tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2021-2022

18 de enero de 2022 · 6 ejercicios · 60 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una semirrecta a la que un semiplano le corta el principioNúmeros complejos1 + 6 + 3 = 10 pts
Calcular y representar gráficamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:
$\begin{cases} \arg\left(\dfrac{1}{z-2-3i}\right) = \dfrac{\pi}{4}\\[10pt] \left|z\right| \le \left|\overline{z}+i\right| \end{cases}$
Calcular la región y representarla.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Tres afirmaciones sobre sucesiones, y dos son falsasSucesiones y series numéricas2 + 0 + 8 = 10 pts
Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando la respuesta:

a) Si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ son sucesiones divergentes, entonces $\{a_n+b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una sucesión divergente.

b) Si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ son sucesiones no convergentes, entonces $\{a_n\cdot b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una sucesión no convergente.

c) Si $a_n \ge 0$ $\forall n \in \mathbb{N}$ y $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge hacia $L$ , entonces $L \ge 0$ .
Decidir y razonar cada una.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La serie del seno hiperbólico, sin derivar nadaEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 8 + 2 = 10 pts
Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de la función $\mathrm{sh}\,x = \dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ .
Calcular el desarrollo en serie.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una integral impropia que basta con partir por la mitadIntegración1 + 7 + 2 = 10 pts
Estudiar la convergencia de la integral $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x\,\mathrm{e}^{x}\,dx$ .
Estudiar la convergencia.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La función error, con el extremo superior al cuadradoIntegración2 + 6 + 2 = 10 pts
Sea la función integral $f(x) = \displaystyle\int_0^{x^{2}}\mathrm{e}^{-z^{2}}dz$ .

a) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos locales de $f(x)$ .

b) Estudiar la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión de $f(x)$ .
Estudiar crecimiento, extremos, concavidad e inflexiones.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una parábola tumbada, una paralela y el ejeIntegración0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $D$ el recinto limitado por la curva $y^{2}-x = 1$ , la recta paralela a $y=x$ que pasa por el punto $(1,0)$ e $y \ge 0$ .

a) Representar gráficamente el recinto $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Calcular el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.
Representar, calcular el área y el volumen.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 18 de enero de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una semirrecta a la que un semiplano le corta el principio

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar gráficamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:

\begin{cases} \arg\left(\dfrac{1}{z-2-3i}\right) = \dfrac{\pi}{4}\\[10pt] \left|z\right| \le \left|\overline{z}+i\right| \end{cases}

Calcular la región y representarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación hay entre $\arg\left(\frac1w\right)$ y $\arg(w)$ ?
02
El semiplano de la segunda condición
COMP2
La segunda condición es $y \le k$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Dónde empieza la semirrecta
COMP2
La región es una semirrecta. ¿Cuál es la abscisa de su punto inicial?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe las dos condiciones en $x$ e $y$ . La figura comprobará si el trozo de semirrecta que queda coincide con el del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa & para juntar las dos condiciones
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción del resultado. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Invertir el argumento. $\arg\left(\frac1w\right) = -\arg(w)$ , luego $\arg(z-2-3i) = -\frac{\pi}{4}$ .
2. Es una semirrecta, no una recta: el argumento fija una dirección concreta, la de $-45°$ , y el vértice $2+3i$ queda excluido porque ahí el cociente no existe.
3. En cartesianas: $y = 5-x$ con $x>2$ .
4. La segunda condición es $y \le \frac12$ , un semiplano cerrado.
5. Intersecando: la semirrecta cerrada que arranca en $\frac92+\frac12i$ y baja hacia la derecha, con el punto inicial incluido.
El vértice excluido y el punto inicial de la región son puntos distintos: uno está en $2+3i$ y otro en $\frac92+\frac12i$ . Y el segundo sí pertenece, porque la desigualdad no es estricta.

Resolución completa

Datos. Un argumento fijado y una desigualdad entre módulos.

1 · La primera condición

Invertir un complejo cambia el signo de su argumento:

\frac{1}{r\,\mathrm{e}^{i\theta}} = \frac1r\,\mathrm{e}^{-i\theta} \;\Longrightarrow\; \arg\left(\frac1w\right) = -\arg(w)

Por tanto:

\arg\left(\frac{1}{z-2-3i}\right) = \frac{\pi}{4} \;\Longleftrightarrow\; \arg\left(z-2-3i\right) = -\frac{\pi}{4}

Qué conjunto es. Fijar el argumento de $z-w_0$ define una semirrecta que parte de $w_0$ en esa dirección —no una recta entera: la dirección opuesta tendría argumento $\frac{3\pi}{4}$ —.

Aquí $w_0 = 2+3i$ y la dirección es $-45°$ , es decir $(1,-1)$ :

x = 2+s,\qquad y = 3-s,\qquad s>0

\boxed{y = 5-x, \qquad x>2}

El vértice $2+3i$ se excluye por dos motivos: ahí el cociente no está definido, y el argumento de 0 no existe.

