tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2019-2020

17 de enero de 2020 · 6 ejercicios · 60 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Dos condiciones sobre un inverso, y una lenteNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:
$\mathrm{Re}\left(\frac{1}{z-i}\right) > \frac14 \qquad \wedge \qquad \mathrm{Im}\left(\frac{1}{z-i}\right) > \frac14$
Calcular la región y representarla.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Aproximar la raíz de dos y acotar lo que se fallaEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la función $f(x) = \sqrt x$ .

a) Calcular el desarrollo de Taylor de orden 2 de $f(x)$ en el punto $a=1$ .

b) Utilizando el desarrollo anterior obtener una aproximación del valor $\sqrt2$ .

c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
Calcular el polinomio, aproximar y acotar el error.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Cuál de las tres es la función, y qué hace su integral menos ellaIntegración2 + 5 + 3 = 10 pts
La figura muestra las gráficas de la función $y(x)$ definida en $(a,b)$ y de las funciones $y'(x)$ e $y''(x)$ . Se pide:

a) Identificar qué gráfica corresponde a cada una de las funciones.

b) Considerar la nueva función $h(x) = \displaystyle\int_a^{x}y(z)\,dz-y(x)$ . Estudiar el crecimiento, los extremos, la concavidad y los puntos de inflexión de $h(x)$ .

Figura redibujada del enunciado original, midiendo las tres curvas sobre el PDF. En el examen las tres van en negro y solo se distinguen por sus etiquetas; aqui se han coloreado para poder seguirlas.

Identificar las tres gráficas y estudiar $h(x)$ .
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El teorema fundamental y Barrow, tal como los pide el examenlos 10 puntos son demostración — cero cálculoIntegración0 + 0 + 10 = 10 pts
Enunciar el Teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal y utilizarlo para demostrar la Regla de Barrow.
Enunciar y demostrar.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una integral trigonométrica que se arregla dividiendo por el cosenoIntegración0 + 10 + 0 = 10 pts
Calcular la integral $\displaystyle\int\frac{1}{\mathrm{sen}^{2}x-5\,\mathrm{sen}\,x\cos x}\,dx$ .
Calcular la integral.
- COMP 210 puntos por calcular
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Hacia dónde escapa la cucarachaFunciones reales de varias variables reales2 + 6 + 2 = 10 pts
Una cucaracha al verse en un ambiente tóxico cargado de AJT químico, decide moverse en una dirección en que la concentración de AJT disminuya con la mayor rapidez. Si se encuentra en el punto $P(1,0)$ y la concentración de AJT viene dada por la expresión:
$f(x,y) = \mathrm{e}^{-(x-1)^{2}-(y-1)^{2}}$
a) ¿Hacia dónde debe escabullirse?

b) ¿Cuál es la ecuación de la curva que tendría que seguir la cucaracha para que la concentración de AJT del ambiente tóxico no cambiara? Dibujar dicha curva.

c) ¿Cuál es el punto de mayor concentración de AJT?
Responder los tres apartados.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2020 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos condiciones sobre un inverso, y una lente

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:

\mathrm{Re}\left(\frac{1}{z-i}\right) > \frac14 \qquad \wedge \qquad \mathrm{Im}\left(\frac{1}{z-i}\right) > \frac14

Calcular la región y representarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué simplifica el problema desde el principio?
02
El radio de los discos
COMP2
Cada condición define un disco. ¿Cuál es su radio?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Los vértices de la región
COMP2
La región tiene dos vértices. Uno es $z=i$ . ¿Cuál es la parte real del otro?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe las dos condiciones en $x$ e $y$ . La figura comprobará si la lente que sale coincide con la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa & para juntar las dos condiciones
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción de la región. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Trasladar. Con $w = z-i$ , las dos condiciones son sobre $\frac1w$ , y $\frac1w = \frac{u-vi}{u^{2}+v^{2}}$ .
2. Primera condición: $\frac{u}{u^{2}+v^{2}}>\frac14$ da $(u-2)^{2}+v^{2}<4$ : disco de centro $(2,0)$ y radio 2.
3. Segunda condición: ojo al signo, porque $\mathrm{Im}\frac1w = \frac{-v}{u^{2}+v^{2}}$ . Sale $u^{2}+(v+2)^{2}<4$ : disco de centro $(0,-2)$ y radio 2.
4. La intersección de dos discos que se cortan es una lente, con vértices en los dos puntos de corte: $w=0$ y $w=2-2i$ .
5. Deshacer la traslación sumando $i$ : la lente tiene vértices en $z=i$ y $z=2-i$ , y sus discos están centrados en $2+i$ y $-i$ .
El signo menos de la parte imaginaria del inverso es lo que coloca el segundo disco debajo del eje real. Es el error más frecuente aquí.

Resolución completa

Datos. Dos desigualdades sobre la parte real y la parte imaginaria de $\frac{1}{z-i}$ .

1 · Trasladar primero

Las dos condiciones hablan de $z-i$ . Llamando

w = z-i = u+vi

se resuelve en $w$ y al final se deshace la traslación con $z = w+i$ : la región se mueve una unidad hacia arriba, sin deformarse.

\frac1w = \frac{\overline w}{\left|w\right|^{2}} = \frac{u-vi}{u^{2}+v^{2}}

\mathrm{Re}\frac1w = \frac{u}{u^{2}+v^{2}}, \qquad \mathrm{Im}\frac1w = \frac{-v}{u^{2}+v^{2}}

El signo menos de la parte imaginaria es lo que más se olvida, y cambia el resultado entero.

