tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2020-2021

15 de enero de 2021 · 6 ejercicios · 60 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un semiplano al que un disco le da un mordiscoNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
a) Calcular el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el número complejo $\omega = \dfrac{8+8i}{a-2i}$ sea imaginario puro.

b) Sea el número complejo $z_1 = 3+ai$ , donde $a$ es el número real obtenido en el apartado anterior. Calcular y representar gráficamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:
$\begin{cases} \left|z-z_1\right| \le \left|\overline{z}+\overline{z_1}\right|\\[6pt] \left|z-\left(\overline{z_1}-i\right)\right| \ge 2 \end{cases}$
Calcular $a$ y describir la región.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un polinomio de una integral que no se puede calcularEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
a) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 3 de la función $f(x) = \displaystyle\int_0^{x}\mathrm{e}^{z^{2}}dz$ .

b) ¿La función $f(x)$ definida en el apartado anterior tiene puntos de inflexión?
Calcular el polinomio y decidir si hay inflexiones.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El bidón que gasta menos chapaEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Se desea construir un bidón cerrado (con sus dos tapas) en forma de cilindro circular, de capacidad $16\pi$ metros cúbicos. Determina las dimensiones del bidón que minimizan el área de la superficie del bidón.
Determinar el radio y la altura.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Enunciar el teorema fundamental y sacar Barrow de éllos 10 puntos son demostración — cero cálculoIntegración0 + 0 + 10 = 10 pts
Enunciar el Teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal y utilizarlo para demostrar la Regla de Barrow.
Enunciar y demostrar.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una integral que se simplifica y otra que ni siquiera existeIntegración1 + 9 + 0 = 10 pts
a) Calcular $\displaystyle\int\frac{\cos x}{8-4\,\mathrm{sen}^{2}x-7\cos^{2}x}\,dx$ .

b) Calcular $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ .
Calcular las dos integrales.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 29 puntos por calcular
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Ajustar el gradiente para que apunte a la bisectrizFunciones reales de varias variables reales1 + 7 + 2 = 10 pts
Hallar $a$ y $b$ para que la derivada direccional máxima de la función $f(x,y) = \mathrm{e}^{ax+by}\cos(x+y)$ en el punto $(0,0)$ en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante sea $3\sqrt2$ .
Hallar $a$ y $b$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 15 de enero de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un semiplano al que un disco le da un mordisco

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el número complejo $\omega = \dfrac{8+8i}{a-2i}$ sea imaginario puro.

b) Sea el número complejo $z_1 = 3+ai$ , donde $a$ es el número real obtenido en el apartado anterior. Calcular y representar gráficamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:

\begin{cases} \left|z-z_1\right| \le \left|\overline{z}+\overline{z_1}\right|\\[6pt] \left|z-\left(\overline{z_1}-i\right)\right| \ge 2 \end{cases}

Calcular $a$ y describir la región.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa que $\omega$ sea imaginario puro?
02
El valor de a
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El centro del disco que se quita
COMP2
La segunda condición excluye un disco. ¿Cuál es la ordenada de su centro?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Con el $a$ del apartado anterior, escribe las dos condiciones en $x$ e $y$ . La figura comprobará si la región coincide con la del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa & para juntar las dos condiciones
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción de la región. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Simplificar la primera condición. Como $\overline z+\overline{z_1} = \overline{z+z_1}$ y el conjugado no cambia el módulo, es $\left|z-z_1\right| \le \left|z+z_1\right|$ .
2. Leerla en distancias: los puntos que están más cerca de $z_1$ que de $-z_1$ . La frontera es la mediatriz del segmento que los une, que pasa por el origen.
3. En cartesianas: desarrollando los módulos al cuadrado queda $3x+2y \ge 0$ , un semiplano cerrado.
4. La segunda condición es el exterior cerrado del disco de centro $(3,-3)$ y radio 2.
5. Y el disco corta al semiplano: el centro dista $\frac{3}{\sqrt{13}} \approx 0{,}83$ de la recta, menos que el radio. La región es el semiplano con un mordisco.
Comparar la distancia del centro a la recta con el radio es la forma de saber si un disco y un semiplano se cortan. Sin ella, la descripción del recinto es adivinada.

Resolución completa

Datos. Un cociente que debe ser imaginario puro, y dos condiciones sobre $z$ .

1 · Apartado (a)

\omega = \frac{8+8i}{a-2i} = \frac{(8+8i)(a+2i)}{a^{2}+4}

Desarrollando el numerador:

8a+16i+8ai+16i^{2} = (8a-16)+(8a+16)i

Imaginario puro significa dos cosas:

\mathrm{Re}(\omega) = 0 \qquad\text{y}\qquad \mathrm{Im}(\omega) \neq 0

De la primera:

8a-16 = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{a = 2}

Y comprobando la segunda: $8\cdot2+16 = 32 \neq 0$ ✔ Con $a=2$ sale

\omega = \frac{32i}{8} = 4i

2 · Apartado (b): la primera condición

Con $a=2$ : $z_1 = 3+2i$ .

