tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2024-2025

10 de junio de 2025 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una tangente que vale 2i, y un lugar geométrico con agujeroNúmeros complejos0 + 7 + 3 = 10 pts
a) Sea $z\in\mathbb{C}$ . Resolver la ecuación $\operatorname{sen}z=2i\cos z$ y representar gráficamente las soluciones.

b) Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:
$\operatorname{Im}\left(\frac{z+2i}{z-i}\right)=2i$
Las soluciones de la ecuación y el lugar geométrico del apartado b).
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El isósceles de área máxima resulta ser equiláteroEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular cuáles deben ser las dimensiones de un triángulo isósceles de perímetro 8 cm para que su área sea máxima.
Los tres lados del triángulo de área máxima.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cuántos términos hacen falta, y por qué se sabe antes de sumarlosEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
Utilizando el desarrollo de McLaurin de la función $y(x)=\ln(1-x)$ aproximar $\ln(1{,}1)$ con un error menor que $10^{-3}$ .
La aproximación y la justificación de que el error es menor que 10⁻³.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La longitud de arco como función del extremoIntegración1 + 4 + 5 = 10 pts
La longitud de arco, $L$ , de una curva definida en el intervalo $(\alpha,\beta)$ por la función $g(x)$ derivable en $(\alpha,\beta)$ se calcula del modo siguiente:
$L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{1+\left(g'(x)\right)^{2}}\,dx$
Considerar la función $g(x)$ definida en $[\alpha,\beta]$ y dos veces derivable en $(\alpha,\beta)$ cuya gráfica se muestra en la figura.

Figura redibujada del enunciado original, que es un esbozo: aquí se traza la cúbica con la misma forma —un mínimo, una sola inflexión y un máximo— para que la concavidad que se lee en el dibujo sea la que de verdad tiene la curva.

Tomemos un punto cualquiera $u\in(\alpha,\beta)$ y consideremos la longitud de arco $L(u)$ de la curva definida en el intervalo $[\alpha,u]$ de $g(x)$ . Se pide:

a) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos locales de $L(u)$ .

b) Estudiar la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión de $L(u)$ .

c) Trazar una posible gráfica de $L(u)$ .
El crecimiento, la concavidad y un dibujo de L(u).
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un dominio en dos trozos que al girarlo se hace unoIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la integral
$\int_{0}^{2\sqrt2}\left(\int_{-y/4}^{y/4}dx\right)dy +\int_{2\sqrt2}^{4}\left(\int_{-\sqrt{1-\frac{y^{2}}{16}}} ^{\ \sqrt{1-\frac{y^{2}}{16}}}dx\right)dy$
a) Dibujar el dominio de integración $D$ .

b) Cambiar el orden de integración.

c) Calcular el área de $D$ .
El dibujo del dominio, la integral con el orden cambiado y el área.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una EDO que se convierte en camino de montañaIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
a) Resolver la EDO $xy'-y=x^{3}$ , $y(1)=1$ .

b) La solución de la EDO del apartado anterior representa la trayectoria $C$ de una curva en el plano $XY$ . $z(x,y)=10+2y-x^{3}$ representa la altura de una montaña para cada punto $(x,y)$ del plano $XY$ . Calcular las ecuaciones paramétricas $\left(x(t),y(t),z(t)\right)$ que representan la trayectoria de la curva $C$ anterior sobre la montaña.

c) Un montañero se encuentra inicialmente en el punto $A=(1,1,11)$ y planea llegar hasta un punto $B$ siguiendo la trayectoria $C$ . El punto $B$ se encuentra a una altitud de 12 metros. Calcular las coordenadas de $B$ .

d) Se ha formado una ventisca que aplica una fuerza $V(x,y,z)=\left(yz-y,\ xz-x+z,\ xy+y\right)$ sobre la posición $(x,y,z)$ en la que se encuentra en cada instante el montañero. Calcular el trabajo que efectuará la fuerza de la ventisca sobre el montañero a lo largo de la trayectoria anterior $C$ .
La solución de la EDO, la curva sobre la montaña, el punto B y el trabajo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación integral, y la respuesta son todas las constantesTransformada de Laplace1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver la ecuación
$\int_{0}^{t}y(z)\,dz=t\,y(t)$
Todas las funciones y(t) que cumplen la ecuación.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un diente de sierra con meseta, y la suma de los inversos de los imparesIntroducción al análisis de Fourier0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $f(t)$ la función periódica de periodo $T=4$ definida de la forma siguiente:
$f(t)= \begin{cases} \dfrac{t}{2} & 0<t\le 2\\[8pt] 1 & 2<t<4 \end{cases}$
a) Dibujar la función $f(t)$ .

b) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

c) Calcular, justificando la respuesta, los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=-40{,}2$ , $t=20$ y $t=49{,}5$ .

d) Calcular $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}$ .
El dibujo, la serie, los tres valores y la suma.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión. El apartado b) se reproduce tal cual, con el «= 2i» del original; la resolución explica por qué la condición solo tiene sentido leyéndola como «= 2».

