tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2017-2018

23 de enero de 2018 · 6 ejercicios · 60 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Cuando el cubo vale menos el móduloNúmeros complejos2 + 4 + 4 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la siguiente condición:
$z^{3} = -\left\lvert z\right\rvert$
Calcular las soluciones y representarlas.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Demostrar la suma de la geométrica, y usarla desde el tercer términoSucesiones y series numéricas2 + 4 + 4 = 10 pts
Demostrar que el límite de la serie geométrica $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}$ es $\dfrac{1}{1-r}$ y, como aplicación, obtener el valor de $\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}r^{n}$ .
Demostrar la fórmula y aplicarla.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos definiciones y un punto fijoFunciones reales de una variable real2 + 0 + 8 = 10 pts
a) Definir el límite de una sucesión.

b) Definir el límite de una función en un punto.

c) Demostrar la siguiente propiedad:

Si $y = f(x)$ es una función continua en $[a,b]$ tal que $f(x) \in [a,b]$ , entonces $f(x) = x$ tiene, al menos, una solución en $[a,b]$ .

¿Cuándo es única esta solución?
Dar las dos definiciones, demostrar y discutir la unicidad.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La serie que suma la armónica alternadaEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
a) Hallar el desarrollo en serie de la función $y = \ln(2-x)$ en el punto $a=1$ .

b) Teniendo en cuenta el resultado del apartado anterior, calcular el valor de la siguiente suma: $S = 1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\dfrac15-\ldots$
Hallar la serie y sumar la serie numérica.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un recinto entre parábola, recta y eje, con sus dos volúmenesIntegración0 + 6 + 4 = 10 pts
Sea $D$ el recinto limitado por las condiciones $y \ge x^{2}$ , $y \le 6-x$ , $x \ge 0$ .

a) Representar gráficamente el recinto $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Plantear el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.

d) Plantear el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OY.
Representar, calcular el área y plantear los dos volúmenes.
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una integral con el cambio ya dadoIntegración0 + 9 + 1 = 10 pts
Calcular la integral $\displaystyle\int\frac{dx}{\mathrm{tg}^{2}x+3\,\mathrm{sen}^{2}x}$ haciendo el cambio de variable $\mathrm{tg}\,x = t$ .
Calcular la integral con el cambio indicado.
- COMP 29 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2018 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Cuando el cubo vale menos el módulo

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la siguiente condición:

z^{3} = -\left\lvert z\right\rvert

Calcular las soluciones y representarlas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice el segundo miembro antes de hacer ninguna cuenta?
02
Cuántas soluciones hay
COMP2
¿Cuántos números complejos cumplen la condición?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución real no nula
COMP2
Una de las soluciones es un número real distinto de cero. ¿Cuál?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Leer el segundo miembro. $-\left\lvert z\right\rvert$ es real y $\le0$ , así que $z^{3}$ está en el semieje real negativo o es cero.
2. Tomar módulos: $r^{3} = r$ , con $r\ge0$ . Sale $r=0$ o $r=1$ .
3. El caso $r=0$ : $z=0$ , y en efecto $0 = -0$ ✔
4. El caso $r=1$ : la ecuación queda $z^{3} = -1 = \mathrm{e}^{i\pi}$ , cuyas tres raíces tienen argumentos $\frac{\pi}{3}$ , $\pi$ y $\frac{5\pi}{3}$ .
5. Cuatro soluciones: el origen y tres puntos sobre la circunferencia unidad que forman un triángulo equilátero, con un vértice en $-1$ .
El módulo restringe los candidatos; la ecuación original los selecciona. Son dos pasos distintos y solo el segundo decide.

módulo	soluciones
$r=0$	$z=0$ , una
$r=1$	$z^{3}=-1$ , tres

Resolución completa

Datos. $z^{3} = -\left\lvert z\right\rvert$ .

1 · Qué dice el enunciado antes de calcular

El segundo miembro es $-\left\lvert z\right\rvert$ : un número real y no positivo. Así que la ecuación exige que $z^{3}$ caiga sobre el semieje real negativo, o que sea cero.

Eso ya limita mucho los argumentos posibles, y conviene decirlo: es la lectura que puntúa en COMP1.

2 · El módulo

Tomando módulos en los dos miembros, con $r = \left\lvert z\right\rvert \ge 0$ :

\left\lvert z\right\rvert^{3} = \left\lvert z\right\rvert \;\Longrightarrow\; r^{3}-r = 0 \;\Longrightarrow\; r\left(r-1\right)\left(r+1\right) = 0

r = 0, \qquad r = 1, \qquad \cancel{r = -1}

La tercera se descarta porque un módulo no es negativo.

3 · Caso $r = 0$

\boxed{z = 0}

Y cumple: $0^{3} = 0 = -\left\lvert0\right\rvert$ ✔

Es la solución que se olvida, porque no aparece al pasar a polar —el cero no tiene argumento—.

