tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2018-2019

22 de enero de 2019 · 6 ejercicios · 60 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una ecuación con conjugado que se resuelve por el móduloNúmeros complejos0 + 7 + 3 = 10 pts
Resolver y representar gráficamente las soluciones de la ecuación compleja $z^{4}\,\overline{z}\,i+1 = 0$ .
Resolver y representar.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un límite que no existe, y la curvatura de una composiciónFunciones reales de una variable real1 + 6 + 3 = 10 pts
a) Estudiar el límite de la función $f(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{x} \right)$ en el punto $x=0$ utilizando las sucesiones $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \left\{\dfrac{1}{2n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \left\{-\dfrac{2}{2n+1} \right\}_{n\in\mathbb{N}}$ .

b) Sean $f(x)$ y $g(x)$ las funciones cuyas gráficas se muestran en la figura. Estudiar la concavidad/convexidad de la función $h(x) = g\left(f(x)\right)$ en el intervalo $(1,2)$ .

Figura redibujada del enunciado original. Midiendo los puntos marcados, la de la izquierda es f(x) = 6 menos (x menos 3) al cuadrado y la de la derecha g(x) = (x menos 5) al cuadrado mas uno.

Estudiar el límite y la concavidad de la composición.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El teorema fundamental y Barrow, por tercer añolos 10 puntos son demostración — cero cálculoIntegración0 + 0 + 10 = 10 pts
Enunciar el Teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal y utilizarlo para demostrar la Regla de Barrow.
Enunciar y demostrar.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La serie del logaritmo de un cocienteEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
Desarrollar en serie de potencias la función $f(x) = \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ en el punto $a=0$ .
Desarrollar en serie de potencias.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Ordenar tres aproximaciones, y una integral de tangentesIntegración1 + 5 + 4 = 10 pts
a) Sea $y(x)$ una función tal que $y(x)>0$ , $y'(x)>0$ $\forall x \in [a,b]$ . Ordenar de menor a mayor los valores $I_1$ , $I_2$ e $I_3$ definidos de la siguiente forma:

$I_1$ : Valor aproximado de $\displaystyle\int_a^{b}y(x)\,dx$ , obtenido utilizando en cada subintervalo el extremo izquierdo del mismo.

$I_2$ : Valor aproximado de $\displaystyle\int_a^{b}y(x)\,dx$ , obtenido utilizando en cada subintervalo el extremo derecho del mismo.

$I_3$ : Valor exacto de $\displaystyle\int_a^{b}y(x)\,dx$ .

Razonar la respuesta.

b) Calcular $\displaystyle\int\frac{\mathrm{sen}^{2}x} {\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x}\,dx$ .
Ordenar las tres cantidades y calcular la integral.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una parábola encerrada entre sus dos tangentesIntegración0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $D$ el dominio limitado por la gráfica de la función $y = 2x-x^{2}$ y sus rectas tangentes en los puntos de corte con el eje OX.

a) Representar gráficamente el dominio $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Calcular el volumen del cuerpo generado al girar el dominio $D$ alrededor del eje OX.
Representar, calcular el área y el volumen.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 22 de enero de 2019 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación con conjugado que se resuelve por el módulo

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver y representar gráficamente las soluciones de la ecuación compleja $z^{4}\,\overline{z}\,i+1 = 0$ .

Resolver y representar.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay un conjugado en la ecuación. ¿Cómo se quita?
02
El módulo de las soluciones
COMP2
¿Cuánto vale $\left\lvert z\right\rvert$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuántas soluciones hay
COMP2
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Despejar: $z^{4}\overline z = \frac{-1}{i} = i$ .
2. Tomar módulos: $\left\lvert z\right\rvert^{5} = 1$ , y como es un real no negativo, $\left\lvert z\right\rvert = 1$ .
3. Usar $\overline z = \frac1z$ , válido justamente porque $\left\lvert z\right\rvert=1$ : la ecuación se convierte en $z^{3} = i$ .
4. Resolver la cúbica: con $i = \mathrm{e}^{i\pi/2}$ , las raíces son $\mathrm{e}^{i\pi/6}$ , $\mathrm{e}^{i5\pi/6}$ y $\mathrm{e}^{i3\pi/2}$ .
5. Representar: tres puntos sobre la circunferencia unidad, separados 120°, formando un triángulo equilátero.
Cuando la división entre $z$ se justifica con $\left\lvert z\right\rvert=1$ , no hay solución perdida que rescatar.

Resolución completa

Datos. $z^{4}\,\overline z\,i+1 = 0$ .

1 · Despejar

z^{4}\overline z\,i = -1 \;\Longrightarrow\; z^{4}\overline z = \frac{-1}{i}

Y como $\frac1i = -i$ :

z^{4}\overline z = i

2 · El módulo, primero

Cuando aparece $\overline z$ mezclado con potencias de $z$ , el camino es tomar módulos: el conjugado tiene el mismo módulo que $z$ , así que la ecuación compleja se convierte en una ecuación real con una sola incógnita.

\left\lvert z^{4}\right\rvert\cdot\left\lvert\overline z\right\rvert = \left\lvert i\right\rvert \;\Longrightarrow\; \left\lvert z\right\rvert^{4}\cdot\left\lvert z\right\rvert = 1 \;\Longrightarrow\; \left\lvert z\right\rvert^{5} = 1

El módulo es un número real no negativo, así que de las cinco raíces quintas complejas de 1 solo sirve una:

\boxed{\left\lvert z\right\rvert = 1}

Todas las soluciones están sobre la circunferencia unidad.