2 · La segunda condición

\overline z+i = (x-yi)+i = x+(1-y)i

Los dos módulos son no negativos, así que elevar al cuadrado conserva la desigualdad:

x^{2}+y^{2} \le x^{2}+(1-y)^{2}

y^{2} \le 1-2y+y^{2} \;\Longrightarrow\; 2y \le 1

\boxed{y \le \frac12}

Semiplano cerrado. Y tiene una lectura geométrica limpia, si se ve que el conjugado se puede sacar entero:

\overline z+i = \overline{z-i} \;\Longrightarrow\; \left|\overline z+i\right| = \left|z-i\right|

Así que la condición es $\left|z-0\right| \le \left|z-i\right|$ : los puntos más cerca del origen que de $i$ . La frontera es la mediatriz del segmento que los une, es decir $y=\frac12$ , y el semiplano bueno es el de abajo ✔ Coincide con la cuenta.

3 · Intersecar

Sobre la semirrecta, $y = 5-x$ . Imponiendo $y\le\frac12$ :

5-x \le \frac12 \;\Longrightarrow\; x \ge \frac92

Y $\frac92 > 2$ , así que la condición $x>2$ ya está incluida: no aporta nada.

\boxed{ \begin{aligned} &\text{Semirrecta CERRADA sobre } y = 5-x,\\ &\text{desde } \left(\tfrac92,\tfrac12\right) \text{ hacia la derecha y abajo} \end{aligned}}

El punto inicial sí pertenece, porque la segunda condición es $\le$ .

Figura nuestra: el enunciado pide representar. En gris de trazos, el tramo de la semirrecta que el semiplano descarta; en rojo grueso, la region resultante, con su punto inicial incluido.

4 · Comprobación

Con el punto inicial, $z = \frac92+\frac12i$ :

z-2-3i = \frac52-\frac52i = \frac{5}{\sqrt2}\, \mathrm{e}^{-i\pi/4}

Argumento $-\frac{\pi}{4}$ ✔ luego el del inverso es $+\frac{\pi}{4}$ ✔

Y la segunda: $\left|z\right|^{2} = \frac{81}{4}+\frac14 = \frac{82}{4}$ ; $\left|\overline z+i\right|^{2} = \frac{81}{4}+\frac14 = \frac{82}{4}$ . Iguales: se cumple con igualdad, como corresponde a un punto de la frontera ✔

Con un punto más adelante, $z = 6-i$ :

z-2-3i = 4-4i, \qquad \arg = -\frac{\pi}{4} \quad\checkmark

\left|z\right|^{2} = 37, \qquad \left|\overline z+i\right|^{2} = 36+4 = 40

$37 \le 40$ ✔ Dentro.

Con un punto del tramo descartado, $z = 3+2i$ :

z-2-3i = 1-i, \qquad \arg = -\frac{\pi}{4} \quad\checkmark

pero $\left|z\right|^{2} = 13$ y $\left|\overline z+i\right|^{2} = 9+1 = 10$ : $13 \not\le 10$ ✔ Fuera, como debía.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 18 de enero de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres afirmaciones sobre sucesiones, y dos son falsas

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando la respuesta:

a) Si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ son sucesiones divergentes, entonces $\{a_n+b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una sucesión divergente.

b) Si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ son sucesiones no convergentes, entonces $\{a_n\cdot b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una sucesión no convergente.

c) Si $a_n \ge 0$ $\forall n \in \mathbb{N}$ y $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge hacia $L$ , entonces $L \ge 0$ .

Decidir y razonar cada una.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace falta para responder a cada apartado?
02
Cuántas son verdaderas
COMP2
De las tres afirmaciones, ¿cuántas son verdaderas?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración del apartado (c). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Suponer lo contrario: que $L < 0$ . Se busca una contradicción.
2. Elegir el épsilon con cuidado: $\varepsilon = -\frac{L}{2}$ , que es positivo porque $L<0$ . Es la elección que hace funcionar la prueba.
3. Aplicar la definición de límite: existe $N$ tal que para todo $n>N$ se cumple $\left|a_n-L\right| < \varepsilon$ .
4. Desarrollar: $a_n < L+\varepsilon = L-\frac L2 = \frac L2$ .
5. La contradicción: $\frac L2 < 0$ , así que $a_n < 0$ para $n>N$ , contra la hipótesis $a_n \ge 0$ . Luego $L \ge 0$ .
Al pasar al límite, $\ge$ se conserva y $>$ se degrada a $\ge$ . Merece la pena decirlo en la respuesta: enseña que se ha entendido el teorema, no solo aplicado.

Resolución completa

Datos. Tres afirmaciones sobre sucesiones, a decidir con razonamiento.

0 · Cómo se responde a esto

Una afirmación de la forma «si… entonces…» que empieza por «si $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son…» es universal: dice algo de todas las parejas de sucesiones. Y eso cambia lo que hace falta:

veredicto	qué hay que aportar
falsa	un contraejemplo, y basta
verdadera	una demostración general

Un contraejemplo bien elegido vale tanto como una demostración. Diez ejemplos que la confirman no valen nada.

