tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2025-2026

9 de junio de 2026 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Tres vértices que son las tres raíces cúbicas de ochoNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Los afijos de los números complejos $z_{1}=-1+\sqrt{3}\,i$ , $z_{2}=-1-\sqrt{3}\,i$ y $z_{3}$ son los vértices de un triángulo equilátero.

a) Calcular $z_{3}$ sabiendo que es el de mayor parte real.

b) Calcular el área del triángulo.
El tercer vértice y el área del triángulo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una derivada respecto de algo que no es el tiempoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
La temperatura $T$ de un objeto que se mueve a lo largo de un filamento depende del tiempo $t$ y viene dada por $T(t)=2e^{0{,}1t}$ . Además, la posición de dicho objeto en función del tiempo se expresa mediante $x(t)=t^{2}+t$ . Determinar el instante $t$ en el que el cambio de temperatura respecto a la posición es mínimo.
El instante en que dT/dx alcanza su mínimo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La serie más corta del temario, y dónde deja de valerEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 6 + 3 = 10 pts
a) Obtener el desarrollo de Maclaurin de la función $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ .

b) ¿Para qué valores de $x$ es convergente la serie obtenida en el apartado anterior?
El desarrollo y su intervalo de convergencia.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Girar alrededor del valor medio, y lo que sobra al hacerloIntegración1 + 4 + 5 = 10 pts
La figura muestra la gráfica de una función $f(x)$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ . También se muestra la recta $y=M$ , donde $M$ es el valor medio de $f(x)$ en $[a,b]$ .

Figura redibujada del enunciado original.

Sean:

$V_{1}$ : volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar el fragmento de la gráfica de $f(x)$ para $x\in[a,c]$ alrededor de la recta $y=M$ .

$V_{2}$ : volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar el fragmento de la gráfica de $f(x)$ para $x\in[c,b]$ alrededor de la recta $y=M$ .

$V$ : volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la gráfica completa de $f(x)$ alrededor del eje $X$ .

a) Considerar la función definida por $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}\left(f(u)\right)^{2}du$ , $a\le x\le b$ . Estudiar:

a.1. El crecimiento y los extremos de $F(x)$ .

a.2. La concavidad y los puntos de inflexión de $F(x)$ .

b) Demostrar analíticamente que $V=V_{1}+V_{2}+\pi M^{2}(b-a)$ .
El crecimiento y la concavidad de F, y la demostración de la identidad.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un sólido con tapa plana y fondo de paraboloideIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le a$ ; $a-(x^{2}+y^{2})<z<a$ , donde $a>0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Calcular el volumen de $S$ .

c) Sabiendo que el sólido está fabricado enteramente con el mismo material y que la tercera coordenada del centro de gravedad es $z_{G}=\dfrac{3}{4}$ , calcular el valor de $a$ .
El dibujo, el volumen y el valor de a.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El dron, la trayectoria de máxima pendiente y un trabajo que no la miraFunciones reales de varias variables reales1 + 7 + 2 = 10 pts
Un dron ha sufrido un accidente y se encuentra en el fondo del mar, en un punto $P$ desconocido. El dron está equipado con una baliza que emite una señal. El plan de rescate consiste en seguir una trayectoria submarina siguiendo el mayor aumento en la intensidad de dicha señal, hasta llegar a $P$ . Se sabe que el valor de la intensidad de la señal en cada punto $(x,y,z)$ viene dada por la función $I(x,y,z)=2x^{2}+3y^{2}+z^{2}+x+y+z$ . El equipo de rescate parte del punto $(0,0,0)$ .

a) Calcular la trayectoria que debe seguirse.

b) Supongamos que se ha encontrado el dron a una profundidad $z=0{,}5(e^{2}-1)$ km. Calcular las otras dos coordenadas de $P$ .

c) Supongamos que las corrientes marinas producen un campo de fuerza dado por el vector $V(x,y,z)=\left(yz-ye^{-xy},\ xz-xe^{-xy},\ xy\right)$ . Calcular el trabajo que ha realizado esta fuerza a lo largo de la trayectoria que se ha seguido.
La trayectoria, el punto P y el trabajo del campo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación con la t delante, y por eso LaplaceTransformada de Laplace1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver la ecuación
$t\,y''(t)+(1-2t)\,y'(t)-2\,y(t)=0, \qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=2$
La solución del problema de valor inicial.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ampliación impar, y la serie de Leibniz que sale de ellaIntroducción al análisis de Fourier0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la función $f(t)=t+\pi$ , $t\in(0,\pi)$ .

a) Obtener una ampliación impar y periódica, $F(t)$ , de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función $f(t)$ y la función ampliada $F(t)$ obtenida en el apartado anterior.

