valor de a

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El wronskiano

El término que crece sin límite

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La transformada del segundo miembro

Un valor de la solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término constante

El primer armónico

La suma pedida

Justificar el argumento