\overline z+\overline{z_1} = \overline{z+z_1} \;\Longrightarrow\; \left|\overline z+\overline{z_1}\right| = \left|z+z_1\right|

—el conjugado refleja el punto, pero no cambia su distancia al origen—. Ver esto de golpe ahorra media página.

\left|z-z_1\right| \le \left|z+z_1\right|

En distancias: los puntos que están más cerca de $z_1 = (3,2)$ que de $-z_1 = (-3,-2)$ . La frontera es la mediatriz del segmento que los une, y como los dos puntos son opuestos, pasa por el origen.

La cuenta, elevando al cuadrado —los dos módulos son no negativos—:

\left|z\right|^{2}-2\,\mathrm{Re}\left(z\overline{z_1}\right) +\left|z_1\right|^{2} \le \left|z\right|^{2}+2\,\mathrm{Re}\left(z\overline{z_1}\right) +\left|z_1\right|^{2}

0 \le 4\,\mathrm{Re}\left(z\overline{z_1}\right)

Y con $z\overline{z_1} = (x+yi)(3-2i) = (3x+2y)+(3y-2x)i$ :

\boxed{3x+2y \ge 0}

Semiplano cerrado, por encima de la recta $3x+2y=0$ —que tiene pendiente $-\frac32$ —.

3 · La segunda condición

\overline{z_1}-i = (3-2i)-i = 3-3i

\left|z-(3-3i)\right| \ge 2

\boxed{\text{Exterior CERRADO del disco de centro } (3,-3) \text{ y radio } 2}

4 · Cómo encajan

La pregunta que decide la forma del recinto: ¿el disco corta a la recta?

Distancia del centro $(3,-3)$ a la recta $3x+2y=0$ :

d = \frac{\left|3\cdot3+2\cdot(-3)\right|}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \approx 0{,}83

0{,}83 < 2 = r

El disco cruza la frontera. Así que del semiplano no se quita el disco entero, sino solo el trozo que cae dentro de él.

\boxed{ \begin{aligned} &\text{El semiplano cerrado } 3x+2y \ge 0,\\ &\text{menos el trozo abierto del disco de centro } (3,-3), r=2 \end{aligned}}

La circunferencia sí pertenece —la desigualdad es $\ge$ —, así que el borde del mordisco está incluido.

Figura nuestra: el enunciado pide representar. Sombreado el semiplano; en blanco, el trozo de disco que se le quita. La recta corta al disco, por eso el mordisco no es un circulo completo.

5 · Comprobación

Que $z_1$ cumple la primera condición. $3\cdot3+2\cdot2 = 13 \ge 0$ ✔ Tiene sentido: $z_1$ está a distancia 0 de sí mismo.

Que $-z_1$ no la cumple. $3(-3)+2(-2) = -13 \not\ge 0$ ✔

Que el origen está en la frontera. $0+0 = 0$ : se cumple con igualdad ✔ Como corresponde a un punto de la mediatriz de dos opuestos.

Con un punto del mordisco, $z = 3-3i$ , el propio centro:

3\cdot3+2\cdot(-3) = 3 \ge 0 \quad\checkmark \text{(cumple la primera)}

\left|z-(3-3i)\right| = 0 \not\ge 2 \quad\checkmark \text{(falla la segunda)}

Está en el semiplano pero se le quita ✔

Con un punto del disco que ya estaba fuera del semiplano, $z = 3-4{,}5i$ :

3\cdot3+2\cdot(-4{,}5) = 0 \quad\text{justo en la recta}

Y $\left|z-(3-3i)\right| = 1{,}5 < 2$ : está dentro del disco. Confirma que el disco llega hasta la recta y la cruza ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 15 de enero de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un polinomio de una integral que no se puede calcular

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 3 de la función $f(x) = \displaystyle\int_0^{x}\mathrm{e}^{z^{2}}dz$ .

b) ¿La función $f(x)$ definida en el apartado anterior tiene puntos de inflexión?

Calcular el polinomio y decidir si hay inflexiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la vía más corta para el apartado (a)?
02
El coeficiente cúbico
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de $x^{3}$ en el polinomio?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con seis decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Las inflexiones
COMP2
¿Cuántos puntos de inflexión tiene $f$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Derivar con el teorema fundamental. El integrando $\mathrm{e}^{z^{2}}$ es continuo, así que $f'(x) = \mathrm{e}^{x^{2}}$ .
2. La segunda derivada: $f''(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$ .
3. Los candidatos: $f''=0$ solo en $x=0$ , porque la exponencial no se anula nunca.
4. Comprobar el cambio de signo: $f''<0$ a la izquierda y $f''>0$ a la derecha. Es inflexión.
5. Sí hay inflexión, exactamente una, en el origen $(0,0)$ .
El desarrollo detecta el candidato y el estudio del signo lo confirma. Son dos pasos, no uno.

intervalo	$f''$	$f$
$x<0$	$<0$	cóncava
$x>0$	$>0$	convexa

Resolución completa

Datos. $f(x) = \int_0^{x}\mathrm{e}^{z^{2}}dz$ .