4 · Caso $r = 1$

La ecuación se convierte en

z^{3} = -1 = 1\cdot\mathrm{e}^{i\pi}

r^{3} = 1 \Rightarrow r = 1 \ \checkmark \qquad 3\theta = \pi+2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}

$k$	$\theta$	forma binómica
0	$\frac{\pi}{3} = 60°$	$\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$
1	$\pi = 180°$	$-1$
2	$\frac{5\pi}{3} = 300°$	$\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$

5 · Las cuatro soluciones

\boxed{z = 0, \quad z = -1, \quad z = \frac12+\frac{\sqrt3}{2}i, \quad z = \frac12-\frac{\sqrt3}{2}i}

Figura nuestra: el enunciado pide representar. Los tres puntos rojos son las raices cubicas de menos uno, y el violeta es el origen, la cuarta solucion.

Un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia unidad, con un vértice en $-1$ , más el origen.

6 · Comprobación

Con $z = -1$ :

(-1)^{3} = -1, \qquad -\left\lvert-1\right\rvert = -1 \quad\checkmark

Con $z = \frac12+\frac{\sqrt3}{2}i = \mathrm{e}^{i\pi/3}$ :

z^{3} = \mathrm{e}^{i\pi} = -1, \qquad -\left\lvert z\right\rvert = -1 \quad\checkmark

Con $z = 0$ : $0 = 0$ ✔

Con un candidato falso, $z = 1$ :

1^{3} = 1 \neq -1 = -\left\lvert1\right\rvert

No cumple ✔ Su módulo sí valdría 1, pero el argumento no encaja: es la prueba de que el módulo por sí solo no basta.

De la suma de las tres de módulo 1. Son las raíces de $z^{3}+1=0$ , polinomio sin término en $z^{2}$ , así que deben sumar 0:

\left(\frac12+\frac12-1\right) +i\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\right) = 0 \quad\checkmark

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2018 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Demostrar la suma de la geométrica, y usarla desde el tercer término

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que el límite de la serie geométrica $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}$ es $\dfrac{1}{1-r}$ y, como aplicación, obtener el valor de $\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}r^{n}$ .

Demostrar la fórmula y aplicarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hipótesis falta en el enunciado y hay que declarar?
02
La suma desde el tercer término
COMP2
Con $r = \frac12$ , ¿cuánto vale $\sum_{n=3}^{\infty}r^{n}$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Escribir la suma parcial: $S_N = 1+r+r^{2}+\ldots+r^{N}$ .
2. El truco: multiplicar por $r$ y restar. $S_N-rS_N = 1-r^{N+1}$ , porque todos los términos intermedios se cancelan.
3. Despejar, con $r \neq 1$ : $S_N = \dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}$ .
4. Tomar límite, y aquí entra la hipótesis: si $\left\lvert r\right\rvert<1$ entonces $r^{N+1}\to0$ .
5. Conclusión: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}r^{n} = \lim_{N\to\infty}S_N = \frac{1}{1-r}$ . $\blacksquare$
Este es uno de los pocos casos en que la suma parcial tiene fórmula cerrada. Aprovecharla es lo que hace la demostración limpia.

Resolución completa

Lo que se pide. Demostrar la fórmula y aplicarla a la serie que empieza en $n=3$ .

1 · La hipótesis que el enunciado no dice

El enunciado no lo escribe, pero hace falta:

\boxed{\left\lvert r\right\rvert < 1}

Sin ella la serie diverge y la fórmula da resultados absurdos: con $r=2$ saldría $\frac{1}{1-2} = -1$ para una suma de términos positivos cada vez mayores.

Declararlo es parte de la respuesta.

2 · La demostración

Paso 1: la suma parcial.

S_N = \sum_{n=0}^{N}r^{n} = 1+r+r^{2}+\ldots+r^{N}

Paso 2: multiplicar por $r$ y restar.

rS_N = r+r^{2}+\ldots+r^{N}+r^{N+1}

S_N-rS_N = 1-r^{N+1}

Todos los términos intermedios se cancelan: es una suma telescópica disfrazada.

Paso 3: despejar, y aquí hace falta $r\neq1$ :

S_N\left(1-r\right) = 1-r^{N+1} \;\Longrightarrow\; S_N = \frac{1-r^{N+1}}{1-r}

Paso 4: tomar límite, y aquí entra $\left\lvert r\right\rvert<1$ :

\left\lvert r\right\rvert<1 \;\Longrightarrow\; r^{N+1} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0

\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}r^{n} = \lim_{N\to\infty}\frac{1-r^{N+1}}{1-r} = \frac{1}{1-r}} \qquad \blacksquare

3 · Por qué esta demostración es fuerte

No se apoya en ningún criterio de convergencia: calcula la suma parcial exactamente y toma su límite. Eso demuestra a la vez que la serie converge y cuánto vale.

Sería un error apoyarse en que $r^{n}\to0$ : esa es una condición necesaria para la convergencia, no suficiente —la serie armónica la cumple y diverge—.

