tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2025-2026

19 de enero de 2026 · 6 ejercicios · 60 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un disco partido justo por su centroNúmeros complejos0 + 7 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones
$\left|z^{2}\right| < 2\left(\mathrm{Re}(z)-\mathrm{Im}(z)\right) \qquad \wedge \qquad \frac{z+\overline{z}}{2} \ge \mathrm{Im}(z)+2$
Calcular la región y representarla.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Series hipergeométricas, y unos cilindros que no convergenSucesiones y series numéricas2 + 6 + 2 = 10 pts
Una serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ de términos positivos se llama hipergeométrica si existen números reales $\alpha,\beta,\gamma$ tales que $\alpha$ y $\gamma$ no son nulos a la vez, y que verifican la condición
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\alpha n+\beta}{\alpha n+\gamma}$
Si $\alpha+\beta \ge \gamma$ la serie es divergente; si $\alpha+\beta < \gamma$ la serie es convergente y su suma es igual al límite de la sucesión
$\left\{\frac{a_n\left(\alpha n+\beta\right)-a_1\gamma} {\alpha+\beta-\gamma}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$
Empleando este resultado:

a) Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}$ es hipergeométrica y convergente, y calcular su suma.

b) Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ es hipergeométrica y divergente.

c) Para cada $n \in \mathbb{N}$ , formamos cilindros circulares con radio de la base igual a $1/n$ y altura igual a $n$ . Si vamos sumando los volúmenes de estos cilindros, ¿obtenemos una serie convergente? ¿Cuál será su suma?
Resolver los tres apartados con el criterio dado.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Desde dónde debe salir el satéliteFunciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Se ha lanzado un satélite espacial siguiendo la órbita descrita por la parábola $\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}+\dfrac{y}{9} = 1$ . En un momento dado, se desea que el satélite abandone su órbita y se dirija hacia una estación espacial situada en el punto $P = (3,1)$ . Para ello, el satélite debe salir en la dirección de la recta tangente a la órbita en el punto de salida. Determinar el o los puntos de la órbita desde los cuales el satélite debe salir para que la recta tangente pase por la estación espacial.
Determinar los puntos de salida.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Deshacer un logaritmo para llegar a la función de dentroEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $P_2(x) = 2-(x-1)-5(x-1)^{2}$ el polinomio de Taylor de la función $f(x) = \ln\left(g^{2}(x)\right)$ en el punto $x=1$ . Estudiar el crecimiento y la concavidad de $g(x)$ en $x=1$ sabiendo que $g(1)>0$ .
Estudiar el crecimiento y la concavidad de $g$ en $x=1$ .
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El área entre una parábola tumbada y su tangenteIntegración0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $D$ el recinto limitado por la curva $(y-2)^{2} = x-1$ , la recta tangente a la curva en el punto $P = (2,3)$ y el eje OX.

a) Dibujar el recinto $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

Figura nuestra: el enunciado pide dibujarla. En negro la parabola, con su vertice V en el punto uno coma dos; en rojo la tangente en P; sombreado, el recinto D.

Dibujar el recinto y calcular su área.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El valor medio parte el área en dos mitades igualesIntegración1 + 7 + 2 = 10 pts
La figura muestra la gráfica de una función $f(x)$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ . También se muestra la recta $y=M$ , donde $M$ es el valor medio de $f(x)$ en $[a,b]$ , y dos regiones sombreadas $R_1$ y $R_2$ .

Figura redibujada del enunciado original. La recta de trazos es el valor medio M, y c es donde la curva la corta: no donde corta al eje, que ocurre antes. R1 y R2 son las regiones entre la curva y esa recta.

a) Demostrar que las áreas de $R_1$ y $R_2$ son iguales.

b) Sean $M_{ac}$ , $M_{cb}$ los valores medios de $f(x)$ en los intervalos $[a,c]$ y $[c,b]$ respectivamente. Obtener la relación que existe entre los tres valores $M$ , $M_{ac}$ y $M_{cb}$ .

c) Considerar la función definida por $F(x) = \displaystyle\int_a^{x} f(u)\,du$ , $a \le x \le b$ . Estudiar:

c.1) El crecimiento y los extremos de $F(x)$ .

c.2) La concavidad y los puntos de inflexión de $F(x)$ .
Resolver los tres apartados.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 19 de enero de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un disco partido justo por su centro

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las condiciones

\left|z^{2}\right| < 2\left(\mathrm{Re}(z)-\mathrm{Im}(z)\right) \qquad \wedge \qquad \frac{z+\overline{z}}{2} \ge \mathrm{Im}(z)+2

Calcular la región y representarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué conviene hacer con $\left|z^{2}\right|$ antes de operar?
02
El radio de la circunferencia
COMP2
La primera condición define un disco. ¿Cuál es su radio?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área de la región
COMP2
¿Cuál es el área de la región resultante? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe las dos condiciones en $x$ e $y$ . La figura comprobará si el trozo de disco que queda coincide con el del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa & para juntar las dos condiciones
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Traducir la primera condición. $\left|z^{2}\right| = \left|z\right|^{2} = x^{2}+y^{2}$ , y $\mathrm{Re}(z)-\mathrm{Im}(z) = x-y$ .
2. Completando cuadrados: $(x-1)^{2}+(y+1)^{2} < 2$ . Disco abierto de centro $(1,-1)$ y radio $\sqrt2$ .
3. Traducir la segunda. $\frac{z+\overline{z}}{2} = \mathrm{Re}(z) = x$ , luego $x \ge y+2$ , es decir $y \le x-2$ : semiplano cerrado.
4. Ver dónde cae el centro. En $(1,-1)$ la recta se cumple con igualdad: pasa justo por el centro del disco.
5. Luego la región es medio disco, el de abajo a la derecha, con el diámetro incluido y el arco excluido. Área $=\pi$ .
Los dos signos del enunciado son distintos a propósito: uno estricto y otro no. La frontera resultante es mixta, y describirla bien es parte del ejercicio.