3 · Quitar el conjugado

Sobre la circunferencia unidad, $z\overline z = \left\lvert z\right\rvert^{2} = 1$ , es decir

\overline z = \frac1z

—y $z\neq0$ porque su módulo vale 1—. Sustituyendo:

z^{4}\cdot\frac1z = i \;\Longrightarrow\; \boxed{z^{3} = i}

El conjugado ha restado un grado. La ecuación parecía de grado 5 y es de grado 3.

4 · Las tres raíces

Con $i = 1\cdot\mathrm{e}^{i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}$ :

r^{3} = 1 \Rightarrow r = 1 \ \checkmark \qquad 3\theta = \frac{\pi}{2}+2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}

$k$	$\theta$	forma binómica
0	$\frac{\pi}{6} = 30°$	$\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i$
1	$\frac{5\pi}{6} = 150°$	$-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i$
2	$\frac{3\pi}{2} = 270°$	$-i$

\boxed{z = \frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i, \quad -\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i, \quad -i}

El módulo sale 1 en las tres ✔ coherente con el paso 2.

5 · La representación

Figura nuestra: el enunciado pide representar. Los tres afijos caen sobre la circunferencia unidad y forman un triangulo equilatero, con un vertice apuntando hacia abajo.

Tres puntos sobre la circunferencia unidad, separados $120°$ : un triángulo equilátero con un vértice en $-i$ .

6 · Comprobación

Con $z = -i$ , la más fácil:

z^{4} = (-i)^{4} = 1, \qquad \overline z = i

z^{4}\overline z\,i+1 = 1\cdot i\cdot i+1 = i^{2}+1 = -1+1 = 0 \quad\checkmark

Con $z = \mathrm{e}^{i\pi/6}$ , en polar:

z^{4} = \mathrm{e}^{i4\pi/6} = \mathrm{e}^{i2\pi/3}, \qquad \overline z = \mathrm{e}^{-i\pi/6}

z^{4}\overline z = \mathrm{e}^{i\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)} = \mathrm{e}^{i\pi/2} = i \quad\checkmark

y entonces $i\cdot i+1 = 0$ ✔

Del número de soluciones. Sobre la circunferencia unidad la ecuación es $z^{3}=i$ , que tiene exactamente 3 soluciones. Y no hay soluciones fuera de la circunferencia, porque el paso 2 fuerza $\left\lvert z\right\rvert=1$ para cualquier solución ✔

De que $z=0$ no lo es: sustituyendo, $0+1 = 1 \neq 0$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 22 de enero de 2019 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un límite que no existe, y la curvatura de una composición

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Estudiar el límite de la función $f(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{x} \right)$ en el punto $x=0$ utilizando las sucesiones $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \left\{\dfrac{1}{2n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \left\{-\dfrac{2}{2n+1} \right\}_{n\in\mathbb{N}}$ .

b) Sean $f(x)$ y $g(x)$ las funciones cuyas gráficas se muestran en la figura. Estudiar la concavidad/convexidad de la función $h(x) = g\left(f(x)\right)$ en el intervalo $(1,2)$ .

Figura redibujada del enunciado original. Midiendo los puntos marcados, la de la izquierda es f(x) = 6 menos (x menos 3) al cuadrado y la de la derecha g(x) = (x menos 5) al cuadrado mas uno.

Estudiar el límite y la concavidad de la composición.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué demuestran las dos sucesiones del apartado (a)?
02
El valor a lo largo de la primera sucesión
COMP2
¿Cuánto vale $f(a_n) = \cos\left(\frac{\pi}{a_n}\right)$ para cualquier $n$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El signo de la segunda derivada de la composición
COMP2
En $x = 1{,}5$ , ¿cuánto vale $h''(x)$ ? Da un número.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La regla de la cadena, dos veces: $h' = g'(f)\,f'$ y $h'' = g''(f)\left(f'\right)^{2}+g'(f)\,f''$ .
2. Qué hace $f$ en $(1,2)$ : crece de 2 a 5, así que $f'>0$ ; y es una parábola hacia abajo, así que $f''<0$ .
3. Dónde cae la imagen: $f\left((1,2)\right) = (2,5)$ , y ahí $g$ decrece —su mínimo está en 5— luego $g'(f)<0$ .
4. Y $g$ es convexa en todo su dominio: $g''>0$ .
5. Los dos sumandos son positivos: $\underbrace{g''}_{>0}\underbrace{\left(f'\right)^{2}}_{>0}$ y $\underbrace{g'}_{<0}\underbrace{f''}_{<0}$ . Luego $h''>0$ : $h$ es convexa en $(1,2)$ .
Lo que decide es el signo de $g'$ evaluado en la imagen de $f$ , no en $x$ . Localizar bien $f\left((1,2)\right)$ es la mitad del ejercicio.

Resolución completa

Datos. Un límite con dos sucesiones dadas y una composición leída en dos gráficas.

1 · Apartado (a): la herramienta

La caracterización secuencial del límite dice:

$\displaystyle\lim_{x\to c}f(x) = L$ si y solo si para toda sucesión $x_n \to c$ con $x_n \neq c$ se cumple $f(x_n)\to L$ .

El «para toda» es lo que la hace útil para negar: basta encontrar dos sucesiones con límites distintos.

