tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · tercera evaluación

Tercera evaluación · 2022-2023

17 de enero de 2023 · 5 ejercicios · 50 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

La parte real de un cociente, que también es un discoNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular y representar gráficamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la siguiente condición:
$\mathrm{Re}\left(\frac{z+2i}{z-2i}\right) > 2$
Calcular la región y representarla.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos tangentes a una elipse con la pendiente impuestaEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 8 + 1 = 10 pts
Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $4x^{2}+y^{2} = 72$ , sabiendo que dichas rectas tangentes son perpendiculares a la recta $x+2y+3 = 0$ .
Calcular las ecuaciones de las tangentes.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El polinomio del logaritmo de una función que no se conoceEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $P_2(x) = 1-\dfrac{x}{2}+\dfrac34x^{2}$ el polinomio de McLaurin de orden 2 de la función $f(x)$ . Calcular el polinomio de McLaurin de orden 2 de la función $g(x) = \ln\left(f(x)\right)$ .
Calcular el polinomio de orden 2 de $g$ .
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un sector de cuarenta y cinco grados, su volumen y su perímetroIntegración1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $D$ el recinto limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2} \le 4$ , $y \ge x$ , $x \ge 0$ .

a) Representar gráficamente el recinto $D$ .

b) Calcular el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.

c) Calcular el perímetro de $D$ .
Representar, calcular el volumen y el perímetro.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Integrar un valor absoluto, y comprobar una función de densidadIntegración1 + 7 + 2 = 10 pts
a) Sea $f(x) = \displaystyle\int_0^{x}\left|z-1\right|dz$ .

a.1) Calcular $f(x)$ .

a.2) ¿Es derivable la función $f(x)$ ? Razonar la respuesta.

b) En Estadística, se llama función de densidad de probabilidad a una función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ tal que $f(x) \ge 0$ y $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = 1$ . Comprobar que la función $f(x)$ definida de la siguiente forma es una función de densidad:
$f(x) = \begin{cases} 0 & x<0\\[6pt] \dfrac{6x}{\left(1+3x^{2}\right)^{2}} & x \ge 0 \end{cases}$
Calcular la integral, razonar la derivabilidad y comprobar la densidad.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La parte real de un cociente, que también es un disco

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar gráficamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la siguiente condición:

\mathrm{Re}\left(\frac{z+2i}{z-2i}\right) > 2

Calcular la región y representarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se saca la parte real de un cociente de complejos?
02
El numerador, una vez racionalizado
COMP2
Tras multiplicar por el conjugado, la parte real del numerador es $x^{2}+y^{2}+k$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio del disco
COMP2
La condición define un disco. ¿Cuál es su radio?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe la condición en $x$ e $y$ . La figura comprobará si el disco que sale coincide con el del enunciado.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificadaen x e y; usa ^2 para los cuadrados
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descripción de la región. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Racionalizar. Multiplicando por el conjugado, $\mathrm{Re} = \frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+(y-2)^{2}}$ .
2. El denominador es positivo para todo $z \neq 2i$ , así que se puede multiplicar en cruz conservando el sentido de la desigualdad.
3. Operar y completar cuadrados: $x^{2}+(y-4)^{2} < 4$ . Disco abierto de centro $(0,4)$ y radio 2.
4. El punto prohibido es $z = 2i$ , y cae exactamente sobre la circunferencia: $0+(2-4)^{2} = 4$ , que no es $<4$ .
5. Luego ya está excluido por la desigualdad estricta, y la región es el disco abierto tal cual, sin quitar nada.
Comprobar dónde cae el punto prohibido cuesta una sustitución y decide si la región es un disco o un disco perforado.

Resolución completa

Datos. $\mathrm{Re}\left(\frac{z+2i}{z-2i}\right) > 2$ .