Una tangente que vale 2i, y un lugar geométrico con agujero

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Sea $z\in\mathbb{C}$ . Resolver la ecuación $\operatorname{sen}z=2i\cos z$ y representar gráficamente las soluciones.

b) Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:

\operatorname{Im}\left(\frac{z+2i}{z-i}\right)=2i

Las soluciones de la ecuación y el lugar geométrico del apartado b).

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado a), ¿por dónde se empieza?
02
La parte imaginaria de las soluciones
COMP2
Todas las soluciones de $\operatorname{sen}z=2i\cos z$ tienen la misma parte imaginaria. ¿Cuál es?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio de la circunferencia
COMP2
El lugar del apartado b) es una circunferencia. ¿Cuánto vale su radio?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Con exponenciales, la ecuación se reduce a $3e^{2iz}=-1$ , es decir $e^{2iz}=-\frac13$ .
2. Tomando logaritmos complejos, $z=\frac{\pi}{2}+k\pi+i\frac{\ln 3}{2}$ : infinitos puntos alineados sobre la recta horizontal $\operatorname{Im}z=\frac{\ln 3}{2}$ , separados $\pi$ .
3. b) Con $z=x+iy$ , la parte imaginaria del cociente es $\dfrac{3x}{x^{2}+(y-1)^{2}}$ — los términos en $xy$ se cancelan.
4. Igualada a $2$ y completando cuadrados sale $\left(x-\frac34\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{9}{16}$ : circunferencia de centro $\frac34+i$ y radio $\frac34$ .
5. Hay que quitarle el punto $z=i$ , que anula el denominador y que está sobre esa circunferencia.

Resolución completa

a) La ecuación. Escribiendo seno y coseno con exponenciales:

\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=2i\,\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

Multiplicando por $2i$ y usando $2i\cdot i=-2$ :

e^{iz}-e^{-iz}=-2\left(e^{iz}+e^{-iz}\right) \;\Longrightarrow\; 3e^{iz}+e^{-iz}=0 \;\Longrightarrow\; e^{2iz}=-\frac13

El segundo miembro tiene módulo $\frac13$ y argumento $\pi$ , así que

2iz=\ln\frac13+i\left(\pi+2k\pi\right) \qquad\Longrightarrow\qquad z=\frac{\pi}{2}+k\pi+i\,\frac{\ln 3}{2}

La representación. Son infinitos puntos alineados sobre la recta horizontal $\operatorname{Im}z=\frac{\ln 3}{2}\approx 0{,}549$ , separados $\pi$ entre sí, uno en cada $\frac{\pi}{2}+k\pi$ .

Merece la pena decir por qué hay solución: la tangente compleja sí toma valores imaginarios —los únicos que no alcanza son $\pm i$ —, así que $\operatorname{tg}z=2i$ no tiene nada de imposible aunque en los reales suene raro.

b) La errata del enunciado, y qué hacer con ella. Tal como está escrito, el apartado pide

\operatorname{Im}\left(\frac{z+2i}{z-i}\right)=2i

y eso, con el convenio habitual, no puede cumplirlo ningún $z$ : la parte imaginaria de un complejo es un número real. Hay dos lecturas razonables —una errata por $=2$ , o el convenio de algunos textos de llamar «parte imaginaria» a $bi$ en vez de a $b$ — y las dos llevan a la misma condición. Lo que no se puede hacer es callarlo: se dice, se elige la lectura y se resuelve.

El cálculo. Con $z=x+iy$ , el numerador es $x+i(y+2)$ y el denominador $x+i(y-1)$ . Multiplicando por el conjugado del denominador:

\frac{z+2i}{z-i} =\frac{x^{2}+(y+2)(y-1)+3x\,i}{x^{2}+(y-1)^{2}}

La parte imaginaria sale limpia —los términos en $xy$ se cancelan— y la condición es

\frac{3x}{x^{2}+(y-1)^{2}}=2 \;\Longleftrightarrow\; 2x^{2}-3x+2(y-1)^{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; \left(x-\frac34\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{9}{16}

El lugar es la circunferencia de centro $\frac34+i$ y radio $\frac34$ , sin el punto $z=i$ : ahí se anula el denominador y el cociente no existe. Y no es un detalle rebuscado — $z=i$ cae justo sobre la circunferencia, porque $\left(0-\frac34\right)^{2}+0=\frac{9}{16}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El isósceles de área máxima resulta ser equilátero

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular cuáles deben ser las dimensiones de un triángulo isósceles de perímetro 8 cm para que su área sea máxima.