4 · Los otros casos, para cerrar

$r$	qué pasa
$\left\lvert r\right\rvert<1$	converge a $\frac{1}{1-r}$
$r=1$	$S_N = N+1 \to\infty$ : diverge
$r=-1$	$S_N$ alterna entre 1 y 0: no converge
$\left\lvert r\right\rvert>1$	$r^{N+1}$ no está acotado: diverge

5 · La aplicación

\sum_{n=3}^{\infty}r^{n} = r^{3}+r^{4}+r^{5}+\ldots

Sacando $r^{3}$ factor común y reindexando con $m = n-3$ :

= r^{3}\left(1+r+r^{2}+\ldots\right) = r^{3}\sum_{m=0}^{\infty}r^{m}

\boxed{\sum_{n=3}^{\infty}r^{n} = \frac{r^{3}}{1-r}, \qquad \left\lvert r\right\rvert<1}

Por la otra vía, restando los tres primeros términos:

\frac{1}{1-r}-\left(1+r+r^{2}\right) = \frac{1-\left(1+r+r^{2}\right)\left(1-r\right)}{1-r}

Y como $\left(1+r+r^{2}\right)\left(1-r\right) = 1-r^{3}$ :

= \frac{1-\left(1-r^{3}\right)}{1-r} = \frac{r^{3}}{1-r} \quad\checkmark

Las dos coinciden. La primera es más corta; la segunda comprueba.

6 · La regla general

El mismo argumento con cualquier índice de arranque:

\sum_{n=k}^{\infty}r^{n} = \frac{r^{k}}{1-r}

Lo único que cambia es el numerador, y es el primer término que efectivamente se suma. Conviene recordarlo así: la suma de una geométrica es siempre

\frac{\text{primer término}}{1-\text{razón}}

7 · Comprobación

Con $r = \frac12$ :

\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac12\right)^{n} = \frac{1}{1-\frac12} = 2

Sumando a mano: $1+0{,}5+0{,}25+0{,}125+0{,}0625 = 1{,}9375$ , y sigue acercándose a 2 ✔

\sum_{n=3}^{\infty}\left(\tfrac12\right)^{n} = \frac{1/8}{1/2} = 0{,}25

Y en efecto $2-\left(1+0{,}5+0{,}25\right) = 0{,}25$ ✔

Con $r = -\frac13$ , para ver que el signo no importa:

\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\tfrac13\right)^{n} = \frac{1}{1+\frac13} = \frac34

Sumando: $1-0{,}333+0{,}111-0{,}037+0{,}0123 = 0{,}7531$ , oscilando alrededor de $0{,}75$ ✔

\sum_{n=3}^{\infty}\left(-\tfrac13\right)^{n} = \frac{-1/27}{4/3} = -\frac{1}{36} = -0{,}0278

Y $0{,}75-\left(1-0{,}3333+0{,}1111\right) = 0{,}75-0{,}7778 = -0{,}0278$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2018 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la demostración es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos definiciones y un punto fijo

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Definir el límite de una sucesión.

b) Definir el límite de una función en un punto.

c) Demostrar la siguiente propiedad:

Si $y = f(x)$ es una función continua en $[a,b]$ tal que $f(x) \in [a,b]$ , entonces $f(x) = x$ tiene, al menos, una solución en $[a,b]$ .

¿Cuándo es única esta solución?

Dar las dos definiciones, demostrar y discutir la unicidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué función auxiliar resuelve el apartado (c)?
02
Un punto fijo concreto
COMP2
Con $f(x) = 1+\frac{x}{3}$ en $[1,2]$ , ¿cuál es la solución de $f(x)=x$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración de (c). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Definir la auxiliar: $g(x) = f(x)-x$ , continua en $[a,b]$ por serlo $f$ y la identidad.
2. En el extremo izquierdo: como $f(a) \in [a,b]$ , se tiene $f(a) \ge a$ , luego $g(a) = f(a)-a \ge 0$ .
3. En el extremo derecho: como $f(b) \in [a,b]$ , se tiene $f(b) \le b$ , luego $g(b) = f(b)-b \le 0$ .
4. Los casos fáciles: si $g(a)=0$ o $g(b)=0$ ya hay solución, y es $a$ o $b$ .
5. El caso general: si no, $g(a)>0>g(b)$ , y por el teorema de Bolzano existe $c \in (a,b)$ con $g(c)=0$ , es decir $f(c)=c$ . $\blacksquare$
Weierstrass da extremos; Bolzano da ceros. Este ejercicio pide un cero, así que el teorema es Bolzano.

Resolución completa

Lo que se pide. Dos definiciones, una demostración y una discusión. Ocho de los diez puntos son COMP4.

1 · Apartado (a): límite de una sucesión

Se dice que la sucesión $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge al número real $L$ , y se escribe $\lim_{n\to\infty}a_n = L$ , cuando
$\forall \varepsilon>0 \ \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{ tal que } \ \forall n>N: \quad \left\lvert a_n-L\right\rvert < \varepsilon$

En palabras: por muy estrecha que se fije una banda alrededor de $L$ , a partir de un término la sucesión entera se queda dentro. El orden de los cuantificadores importa: primero se da $\varepsilon$ y después se busca $N$ , que dependerá de él.