2 · La primera condición

\frac{u}{u^{2}+v^{2}} > \frac14

El denominador es estrictamente positivo para todo $w \neq 0$ , así que se puede multiplicar en cruz sin invertir el signo:

4u > u^{2}+v^{2} \;\Longrightarrow\; u^{2}-4u+v^{2} < 0

\boxed{(u-2)^{2}+v^{2} < 4}

Disco abierto de centro $(2,0)$ y radio 2. Nótese que pasa por el origen —la distancia del centro al origen es 2, justo el radio—.

3 · La segunda condición

\frac{-v}{u^{2}+v^{2}} > \frac14 \;\Longrightarrow\; -4v > u^{2}+v^{2} \;\Longrightarrow\; u^{2}+v^{2}+4v < 0

\boxed{u^{2}+(v+2)^{2} < 4}

Disco abierto de centro $(0,-2)$ y radio 2. También pasa por el origen.

4 · La intersección

Los dos centros distan

\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt2 \approx 2{,}83 < 4 = r_1+r_2

así que se cortan, y la intersección es una lente.

Los puntos de corte, restando las dos ecuaciones desarrolladas $u^{2}+v^{2}-4u = 0$ y $u^{2}+v^{2}+4v = 0$ :

-4u-4v = 0 \;\Longrightarrow\; v = -u

2u^{2} = 4u \;\Longrightarrow\; u = 0 \ \text{ó}\ u = 2

w = 0 \qquad\text{y}\qquad w = 2-2i

5 · Deshacer la traslación

z = w+i

en $w$	en $z$
disco de centro $(2,0)$ , radio 2	$\left\lvert z-(2+i)\right\rvert<2$
disco de centro $(0,-2)$ , radio 2	$\left\lvert z+i\right\rvert<2$
vértices $0$ y $2-2i$	$i$ y $2-i$

\boxed{ \begin{aligned} &\text{La LENTE abierta que forman los discos}\\ &\left\lvert z-2-i\right\rvert<2 \ \text{ y } \ \left\lvert z+i\right\rvert<2,\\ &\text{con vértices en } i \text{ y } 2-i \end{aligned}}

El punto $z=i$ —donde el cociente no está definido— es uno de los vértices, y los discos son abiertos: ya está fuera. No hay que quitarlo aparte.

Figura nuestra: el enunciado pide representar. Las dos circunferencias van en gris porque no pertenecen a la region; los vertices rojos, i y 2-i, tampoco.

6 · Comprobación

Con el punto medio de la lente. El centro de la lente está en $w = 1-i$ , es decir $z = 1$ :

\frac{1}{z-i} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{2} = 0{,}5+0{,}5i

\mathrm{Re} = 0{,}5 > 0{,}25 \ \checkmark \qquad \mathrm{Im} = 0{,}5 > 0{,}25 \ \checkmark

Con un vértice, $z = 2-i$ , es decir $w = 2-2i$ :

\frac{1}{2-2i} = \frac{2+2i}{8} = 0{,}25+0{,}25i

Las dos partes valen exactamente $\frac14$ : está en la frontera, y las desigualdades estrictas lo dejan fuera ✔ Justo lo que debe pasar en un vértice.

Con un punto de fuera, $z = 4$ , es decir $w = 4-i$ :

\frac{1}{4-i} = \frac{4+i}{17} = 0{,}235+0{,}059i

$\mathrm{Re} = 0{,}235 < 0{,}25$ : falla la primera ✔ Fuera.

Con un punto en el disco equivocado, $z = 2+i$ (centro del primer disco), $w = 2$ :

\frac12 = 0{,}5

$\mathrm{Re} = 0{,}5 > 0{,}25$ ✔ pero $\mathrm{Im} = 0 \not> 0{,}25$ ✘ Está en el primer disco y no en el segundo, así que fuera de la lente ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2020 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Aproximar la raíz de dos y acotar lo que se falla

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(x) = \sqrt x$ .

a) Calcular el desarrollo de Taylor de orden 2 de $f(x)$ en el punto $a=1$ .

b) Utilizando el desarrollo anterior obtener una aproximación del valor $\sqrt2$ .

c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.

Calcular el polinomio, aproximar y acotar el error.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se centra el desarrollo en $a=1$ y no en $a=0$ ?
02
La aproximación
COMP2
¿Qué valor da el polinomio para $\sqrt2$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La cota del error
COMP2
¿Cuál es la cota del error por el resto de Lagrange?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (c). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Escribir el resto de Lagrange: existe $\xi \in (1,2)$ con $R_2(2) = \frac{f'''(\xi)}{3!}(2-1)^{3}$ .
2. Las hipótesis se cumplen: $f$ es tres veces derivable en un entorno de $[1,2]$ , porque $x>0$ en todo él y la raíz solo falla en 0.
3. Calcular la tercera derivada: $f'''(x) = \frac{3}{8x^{5/2}}$ , positiva y decreciente en $[1,2]$ .
4. Acotar por el peor caso: el mayor valor se alcanza en $\xi=1$ , luego $\left\lvert R_2\right\rvert \le \frac{3}{8\cdot6} = \frac{1}{16} = 0{,}0625$ .
5. Y comprobar: el error real es $\left\lvert1{,}41421-1{,}375\right\rvert = 0{,}0392$ , que en efecto es menor que $0{,}0625$ ✔
Una cota se calcula desde el teorema, no desde la respuesta. Ese es todo el sentido del apartado (c).

Resolución completa

Datos. $f(x) = \sqrt x$ , desarrollo en $a=1$ , aproximación de $\sqrt2$ y cota del error.