Los tres lados del triángulo de área máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la función objetivo y cuál la ligadura?
02
El lado
COMP2
¿Cuánto miden los lados iguales, en centímetros?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área máxima
COMP2
¿Cuál es el área máxima, en centímetros cuadrados?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con lados $a,a,b$ y perímetro $2a+b=8$ , la altura sobre la base es $h=\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}$ y el área $A=\frac{b}{4}\sqrt{4a^{2}-b^{2}}$ .
2. Sustituyendo $b=8-2a$ , el radicando se simplifica muchísimo: $4a^{2}-(8-2a)^{2}=32(a-2)$ .
3. Hay que pedir además $2<a<4$ : por debajo de $2$ no se cierra el triángulo y en $a=4$ la base se anula.
4. Derivando, $\frac{d}{da}\left[(8-2a)\sqrt{a-2}\right] =\frac{8-3a}{\sqrt{a-2}}$ , que se anula en $a=\frac83$ y cambia de $+$ a $-$ : máximo.
5. Con $a=\frac83$ sale $b=\frac83$ : el triángulo es equilátero, y su área es $\frac{16\sqrt3}{9}\approx 3{,}08$ cm².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuántos términos hacen falta, y por qué se sabe antes de sumarlos

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando el desarrollo de McLaurin de la función $y(x)=\ln(1-x)$ aproximar $\ln(1{,}1)$ con un error menor que $10^{-3}$ .

La aproximación y la justificación de que el error es menor que 10⁻³.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da $\ln(1-x)$ y pide $\ln(1{,}1)$ . ¿Qué $x$ hay que usar?
02
Cuántos términos
COMP2
¿Cuántos términos de la serie hacen falta para garantizar un error menor que $10^{-3}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
¿Cuál es la aproximación que se obtiene?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cinco decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El desarrollo es $\ln(1-x)=-\displaystyle\sum_{n\ge 1}\frac{x^{n}}{n}$ , válido para $-1\le x<1$ .
2. Para llegar a $\ln(1{,}1)$ hay que tomar $x=-0{,}1$ , que está dentro del intervalo.
3. Con ese valor la serie queda $0{,}1-\frac{0{,}01}{2}+\frac{0{,}001}{3}-\cdots$ : alternada, con términos que decrecen a cero.
4. Por el criterio de Leibniz, el error de truncar es menor que el primer término omitido.
5. Con dos términos el omitido vale $3{,}3\cdot 10^{-4}<10^{-3}$ , así que $\ln(1{,}1)\approx 0{,}095$ cumple lo pedido.

Resolución completa

La sustitución. El desarrollo pedido es

\ln(1-x)=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-\cdots =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n} \qquad -1\le x<1

y para que $1-x$ valga $1{,}1$ hay que tomar $x=-0{,}1$ , que está dentro del intervalo de convergencia.

Lo que gana el signo negativo. Con $x=-0{,}1$ los términos van alternando:

\ln(1{,}1)=0{,}1-\frac{0{,}1^{2}}{2}+\frac{0{,}1^{3}}{3} -\frac{0{,}1^{4}}{4}+\cdots

Es una serie alternada cuyos términos decrecen en valor absoluto y tienden a cero, así que cumple las hipótesis de Leibniz y su error de truncamiento está acotado por el primer término que se deja fuera. Eso ahorra el resto de Lagrange entero.

Cuántos términos.

términos	primer omitido	cota del error
1	$\frac{0{,}1^{2}}{2}$	$5\cdot 10^{-3}$ — no vale
2	$\frac{0{,}1^{3}}{3}$	$3{,}3\cdot 10^{-4}$ — vale

La aproximación.