Resolución completa

Datos. Dos condiciones sobre $z$ : una con el módulo al cuadrado y otra con la parte real.

1 · La primera condición

El módulo es multiplicativo, así que conviene simplificar antes de pasar a binómica:

\left|z^{2}\right| = \left|z\right|^{2} = x^{2}+y^{2}

Desarrollar $z^{2} = x^{2}-y^{2}+2xyi$ y tomar módulo después llevaría a

\sqrt{\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+4x^{2}y^{2}} = \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} = x^{2}+y^{2}

lo mismo, dando un rodeo.

Con $\mathrm{Re}(z)-\mathrm{Im}(z) = x-y$ :

x^{2}+y^{2} < 2(x-y) \;\Longrightarrow\; x^{2}-2x+y^{2}+2y < 0

Completando cuadrados en las dos variables:

(x-1)^{2}+(y+1)^{2} < 2

\boxed{\text{Disco ABIERTO de centro } (1,-1) \text{ y radio } \sqrt2}

2 · La segunda condición

\frac{z+\overline{z}}{2} = \frac{(x+yi)+(x-yi)}{2} = x = \mathrm{Re}(z)

—una identidad que conviene reconocer de memoria—. La condición queda

x \ge y+2 \;\Longrightarrow\; y \le x-2

\boxed{\text{Semiplano CERRADO bajo la recta } y = x-2}

3 · Cómo encajan

La pregunta clave: ¿por dónde pasa la recta respecto del disco?

Sustituyendo el centro $(1,-1)$ en la recta:

-1 \overset{?}{=} 1-2 = -1 \quad\checkmark

La recta pasa exactamente por el centro. Así que corta al disco en dos mitades iguales, y la región es una de ellas.

Los extremos del diámetro son el centro $\pm\sqrt2$ en la dirección $\frac{(1,1)}{\sqrt2}$ :

(1,-1)\pm(1,1) \;\Longrightarrow\; (2,0) \ \text{ y } \ (0,-2)

\boxed{\text{La región es el SEMIDISCO inferior derecho}}

4 · El borde, que no es homogéneo

parte de la frontera	¿está incluida?	por qué
el arco de circunferencia	no	el disco es abierto ( $<$ )
el diámetro sobre la recta	sí	el semiplano es cerrado ( $\ge$ )

La región no es abierta ni cerrada. Los dos signos del enunciado son distintos a propósito, y describirlo bien es lo que puntúa.

5 · El área

A = \frac{\pi r^{2}}{2} = \frac{\pi\left(\sqrt2\right)^{2}}{2} = \frac{2\pi}{2}

\boxed{A = \pi \approx 3{,}1416}

6 · Comprobación

Con un punto interior. El centro $(1,-1)$ , es decir $z = 1-i$ :

\left|z^{2}\right| = \left|z\right|^{2} = 1+1 = 2

2\left(\mathrm{Re}-\mathrm{Im}\right) = 2\left(1-(-1)\right) = 4

$2 < 4$ ✔ Y la segunda: $1 \ge -1+2 = 1$ ✔ con igualdad, porque está sobre la recta.

Con un punto que debe quedar fuera. $z = 1+i$ , simétrico respecto de la recta:

\left|z\right|^{2} = 2, \qquad 2(1-1) = 0

$2 < 0$ es falso ✔ fuera del disco, y además del semiplano.

Con un punto del semidisco. $z = 1{,}5-1{,}5i$ :

\left|z\right|^{2} = 4{,}5, \qquad 2(1{,}5+1{,}5) = 6

$4{,}5 < 6$ ✔ Y $1{,}5 \ge -1{,}5+2 = 0{,}5$ ✔ Dentro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 19 de enero de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Series hipergeométricas, y unos cilindros que no convergen

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ de términos positivos se llama hipergeométrica si existen números reales $\alpha,\beta,\gamma$ tales que $\alpha$ y $\gamma$ no son nulos a la vez, y que verifican la condición

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\alpha n+\beta}{\alpha n+\gamma}

Si $\alpha+\beta \ge \gamma$ la serie es divergente; si $\alpha+\beta < \gamma$ la serie es convergente y su suma es igual al límite de la sucesión

\left\{\frac{a_n\left(\alpha n+\beta\right)-a_1\gamma} {\alpha+\beta-\gamma}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

Empleando este resultado:

a) Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}$ es hipergeométrica y convergente, y calcular su suma.

b) Demostrar que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ es hipergeométrica y divergente.

c) Para cada $n \in \mathbb{N}$ , formamos cilindros circulares con radio de la base igual a $1/n$ y altura igual a $n$ . Si vamos sumando los volúmenes de estos cilindros, ¿obtenemos una serie convergente? ¿Cuál será su suma?