2 · Las dos sucesiones

Con $a_n = \frac{1}{2n}$ :

a_n \to 0, \qquad a_n \neq 0 \ \checkmark

\frac{\pi}{a_n} = 2n\pi \;\Longrightarrow\; f(a_n) = \cos(2n\pi) = 1

La sucesión de imágenes es constantemente 1:

\lim_{n\to\infty}f(a_n) = 1

Con $b_n = -\frac{2}{2n+1}$ :

b_n \to 0, \qquad b_n \neq 0 \ \checkmark

\frac{\pi}{b_n} = -\frac{(2n+1)\pi}{2}

que es un múltiplo impar de $\frac{\pi}{2}$ , y ahí el coseno se anula:

f(b_n) = \cos\left(-\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) = 0

\lim_{n\to\infty}f(b_n) = 0

3 · La conclusión

1 \neq 0

\boxed{\text{No existe } \lim_{x\to0}\cos\frac{\pi}{x}}

Y no es que valga algo intermedio: el límite sencillamente no existe. De hecho, con sucesiones adecuadas se alcanza cualquier valor de $[-1,1]$ : la función oscila infinitas veces en todo entorno de 0, cada vez más rápido.

4 · Apartado (b): leer las dos gráficas

Medición. Los puntos marcados en la figura permiten identificar las dos funciones exactamente:

puntos leídos función
$f$ $(1,2)$ , $(3,6)$ , $(5,2)$ $f(x) = 6-(x-3)^{2}$
$g$ $(2,10)$ , $(3,5)$ , $(5,1)$ , $(6,2)$ $g(x) = (x-5)^{2}+1$

Las dos ajustan los cuatro puntos sin residuo, así que no hay ambigüedad en la lectura.

	puntos leídos	función
$f$	$(1,2)$ , $(3,6)$ , $(5,2)$	$f(x) = 6-(x-3)^{2}$
$g$	$(2,10)$ , $(3,5)$ , $(5,1)$ , $(6,2)$	$g(x) = (x-5)^{2}+1$

Aun así, el ejercicio se resuelve solo con los signos, sin fórmulas.

5 · Los cuatro signos

h'' = g''\left(f\right)\cdot\left(f'\right)^{2} +g'\left(f\right)\cdot f''

En el intervalo $(1,2)$ :

dato	lectura	signo
$f$ crece de 2 a 5	la parábola sube hasta su vértice en 3	$f'>0$
$f$ es cóncava	parábola hacia abajo	$f''<0$
$f\left((1,2)\right) = (2,5)$	y ahí $g$ baja hacia su mínimo	$g'(f)<0$
$g$ es convexa	parábola hacia arriba	$g''>0$

h'' = \underbrace{\underbrace{g''}_{+}\underbrace{\left(f'\right)^{2}}_{+}}_{+} +\underbrace{\underbrace{g'}_{-}\underbrace{f''}_{-}}_{+} \;>\;0

\boxed{h \text{ es CONVEXA en } (1,2)}

Lo que decide es dónde cae la imagen de $f$ . Si $f\left((1,2)\right)$ hubiera caído a la derecha de 5, allí $g$ crece, $g'>0$ , y el segundo sumando sería negativo: el resultado podría cambiar de signo.

6 · Comprobación con las fórmulas

h(x) = g\left(f(x)\right) = \left(f(x)-5\right)^{2}+1 = \left(1-(x-3)^{2}\right)^{2}+1

Con $u = x-3$ :

h = \left(1-u^{2}\right)^{2}+1 = u^{4}-2u^{2}+2

\frac{d^{2}h}{du^{2}} = 12u^{2}-4

En $(1,2)$ se tiene $u \in (-2,-1)$ , luego $u^{2} \in (1,4)$ y

12u^{2}-4 \in (8,\,44) > 0 \quad\checkmark

Convexa en todo el intervalo, como decía el razonamiento por signos.

En un punto concreto, $x=1{,}5$ , es decir $u = -1{,}5$ :

12\cdot2{,}25-4 = 27-4 = 23

Y por la fórmula de la cadena:

f(1{,}5) = 3{,}75, \quad f' = 3, \quad f'' = -2, \quad g'(3{,}75) = -2{,}5, \quad g'' = 2

h'' = 2\cdot3^{2}+(-2{,}5)(-2) = 18+5 = 23 \quad\checkmark

Los dos caminos dan el mismo número.

7 · Dónde deja de ser convexa

Fuera de $(1,2)$ la respuesta cambia, y merece la pena verlo: $12u^{2}-4 = 0$ da $u = \pm\frac{1}{\sqrt3}$ , es decir $x \approx 2{,}42$ y $x \approx 3{,}58$ . Entre esos dos valores $h$ es cóncava.

Y no es casualidad que el intervalo del enunciado sea $(1,2)$ : está elegido para quedar entero del lado convexo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 22 de enero de 2019 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · La misma pregunta cayó en las terceras evaluaciones de 2019-2020 y 2020-2021 · El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El teorema fundamental y Barrow, por tercer año

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar el Teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal y utilizarlo para demostrar la Regla de Barrow.

Enunciar y demostrar.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué error de bulto hay que evitar al empezar?
02
La constante desaparece
COMP2
Calcula $\int_0^{\pi}\mathrm{sen}\,x\,dx$ con la primitiva $G(x) = -\cos x-40$ .
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Enunciar el teorema fundamental: si $f$ es continua en $[a,b]$ , la función $F(x)=\int_a^{x}f$ es derivable y $F'=f$ .
2. Aplicarlo: $F$ es entonces una primitiva de $f$ .
3. Tomar $G$ una primitiva cualquiera. Entonces $(G-F)'=0$ en $[a,b]$ .
4. Concluir que $G-F$ es constante, por el teorema del valor medio y porque $[a,b]$ es un intervalo.
5. Restar en los extremos, con la constante cancelándose, y usar $F(a)=0$ : $\int_a^{b}f = G(b)-G(a)$ . $\blacksquare$
El teorema fundamental construye la primitiva. Que no se pueda escribir con funciones elementales no afecta a la demostración.
04
Redactar la demostración
COMP4
Cierra todo lo anterior y escríbela entera en papel: el enunciado del teorema fundamental, el de Barrow, y la demostración de arriba abajo. Diez puntos, y ni uno es de calcular.