\ln(1{,}1)\approx 0{,}1-0{,}005=0{,}095

La comprobación. El valor exacto es $0{,}0953102$ , y el error real es $3{,}1\cdot 10^{-4}$ : por debajo de la cota $3{,}3\cdot 10^{-4}$ , como garantiza el teorema. Que el error real y la cota se parezcan tanto es típico de las alternadas, y es lo que las hace tan cómodas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La longitud de arco como función del extremo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La longitud de arco, $L$ , de una curva definida en el intervalo $(\alpha,\beta)$ por la función $g(x)$ derivable en $(\alpha,\beta)$ se calcula del modo siguiente:

L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{1+\left(g'(x)\right)^{2}}\,dx

Considerar la función $g(x)$ definida en $[\alpha,\beta]$ y dos veces derivable en $(\alpha,\beta)$ cuya gráfica se muestra en la figura.

Figura redibujada del enunciado original, que es un esbozo: aquí se traza la cúbica con la misma forma —un mínimo, una sola inflexión y un máximo— para que la concavidad que se lee en el dibujo sea la que de verdad tiene la curva.

Tomemos un punto cualquiera $u\in(\alpha,\beta)$ y consideremos la longitud de arco $L(u)$ de la curva definida en el intervalo $[\alpha,u]$ de $g(x)$ . Se pide:

a) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos locales de $L(u)$ .

b) Estudiar la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión de $L(u)$ .

c) Trazar una posible gráfica de $L(u)$ .

El crecimiento, la concavidad y un dibujo de L(u).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuánto vale $L'(u)$ ?
02
El menor valor posible de la derivada
COMP2
¿Cuál es el valor más pequeño que puede tomar $L'(u)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuántos puntos de inflexión
COMP2
Según la figura, ¿cuántos puntos de inflexión tiene $L(u)$ en $(\alpha,\beta)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
Has contado solo la inflexión de $g$ . Pero $L''$ es el producto $g'g''$ dividido por algo positivo, así que también cambia de signo donde se anula $g'$ : en el mínimo y en el máximo de $g$ .
Te falta uno. Son los dos puntos donde $g'=0$ —el mínimo y el máximo— más el punto donde $g''=0$ , la inflexión de $g$ .
$L''=\frac{g'g''}{\sqrt{1+(g')^{2}}}$ no es de signo constante: en la figura $g'$ cambia de signo dos veces y $g''$ una.
Deriva otra vez y mira dónde puede cambiar de signo el producto $g'\,g''$ .
Desarrollo
$L''(u)=\frac{g'(u)\,g''(u)}{\sqrt{1+\left(g'(u)\right)^{2}}}$
El denominador es siempre positivo, así que el signo es el del producto $g'g''$ . En la figura:
- $g'$ se anula y cambia de signo en el mínimo y en el máximo;
- $g''$ se anula y cambia de signo en la inflexión de $g$ , que cae entre los dos.
Tres puntos, y en los tres $L''$ cambia de signo: tres puntos de inflexión.
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Por el teorema fundamental, $L'(u)=\sqrt{1+\left(g'(u)\right)^{2}}\ge 1>0$ : $L$ es estrictamente creciente y no tiene extremos locales en $(\alpha,\beta)$ .
2. b) Derivando otra vez, $L''(u)=\dfrac{g'(u)g''(u)}{\sqrt{1+\left(g'(u)\right)^{2}}}$ , cuyo signo es el del producto $g'g''$ .
3. Llamando $m_{1}$ al mínimo de $g$ , $i$ a su inflexión y $m_{2}$ a su máximo: en $(\alpha,m_{1})$ es $g'<0$ y $g''>0$ , luego $L$ es cóncava.
4. En $(m_{1},i)$ los dos son positivos y $L$ es convexa; en $(i,m_{2})$ , $g'>0$ y $g''<0$ y vuelve a ser cóncava; y en $(m_{2},\beta)$ los dos son negativos y es convexa otra vez.
5. Hay por tanto tres puntos de inflexión de $L$ , y caen en el mínimo, la inflexión y el máximo de $g$ .
6. c) La gráfica de $L$ arranca en $L(\alpha)=0$ y sube sin parar, con esas cuatro curvaturas alternadas.

Resolución completa

a) El crecimiento. Por el teorema fundamental del cálculo,

L'(u)=\sqrt{1+\left(g'(u)\right)^{2}}

y esa raíz es siempre mayor o igual que 1, con igualdad solo donde la tangente es horizontal. Por tanto:

$L$ es estrictamente creciente en todo $[\alpha,\beta]$ ;
no tiene extremos locales en el interior;
su mínimo absoluto es $L(\alpha)=0$ y su máximo $L(\beta)$ , los dos en los bordes del intervalo.