1 · Apartado (a): integrar la serie

$\mathrm{e}^{z^{2}}$ no tiene primitiva elemental. Pero para el polinomio de Taylor no hace falta: basta desarrollar el integrando e integrar término a término, que es lícito dentro del radio de convergencia —aquí infinito—.

Sustituyendo $t = z^{2}$ en $\mathrm{e}^{t} = \sum\frac{t^{n}}{n!}$ :

\mathrm{e}^{z^{2}} = 1+z^{2}+\frac{z^{4}}{2!}+\frac{z^{6}}{3!}+\ldots

Ojo al coeficiente de $z^{2}$ : vale 1, no $\frac12$ . Viene del término $\frac{t^{1}}{1!}$ .

Integrando:

f(x) = \int_0^{x}\left(1+z^{2}+\frac{z^{4}}{2}+\ldots\right)dz = x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{10}+\frac{x^{7}}{42}+\ldots

\boxed{P_3(x) = x+\frac{x^{3}}{3}}

2 · Comprobación por la otra vía

Derivando, que es el camino largo pero independiente:

f'(x) = \mathrm{e}^{x^{2}} \;\Longrightarrow\; f'(0) = 1

f''(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}} \;\Longrightarrow\; f''(0) = 0

f'''(x) = 2\mathrm{e}^{x^{2}}+4x^{2}\mathrm{e}^{x^{2}} \;\Longrightarrow\; f'''(0) = 2

Y $f(0)=0$ . Montando el polinomio:

P_3(x) = 0+1\cdot x+\frac{0}{2}x^{2}+\frac{2}{6}x^{3} = x+\frac{x^{3}}{3} \quad\checkmark

3 · Apartado (b): las inflexiones

f''(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}

Candidatos: $f''=0$ solo donde $2x=0$ , porque la exponencial nunca se anula. Un único candidato: $x=0$ .

Cambio de signo, que es lo que hay que comprobar:

intervalo	$2x$	$f''$	$f$
$x<0$	$<0$	$<0$	cóncava
$x>0$	$>0$	$>0$	convexa

\boxed{\text{SÍ: un único punto de inflexión, en } (0,0)}

4 · Por qué anularse no basta

El error natural es contestar «sí, porque $f''(0)=0$ ». No es suficiente: $g(x) = x^{4}$ tiene $g''(0)=0$ y no tiene inflexión ahí, porque $g''=12x^{2}$ es positiva a los dos lados.

La definición de punto de inflexión es que la concavidad cambie, y eso se demuestra con el signo, no con el valor.

5 · Lo que también se ve

$f$ es impar. Su desarrollo solo tiene potencias impares, y en efecto

f(-x) = \int_0^{-x}\mathrm{e}^{z^{2}}dz = -\int_0^{x}\mathrm{e}^{z^{2}}dz = -f(x)

Toda función impar derivable tiene $f''(0)=0$ , así que la inflexión en el origen estaba anunciada por la simetría.

$f$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ , porque $f' = \mathrm{e}^{x^{2}} \ge 1 > 0$ . No tiene extremos.

Y crece muy deprisa: $f'(x) = \mathrm{e}^{x^{2}}$ vale ya 22026 en $x=3$ . Nada que ver con la función error del ejercicio 5 de otros años — $\mathrm{e}^{-z^{2}}$ —, que está acotada.

6 · Comprobación numérica del polinomio

$x$	$P_3(x)$	$f(x)$ (con seis términos)	error
$0{,}2$	$0{,}20267$	$0{,}20268$	$10^{-5}$
$0{,}5$	$0{,}54167$	$0{,}54498$	$3{,}3\cdot10^{-3}$
$1$	$1{,}33333$	$1{,}46265$	$0{,}13$

El error crece como $x^{5}$ , que es el primer término omitido: al pasar de $0{,}2$ a $0{,}5$ se multiplica por unas $\left(2{,}5\right)^{5} \approx 98$ veces ✔ Y en $x=1$ el polinomio de orden 3 ya se queda corto, como corresponde a una función que crece así.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 15 de enero de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El bidón que gasta menos chapa

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desea construir un bidón cerrado (con sus dos tapas) en forma de cilindro circular, de capacidad $16\pi$ metros cúbicos. Determina las dimensiones del bidón que minimizan el área de la superficie del bidón.