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $F(t)$ .

d) Calcular, justificando la respuesta, los valores de $S(t)$ y $F(t)$ en los puntos $t=-5\pi$ y $t=\dfrac{25}{2}\pi$ .

e) Calcular $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ .
La ampliación, su dibujo, la serie, los dos valores y la suma.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 9 de junio de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres vértices que son las tres raíces cúbicas de ocho

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los afijos de los números complejos $z_{1}=-1+\sqrt{3}\,i$ , $z_{2}=-1-\sqrt{3}\,i$ y $z_{3}$ son los vértices de un triángulo equilátero.

a) Calcular $z_{3}$ sabiendo que es el de mayor parte real.

b) Calcular el área del triángulo.

El tercer vértice y el área del triángulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
$z_{1}$ y $z_{2}$ tienen los dos módulo $2$ , y argumentos $120^{\circ}$ y $-120^{\circ}$ . ¿Qué sugiere eso?
02
El tercer vértice
COMP2
¿Cuál es la parte real de $z_{3}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área del triángulo?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $z_{1}$ y $z_{2}$ tienen módulo $2$ y argumentos $\pm 120^{\circ}$ : están en la circunferencia de centro el origen y radio $2$ .
2. Un triángulo equilátero inscrito reparte la circunferencia en tres arcos de $120^{\circ}$ , así que el tercer vértice tiene argumento $0^{\circ}$ : $z_{3}=2$ , que además es el de mayor parte real, como pide el enunciado.
3. Los tres son, de hecho, las raíces cúbicas de $8$ : cumplen $z^{3}=8$ .
4. El lado mide $\left|z_{1}-z_{2}\right|=2\sqrt{3}$ y la altura desde $z_{3}$ vale $3$ .
5. El área es $\frac12\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3=3\sqrt{3}\approx 5{,}1962$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 9 de junio de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una derivada respecto de algo que no es el tiempo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La temperatura $T$ de un objeto que se mueve a lo largo de un filamento depende del tiempo $t$ y viene dada por $T(t)=2e^{0{,}1t}$ . Además, la posición de dicho objeto en función del tiempo se expresa mediante $x(t)=t^{2}+t$ . Determinar el instante $t$ en el que el cambio de temperatura respecto a la posición es mínimo.

El instante en que dT/dx alcanza su mínimo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es «el cambio de temperatura respecto a la posición»?
02
La derivada en el instante inicial
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{dT}{dx}$ en $t=0$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El instante del mínimo
COMP2
¿En qué instante $t$ es mínimo $\dfrac{dT}{dx}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. «Cambio de temperatura respecto a la posición» es $\dfrac{dT}{dx}$ , y por la regla de la cadena $\dfrac{dT}{dx}=\dfrac{T'(t)}{x'(t)}$ .
2. $T'(t)=0{,}2e^{0{,}1t}$ y $x'(t)=2t+1$ , así que $g(t)=\dfrac{0{,}2e^{0{,}1t}}{2t+1}$ .
3. Derivando el cociente y sacando factor común la exponencial, el signo de $g'$ es el de $0{,}1(2t+1)-2$ .
4. Ese corchete se anula en $t=9{,}5$ , es negativo antes y positivo después: ahí hay un mínimo.
5. Hace falta además $2t+1>0$ , es decir $t>-\frac12$ , para que el objeto avance y la derivada tenga sentido.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 9 de junio de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La serie más corta del temario, y dónde deja de valer

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Obtener el desarrollo de Maclaurin de la función $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ .

b) ¿Para qué valores de $x$ es convergente la serie obtenida en el apartado anterior?