1 · Apartado (a): FALSA

a_n = n, \qquad b_n = -n

Las dos divergen: $a_n \to +\infty$ y $b_n \to -\infty$ . Y sin embargo:

a_n+b_n = n-n = 0 \xrightarrow[n\to\infty]{} 0

\boxed{\text{FALSA}}

Por qué falla la intuición. Se está aplicando mentalmente el álgebra de límites, y su hipótesis es que los dos límites existan y sean finitos. Aquí no lo son, y $\infty-\infty$ es una indeterminación precisamente porque puede dar cualquier cosa:

$a_n$	$b_n$	$a_n+b_n$
$n$	$-n$	$0$
$n$	$-n+7$	$7$
$2n$	$-n$	$\to+\infty$
$n$	$-n+(-1)^{n}$	oscila

Los cuatro comportamientos posibles, con sucesiones igual de divergentes.

2 · Apartado (b): FALSA

a_n = b_n = (-1)^{n}

Ninguna converge: oscilan entre $1$ y $-1$ sin acercarse a nada. Pero

a_n\cdot b_n = \left[(-1)^{n}\right]^{2} = (-1)^{2n} = 1 \xrightarrow[n\to\infty]{} 1

\boxed{\text{FALSA}}

Otro contraejemplo igual de válido: $a_n = (-1)^{n}$ y $b_n = (-1)^{n+1}$ , cuyo producto es constantemente $-1$ .

Nótese la diferencia con (a): allí las sucesiones divergían a infinito; aquí simplemente oscilan. «No convergente» es una condición más débil que «divergente», y aun así el resultado es el mismo.

3 · Apartado (c): VERDADERA

Enunciado preciso. Si $a_n \ge 0$ para todo $n$ y $a_n \to L$ , entonces $L \ge 0$ .

Demostración por reducción al absurdo.

Supongamos que $L < 0$ . Tomemos

\varepsilon = -\frac{L}{2} > 0

—es positivo precisamente porque $L$ es negativo, y esa elección es la clave de la prueba—.

Por definición de límite, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n > N$ :

\left|a_n-L\right| < \varepsilon

En particular:

a_n < L+\varepsilon = L-\frac L2 = \frac L2

Pero $L<0$ implica $\frac L2 < 0$ , luego

a_n < 0 \qquad\text{para todo } n>N

lo que contradice la hipótesis $a_n \ge 0$ .

Por tanto la suposición era falsa y $L \ge 0$ . $\blacksquare$

\boxed{\text{VERDADERA}}

4 · El matiz que hay que añadir

La versión estricta de (c) es falsa:

Si $a_n > 0$ para todo $n$ y $a_n \to L$ , entonces $L > 0$ .

Contraejemplo: $a_n = \frac1n$ , que es positiva para todo $n$ y converge a $L = 0$ .

El paso al límite conserva las desigualdades amplias, pero degrada las estrictas. Es el resultado que hay de verdad detrás del apartado (c), y escribirlo es lo que separa una respuesta correcta de una completa.

5 · Resumen

apartado	veredicto	argumento
(a)	falsa	$a_n=n$ , $b_n=-n$ : la suma es 0
(b)	falsa	$a_n=b_n=(-1)^{n}$ : el producto es 1
(c)	verdadera	por reducción al absurdo con $\varepsilon=-\frac L2$

Y las tres tienen la misma moraleja de fondo: las hipótesis de los teoremas de límites no son decorativas. El álgebra de límites exige límites finitos; el paso al límite no conserva la desigualdad estricta. Quitar una hipótesis rompe el resultado, y por eso el examen dedica ocho de los diez puntos a la explicación formal.

6 · Comprobación de los contraejemplos

(a) con $n=1,\ldots,5$ : $a_n = 1,2,3,4,5$ y $b_n = -1,-2,-3,-4,-5$ . Suma: $0,0,0,0,0$ ✔ Y cada una por separado crece sin tope en valor absoluto ✔

(b) con $n=1,\ldots,4$ : $a_n = -1,1,-1,1$ , que no se acerca a ningún valor ✔ Producto: $1,1,1,1$ ✔

(c) con una sucesión concreta que ilustra el caso frontera: $a_n = \frac1n \ge 0$ y $L=0 \ge 0$ ✔ La desigualdad se cumple, pero con igualdad: es el ejemplo que impide reforzar el enunciado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 18 de enero de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La serie del seno hiperbólico, sin derivar nada

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el desarrollo en serie de McLaurin de la función $\mathrm{sh}\,x = \dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ .

Calcular el desarrollo en serie.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la vía más corta?
02
El primer coeficiente no trivial
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de $x^{3}$ en el desarrollo?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o un número con seis decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el desarrollo con su justificación. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Partir de la serie de la exponencial: $\mathrm{e}^{t} = \sum_{n\ge0}\frac{t^{n}}{n!}$ , válida para todo $t \in \mathbb{R}$ .
2. Sustituir $t=-x$ : $\mathrm{e}^{-x} = \sum_{n\ge0}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n!}$ .
3. Restar. Los términos con $n$ par se anulan —tienen el mismo signo en las dos— y los de $n$ impar se duplican.
4. Dividir entre 2: $\mathrm{sh}\,x = \sum_{k\ge0}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+\ldots$
5. El radio de convergencia es infinito, porque lo es el de la exponencial y una combinación lineal de dos series lo conserva: la igualdad vale para todo $x \in \mathbb{R}$ .
Decir dónde vale el desarrollo es parte de la respuesta. Aquí la respuesta es «en todo $\mathbb{R}$ », y conviene decirlo con su motivo.