Determinar el radio y la altura.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que minimizar y con qué ligadura?
02
El radio óptimo
COMP2
¿Cuál es el radio que minimiza la superficie, en metros?
Tu respuesta al paso 2un número, en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La superficie mínima
COMP2
¿Cuál es la superficie mínima, en metros cuadrados?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número, en metros cuadrados con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la justificación de que es un mínimo. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El dominio es $r>0$ : un radio no puede ser cero ni negativo, y el intervalo es abierto.
2. La segunda derivada: $S''(r) = 4\pi+\frac{64\pi}{r^{3}}$ , que es positiva para todo $r>0$ .
3. Luego $S$ es convexa en todo el dominio, y un punto crítico de una función convexa es su mínimo absoluto.
4. Los límites lo confirman: $S\to+\infty$ cuando $r\to0^{+}$ —las tapas se encogen pero el bidón se estira— y cuando $r\to\infty$ —las tapas se disparan—.
5. Conclusión: $r=2$ m y $h=4$ m, con $S_{\min} = 24\pi \approx 75{,}4$ m².
Con $S''>0$ en todo el dominio no hace falta ni mirar los límites: la convexidad ya da el mínimo absoluto. Los límites son la comprobación.

Resolución completa

Datos. Cilindro cerrado de volumen $16\pi$ m³.

1 · Plantear

La función a minimizar es la superficie total. Un cilindro cerrado tiene dos tapas y una pared:

S = \underbrace{2\pi r^{2}}_{\text{dos tapas}} +\underbrace{2\pi rh}_{\text{pared lateral}}

La pared, desenrollada, es un rectángulo de base la circunferencia $2\pi r$ y altura $h$ .

La ligadura es el volumen:

\pi r^{2}h = 16\pi \;\Longrightarrow\; h = \frac{16}{r^{2}}

2 · Reducir a una variable

S(r) = 2\pi r^{2}+2\pi r\cdot\frac{16}{r^{2}}

\boxed{S(r) = 2\pi r^{2}+\frac{32\pi}{r}, \qquad r \in (0,\infty)}

Los dos términos tiran en direcciones opuestas: al crecer $r$ las tapas encarecen y la pared abarata. El óptimo es el equilibrio.

3 · Derivar

S'(r) = 4\pi r-\frac{32\pi}{r^{2}}

S'(r) = 0 \;\Longrightarrow\; 4\pi r = \frac{32\pi}{r^{2}} \;\Longrightarrow\; 4r^{3} = 32 \;\Longrightarrow\; r^{3} = 8

\boxed{r = 2 \ \text{m}}

h = \frac{16}{2^{2}} = \boxed{4 \ \text{m}}

4 · Justificar que es el mínimo

S''(r) = 4\pi+\frac{64\pi}{r^{3}}

Para todo $r>0$ los dos sumandos son positivos, así que

S''(r) > 0 \quad\text{en TODO el dominio}

$S$ es convexa en $(0,\infty)$ , y una función convexa con un punto crítico lo tiene como mínimo absoluto. No hace falta más.

Los límites lo confirman:

\lim_{r\to0^{+}}S(r) = +\infty, \qquad \lim_{r\to\infty}S(r) = +\infty

—un bidón muy estrecho es larguísimo y gasta mucha pared; uno muy ancho gasta muchísima tapa—.

5 · El resultado y su lectura

S_{\min} = 2\pi\cdot4+2\pi\cdot2\cdot4 = 8\pi+16\pi

\boxed{S_{\min} = 24\pi \approx 75{,}40 \ \mathrm{m^{2}}}

Dos observaciones que valen puntos:

h = 4 = 2\cdot2 = 2r

La altura es igual al diámetro. El cilindro cerrado más económico es el que «cabe justo» en un cubo: visto de perfil es un cuadrado. Es un resultado general, no de estos números.

Y el reparto del gasto:

parte	superficie
dos tapas	$8\pi$
pared lateral	$16\pi$

La pared cuesta exactamente el doble que las tapas. También es general: en el óptimo del cilindro cerrado la proporción siempre es 1 : 2.

6 · Comprobación

Del volumen: $\pi\cdot2^{2}\cdot4 = 16\pi$ ✔

Probando radios alrededor:

$r$	$h = 16/r^{2}$	$S = 2\pi r^{2}+2\pi rh$
$1$	$16$	$2\pi+32\pi = 34\pi$
$1{,}5$	$7{,}11$	$4{,}5\pi+21{,}33\pi = 25{,}83\pi$
$2$	$4$	$\mathbf{24\pi}$
$3$	$1{,}78$	$18\pi+10{,}67\pi = 28{,}67\pi$

El $24\pi$ es el menor ✔ Y la curva es claramente suave alrededor: entre $r=1{,}5$ y $r=3$ la superficie solo varía un 11 %, lo típico de un mínimo con segunda derivada moderada.

Del resultado general. Rehaciendo el problema con volumen $V$ cualquiera sale

r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}, \qquad h = 2r

Con $V = 16\pi$ : $r = \sqrt[3]{8} = 2$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 15 de enero de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Enunciar el teorema fundamental y sacar Barrow de él

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar el Teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal y utilizarlo para demostrar la Regla de Barrow.