El desarrollo y su intervalo de convergencia.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la vía más corta para el desarrollo?
02
El coeficiente de x⁷
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de $x^{7}$ en el desarrollo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma en un punto
COMP2
¿Cuánto vale la serie en $x=-\frac12$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\frac{1}{1-x}$ es la suma de la serie geométrica de primer término $1$ y razón $x$ , así que su desarrollo de Maclaurin es $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$ .
2. Se confirma derivando: $f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ , luego $f^{(n)}(0)=n!$ y el coeficiente $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ vale $1$ para todo $n$ .
3. Una geométrica converge si y solo si $\left|r\right|<1$ , así que la serie converge exactamente para $\left|x\right|<1$ .
4. En $x=1$ la serie es $1+1+1+\cdots$ y diverge a $+\infty$ : el término general no tiende a cero.
5. En $x=-1$ es $1-1+1-1+\cdots$ , cuyas sumas parciales oscilan entre $1$ y $0$ sin límite: también diverge.
6. El intervalo de convergencia es, por tanto, el abierto $(-1,1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 9 de junio de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Girar alrededor del valor medio, y lo que sobra al hacerlo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra la gráfica de una función $f(x)$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ . También se muestra la recta $y=M$ , donde $M$ es el valor medio de $f(x)$ en $[a,b]$ .

Figura redibujada del enunciado original.

Sean:

$V_{1}$ : volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar el fragmento de la gráfica de $f(x)$ para $x\in[a,c]$ alrededor de la recta $y=M$ .

$V_{2}$ : volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar el fragmento de la gráfica de $f(x)$ para $x\in[c,b]$ alrededor de la recta $y=M$ .

$V$ : volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la gráfica completa de $f(x)$ alrededor del eje $X$ .

a) Considerar la función definida por $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}\left(f(u)\right)^{2}du$ , $a\le x\le b$ . Estudiar:

a.1. El crecimiento y los extremos de $F(x)$ .

a.2. La concavidad y los puntos de inflexión de $F(x)$ .

b) Demostrar analíticamente que $V=V_{1}+V_{2}+\pi M^{2}(b-a)$ .

El crecimiento y la concavidad de F, y la demostración de la identidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuánto vale $F'(x)$ ?
02
Extremos relativos de F
COMP2
Según la figura, $f>0$ en todo $[a,b]$ . ¿Cuántos extremos relativos tiene $F$ en el intervalo abierto $(a,b)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Puntos de inflexión de F
COMP2
¿Cuántos puntos de inflexión tiene $F$ en $(a,b)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Girando alrededor del eje $X$ , $V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^{2}dx$ .
2. Girando alrededor de la recta $y=M$ , el radio en cada $x$ es $\left|f(x)-M\right|$ , así que $V_{1}+V_{2}=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-M\right)^{2}dx$ — el punto $c$ solo parte la integral en dos trozos.
3. Desarrollando el cuadrado, $V_{1}+V_{2}=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}f^{2} -2\pi M\displaystyle\int_{a}^{b}f +\pi M^{2}(b-a)$ .
4. Y la definición de valor medio, $M=\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f$ , da $\displaystyle\int_{a}^{b}f=M(b-a)$ .
5. Sustituyendo, $V_{1}+V_{2}=V-2\pi M^{2}(b-a)+\pi M^{2}(b-a)=V-\pi M^{2}(b-a)$ , que es lo que se quería.

Resolución completa

a.1. Crecimiento de $F$ . Por el teorema fundamental del cálculo,

F'(x)=\left(f(x)\right)^{2}

Un cuadrado nunca es negativo, y en la figura $f>0$ en todo $[a,b]$ , así que $F'>0$ : $F$ es estrictamente creciente. No tiene extremos relativos en el interior; su mínimo es $F(a)=0$ y su máximo $F(b)$ , los dos en los bordes.

Conviene decir por qué $F(a)=0$ : una integral entre $a$ y $a$ vale cero sea cual sea el integrando.

a.2. Concavidad de $F$ .

