tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2016-2017

23 de enero de 2017 · 5 ejercicios · 50 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El tercer vértice, y la identidad fundamental en el plano complejoNúmeros complejos1 + 4 + 5 = 10 pts
a) Un triángulo equilátero tiene todos sus vértices en el tercer cuadrante. Hallar el número complejo $z_3$ , tal que los afijos de los números complejos $z_1 = -3-i$ , $z_2 = -1-2i$ y $z_3$ sean los vértices de dicho triángulo. Representar gráficamente el triángulo.

b) Demostrar que $\mathrm{sen}^{2}z+\cos^{2}z = 1$ $\forall z \in \mathbb{C}$ .
Hallar $z_3$ , representar el triángulo y demostrar la identidad.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La inversa de una cóncava, y el teorema fundamental demostradoIntegración1 + 2 + 7 = 10 pts
Demostrar las siguientes propiedades:

a) Sea $y(x)$ una función dos veces derivable, decreciente y cóncava en el intervalo $(a,b)$ . Entonces $y^{-1}(x)$ es cóncava en $(a,b)$ .

b) Sea $G(x) = \displaystyle\int_a^{x}g(t)\,dt$ , donde $g(x)$ es continua en $[a,b]$ . Entonces $G(x)$ es derivable y $G'(x) = g(x)$ .
Demostrar las dos propiedades.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La raíz cúbica de nueve con tres términosEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
a) Calcular el desarrollo de McLaurin de orden 3 de la función $y(x) = \sqrt[3]{x+8}$ .

b) Utilizando el desarrollo anterior calcular el valor aproximado de $\sqrt[3]{9}$ .

c) Acotar el error cometido en dicho cálculo.
Calcular el polinomio, aproximar y acotar el error.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un lazo cerrado, su área y lo que barre al girarIntegración0 + 6 + 4 = 10 pts
Sea $D$ el recinto limitado por $9y^{2} = x\left(3-x\right)^{2}$ / $x \in [0,3]$ .

a) Representar gráficamente $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar $D$ alrededor de OX.
Representar, calcular el área y el volumen.
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos sucesiones casi iguales, y una derivada desde la definiciónSucesiones y series numéricas2 + 1 + 7 = 10 pts
a) Definir el concepto de convergencia de una sucesión y estudiar, de forma argumentada, la convergencia de las siguientes sucesiones:

a.1) $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} 2+\dfrac1n & n \text{ impar}\\[8pt] -2-\dfrac1n & n \text{ par} \end{cases}$

a.2) $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} 2+\dfrac1n & n < 50\\[8pt] -2-\dfrac1n & n \ge 50 \end{cases}$

b) Demostrar que la derivada de la función $y(x) = x$ es 1.
Definir, estudiar las dos sucesiones y demostrar la derivada.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 21 punto por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2017 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El tercer vértice, y la identidad fundamental en el plano complejo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Un triángulo equilátero tiene todos sus vértices en el tercer cuadrante. Hallar el número complejo $z_3$ , tal que los afijos de los números complejos $z_1 = -3-i$ , $z_2 = -1-2i$ y $z_3$ sean los vértices de dicho triángulo. Representar gráficamente el triángulo.

b) Demostrar que $\mathrm{sen}^{2}z+\cos^{2}z = 1$ $\forall z \in \mathbb{C}$ .

Hallar $z_3$ , representar el triángulo y demostrar la identidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se construye el tercer vértice de un triángulo equilátero?
02
El lado del triángulo
COMP2
¿Cuánto mide el lado? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El tercer vértice
COMP2
¿Cuál es la parte real de $z_3$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración del apartado (b). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Partir de las definiciones en $\mathbb{C}$ : $\mathrm{sen}\,z = \frac{\mathrm{e}^{iz}-\mathrm{e}^{-iz}}{2i}$ y $\cos z = \frac{\mathrm{e}^{iz}+\mathrm{e}^{-iz}}{2}$ .
2. Elevar al cuadrado. Con $\left(2i\right)^{2} = -4$ : $\mathrm{sen}^{2}z = -\frac{\mathrm{e}^{2iz}-2+\mathrm{e}^{-2iz}}{4}$ .
3. Y $\cos^{2}z = \frac{\mathrm{e}^{2iz}+2+\mathrm{e}^{-2iz}}{4}$ .
4. Sumar: los términos $\mathrm{e}^{2iz}$ y $\mathrm{e}^{-2iz}$ se cancelan y quedan $\frac{2+2}{4} = 1$ . $\blacksquare$
5. Y señalar por qué hacía falta demostrarlo: en $\mathbb{R}$ la identidad sale del teorema de Pitágoras, que no significa nada para un argumento complejo.
Extender una identidad de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ «por continuidad» es un salto que hay que justificar. Con las definiciones exponenciales no hace falta ningún salto.

Resolución completa

Datos. Dos vértices de un equilátero, con la condición de que los tres estén en el tercer cuadrante; y una identidad que demostrar en $\mathbb{C}$ .