1 · Apartado (a): el polinomio

f(x) = x^{1/2}

derivada	expresión	en $x=1$
$f$	$x^{1/2}$	$1$
$f'$	$\frac12x^{-1/2}$	$\frac12$
$f''$	$-\frac14x^{-3/2}$	$-\frac14$
$f'''$	$\frac38x^{-5/2}$	$\frac38$

Por qué en $a=1$ y no en $a=0$ : en 0 la derivada $\frac{1}{2\sqrt x}$ se dispara, así que ahí no hay polinomio de Taylor. Y en 1 la raíz es exacta.

P_2(x) = f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^{2}

\boxed{P_2(x) = 1+\frac{x-1}{2}-\frac{(x-1)^{2}}{8}}

El $\frac18$ sale de $\frac{-1/4}{2!}$ : el factorial del término cuadrático es lo que más se olvida.

2 · Apartado (b): la aproximación

En $x=2$ se tiene $x-1 = 1$ , y todo se simplifica:

P_2(2) = 1+\frac12-\frac18 = \frac{8+4-1}{8}

\boxed{\sqrt2 \approx \frac{11}{8} = 1{,}375}

Se queda por debajo, y era previsible: $f''<0$ , la raíz es cóncava, así que su polinomio de Taylor de orden par la aproxima por defecto en esta dirección.

3 · Apartado (c): la cota

El teorema de Taylor con resto de Lagrange dice que existe $\xi \in (1,2)$ con

R_2(2) = \frac{f'''(\xi)}{3!}(2-1)^{3} = \frac{f'''(\xi)}{6}

Sus hipótesis se cumplen: $f$ es tres veces derivable en todo $[1,2]$ , porque ahí $x>0$ .

f'''(x) = \frac{3}{8x^{5/2}}

No se sabe dónde está $\xi$ , así que hay que acotar por el peor caso. Como $f'''$ es positiva y decreciente en $[1,2]$ , su mayor valor está en $\xi=1$ :

\left\lvert R_2(2)\right\rvert = \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{8\,\xi^{5/2}} \le \frac{1}{6}\cdot\frac38 = \frac{1}{16}

\boxed{\left\lvert\text{error}\right\rvert \le \frac{1}{16} = 0{,}0625}

4 · Comprobación

El error real:

\sqrt2 = 1{,}414214, \qquad \left\lvert1{,}414214-1{,}375\right\rvert = 0{,}039214

0{,}0392 < 0{,}0625 \quad\checkmark

La cota se cumple, y con holgura: es lo esperable, porque se ha tomado el peor $\xi$ posible. El $\xi$ que hace exacta la igualdad cumple

\frac{1}{16\xi^{5/2}} = 0{,}039214 \;\Longrightarrow\; \xi^{5/2} = 1{,}5938 \;\Longrightarrow\; \xi = 1{,}2035

que en efecto está entre 1 y 2 ✔

De la aproximación, con otro punto. En $x = 1{,}21$ , donde la raíz es exacta:

P_2(1{,}21) = 1+0{,}105-0{,}0055 = 1{,}0995

\sqrt{1{,}21} = 1{,}1 \quad\checkmark

Con $x-1 = 0{,}21$ el error es $5\cdot10^{-4}$ , mucho menor: el resto va como $(x-1)^{3}$ , y $0{,}21^{3}$ es cien veces menor que $1$ .

5 · Una observación que mejora la respuesta

Centrando en $a = \frac94 = 2{,}25$ —cuya raíz también es exacta, $\frac32$ — la distancia a 2 sería solo $0{,}25$ y el error caería a

\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{8\cdot2^{5/2}}\cdot0{,}25^{3} \approx 1{,}73\cdot10^{-4}

unas 360 veces menos. Elegir bien el centro importa más que subir el orden, y decirlo es exactamente el tipo de comentario que puntúa en COMP4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2020 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuál de las tres es la función, y qué hace su integral menos ella

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra las gráficas de la función $y(x)$ definida en $(a,b)$ y de las funciones $y'(x)$ e $y''(x)$ . Se pide:

a) Identificar qué gráfica corresponde a cada una de las funciones.

b) Considerar la nueva función $h(x) = \displaystyle\int_a^{x}y(z)\,dz-y(x)$ . Estudiar el crecimiento, los extremos, la concavidad y los puntos de inflexión de $h(x)$ .

Figura redibujada del enunciado original, midiendo las tres curvas sobre el PDF. En el examen las tres van en negro y solo se distinguen por sus etiquetas; aqui se han coloreado para poder seguirlas.

Identificar las tres gráficas y estudiar $h(x)$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación permite identificar las curvas?

Cuál es la función

COMP2

¿Qué número de curva es $y(x)$ ?

Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

Medición. Las tres curvas se han seguido sobre el PDF original, columna a columna, tomando el eje horizontal como origen. Las posiciones que siguen están en fracción del intervalo $[a,b]$ .

curva	ceros	extremos
(1)	$0{,}21$ y $0{,}63$	mín en $0{,}41$ , máx en $0{,}86$
(2)	toca el eje en $0{,}62$	máx en $0{,}21$ , mín en $0{,}62$
(3)	$0{,}41$ y $0{,}86$	mín en $0{,}12$ , máx en $0{,}63$

Dos coincidencias exactas:

los ceros de (1) — $0{,}21$ y $0{,}63$ — son los extremos de (2);
los ceros de (3) — $0{,}41$ y $0{,}86$ — son los extremos de (1).