2 · Apartado (b): límite de una función en un punto

Sea $f$ definida en un entorno de $c$ , salvo quizá en $c$ . Se dice que $\lim_{x\to c}f(x) = L$ cuando
$\forall\varepsilon>0 \ \ \exists\delta>0 \ \text{ tal que } \ \forall x \text{ con } 0<\left\lvert x-c\right\rvert<\delta: \quad \left\lvert f(x)-L\right\rvert<\varepsilon$

Dos matices que conviene escribir:

El $0<\left\lvert x-c\right\rvert$ excluye $x=c$ : el límite no depende del valor de $f$ en el punto, ni de que esté definida allí.
La continuidad en $c$ es un caso particular: que el límite exista, que $f(c)$ exista, y que coincidan.

3 · Apartado (c): el teorema del punto fijo

Idea. Buscar un $x$ con $f(x)=x$ es buscar un cero de

g(x) = f(x)-x

y para los ceros hay un teorema: Bolzano.

Hipótesis que se usan:

$f$ es continua en $[a,b]$ ⟹ $g$ también, por ser diferencia de continuas.
$f(x) \in [a,b]$ para todo $x$ ⟹ en particular en los extremos.

En el extremo izquierdo. $f(a) \in [a,b]$ implica $f(a) \ge a$ :

g(a) = f(a)-a \ge 0

En el extremo derecho. $f(b) \in [a,b]$ implica $f(b) \le b$ :

g(b) = f(b)-b \le 0

Dos casos:

Si $g(a) = 0$ , entonces $f(a)=a$ y la solución es $x=a$ . Igual si $g(b)=0$ .
Si no, $g(a)>0>g(b)$ . Como $g$ es continua en $[a,b]$ , el teorema de Bolzano da un $c \in (a,b)$ con $g(c)=0$ , es decir

\boxed{f(c) = c} \qquad \blacksquare

Los dos casos fáciles hay que mencionarlos: Bolzano en su forma estricta pide signos opuestos, y aquí las desigualdades son amplias.

4 · La interpretación gráfica

La condición $f\left([a,b]\right)\subseteq[a,b]$ dice que la gráfica de $f$ está encerrada en el cuadrado $[a,b]\times[a,b]$ . Y un punto fijo es un corte con la diagonal de ese cuadrado.

Una curva continua que entra por el lado izquierdo y sale por el derecho sin salirse del cuadrado tiene que cruzar la diagonal. Eso es el teorema, dicho en dibujo.

Figura nuestra, para acompanar la demostracion. La grafica de f no puede salirse del cuadrado, asi que corta a la diagonal: cada corte es un punto fijo. Aqui hay tres, porque f no es monotona.

5 · Cuándo es única

El teorema garantiza al menos una. Para que sea única basta que $g$ sea estrictamente monótona, y hay tres condiciones suficientes, de más débil a más fuerte:

condición sobre $f$	por qué basta
$f$ decreciente	$g = f-x$ es estrictamente decreciente
$f$ derivable con $f'(x)<1$ en $(a,b)$	$g' = f'-1 < 0$
$f$ contractiva: $\left\lvert f(x)-f(y)\right\rvert \le k\left\lvert x-y\right\rvert$ con $k<1$	no necesita derivada

La segunda es la más usada, y se demuestra en una línea: si $g'<0$ en todo el intervalo, $g$ es estrictamente decreciente y no puede anularse dos veces.

Y sin esa condición la unicidad falla. Con $f(x) = \sqrt x$ en $[0,1]$ :

es continua y $f\left([0,1]\right) = [0,1]$ ✔ el teorema se aplica;
pero hay dos puntos fijos, $x=0$ y $x=1$ .

La razón: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$ se dispara cerca de 0, así que no cumple $f'<1$ en todo el intervalo.

6 · Comprobación con un caso concreto

$f(x) = 1+\frac x3$ en $[1,2]$ :

La hipótesis: $f$ es creciente, así que

f\left([1,2]\right) = \left[\tfrac43,\tfrac53\right] \subseteq [1,2] \quad\checkmark

La solución:

x = 1+\frac x3 \;\Longrightarrow\; x = \frac32

que está en $(1,2)$ ✔

La unicidad: $f' = \frac13 < 1$ , luego $g' = -\frac23 < 0$ y el cero es único ✔

Y con los extremos: $g(1) = \frac43-1 = \frac13 > 0$ y $g(2) = \frac53-2 = -\frac13 < 0$ : signos opuestos, como pedía Bolzano ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2018 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La serie que suma la armónica alternada

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Hallar el desarrollo en serie de la función $y = \ln(2-x)$ en el punto $a=1$ .

b) Teniendo en cuenta el resultado del apartado anterior, calcular el valor de la siguiente suma: $S = 1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\dfrac15-\ldots$

Hallar la serie y sumar la serie numérica.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se centra el desarrollo en $a=1$ ?
02
El coeficiente general
COMP2
En el desarrollo $\sum c_n(x-1)^{n}$ , ¿cuánto vale $c_4$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma pedida
COMP2
¿Cuánto vale $S = 1-\frac12+\frac13-\frac14+\ldots$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Identificar el punto. Los términos de $S$ son $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ , y el desarrollo da $-\frac{(x-1)^{n}}{n}$ : coinciden con $x=0$ .
2. Pero $x=0$ es el extremo del intervalo de convergencia $(0,2)$ : el radio es 1 y el centro es 1.
3. Comprobar que la serie converge ahí: en $x=0$ queda $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ , que converge por el criterio de Leibniz —términos decrecientes en valor absoluto y con límite cero—.
4. Y que la suma es la que se espera: por el teorema de Abel, si una serie de potencias converge en un extremo, su suma ahí es el límite de la función.
5. Conclusión: $S = \ln(2-0) = \ln2 \approx 0{,}6931$ .
Los dos extremos del intervalo se comportan de forma opuesta: en $x=0$ converge y en $x=2$ diverge. Por eso hay que mirarlos uno a uno.