Ordenar las piezas —lo que acabas de hacer— demuestra que reconoces el argumento. Escribirlo es otra cosa, y es lo único que el corrector va a leer.
Escríbela en papel antes de seguir. Aquí no hay hueco donde teclearla a propósito: lo que corrige el examen es tu folio, y compararlo es más útil que rellenar una casilla.
Lo que se puntúa
1. Los dos enunciados completos, y por separado: primero el teorema fundamental, después la regla de Barrow.
  La pregunta pide «enunciar el teorema fundamental y utilizarlo para demostrar Barrow». Son dos cosas y la primera se puntúa sola. Empezar por «sea $G$ una primitiva» se salta el enunciado que te están pidiendo.
2. La hipótesis de continuidad de $f$ , escrita en el enunciado y no dada por supuesta.
  Es la que hace derivable a $F(x)=\int_a^{x}f$ , y por tanto la que sostiene el paso (i). Sin ella no hay teorema fundamental y la demostración se queda sin su primer ladrillo.
3. Que $G$ es cualquier primitiva, dicho con esa palabra.
  Es lo que hace útil a Barrow: si valiera solo para la primitiva concreta que fabrica la integral, no serviría para calcular nada. Toda la demostración existe para justificar ese «cualquiera».
4. El paso que casi todo el mundo se salta: por qué $G-F$ es constante, citando el teorema del valor medio.
  «Derivada nula, luego constante» suena obvio y es un teorema, no una obviedad — y además es falso fuera de un intervalo. Este es el punto donde de verdad se decide la nota: quien lo escribe enseña que sabe de dónde viene, y quien lo da por hecho no.
5. Que el intervalo es un intervalo, y dónde se usa eso.
  En $(-1,0)\cup(0,1)$ una función con derivada nula puede valer 0 a la izquierda y 7 a la derecha. La hipótesis no es decorativa: es exactamente lo que impide ese contraejemplo.
6. La cancelación de la constante y el $F(a)=0$ , escritos.
  Son las dos líneas que cierran el argumento, y son las dos más baratas de escribir. Dejarlas en «y de aquí sale» regala los puntos más fáciles de toda la pregunta.
7. El cuadro final, y no un «luego queda demostrado».
  Una demostración termina volviendo a escribir lo que se quería probar. Es un renglón, y es la diferencia entre un argumento cerrado y uno que se queda a medias.
El orden que busca el corrector: enunciado del teorema fundamental → enunciado de Barrow → $F'=f$ → $(G-F)'=0$ → valor medio → $G=F+C$ → se cancela → $F(a)=0$ → cuadro. Si tu papel tiene esos ocho renglones, están los diez puntos.

El que más se cae es el quinto. Cuenta cuántas veces has escrito la palabra «Lagrange» o «valor medio»: si es cero, has dado por obvio un teorema.

Resolución completa

Lo que se pide. Enunciar y demostrar. Diez puntos, todos de COMP4.

Esta pregunta, con esta redacción exacta, cayó en la tercera evaluación de 2018-2019, 2019-2020 y 2020-2021: tres años seguidos. En el corpus completo de exámenes de esta asignatura no hay ninguna otra pregunta que se repita tanto.

1 · El teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal

Sea $f$ continua en $[a,b]$ y sea
$F(x) = \int_a^{x}f(t)\,dt, \qquad x \in [a,b]$
Entonces $F$ es derivable en $[a,b]$ y $F'(x) = f(x)$ para todo $x$ .

Lo que dice de verdad: integrar una función continua construye una primitiva suya. Y de ahí sale un corolario que conviene citar:

Toda función continua en un intervalo tiene primitiva.

Existe, aunque no siempre se pueda escribir con funciones elementales: $\mathrm{e}^{-x^{2}}$ es el ejemplo de manual. Existir y saber escribirla son cosas distintas.

2 · La regla de Barrow

Sea $f$ continua en $[a,b]$ y $G$ cualquier primitiva suya. Entonces
$\int_a^{b}f(x)\,dx = G(b)-G(a)$

El teorema fundamental fabrica primitivas; Barrow las usa para calcular.

3 · La demostración, en cinco pasos

(i) Por el teorema fundamental, $F(x) = \int_a^{x}f$ cumple $F'=f$ .

(ii) Si $G$ es otra primitiva, $(G-F)' = f-f = 0$ en todo $[a,b]$ .

(iii) Una función con derivada nula en un intervalo es constante. Se ve con el teorema del valor medio de Lagrange: si hubiera $x_1<x_2$ con valores distintos, existiría $\xi$ intermedio con

(G-F)'(\xi) = \frac{(G-F)(x_2)-(G-F)(x_1)}{x_2-x_1} \neq 0

contra (ii). Luego $G = F+C$ .

(iv) Restando en los extremos, la constante se cancela:

G(b)-G(a) = \left[F(b)+C\right]-\left[F(a)+C\right] = F(b)-F(a)

(v) Y $F(a) = \int_a^{a}f = 0$ , luego

\boxed{\int_a^{b}f(x)\,dx = G(b)-G(a)} \qquad \blacksquare

4 · Las hipótesis, una por una

hipótesis	dónde se usa	contraejemplo si falla
$f$ continua	(i)	$f$ con un salto: $F$ tiene un pico y no es derivable ahí
$[a,b]$ intervalo	(iii)	en $(-1,0)\cup(0,1)$ , derivada nula no implica constante
$G'=f$ en todo $[a,b]$	(ii)	$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ con $G=-\frac1x$ : da $-2$ , absurdo

El tercero es el que más se cuela en la práctica: $-\frac1x$ no es primitiva de $\frac{1}{x^{2}}$ en un intervalo que contenga al 0, porque ni siquiera está definida ahí. Aplicar Barrow igualmente da una integral negativa con integrando positivo.