1 · Apartado (a): la idea

En complejos, girar es multiplicar. El tercer vértice se obtiene girando $z_2$ alrededor de $z_1$ un ángulo de $60°$ :

z_3 = z_1+\left(z_2-z_1\right)\mathrm{e}^{\pm i\pi/3}

El paso intermedio $z_2-z_1$ traslada el giro al origen; el $+z_1$ lo devuelve a su sitio.

Hay dos soluciones, una por cada sentido de giro, y el enunciado usa el tercer cuadrante para elegir.

2 · El lado

z_2-z_1 = (-1-2i)-(-3-i) = 2-i, \qquad \ell = \sqrt5 \approx 2{,}236

3 · Los dos candidatos

Giro de $+60°$ , con $\mathrm{e}^{i\pi/3} = \frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ :

(2-i)\left(\frac{1+\sqrt3\,i}{2}\right) = \frac{2+2\sqrt3\,i-i+\sqrt3}{2} = \frac{\left(2+\sqrt3\right)+\left(2\sqrt3-1\right)i}{2}

z_3^{+} = -3-i+\frac{2+\sqrt3}{2}+\frac{2\sqrt3-1}{2}i = \frac{\sqrt3-4}{2}+\frac{2\sqrt3-3}{2}i

\approx -1{,}134+0{,}232\,i

Segundo cuadrante: la parte imaginaria es positiva. Se descarta.

Giro de $-60°$ , con $\mathrm{e}^{-i\pi/3} = \frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$ :

(2-i)\left(\frac{1-\sqrt3\,i}{2}\right) = \frac{\left(2-\sqrt3\right)-\left(2\sqrt3+1\right)i}{2}

z_3^{-} = -3-i+\frac{2-\sqrt3}{2}-\frac{2\sqrt3+1}{2}i

\boxed{z_3 = -\frac{4+\sqrt3}{2}-\frac{3+2\sqrt3}{2}\,i \approx -2{,}866-3{,}232\,i}

Los dos signos negativos: tercer cuadrante ✔

Figura nuestra: el enunciado pide representar. En rojo los tres vertices del triangulo, todos en el tercer cuadrante; en violeta hueco, la solucion del otro giro, que cae en el segundo y por eso se descarta.

4 · Comprobación del apartado (a)

Las tres distancias deben coincidir.

\left\lvert z_2-z_1\right\rvert = \left\lvert2-i\right\rvert = \sqrt5 = 2{,}2361

z_3-z_1 \approx (-2{,}866+3)+(-3{,}232+1)i = 0{,}134-2{,}232i

\left\lvert z_3-z_1\right\rvert = \sqrt{0{,}0180+4{,}9818} = \sqrt{4{,}9998} = 2{,}2360 \quad\checkmark

z_3-z_2 \approx -1{,}866-1{,}232i, \qquad \left\lvert z_3-z_2\right\rvert = \sqrt{3{,}482+1{,}518} = \sqrt{5{,}000} = 2{,}2361 \quad\checkmark

Los tres lados miden $\sqrt5$ : es equilátero.

Y el baricentro, como comprobación adicional:

\frac{z_1+z_2+z_3}{3} \approx \frac{-6{,}866-6{,}232i}{3} = -2{,}289-2{,}077i

También en el tercer cuadrante, como debe estar el centro de un triángulo que lo está entero ✔

5 · Apartado (b): la identidad fundamental en $\mathbb{C}$

Por qué hay que demostrarla. En $\mathbb{R}$ la identidad $\mathrm{sen}^{2}x+\cos^{2}x = 1$ sale del teorema de Pitágoras sobre la circunferencia unidad. Pero para un $z$ complejo no hay ningún triángulo: el seno y el coseno se definen con exponenciales, y la identidad hay que deducirla de esa definición.

\mathrm{sen}\,z = \frac{\mathrm{e}^{iz}-\mathrm{e}^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z = \frac{\mathrm{e}^{iz}+\mathrm{e}^{-iz}}{2}

Elevando al cuadrado, con $(2i)^{2} = -4$ :

\mathrm{sen}^{2}z = \frac{\left(\mathrm{e}^{iz}-\mathrm{e}^{-iz}\right)^{2}}{-4} = -\frac{\mathrm{e}^{2iz}-2+\mathrm{e}^{-2iz}}{4}

\cos^{2}z = \frac{\left(\mathrm{e}^{iz}+\mathrm{e}^{-iz}\right)^{2}}{4} = \frac{\mathrm{e}^{2iz}+2+\mathrm{e}^{-2iz}}{4}

Sumando, los términos $\mathrm{e}^{\pm2iz}$ se cancelan:

\mathrm{sen}^{2}z+\cos^{2}z = \frac{-\mathrm{e}^{2iz}+2-\mathrm{e}^{-2iz} +\mathrm{e}^{2iz}+2+\mathrm{e}^{-2iz}}{4} = \frac{4}{4}

\boxed{\mathrm{sen}^{2}z+\cos^{2}z = 1 \qquad \forall z \in \mathbb{C}} \qquad \blacksquare

6 · Un aviso que conviene añadir

La identidad se conserva, pero la acotación no:

\left\lvert\mathrm{sen}\,z\right\rvert \le 1 \qquad\text{es FALSO en } \mathbb{C}

Por ejemplo, $\mathrm{sen}(i\,y) = i\,\mathrm{sh}\,y$ , cuyo módulo crece sin tope: con $y=10$ vale $11\,013$ .

