tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2017-2018

30 de mayo de 2018 · 7 ejercicios · 70 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Dos potencias décimas cuya suma es ceroNúmeros complejos1 + 8 + 1 = 10 pts
Calcular la suma $\left(\dfrac{1+i}{\sqrt2}\right)^{10}+\left(\dfrac{1-i}{\sqrt2}\right)^{10}$ y representar gráficamente el resultado.
El valor de la suma, y su representación en el plano.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación que tiene solución sin llegar a resolverlaFunciones reales de una variable real1 + 5 + 4 = 10 pts
a) Enunciar, sin demostrar, el teorema de existencia y unicidad del punto fijo.

b) Aplicando el teorema anterior, razonar si la igualdad $x=\sqrt{2x+3}$ tiene solución en el intervalo $\left[0,4\right]$ . ¿Es única esa solución?
El enunciado del teorema, y la comprobación de sus hipótesis en este caso.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Entre todos los rectángulos inscritos, el cuadradoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 8 + 1 = 10 pts
Se inscribe un rectángulo de base $b$ y altura $h$ en una circunferencia de radio $r$ . Si el centro del rectángulo coincide con el de la circunferencia, calcular las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima. Obtener el valor de dicha área.
La base, la altura y el área máxima, en función de r.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un trabajo que resulta ser un área, otra vezIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Sean el campo vectorial $\vec{V}=\left(-\dfrac{y}{2},\,\dfrac{x}{2}\right)$ y la espiral definida por las ecuaciones paramétricas $x=t\cos t$ , $y=t\operatorname{sen}t$ .

Figura redibujada del enunciado original. La espiral va de A, en el origen, hasta B, en 2π; la zona sombreada es la que encierra con el segmento del eje horizontal que cierra el camino.

a) Calcular el trabajo efectuado por $\vec{V}$ al trasladar una partícula desde el punto $A=(0,0)$ hasta el punto $B=(2\pi,0)$ siguiendo la espiral.

b) Calcular el área de la figura sombreada.
El trabajo y el área, que salen el mismo número.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un término que resuena, otro que no, y un oscilador sin rozamientoEcuaciones diferenciales2 + 6 + 2 = 10 pts
a) Resolver la EDO $y''+9y=9\operatorname{sen}3x+2e^{3x}$ .

b) Si la EDO anterior describe un movimiento armónico, especificar qué tipo de oscilación se produce: sobreamortiguada, críticamente amortiguada o subamortiguada. ¿Cuál sería su frecuencia? Justificar la respuesta.
La solución general, y el tipo de oscilación con su frecuencia.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una convolución con t, y el seno que apareceTransformada de Laplace1 + 7 + 2 = 10 pts
Utilizando la transformada de Laplace, resolver el problema
$y(t)+\int_{0}^{t}(t-z)\,y(z)\,dz=t$
La función y(t).
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una recta convertida en onda triangularIntroducción al análisis de Fourier1 + 6 + 3 = 10 pts
Sea la función $f(t)=t$ , $0\le t<\pi$ .

a) Obtener la extensión par de la función $f(t)$ .

b) Representar gráficamente la función extendida.

c) Obtener la serie de Fourier, $S(t)$ , de la función $f(t)$ .

d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=\pi$ .

e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}$ .
La extensión, su dibujo, la serie, los dos valores y la suma.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 30 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos potencias décimas cuya suma es cero

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la suma $\left(\dfrac{1+i}{\sqrt2}\right)^{10}+\left(\dfrac{1-i}{\sqrt2}\right)^{10}$ y representar gráficamente el resultado.