Resolución completa

Datos. $\mathrm{sh}\,x = \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ .

1 · La vía corta

Derivar repetidamente funciona —las derivadas de $\mathrm{sh}$ alternan entre $\mathrm{sh}$ y $\mathrm{ch}$ — pero hay un camino de tres líneas: la propia definición es una resta de exponenciales, y la serie de la exponencial se conoce.

\mathrm{e}^{t} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!} = 1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\ldots

válida para todo $t \in \mathbb{R}$ : su radio de convergencia es infinito.

2 · Restar

\mathrm{e}^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!} +\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}+\ldots

\mathrm{e}^{-x} = 1-x+\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{3}}{3!} +\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{5}}{5!}+\ldots

Al restar:

grado	$\mathrm{e}^{x}$	$\mathrm{e}^{-x}$	diferencia
par	$+\frac{x^{n}}{n!}$	$+\frac{x^{n}}{n!}$	0
impar	$+\frac{x^{n}}{n!}$	$-\frac{x^{n}}{n!}$	$2\frac{x^{n}}{n!}$

\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x} = 2\left(x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\ldots\right)

3 · El resultado

\boxed{\mathrm{sh}\,x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{7}}{5040}+\ldots}

Válido para todo $x \in \mathbb{R}$ , porque las dos series de partida lo son y una combinación lineal de series convergentes converge en la intersección de sus dominios — que aquí es $\mathbb{R}$ entero.

4 · Dos observaciones

Solo potencias impares. $\mathrm{sh}$ es una función impar:

\mathrm{sh}(-x) = \frac{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{x}}{2} = -\mathrm{sh}\,x

y el desarrollo de una función impar no puede contener términos pares. La cancelación de la tabla anterior es esa simetría vista en los coeficientes.

Todos los signos son positivos, a diferencia del seno ordinario:

\sin x = x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\ldots

\mathrm{sh}\,x = x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+\ldots

Las mismas fracciones, sin alternancia. De ahí que $\sin$ oscile acotado y $\mathrm{sh}$ se dispare: los términos del seno se compensan y los del seno hiperbólico se acumulan.

5 · Comprobación

Por derivación. Derivando la serie término a término:

\sum_{k\ge0}\frac{(2k+1)x^{2k}}{(2k+1)!} = \sum_{k\ge0}\frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+\ldots

que es exactamente la serie de $\mathrm{ch}\,x$ ✔ Y en efecto $\left(\mathrm{sh}\right)' = \mathrm{ch}$ .

Numérica. En $x=1$ , sumando cuatro términos:

1+\frac16+\frac{1}{120}+\frac{1}{5040} = 1{,}1752

\mathrm{sh}\,1 = \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1}}{2} = \frac{2{,}71828-0{,}36788}{2} = 1{,}17520 \quad\checkmark

Cinco cifras exactas con cuatro sumandos.

En $x=0$ : la serie da 0, y $\mathrm{sh}\,0 = \frac{1-1}{2} = 0$ ✔

Por el criterio del cociente, para confirmar el radio infinito:

\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{x^{2k+3}/(2k+3)!}{x^{2k+1}/(2k+1)!} = \frac{x^{2}}{(2k+2)(2k+3)} \xrightarrow[k\to\infty]{} 0

menor que 1 para cualquier $x$ ✔ Converge en todo $\mathbb{R}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 18 de enero de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una integral impropia que basta con partir por la mitad

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar la convergencia de la integral $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x\,\mathrm{e}^{x}\,dx$ .

Estudiar la convergencia.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se define una integral con los dos límites infinitos?
02
La parte que sí converge
COMP2
¿Cuánto vale $\int_{-\infty}^{0}x\,\mathrm{e}^{x}dx$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Partir por la definición. Con los dos extremos infinitos, $\int_{-\infty}^{\infty} = \int_{-\infty}^{0}+\int_0^{\infty}$ , y hacen falta las dos.
2. La primitiva, por partes, es $(x-1)\mathrm{e}^{x}$ .
3. La parte izquierda converge: $\lim_{M\to-\infty}\left[(x-1)\mathrm{e}^{x}\right]_{M}^{0} = -1$ , porque $(M-1)\mathrm{e}^{M}\to0$ .
4. La parte derecha diverge: $\lim_{M\to+\infty}\left[(x-1)\mathrm{e}^{x}\right]_0^{M} = \lim (M-1)\mathrm{e}^{M}+1 = +\infty$ .
5. Conclusión: basta con que una de las dos diverja para que la integral completa no converja.
Con integrales impropias, decir «diverge» y decir «vale infinito» no es lo mismo. El enunciado pregunta por la convergencia, y la respuesta es un sí o un no.

Resolución completa

Datos. $\int_{-\infty}^{\infty}x\,\mathrm{e}^{x}dx$ .

1 · Qué tipo de impropia es

Los dos límites de integración son infinitos. La definición exige partir en un punto cualquiera —tomamos 0— y estudiar cada mitad por separado:

\int_{-\infty}^{\infty}x\mathrm{e}^{x}dx = \int_{-\infty}^{0}x\mathrm{e}^{x}dx+\int_0^{\infty}x\mathrm{e}^{x}dx

\boxed{\text{Converge si y solo si convergen LAS DOS}}

No vale calcular $\lim_{M\to\infty}\int_{-M}^{M}$ . Eso es el valor principal de Cauchy, un objeto distinto que puede existir cuando la integral no converge. Declararlo forma parte de la respuesta.