Resolución completa

Datos. $y = \ln(2-x)$ , desarrollo en $a=1$ , y la serie armónica alternada.

1 · Apartado (a): trasladar el centro

El desarrollo se pide en $a=1$ , así que conviene escribirlo todo en $u = x-1$ :

2-x = 1-(x-1) = 1-u

Y la serie de $\ln(1-u)$ es conocida:

\ln(1-u) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^{n}}{n} = -u-\frac{u^{2}}{2}-\frac{u^{3}}{3}-\ldots, \qquad \left\lvert u\right\rvert<1

Deshaciendo el cambio:

\boxed{\ln(2-x) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n}}

= -(x-1)-\frac{(x-1)^{2}}{2}-\frac{(x-1)^{3}}{3}-\ldots

Todos los coeficientes son negativos, sin alternancia. Tiene sentido: cerca de $x=1$ la función vale $\ln1=0$ y decrece al aumentar $x$ .

Dónde vale: $\left\lvert x-1\right\rvert<1$ , es decir

0 < x < 2

El radio de convergencia es 1 y el centro es 1.

2 · Comprobación de (a)

Derivando la serie término a término:

-\sum_{n\ge1}(x-1)^{n-1} = -\frac{1}{1-(x-1)} = \frac{-1}{2-x}

—suma de una geométrica de razón $x-1$ —. Y derivando la función:

\frac{d}{dx}\ln(2-x) = \frac{-1}{2-x} \quad\checkmark

Numéricamente, en $x = 1{,}5$ :

-\left(0{,}5+\frac{0{,}25}{2}+\frac{0{,}125}{3}+\frac{0{,}0625}{4}\right) = -0{,}6823

\ln(0{,}5) = -0{,}6931

Va convergiendo, aunque despacio: $x=1{,}5$ está a media distancia del borde ✔

3 · Apartado (b): encontrar el punto

Los términos de $S$ son

1,\ -\frac12,\ +\frac13,\ -\frac14,\ \ldots \;\Longrightarrow\; \frac{(-1)^{n+1}}{n}

Y los del desarrollo, $-\frac{(x-1)^{n}}{n}$ . Igualándolos:

-(x-1)^{n} = (-1)^{n+1} \;\Longleftrightarrow\; (x-1)^{n} = (-1)^{n} \;\Longleftrightarrow\; x-1 = -1

\boxed{x = 0}

4 · El punto fino: $x=0$ está en el borde

El intervalo de convergencia es $(0,2)$ , abierto. El punto $x=0$ es justo el extremo izquierdo, así que sustituir no es automático. Hay que dar dos pasos:

Primero, que la serie converge ahí. En $x=0$ queda

-\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n}}{n} = \sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}

que es la armónica alternada, y converge por el criterio de Leibniz: los valores absolutos $\frac1n$ decrecen y tienden a 0.

—Converge, eso sí, solo condicionalmente: la serie de los valores absolutos es la armónica, que diverge—.

Segundo, que su suma es el valor de la función. Eso lo da el teorema de Abel:

Si una serie de potencias converge en un extremo de su intervalo de convergencia, su suma allí coincide con el límite de la función desde dentro.

S = \lim_{x\to0^{+}}\ln(2-x) = \ln2

\boxed{S = \ln2 \approx 0{,}6931}

5 · El otro extremo, para ver que importa

En $x=2$ la serie es

-\sum_{n\ge1}\frac{1^{n}}{n} = -\sum_{n\ge1}\frac1n

la armónica, que diverge. Y coincide con que $\ln(2-x) \to -\infty$ cuando $x\to2^{-}$ .

Los dos extremos se comportan de forma opuesta, y por eso hay que estudiarlos uno a uno: no hay regla que los cubra a la vez.

6 · Comprobación de (b)

Sumando términos de $S$ :

términos	suma parcial
2	$0{,}5000$
4	$0{,}5833$
10	$0{,}6456$
100	$0{,}6882$
1000	$0{,}6926$

Tiende a $\ln2 = 0{,}69315$ ✔ Muy despacio, como corresponde a una serie que converge solo condicionalmente: el error va como $\frac{1}{2N}$ .