5 · Comprobación de que la primitiva da igual

Con $f(x) = \mathrm{sen}\,x$ en $[0,\pi]$ :

primitiva	$G(\pi)$	$G(0)$	diferencia
$-\cos x$	$1$	$-1$	$2$
$-\cos x-40$	$-39$	$-41$	$2$ ✔
$2\,\mathrm{sen}^{2}\frac x2$	$2$	$0$	$2$ ✔

Las tres dan 2. La tercera ni siquiera se parece a las otras dos —es $1-\cos x$ , que difiere de $-\cos x$ en la constante 1—, y aun así funciona.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 22 de enero de 2019 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La serie del logaritmo de un cociente

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Desarrollar en serie de potencias la función $f(x) = \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ en el punto $a=0$ .

Desarrollar en serie de potencias.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la vía más corta?
02
El coeficiente de tercer grado
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de $x^{3}$ en el desarrollo?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con seis decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio de convergencia
COMP2
¿Cuál es el radio de convergencia de la serie?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el desarrollo. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Separar el logaritmo: $f(x) = \ln(1+x)-\ln(1-x)$ , válido donde los dos argumentos son positivos, es decir en $(-1,1)$ .
2. Escribir las dos series conocidas, ambas con radio 1: $\ln(1+x) = \sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}$ y $\ln(1-x) = -\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n}$ .
3. Restar término a término: los de $n$ par se anulan y los de $n$ impar se duplican.
4. El resultado: $f(x) = 2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1} = 2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots\right)$ .
5. Válido en $(-1,1)$ , y solo ahí: en $x=\pm1$ la función ni siquiera está definida.
Comprobar la paridad cuesta dos líneas y explica por qué faltan la mitad de los términos.

Resolución completa

Datos. $f(x) = \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ , desarrollo en $a=0$ .

1 · El dominio, primero

El argumento del logaritmo tiene que ser positivo:

\frac{1+x}{1-x} > 0 \;\Longleftrightarrow\; -1 < x < 1

Así que $f$ solo existe en $(-1,1)$ , y ahí es donde puede valer cualquier desarrollo.

2 · Separar el logaritmo

f(x) = \ln(1+x)-\ln(1-x)

—lícito porque en $(-1,1)$ los dos factores son positivos—.

Las dos series se conocen, y las dos tienen radio 1:

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n} = x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\ldots

\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n} = -x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-\ldots

3 · Restar

grado	en $\ln(1+x)$	en $\ln(1-x)$	diferencia
par	$-\frac{x^{n}}{n}$	$-\frac{x^{n}}{n}$	0
impar	$+\frac{x^{n}}{n}$	$-\frac{x^{n}}{n}$	$+\frac{2x^{n}}{n}$

\boxed{f(x) = 2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1} = 2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}+\ldots\right)}

\text{válido para } \left\lvert x\right\rvert<1

4 · Dos observaciones

Solo potencias impares, porque $f$ es impar:

f(-x) = \ln\frac{1-x}{1+x} = \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1} = -f(x)

Al cambiar el signo de $x$ , la fracción se invierte, y el logaritmo de un inverso cambia de signo. Es una propiedad de la fracción, no del logaritmo.

Todos los coeficientes son positivos, a diferencia de la serie de $\ln(1+x)$ , que alterna. Los signos negativos se han cancelado en la resta.

5 · El radio, por dos vías

Por herencia: las dos series de partida convergen exactamente en $(-1,1)$ , así que su resta también, y no más lejos.

Por el criterio del cociente:

\left\lvert\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\rvert = \left\lvert x\right\rvert^{2}\cdot\frac{2k+1}{2k+3} \xrightarrow[k\to\infty]{} \left\lvert x\right\rvert^{2}

\left\lvert x\right\rvert^{2}<1 \;\Longleftrightarrow\; \left\lvert x\right\rvert<1 \;\Longrightarrow\; R = 1

Los extremos: en $x=1$ la serie es $2\sum\frac{1}{2k+1}$ , que diverge —es del tipo armónico—; en $x=-1$ , lo mismo con signo. Y coincide con que $f$ no esté definida ahí.

6 · Comprobación

Derivando la serie término a término:

f'(x) = 2\sum_{k\ge0}x^{2k} = \frac{2}{1-x^{2}}

—suma de una geométrica de razón $x^{2}$ —. Y derivando la función:

f'(x) = \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x} = \frac{(1-x)+(1+x)}{1-x^{2}} = \frac{2}{1-x^{2}} \quad\checkmark

Las dos coinciden. Esto además sugiere la tercera vía: desarrollar $\frac{2}{1-x^{2}}$ como geométrica e integrarla.

Numérica. En $x = 0{,}5$ :

f(0{,}5) = \ln\frac{1{,}5}{0{,}5} = \ln3 = 1{,}098612

Sumando cuatro términos:

2\left(0{,}5+\frac{0{,}125}{3}+\frac{0{,}03125}{5} +\frac{0{,}0078125}{7}\right) = 2\cdot0{,}549256 = 1{,}098512

Cuatro cifras exactas ✔ Con seis términos salen seis cifras.

En un punto cercano al borde, $x = 0{,}9$ : la serie converge, pero muy despacio —el término $k$ va como $\frac{0{,}9^{2k+1}}{2k+1}$ — y hacen falta unos 40 términos para tres cifras. Coherente con estar cerca del radio ✔

7 · Para qué sirve este desarrollo

Es la forma clásica de calcular logaritmos a mano. Dado $u>0$ , resolviendo $\frac{1+x}{1-x} = u$ sale $x = \frac{u-1}{u+1}$ , que para $u$ moderado es pequeño y hace converger la serie muy deprisa.