Que $\mathrm{sen}^{2}+\cos^{2} = 1$ no obliga a que ninguno de los dos esté acotado, porque los cuadrados de complejos pueden ser negativos. Es la diferencia de fondo con el caso real, y decirlo demuestra haber entendido la demostración en lugar de repetirla.

7 · Comprobación de (b)

Con $z = i$ :

\mathrm{sen}\,i = i\,\mathrm{sh}\,1 = 1{,}1752\,i, \qquad \cos i = \mathrm{ch}\,1 = 1{,}5431

\mathrm{sen}^{2}i+\cos^{2}i = -1{,}3811+2{,}3811 = 1{,}0000 \quad\checkmark

El primer sumando es negativo, y aun así la suma da 1: exactamente lo que decía el aviso.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2017 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: las demostraciones son propuesta nuestra, pendientes de revisión.

La inversa de una cóncava, y el teorema fundamental demostrado

COMP 11 punto por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar las siguientes propiedades:

a) Sea $y(x)$ una función dos veces derivable, decreciente y cóncava en el intervalo $(a,b)$ . Entonces $y^{-1}(x)$ es cóncava en $(a,b)$ .

b) Sea $G(x) = \displaystyle\int_a^{x}g(t)\,dt$ , donde $g(x)$ es continua en $[a,b]$ . Entonces $G(x)$ es derivable y $G'(x) = g(x)$ .

Demostrar las dos propiedades.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para el apartado (b), ¿qué teorema previo hace falta?
02
La segunda derivada de la inversa
COMP2
Si $y'(1) = -2$ e $y''(1) = -8$ , y $y(1)=5$ , ¿cuánto vale $\left(y^{-1}\right)''(5)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración del apartado (a). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La inversa existe. $y$ es decreciente, así que es inyectiva y tiene inversa; y $y'<0$ en todo el intervalo, así que $y^{-1}$ es derivable.
2. Derivar la identidad $y\left(y^{-1}(x)\right) = x$ : $y'\left(y^{-1}\right)\cdot\left(y^{-1}\right)' = 1$ , de donde $\left(y^{-1}\right)' = \frac{1}{y'\left(y^{-1}\right)}$ .
3. Derivar otra vez y despejar: $\left(y^{-1}\right)'' = -\dfrac{y''\left(y^{-1}\right)} {\left[y'\left(y^{-1}\right)\right]^{3}}$ .
4. Los signos: $y''<0$ porque $y$ es cóncava, luego el numerador $-y''$ es positivo; y $y'<0$ porque $y$ decrece, luego $\left(y'\right)^{3}$ es negativo.
5. Positivo entre negativo es negativo: $\left(y^{-1}\right)''<0$ , así que $y^{-1}$ es cóncava. $\blacksquare$
El enunciado da tres hipótesis y las tres se usan: dos veces derivable para que exista $y''$ , decreciente para el signo del cubo, y cóncava para el del numerador.

Resolución completa

Lo que se pide. Dos demostraciones. Siete de los diez puntos son COMP4.

1 · Apartado (a): qué hay que probar

$y$ dos veces derivable, decreciente y cóncava $\Longrightarrow$ $y^{-1}$ es cóncava.

Primero, que la inversa existe y es derivable. Al ser decreciente, $y$ es inyectiva. Y como es derivable con $y'<0$ —estrictamente, o no sería estrictamente decreciente—, el teorema de la función inversa garantiza que $y^{-1}$ es derivable.

Nota sobre el enunciado. Dice « $y^{-1}(x)$ es cóncava en $(a,b)$ », pero el dominio de $y^{-1}$ es $y\left((a,b)\right)$ , no $(a,b)$ . Es un desliz de redacción del examen; lo que se demuestra es que $y^{-1}$ es cóncava en su propio dominio, que es la imagen del intervalo.

2 · Las dos fórmulas

Llamando $g = y^{-1}$ , se parte de la identidad

y\left(g(x)\right) = x

Derivando con la regla de la cadena:

y'\left(g(x)\right)\cdot g'(x) = 1 \;\Longrightarrow\; g'(x) = \frac{1}{y'\left(g(x)\right)}

Derivando otra vez el producto:

y''\left(g\right)\left[g'\right]^{2}+y'\left(g\right)g'' = 0

g'' = -\frac{y''(g)\left[g'\right]^{2}}{y'(g)} = -\frac{y''(g)}{\left[y'(g)\right]^{3}}

—sustituyendo $g' = \frac{1}{y'(g)}$ en el numerador—.

\boxed{\left(y^{-1}\right)'' = -\frac{y''}{\left(y'\right)^{3}}}

3 · Los signos

dato	hipótesis	signo
$y''<0$	$y$ cóncava	numerador $-y''>0$
$y'<0$	$y$ decreciente	$\left(y'\right)^{3}<0$

\left(y^{-1}\right)'' = \frac{\text{positivo}}{\text{negativo}} < 0

\boxed{y^{-1} \text{ es cóncava}} \qquad \blacksquare

4 · Por qué hace falta que sea decreciente

El cubo del denominador conserva el signo de $y'$ , y ahí está todo.