El contenido geométrico del $1$ merece decirse: un trozo de curva mide al menos lo que mide su proyección sobre el eje $x$ . Por eso la longitud recorrida no puede dejar de crecer, por mucho que la curva suba o baje.

b) La concavidad. Derivando otra vez, con la regla de la cadena:

L''(u)=\frac{g'(u)\,g''(u)}{\sqrt{1+\left(g'(u)\right)^{2}}}

El denominador es positivo, así que el signo de $L''$ es el del producto $g'g''$ . Llamando $m_{1}$ al mínimo de $g$ , $i$ a su punto de inflexión y $m_{2}$ a su máximo, con $\alpha<m_{1}<i<m_{2}<\beta$ :

tramo	$g'$	$g''$	$L''$	$L$
$(\alpha,m_{1})$	$-$	$+$	$-$	cóncava
$(m_{1},i)$	$+$	$+$	$+$	convexa
$(i,m_{2})$	$+$	$-$	$-$	cóncava
$(m_{2},\beta)$	$-$	$-$	$+$	convexa

Hay tres puntos de inflexión de $L$ , y están exactamente en el mínimo, la inflexión y el máximo de $g$ . Es un resultado bonito y fácil de decir mal: los extremos de $g$ no son extremos de $L$ , son inflexiones.

c) La gráfica.

Figura nuestra: el apartado c) pide precisamente este dibujo. Los tres puntos marcados son las inflexiones, y caen en el mínimo, la inflexión y el máximo de g.

Arranca en cero, sube siempre, y su pendiente vale $1$ exactamente en $m_{1}$ y en $m_{2}$ —los dos sitios donde la curva va horizontal y avanza lo mínimo posible— y es mayor en todos los demás.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un dominio en dos trozos que al girarlo se hace uno

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la integral

\int_{0}^{2\sqrt2}\left(\int_{-y/4}^{y/4}dx\right)dy +\int_{2\sqrt2}^{4}\left(\int_{-\sqrt{1-\frac{y^{2}}{16}}} ^{\ \sqrt{1-\frac{y^{2}}{16}}}dx\right)dy

a) Dibujar el dominio de integración $D$ .

b) Cambiar el orden de integración.

c) Calcular el área de $D$ .

El dibujo del dominio, la integral con el orden cambiado y el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué describen los dos sumandos?
02
Dónde se cortan los dos trozos
COMP2
En $y=2\sqrt2$ los dos trozos tienen la misma anchura. ¿Cuánto vale $x$ en el borde derecho a esa altura?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de $D$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) El primer sumando es la cuña entre $y=4x$ e $y=-4x$ desde el origen hasta $y=2\sqrt2$ ; el segundo, el casquete de la elipse $x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1$ entre $y=2\sqrt2$ e $y=4$ .
2. Las dos piezas encajan porque en $y=2\sqrt2$ la recta y la elipse dan la misma abscisa, $\frac{\sqrt2}{2}$ .
3. b) Por franjas verticales, $x$ va de $-\frac{\sqrt2}{2}$ a $\frac{\sqrt2}{2}$ y, para cada $x$ , la $y$ va de la recta $y=4\left|x\right|$ a la elipse $y=4\sqrt{1-x^{2}}$ .
4. Es decir, $\displaystyle\int_{-\sqrt2/2}^{\sqrt2/2} \left(\int_{4\left|x\right|}^{4\sqrt{1-x^{2}}}dy\right)dx$ : una sola integral, frente a las dos de partida.
5. c) El área vale $2+(\pi-2)=\pi$ , y se confirma estirando: $u=x$ , $v=\frac y4$ convierte $D$ en un cuarto de disco unidad, de área $\frac\pi4$ , y el jacobiano es $4$ .

Resolución completa

a) El dominio.

Figura nuestra: el apartado a) pide dibujar el dominio y el examen no trae ninguna. La elipse completa va a trazos para situar el casquete.

El primer sumando recorre las franjas horizontales entre las rectas $x=\pm\frac{y}{4}$ —es decir $y=\pm 4x$ — desde $y=0$ hasta $y=2\sqrt2$ : una cuña con el vértice en el origen.

El segundo recorre las franjas entre $x=\pm\sqrt{1-\frac{y^{2}}{16}}$ , que es la elipse $x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1$ de semiejes $1$ y $4$ , desde $y=2\sqrt2$ hasta $y=4$ : el casquete superior.