\boxed{(2) = y, \qquad (1) = y', \qquad (3) = y''}

Las dos coincidencias se refuerzan: no hay otra asignación de las seis posibles que las cumpla las dos a la vez.

03
Reconocer el camino
COMP1
Para el apartado (b), ¿cuánto vale $h'(x)$ ?
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de $h$ . Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Derivar. Por el teorema fundamental, $h'(x) = y(x)-y'(x)$ : el signo lo decide cuál de las dos gráficas, la (2) o la (1), va por encima.
2. Leer los cortes de (2) con (1) en la figura: hay tres, en $0{,}10$ , $0{,}64$ y $0{,}92$ del intervalo.
3. Luego $h$ decrece hasta $0{,}10$ , crece hasta $0{,}64$ , decrece hasta $0{,}92$ y vuelve a crecer: mínimos en $0{,}10$ y $0{,}92$ , máximo en $0{,}64$ .
4. Derivar otra vez: $h''(x) = y'(x)-y''(x)$ , y el signo lo decide si la (1) va por encima de la (3).
5. Los cortes de (1) con (3) están en $0{,}32$ y $0{,}78$ : $h$ es convexa, luego cóncava, luego convexa, con inflexiones ahí.
Todo el apartado (b) se reduce a comparar curvas dos a dos. No hace falta ninguna escala numérica: basta ver quién va por encima.

Resolución completa

Datos. Tres gráficas sin escala, y una función $h$ construida con la integral de $y$ menos la propia $y$ .

1 · Apartado (a): cómo se identifican

Sin números en los ejes, lo único que se puede usar es la relación entre ceros y extremos:

\text{ceros de } g' \ \longleftrightarrow\ \text{extremos de } g

Medición. Las tres curvas se han seguido sobre el PDF original columna a columna, con el eje horizontal como cero. Las abscisas se dan en fracción del intervalo $[a,b]$ , con $a=0$ y $b=1$ ; el origen marcado en la figura cae en $0{,}60$ .

curva	corta al eje en	extremos
(1)	$0{,}21$ y $0{,}63$	mínimo en $0{,}41$ , máximo en $0{,}86$
(2)	toca el eje en $0{,}62$	máximo en $0{,}21$ , mínimo en $0{,}62$
(3)	$0{,}41$ y $0{,}86$	mínimo en $0{,}12$ , máximo en $0{,}63$

Primera coincidencia. Los ceros de (1) están en $0{,}21$ y $0{,}63$ ; los extremos de (2), en $0{,}21$ y $0{,}62$ . Encajan.

(1) = \left[(2)\right]'

Segunda coincidencia. Los ceros de (3) están en $0{,}41$ y $0{,}86$ ; los extremos de (1), en $0{,}41$ y $0{,}86$ . Encajan.

(3) = \left[(1)\right]'

\boxed{(2) = y(x), \qquad (1) = y'(x), \qquad (3) = y''(x)}

Y la comprobación de signos, que cierra la identificación:

tramo	(1) $= y'$	(2) $= y$
$x<0{,}21$	positiva	crece ✔
$0{,}21<x<0{,}63$	negativa	decrece ✔
$x>0{,}63$	positiva	crece ✔

tramo	(3) $= y''$	(1) $= y'$
$x<0{,}41$	negativa	decrece ✔
$0{,}41<x<0{,}86$	positiva	crece ✔
$x>0{,}86$	negativa	decrece ✔

Todo cuadra. Ninguna de las otras cinco asignaciones posibles lo hace.

2 · Apartado (b): las dos derivadas de $h$

h(x) = \int_a^{x}y(z)\,dz-y(x)

Primera derivada. El primer sumando se deriva con el teorema fundamental — $y$ es continua, así que se aplica—:

\boxed{h'(x) = y(x)-y'(x)}

Segunda derivada:

\boxed{h''(x) = y'(x)-y''(x)}

Y aquí está la idea del ejercicio: no hay que calcular nada. El signo de $h'$ es «¿va la (2) por encima de la (1)?», y el de $h''$ es «¿va la (1) por encima de la (3)?». Todo se lee mirando qué curva está más alta.

3 · Crecimiento y extremos de $h$

Medición. Los cortes de la (2) con la (1) están, en fracción del intervalo, en $0{,}10$ , $0{,}64$ y $0{,}92$ .

tramo	¿quién va arriba?	$h' = y-y'$	$h$
$(a;\,0{,}10)$	la (1)	$<0$	decrece
$(0{,}10;\,0{,}64)$	la (2)	$>0$	crece
$(0{,}64;\,0{,}92)$	la (1)	$<0$	decrece
$(0{,}92;\,b)$	la (2)	$>0$	crece

\boxed{ \begin{aligned} &\text{mínimos relativos en } x \approx 0{,}10 \text{ y } x \approx 0{,}92\\ &\text{máximo relativo en } x \approx 0{,}64 \end{aligned}}

Nótese que $h(a) = 0-y(a) = -y(a)$ , que es negativo porque $y(a)>0$ .

4 · Concavidad e inflexiones de $h$

Medición. Los cortes de la (1) con la (3) están en $0{,}32$ y $0{,}78$ .

tramo	¿quién va arriba?	$h'' = y'-y''$	$h$
$(a;\,0{,}32)$	la (1)	$>0$	convexa
$(0{,}32;\,0{,}78)$	la (3)	$<0$	cóncava
$(0{,}78;\,b)$	la (1)	$>0$	convexa

\boxed{\text{Dos puntos de inflexión, en } x \approx 0{,}32 \text{ y } x \approx 0{,}78}

El signo cambia de verdad en los dos, así que son inflexiones y no falsas alarmas.