Si $y$ fuera creciente y cóncava — $y'>0$ , $y''<0$ — saldría

\left(y^{-1}\right)'' = \frac{\text{positivo}}{\text{positivo}} > 0

es decir convexa. Es el caso de $y = \sqrt x$ : cóncava y creciente, y su inversa $x^{2}$ es convexa.

La reflexión respecto de la bisectriz invierte la concavidad. Lo que pasa aquí es que ser decreciente la invierte otra vez, y las dos inversiones se compensan.

5 · Comprobación de (a) con un caso concreto

$y(x) = -x^{2}$ en $(0,\infty)$ : decreciente ( $y'=-2x<0$ ) y cóncava ( $y''=-2<0$ ) ✔ Su inversa es

y^{-1}(x) = \sqrt{-x}, \qquad x<0

\left(y^{-1}\right)' = \frac{-1}{2\sqrt{-x}}, \qquad \left(y^{-1}\right)'' = -\frac{1}{4(-x)^{3/2}} < 0 \quad\checkmark

Cóncava, como decía el teorema. Y por la fórmula, en $x_0=1$ —donde $y=-1$ , $y'=-2$ , $y''=-2$ —:

\left(y^{-1}\right)''(-1) = -\frac{-2}{(-2)^{3}} = -\frac14

y directamente: $-\frac{1}{4\cdot1^{3/2}} = -\frac14$ ✔

6 · Apartado (b): el teorema fundamental

$g$ continua en $[a,b]$ , $G(x) = \int_a^{x}g$ $\Longrightarrow$ $G$ derivable con $G' = g$ .

La herramienta: el teorema del valor medio del cálculo integral. Si $g$ es continua en un intervalo $[u,v]$ , existe $\xi \in [u,v]$ con

\int_u^{v}g(t)\,dt = g(\xi)\left(v-u\right)

7 · La demostración

Sea $x \in (a,b)$ y $h \neq 0$ pequeño. Por la aditividad de la integral:

G(x+h)-G(x) = \int_a^{x+h}g-\int_a^{x}g = \int_x^{x+h}g(t)\,dt

Aplicando el teorema del valor medio integral en el intervalo de extremos $x$ y $x+h$ —donde $g$ es continua—, existe $\xi_h$ entre ellos con

\int_x^{x+h}g(t)\,dt = g\left(\xi_h\right)\cdot h

Por tanto, para todo $h\neq0$ :

\frac{G(x+h)-G(x)}{h} = g\left(\xi_h\right)

Y ahora el límite. Como $\xi_h$ está atrapado entre $x$ y $x+h$ :

h \to 0 \;\Longrightarrow\; \xi_h \to x

Y por la continuidad de $g$ en $x$ :

\lim_{h\to0}g\left(\xi_h\right) = g(x)

\boxed{G'(x) = \lim_{h\to0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h} = g(x)} \qquad \blacksquare

En $a$ y en $b$ el mismo argumento da las derivadas laterales.

8 · Dónde se usa la continuidad, exactamente

Dos veces, y conviene señalarlo:

Para poder aplicar el teorema del valor medio integral en cada trozo.
En el último paso, para que $g(\xi_h) \to g(x)$ .

Si $g$ solo fuera integrable, $G$ seguiría existiendo y siendo continua —de hecho lipschitziana—, pero podría no ser derivable. El contraejemplo de siempre:

g(t) = \begin{cases}0 & t\le0\\ 1 & t>0\end{cases}

Con $a=-1$ , $G(x)$ vale 0 a la izquierda de 0 y $x$ a la derecha: tiene un pico en 0, justo donde $g$ salta. Ahí $G'$ no existe.

9 · Comprobación de (b)

Con $g(t) = t^{2}$ y $a=0$ :

G(x) = \int_0^{x}t^{2}dt = \frac{x^{3}}{3}, \qquad G'(x) = x^{2} = g(x) \quad\checkmark

Y siguiendo la demostración paso a paso, con $x=1$ y $h=0{,}1$ :

\int_1^{1{,}1}t^{2}dt = \frac{1{,}331-1}{3} = 0{,}110333

g(\xi_h) = \frac{0{,}110333}{0{,}1} = 1{,}10333 \;\Longrightarrow\; \xi_h = \sqrt{1{,}10333} = 1{,}05039

que en efecto está entre 1 y $1{,}1$ ✔ Y al hacer $h$ más pequeño, $\xi_h \to 1$ y $g(\xi_h) \to 1 = g(1)$ ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2017 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La raíz cúbica de nueve con tres términos

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el desarrollo de McLaurin de orden 3 de la función $y(x) = \sqrt[3]{x+8}$ .

b) Utilizando el desarrollo anterior calcular el valor aproximado de $\sqrt[3]{9}$ .

c) Acotar el error cometido en dicho cálculo.