F''(x)=2f(x)f'(x)

y con $f>0$ el signo es el de $f'$ . En la figura $f$ crece desde $a$ , alcanza un máximo pasado $c$ , y decrece hasta $b$ . Por tanto:

$F$ es cóncava hacia arriba mientras $f$ crece,
cóncava hacia abajo mientras $f$ decrece,
y tiene un punto de inflexión, justo donde $f$ alcanza su máximo.

El punto $c$ no interviene: ahí lo que pasa es que $f$ cruza la recta $y=M$ , y eso no dice nada de $F$ .

b) La identidad de los volúmenes. Los tres son integrales de discos, y lo único que cambia es el radio.

Alrededor del eje $X$ el radio es $f(x)$ :

V=\pi\int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^{2}dx

Alrededor de la recta $y=M$ el radio es la distancia a esa recta, $\left|f(x)-M\right|$ . El punto $c$ solo parte el intervalo en dos, así que

V_{1}+V_{2}=\pi\int_{a}^{c}\left(f-M\right)^{2}dx +\pi\int_{c}^{b}\left(f-M\right)^{2}dx =\pi\int_{a}^{b}\left(f-M\right)^{2}dx

Desarrollando el cuadrado:

V_{1}+V_{2}=\pi\int_{a}^{b}f^{2}\,dx -2\pi M\int_{a}^{b}f\,dx +\pi M^{2}(b-a)

Y aquí entra la única hipótesis que se ha usado del enunciado: $M$ es el valor medio, es decir

M=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\,dx \qquad\Longrightarrow\qquad \int_{a}^{b}f\,dx=M(b-a)

Sustituyendo:

V_{1}+V_{2}=V-2\pi M^{2}(b-a)+\pi M^{2}(b-a)=V-\pi M^{2}(b-a)

\boxed{V=V_{1}+V_{2}+\pi M^{2}(b-a)}

Lo que significa el término que sobra. $\pi M^{2}(b-a)$ es el volumen del cilindro de radio $M$ y longitud $b-a$ : el sólido que se obtendría girando la propia recta $y=M$ alrededor del eje $X$ . Girar alrededor del valor medio en vez de alrededor del eje quita exactamente ese cilindro — ni más ni menos, y solo porque $M$ es el valor medio. Con cualquier otra recta $y=k$ la identidad sería falsa: sobraría un $2\pi(k-M)k(b-a)$ que no se cancela.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 9 de junio de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un sólido con tapa plana y fondo de paraboloide

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le a$ ; $a-(x^{2}+y^{2})<z<a$ , donde $a>0$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Calcular el volumen de $S$ .

c) Sabiendo que el sólido está fabricado enteramente con el mismo material y que la tercera coordenada del centro de gravedad es $z_{G}=\dfrac{3}{4}$ , calcular el valor de $a$ .

El dibujo, el volumen y el valor de a.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué sólido describen esas dos condiciones?
02
El volumen
COMP2
Con $a=2$ , ¿cuánto vale el volumen de $S$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de a
COMP2
Con $z_{G}=\dfrac{3}{4}$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) El paraboloide $z=a-(x^{2}+y^{2})$ tiene el vértice en $(0,0,a)$ y llega a $z=0$ en el borde del disco $x^{2}+y^{2}=a$ ; el sólido es lo que queda entre él y la tapa plana $z=a$ .
2. La altura del sólido en cada punto es $a-\left(a-r^{2}\right)=r^{2}$ : cero en el eje y $a$ en el borde.
3. b) $V=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\sqrt a}r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta=\frac{\pi a^{2}}{2}$ .
4. c) Como el material es homogéneo, la masa se cancela y $z_{G}=\frac{1}{V}\iiint_{S}z\,dV$ .
5. Esa integral vale $\frac{\pi a^{3}}{3}$ , así que $z_{G}=\frac{2a}{3}$ y de $\frac{2a}{3}=\frac34$ sale $a=\frac98$ .