5 · Comprobación de coherencia

Los extremos de $h$ y sus inflexiones tienen que alternarse, y lo hacen:

\underbrace{0{,}10}_{\text{mín}} < \underbrace{0{,}32}_{\text{inf}} < \underbrace{0{,}64}_{\text{máx}} < \underbrace{0{,}78}_{\text{inf}} < \underbrace{0{,}92}_{\text{mín}}

Entre dos extremos consecutivos de una función suave tiene que haber al menos una inflexión, y aquí hay exactamente una en cada hueco ✔ Si la lectura de la figura hubiera fallado, esta alternancia se habría roto.

Con un ejemplo concreto que reproduce la figura. Tomando $y(x) = 1-\cos x$ en $[-2;\,2{,}5]$ —positiva, con un mínimo nulo en 0, igual que la (2)—:

h(x) = \int_{-2}^{x}\left(1-\cos z\right)dz-\left(1-\cos x\right)

h'(x) = \left(1-\cos x\right)-\mathrm{sen}\,x

que se anula donde $1-\cos x = \mathrm{sen}\,x$ , es decir en $x=0$ y en $x = \frac{\pi}{2}$ : dos puntos, uno de ellos justo donde $y$ toca el eje ✔ Y

h''(x) = \mathrm{sen}\,x-\cos x

que se anula en $x = \frac{\pi}{4}$ , entre los dos anteriores ✔ La alternancia se reproduce.

6 · Lo que enseña el ejercicio

El apartado (b) parece pedir cálculos y no pide ninguno. Todo sale de dos derivadas simbólicas y de mirar la figura.

Y el $-y(x)$ del enunciado no es decorativo: sin él, $h$ sería la función integral de siempre, con extremos donde $y$ corta al eje. Con él, los extremos se mueven a los cortes entre curvas, que es un sitio completamente distinto. Ese desplazamiento es la pregunta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2020 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · La misma pregunta, palabra por palabra, cayó en la tercera evaluación de 2020-2021 · El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El teorema fundamental y Barrow, tal como los pide el examen

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar el Teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal y utilizarlo para demostrar la Regla de Barrow.

Enunciar y demostrar.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la hipótesis del teorema fundamental que hay que declarar?
02
Una primitiva desplazada
COMP2
Calcula $\int_1^{4}\frac{dx}{x}$ con la primitiva $G(x) = \ln x+7$ . En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Construir una primitiva. Como $f$ es continua en $[a,b]$ , el teorema fundamental dice que $F(x) = \int_a^{x}f$ es derivable con $F' = f$ .
2. Tomar otra primitiva cualquiera $G$ , con $G'=f$ . Entonces $(G-F)' = 0$ en todo $[a,b]$ .
3. Deducir que $G-F$ es constante. Es consecuencia del teorema del valor medio de Lagrange, y exige que $[a,b]$ sea un intervalo.
4. Restar en los extremos: $G(b)-G(a) = \left[F(b)+C\right]-\left[F(a)+C\right] = F(b)-F(a)$ .
5. Y usar que $F(a)=0$ : queda $\int_a^{b}f = G(b)-G(a)$ . $\blacksquare$
«Cualquier primitiva» no es un detalle: es lo que convierte el teorema en una herramienta de cálculo.

Resolución completa

Lo que se pide. Enunciar y demostrar. Diez puntos, todos de COMP4.

Esta misma pregunta, con la misma redacción, cayó también en la tercera evaluación del curso 2020-2021. Conviene tenerla escrita.

1 · El enunciado del teorema fundamental

Teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal. Sea $f$ continua en $[a,b]$ , y sea
$F(x) = \int_a^{x}f(t)\,dt, \qquad x \in [a,b]$
Entonces $F$ es derivable en $[a,b]$ y $F'(x) = f(x)$ para todo $x$ .

Tres precisiones que conviene incluir:

Si $f$ es solo integrable, $F$ existe y es continua —de hecho lipschitziana—, pero puede no ser derivable.
La derivabilidad en un punto $x_0$ necesita la continuidad en ese punto.
En $a$ y en $b$ se entienden derivadas laterales.

En una frase: integrar una función continua fabrica una primitiva suya.

2 · El enunciado de la regla de Barrow

Regla de Barrow. Sea $f$ continua en $[a,b]$ y sea $G$ cualquier primitiva de $f$ en $[a,b]$ , es decir $G' = f$ . Entonces
$\int_a^{b}f(x)\,dx = G(b)-G(a)$

El teorema fundamental fabrica primitivas; Barrow usa una para calcular. Es el mismo puente recorrido en las dos direcciones.

3 · La demostración

(i) Por el teorema fundamental, $F(x) = \int_a^{x}f$ es una primitiva de $f$ .

(ii) Si $G$ es otra primitiva:

(G-F)'(x) = f(x)-f(x) = 0 \qquad \forall x \in [a,b]

(iii) Una función con derivada nula en un intervalo es constante. Se demuestra con el teorema del valor medio: si existieran $x_1<x_2$ con valores distintos, habría un $\xi$ intermedio con

(G-F)'(\xi) = \frac{(G-F)(x_2)-(G-F)(x_1)}{x_2-x_1} \neq 0

contra (ii). Luego $G = F+C$ para alguna constante $C$ .