2 · La primitiva

Por partes, con $u=x$ y $dv = \mathrm{e}^{x}dx$ :

\int x\,\mathrm{e}^{x}dx = x\mathrm{e}^{x}-\int\mathrm{e}^{x}dx = x\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x} = (x-1)\mathrm{e}^{x}

Comprobándolo: $\left[(x-1)\mathrm{e}^{x}\right]' = \mathrm{e}^{x}+(x-1)\mathrm{e}^{x} = x\mathrm{e}^{x}$ ✔

3 · La mitad izquierda: converge

\int_{-\infty}^{0}x\mathrm{e}^{x}dx = \lim_{M\to-\infty}\left[(x-1)\mathrm{e}^{x}\right]_{M}^{0} = -1-\lim_{M\to-\infty}(M-1)\mathrm{e}^{M}

El límite que queda es del tipo $-\infty\cdot0$ . Escribiéndolo como cociente y aplicando L’Hôpital:

\lim_{M\to-\infty}\frac{M-1}{\mathrm{e}^{-M}} = \lim_{M\to-\infty}\frac{1}{-\mathrm{e}^{-M}} = 0

—la exponencial gana al polinomio—.

\boxed{\int_{-\infty}^{0}x\mathrm{e}^{x}dx = -1 \quad\text{CONVERGE}}

Negativa, como debía: en todo ese tramo $x<0$ y $\mathrm{e}^{x}>0$ .

4 · La mitad derecha: diverge

\int_0^{\infty}x\mathrm{e}^{x}dx = \lim_{M\to+\infty}\left[(x-1)\mathrm{e}^{x}\right]_0^{M} = \lim_{M\to+\infty}(M-1)\mathrm{e}^{M}-(-1)

Ahora los dos factores crecen sin tope:

\lim_{M\to+\infty}(M-1)\mathrm{e}^{M} = +\infty

\boxed{\int_0^{\infty}x\mathrm{e}^{x}dx \quad\text{DIVERGE}}

5 · Conclusión

\boxed{\text{La integral } \int_{-\infty}^{\infty}x\mathrm{e}^{x}dx \text{ NO CONVERGE}}

Y conviene ser preciso con la formulación: no se dice que «valga infinito». Una integral impropia divergente no tiene valor asignado. Lo que sí se puede y se debe decir es cuál de las dos mitades falla y por qué: la de la derecha, porque el integrando se dispara.

6 · El atajo que evita toda la cuenta

Ni siquiera hacía falta la primitiva para la mitad derecha:

x\,\mathrm{e}^{x} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

Si el integrando no tiende a 0 —y aquí crece sin límite—, la integral sobre un intervalo infinito no puede converger: el área acumulada crece al menos linealmente.

Cuidado con el recíproco: que el integrando tienda a 0 no garantiza la convergencia. $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ diverge con integrando que tiende a 0. La implicación solo va en un sentido.

7 · Comprobación

De la mitad izquierda, numéricamente. Con la primitiva:

$M$	$(M-1)\mathrm{e}^{M}$	$\int_M^{0}$
$-2$	$-0{,}406$	$-0{,}594$
$-5$	$-0{,}040$	$-0{,}960$
$-10$	$-0{,}0005$	$-0{,}9995$

Tiende a $-1$ ✔

De la mitad derecha:

$M$	$\int_0^{M}$
$2$	$8{,}39$
$5$	$594$
$10$	$198\,262$

Se dispara ✔ Ninguna duda sobre la divergencia.

Del valor principal, para ver que sería engañoso.

\int_{-M}^{M}x\mathrm{e}^{x}dx = (M-1)\mathrm{e}^{M}-(-M-1)\mathrm{e}^{-M} \xrightarrow[M\to\infty]{} +\infty

Aquí ni el valor principal existe, así que la conclusión es la misma por cualquier vía. Pero el ejemplo clásico — $\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx$ — tiene valor principal 0 y no converge, y es la razón de que la definición exija partir.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 18 de enero de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La función error, con el extremo superior al cuadrado

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función integral $f(x) = \displaystyle\int_0^{x^{2}}\mathrm{e}^{-z^{2}}dz$ .

a) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos locales de $f(x)$ .

b) Estudiar la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión de $f(x)$ .