El valor de la suma, y su representación en el plano.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué conviene hacer antes de elevar a la décima?
02
El módulo de cada número
COMP2
¿Cuánto vale $\left|\dfrac{1+i}{\sqrt2}\right|$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El argumento de la primera potencia
COMP2
Tras elevar a la décima, ¿cuál es el argumento de $\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{10}$ , reducido al intervalo $[0,2\pi)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales, en radianes — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los dos números tienen módulo $1$ y argumentos $\frac\pi4$ y $-\frac\pi4$ : son conjugados el uno del otro.
2. Por De Moivre, sus potencias décimas tienen módulo $1$ y argumentos $\frac{5\pi}{2}\equiv\frac\pi2$ y $-\frac\pi2$ , o sea $i$ y $-i$ .
3. La suma es $i+(-i)=0$ , y gráficamente son dos vectores opuestos sobre el eje imaginario que se cancelan: el resultado es el origen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 30 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación que tiene solución sin llegar a resolverla

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Enunciar, sin demostrar, el teorema de existencia y unicidad del punto fijo.

b) Aplicando el teorema anterior, razonar si la igualdad $x=\sqrt{2x+3}$ tiene solución en el intervalo $\left[0,4\right]$ . ¿Es única esa solución?

El enunciado del teorema, y la comprobación de sus hipótesis en este caso.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que comprobar para aplicar el teorema del punto fijo a $g$ en $[a,b]$ ?
02
Dónde manda g al intervalo
COMP2
Con $g(x)=\sqrt{2x+3}$ , ¿cuál es el valor máximo de $g$ en $[0,4]$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La constante de contracción
COMP2
¿Cuál es el valor máximo de $\left|g'\right|$ en $[0,4]$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La igualdad $x=\sqrt{2x+3}$ es un problema de punto fijo para $g(x)=\sqrt{2x+3}$ , que es continua en $[0,4]$ porque el radicando es positivo en todo el intervalo.
2. $g$ es creciente y $g\left([0,4]\right)= \left[\sqrt3,\sqrt{11}\right]\subset[0,4]$ : la imagen no se sale, así que existe al menos un punto fijo.
3. Además $\left|g'\right|\le\frac{1}{\sqrt3}<1$ en todo el intervalo, luego $g$ es contractiva y el punto fijo es único; resolviendo, $x^{2}=2x+3$ da $x=3$ —y $x=-1$ , que se descarta por estar fuera—.

Resolución completa

a) El teorema. Este apartado vale la mitad de los puntos de explicación formal, así que conviene escribirlo entero y separando las dos conclusiones:

Sea $g$ continua en $[a,b]$ con $g\left([a,b]\right)\subseteq[a,b]$ . Entonces existe al menos un $c\in[a,b]$ con $g(c)=c$ . Si además $g$ es derivable en $(a,b)$ y existe $k<1$ tal que $\left|g'(x)\right|\le k$ para todo $x$ , ese punto fijo es único.

La existencia es Bolzano disfrazado: se aplica a $h(x)=g(x)-x$ , que cumple $h(a)\ge0$ y $h(b)\le0$ .

b) Las tres comprobaciones. La igualdad $x=\sqrt{2x+3}$ es exactamente $x=g(x)$ con $g(x)=\sqrt{2x+3}$ .

Continuidad. El radicando $2x+3$ vale entre $3$ y $11$ en $[0,4]$ : positivo, así que $g$ es continua allí.
La imagen no se sale. $g$ es creciente, luego $g\left([0,4]\right)=\left[\sqrt3,\sqrt{11}\right]\approx[1{,}73,\, 3{,}32]$ , que cabe dentro de $[0,4]$ . Existe solución.
Contracción. $g'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$ , que en $[0,4]$ está acotada por $\frac{1}{\sqrt3}\approx0{,}58<1$ . La solución es única.

La recta y = x y la curva. Se cortan una sola vez, en x = 3, y la curva se mantiene dentro del cuadrado: eso es exactamente lo que piden las hipótesis del teorema.

Y cuál es. El teorema no la da, pero aquí se despeja: elevando al cuadrado, $x^{2}=2x+3$ , o sea $x^{2}-2x-3=0$ , con raíces $3$ y $-1$ . La segunda hay que descartarla, y no solo por estar fuera del intervalo: al elevar al cuadrado se añaden soluciones, y $-1=\sqrt{1}$ es falso.