Y encajan sin hueco porque en $y=2\sqrt2$ las dos fórmulas dan la misma abscisa:

\frac{2\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sqrt{1-\frac{8}{16}}=\frac{\sqrt2}{2}

El resultado tiene forma de cucurucho: sale en punta del origen y se cierra arriba con el arco de la elipse.

b) El orden cambiado. Por franjas verticales el dominio ya no se parte. Para cada $x$ entre $-\frac{\sqrt2}{2}$ y $\frac{\sqrt2}{2}$ , la $y$ va desde la recta hasta la elipse:

\int_{-\frac{\sqrt2}{2}}^{\frac{\sqrt2}{2}} \left(\int_{4\left|x\right|}^{4\sqrt{1-x^{2}}}dy\right)dx

o, si se prefiere sin valor absoluto, en dos trozos simétricos con $y=-4x$ a la izquierda y $y=4x$ a la derecha. Una sola integral en vez de dos: ese es el premio de cambiar el orden aquí, y conviene decirlo porque es lo contrario de lo que suele pasar.

c) El área. Sumando los dos trozos:

\underbrace{\int_{0}^{2\sqrt2}\frac{y}{2}\,dy}_{=\,2} +\underbrace{\int_{2\sqrt2}^{4}2\sqrt{1-\frac{y^{2}}{16}}\,dy}_{=\,\pi-2} =\pi

La vía elegante. El cambio $u=x$ , $v=\frac{y}{4}$ tiene jacobiano $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=4$ , convierte la elipse en la circunferencia unidad y las rectas $x=\pm\frac y4$ en $u=\pm v$ . En las nuevas variables $D$ es el sector de $90^{\circ}$ del disco unidad centrado en el eje $v$ , de área $\frac{\pi}{4}$ . Multiplicando por el jacobiano:

\text{área}(D)=4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi

Que el área salga exactamente $\pi$ no es casualidad: $D$ es un cuarto de elipse estirado, y la elipse entera mide $4\pi$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una EDO que se convierte en camino de montaña

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Resolver la EDO $xy'-y=x^{3}$ , $y(1)=1$ .

b) La solución de la EDO del apartado anterior representa la trayectoria $C$ de una curva en el plano $XY$ . $z(x,y)=10+2y-x^{3}$ representa la altura de una montaña para cada punto $(x,y)$ del plano $XY$ . Calcular las ecuaciones paramétricas $\left(x(t),y(t),z(t)\right)$ que representan la trayectoria de la curva $C$ anterior sobre la montaña.

c) Un montañero se encuentra inicialmente en el punto $A=(1,1,11)$ y planea llegar hasta un punto $B$ siguiendo la trayectoria $C$ . El punto $B$ se encuentra a una altitud de 12 metros. Calcular las coordenadas de $B$ .

d) Se ha formado una ventisca que aplica una fuerza $V(x,y,z)=\left(yz-y,\ xz-x+z,\ xy+y\right)$ sobre la posición $(x,y,z)$ en la que se encuentra en cada instante el montañero. Calcular el trabajo que efectuará la fuerza de la ventisca sobre el montañero a lo largo de la trayectoria anterior $C$ .

La solución de la EDO, la curva sobre la montaña, el punto B y el trabajo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De qué tipo es $xy'-y=x^{3}$ ?
02
La altura en función del parámetro
COMP2
Parametrizando con $x=t$ , la altura sobre la montaña queda $z(t)=k+t$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La ordenada del punto B
COMP2
¿Cuánto vale la coordenada $y$ del punto $B$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El trabajo de la ventisca
COMP2
¿Cuánto vale el trabajo de $V$ a lo largo de $C$ , de $A$ a $B$ ?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $y'-\frac yx=x^{2}$ es lineal; con el factor integrante $\frac1x$ queda $\left(\frac yx\right)'=x$ , luego $y=\frac{x^{3}}{2}+Cx$ , y $y(1)=1$ da $C=\frac12$ : $y=\frac{x^{3}+x}{2}$ .
2. b) Con $x=t$ : $\left(t,\ \frac{t^{3}+t}{2},\ 10+t\right)$ , porque al sustituir en $z=10+2y-x^{3}$ los cubos se cancelan.
3. c) $A$ corresponde a $t=1$ y $B$ a $10+t=12$ , es decir $t=2$ : $B=(2,5,12)$ .
4. d) $V$ es conservativo —las tres derivadas cruzadas coinciden— con potencial $f=xyz-xy+yz$ .
5. Por tanto $W=f(B)-f(A)=170-21=149$ , sin parametrizar la curva.