Estudiar crecimiento, extremos, concavidad e inflexiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué aporta el hecho de que el extremo superior sea $x^{2}$ y no $x$ ?
02
El extremo
COMP2
¿En qué abscisa tiene $f$ su único extremo local?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Las inflexiones
COMP2
¿En qué abscisa positiva hay un punto de inflexión?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las conclusiones sobre la forma de la gráfica. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f$ es par: $f(-x) = f(x)$ , porque el extremo superior $x^{2}$ no cambia. La gráfica es simétrica respecto del eje vertical.
2. Mínimo absoluto en el origen, con $f(0)=0$ , y $f\ge0$ en todo $\mathbb{R}$ .
3. Convexa en el centro —entre $-\frac{1}{\sqrt2}$ y $\frac{1}{\sqrt2}$ — y cóncava en las dos colas.
4. Asíntota horizontal. Cuando $x\to\pm\infty$ , el extremo superior tiende a $+\infty$ y $f \to \int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-z^{2}}dz = \frac{\sqrt\pi}{2} \approx 0{,}886$ .
5. Queda una curva en forma de bañera: sube de 0 a $0{,}886$ por los dos lados, con la inflexión en el punto donde deja de acelerar.
Las inflexiones son la señal de que la curva empieza a aplanarse hacia su asíntota. Por eso aparecen antes de que la función se estabilice.

intervalo	$f'$	$f$
$(-\infty,0)$	$<0$	decrece
$(0,+\infty)$	$>0$	crece

intervalo	$1-4x^{4}$	$f$
$\lvert x\rvert<\frac{1}{\sqrt2}$	$>0$	convexa
$\lvert x\rvert>\frac{1}{\sqrt2}$	$<0$	cóncava

Resolución completa

Datos. $f(x) = \int_0^{x^{2}}\mathrm{e}^{-z^{2}}dz$ .

1 · El dominio y una simetría

$\mathrm{e}^{-z^{2}}$ es continua en todo $\mathbb{R}$ , así que la integral existe para cualquier extremo superior:

\mathrm{Dom}(f) = \mathbb{R}

Y $f$ es par:

f(-x) = \int_0^{(-x)^{2}}\mathrm{e}^{-z^{2}}dz = \int_0^{x^{2}}\mathrm{e}^{-z^{2}}dz = f(x)

Todo lo que salga tendrá que ser simétrico respecto del eje vertical, y eso sirve de comprobación continua.

Nótese además que $\mathrm{e}^{-z^{2}}$ no tiene primitiva elemental —es la función error—, así que $f$ no se puede escribir en forma cerrada. No hace falta: todo se decide con las derivadas.

2 · Apartado (a): crecimiento

Con $F(u) = \int_0^{u}\mathrm{e}^{-z^{2}}dz$ , el teorema fundamental da $F'(u) = \mathrm{e}^{-u^{2}}$ . Y como el extremo superior es $x^{2}$ , hace falta la regla de la cadena:

f'(x) = F'\left(x^{2}\right)\cdot2x = \mathrm{e}^{-\left(x^{2}\right)^{2}}\cdot2x

\boxed{f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{-x^{4}}}

El factor $2x$ lo cambia todo. Sin él —si el extremo superior fuera $x$ — la derivada sería siempre positiva y no habría extremos.

Como $\mathrm{e}^{-x^{4}}>0$ para todo $x$ , el signo de $f'$ es el de $x$ :

intervalo	$f'$	$f$
$(-\infty,0)$	$<0$	decrece
$(0,+\infty)$	$>0$	crece

\boxed{\text{MÍNIMO ABSOLUTO en } x=0, \text{ con } f(0)=0}

Absoluto porque es el único punto crítico y la función baja a su izquierda y sube a su derecha. Y $f(0)=0$ porque el intervalo de integración es vacío.

Además $f(x)\ge0$ siempre: el integrando es positivo y el extremo superior $x^{2}$ nunca es negativo, así que la integral se recorre siempre «hacia adelante».

3 · Apartado (b): concavidad

Derivando $f' = 2x\,\mathrm{e}^{-x^{4}}$ con la regla del producto:

f''(x) = 2\,\mathrm{e}^{-x^{4}} +2x\cdot\mathrm{e}^{-x^{4}}\cdot\left(-4x^{3}\right)

\boxed{f''(x) = 2\,\mathrm{e}^{-x^{4}}\left(1-4x^{4}\right)}

El factor exponencial es positivo, así que el signo lo decide $1-4x^{4}$ :

1-4x^{4} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{4} = \frac14 \;\Longrightarrow\; x^{2} = \frac12 \;\Longrightarrow\; x = \pm\frac{1}{\sqrt2}

intervalo	$1-4x^{4}$	$f$
$\left(-\infty,-\frac{1}{\sqrt2}\right)$	$<0$	cóncava
$\left(-\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)$	$>0$	convexa
$\left(\frac{1}{\sqrt2},+\infty\right)$	$<0$	cóncava

\boxed{\text{INFLEXIONES en } x = \pm\frac{1}{\sqrt2} \approx \pm0{,}7071}

El signo cambia de verdad en los dos puntos, así que son inflexiones y no falsas alarmas.

El valor en ellos:

f\left(\pm\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = \int_0^{1/2}\mathrm{e}^{-z^{2}}dz \approx 0{,}4613

calculado con la serie $\int_0^{1/2}\left(1-z^{2}+\frac{z^{4}}{2}-\frac{z^{6}}{6}\right)dz$ .

4 · La forma completa de la gráfica

Falta un dato que redondea el estudio: la asíntota horizontal. Cuando $x\to\pm\infty$ , el extremo superior $x^{2}\to+\infty$ , y

\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-z^{2}}dz = \frac{\sqrt\pi}{2} \approx 0{,}8862

—la integral de Gauss, que converge aunque el integrando no tenga primitiva elemental—.