Calcular el polinomio, aproximar y acotar el error.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado elige la función $\sqrt[3]{x+8}$ y no $\sqrt[3]{x}$ ?
02
El coeficiente lineal
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de $x$ en el polinomio? En forma exacta, o con seis decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La cota del error
COMP2
¿Cuánto vale la cota del error del apartado (c), en unidades de $10^{-5}$ ? En forma exacta, o con dos decimales.
Tu respuesta al paso 3un número, en unidades de 10⁻⁵ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado (c). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El resto de Lagrange: existe $\xi \in (0,1)$ con $R_3(1) = \frac{y^{(4)}(\xi)}{4!}\cdot1^{4}$ .
2. La cuarta derivada: $y^{(4)}(x) = -\frac{80}{81}(x+8)^{-11/3}$ .
3. Su valor absoluto es decreciente en $[0,1]$ , así que el peor caso está en $\xi=0$ .
4. La cota: $\left\lvert R_3\right\rvert \le \frac{1}{24}\cdot\frac{80}{81\cdot2048} \approx 2{,}01\cdot10^{-5}$ , usando $8^{11/3} = 2^{11} = 2048$ .
5. Y la comprobación: el error real es $\left\lvert2{,}080102-2{,}080084\right\rvert = 1{,}8\cdot10^{-5}$ , menor que la cota ✔
Una cota da un intervalo de confianza, no una corrección. Confundir las dos cosas es el error conceptual del apartado (c).

Resolución completa

Datos. $y(x) = \sqrt[3]{x+8}$ , desarrollo de orden 3 en $x=0$ , aproximación de $\sqrt[3]9$ y cota del error.

1 · Por qué el $+8$

El enunciado no pide desarrollar $\sqrt[3]{x}$ , y hay dos motivos:

$\sqrt[3]{x}$ no es derivable en 0: su derivada $\frac{1}{3x^{2/3}}$ se dispara. No hay polinomio de Taylor ahí.
$8 = 2^{3}$ es un cubo perfecto, así que $y(0) = 2$ es exacto y todas las derivadas evalúan potencias de 2.

Y $9 = 1+8$ queda a distancia 1 del centro, dentro del radio de convergencia, que es 8.

2 · Apartado (a): las derivadas

y(x) = (x+8)^{1/3}

orden	derivada	en $x=0$
0	$(x+8)^{1/3}$	$8^{1/3} = 2$
1	$\frac13(x+8)^{-2/3}$	$\frac13\cdot\frac14 = \frac{1}{12}$
2	$-\frac29(x+8)^{-5/3}$	$-\frac29\cdot\frac{1}{32} = -\frac{1}{144}$
3	$\frac{10}{27}(x+8)^{-8/3}$	$\frac{10}{27}\cdot\frac{1}{256} = \frac{5}{3456}$
4	$-\frac{80}{81}(x+8)^{-11/3}$	—

—usando $8^{2/3}=4$ , $8^{5/3}=32$ , $8^{8/3}=256$ , todos potencias de 2—.

P_3(x) = 2+\frac{x}{12}+\frac{-1/144}{2!}x^{2} +\frac{5/3456}{3!}x^{3}

\boxed{P_3(x) = 2+\frac{x}{12}-\frac{x^{2}}{288} +\frac{5x^{3}}{20736}}

3 · Apartado (b): la aproximación

\sqrt[3]9 = \sqrt[3]{1+8} = y(1)

P_3(1) = 2+\frac{1}{12}-\frac{1}{288}+\frac{5}{20736}

término	valor
$2$	$2{,}000000$
$+\frac{1}{12}$	$+0{,}083333$
$-\frac{1}{288}$	$-0{,}003472$
$+\frac{5}{20736}$	$+0{,}000241$

\boxed{\sqrt[3]9 \approx 2{,}080102}

Los términos caen deprisa —cada uno unas 15 veces menor que el anterior—, señal de que $x=1$ está bien dentro del radio 8.

4 · Apartado (c): la cota

El teorema de Taylor con resto de Lagrange: existe $\xi \in (0,1)$ con

R_3(1) = \frac{y^{(4)}(\xi)}{4!}\cdot(1-0)^{4} = \frac{y^{(4)}(\xi)}{24}

La hipótesis se cumple: $y$ es cuatro veces derivable en $[0,1]$ , porque ahí $x+8 \ge 8 > 0$ .

y^{(4)}(x) = -\frac{80}{81}\left(x+8\right)^{-11/3}

Su valor absoluto decrece en $[0,1]$ , así que el peor caso está en $\xi=0$ :

\left\lvert y^{(4)}(0)\right\rvert = \frac{80}{81\cdot8^{11/3}} = \frac{80}{81\cdot2048} = \frac{80}{165\,888} = 4{,}8225\cdot10^{-4}

—con $8^{11/3} = 2^{11} = 2048$ —.

\left\lvert R_3(1)\right\rvert \le \frac{4{,}8225\cdot10^{-4}}{24}

\boxed{\left\lvert\text{error}\right\rvert \le 2{,}01\cdot10^{-5}}

5 · Comprobación

El error real:

\sqrt[3]9 = 2{,}0800838, \qquad \left\lvert2{,}0801022-2{,}0800838\right\rvert = 1{,}84\cdot10^{-5}

1{,}84\cdot10^{-5} < 2{,}01\cdot10^{-5} \quad\checkmark

La cota se cumple, y ajustada: el error real es el 92 % de ella, porque $\xi$ está muy cerca de 0.