Resolución completa

a) La EDO. Dividiendo entre $x$ queda lineal:

y'-\frac{y}{x}=x^{2}

El factor integrante es $e^{\int-\frac{dx}{x}}=\frac1x$ , y con él el primer miembro se convierte en una derivada exacta:

\left(\frac{y}{x}\right)'=x \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x}=\frac{x^{2}}{2}+C \;\Longrightarrow\; y=\frac{x^{3}}{2}+Cx

Con $y(1)=1$ : $\frac12+C=1$ , luego $C=\frac12$ y

y=\frac{x^{3}+x}{2}

b) La curva sobre la montaña. Tomando la propia $x$ como parámetro, $x=t$ :

z=10+2\cdot\frac{t^{3}+t}{2}-t^{3}=10+t^{3}+t-t^{3}=10+t

Los cubos se cancelan, y eso es lo que hace bonito el ejercicio: sobre esta curva concreta, la altura crece exactamente al ritmo del parámetro.

\left(x(t),y(t),z(t)\right) =\left(t,\ \frac{t^{3}+t}{2},\ 10+t\right)

c) El punto $B$ . El de partida es $A=(1,1,11)$ , que corresponde a $t=1$ —se comprueba: $y(1)=1$ y $z(1)=11$ —. Y

z=12 \;\Longrightarrow\; 10+t=12 \;\Longrightarrow\; t=2 \;\Longrightarrow\; B=\left(2,\ 5,\ 12\right)

d) El trabajo. Antes de parametrizar nada, la comprobación de siempre. Con $V=(P,Q,R)=\left(yz-y,\ xz-x+z,\ xy+y\right)$ :

P_{y}=z-1=Q_{x}, \qquad P_{z}=y=R_{x}, \qquad Q_{z}=x+1=R_{y}

Las tres coinciden y el campo está definido en todo el espacio: es conservativo. Su potencial se busca integrando:

f(x,y,z)=xyz-xy+yz

y se comprueba derivando las tres componentes. Por tanto el trabajo no depende del camino:

W=f(B)-f(A)=f(2,5,12)-f(1,1,11) =170-21=149

Lo que hay que ver para no perder el examen. El apartado d) parece pedir una integral de línea sobre una curva de tercer grado, y no lo pide: pide dos evaluaciones de una función. La comprobación de las tres derivadas cruzadas cuesta seis derivadas y ahorra veinte minutos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación integral, y la respuesta son todas las constantes

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación

\int_{0}^{t}y(z)\,dz=t\,y(t)

Todas las funciones y(t) que cumplen la ecuación.

01
Reconocer el camino
COMP1
La incógnita está dentro de una integral. ¿Qué la saca?
02
La transformada
COMP2
De la ecuación sale $\frac{Y}{s}=-Y'$ . Resolviéndola, $Y=\frac{K}{s^{p}}$ . ¿Cuánto vale $p$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuántas soluciones
COMP2
¿Cuántas funciones distintas cumplen la ecuación? Escribe $0$ si ninguna, $1$ si solo una, y $-1$ si son infinitas.
Tu respuesta al paso 30 si ninguna, 1 si solo una, -1 si son infinitas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t}y(z)dz\right\}=\dfrac{Y(s)}{s}$ y $\mathcal{L}\left\{t\,y(t)\right\}=-Y'(s)$ .
2. La ecuación se convierte en $\dfrac{Y}{s}=-Y'$ , que es de variables separadas.
3. Integrando, $\ln Y=-\ln s+c$ , es decir $Y=\dfrac{K}{s}$ .
4. Antitransformando, $y(t)=K$ : cualquier función constante, y no hay condición inicial que fije $K$ .
5. Se comprueba directamente: $\int_{0}^{t}K\,dz=Kt=t\cdot K$ .
6. El mismo resultado sale derivando los dos miembros: $y(t)=y(t)+t\,y'(t)$ , luego $t\,y'(t)=0$ y $y'\equiv 0$ para $t>0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 10 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un diente de sierra con meseta, y la suma de los inversos de los impares

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)$ la función periódica de periodo $T=4$ definida de la forma siguiente:

f(t)= \begin{cases} \dfrac{t}{2} & 0<t\le 2\\[8pt] 1 & 2<t<4 \end{cases}

a) Dibujar la función $f(t)$ .

b) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

c) Calcular, justificando la respuesta, los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=-40{,}2$ , $t=20$ y $t=49{,}5$ .

d) Calcular $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}$ .