Enunciar y demostrar.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice exactamente el teorema fundamental?
02
La constante que se cancela
COMP2
Calcula $\int_0^{3}x^{2}dx$ usando la primitiva $G(x) = \frac{x^{3}}{3}+100$ , que también lo es.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración de la regla de Barrow. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Partir del teorema fundamental. Como $f$ es continua en $[a,b]$ , la función $F(x) = \int_a^{x}f(t)\,dt$ es derivable y $F'(x) = f(x)$ en todo $[a,b]$ . Es decir: $F$ es una primitiva de $f$ .
2. Sea $G$ otra primitiva cualquiera, es decir $G' = f$ en $[a,b]$ . Entonces $(G-F)' = f-f = 0$ en todo el intervalo.
3. Una función con derivada nula en un INTERVALO es constante. Es consecuencia del teorema del valor medio de Lagrange, y aquí es donde se usa que $[a,b]$ sea un intervalo.
4. Luego $G(x) = F(x)+C$ para todo $x \in [a,b]$ , con $C$ una constante.
5. Evaluar en los extremos: $G(b)-G(a) = \left[F(b)+C\right]-\left[F(a)+C\right] = F(b)-F(a)$ .
6. Y como $F(a) = \int_a^{a}f = 0$ y $F(b) = \int_a^{b}f$ , queda $\int_a^{b}f = G(b)-G(a)$ .
Que $C$ se cancele es lo que permite usar cualquier primitiva. Sin eso, Barrow no serviría de nada en la práctica.
04
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde se usa que $[a,b]$ sea un intervalo y no un conjunto cualquiera?

Resolución completa

Lo que pide el enunciado. Dos cosas, y las dos puntúan: enunciar bien y demostrar bien. Los diez puntos son de COMP4.

1 · El teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal

Teorema. Sea $f$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ . Se define la función integral
$F(x) = \int_a^{x}f(t)\,dt, \qquad x \in [a,b]$
Entonces $F$ es derivable en $[a,b]$ y
$F'(x) = f(x) \qquad \text{para todo } x \in [a,b]$
Es decir: $F$ es una primitiva de $f$ .

Dos precisiones que conviene añadir:

Basta con que $f$ sea integrable para que $F$ esté definida y sea continua; la derivabilidad en un punto necesita que $f$ sea continua en ese punto.
En los extremos $a$ y $b$ se entiende derivada lateral.

Qué dice, en una frase: integrar una función continua produce una primitiva suya. Derivar deshace integrar.

2 · La regla de Barrow

Regla de Barrow. Sea $f$ continua en $[a,b]$ y sea $G$ una primitiva cualquiera de $f$ en $[a,b]$ , es decir $G'=f$ . Entonces
$\int_a^{b}f(x)\,dx = G(b)-G(a)$

Nótese la diferencia: el teorema fundamental construye una primitiva; Barrow usa una para calcular la integral. Son las dos direcciones del mismo puente.

3 · La demostración

Paso 1. Como $f$ es continua en $[a,b]$ , el teorema fundamental asegura que

F(x) = \int_a^{x}f(t)\,dt

es derivable con $F' = f$ . Luego $F$ es una primitiva de $f$ .

Paso 2. Sea $G$ otra primitiva cualquiera. Entonces

(G-F)'(x) = G'(x)-F'(x) = f(x)-f(x) = 0 \qquad\text{para todo } x \in [a,b]

Paso 3. Una función con derivada nula en un intervalo es constante. Y aquí conviene decir por qué: si hubiera $x_1<x_2$ con $(G-F)(x_1) \neq (G-F)(x_2)$ , el teorema del valor medio de Lagrange daría un $\xi \in (x_1,x_2)$ con

(G-F)'(\xi) = \frac{(G-F)(x_2)-(G-F)(x_1)}{x_2-x_1} \neq 0

contra el paso 2. Luego existe $C$ con

G(x) = F(x)+C \qquad\text{para todo } x \in [a,b]

Paso 4. Evaluando en los dos extremos y restando:

G(b)-G(a) = \left[F(b)+C\right]-\left[F(a)+C\right] = F(b)-F(a)

La constante se cancela. Por eso vale cualquier primitiva.

Paso 5. Y por definición de $F$ :

F(a) = \int_a^{a}f = 0, \qquad F(b) = \int_a^{b}f

\boxed{\int_a^{b}f(x)\,dx = G(b)-G(a)} \qquad \blacksquare

4 · Las tres hipótesis, y qué pasa sin ellas

Una demostración de COMP4 se juzga por si las hipótesis están dichas y usadas. Estas son las tres:

hipótesis	dónde se usa	qué pasa sin ella
$f$ continua	paso 1, para que $F'=f$	$F$ puede no ser derivable
$[a,b]$ es un intervalo	paso 3, para la constante	la diferencia puede no ser constante
$G' = f$ en todo $[a,b]$	paso 2	si falla en un punto, la resta no es nula ahí

La del intervalo es la que más se olvida. En un dominio desconexo el paso 3 es falso: la función que vale $0$ en $(-1,0)$ y $1$ en $(0,1)$ tiene derivada nula en todo su dominio y no es constante.