Resolución completa

a) El sólido. La condición $x^{2}+y^{2}\le a$ dice que la sombra es el disco de radio $\sqrt{a}$ . Y entre ese disco y la tapa plana $z=a$ está el paraboloide $z=a-(x^{2}+y^{2})$ , que se abre hacia abajo con el vértice en $(0,0,a)$ y llega a $z=0$ justo en el borde del disco.

El sólido es lo que queda entre los dos: en el eje tiene altura cero —el paraboloide toca la tapa— y en el borde tiene altura $a$ . Es un cuenco al revés, o el hueco que dejaría un paraboloide dentro de un cilindro.

Figura nuestra: el examen manda dibujar el sólido y no trae ninguna. El corte por el plano y = 0 es lo que se integra.

b) El volumen. La altura en cada punto es la diferencia entre las dos superficies:

a-\left(a-r^{2}\right)=r^{2}

En polares, sobre el disco:

V=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\sqrt a}r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta =2\pi\cdot\frac{\left(\sqrt a\right)^{4}}{4} =\frac{\pi a^{2}}{2}

c) El centro de gravedad. Con densidad constante, la densidad se cancela y

z_{G}=\frac{1}{V}\iiint_{S}z\,dV

Integrando primero en $z$ , entre las dos superficies:

\iiint_{S}z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\sqrt a} \frac{a^{2}-\left(a-r^{2}\right)^{2}}{2}\,r\,dr\,d\theta =\pi\int_{0}^{\sqrt a}\left(2ar^{2}-r^{4}\right)r\,dr =\frac{\pi a^{3}}{3}

z_{G}=\frac{\pi a^{3}/3}{\pi a^{2}/2}=\frac{2a}{3}

y con $z_{G}=\frac34$ ,

a=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{8}=1{,}125

Un control barato. $z_{G}=\frac{2a}{3}$ tiene que estar entre $0$ y $a$ , y lo está; y tiene que estar por encima de la mitad, porque hay mucho más material cerca de la tapa que cerca del vértice. Si hubiera salido menos de $\frac a2$ , habría que revisar el cálculo antes de seguir.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 9 de junio de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El dron, la trayectoria de máxima pendiente y un trabajo que no la mira

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un dron ha sufrido un accidente y se encuentra en el fondo del mar, en un punto $P$ desconocido. El dron está equipado con una baliza que emite una señal. El plan de rescate consiste en seguir una trayectoria submarina siguiendo el mayor aumento en la intensidad de dicha señal, hasta llegar a $P$ . Se sabe que el valor de la intensidad de la señal en cada punto $(x,y,z)$ viene dada por la función $I(x,y,z)=2x^{2}+3y^{2}+z^{2}+x+y+z$ . El equipo de rescate parte del punto $(0,0,0)$ .

a) Calcular la trayectoria que debe seguirse.

b) Supongamos que se ha encontrado el dron a una profundidad $z=0{,}5(e^{2}-1)$ km. Calcular las otras dos coordenadas de $P$ .

c) Supongamos que las corrientes marinas producen un campo de fuerza dado por el vector $V(x,y,z)=\left(yz-ye^{-xy},\ xz-xe^{-xy},\ xy\right)$ . Calcular el trabajo que ha realizado esta fuerza a lo largo de la trayectoria que se ha seguido.

La trayectoria, el punto P y el trabajo del campo.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Seguir el mayor aumento de la intensidad» ¿en qué se traduce?
02
La abscisa del dron
COMP2
Con $z=0{,}5\left(e^{2}-1\right)$ , ¿cuánto vale la coordenada $x$ de $P$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El trabajo del campo
COMP2
¿Cuánto vale el trabajo de $V$ a lo largo de la trayectoria?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $\nabla I=(4x+1,\,6y+1,\,2z+1)$ , y la trayectoria de máximo crecimiento cumple $\frac{dx}{4x+1}=\frac{dy}{6y+1}=\frac{dz}{2z+1}$ .
2. Integrando por parejas y usando que pasa por el origen: $4x+1=(2z+1)^{2}$ y $6y+1=(2z+1)^{3}$ .
3. b) Con $z=\frac{e^{2}-1}{2}$ es $2z+1=e^{2}$ , así que $x=\frac{e^{4}-1}{4}$ e $y=\frac{e^{6}-1}{6}$ .
4. c) El campo $V$ es conservativo y su potencial es $f=xyz+e^{-xy}$ , como se comprueba derivando las tres componentes.
5. Por tanto $W=f(P)-f(0,0,0)=xyz+e^{-xy}-1\approx 2870{,}0074$ .