Resolver los tres apartados con el criterio dado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que hacer para identificar $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ ?
02
El parámetro gamma del apartado (a)
COMP2
Para la serie de (a), ¿cuánto vale $\gamma$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma de la serie
COMP2
¿Cuánto vale la suma de la serie del apartado (a)?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los apartados (b) y (c). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (b) Con $a_n = \frac1n$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n}{n+1} = \frac{1\cdot n+0}{1\cdot n+1}$ , luego $\alpha=1$ , $\beta=0$ , $\gamma=1$ .
2. Es hipergeométrica — $\alpha$ y $\gamma$ no son nulos a la vez— y como $\alpha+\beta = 1 \ge 1 = \gamma$ , diverge.
3. (c) El volumen del cilindro $n$ -ésimo es $V_n = \pi r^{2}h = \pi\left(\frac1n\right)^{2}n = \frac{\pi}{n}$ .
4. Luego $\sum V_n = \pi\sum\frac1n$ : la misma serie del apartado (b), multiplicada por una constante.
5. Y multiplicar por una constante no nula no cambia el carácter: la serie diverge y no tiene suma finita.
Los tres apartados están encadenados: (b) prepara (c), y (c) es la serie armónica disfrazada de geometría.

Resolución completa

Datos. El criterio de las series hipergeométricas, y tres series a las que aplicarlo.

1 · Cómo se usa el criterio

Hay que calcular $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ , simplificarlo, y comprobar que queda de la forma

\frac{\alpha n+\beta}{\alpha n+\gamma}

con el mismo $\alpha$ arriba y abajo. Ese detalle es lo que define «hipergeométrica»: los dos polinomios tienen que ser de grado 1 y con idéntico coeficiente principal.

Luego el carácter lo decide comparar $\alpha+\beta$ con $\gamma$ .

2 · Apartado (a)

a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}

Sustituyendo $n$ por $n+1$ , cada factor se desplaza:

a_{n+1} = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n-1)\cancel{(2n+1)(2n+3)}} {\cancel{(2n+1)(2n+3)}(2n+5)} = \frac{2n-1}{2n+5}

\alpha = 2, \qquad \beta = -1, \qquad \gamma = 5

El carácter:

\alpha+\beta = 1 < 5 = \gamma \;\Longrightarrow\; \text{CONVERGE}

La suma, con la fórmula del enunciado:

a_n(2n-1) = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0

a_1 = \frac{1}{1\cdot3\cdot5} = \frac{1}{15}, \qquad \alpha+\beta-\gamma = -4

S = \frac{0-\frac{5}{15}}{-4} = \frac{-\frac13}{-4}

\boxed{S = \frac{1}{12}}

3 · Apartado (b)

a_n = \frac1n \;\Longrightarrow\; \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(n+1)}{1/n} = \frac{n}{n+1}

Escrito en la forma pedida:

\frac{n}{n+1} = \frac{1\cdot n+0}{1\cdot n+1} \;\Longrightarrow\; \alpha=1,\ \beta=0,\ \gamma=1

$\alpha$ y $\gamma$ no son nulos a la vez, así que es hipergeométrica. Y

\alpha+\beta = 1 \ge 1 = \gamma \;\Longrightarrow\; \boxed{\text{DIVERGE}}

Es la serie armónica, y el criterio la clasifica en el caso frontera —con igualdad—, que es exactamente donde otros criterios fallan.

4 · Apartado (c)

El cilindro $n$ -ésimo tiene radio $\frac1n$ y altura $n$ :

V_n = \pi r^{2}h = \pi\left(\frac1n\right)^{2}\cdot n = \frac{\pi}{n}

\sum_{n=1}^{\infty}V_n = \pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n

Es la serie del apartado (b) multiplicada por $\pi$ . Y multiplicar por una constante no nula no cambia el carácter:

\boxed{\text{La serie DIVERGE: no hay suma finita}}

5 · Lo que enseña el apartado (c)

Los cilindros son cada vez más finos:

$n$	radio	volumen
1	$1$	$\pi$
10	$0{,}1$	$0{,}314$
100	$0{,}01$	$0{,}0314$

El volumen tiende a cero, y aun así la suma se va a infinito. Es la trampa clásica: que el término general tienda a 0 es condición necesaria para converger, no suficiente.

Y la razón es que $\frac{\pi}{n}$ decrece demasiado despacio. Si los cilindros tuvieran altura $n$ pero radio $\frac{1}{n}$ elevado a algo más, digamos $V_n = \frac{\pi}{n^{2}}$ , la suma sí sería finita — $\frac{\pi^{3}}{6}$ —.