Y la de la continuidad tiene un contraejemplo clásico. Si

f(x) = \begin{cases}0 & x \le 0\\ 1 & x>0\end{cases}

entonces $F(x) = \int_{-1}^{x}f$ vale 0 a la izquierda y $x$ a la derecha: es continua pero no derivable en 0, justo donde $f$ salta. El teorema fundamental no se aplica ahí.

5 · Una comprobación de que la regla funciona

Con $f(x) = x^{2}$ en $[0,3]$ y dos primitivas distintas:

G_1(x) = \frac{x^{3}}{3}, \qquad G_2(x) = \frac{x^{3}}{3}+100

G_1(3)-G_1(0) = 9-0 = 9

G_2(3)-G_2(0) = 109-100 = 9 \quad\checkmark

La misma respuesta con las dos: el $C$ se cancela, como decía el paso 4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 15 de enero de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una integral que se simplifica y otra que ni siquiera existe

COMP 11 punto por reconocer
COMP 29 puntos por calcular

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular $\displaystyle\int\frac{\cos x}{8-4\,\mathrm{sen}^{2}x-7\cos^{2}x}\,dx$ .

b) Calcular $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ .

Calcular las dos integrales.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado (a), ¿qué conviene hacer antes de sustituir?
02
El denominador simplificado
COMP2
Escribiendo todo en función de $s = \mathrm{sen}\,x$ , el denominador queda $1+k\,s^{2}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de la primitiva
COMP2
La primitiva es $C\arctan\left(\sqrt3\,\mathrm{sen}\,x\right)$ . ¿Cuánto vale $C$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Mirar el integrando antes de integrar. $\frac{1}{x^{2}}$ no está definida en $x=0$ , y $0$ está dentro de $[-1,1]$ .
2. Es una integral impropia de segunda especie, y hay que partirla en el punto conflictivo: $\int_{-1}^{0}+\int_0^{1}$ .
3. La primera mitad: $\lim_{\varepsilon\to0^{-}}\left[-\frac1x\right]_{-1}^{\varepsilon} = \lim\left(-\frac{1}{\varepsilon}-1\right) = +\infty$ .
4. Diverge, y basta con que una mitad lo haga: la integral no converge.
5. La comprobación de sentido común: el integrando es positivo en todo el intervalo, así que la integral no puede salir negativa.
Que el resultado salga negativo con un integrando positivo es la alarma. Comprobar el signo cuesta un segundo y detecta el fallo.

Resolución completa

Datos. Dos integrales. La primera es un cambio disfrazado; la segunda es una trampa.

1 · Apartado (a): simplificar antes de integrar

El denominador tiene seno y coseno mezclados. Con $\cos^{2}x = 1-\mathrm{sen}^{2}x$ , escribiendo $s = \mathrm{sen}\,x$ :

8-4s^{2}-7\left(1-s^{2}\right) = 8-4s^{2}-7+7s^{2} = 1+3s^{2}

La integral se vuelve

\int\frac{\cos x\,dx}{1+3\,\mathrm{sen}^{2}x}

Y el numerador es la derivada del seno, que es lo único que hay dentro. El cambio es inmediato:

u = \mathrm{sen}\,x, \qquad du = \cos x\,dx

\int\frac{du}{1+3u^{2}}

2 · El arcotangente

Sacando el 3 factor común para dejarlo en la forma $\int\frac{du}{a^{2}+u^{2}}$ :

\int\frac{du}{3\left(u^{2}+\frac13\right)} = \frac13\int\frac{du}{u^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{2}}

= \frac13\cdot\sqrt3\,\arctan\left(\sqrt3\,u\right)+C

\boxed{\int\frac{\cos x\,dx}{8-4\,\mathrm{sen}^{2}x-7\cos^{2}x} = \frac{\sqrt3}{3}\arctan\left(\sqrt3\,\mathrm{sen}\,x\right)+C}

Comprobando por derivación:

\frac{d}{dx}\left[\frac{\sqrt3}{3} \arctan\left(\sqrt3\,\mathrm{sen}\,x\right)\right] = \frac{\sqrt3}{3}\cdot \frac{\sqrt3\cos x}{1+3\,\mathrm{sen}^{2}x} = \frac{\cos x}{1+3\,\mathrm{sen}^{2}x} \quad\checkmark

3 · Apartado (b): mirar el integrando primero

\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}

El integrando no está definido en $x=0$ , y $0$ está justo en medio del intervalo. Es una integral impropia de segunda especie, y hay que partirla:

\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}} = \int_{-1}^{0}\frac{dx}{x^{2}}+\int_0^{1}\frac{dx}{x^{2}}

La primera mitad:

\int_{-1}^{0}\frac{dx}{x^{2}} = \lim_{\varepsilon\to0^{-}}\left[-\frac1x\right]_{-1}^{\varepsilon} = \lim_{\varepsilon\to0^{-}}\left(-\frac{1}{\varepsilon}-1\right) = +\infty

—porque $\varepsilon$ es negativo y $-\frac{1}{\varepsilon}$ se dispara a $+\infty$ —.