El signo. $y^{(4)}<0$ , así que el resto es negativo y el polinomio se queda por encima del valor verdadero. Y en efecto $2{,}080102 > 2{,}080084$ ✔

Comprobación directa, elevando al cubo:

2{,}080102^{3} = 9{,}000239

frente a 9: se pasa en $2{,}4\cdot10^{-4}$ , coherente con un error de $1{,}8\cdot10^{-5}$ en la raíz, porque la derivada de $x^{3}$ en 2,08 vale unas 13 veces ✔

6 · Un comentario sobre el método

Con solo cuatro términos y sin calculadora se obtienen cinco cifras significativas de una raíz cúbica. La clave es que el punto de desarrollo esté cerca y sea cómodo: para $\sqrt[3]{30}$ se usaría $\sqrt[3]{x+27}$ con $x=3$ , y para $\sqrt[3]{60}$ , $\sqrt[3]{x+64}$ con $x=-4$ .

Siempre el cubo perfecto más cercano. Y el error va como $\left(\frac{x}{\text{cubo}}\right)^{4}$ : cuanto más cerca, mucho mejor.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2017 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un lazo cerrado, su área y lo que barre al girar

COMP 26 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el recinto limitado por $9y^{2} = x\left(3-x\right)^{2}$ / $x \in [0,3]$ .

a) Representar gráficamente $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar $D$ alrededor de OX.

Representar, calcular el área y el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué forma tiene la curva?
02
La altura máxima del lazo
COMP2
¿Cuál es el mayor valor de $y$ sobre el lazo? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuál es el área encerrada por el lazo? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del volumen. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El recinto es simétrico respecto del eje de giro, así que al girar la mitad de arriba y la de abajo barren el mismo sólido.
2. Luego basta con la rama superior, y no hay que duplicar nada: $V = \pi\int_0^{3}y^{2}dx$ .
3. Y $y^{2}$ está dado directamente por el enunciado: $y^{2} = \frac{x\left(3-x\right)^{2}}{9}$ . Ni siquiera hace falta despejar la raíz.
4. Desarrollar e integrar: $V = \frac{\pi}{9}\int_0^{3}\left(9x-6x^{2}+x^{3}\right)dx$ .
5. $V = \frac{\pi}{9}\left[\frac{9x^{2}}{2}-2x^{3} +\frac{x^{4}}{4}\right]_0^{3} = \frac{\pi}{9}\cdot\frac{27}{4} = \frac{3\pi}{4}$ .
Para el área se duplica y para el volumen no. La razón es la misma en los dos casos: mirar qué recorre cada mitad.

Resolución completa

Datos. $9y^{2} = x\left(3-x\right)^{2}$ , con $x \in [0,3]$ .

1 · Apartado (a): qué curva es

Despejando:

y^{2} = \frac{x\left(3-x\right)^{2}}{9} \;\Longrightarrow\; y = \pm\frac{\left\lvert3-x\right\rvert\sqrt x}{3} = \pm\frac{\left(3-x\right)\sqrt x}{3}

—el valor absoluto se quita porque en $[0,3]$ se tiene $3-x\ge0$ —.

Dos ramas opuestas, simétricas respecto del eje $OX$ , que se juntan donde $y=0$ :

x = 0 \qquad\text{y}\qquad x = 3

Es un lazo cerrado. Su altura máxima, derivando la rama superior:

y' = \frac{1}{2}\cdot\frac{1-x}{\sqrt x} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1, \qquad y(1) = \frac23

Figura nuestra: el enunciado pide representarla. El lazo mide 3 de largo y solo 4/3 de alto, y acaba en punta en los dos extremos.

2 · Apartado (b): el área

Por la simetría respecto de $OX$ , el lazo es el doble de su mitad superior:

A = 2\int_0^{3}\frac{\left(3-x\right)\sqrt x}{3}\,dx = \frac23\int_0^{3}\left(3x^{1/2}-x^{3/2}\right)dx

= \frac23\left[3\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac25x^{5/2}\right]_0^{3} = \frac23\left[2x^{3/2}-\frac25x^{5/2}\right]_0^{3}

Con $3^{3/2} = 3\sqrt3$ y $3^{5/2} = 9\sqrt3$ :

= \frac23\left[6\sqrt3-\frac{18\sqrt3}{5}\right] = \frac23\cdot\frac{30\sqrt3-18\sqrt3}{5} = \frac23\cdot\frac{12\sqrt3}{5}

\boxed{A = \frac{8\sqrt3}{5} \approx 2{,}7713}

3 · Apartado (c): el volumen

Aquí NO se duplica. El eje de giro es $OX$ , que es justamente el eje de simetría del lazo: al girar, la rama de arriba y la de abajo barren el mismo sólido. Duplicar contaría dos veces el mismo espacio.