\boxed{\;x=3\;}

Lo que hay que llevarse. El teorema sirve para saber que hay solución y que es una sola antes de intentar despejarla. Aquí se puede despejar, así que la gracia no está en el número: está en que el mismo argumento funcionaría con una ecuación imposible de resolver a mano.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 30 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Entre todos los rectángulos inscritos, el cuadrado

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se inscribe un rectángulo de base $b$ y altura $h$ en una circunferencia de radio $r$ . Si el centro del rectángulo coincide con el de la circunferencia, calcular las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima. Obtener el valor de dicha área.

La base, la altura y el área máxima, en función de r.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué ligadura relaciona $b$ , $h$ y $r$ ?
02
El lado del rectángulo óptimo
COMP2
Con $r=5$ , ¿cuánto mide la base del rectángulo de área máxima?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área máxima
COMP2
El área máxima vale $A=k\,r^{2}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la optimización. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como el rectángulo está centrado en la circunferencia, su diagonal es un diámetro y $b^{2}+h^{2}=4r^{2}$ .
2. Despejando $h$ y sustituyendo, $A(b)=b\sqrt{4r^{2}-b^{2}}$ con $b\in(0,2r)$ ; conviene maximizar $A^{2}$ , que da el mismo punto porque $A$ es positiva.
3. $\left(A^{2}\right)'=4b\left(2r^{2}-b^{2}\right)$ se anula en $b=r\sqrt2$ , y ahí $h=r\sqrt2$ también: el óptimo es el cuadrado, de área $2r^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 30 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · Es literalmente el mismo ejercicio, figura incluida, que el 2 del segundo parcial de la ordinaria de 2022-2023 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un trabajo que resulta ser un área, otra vez

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean el campo vectorial $\vec{V}=\left(-\dfrac{y}{2},\,\dfrac{x}{2}\right)$ y la espiral definida por las ecuaciones paramétricas $x=t\cos t$ , $y=t\operatorname{sen}t$ .

Figura redibujada del enunciado original. La espiral va de A, en el origen, hasta B, en 2π; la zona sombreada es la que encierra con el segmento del eje horizontal que cierra el camino.

a) Calcular el trabajo efectuado por $\vec{V}$ al trasladar una partícula desde el punto $A=(0,0)$ hasta el punto $B=(2\pi,0)$ siguiendo la espiral.

b) Calcular el área de la figura sombreada.

El trabajo y el área, que salen el mismo número.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tiene de especial este campo?
02
La simplificación clave
COMP2
A lo largo de la espiral, $x\,y'-y\,x'$ se simplifica muchísimo. ¿Cuánto vale en $t=3$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El trabajo
COMP2
¿Cuánto vale el trabajo a lo largo de la espiral?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el paso del trabajo al área. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La frontera del recinto sombreado es la espiral de $A$ a $B$ seguida del segmento del eje $x$ de $B$ a $A$ .
2. Sobre ese segmento $y=0$ y $dy=0$ , así que las dos componentes del campo aportan cero y la circulación cerrada vale lo mismo que el trabajo del apartado a).
3. Por Green, esa circulación es $\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA=\iint_{D}1\,dA$ , es decir, el área.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 30 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un término que resuena, otro que no, y un oscilador sin rozamiento

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Resolver la EDO $y''+9y=9\operatorname{sen}3x+2e^{3x}$ .

b) Si la EDO anterior describe un movimiento armónico, especificar qué tipo de oscilación se produce: sobreamortiguada, críticamente amortiguada o subamortiguada. ¿Cuál sería su frecuencia? Justificar la respuesta.

La solución general, y el tipo de oscilación con su frecuencia.