\boxed{\text{La integral DIVERGE}}

Basta con que una mitad diverja. La otra hace lo mismo, por simetría.

4 · La trampa, dicha en voz alta

Aplicando Barrow sin mirar:

\left[-\frac1x\right]_{-1}^{1} = -1-(+1) = -2

Y eso es imposible. El integrando $\frac{1}{x^{2}}$ es positivo en todo el intervalo, así que su integral —si existiera— tendría que ser positiva. Un resultado negativo es la alarma.

El fallo está en que la regla de Barrow exige que la primitiva valga en todo el intervalo, y $-\frac1x$ no está definida en $x=0$ . Sin esa hipótesis, la regla no dice nada — y aquí dice algo falso.

Es exactamente el mismo teorema del ejercicio 4 de este examen, visto desde su hipótesis. Los dos ejercicios están puestos a propósito en el mismo papel.

5 · Comprobación

De (a), numéricamente. Entre $x=0$ y $x=\frac{\pi}{2}$ :

\frac{\sqrt3}{3}\left[\arctan\sqrt3-\arctan0\right] = 0{,}5774\cdot\frac{\pi}{3} = 0{,}6046

Y sumando el integrando en cien trozos sale $0{,}6046$ ✔

De (a), en un caso fácil. En $x=0$ el integrando vale $\frac{1}{1} = 1$ , y la derivada de la primitiva en 0 vale $\frac{\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3 = 1$ ✔

De (b), viendo cómo diverge. Truncando cerca del cero:

$\varepsilon$	$\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$
$0{,}1$	$9$
$0{,}01$	$99$
$0{,}001$	$999$

Crece como $\frac{1}{\varepsilon}$ : sin techo ✔

Y el criterio general que lo decide sin cuentas. $\int_0^{1}\frac{dx}{x^{p}}$ converge si y solo si $p<1$ . Aquí $p=2$ : diverge ✔ Merece la pena recordarlo, porque resuelve el apartado de un vistazo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 6 · Tercera evaluación, 15 de enero de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · Este ejercicio es de varias variables, materia del segundo cuatrimestre · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Ajustar el gradiente para que apunte a la bisectriz

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar $a$ y $b$ para que la derivada direccional máxima de la función $f(x,y) = \mathrm{e}^{ax+by}\cos(x+y)$ en el punto $(0,0)$ en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante sea $3\sqrt2$ .

Hallar $a$ y $b$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dos cosas dice el enunciado sobre el gradiente?
02
El gradiente en el origen
COMP2
¿Cuánto vale $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ , en función de $a$ ? Si $a=3$ , ¿cuánto sale?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de a
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos propiedades del gradiente: la derivada direccional máxima se alcanza en su dirección, y su valor es $\left|\nabla f\right|$ .
2. Calcular el gradiente en el origen. Derivando por partes y evaluando: $\nabla f(0,0) = (a,b)$ .
3. Primera ecuación, la dirección: $(a,b)$ paralelo y del mismo sentido que $(1,1)$ , luego $a=b>0$ .
4. Segunda ecuación, el módulo: $\sqrt{a^{2}+b^{2}} = a\sqrt2 = 3\sqrt2$ , de donde $a=3$ .
5. Resultado: $a = b = 3$ , con $\nabla f(0,0) = (3,3)$ y $\left|\nabla f\right| = 3\sqrt2$ ✔
Paralelo no es lo mismo que del mismo sentido. Esa distinción es la que descarta la segunda solución.

Resolución completa

Datos. $f(x,y) = \mathrm{e}^{ax+by}\cos(x+y)$ , el punto $(0,0)$ , la dirección de la bisectriz del primer cuadrante y el valor $3\sqrt2$ .

Este ejercicio es de funciones de varias variables, tema 6 del programa y materia del segundo cuatrimestre. Aparece aquí porque el examen de enero de 2021 lo incluyó.

1 · Las dos propiedades que hacen falta

Para una función diferenciable, la derivada direccional en la dirección unitaria $\vec u$ es

D_{\vec u}f = \nabla f \cdot \vec u = \left|\nabla f\right|\cos\theta

donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec u$ y el gradiente. De ahí las dos propiedades:

El máximo se alcanza cuando $\theta=0$ , es decir en la dirección del gradiente.
Ese máximo vale $\left|\nabla f\right|$ .

El enunciado da las dos cosas: la dirección y el valor. Dos ecuaciones, dos incógnitas.