Así que $f$ crece pero acotada: sube desde 0 hasta acercarse a $0{,}886$ sin alcanzarlo nunca. Y las inflexiones son exactamente el punto donde deja de acelerar y empieza a aplanarse hacia la asíntota.

rasgo	dónde
mínimo absoluto	$x=0$ , valor 0
inflexiones	$x=\pm\frac{1}{\sqrt2}$ , valor $0{,}461$
asíntota horizontal	$y = \frac{\sqrt\pi}{2} \approx 0{,}886$

Una curva en forma de bañera, simétrica.

5 · Comprobación

De la simetría en las conclusiones. El extremo está en el eje de simetría y las inflexiones son simétricas ✔ Como debe ocurrir en una función par.

De los signos en puntos concretos:

$x$	$f'=2x\mathrm{e}^{-x^{4}}$	$f''=2\mathrm{e}^{-x^{4}}(1-4x^{4})$
$-1$	$-0{,}736$ (decrece ✔)	$-2{,}207$ (cóncava ✔)
$-0{,}5$	$-0{,}938$ (decrece ✔)	$+1{,}875$ (convexa ✔)
$0{,}5$	$+0{,}938$ (crece ✔)	$+1{,}875$ (convexa ✔)
$1$	$+0{,}736$ (crece ✔)	$-2{,}207$ (cóncava ✔)

Numérica de la tendencia:

$x$	$x^{2}$	$f(x)$
$0{,}707$	$0{,}5$	$0{,}461$
$1$	$1$	$0{,}747$
$1{,}5$	$2{,}25$	$0{,}8862$
$2$	$4$	$0{,}8862$

A partir de $x\approx1{,}5$ la función ya está pegada a su asíntota ✔ Y nunca la pasa, coherente con que sea creciente y acotada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 6 · Tercera evaluación, 18 de enero de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una parábola tumbada, una paralela y el eje

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el recinto limitado por la curva $y^{2}-x = 1$ , la recta paralela a $y=x$ que pasa por el punto $(1,0)$ e $y \ge 0$ .

a) Representar gráficamente el recinto $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Calcular el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.

Representar, calcular el área y el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la recta del enunciado?
02
Dónde se cortan la parábola y la recta
COMP2
En el semiplano $y\ge0$ , ¿cuál es la ordenada del punto de corte?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuál es el área de $D$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del volumen. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El eje de giro es $OX$ , y el recinto está entero en $y\ge0$ : cada punto describe una circunferencia de radio su propia $y$ .
2. Método de las capas, que aquí es el cómodo: para cada $y \in [0,2]$ , la franja horizontal de anchura $(y+1)-\left(y^{2}-1\right)$ genera un cilindro de radio $y$ .
3. La integral: $V = 2\pi\int_0^{2}y\left(y+2-y^{2}\right)dy$ .
4. $V = 2\pi\left[\frac{y^{3}}{3}+y^{2}-\frac{y^{4}}{4}\right]_0^{2} = 2\pi\left[\frac83+4-4\right] = \frac{16\pi}{3}$ .
5. Comprobado por discos, partiendo en $x=1$ : sale $2\pi+\frac{10\pi}{3} = \frac{16\pi}{3}$ ✔
Las capas se prefieren cuando el eje de giro es perpendicular a la variable en la que el recinto se describe sin partir. Aquí eso ocurre con $y$ .

Resolución completa

Datos. La curva $y^{2}-x=1$ , la recta paralela a $y=x$ por $(1,0)$ y la condición $y\ge0$ .

1 · Apartado (a): los tres bordes

La curva. $y^{2}-x = 1$ es $x = y^{2}-1$ : una parábola tumbada, con vértice en $(-1,0)$ y abierta hacia la derecha. Corta al eje $OX$ —donde $y=0$ — en $x=-1$ .

La recta. Paralela a $y=x$ significa pendiente 1. Pasando por $(1,0)$ :

0 = 1+b \;\Longrightarrow\; b = -1 \;\Longrightarrow\; \boxed{y = x-1}

o, despejada en $x$ : $x = y+1$ .

El corte. Igualando las dos:

y^{2}-1 = y+1 \;\Longrightarrow\; y^{2}-y-2 = 0 \;\Longrightarrow\; y = 2 \ \text{ó}\ y = -1

La solución $y=-1$ —el punto $(0,-1)$ — es un corte real de las dos curvas, pero la tercera condición la descarta. Queda

(3,\,2)

El recinto tiene tres bordes: la parábola por la izquierda, la recta por la derecha y el eje $OX$ por abajo, con vértices en $(-1,0)$ , $(1,0)$ y $(3,2)$ .

Figura nuestra: el enunciado pide representarla. En negro la parabola, en rojo la recta paralela a y=x, y sombreado el recinto, que se apoya en el eje horizontal entre menos uno y uno.

2 · Apartado (b): el área

Conviene integrar en $y$ . Las dos curvas se despejan como $x$ en función de $y$ sin partir nada:

borde	expresión
derecha (recta)	$x = y+1$
izquierda (parábola)	$x = y^{2}-1$

Integrando en $x$ habría que partir en $x=1$ , porque el borde inferior cambia de la parábola al eje.