01
Reconocer el camino
COMP1
De los dos términos del segundo miembro, ¿cuál resuena con la homogénea?
02
El coeficiente que crece
COMP2
Con el ensayo $x\left(A\cos 3x+B\operatorname{sen}3x\right)$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de la exponencial
COMP2
Con el ensayo $Ce^{3x}$ , ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ecuación homogénea es $y''+9y=0$ : no tiene término en $y'$ , que es el que representa el rozamiento.
2. Sus raíces son $r=\pm3i$ , imaginarias puras, sin parte real: la amplitud de la oscilación libre no decae.
3. De las tres opciones, la única compatible con raíces complejas es la subamortiguada; y este es su caso límite, con amortiguamiento exactamente cero.

Resolución completa

a) La homogénea. $r^{2}+9=0$ da $r=\pm3i$ :

y_{h}=C_{1}\cos 3x+C_{2}\operatorname{sen}3x

Los dos trozos del segundo miembro, y por qué se tratan distinto.

$9\operatorname{sen}3x$ resuena: $\operatorname{sen}3x$ ya es solución de la homogénea. El ensayo lleva una $x$ delante: $x\left(A\cos3x+B\operatorname{sen}3x\right)$ , y sale $A=-\frac32$ , $B=0$ .
$2e^{3x}$ no resuena: $3$ es real y las raíces son imaginarias. Ensayo $Ce^{3x}$ , con $18C=2$ , o sea $C=\frac19$ .

\boxed{\; y=C_{1}\cos 3x+C_{2}\operatorname{sen}3x -\frac32\,x\cos 3x+\frac{e^{3x}}{9} \;}

Fíjate en el detalle que desconcierta: el segundo miembro trae un seno y el término que sobrevive lleva coseno. No es un error: al derivar dos veces $x\cos3x$ aparece un $\operatorname{sen}3x$ , y es ese el que casa con el segundo miembro.

b) Qué tipo de oscilación, dicho con precisión. La ecuación homogénea no tiene término en $y'$ , y ese término es el rozamiento. Con amortiguamiento cero, la respuesta exacta es que se trata de un movimiento armónico simple, no amortiguado: las raíces son imaginarias puras y la amplitud libre no decae nunca.

De las tres opciones que ofrece el enunciado, la única compatible con raíces complejas es la subamortiguada, y este es su caso límite —el de coeficiente de amortiguamiento nulo—. Conviene contestar así, nombrando la opción y diciendo por qué ninguna encaja del todo: es exactamente el tipo de matiz que puntúa en COMP 4.

La frecuencia. De $y''+\omega^{2}y=0$ con $\omega^{2}=9$ :

\omega=3\ \text{rad/s}, \qquad T=\frac{2\pi}{3}\approx2{,}09\ \text{s}, \qquad f=\frac{3}{2\pi}\approx0{,}48\ \text{Hz}

Y una lectura física del término resonante. El $-\frac32 x\cos3x$ crece sin límite: la fuerza externa empuja exactamente a la frecuencia propia del oscilador y, al no haber rozamiento que disipe, la amplitud se dispara. Es el mismo fenómeno que rompe una copa con un sonido, y en la solución se ve como el único término que lleva una $x$ multiplicando.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 30 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una convolución con t, y el seno que aparece

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace, resolver el problema

y(t)+\int_{0}^{t}(t-z)\,y(z)\,dz=t

La función y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es $\displaystyle\int_{0}^{t}(t-z)\,y(z)\,dz$ ?
02
El denominador que aparece
COMP2
Al despejar, $Y(s)=\dfrac{1}{s^{2}+k}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un valor de la solución
COMP2
¿Cuánto vale $y(2)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La integral es la convolución $(t*y)(t)$ , porque los argumentos $t-z$ y $z$ suman $t$ ; su transformada es $\mathcal{L}\{t\}\cdot Y(s)=\frac{Y(s)}{s^{2}}$ .
2. Transformando la ecuación entera: $Y+\frac{Y}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}$ .
3. Agrupando, $Y\frac{s^{2}+1}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}$ , de donde $Y=\frac{1}{s^{2}+1}$ y $y(t)=\operatorname{sen}t$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria de mayo, 30 de mayo de 2018 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una recta convertida en onda triangular

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(t)=t$ , $0\le t<\pi$ .

a) Obtener la extensión par de la función $f(t)$ .

b) Representar gráficamente la función extendida.

c) Obtener la serie de Fourier, $S(t)$ , de la función $f(t)$ .

d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=\pi$ .

e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}$ .