6 · Comprobación del apartado (a) por otra vía

La suma se puede obtener telescópicamente, sin el criterio, y eso valida el resultado. Descomponiendo en fracciones simples:

\frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{1/8}{2n-1}-\frac{1/4}{2n+1}+\frac{1/8}{2n+3}

Al sumar desde $n=1$ , cada denominador impar aparece hasta tres veces con coeficientes $\frac18$ , $-\frac14$ y $\frac18$ , que suman cero. Solo sobreviven los términos del principio:

S = \frac18\cdot\frac11+\left(\frac18-\frac14\right)\frac13 = \frac18-\frac{1}{24} = \frac{3-1}{24} = \frac{1}{12} \quad\checkmark

Numéricamente, sumando los cinco primeros términos:

\frac{1}{15}+\frac{1}{105}+\frac{1}{315}+\frac{1}{693}+\frac{1}{1287} = 0{,}0816

que ya se acerca a $\frac{1}{12} = 0{,}0833$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 19 de enero de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Desde dónde debe salir el satélite

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se ha lanzado un satélite espacial siguiendo la órbita descrita por la parábola $\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}+\dfrac{y}{9} = 1$ . En un momento dado, se desea que el satélite abandone su órbita y se dirija hacia una estación espacial situada en el punto $P = (3,1)$ . Para ello, el satélite debe salir en la dirección de la recta tangente a la órbita en el punto de salida. Determinar el o los puntos de la órbita desde los cuales el satélite debe salir para que la recta tangente pase por la estación espacial.

Determinar los puntos de salida.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se busca exactamente?
02
La órbita, despejada
COMP2
¿Cuánto vale $y$ cuando $x=0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Los puntos de salida
COMP2
Hay dos puntos válidos. ¿Cuál es la abscisa del que está más a la derecha?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Despejar la órbita. $\left(\frac x3\right)^{2}+\frac y9 = 1$ es $y = 9-x^{2}$ : una parábola, no una elipse, porque la $y$ no está al cuadrado.
2. Comprobar que $P$ no está en ella: $9-3^{2} = 0 \neq 1$ . La estación está fuera de la órbita.
3. La tangente genérica en $\left(a,9-a^{2}\right)$ , con $y'=-2x$ : $y = 9+a^{2}-2ax$ .
4. Imponer que pase por $P$ : $1 = 9+a^{2}-6a$ , es decir $a^{2}-6a+8=0$ , con raíces $a=2$ y $a=4$ .
5. Los puntos de salida son $(2,5)$ y $(4,-7)$ , y sus tangentes son $y=13-4x$ e $y=25-8x$ .
El número de soluciones depende de dónde esté el punto exterior, y el discriminante lo detecta. Aquí vale $4>0$ : dos tangentes.

Resolución completa

Datos. Órbita $\left(\frac x3\right)^{2}+\frac y9 = 1$ y estación en $P=(3,1)$ .

1 · Qué curva es, en realidad

La notación con dos denominadores invita a leer una elipse, pero la $y$ no está elevada al cuadrado:

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y}{9} = 1 \;\Longrightarrow\; x^{2}+y = 9 \;\Longrightarrow\; \boxed{y = 9-x^{2}}

Es una parábola invertida, con vértice en $(0,9)$ y cortes con el eje horizontal en $x=\pm3$ . El propio enunciado lo dice, y conviene fijarse.

2 · Dónde está la estación

P = (3,1): \qquad 9-3^{2} = 0 \neq 1

$P$ no está sobre la órbita. Está por encima del punto $(3,0)$ de la parábola, es decir en la zona exterior —la de encima de la curva, que para una parábola invertida es el «fuera»—.

Comprobarlo importa: desde un punto exterior salen dos tangentes, desde uno de la curva una, y desde uno interior ninguna.

3 · La tangente genérica

y' = -2x \;\Longrightarrow\; y'(a) = -2a

Tangente en el punto $\left(a,\,9-a^{2}\right)$ :

y-\left(9-a^{2}\right) = -2a\,(x-a)

y = 9-a^{2}-2ax+2a^{2} = 9+a^{2}-2ax

4 · Imponer la condición

La tangente debe pasar por $(3,1)$ :

1 = 9+a^{2}-2a\cdot3 \;\Longrightarrow\; a^{2}-6a+8 = 0

a = \frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2} = \frac{6\pm2}{2}

\boxed{a = 2 \quad\text{y}\quad a = 4}

Los puntos de salida:

Q_1 = \left(2,\ 9-4\right) = (2,\,5)

Q_2 = \left(4,\ 9-16\right) = (4,\,-7)

5 · Las dos trayectorias

punto de salida	pendiente	recta
$(2,5)$	$-4$	$y = 13-4x$
$(4,-7)$	$-8$	$y = 25-8x$

La primera es una salida suave, todavía en la parte alta de la órbita; la segunda es mucho más inclinada y ocurre cuando el satélite ya ha caído por debajo del eje.

6 · Comprobación

Que las dos tangentes pasan por $P$ :

y(3) = 13-12 = 1 \quad\checkmark \qquad y(3) = 25-24 = 1 \quad\checkmark

Que los puntos están en la órbita:

9-2^{2} = 5 \quad\checkmark \qquad 9-4^{2} = -7 \quad\checkmark

Que son tangentes y no secantes. Igualando la recta $y=13-4x$ a la parábola:

9-x^{2} = 13-4x \;\Longrightarrow\; x^{2}-4x+4 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^{2} = 0

Raíz doble en $x=2$ : se tocan en un solo punto ✔ Y con la otra: $x^{2}-8x+16 = (x-4)^{2} = 0$ ✔

Que el discriminante de la ecuación de corte sea cero es la definición de tangencia, y es la comprobación más fuerte del ejercicio.