A = \int_0^{2}\left[(y+1)-\left(y^{2}-1\right)\right]dy = \int_0^{2}\left(y+2-y^{2}\right)dy

= \left[\frac{y^{2}}{2}+2y-\frac{y^{3}}{3}\right]_0^{2} = 2+4-\frac83

\boxed{A = \frac{10}{3} \approx 3{,}3333}

3 · Apartado (c): el volumen al girar sobre OX

El eje de giro es horizontal y el recinto se describe cómodamente en $y$ : el método de las capas cilíndricas evita partir.

Cada franja horizontal a altura $y$ , de anchura $\left(y+2-y^{2}\right)$ , genera al girar un cilindro de radio $y$ y superficie lateral $2\pi y$ :

V = 2\pi\int_0^{2}y\left(y+2-y^{2}\right)dy = 2\pi\int_0^{2}\left(y^{2}+2y-y^{3}\right)dy

= 2\pi\left[\frac{y^{3}}{3}+y^{2}-\frac{y^{4}}{4}\right]_0^{2} = 2\pi\left[\frac83+4-4\right]

\boxed{V = \frac{16\pi}{3} \approx 16{,}755}

No hay hueco central: el recinto se apoya en el eje $OX$ a lo largo del segmento de $(-1,0)$ a $(1,0)$ , así que el sólido es macizo.

4 · Comprobación del volumen por discos

Por la otra vía, integrando en $x$ y partiendo en $x=1$ :

Tramo $x \in [-1,1]$ . El recinto va de $y=0$ hasta la parábola $y = \sqrt{x+1}$ :

\pi\int_{-1}^{1}(x+1)\,dx = \pi\left[\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{-1}^{1} = \pi\left[\frac32-\left(-\frac12\right)\right] = 2\pi

Tramo $x \in [1,3]$ . De la recta $y=x-1$ hasta la parábola:

\pi\int_1^{3}\left[(x+1)-(x-1)^{2}\right]dx = \pi\int_1^{3}\left(3x-x^{2}\right)dx

= \pi\left[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_1^{3} = \pi\left[\left(\frac{27}{2}-9\right) -\left(\frac32-\frac13\right)\right] = \pi\left[\frac92-\frac76\right] = \frac{10\pi}{3}

V = 2\pi+\frac{10\pi}{3} = \frac{6\pi+10\pi}{3} = \frac{16\pi}{3} \quad\checkmark

Coincide, y por un camino completamente distinto.

5 · Más comprobaciones

Del punto de corte. $(3,2)$ en la parábola: $4-3 = 1$ ✔ En la recta: $2 = 3-1$ ✔

Del área, por acotación. El recinto cabe en el rectángulo $[-1,3]\times[0,2]$ , de área 8, y contiene el triángulo de vértices $(-1,0)$ , $(1,0)$ , $(3,2)$ , de área $\frac{2\cdot2}{2} = 2$ :

2 < 3{,}33 < 8 \quad\checkmark

Del volumen, por acotación. Está dentro del cilindro de radio 2 y longitud 4 — $\pi\cdot4\cdot4 = 16\pi \approx 50{,}3$ — y es $16{,}76$ : un tercio del cilindro ✔ Coherente con que la sección se estreche mucho hacia la izquierda.

Del teorema de Pappus, como tercera vía del volumen. El centroide del recinto está a altura

\overline{y} = \frac{1}{A}\int_0^{2}y\left(y+2-y^{2}\right)dy = \frac{1}{10/3}\cdot\frac83 = \frac{8}{10} = 0{,}8

y Pappus da

V = 2\pi\overline{y}\,A = 2\pi\cdot0{,}8\cdot\frac{10}{3} = \frac{16\pi}{3} \quad\checkmark

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2021-2022

Reconocer el camino

El semiplano de la segunda condición

Dónde empieza la semirrecta

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · La primera condición

2 · La segunda condición

3 · Intersecar

4 · Comprobación

Reconocer el camino

Cuántas son verdaderas

Justificar el argumento

0 · Cómo se responde a esto

1 · Apartado (a): FALSA

2 · Apartado (b): FALSA

3 · Apartado (c): VERDADERA

4 · El matiz que hay que añadir

5 · Resumen

6 · Comprobación de los contraejemplos

Reconocer el camino

El primer coeficiente no trivial

Justificar el argumento

1 · La vía corta

2 · Restar

3 · El resultado

4 · Dos observaciones

5 · Comprobación

Reconocer el camino

La parte que sí converge

Justificar el argumento

1 · Qué tipo de impropia es

2 · La primitiva

3 · La mitad izquierda: converge

4 · La mitad derecha: diverge

5 · Conclusión

6 · El atajo que evita toda la cuenta

7 · Comprobación

Reconocer el camino

El extremo

Las inflexiones

Justificar el argumento

1 · El dominio y una simetría

2 · Apartado (a): crecimiento

3 · Apartado (b): concavidad

4 · La forma completa de la gráfica

5 · Comprobación

Reconocer el camino

Dónde se cortan la parábola y la recta

El área

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): los tres bordes

2 · Apartado (b): el área

3 · Apartado (c): el volumen al girar sobre OX

4 · Comprobación del volumen por discos

5 · Más comprobaciones