(iv) Restando en los extremos, la constante se cancela:

G(b)-G(a) = \left[F(b)+C\right]-\left[F(a)+C\right] = F(b)-F(a)

(v) Y como $F(a) = \int_a^{a}f = 0$ :

\boxed{\int_a^{b}f(x)\,dx = F(b) = G(b)-G(a)} \qquad \blacksquare

4 · Por qué importa cada hipótesis

hipótesis	dónde entra	si falla
$f$ continua	paso (i)	$F$ puede no ser derivable
$[a,b]$ intervalo	paso (iii)	la diferencia puede no ser constante
$G' = f$ en todo $[a,b]$	paso (ii)	la resta no es nula en algún punto

Un contraejemplo para la continuidad. Con

f(x) = \begin{cases}0 & x \le 0\\ 1 & x>0\end{cases}

la función $F(x) = \int_{-1}^{x}f$ vale 0 a la izquierda y $x$ a la derecha: continua, pero con un pico en 0. Ahí $F'$ no existe y el teorema no se aplica.

Un contraejemplo para el intervalo. En $(-1,0)\cup(0,1)$ , la función que vale 0 a un lado y 1 al otro tiene derivada nula y no es constante. El paso (iii) se cae.

Y un contraejemplo para la tercera, que es el de la propia práctica: $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ . La «primitiva» $-\frac1x$ no lo es en $x=0$ —ni siquiera está definida—, y aplicar Barrow da $-2$ : negativo, con un integrando positivo. La integral en realidad diverge.

5 · Comprobación de que la regla no depende de la primitiva

Con $f(x) = \frac1x$ en $[1,4]$ y dos primitivas:

G_1(x) = \ln x \;\Longrightarrow\; G_1(4)-G_1(1) = \ln4-0 = 1{,}3863

G_2(x) = \ln x+7 \;\Longrightarrow\; G_2(4)-G_2(1) = 8{,}3863-7 = 1{,}3863 \quad\checkmark

El mismo número. El 7 se cancela, como decía el paso (iv).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2020 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una integral trigonométrica que se arregla dividiendo por el coseno

COMP 210 puntos por calcular

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la integral $\displaystyle\int\frac{1}{\mathrm{sen}^{2}x-5\,\mathrm{sen}\,x\cos x}\,dx$ .

Calcular la integral.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tiene de especial el denominador?
02
El denominador tras el cambio
COMP2
Con $t=\tan x$ , el denominador queda $t^{2}+kt$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de las fracciones simples
COMP2
Descomponiendo $\frac{1}{t(t-5)} = \frac At+\frac{B}{t-5}$ , ¿cuánto vale $B$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Dividir arriba y abajo por $\cos^{2}x$ , que se puede porque el denominador es homogéneo de grado 2: $\int\frac{\sec^{2}x\,dx}{\tan^{2}x-5\tan x}$ .
2. Cambiar $t = \tan x$ , con $dt = \sec^{2}x\,dx$ : $\int\frac{dt}{t^{2}-5t} = \int\frac{dt}{t(t-5)}$ .
3. Descomponer en fracciones simples: $\frac{1}{t(t-5)} = \frac{-1/5}{t}+\frac{1/5}{t-5}$ .
4. Integrar: $\frac15\ln\left\lvert t-5\right\rvert-\frac15\ln\left\lvert t\right\rvert = \frac15\ln\left\lvert\frac{t-5}{t}\right\rvert$ .
5. Deshacer el cambio: $\frac15\ln\left\lvert\dfrac{\tan x-5}{\tan x}\right\rvert+C$ .
El valor absoluto del logaritmo no es una manía: es lo que hace que la primitiva valga en cada uno de los intervalos donde el integrando está definido.

$t$	ecuación	resultado
$0$	$1 = -5A$	$A = -\frac15$
$5$	$1 = 5B$	$B = \frac15 = 0{,}2$

Resolución completa

Datos. $\int\frac{dx}{\mathrm{sen}^{2}x-5\,\mathrm{sen}\,x\cos x}$ .

1 · Ver la homogeneidad

Los dos términos del denominador — $\mathrm{sen}^{2}x$ y $\mathrm{sen}\,x\cos x$ — tienen grado total 2 en seno y coseno. Cuando eso ocurre, dividir arriba y abajo por $\cos^{2}x$ lo convierte todo en tangentes:

\frac{1}{\mathrm{sen}^{2}x-5\,\mathrm{sen}\,x\cos x} = \frac{\dfrac{1}{\cos^{2}x}} {\dfrac{\mathrm{sen}^{2}x}{\cos^{2}x} -5\,\dfrac{\mathrm{sen}\,x\cos x}{\cos^{2}x}} = \frac{\sec^{2}x}{\tan^{2}x-5\tan x}

Y el $\sec^{2}x$ del numerador es exactamente $d(\tan x)$ . Por eso el método es tan corto: el cambio se paga solo.

2 · El cambio

t = \tan x, \qquad dt = \sec^{2}x\,dx

\int\frac{dt}{t^{2}-5t} = \int\frac{dt}{t(t-5)}

Una función racional con dos raíces simples: fracciones simples.