2 · El gradiente en el origen

Derivando con la regla del producto:

\frac{\partial f}{\partial x} = a\,\mathrm{e}^{ax+by}\cos(x+y)-\mathrm{e}^{ax+by}\mathrm{sen}(x+y)

\frac{\partial f}{\partial y} = b\,\mathrm{e}^{ax+by}\cos(x+y)-\mathrm{e}^{ax+by}\mathrm{sen}(x+y)

En $(0,0)$ : $\mathrm{e}^{0}=1$ , $\cos0=1$ , $\mathrm{sen}\,0=0$ . Los segundos términos se anulan:

\boxed{\nabla f(0,0) = (a,\,b)}

El enunciado está construido para que el gradiente en el origen sea directamente el par de parámetros.

3 · Las dos ecuaciones

Dirección. La bisectriz del primer cuadrante tiene vector director $(1,1)$ , y unitario $\frac{(1,1)}{\sqrt2}$ . Que el gradiente apunte ahí:

(a,b) = \lambda(1,1) \text{ con } \lambda>0 \;\Longrightarrow\; a = b > 0

Módulo.

\left|\nabla f(0,0)\right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{2a^{2}} = \left|a\right|\sqrt2

Igualando a $3\sqrt2$ y con $a>0$ :

a\sqrt2 = 3\sqrt2 \;\Longrightarrow\; a = 3

\boxed{a = 3, \qquad b = 3}

4 · Por qué $a=b=-3$ no vale

El módulo saldría igual: $\left|(-3,-3)\right| = 3\sqrt2$ . Pero el gradiente apuntaría a la bisectriz del tercer cuadrante, y en la dirección $\vec u = \frac{(1,1)}{\sqrt2}$ la derivada direccional sería

D_{\vec u}f = (-3,-3)\cdot\frac{(1,1)}{\sqrt2} = \frac{-6}{\sqrt2} = -3\sqrt2

Ese es el valor mínimo de la derivada direccional, no el máximo. El enunciado dice «máxima», y eso fija el signo.

Paralelo no es lo mismo que del mismo sentido, y aquí la diferencia descarta media solución.

5 · Comprobación

Del gradiente. Con $a=b=3$ :

\nabla f(0,0) = (3,3), \qquad \left|\nabla f\right| = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt2 \quad\checkmark

De la derivada direccional en la bisectriz:

D_{\vec u}f = (3,3)\cdot\frac{(1,1)}{\sqrt2} = \frac{6}{\sqrt2} = 3\sqrt2 \quad\checkmark

Coincide con el módulo, que es la señal de que $\vec u$ es exactamente la dirección del gradiente.

En otra dirección, para ver que es menor. Con $\vec v = (1,0)$ :

D_{\vec v}f = (3,3)\cdot(1,0) = 3 < 3\sqrt2 \approx 4{,}243 \quad\checkmark

Numérica, avanzando por la bisectriz. Con $t=0{,}01$ , el punto $\left(\frac{t}{\sqrt2},\frac{t}{\sqrt2}\right)$ :

f = \mathrm{e}^{3\cdot2\cdot0{,}00707}\cos(0{,}01414) = \mathrm{e}^{0{,}04243}\cdot0{,}9999 = 1{,}04324

\frac{f-f(0,0)}{t} = \frac{1{,}04324-1}{0{,}01} = 4{,}324

frente a $3\sqrt2 = 4{,}243$ ✔ Los ocho centésimos de diferencia son el término de segundo orden: una diferencia hacia delante se equivoca en $\tfrac{t}{2}f''$ , y aquí $f'' = (3\sqrt2)^{2}-(\sqrt2)^{2} = 16$ , o sea $0{,}005\cdot 16 = 0{,}08$ . Cuadra.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2020-2021

Reconocer el camino

El valor de a

El centro del disco que se quita

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · Apartado (a)

2 · Apartado (b): la primera condición

3 · La segunda condición

4 · Cómo encajan

5 · Comprobación

Reconocer el camino

El coeficiente cúbico

Las inflexiones

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): integrar la serie

2 · Comprobación por la otra vía

3 · Apartado (b): las inflexiones

4 · Por qué anularse no basta

5 · Lo que también se ve

6 · Comprobación numérica del polinomio

Reconocer el camino

El radio óptimo

La superficie mínima

Justificar el argumento

1 · Plantear

2 · Reducir a una variable

3 · Derivar

4 · Justificar que es el mínimo

5 · El resultado y su lectura

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La constante que se cancela

Justificar el argumento

Reconocer el camino

1 · El teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal

2 · La regla de Barrow

3 · La demostración

4 · Las tres hipótesis, y qué pasa sin ellas

5 · Una comprobación de que la regla funciona

Reconocer el camino

El denominador simplificado

El coeficiente de la primitiva

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): simplificar antes de integrar

2 · El arcotangente

3 · Apartado (b): mirar el integrando primero

4 · La trampa, dicha en voz alta

5 · Comprobación

Reconocer el camino

El gradiente en el origen

El valor de a

Justificar el argumento

1 · Las dos propiedades que hacen falta

2 · El gradiente en el origen

3 · Las dos ecuaciones

4 · Por qué a=b=−3a=b=-3a=b=−3 no vale

5 · Comprobación

4 · Por qué $a=b=-3$ no vale