Con $u=2$ : $x = \frac13$ , y

\ln2 \approx 2\left(\frac13+\frac{1}{3\cdot27}+\frac{1}{5\cdot243}\right) = 0{,}693004

frente a $\ln2 = 0{,}693147$ : tres cifras con tres términos, mientras que la serie de $\ln(1+x)$ en $x=1$ necesitaría miles.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 22 de enero de 2019 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Ordenar tres aproximaciones, y una integral de tangentes

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Sea $y(x)$ una función tal que $y(x)>0$ , $y'(x)>0$ $\forall x \in [a,b]$ . Ordenar de menor a mayor los valores $I_1$ , $I_2$ e $I_3$ definidos de la siguiente forma:

$I_1$ : Valor aproximado de $\displaystyle\int_a^{b}y(x)\,dx$ , obtenido utilizando en cada subintervalo el extremo izquierdo del mismo.

$I_2$ : Valor aproximado de $\displaystyle\int_a^{b}y(x)\,dx$ , obtenido utilizando en cada subintervalo el extremo derecho del mismo.

$I_3$ : Valor exacto de $\displaystyle\int_a^{b}y(x)\,dx$ .

Razonar la respuesta.

b) Calcular $\displaystyle\int\frac{\mathrm{sen}^{2}x} {\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x}\,dx$ .

Ordenar las tres cantidades y calcular la integral.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hipótesis decide el orden del apartado (a)?

Un caso concreto

COMP2

Con $y(x) = x$ en $[0,2]$ y dos subintervalos, ¿cuánto vale $I_1$ ?

Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

03
El coeficiente del arcotangente
COMP2
El resultado de (b) tiene la forma $\frac x5+C_0\ln\left\lvert\frac{\tan x-2}{\tan x+2}\right\rvert$ . ¿Cuánto vale $C_0$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la justificación del apartado (a). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Tomar una partición cualquiera $a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$ .
2. En cada subintervalo $[x_{k-1},x_k]$ , como $y$ es creciente, el mínimo se alcanza en el extremo izquierdo y el máximo en el derecho.
3. Luego $I_1$ es una suma inferior de Darboux e $I_2$ una suma superior.
4. Y toda suma inferior es $\le$ la integral, que es $\le$ toda suma superior, por definición de integral de Riemann.
5. Con desigualdad estricta, porque $y$ es estrictamente creciente y no constante en ningún subintervalo: $I_1 < I_3 < I_2$ .
Separar qué hipótesis hace qué es exactamente lo que puntúa en COMP4. Aquí sobra una de las dos, y decirlo es mejor que usarla de más.

suma	alturas	valor
$I_1$ (izquierdos)	$y(0)=0$ , $y(1)=1$	$0+1 = 1$
$I_2$ (derechos)	$y(1)=1$ , $y(2)=2$	$1+2 = 3$
$I_3$ (exacto)	—	$\int_0^{2}x\,dx = 2$

Resolución completa

Datos. Una función positiva y creciente, tres aproximaciones de su integral, y una integral trigonométrica.

1 · Apartado (a): el argumento

Sea $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$ una partición cualquiera, y $\Delta_k = x_k-x_{k-1}$ .

I_1 = \sum_{k=1}^{n}y(x_{k-1})\,\Delta_k, \qquad I_2 = \sum_{k=1}^{n}y(x_k)\,\Delta_k

Como $y' > 0$ , la función es estrictamente creciente. Por tanto, en cada subintervalo $[x_{k-1},x_k]$ :

y(x_{k-1}) = \min_{[x_{k-1},x_k]}y, \qquad y(x_k) = \max_{[x_{k-1},x_k]}y

Es decir, $I_1$ es una suma inferior de Darboux e $I_2$ una suma superior. Y por la definición misma de integral de Riemann:

\text{toda suma inferior} \le \int_a^{b}y \le \text{toda suma superior}

\boxed{I_1 < I_3 < I_2}

Las desigualdades son estrictas porque $y$ es estrictamente creciente: en cada subintervalo el mínimo y el máximo son distintos, así que los rectángulos no encajan con el área.

2 · Qué hipótesis hace qué

hipótesis	para qué sirve
$y' > 0$	ordena $I_1$ , $I_3$ , $I_2$
$y > 0$	solo garantiza que los tres sean positivos

La positividad no interviene en el orden. Con $y(x) = x-10$ en $[0,1]$ —creciente y negativa— el resultado sería idéntico. Decirlo es exactamente lo que puntúa: separar la hipótesis que se usa de la que acompaña.

Y si en vez de $y'>0$ fuera $y'<0$ , el orden se invertiría: $I_2 < I_3 < I_1$ .

3 · Comprobación de (a)

Con $y(x) = x$ en $[0,2]$ y dos subintervalos de anchura 1:

	alturas	valor
$I_1$	$y(0)=0$ , $y(1)=1$	$1$
$I_3$	—	$2$
$I_2$	$y(1)=1$ , $y(2)=2$	$3$

$1 < 2 < 3$ ✔ Y con cuatro subintervalos: $I_1 = 1{,}5$ , $I_2 = 2{,}5$ , siguen encajonando al 2 y más cerca ✔ que es lo esperable: al refinar, las dos sumas convergen a la integral.