3 · Fracciones simples

\frac{1}{t(t-5)} = \frac At+\frac{B}{t-5} \;\Longrightarrow\; 1 = A(t-5)+Bt

t=0: \ A = -\frac15 \qquad t=5: \ B = \frac15

\int\left(\frac{-1/5}{t}+\frac{1/5}{t-5}\right)dt = \frac15\ln\left\lvert t-5\right\rvert -\frac15\ln\left\lvert t\right\rvert

Juntando los dos logaritmos —se puede porque los coeficientes son opuestos—:

= \frac15\ln\left\lvert\frac{t-5}{t}\right\rvert+C

4 · Deshacer el cambio

\boxed{\int\frac{dx}{\mathrm{sen}^{2}x-5\,\mathrm{sen}\,x\cos x} = \frac15\ln\left\lvert\frac{\tan x-5}{\tan x}\right\rvert+C}

O, equivalentemente,

= \frac15\ln\left\lvert1-\frac{5}{\tan x}\right\rvert+C = \frac15\ln\left\lvert1-5\cot x\right\rvert+C

5 · Dónde vale

El integrando no existe donde el denominador se anula:

\mathrm{sen}\,x\left(\mathrm{sen}\,x-5\cos x\right) = 0

\mathrm{sen}\,x = 0 \ \Rightarrow\ x = k\pi

\tan x = 5 \ \Rightarrow\ x = \arctan5+k\pi \approx 1{,}373+k\pi

Y tampoco donde $\cos x = 0$ , porque ahí la tangente no está definida —aunque el integrando original sí lo esté: en $x=\frac{\pi}{2}$ vale $\frac{1}{1-0} = 1$ —. Es una singularidad del método, no de la función: la primitiva se extiende por continuidad, y conviene decirlo.

La primitiva vale en cada uno de los intervalos que quedan entre esos puntos, con una constante $C$ posiblemente distinta en cada uno.

6 · Comprobación

Derivando el resultado. Con $u = \frac{\tan x-5}{\tan x} = 1-5\cot x$ :

u' = 5\csc^{2}x = \frac{5}{\mathrm{sen}^{2}x}

\frac{d}{dx}\left[\frac15\ln\left\lvert u\right\rvert\right] = \frac15\cdot\frac{u'}{u} = \frac15\cdot\frac{\frac{5}{\mathrm{sen}^{2}x}} {1-\frac{5\cos x}{\mathrm{sen}\,x}}

= \frac{\frac{1}{\mathrm{sen}^{2}x}} {\frac{\mathrm{sen}\,x-5\cos x}{\mathrm{sen}\,x}} = \frac{1}{\mathrm{sen}\,x\left(\mathrm{sen}\,x-5\cos x\right)} \quad\checkmark

Que es exactamente el integrando.

Numérica. Entre $x = 2$ y $x = 3$ —un intervalo donde el denominador no se anula, porque $\tan$ es negativa ahí—:

\frac15\left[\ln\left\lvert1-5\cot 3\right\rvert -\ln\left\lvert1-5\cot 2\right\rvert\right]

Con $\cot3 = -7{,}0153$ y $\cot2 = -0{,}4577$ :

\frac15\left[\ln(36{,}08)-\ln(3{,}289)\right] = \frac15\left[3{,}586-1{,}191\right] = 0{,}479

Y sumando el integrando en cien trozos entre 2 y 3 sale $0{,}479$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 6 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2020 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · Este ejercicio es de varias variables, materia del segundo cuatrimestre · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Hacia dónde escapa la cucaracha

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una cucaracha al verse en un ambiente tóxico cargado de AJT químico, decide moverse en una dirección en que la concentración de AJT disminuya con la mayor rapidez. Si se encuentra en el punto $P(1,0)$ y la concentración de AJT viene dada por la expresión:

f(x,y) = \mathrm{e}^{-(x-1)^{2}-(y-1)^{2}}

a) ¿Hacia dónde debe escabullirse?

b) ¿Cuál es la ecuación de la curva que tendría que seguir la cucaracha para que la concentración de AJT del ambiente tóxico no cambiara? Dibujar dicha curva.

c) ¿Cuál es el punto de mayor concentración de AJT?

Responder los tres apartados.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué objeto responde a los tres apartados?
02
La componente vertical del gradiente
COMP2
¿Cuánto vale $\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio de la curva de nivel
COMP2
La curva del apartado (b) es una circunferencia. ¿Cuál es su radio?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las respuestas. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. (a) La concentración disminuye más deprisa en la dirección opuesta al gradiente. Con $\nabla f(1,0) = \left(0,\frac2{\mathrm{e}}\right)$ , esa dirección es $(0,-1)$ : hacia abajo, alejándose de $y=1$ .
2. (b) Para que la concentración no cambie hay que moverse por la curva de nivel que pasa por $P$ : $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} = 1$ .
3. Y es coherente con (a): esa circunferencia es perpendicular al gradiente en $P$ , porque en $P$ su tangente es horizontal y el gradiente vertical.
4. (c) El exponente $-(x-1)^{2}-(y-1)^{2}$ es siempre $\le0$ y vale 0 solo en $(1,1)$ . Como la exponencial es creciente, el máximo de $f$ está ahí, y vale $f(1,1) = 1$ .
5. Es un máximo absoluto, y no hace falta ni derivar para verlo: basta con acotar el exponente.
El gradiente da una dirección puntual. Que aquí la trayectoria resulte recta es consecuencia de que las curvas de nivel sean circunferencias concéntricas.

Resolución completa

Datos. $f(x,y) = \mathrm{e}^{-(x-1)^{2}-(y-1)^{2}}$ y el punto $P(1,0)$ .

Este ejercicio es de funciones de varias variables, tema 6 del programa y materia del segundo cuatrimestre. Aparece aquí porque el examen de enero de 2020 lo incluyó.

1 · Qué función es

El exponente es $-\left[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right]$ , es decir menos el cuadrado de la distancia al punto $(1,1)$ . Así que

f(x,y) = \mathrm{e}^{-d^{2}}, \qquad d = \text{distancia a } (1,1)

Una campana centrada en $(1,1)$ : la concentración solo depende de lo lejos que se esté de ese foco. Verlo así resuelve casi todo el ejercicio antes de derivar.