Resolución completa

a) La trayectoria. El gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento:

\nabla I=\left(4x+1,\;6y+1,\;2z+1\right)

Que la trayectoria lo siga significa que su vector tangente es paralelo a $\nabla I$ en cada punto, es decir

\frac{dx}{4x+1}=\frac{dy}{6y+1}=\frac{dz}{2z+1}

Son dos ecuaciones de variables separadas. De la primera con la tercera:

\frac14\ln(4x+1)=\frac12\ln(2z+1)+C \;\Longrightarrow\; 4x+1=K_{1}(2z+1)^{2}

y de la segunda con la tercera:

\frac16\ln(6y+1)=\frac12\ln(2z+1)+C' \;\Longrightarrow\; 6y+1=K_{2}(2z+1)^{3}

El punto de partida $(0,0,0)$ da $K_{1}=K_{2}=1$ :

4x+1=(2z+1)^{2}, \qquad 6y+1=(2z+1)^{3}

b) El punto $P$ . Con $z=\frac{e^{2}-1}{2}$ es $2z+1=e^{2}$ , y

x=\frac{e^{4}-1}{4}\approx 13{,}3995, \qquad y=\frac{e^{6}-1}{6}\approx 67{,}0715

c) El trabajo. Antes de tocar la trayectoria, la comprobación de siempre. El campo

V=\left(yz-ye^{-xy},\;xz-xe^{-xy},\;xy\right)

deriva del potencial

f(x,y,z)=xyz+e^{-xy}

—derívalo y salen las tres componentes—. Por tanto el trabajo no depende del camino:

W=f(P)-f(0,0,0) =\left(xyz+e^{-xy}\right)-\left(0+e^{0}\right) =xyz+e^{-xy}-1

xyz=\frac{\left(e^{4}-1\right)\left(e^{6}-1\right)\left(e^{2}-1\right)}{48} \approx 2871{,}0074

y $e^{-xy}$ , con $xy\approx 900$ , es cero a todos los efectos. Queda

W\approx 2870{,}0074

Lo que hace difícil este ejercicio no es ninguna cuenta: es darse cuenta de que el apartado c) no usa el apartado a). La trayectoria hay que calcularla para localizar $P$ , y una vez localizado deja de importar. Quien no compruebe que el campo es conservativo se pone a parametrizar una curva de tercer grado y no acaba.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 9 de junio de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación con la t delante, y por eso Laplace

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación

t\,y''(t)+(1-2t)\,y'(t)-2\,y(t)=0, \qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=2

La solución del problema de valor inicial.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no sirve aquí la ecuación característica?
02
El exponente de la solución
COMP2
La solución resulta ser $y(t)=e^{kt}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en t = 1
COMP2
¿Cuánto vale $y(1)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los coeficientes dependen de $t$ , así que la ecuación característica no sirve: se transforma con Laplace, que convierte $t\,f(t)$ en $-\frac{d}{ds}F(s)$ .
2. $\mathcal{L}\left\{t\,y''\right\}=-\frac{d}{ds} \left(s^{2}Y-s-2\right)=-2sY-s^{2}Y'+1$ y $\mathcal{L}\left\{t\,y'\right\}=-\frac{d}{ds}\left(sY-1\right) =-Y-sY'$ .
3. Sustituyendo y agrupando, todo se cancela menos $\left(2s-s^{2}\right)Y'-sY=0$ .
4. Dividiendo entre $s$ queda $(2-s)Y'=Y$ , que es de variables separadas: $\frac{Y'}{Y}=\frac{1}{2-s}$ y $Y=\frac{K}{2-s}$ .
5. Antitransformando, $y(t)=Ae^{2t}$ , y la condición $y(0)=1$ da $A=1$ : la solución es $y(t)=e^{2t}$ , que además cumple $y'(0)=2$ .