4 · Apartado (b): la integral

El numerador y el denominador son homogéneos de grado 2 en seno y coseno. Dividiendo los dos por $\cos^{2}x$ :

\frac{\mathrm{sen}^{2}x}{\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x} = \frac{\tan^{2}x}{\tan^{2}x-4}

El integrando entero depende solo de $\tan x$ . Con

t = \tan x, \qquad dx = \frac{dt}{1+t^{2}}

I = \int\frac{t^{2}}{\left(t^{2}-4\right)\left(t^{2}+1\right)}\,dt

Ojo: aquí, a diferencia de otros integrandos homogéneos, el numerador no aporta un $\sec^{2}x$ , así que el $\frac{1}{1+t^{2}}$ del diferencial se queda y hay que integrarlo.

5 · Fracciones simples

Como solo aparecen potencias pares, conviene el cambio auxiliar $u = t^{2}$ :

\frac{u}{(u-4)(u+1)} = \frac{A}{u-4}+\frac{B}{u+1}

u = A(u+1)+B(u-4)

$u$	ecuación	resultado
$4$	$4 = 5A$	$A = \frac45$
$-1$	$-1 = -5B$	$B = \frac15$

I = \frac45\int\frac{dt}{t^{2}-4}+\frac15\int\frac{dt}{t^{2}+1}

6 · Las dos primitivas

\int\frac{dt}{t^{2}-4} = \frac{1}{2\cdot2}\ln\left\lvert\frac{t-2}{t+2}\right\rvert = \frac14\ln\left\lvert\frac{t-2}{t+2}\right\rvert

\int\frac{dt}{t^{2}+1} = \arctan t

Y con $t = \tan x$ , dentro de cada rama $\arctan(\tan x) = x$ :

\boxed{\int\frac{\mathrm{sen}^{2}x\,dx} {\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x} = \frac{x}{5} +\frac15\ln\left\lvert\frac{\tan x-2}{\tan x+2}\right\rvert+C}

7 · Un atajo que explica el $\frac x5$

Sumando y restando en el numerador:

\frac{\mathrm{sen}^{2}x}{\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x} = \frac{\left(\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x\right)+4\cos^{2}x} {\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x} = 1+\frac{4\cos^{2}x}{\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x}

El 1 integra directamente a $x$ , y el resto da el logaritmo. Es la misma descomposición que hicieron las fracciones simples, vista antes de cambiar de variable.

8 · Comprobación

Derivando el resultado. Con $u = \frac{t-2}{t+2}$ y $t = \tan x$ :

\frac{d}{dx}\left[\frac15\ln\left\lvert u\right\rvert\right] = \frac15\cdot\frac{4\sec^{2}x}{t^{2}-4} = \frac45\cdot\frac{1}{\cos^{2}x\left(\tan^{2}x-4\right)} = \frac{4/5}{\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x}

Sumando la derivada de $\frac x5$ :

\frac15+\frac{4/5}{\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x} = \frac{\left(\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x\right)+4} {5\left(\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x\right)}

Y en el numerador, con $4 = 4\mathrm{sen}^{2}x+4\cos^{2}x$ :

\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x+4\mathrm{sen}^{2}x+4\cos^{2}x = 5\,\mathrm{sen}^{2}x

= \frac{5\,\mathrm{sen}^{2}x}{5\left(\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x\right)} = \frac{\mathrm{sen}^{2}x}{\mathrm{sen}^{2}x-4\cos^{2}x} \quad\checkmark

Dónde vale. El denominador se anula cuando $\tan x = \pm2$ , es decir en $x = \pm\arctan2+k\pi \approx \pm1{,}107+k\pi$ . La primitiva vale en cada uno de los intervalos entre esos puntos, con su propia constante.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 6 · Tercera evaluación, 22 de enero de 2019 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una parábola encerrada entre sus dos tangentes

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el dominio limitado por la gráfica de la función $y = 2x-x^{2}$ y sus rectas tangentes en los puntos de corte con el eje OX.

a) Representar gráficamente el dominio $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Calcular el volumen del cuerpo generado al girar el dominio $D$ alrededor del eje OX.

Representar, calcular el área y el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué figura es $D$ ?
02
Dónde se cortan las tangentes
COMP2
¿Cuál es la ordenada del punto donde se cortan las dos tangentes?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuál es el área de $D$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del volumen. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El eje de giro es $OX$ y el recinto está por encima de él, así que cada corte vertical barre una corona.
2. Radio exterior: la tangente correspondiente. Radio interior: la parábola.
3. Aprovechar la simetría respecto de $x=1$ , que tienen tanto la parábola como el par de tangentes: basta con el tramo $[0,1]$ y se duplica.
4. La integral: $V = 2\pi\int_0^{1}\left[(2x)^{2} -\left(2x-x^{2}\right)^{2}\right]dx = 2\pi\int_0^{1}\left(4x^{3}-x^{4}\right)dx$ .
5. $V = 2\pi\left[1-\frac15\right] = \frac{8\pi}{5} \approx 5{,}03$ .
La corona degenera en un punto en los dos extremos, y eso no es una singularidad: es la forma del sólido.

punto	pendiente	tangente
$(0,0)$	$y'(0)=2$	$y = 2x$
$(2,0)$	$y'(2)=-2$	$y = -2x+4$

Resolución completa

Datos. La parábola $y = 2x-x^{2}$ y sus tangentes en los cortes con el eje $OX$ .

1 · Apartado (a): construir el dominio

Los cortes con $OX$ :

2x-x^{2} = x(2-x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \ \text{y}\ x = 2

Las tangentes, con $y' = 2-2x$ :

punto	pendiente	recta
$(0,0)$	$2$	$y = 2x$
$(2,0)$	$-2$	$y = -2x+4$

Se cortan donde $2x = -2x+4$ , es decir en

(1,\,2)

justo encima del vértice de la parábola, que está en $(1,1)$ : al doble de altura.