2 · El gradiente

\frac{\partial f}{\partial x} = -2(x-1)\,f(x,y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -2(y-1)\,f(x,y)

En $P=(1,0)$ , con $f(1,0) = \mathrm{e}^{-1}$ :

\boxed{\nabla f(1,0) = \left(0,\ \frac{2}{\mathrm{e}}\right) \approx (0;\ 0{,}736)}

Apunta hacia arriba, hacia el foco $(1,1)$ , como tenía que ser.

3 · Apartado (a): hacia dónde huir

La concentración crece más deprisa en la dirección del gradiente, así que disminuye más deprisa en la opuesta:

-\nabla f(1,0) = \left(0,\ -\frac{2}{\mathrm{e}}\right)

\boxed{\text{Dirección unitaria } (0,-1): \text{ hacia abajo, alejándose de } (1,1)}

Y la rapidez con que baja, en esa dirección, es $\left\lvert\nabla f\right\rvert = \frac{2}{\mathrm{e}} \approx 0{,}736$ unidades de concentración por unidad de longitud.

4 · Apartado (b): por dónde no cambia nada

Que la concentración no cambie significa moverse por una curva de nivel: la que pasa por $P$ .

f(x,y) = f(1,0) = \mathrm{e}^{-1}

\mathrm{e}^{-(x-1)^{2}-(y-1)^{2}} = \mathrm{e}^{-1}

La exponencial es inyectiva, así que basta igualar exponentes:

\boxed{(x-1)^{2}+(y-1)^{2} = 1}

Circunferencia de centro $(1,1)$ y radio 1. Pasa por $P=(1,0)$ , que está justo a distancia 1 del centro ✔

Figura nuestra: el apartado b pide dibujar la curva. En verde la curva de nivel que pasa por P; en gris otras dos curvas de nivel; en rojo la direccion de maxima disminucion, perpendicular a la curva.

La coherencia con (a): en $P$ la tangente a esa circunferencia es horizontal y el gradiente es vertical. Perpendiculares, como manda la teoría: el gradiente siempre es normal a las curvas de nivel.

5 · Apartado (c): dónde hay más

No hace falta derivar. El exponente

-(x-1)^{2}-(y-1)^{2}

es una suma de cuadrados con signo menos: siempre $\le0$ , y vale $0$ solo en $(1,1)$ . Como la exponencial es creciente, ahí está su máximo:

\boxed{\text{Máximo absoluto en } (1,1), \text{ con } f(1,1) = 1}

Y es absoluto, no solo local: el argumento de acotación lo dice en el resto del plano, sin necesidad de hessiana.

Como comprobación, el gradiente se anula ahí:

\nabla f(1,1) = \left(-2\cdot0\cdot1,\ -2\cdot0\cdot1\right) = (0,0) \quad\checkmark

6 · Comprobación

Del valor en $P$ : $f(1,0) = \mathrm{e}^{-1} = 0{,}368$ , y en el máximo vale 1: la cucaracha está a algo más de un tercio del máximo ✔

De la dirección de huida, numéricamente. Bajando $0{,}1$ desde $P$ :

f(1;-0{,}1) = \mathrm{e}^{-1{,}21} = 0{,}2982

\frac{0{,}2982-0{,}3679}{0{,}1} = -0{,}697

frente a $-\frac{2}{\mathrm{e}} = -0{,}736$ ✔ La pequeña diferencia es el término de segundo orden.

Y moviéndose en horizontal, que debería no cambiar nada a primer orden:

f(1{,}1;\,0) = \mathrm{e}^{-1{,}01} = 0{,}3642

\frac{0{,}3642-0{,}3679}{0{,}1} = -0{,}037 \approx 0 \quad\checkmark

Casi cero: la dirección horizontal es tangente a la curva de nivel ✔ Es la comprobación numérica de que la respuesta a (b) es la correcta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2019-2020

Reconocer el camino

El radio de los discos

Los vértices de la región

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · Trasladar primero

2 · La primera condición

3 · La segunda condición

4 · La intersección

5 · Deshacer la traslación

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La aproximación

La cota del error

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): el polinomio

2 · Apartado (b): la aproximación

3 · Apartado (c): la cota

4 · Comprobación

5 · Una observación que mejora la respuesta

Reconocer el camino

Cuál es la función

Reconocer el camino

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): cómo se identifican

2 · Apartado (b): las dos derivadas de hhh

3 · Crecimiento y extremos de hhh

4 · Concavidad e inflexiones de hhh

5 · Comprobación de coherencia

6 · Lo que enseña el ejercicio

Reconocer el camino

Una primitiva desplazada

Justificar el argumento

1 · El enunciado del teorema fundamental

2 · El enunciado de la regla de Barrow

3 · La demostración

4 · Por qué importa cada hipótesis

5 · Comprobación de que la regla no depende de la primitiva

Reconocer el camino

El denominador tras el cambio

El coeficiente de las fracciones simples

Justificar el argumento

1 · Ver la homogeneidad

2 · El cambio

3 · Fracciones simples

4 · Deshacer el cambio

5 · Dónde vale

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La componente vertical del gradiente

El radio de la curva de nivel

Justificar el argumento

1 · Qué función es

2 · El gradiente

3 · Apartado (a): hacia dónde huir

4 · Apartado (b): por dónde no cambia nada

5 · Apartado (c): dónde hay más

6 · Comprobación

2 · Apartado (b): las dos derivadas de $h$

3 · Crecimiento y extremos de $h$

4 · Concavidad e inflexiones de $h$