Resolución completa

Por qué Laplace. Los coeficientes dependen de $t$ , así que la ecuación característica no se puede usar. La transformada de Laplace sí sirve, y precisamente por la propiedad que aquí parece un estorbo:

\mathcal{L}\left\{t\,f(t)\right\}=-\frac{d}{ds}F(s)

La transformación. Con $Y=\mathcal{L}\{y\}$ , $y(0)=1$ e $y'(0)=2$ :

\mathcal{L}\left\{y''\right\}=s^{2}Y-s-2, \qquad \mathcal{L}\left\{y'\right\}=sY-1

\mathcal{L}\left\{t\,y''\right\} =-\frac{d}{ds}\left(s^{2}Y-s-2\right) =-2sY-s^{2}Y'+1

\mathcal{L}\left\{t\,y'\right\} =-\frac{d}{ds}\left(sY-1\right)=-Y-sY'

Y la ecuación entera, término a término:

\left(-2sY-s^{2}Y'+1\right) +\left(sY-1\right) -2\left(-Y-sY'\right) -2Y=0

Sale todo cancelándose de forma casi sospechosa: los términos independientes se van, los de $Y$ se reducen a $-sY$ y los de $Y'$ a $\left(2s-s^{2}\right)Y'$ :

\left(2s-s^{2}\right)Y'-sY=0

La ecuación en $Y$ . Dividiendo entre $s$ —lícito porque interesa $s>2$ —:

(2-s)Y'=Y \;\Longrightarrow\; \frac{Y'}{Y}=\frac{1}{2-s} \;\Longrightarrow\; \ln Y=-\ln(2-s)+c \;\Longrightarrow\; Y=\frac{K}{2-s}

Escrito con el signo cómodo, $Y=\dfrac{A}{s-2}$ , y antitransformando:

y(t)=A\,e^{2t}

Las condiciones iniciales. $y(0)=A=1$ , luego

\boxed{y(t)=e^{2t}}

y de propina $y'(0)=2$ se cumple sola, que es la comprobación de que no hay error de signo.

Dos cosas para COMP4. La primera: aquí Laplace no convierte la ecuación en algebraica, la convierte en otra ecuación diferencial —de primer orden y separable— porque los coeficientes llevan $t$ . La segunda: $t=0$ es un punto singular, porque ahí se anula el coeficiente de $y''$ ; eso explica que las dos condiciones iniciales no sean independientes —de hecho la ecuación evaluada en $t=0$ obliga a $y'(0)=2y(0)$ — y merece una línea en la respuesta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria ordinaria, 9 de junio de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ampliación impar, y la serie de Leibniz que sale de ella

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(t)=t+\pi$ , $t\in(0,\pi)$ .

a) Obtener una ampliación impar y periódica, $F(t)$ , de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función $f(t)$ y la función ampliada $F(t)$ obtenida en el apartado anterior.

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $F(t)$ .

d) Calcular, justificando la respuesta, los valores de $S(t)$ y $F(t)$ en los puntos $t=-5\pi$ y $t=\dfrac{25}{2}\pi$ .

e) Calcular $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ .

La ampliación, su dibujo, la serie, los dos valores y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué obliga a hacer «impar y periódica»?
02
El primer coeficiente
COMP2
¿Cuánto vale $b_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La serie en un punto lejano
COMP2
¿Cuánto vale $S\left(\frac{25}{2}\pi\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La suma del apartado e)
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) La ampliación impar es $F(t)=t+\pi$ en $(0,\pi)$ y $F(t)=t-\pi$ en $(-\pi,0)$ , repetida con periodo $2\pi$ .
2. c) Al ser impar, todos los $a_{n}$ son cero y $b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(t+\pi)\operatorname{sen}(nt)\,dt$ .
3. Integrando, $b_{n}=\frac{6}{n}$ si $n$ es impar y $b_{n}=-\frac{2}{n}$ si $n$ es par.
4. d) $-5\pi$ es congruente con $\pi$ módulo $2\pi$ , que es un punto de salto: los límites laterales valen $2\pi$ y $-2\pi$ , así que la serie converge a su media, $0$ .
5. Y $\frac{25}{2}\pi$ es congruente con $\frac{\pi}{2}$ , donde $F$ es continua: ahí $S=F=\frac{3\pi}{2}$ .
6. e) Evaluando la serie en $\frac{\pi}{2}$ solo sobreviven los términos impares, y sale $6\sum\frac{(-1)^{k}}{2k+1}=\frac{3\pi}{2}$ , de donde la suma vale $\frac{\pi}{4}$ .