V = \pi\int_0^{3}y^{2}\,dx

Y $y^{2}$ viene dado por el enunciado, sin necesidad de despejar la raíz:

y^{2} = \frac{x\left(3-x\right)^{2}}{9}

V = \frac{\pi}{9}\int_0^{3}x\left(9-6x+x^{2}\right)dx = \frac{\pi}{9}\int_0^{3}\left(9x-6x^{2}+x^{3}\right)dx

= \frac{\pi}{9}\left[\frac{9x^{2}}{2}-2x^{3}+\frac{x^{4}}{4} \right]_0^{3} = \frac{\pi}{9}\left[\frac{81}{2}-54+\frac{81}{4}\right]

= \frac{\pi}{9}\cdot\frac{162-216+81}{4} = \frac{\pi}{9}\cdot\frac{27}{4}

\boxed{V = \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}3562}

4 · Duplicar sí, duplicar no

Es el punto delicado del ejercicio, y merece decirse en voz alta:

magnitud	¿se duplica?	por qué
área	sí	las dos mitades ocupan zonas distintas del plano
volumen sobre $OX$	no	las dos mitades barren el mismo sólido

El criterio es siempre el mismo: mirar qué recorre cada mitad.

5 · Comprobación

Del área, por acotación. El lazo cabe en el rectángulo $[0,3]\times\left[-\frac23,\frac23\right]$ , de área 4, y contiene el rombo de diagonales 3 y $\frac43$ , de área

\frac{3\cdot\frac43}{2} = 2

2 < 2{,}771 < 4 \quad\checkmark

Ocupa el 69 % del rectángulo, razonable para una figura con las puntas afiladas.

Del área, con la sustitución $x = u^{2}$ , como segunda vía:

A = \frac23\int_0^{\sqrt3}\left(3u-u^{3}\right)2u\,du = \frac43\int_0^{\sqrt3}\left(3u^{2}-u^{4}\right)du

= \frac43\left[u^{3}-\frac{u^{5}}{5}\right]_0^{\sqrt3} = \frac43\left[3\sqrt3-\frac{9\sqrt3}{5}\right] = \frac43\cdot\frac{6\sqrt3}{5} = \frac{8\sqrt3}{5} \quad\checkmark

Del volumen, por acotación. El sólido cabe dentro del cilindro de radio $\frac23$ y longitud 3:

\pi\cdot\frac49\cdot3 = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}19

y $2{,}36$ es el 56 % de eso ✔ Coherente con un sólido que se estrecha hasta un punto en los dos extremos.

Del integrando en un punto. En $x=1$ :

y^{2} = \frac{1\cdot4}{9} = \frac49, \qquad y = \frac23 \quad\checkmark

Coincide con la altura máxima calculada en el apartado (a).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 23 de enero de 2017 · Cálculo (Industriales), UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos sucesiones casi iguales, y una derivada desde la definición

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 21 punto por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Definir el concepto de convergencia de una sucesión y estudiar, de forma argumentada, la convergencia de las siguientes sucesiones:

a.1) $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} 2+\dfrac1n & n \text{ impar}\\[8pt] -2-\dfrac1n & n \text{ par} \end{cases}$

a.2) $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} = \begin{cases} 2+\dfrac1n & n < 50\\[8pt] -2-\dfrac1n & n \ge 50 \end{cases}$

b) Demostrar que la derivada de la función $y(x) = x$ es 1.

Definir, estudiar las dos sucesiones y demostrar la derivada.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos sucesiones usan las mismas dos expresiones. ¿Qué las diferencia?
02
El límite de la segunda
COMP2
¿A qué valor converge la sucesión de (a.2)?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de la sucesión (a.1). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Mirar las dos subsucesiones. La de índices impares es $2+\frac1n$ y la de pares $-2-\frac1n$ .
2. Sus límites: la de impares tiende a $2$ y la de pares a $-2$ .
3. El teorema que decide: si una sucesión converge a $L$ , toda subsucesión suya converge al mismo $L$ .
4. Por contrarrecíproco: como hay dos subsucesiones con límites distintos, la sucesión no converge.
5. Y sí está acotada: $\left\lvert a_n\right\rvert \le 3$ para todo $n$ . Acotada pero no convergente: el ejemplo de que una cosa no implica la otra.
El argumento de las subsucesiones es el más limpio para negar una convergencia: basta exhibir dos con límites distintos.

Resolución completa

Lo que se pide. Una definición, dos estudios y una demostración. Siete de los diez puntos son COMP4.

1 · La definición

Se dice que $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $L \in \mathbb{R}$ cuando
$\forall\varepsilon>0 \ \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{ tal que } \ \forall n>N: \quad \left\lvert a_n-L\right\rvert<\varepsilon$

Lo que hay que entender de esa frase: para cualquier banda alrededor de $L$ , por estrecha que sea, la sucesión acaba entrando y ya no vuelve a salir. El $N$ depende de $\varepsilon$ , y ese orden importa.

Y una consecuencia inmediata que resuelve el ejercicio:

La convergencia solo depende de la cola. Cambiar, añadir o quitar un número finito de términos no altera ni la convergencia ni el límite: basta agrandar el $N$ de la definición.

2 · Apartado (a.1): no converge

Las dos ramas se alternan indefinidamente, así que las dos producen subsucesiones infinitas:

subsucesión	expresión	límite
índices impares	$2+\frac1n$	$2$
índices pares	$-2-\frac1n$	$-2$

El teorema que decide: si una sucesión converge a $L$ , entonces toda subsucesión suya converge a ese mismo $L$ .