La extensión, su dibujo, la serie, los dos valores y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la extensión par de $f(t)=t$ en $(-\pi,\pi)$ ?
02
El término constante
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{a_{0}}{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El primer armónico
COMP2
¿Cuánto vale $a_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La suma pedida
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}$ ?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado d). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La extensión par $\left|t\right|$ , repetida con periodo $2\pi$ , es continua en todo $\mathbb{R}$ : en los múltiplos impares de $\pi$ los dos tramos llegan al mismo valor $\pi$ .
2. Al no haber saltos, Dirichlet da $S=\tilde f$ en todo punto: no hace falta calcular semisumas en ninguna parte.
3. Por tanto $S(0)=0$ y $S(\pi)=\pi$ ; y sobre $f(\pi)$ conviene decir que el enunciado define $f$ solo en $[0,\pi)$ , así que el valor en $\pi$ lo pone la extensión.

Resolución completa

a) La extensión par. Reflejar en el eje vertical:

\tilde f(t)=\left|t\right| \text{ en } (-\pi,\pi), \qquad \tilde f(t+2\pi)=\tilde f(t)

b) El dibujo. La onda triangular clásica: sube de $0$ a $\pi$ , baja de $\pi$ a $0$ , y así indefinidamente.

La extensión par y periódica. Es continua en todo el eje: en los múltiplos impares de π los dos tramos llegan al mismo valor, y lo que hay es un pico, no un salto.

Mirarla antes de calcular resuelve sola el apartado d): no hay ni un salto.

c) La serie. Al ser par, $b_{n}=0$ y las integrales se hacen sobre media onda, duplicando:

\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\,dt=\frac{\pi}{2}

a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\cos(nt)\,dt =\frac{2\left((-1)^{n}-1\right)}{\pi n^{2}}

S(t)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \left(\cos t+\frac{\cos 3t}{9}+\frac{\cos 5t}{25}+\cdots\right)

d) Los dos valores. La extensión es continua, así que la serie converge a la función en todo punto:

S(0)=\tilde f(0)=0, \qquad S(\pi)=\tilde f(\pi)=\pi

Sobre $f(\pi)$ hay que ser exacto: el enunciado define $f$ en $[0,\pi)$ , abierto por la derecha, así que $f(\pi)$ no está dado. Quien pone ahí un valor es la extensión, y vale $\pi$ .

e) La suma. El punto bueno es $t=0$ , donde todos los cosenos valen $1$ y la serie iguala a la función:

0=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}} \;\Longrightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}

La comprobación independiente. $\sum\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ (Basilea) y los pares suman $\frac14\cdot\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{\pi^{2}}{24}$ ; la diferencia es $\frac{\pi^{2}}{8}$ ✓.

Y un apunte sobre la familia. Este mismo $\frac{\pi^{2}}{8}$ sale en la ordinaria de 2020-2021 con la extensión par de $2\pi-t$ y en la de 2018-2019 con un diente de sierra que vale cero en media onda. Tres enunciados distintos, la misma suma: no es casualidad, es que todas las ondas triangulares tienen coeficientes en $\frac{1}{n^{2}}$ y evaluarlas donde los cosenos valen $1$ produce siempre esta serie.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2017-2018

Reconocer el camino

El módulo de cada número

El argumento de la primera potencia

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde manda g al intervalo

La constante de contracción

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El lado del rectángulo óptimo

El área máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La simplificación clave

El trabajo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente que crece

El coeficiente de la exponencial

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El denominador que aparece

Un valor de la solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término constante

El primer armónico

La suma pedida

Justificar el argumento