El dibujo, la serie, los tres valores y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
La función no es par ni impar. ¿Qué implica eso para la serie?
02
El término independiente
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{a_{0}}{2}$ , es decir, el valor medio de $f$ en un periodo?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de la serie en un salto
COMP2
¿Cuánto vale $S(20)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La suma del apartado d)
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. b) Con $T=4$ la frecuencia es $\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}$ , y $\frac{a_{0}}{2}=\frac14\left(1+2\right)=\frac34$ .
2. Integrando, $a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}-1}{n^{2}\pi^{2}}$ : vale $-\dfrac{2}{n^{2}\pi^{2}}$ si $n$ es impar y $0$ si es par.
3. Y $b_{n}=-\dfrac{1}{n\pi}$ para todo $n$ : los dos trozos aportan y se suman.
4. c) $-40{,}2\equiv 3{,}8$ y $49{,}5\equiv 1{,}5$ módulo $4$ : en los dos la función es continua, así que $S=f$ y valen $1$ y $0{,}75$ .
5. $20\equiv 0$ es un salto, con límites $1$ y $0$ : ahí $S=\frac12$ y $f$ no está definida.
6. d) Evaluando la serie en $t=0$ solo quedan los cosenos, y de $\frac12=\frac34-\frac{2}{\pi^{2}}\Sigma$ sale $\Sigma=\frac{\pi^{2}}{8}$ .

Resolución completa

a) La gráfica.

Figura nuestra: el apartado a) pide dibujarla y el examen no trae ninguna. Los circulitos huecos son los múltiplos de 4, donde la función no está definida.

Un diente de sierra con meseta: sube en línea recta de $0$ a $1$ en la primera mitad del periodo, se queda en $1$ en la segunda, y vuelve a caer.

b) La serie. Con $T=4$ , la frecuencia fundamental es $\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}$ y

S(t)=\frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos\frac{n\pi t}{2} +b_{n}\operatorname{sen}\frac{n\pi t}{2}\right]

El término independiente es el valor medio:

\frac{a_{0}}{2}=\frac14\left(\underbrace{\int_{0}^{2}\frac t2\,dt}_{=1} +\underbrace{\int_{2}^{4}1\,dt}_{=2}\right)=\frac34

Los cosenos. La meseta no aporta nada — $\int_{2}^{4}\cos\frac{n\pi t}{2}dt=0$ — y la rampa da

a_{n}=\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}\pi^{2}} =\begin{cases} -\dfrac{2}{n^{2}\pi^{2}} & n\ \text{impar}\\[6pt] 0 & n\ \text{par} \end{cases}

Los senos. Aquí sí aportan los dos trozos, y al sumarlos se cancela casi todo:

b_{n}=-\frac{1}{n\pi} \qquad\text{para todo }n

S(t)=\frac34 -\frac{2}{\pi^{2}}\sum_{n\ \text{impar}}\frac{1}{n^{2}} \cos\frac{n\pi t}{2} -\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \operatorname{sen}\frac{n\pi t}{2}

c) Los tres puntos. Lo primero, siempre, reducir módulo $4$ .

$t$	reducido	dónde cae	$f(t)$	$S(t)$
$-40{,}2$	$3{,}8$	meseta, continua	$1$	$1$
$20$	$0$	salto	no definida	$\frac12$
$49{,}5$	$1{,}5$	rampa, continua	$0{,}75$	$0{,}75$

En los dos puntos de continuidad la serie converge al valor de la función, por Dirichlet. En $t=20$ hay un salto: el límite por la izquierda es $1$ —se viene de la meseta— y por la derecha es $0$ , así que la serie converge a la media, $\frac12$ . Y $f$ no está definida ahí, porque el enunciado la da en $0<t\le 2$ y $2<t<4$ y deja fuera los múltiplos de $4$ .

d) La suma. Es el regalo del apartado anterior. En $t=0$ todos los senos se anulan y todos los cosenos valen $1$ :

S(0)=\frac34-\frac{2}{\pi^{2}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{2}}

y $S(0)=\frac12$ por lo del salto. Despejando:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}\approx 1{,}2337

Un control. La suma de todos los inversos de los cuadrados es $\frac{\pi^{2}}{6}$ , y la de los pares es $\sum\frac{1}{(2k)^{2}}=\frac14\cdot\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{\pi^{2}}{24}$ . Restando: $\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{\pi^{2}}{24}=\frac{\pi^{2}}{8}$ . Coincide, y de paso explica por qué los impares se llevan las tres cuartas partes de la suma.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2024-2025

Reconocer el camino

La parte imaginaria de las soluciones

El radio de la circunferencia

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El lado

El área máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuántos términos

La aproximación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El menor valor posible de la derivada

Cuántos puntos de inflexión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se cortan los dos trozos

El área

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La altura en función del parámetro

La ordenada del punto B

El trabajo de la ventisca

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La transformada

Cuántas soluciones

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término independiente

El valor de la serie en un salto

La suma del apartado d)

Justificar el argumento