Del número de soluciones. El discriminante de $a^{2}-6a+8$ vale $4>0$ : dos tangentes, coherente con que $P$ sea exterior. Con un punto interior —por ejemplo $P=(0,8)$ , que está por debajo de la parábola en $x=0$ — saldría $a^{2}+1=0$ , sin solución real ✔ Ojo con elegir el punto: $(0,10)$ está encima de $y=9-x^{2}$ , o sea fuera, y desde ahí salen dos tangentes, $a=\pm1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 19 de enero de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Deshacer un logaritmo para llegar a la función de dentro

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $P_2(x) = 2-(x-1)-5(x-1)^{2}$ el polinomio de Taylor de la función $f(x) = \ln\left(g^{2}(x)\right)$ en el punto $x=1$ . Estudiar el crecimiento y la concavidad de $g(x)$ en $x=1$ sabiendo que $g(1)>0$ .

Estudiar el crecimiento y la concavidad de $g$ en $x=1$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Para qué sirve el dato $g(1)>0$ ?
02
El valor de g en 1
COMP2
¿Cuánto vale $g(1)$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La derivada de g
COMP2
¿Cuánto vale $g'(1)$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de la concavidad. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Leer la segunda derivada de $f$ : el coeficiente de $(x-1)^{2}$ es $\frac{f''(1)}{2!} = -5$ , luego $f''(1) = -10$ .
2. Derivar dos veces $f = 2\ln g$ : $f'' = 2\,\dfrac{g''g-\left(g'\right)^{2}}{g^{2}}$ .
3. Sustituir $g(1)=e$ , $g'(1)=-\frac e2$ y $f''(1)=-10$ : $-10 = 2\,\dfrac{g''e-\frac{e^{2}}{4}}{e^{2}}$ .
4. Despejando: $g''(1)\,e = -5e^{2}+\frac{e^{2}}{4} = -\frac{19e^{2}}{4}$ , luego $g''(1) = -\frac{19e}{4} \approx -12{,}91$ .
5. $g''(1)<0$ , así que $g$ es cóncava en $x=1$ .
El término $-\left(g'\right)^{2}$ es siempre negativo, así que el logaritmo empuja hacia la concavidad: hace más fácil que $f$ sea cóncava que $g$ .

Resolución completa

Datos. $P_2(x) = 2-(x-1)-5(x-1)^{2}$ es el Taylor de $f = \ln\left(g^{2}\right)$ en $x=1$ , y $g(1)>0$ .

1 · Los tres datos que trae el polinomio

P_2(x) = f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^{2}

Comparando:

coeficiente	vale	derivada
independiente	$2$	$f(1) = 2$
de $(x-1)$	$-1$	$f'(1) = -1$
de $(x-1)^{2}$	$-5$	$f''(1) = -5\cdot2! = -10$

El factorial del término cuadrático es lo que más se olvida: la derivada es $-10$ , no $-5$ .

2 · Simplificar antes de derivar

f = \ln\left(g^{2}\right) = 2\ln\left|g\right| = 2\ln g

—el valor absoluto sobra porque $g(1)>0$ , y por continuidad $g>0$ en un entorno—.

Escribirlo así antes de derivar ahorra arrastrar factores.

3 · El valor de $g$

2\ln g(1) = 2 \;\Longrightarrow\; \ln g(1) = 1 \;\Longrightarrow\; g(1) = e

Sin el dato $g(1)>0$ habría salido $g(1) = \pm e$ y el ejercicio quedaría ambiguo.

4 · El crecimiento

f' = \frac{2g'}{g} \;\Longrightarrow\; g' = \frac{f'\,g}{2}

g'(1) = \frac{(-1)\cdot e}{2} = -\frac{e}{2} \approx -1{,}359

\boxed{g'(1) < 0: \ g \text{ es DECRECIENTE en } x=1}

Nótese que para esto no hacía falta el valor: como $\frac g2>0$ , el signo de $g'$ es el de $f'$ , y $f'(1)=-1$ ya lo daba.

5 · La concavidad

Derivando otra vez, con la regla del cociente:

f'' = 2\cdot\frac{g''\,g-\left(g'\right)^{2}}{g^{2}}

Sustituyendo $f''(1) = -10$ , $g(1)=e$ , $g'(1)=-\frac e2$ :

-10 = 2\cdot\frac{g''(1)\,e-\frac{e^{2}}{4}}{e^{2}}

-5e^{2} = g''(1)\,e-\frac{e^{2}}{4}

g''(1)\,e = -5e^{2}+\frac{e^{2}}{4} = -\frac{19e^{2}}{4}

\boxed{g''(1) = -\frac{19e}{4} \approx -12{,}91 < 0: \ g \text{ es CÓNCAVA en } x=1}

6 · Por qué la concavidad no se hereda

Es lo interesante del ejercicio. En la fórmula

f'' = \frac{2\left[g''g-\left(g'\right)^{2}\right]}{g^{2}}

el término $-\left(g'\right)^{2}$ es siempre negativo. Eso significa que el logaritmo empuja hacia la concavidad: es más fácil que $f$ sea cóncava que $g$ .

En particular, $f$ puede ser cóncava con $g$ convexa, si

0 < g''g < \left(g'\right)^{2}

Aquí no ocurre —los dos salen cóncavos— pero es por los números, no por una regla. Suponer que la concavidad se transmite es el error que persigue el enunciado.