Y las sumas parciales alternan por encima y por debajo del límite — $1$ , $0{,}5$ , $0{,}833$ , $0{,}583$ …—, que es el comportamiento típico de una serie de Leibniz ✔

De coherencia con (a). El apartado (a) evaluado en $x=0$ da $\ln2$ , y $\ln2$ es efectivamente el valor de la función ahí: $\ln(2-0) = \ln2$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2018 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un recinto entre parábola, recta y eje, con sus dos volúmenes

COMP 26 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el recinto limitado por las condiciones $y \ge x^{2}$ , $y \le 6-x$ , $x \ge 0$ .

a) Representar gráficamente el recinto $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Plantear el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.

d) Plantear el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OY.

Representar, calcular el área y plantear los dos volúmenes.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuáles son los tres bordes del recinto?
02
El corte entre la parábola y la recta
COMP2
¿En qué abscisa se cortan, dentro de la región $x\ge0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuál es el área de $D$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento de los dos volúmenes. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Girando sobre $OX$ , el eje es horizontal y el recinto está por encima de él: cada corte vertical barre una corona, con radio exterior $6-x$ e interior $x^{2}$ .
2. $V_{OX} = \pi\displaystyle\int_0^{2} \left[\left(6-x\right)^{2}-x^{4}\right]dx$ .
3. Girando sobre $OY$ , el eje es vertical y el recinto se describe cómodamente en $x$ : conviene el método de las capas.
4. $V_{OY} = 2\pi\displaystyle\int_0^{2} x\left[\left(6-x\right)-x^{2}\right]dx$ .
5. Por qué capas y no discos: integrando en $y$ habría que partir en $y=4$ , porque por debajo el borde izquierdo es el eje $OY$ y por encima pasa a ser la parábola.
Elegir capas o discos no es cuestión de gusto: se elige el que no obligue a partir la integral. Aquí, capas.

Resolución completa

Datos. $y \ge x^{2}$ , $y \le 6-x$ , $x \ge 0$ .

1 · Apartado (a): los tres bordes

condición	borde
$y \ge x^{2}$	por encima de la parábola
$y \le 6-x$	por debajo de la recta
$x \ge 0$	a la derecha del eje $OY$

El corte de la parábola con la recta:

x^{2} = 6-x \;\Longrightarrow\; x^{2}+x-6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \ \text{ó}\ x = -3

La condición $x\ge0$ descarta $x=-3$ , y ese es justamente su papel: sin ella el recinto llegaría hasta $(-3,9)$ .

Los tres vértices del recinto son

(0,0), \qquad (0,6), \qquad (2,4)

Figura nuestra: el enunciado pide representarla. En negro la parabola, en rojo la recta, y sombreado el recinto, que se apoya en el eje vertical entre el origen y el punto cero coma seis.

2 · Apartado (b): el área

Integrando en $x$ , de 0 a 2, entre la recta y la parábola:

A = \int_0^{2}\left[\left(6-x\right)-x^{2}\right]dx = \left[6x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_0^{2}

= 12-2-\frac83

\boxed{A = \frac{22}{3} \approx 7{,}3333}

3 · Apartado (c): girar sobre OX

El eje de giro es horizontal y el recinto está por encima de él, sin tocarlo salvo en el origen. Cada corte vertical barre una corona:

radio	vale
exterior	$6-x$ (la recta, que va por arriba)
interior	$x^{2}$ (la parábola)

\boxed{V_{OX} = \pi\int_0^{2} \left[\left(6-x\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right]dx = \pi\int_0^{2}\left[\left(6-x\right)^{2}-x^{4}\right]dx}

El enunciado solo pide plantearlo, pero sale rápido:

\int_0^{2}(6-x)^{2}dx = \left[\frac{-(6-x)^{3}}{3}\right]_0^{2} = -\frac{64}{3}+72 = \frac{152}{3}

\int_0^{2}x^{4}dx = \frac{32}{5}

V_{OX} = \pi\left(\frac{152}{3}-\frac{32}{5}\right) = \frac{664\pi}{15} \approx 139{,}06

4 · Apartado (d): girar sobre OY

El eje de giro es vertical. Y aquí conviene el método de las capas, no el de discos:

\boxed{V_{OY} = 2\pi\int_0^{2} x\left[\left(6-x\right)-x^{2}\right]dx}

Por qué capas. Integrando en $y$ habría que partir en $y=4$ :

tramo	radio exterior	radio interior
$0 \le y \le 4$	$\sqrt y$ (la parábola)	$0$ (el eje)
$4 \le y \le 6$	$6-y$ (la recta)	$0$

Dos integrales en vez de una. Las capas evitan el corte porque el recinto se describe sin partir en la variable $x$ .

No hay hueco: el borde izquierdo del recinto es el eje $OY$ , así que el sólido es macizo.