Aquí hay dos subsucesiones con límites distintos, $2 \neq -2$ . Por contrarrecíproco:

\boxed{\{a_n\} \text{ NO converge}}

Y sí está acotada:

\left\lvert a_n\right\rvert \le 2+1 = 3 \qquad \forall n

Es el ejemplo estándar de que acotada no implica convergente. Y conviene precisar el vocabulario: la sucesión no converge, pero tampoco diverge a infinito. Oscila.

3 · Apartado (a.2): converge a $-2$

Aquí la primera rama solo actúa para $n<50$ : cuarenta y nueve términos, un número finito.

A partir de $n=50$ , y para siempre:

a_n = -2-\frac1n

\boxed{\lim_{n\to\infty}a_n = -2}

Con la definición, para hacerlo formal. Dado $\varepsilon>0$ , tomando

N = \max\left\{50,\ \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\right\}

para todo $n>N$ se cumple $n \ge 50$ y $\frac1n<\varepsilon$ , luego

\left\lvert a_n-(-2)\right\rvert = \frac1n < \varepsilon \quad\checkmark

El $\max$ con 50 es lo que hace el trabajo: garantiza que se está ya en la segunda rama.

4 · Lo que enseña el par

Las dos sucesiones usan exactamente las mismas dos expresiones. Lo único que cambia es cuándo se aplica cada una:

	primera rama	resultado
(a.1)	infinitos términos	no converge
(a.2)	49 términos	converge a $-2$

Que 49 términos no importen y que infinitos sí, aunque sean «la mitad», es exactamente lo que dice la definición: solo cuenta lo que pasa a partir de un cierto punto.

5 · Apartado (b): la derivada de $y=x$

Demostrar que $y'(x) = 1$ para $y(x)=x$ .

Hay que hacerlo desde la definición, no citando la regla de la potencia: esa regla se demuestra a partir de casos como este.

y'(x) = \lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}

Sustituyendo:

= \lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h} = \lim_{h\to0}\frac{h}{h}

Y aquí el detalle que hay que decir: en la definición de límite se considera $h \neq 0$ , así que el cociente $\frac hh$ vale 1 exactamente, para todo $h$ del entorno perforado. El límite de una función constante es esa constante:

\boxed{y'(x) = \lim_{h\to0}1 = 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}} \qquad \blacksquare

No se está simplificando $\frac00$ : la expresión nunca se evalúa en $h=0$ .

6 · Comprobación

De (a.1), con los primeros términos:

a_1 = 3,\quad a_2 = -2{,}5,\quad a_3 = 2{,}333,\quad a_4 = -2{,}25,\quad a_5 = 2{,}2

Salta de un lado a otro sin acercarse a nada ✔ Y ninguno se sale de $[-3,3]$ ✔

De (a.2):

a_{48} = 2{,}021, \quad a_{49} = 2{,}020, \quad a_{50} = -2{,}020, \quad a_{51} = -2{,}0196, \quad a_{1000} = -2{,}001

Hay un salto en $n=50$ y a partir de ahí sube suavemente hacia $-2$ ✔ El salto no impide la convergencia: solo es un término más.

De (b), numéricamente. El cociente incremental vale 1 para cualquier $h$ , no solo en el límite:

$h$	$\frac{(x+h)-x}{h}$
$1$	$1$
$0{,}01$	$1$
$-0{,}5$	$1$

Constante ✔ Es el caso más simple posible de derivada, y por eso sirve de base para todas las demás.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2016-2017

Reconocer el camino

El lado del triángulo

El tercer vértice

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): la idea

2 · El lado

3 · Los dos candidatos

4 · Comprobación del apartado (a)

5 · Apartado (b): la identidad fundamental en C\mathbb{C}C

6 · Un aviso que conviene añadir

7 · Comprobación de (b)

Reconocer el camino

La segunda derivada de la inversa

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): qué hay que probar

2 · Las dos fórmulas

3 · Los signos

4 · Por qué hace falta que sea decreciente

5 · Comprobación de (a) con un caso concreto

6 · Apartado (b): el teorema fundamental

7 · La demostración

8 · Dónde se usa la continuidad, exactamente

9 · Comprobación de (b)

Reconocer el camino

El coeficiente lineal

La cota del error

Justificar el argumento

1 · Por qué el +8+8+8

2 · Apartado (a): las derivadas

3 · Apartado (b): la aproximación

4 · Apartado (c): la cota

5 · Comprobación

6 · Un comentario sobre el método

Reconocer el camino

La altura máxima del lazo

El área

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): qué curva es

2 · Apartado (b): el área

3 · Apartado (c): el volumen

4 · Duplicar sí, duplicar no

5 · Comprobación

Reconocer el camino

El límite de la segunda

Justificar el argumento

1 · La definición

2 · Apartado (a.1): no converge

3 · Apartado (a.2): converge a −2-2−2

4 · Lo que enseña el par

5 · Apartado (b): la derivada de y=xy=xy=x

6 · Comprobación

5 · Apartado (b): la identidad fundamental en $\mathbb{C}$

1 · Por qué el $+8$

3 · Apartado (a.2): converge a $-2$

5 · Apartado (b): la derivada de $y=x$