Resolución completa

a) La ampliación impar. Impar significa $F(-t)=-F(t)$ , así que la mitad izquierda queda determinada por la derecha:

F(t)= \begin{cases} t+\pi & 0<t<\pi\\[4pt] t-\pi & -\pi<t<0 \end{cases} \qquad\text{y }F(t+2\pi)=F(t)

En $t=0$ y en los múltiplos de $\pi$ la función no está definida: $f$ se da en el intervalo abierto, y además ahí la imparidad y la periodicidad chocan. Es un detalle que hay que decir, porque el apartado d) va justamente de eso.

b) El dibujo.

Figura nuestra: el examen manda dibujar las dos funciones y no trae ninguna. En trazo grueso, f sobre el intervalo (0, π); en trazo fino, la ampliación impar y periódica F.

Los círculos huecos marcan los puntos donde $F$ no está definida: los múltiplos de $\pi$ , que son todos saltos.

c) La serie. Al ser $F$ impar, todos los $a_{n}$ se anulan y quedan solo senos:

b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left(t+\pi\right) \operatorname{sen}(nt)\,dt

Partiendo la integral en dos:

\int_{0}^{\pi}t\operatorname{sen}(nt)\,dt=\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}, \qquad \int_{0}^{\pi}\pi\operatorname{sen}(nt)\,dt =\frac{\pi\left(1-(-1)^{n}\right)}{n}

b_{n}=\frac{2\left[(-1)^{n+1}-(-1)^{n}+1\right]}{n} =\begin{cases} \dfrac{6}{n} & n\ \text{impar}\\[8pt] -\dfrac{2}{n} & n\ \text{par} \end{cases}

S(t)=6\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}2t +2\operatorname{sen}3t-\frac12\operatorname{sen}4t+\cdots

d) Los dos puntos. Lo primero es reducir módulo $2\pi$ , siempre.

$-5\pi\equiv\pi$ : es un punto de salto. Los límites laterales son

\lim_{t\to\pi^{-}}F(t)=2\pi, \qquad \lim_{t\to\pi^{+}}F(t)=-2\pi

y el teorema de Dirichlet dice que la serie converge a la media:

S(-5\pi)=\frac{2\pi+(-2\pi)}{2}=0

mientras que $F(-5\pi)$ no está definida, porque $f$ se dio en el intervalo abierto. (Si se conviene $F(\pi)=0$ por imparidad, coinciden.)

$\frac{25}{2}\pi=12\pi+\frac{\pi}{2}\equiv\frac{\pi}{2}$ : ahí $F$ es continua, así que

S\left(\tfrac{25}{2}\pi\right)=F\left(\tfrac{\pi}{2}\right) =\frac{3\pi}{2}

e) La suma. Es el regalo del ejercicio: la serie de Fourier evaluada en un punto concreto es una serie numérica. En $t=\frac{\pi}{2}$ los senos pares se anulan y los impares valen $\pm 1$ alternando:

S\left(\tfrac{\pi}{2}\right) =6\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}

y como ese valor es $\frac{3\pi}{2}$ ,

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4}

que es la serie de Leibniz. Sale gratis del apartado d), y ese es el motivo de que el enunciado pidiera precisamente el punto $\frac{25}{2}\pi$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2025-2026

Reconocer el camino

El tercer vértice

El área

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada en el instante inicial

El instante del mínimo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de x⁷

La suma en un punto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Extremos relativos de F

Puntos de inflexión de F

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen

El valor de a

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La abscisa del dron

El trabajo del campo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El exponente de la solución

El valor en t = 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer coeficiente

La serie en un punto lejano

La suma del apartado e)

Justificar el argumento