Calculándolo:

V_{OY} = 2\pi\int_0^{2}\left(6x-x^{2}-x^{3}\right)dx = 2\pi\left[3x^{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_0^{2}

= 2\pi\left[12-\frac83-4\right] = 2\pi\cdot\frac{16}{3} = \frac{32\pi}{3} \approx 33{,}51

5 · Comprobación

Del punto de corte. $(2,4)$ : en la parábola $2^{2}=4$ ✔ en la recta $6-2 = 4$ ✔

Del área, por acotación. El recinto cabe en el rectángulo $[0,2]\times[0,6]$ , de área 12, y contiene el triángulo de vértices $(0,0)$ , $(0,6)$ , $(2,4)$ , de área

\frac{6\cdot2}{2} = 6

6 < 7{,}33 < 12 \quad\checkmark

De $V_{OY}$ por la vía de los discos, partiendo en $y=4$ :

\pi\int_0^{4}y\,dy+\pi\int_4^{6}\left(6-y\right)^{2}dy = \pi\cdot8+\pi\left[\frac{-(6-y)^{3}}{3}\right]_4^{6}

= 8\pi+\pi\cdot\frac83 = \frac{24\pi+8\pi}{3} = \frac{32\pi}{3} \quad\checkmark

Coincide con las capas, y de paso enseña por qué el enunciado dice «plantear»: los dos caminos existen y hay que elegir.

De $V_{OX}$ por acotación. El sólido cabe dentro del cilindro de radio 6 y longitud 2 — $\pi\cdot36\cdot2 = 72\pi \approx 226$ — y $139$ es el 61 % de eso ✔ Coherente con que la corona se estreche hacia la derecha.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 6 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2018 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una integral con el cambio ya dado

COMP 29 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la integral $\displaystyle\int\frac{dx}{\mathrm{tg}^{2}x+3\,\mathrm{sen}^{2}x}$ haciendo el cambio de variable $\mathrm{tg}\,x = t$ .

Calcular la integral con el cambio indicado.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con $t = \mathrm{tg}\,x$ , ¿cuánto valen $\mathrm{sen}^{2}x$ y $dx$ ?
02
El denominador tras el cambio
COMP2
Tras sustituir y simplificar, la integral queda $\int\frac{dt}{t^{2}\left(t^{2}+k\right)}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente del arcotangente
COMP2
El resultado tiene un término $C_0\arctan\frac t2$ . ¿Cuánto vale $C_0$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Escribir las fórmulas del cambio. Con $t=\mathrm{tg}\,x$ : $\mathrm{sen}^{2}x = \frac{t^{2}}{1+t^{2}}$ y $dx = \frac{dt}{1+t^{2}}$ .
2. Sustituir y simplificar: el denominador queda $\frac{t^{2}\left(t^{2}+4\right)}{1+t^{2}}$ , y el $1+t^{2}$ se cancela con el del diferencial.
3. Queda $\int\frac{dt}{t^{2}\left(t^{2}+4\right)}$ , una racional con solo potencias pares.
4. Fracciones simples en $u=t^{2}$ : $\frac{1}{t^{2}(t^{2}+4)} = \frac{1}{4t^{2}}-\frac{1}{4\left(t^{2}+4\right)}$ .
5. Integrar y deshacer: $-\frac{1}{4\,\mathrm{tg}\,x} -\frac18\arctan\frac{\mathrm{tg}\,x}{2}+C$ .
$\int\frac{dt}{t}$ da logaritmo; $\int\frac{dt}{t^{2}}$ da $-\frac1t$ . Solo el exponente $-1$ produce logaritmos.

Resolución completa

Datos. $\int\frac{dx}{\mathrm{tg}^{2}x+3\,\mathrm{sen}^{2}x}$ , con el cambio $\mathrm{tg}\,x = t$ indicado por el enunciado.

1 · Las fórmulas del cambio

De $t = \mathrm{tg}\,x = \frac{\mathrm{sen}\,x}{\cos x}$ , construyendo el triángulo de catetos $t$ y $1$ e hipotenusa $\sqrt{1+t^{2}}$ :

\mathrm{sen}\,x = \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}, \qquad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}

\mathrm{sen}^{2}x = \frac{t^{2}}{1+t^{2}}

Y el diferencial, derivando $t = \mathrm{tg}\,x$ :

dt = \sec^{2}x\,dx = \left(1+t^{2}\right)dx \;\Longrightarrow\; dx = \frac{dt}{1+t^{2}}

Escribir estas tres antes de empezar ahorra la mitad de los errores.

2 · Sustituir

\mathrm{tg}^{2}x+3\,\mathrm{sen}^{2}x = t^{2}+\frac{3t^{2}}{1+t^{2}} = t^{2}\left(\frac{1+t^{2}+3}{1+t^{2}}\right) = \frac{t^{2}\left(t^{2}+4\right)}{1+t^{2}}

\int\frac{dx}{\mathrm{tg}^{2}x+3\,\mathrm{sen}^{2}x} = \int\frac{1+t^{2}}{t^{2}\left(t^{2}+4\right)} \cdot\frac{dt}{1+t^{2}}

\boxed{= \int\frac{dt}{t^{2}\left(t^{2}+4\right)}}

El $1+t^{2}$ se cancela entero, que es la señal de que el cambio indicado era el adecuado.