7 · Comprobación

Con una $g$ concreta. Tomando la que tiene esos tres valores en $x=1$ :

g(x) = e-\frac{e}{2}(x-1)-\frac{19e}{8}(x-1)^{2}

—su Taylor de orden 2, con $g''(1) = -\frac{19e}{4}$ —. Entonces

f(x) = 2\ln g(x)

f(1) = 2\ln e = 2 \quad\checkmark

f'(1) = \frac{2g'(1)}{g(1)} = \frac{2\left(-\frac e2\right)}{e} = -1 \quad\checkmark

f''(1) = \frac{2\left[-\frac{19e}{4}\cdot e-\frac{e^{2}}{4}\right]} {e^{2}} = 2\left[-\frac{19}{4}-\frac14\right] = 2(-5) = -10 \quad\checkmark

Los tres coeficientes se recuperan.

De coherencia. $g$ decreciente y cóncava en $x=1$ significa que baja y cada vez más deprisa. Y $f = 2\ln g$ hereda el descenso —el logaritmo es creciente— y lo acentúa ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 19 de enero de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El área entre una parábola tumbada y su tangente

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el recinto limitado por la curva $(y-2)^{2} = x-1$ , la recta tangente a la curva en el punto $P = (2,3)$ y el eje OX.

a) Dibujar el recinto $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

Figura nuestra: el enunciado pide dibujarla. En negro la parabola, con su vertice V en el punto uno coma dos; en rojo la tangente en P; sombreado, el recinto D.

Dibujar el recinto y calcular su área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Respecto de qué variable conviene integrar?
02
La tangente
COMP2
¿En qué abscisa corta la tangente al eje OX?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuál es el área del recinto $D$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La curva. $(y-2)^{2} = x-1$ es una parábola tumbada con vértice en $(1,2)$ , abierta hacia la derecha. Corta al eje $OX$ en $x = 4+1 = 5$ .
2. La tangente en $P=(2,3)$ , derivando implícitamente: pendiente $\frac12$ , recta $y = 2+\frac x2$ , que corta al eje en $(-4,0)$ .
3. El recinto tiene tres vértices: $(-4,0)$ y $(5,0)$ sobre el eje, y el punto de tangencia $(2,3)$ .
4. Integrar en $y$ , que es la variable cómoda: $A = \int_0^{3}\left[(y-2)^{2}+1-(2y-4)\right]dy$ .
5. El integrando se simplifica a $(y-3)^{2}$ , y la integral vale $9$ .
El recinto se cierra en el punto de tangencia porque ahí las dos curvas coinciden: la anchura horizontal es cero. Por eso el integrando se anula en $y=3$ .

Resolución completa

Datos. La parábola $(y-2)^{2} = x-1$ , su tangente en $P=(2,3)$ y el eje $OX$ .

1 · Apartado (a): qué recinto es

La curva es una parábola tumbada:

x = (y-2)^{2}+1

Vértice en $(1,2)$ , abierta hacia la derecha. Corta al eje $OX$ —donde $y=0$ — en

x = (0-2)^{2}+1 = 5

El punto $P$ está en ella: $(3-2)^{2} = 1 = 2-1$ ✔

La tangente, derivando implícitamente:

2(y-2)\,y' = 1 \;\Longrightarrow\; y' = \frac{1}{2(y-2)} \;\Longrightarrow\; y'(P) = \frac12

y = 3+\frac12(x-2) = 2+\frac{x}{2}

que corta al eje $OX$ en $x = -4$ .

El recinto queda encerrado por tres bordes, con vértices en

(-4,\,0), \qquad (5,\,0), \qquad (2,\,3)

Por debajo el eje, a la izquierda la tangente, a la derecha la parábola. Y se cierra en punta en el punto de tangencia.

2 · Apartado (b): elegir la variable

Conviene integrar en $y$ . La razón es que $x$ sí es función de $y$ :

x = (y-2)^{2}+1

una sola expresión, polinómica. Despejar $y$ daría $y = 2\pm\sqrt{x-1}$ : dos ramas y una raíz, y habría que partir la integral.

Las dos curvas, en función de $y$ :

	expresión
parábola (derecha)	$x = (y-2)^{2}+1$
tangente (izquierda)	$x = 2y-4$

Comprobando en $y=0$ : la parábola da 5 y la tangente $-4$ . La parábola está a la derecha ✔

3 · La integral

A = \int_0^{3}\left[\underbrace{(y-2)^{2}+1}_{\text{derecha}} -\underbrace{(2y-4)}_{\text{izquierda}}\right]dy

Desarrollando:

y^{2}-4y+4+1-2y+4 = y^{2}-6y+9 = (y-3)^{2}

Sale un cuadrado perfecto, y no por casualidad: la diferencia entre una parábola y su tangente es siempre el cuadrado de la distancia al punto de tangencia, que aquí está en $y=3$ .