Figura nuestra: el enunciado pide representarla. En negro la parabola, en rojo sus dos tangentes, y sombreado el dominio D. El vertice V de la parabola esta en (1,1), a media altura del punto donde se cortan las tangentes.

\boxed{D \text{ es la región entre las dos tangentes y POR ENCIMA de la parábola}}

Un «triángulo» de vértices $(0,0)$ , $(1,2)$ y $(2,0)$ con el lado inferior abombado hacia arriba.

2 · La simetría, que ahorra la mitad del trabajo

La parábola es $2x-x^{2} = 1-(x-1)^{2}$ : simétrica respecto de $x=1$ . Y el par de tangentes también, porque la reflexión $x \mapsto 2-x$ lleva $y=2x$ a $y = 2(2-x) = 4-2x$ .

Así que todo el recinto es simétrico respecto de $x=1$ , y basta calcular en $[0,1]$ y duplicar.

3 · Apartado (b): el área

En $[0,1]$ el borde superior es la tangente $y=2x$ y el inferior la parábola:

A = 2\int_0^{1}\left[2x-\left(2x-x^{2}\right)\right]dx = 2\int_0^{1}x^{2}\,dx

El integrando es exactamente $x^{2}$ . No es casualidad: la diferencia entre una parábola y su tangente en $x_0$ es siempre $\pm(x-x_0)^{2}$ multiplicado por el coeficiente principal.

A = 2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_0^{1}

\boxed{A = \frac23 \approx 0{,}6667}

4 · Apartado (c): el volumen

El eje de giro es $OX$ y el recinto está por encima de él. Cada corte vertical barre una corona:

radio	en $[0,1]$
exterior	$2x$ (la tangente)
interior	$2x-x^{2}$ (la parábola)

V = 2\pi\int_0^{1}\left[(2x)^{2}-\left(2x-x^{2}\right)^{2}\right]dx

Desarrollando el corchete:

4x^{2}-\left(4x^{2}-4x^{3}+x^{4}\right) = 4x^{3}-x^{4}

V = 2\pi\int_0^{1}\left(4x^{3}-x^{4}\right)dx = 2\pi\left[x^{4}-\frac{x^{5}}{5}\right]_0^{1} = 2\pi\left(1-\frac15\right)

\boxed{V = \frac{8\pi}{5} \approx 5{,}0265}

5 · Comprobación

Del área, por diferencia de figuras. El triángulo de vértices $(0,0)$ , $(1,2)$ , $(2,0)$ tiene base 2 y altura 2:

A_{\triangle} = \frac{2\cdot2}{2} = 2

Y el área bajo la parábola es la clásica:

\int_0^{2}\left(2x-x^{2}\right)dx = 4-\frac83 = \frac43

A = 2-\frac43 = \frac23 \quad\checkmark

Coincide, y por una vía completamente distinta. Además la proporción $\frac{2/3}{2} = \frac13$ es la firma de estos recintos.

Del volumen, por diferencia de sólidos. El triángulo genera al girar dos conos de radio 2 y altura 1:

2\cdot\frac13\pi\cdot2^{2}\cdot1 = \frac{8\pi}{3} \approx 8{,}378

Y la parábola genera

\pi\int_0^{2}\left(2x-x^{2}\right)^{2}dx = \pi\int_0^{2}\left(4x^{2}-4x^{3}+x^{4}\right)dx = \pi\left[\frac{32}{3}-16+\frac{32}{5}\right] = \frac{16\pi}{15}

V = \frac{8\pi}{3}-\frac{16\pi}{15} = \frac{40\pi-16\pi}{15} = \frac{24\pi}{15} = \frac{8\pi}{5} \quad\checkmark

Idéntico.

De acotación. El sólido cabe dentro del cilindro de radio 2 y longitud 2 — $8\pi \approx 25{,}1$ — y contiene… nada obvio, pero $5{,}03$ es el 20 % del cilindro, coherente con un sólido que acaba en punta por los dos lados ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2018-2019

Reconocer el camino

El módulo de las soluciones

Cuántas soluciones hay

Justificar el argumento

1 · Despejar

2 · El módulo, primero

3 · Quitar el conjugado

4 · Las tres raíces

5 · La representación

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El valor a lo largo de la primera sucesión

El signo de la segunda derivada de la composición

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): la herramienta

2 · Las dos sucesiones

3 · La conclusión

4 · Apartado (b): leer las dos gráficas

5 · Los cuatro signos

6 · Comprobación con las fórmulas

7 · Dónde deja de ser convexa

Reconocer el camino

La constante desaparece

Justificar el argumento

Redactar la demostración

1 · El teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal

2 · La regla de Barrow

3 · La demostración, en cinco pasos

4 · Las hipótesis, una por una

5 · Comprobación de que la primitiva da igual

Reconocer el camino

El coeficiente de tercer grado

El radio de convergencia

Justificar el argumento

1 · El dominio, primero

2 · Separar el logaritmo

3 · Restar

4 · Dos observaciones

5 · El radio, por dos vías

6 · Comprobación

7 · Para qué sirve este desarrollo

Reconocer el camino

Un caso concreto

El coeficiente del arcotangente

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): el argumento

2 · Qué hipótesis hace qué

3 · Comprobación de (a)

4 · Apartado (b): la integral

5 · Fracciones simples

6 · Las dos primitivas

7 · Un atajo que explica el x5\frac x55x​

8 · Comprobación

Reconocer el camino

Dónde se cortan las tangentes

El área

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): construir el dominio

2 · La simetría, que ahorra la mitad del trabajo

3 · Apartado (b): el área

4 · Apartado (c): el volumen

5 · Comprobación

7 · Un atajo que explica el $\frac x5$