3 · Fracciones simples

Solo aparecen potencias pares, así que conviene el cambio auxiliar $u = t^{2}$ :

\frac{1}{u(u+4)} = \frac Au+\frac{B}{u+4} \;\Longrightarrow\; 1 = A(u+4)+Bu

$u$	ecuación	resultado
$0$	$1 = 4A$	$A = \frac14$
$-4$	$1 = -4B$	$B = -\frac14$

\frac{1}{t^{2}\left(t^{2}+4\right)} = \frac{1}{4t^{2}}-\frac{1}{4\left(t^{2}+4\right)}

4 · Integrar

Primer término. Ojo: es una potencia, no un logaritmo.

\frac14\int t^{-2}dt = \frac14\cdot\left(-\frac1t\right) = -\frac{1}{4t}

Segundo término, con $\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}} = \frac1a\arctan\frac ta$ y $a=2$ :

-\frac14\cdot\frac12\arctan\frac t2 = -\frac18\arctan\frac t2

5 · Deshacer el cambio

\boxed{\int\frac{dx}{\mathrm{tg}^{2}x+3\,\mathrm{sen}^{2}x} = -\frac{1}{4\,\mathrm{tg}\,x} -\frac18\arctan\left(\frac{\mathrm{tg}\,x}{2}\right)+C}

o, con la cotangente:

= -\frac{\cot x}{4}-\frac18\arctan\frac{\mathrm{tg}\,x}{2}+C

6 · Comprobación

Derivando en la variable $t$ , que es lo más rápido:

\frac{d}{dt}\left[-\frac{1}{4t}\right] = \frac{1}{4t^{2}}

\frac{d}{dt}\left[-\frac18\arctan\frac t2\right] = -\frac18\cdot\frac{1/2}{1+\frac{t^{2}}{4}} = -\frac18\cdot\frac{2}{4+t^{2}} = -\frac{1}{4\left(t^{2}+4\right)}

Sumando:

\frac{1}{4t^{2}}-\frac{1}{4\left(t^{2}+4\right)} = \frac{\left(t^{2}+4\right)-t^{2}}{4t^{2}\left(t^{2}+4\right)} = \frac{4}{4t^{2}\left(t^{2}+4\right)} = \frac{1}{t^{2}\left(t^{2}+4\right)} \quad\checkmark

Numérica. Entre $x = 0{,}5$ y $x = 1$ , donde $t$ va de $0{,}5463$ a $1{,}5574$ :

\left[-\frac{1}{4t}-\frac18\arctan\frac t2\right]_{0{,}5463}^{1{,}5574}

= \left(-0{,}1605-0{,}0842\right)-\left(-0{,}4576-0{,}0338\right) = -0{,}2447+0{,}4914 = 0{,}2467

Y sumando el integrando en cien trozos entre $0{,}5$ y $1$ sale $0{,}2467$ ✔

7 · Dónde vale

El denominador se anula cuando $\mathrm{tg}\,x = 0$ , es decir en $x = k\pi$ : ahí el integrando se dispara y la función no está definida.

En $x = \frac{\pi}{2}+k\pi$ el cambio pierde sentido —la tangente no existe— pero el integrando original sí: como $\mathrm{tg}^{2}x \to +\infty$ , tiende a 0. Es una limitación del método, no de la función.

La primitiva vale en cada intervalo entre ceros consecutivos de la tangente, con su propia constante. Y conviene señalar que $-\frac18\arctan\frac{\mathrm{tg}\,x}{2}$ tiene un salto en $x = \frac{\pi}{2}$ : para tener una primitiva continua en todo $(0,\pi)$ hay que ajustar la constante a cada lado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2017-2018

Reconocer el camino

Cuántas soluciones hay

La solución real no nula

Justificar el argumento

1 · Qué dice el enunciado antes de calcular

2 · El módulo

3 · Caso r=0r = 0r=0

4 · Caso r=1r = 1r=1

5 · Las cuatro soluciones

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La suma desde el tercer término

Justificar el argumento

1 · La hipótesis que el enunciado no dice

2 · La demostración

3 · Por qué esta demostración es fuerte

4 · Los otros casos, para cerrar

5 · La aplicación

6 · La regla general

7 · Comprobación

Reconocer el camino

Un punto fijo concreto

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): límite de una sucesión

2 · Apartado (b): límite de una función en un punto

3 · Apartado (c): el teorema del punto fijo

4 · La interpretación gráfica

5 · Cuándo es única

6 · Comprobación con un caso concreto

Reconocer el camino

El coeficiente general

La suma pedida

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): trasladar el centro

2 · Comprobación de (a)

3 · Apartado (b): encontrar el punto

4 · El punto fino: x=0x=0x=0 está en el borde

5 · El otro extremo, para ver que importa

6 · Comprobación de (b)

Reconocer el camino

El corte entre la parábola y la recta

El área

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): los tres bordes

2 · Apartado (b): el área

3 · Apartado (c): girar sobre OX

4 · Apartado (d): girar sobre OY

5 · Comprobación

Reconocer el camino

El denominador tras el cambio

El coeficiente del arcotangente

Justificar el argumento

1 · Las fórmulas del cambio

2 · Sustituir

3 · Fracciones simples

4 · Integrar

5 · Deshacer el cambio

6 · Comprobación

7 · Dónde vale

3 · Caso $r = 0$

4 · Caso $r = 1$

4 · El punto fino: $x=0$ está en el borde