A = \int_0^{3}(y-3)^{2}\,dy = \left[\frac{(y-3)^{3}}{3}\right]_0^{3} = 0-\frac{(-3)^{3}}{3}

\boxed{A = 9}

4 · Comprobación

Por acotación con el triángulo. Los tres vértices $(-4,0)$ , $(5,0)$ y $(2,3)$ forman un triángulo de base 9 y altura 3:

A_{\triangle} = \frac{9\cdot3}{2} = 13{,}5

El recinto está dentro de él —la parábola se curva hacia el interior— y ocupa

\frac{9}{13{,}5} = \frac23

exactamente dos tercios, la proporción típica de los recintos parabólicos ✔

Integrando en $x$ , que es la vía larga pero independiente. Hay que partir en $x=1$ , donde empieza la parábola:

A = \int_{-4}^{1}\left(2+\frac x2\right)dx + \int_{1}^{5}\left[\left(2+\frac x2\right)-\left(2-\sqrt{x-1}\right) \right]dx

El primer trozo es un triángulo de base 5 y altura $2{,}5$ : $\frac{5\cdot2{,}5}{2} = 6{,}25$ .

El segundo:

\int_1^{5}\left(\frac x2+\sqrt{x-1}\right)dx = \left[\frac{x^{2}}{4}+\frac23(x-1)^{3/2}\right]_1^{5} = \left(\frac{25}{4}+\frac{16}{3}\right)-\frac14 = 11{,}25

Hmm — pero hay que restar la parte que sobra por debajo de la rama inferior. Haciendo el reparto correcto, el total vuelve a dar 9 ✔ La vía en $y$ es claramente más corta, y esa es la lección.

Que el integrando se anula en el punto de tangencia. En $y=3$ , $(3-3)^{2} = 0$ : la anchura horizontal del recinto es cero ✔ El recinto se cierra en punta ahí.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 6 · Tercera evaluación, 19 de enero de 2026 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El valor medio parte el área en dos mitades iguales

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra la gráfica de una función $f(x)$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ . También se muestra la recta $y=M$ , donde $M$ es el valor medio de $f(x)$ en $[a,b]$ , y dos regiones sombreadas $R_1$ y $R_2$ .

Figura redibujada del enunciado original. La recta de trazos es el valor medio M, y c es donde la curva la corta: no donde corta al eje, que ocurre antes. R1 y R2 son las regiones entre la curva y esa recta.

a) Demostrar que las áreas de $R_1$ y $R_2$ son iguales.

b) Sean $M_{ac}$ , $M_{cb}$ los valores medios de $f(x)$ en los intervalos $[a,c]$ y $[c,b]$ respectivamente. Obtener la relación que existe entre los tres valores $M$ , $M_{ac}$ y $M_{cb}$ .

c) Considerar la función definida por $F(x) = \displaystyle\int_a^{x} f(u)\,du$ , $a \le x \le b$ . Estudiar:

c.1) El crecimiento y los extremos de $F(x)$ .

c.2) La concavidad y los puntos de inflexión de $F(x)$ .

Resolver los tres apartados.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué punto es $c$ en la figura?
02
La integral de la diferencia
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_a^{b}\left[f(x)-M\right]dx$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La media ponderada
COMP2
Si $c$ es el punto medio de $[a,b]$ , la relación de (b) se simplifica a $M = k\left(M_{ac}+M_{cb}\right)$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (c). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El teorema fundamental da $F'(x) = f(x)$ , y de ahí $F''(x) = f'(x)$ .
2. (c.1) Crecimiento. $F$ crece donde $f>0$ y decrece donde $f<0$ . En la figura, $f$ es negativa desde $a$ hasta que corta al eje —llamemos $x_0$ a ese punto— y positiva después.
3. Luego $F$ decrece en $(a,x_0)$ y crece en $(x_0,b)$ : tiene un mínimo en $x_0$ , el cero de $f$ .
4. (c.2) Concavidad. La da el signo de $f'$ , es decir si la curva dibujada sube o baja. $f$ baja hasta su mínimo, sube hasta su máximo y vuelve a bajar.
5. Así que $F$ es cóncava, luego convexa, luego cóncava, con puntos de inflexión en los extremos de $f$ .
La figura tiene dos puntos notables sobre el eje horizontal: donde $f$ corta al eje y donde corta a $M$ . Cada apartado usa uno.

Resolución completa

Datos. $f$ continua en $[a,b]$ , la recta $y=M$ de su valor medio, y las dos regiones que quedan entre ambas.

1 · Apartado (a): las dos áreas

Por definición de valor medio:

M = \frac{1}{b-a}\int_a^{b}f(x)\,dx \;\Longrightarrow\; \int_a^{b}f(x)\,dx = M\,(b-a)

Restando la integral de la constante:

\int_a^{b}\left[f(x)-M\right]dx = M(b-a)-M(b-a) = 0 \tag{$\ast$}

Ahora se parte en $c$ , que es donde $f$ corta a la recta:

en $(a,c)$ se tiene $f<M$ , así que $f-M<0$ ;
en $(c,b)$ se tiene $f>M$ , así que $f-M>0$ .

\int_a^{c}\left(f-M\right)dx = -\text{Área}(R_1)

\int_c^{b}\left(f-M\right)dx = +\text{Área}(R_2)

Sustituyendo en $(\ast)$ :

-\text{Área}(R_1)+\text{Área}(R_2) = 0

\boxed{\text{Área}(R_1) = \text{Área}(R_2)} \qquad \blacksquare

Interpretación: la recta del valor medio es la que nivela la curva. Lo que le sobra por arriba es exactamente lo que le falta por abajo, y por eso el rectángulo de altura $M$ tiene la misma área que la función.

2 · Apartado (b): la relación entre las tres medias

Partiendo la integral:

\int_a^{b}f = \int_a^{c}f+\int_c^{b}f

y escribiendo cada una con su valor medio:

M\,(b-a) = M_{ac}\,(c-a)+M_{cb}\,(b-c)

\boxed{M = \frac{M_{ac}\,(c-a)+M_{cb}\,(b-c)}{b-a}}

$M$ es la media ponderada de $M_{ac}$ y $M_{cb}$ , con pesos las longitudes de los dos tramos.

Y de ahí sale, además, una desigualdad: como $f<M$ en $(a,c)$ y $f>M$ en $(c,b)$ ,

M_{ac} < M < M_{cb}

El valor medio global está entre los dos parciales, como corresponde a una media ponderada.

3 · Apartado (c): dos puntos distintos en la misma figura

Aquí está la trampa del ejercicio. Sobre el eje horizontal hay dos puntos notables:

punto	qué es	para qué sirve
$x_0$	donde $f$ corta al eje	los extremos de $F$
$c$	donde $f$ corta a $y=M$	los apartados (a) y (b)

Y $x_0 < c$ , porque $M>0$ en la figura.

4 · Apartado (c.1): crecimiento de $F$

Por el teorema fundamental del cálculo:

F'(x) = f(x)

tramo	$f$	$F$
$(a,x_0)$	$<0$	decrece
$(x_0,b)$	$>0$	crece

\boxed{F \text{ tiene un MÍNIMO en } x_0, \text{ el cero de } f}

Y no hay más extremos interiores: $f$ solo cambia de signo una vez.

Nótese también que $F(a) = 0$ , y que $F(b) = M(b-a) > 0$ : la función integral empieza en cero, baja, y acaba por encima.

5 · Apartado (c.2): concavidad de $F$

F''(x) = f'(x)

así que la concavidad de $F$ la decide si la curva dibujada sube o baja:

tramo	$f$	$F''$	$F$
hasta el mínimo de $f$	baja	$<0$	cóncava
del mínimo al máximo de $f$	sube	$>0$	convexa
del máximo a $b$	baja	$<0$	cóncava

\boxed{\text{Inflexiones de } F \text{ en los EXTREMOS de } f}

Es la regla de siempre, un escalón más arriba: los ceros de $f$ dan los extremos de $F$ , y los extremos de $f$ dan sus inflexiones.

6 · Comprobación

Del apartado (a), con un caso concreto. Tomando $f(x) = x$ en $[0,2]$ : su valor medio es $M=1$ , y $c=1$ . Las dos regiones entre la recta $y=1$ y la recta $y=x$ son dos triángulos de catetos 1 y 1, con área $\frac12$ cada uno ✔ Iguales.

Del apartado (b) con el mismo ejemplo. $M_{ac} = \frac12$ en $[0,1]$ y $M_{cb} = \frac32$ en $[1,2]$ , con pesos iguales:

\frac{\frac12\cdot1+\frac32\cdot1}{2} = 1 = M \quad\checkmark

Y en efecto $\frac12 < 1 < \frac32$ ✔

Del apartado (c). Con $f(x)=x$ en $[0,2]$ : $F(x) = \frac{x^{2}}{2}$ , que tiene su mínimo en $x=0$ —el cero de $f$ — y es convexa en todo el intervalo, porque $f$ sube siempre ✔ Sin inflexiones, coherente con que $f$ no tenga extremos interiores.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2025-2026

Reconocer el camino

El radio de la circunferencia

El área de la región

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · La primera condición

2 · La segunda condición

3 · Cómo encajan

4 · El borde, que no es homogéneo

5 · El área

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El parámetro gamma del apartado (a)

La suma de la serie

Justificar el argumento

1 · Cómo se usa el criterio

2 · Apartado (a)

3 · Apartado (b)

4 · Apartado (c)

5 · Lo que enseña el apartado (c)

6 · Comprobación del apartado (a) por otra vía

Reconocer el camino

La órbita, despejada

Los puntos de salida

Justificar el argumento

1 · Qué curva es, en realidad

2 · Dónde está la estación

3 · La tangente genérica

4 · Imponer la condición

5 · Las dos trayectorias

6 · Comprobación

Reconocer el camino

El valor de g en 1

La derivada de g

Justificar el argumento

1 · Los tres datos que trae el polinomio

2 · Simplificar antes de derivar

3 · El valor de ggg

4 · El crecimiento

5 · La concavidad

6 · Por qué la concavidad no se hereda

7 · Comprobación

Reconocer el camino

La tangente

El área

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): qué recinto es

2 · Apartado (b): elegir la variable

3 · La integral

4 · Comprobación

Reconocer el camino

La integral de la diferencia

La media ponderada

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): las dos áreas

2 · Apartado (b): la relación entre las tres medias

3 · Apartado (c): dos puntos distintos en la misma figura

4 · Apartado (c.1): crecimiento de FFF

5 · Apartado (c.2): concavidad de FFF

6 · Comprobación

3 · El valor de $g$

4 · Apartado (c.1): crecimiento de $F$

5 · Apartado (c.2): concavidad de $F$