1 · Racionalizar

Con $z = x+yi$ , el numerador es $x+(y+2)i$ y el denominador $x+(y-2)i$ . Multiplicando por el conjugado del denominador:

\frac{z+2i}{z-2i} = \frac{\left[x+(y+2)i\right]\left[x-(y-2)i\right]} {x^{2}+(y-2)^{2}}

Desarrollando el numerador:

x^{2}-x(y-2)i+x(y+2)i+(y+2)(y-2) = \left(x^{2}+y^{2}-4\right)+4x\,i

\boxed{\mathrm{Re}\left(\frac{z+2i}{z-2i}\right) = \frac{x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+(y-2)^{2}}}

2 · La desigualdad

El denominador es estrictamente positivo siempre que $z \neq 2i$ , así que se puede multiplicar en cruz sin invertir el signo —y decirlo es obligatorio, porque multiplicar una desigualdad por algo de signo desconocido la rompe—:

x^{2}+y^{2}-4 > 2x^{2}+2\left(y-2\right)^{2}

x^{2}+y^{2}-4 > 2x^{2}+2y^{2}-8y+8

0 > x^{2}+y^{2}-8y+12

Completando cuadrados en $y$ :

x^{2}+(y-4)^{2} < 16-12 = 4

\boxed{\text{Disco ABIERTO de centro } (0,4) \text{ y radio } 2}

Sobre el eje imaginario va de $2i$ a $6i$ .

3 · El punto prohibido

$z = 2i$ anula el denominador. ¿Dónde cae?

0^{2}+(2-4)^{2} = 4 \not< 4

Justo sobre la circunferencia, que la desigualdad estricta ya excluye. Así que no hay que quitar nada: la región es el disco abierto sin más.

Figura nuestra: el enunciado pide representar. Borde de trazos porque la desigualdad es estricta. El circulo hueco senala que el punto 2i, donde el cociente no esta definido, cae justo sobre la circunferencia.

4 · Comprobación

Con el centro, $z = 4i$ :

\frac{4i+2i}{4i-2i} = \frac{6i}{2i} = 3

$\mathrm{Re} = 3 > 2$ ✔

Con un punto del borde, $z = 6i$ :

\frac{8i}{4i} = 2

Exactamente 2, no mayor ✔ El borde está fuera.

Con el otro extremo, $z = 2i$ : el cociente no existe, coherente con que sea el punto prohibido ✔

Con un punto de fuera, $z = 0$ :

\frac{2i}{-2i} = -1

$-1 \not> 2$ ✔

Con un punto lateral del disco, $z = 1+4i$ :

\frac{1+6i}{1+2i} = \frac{(1+6i)(1-2i)}{5} = \frac{1-2i+6i+12}{5} = \frac{13+4i}{5}

$\mathrm{Re} = 2{,}6 > 2$ ✔ Y en efecto $1^{2}+(4-4)^{2} = 1 < 4$ : está dentro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos tangentes a una elipse con la pendiente impuesta

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $4x^{2}+y^{2} = 72$ , sabiendo que dichas rectas tangentes son perpendiculares a la recta $x+2y+3 = 0$ .

Calcular las ecuaciones de las tangentes.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dato aporta la recta $x+2y+3=0$ ?
02
Los puntos de tangencia
COMP2
¿Cuál es la abscisa del punto de tangencia que está en el semiplano $x>0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La ordenada en el origen
COMP2
Una de las dos tangentes corta al eje $OY$ por debajo del origen. ¿En qué valor?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La curva. $4x^{2}+y^{2} = 72$ es $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{72} = 1$ : una elipse centrada en el origen, con semiejes $3\sqrt2$ y $6\sqrt2$ .
2. La pendiente. $x+2y+3=0$ tiene pendiente $-\frac12$ , luego las tangentes tienen pendiente $m = 2$ .
3. Derivar implícitamente: $8x+2yy' = 0$ , de donde $y' = -\frac{4x}{y}$ , válido donde $y \neq 0$ .
4. Imponer $-\frac{4x}{y} = 2$ , es decir $y = -2x$ , y sustituir en la elipse: $8x^{2} = 72$ , luego $x = \pm3$ .
5. Las dos tangentes son $y = 2x-12$ , en $(3,-6)$ , e $y = 2x+12$ , en $(-3,6)$ .
La derivada implícita exige $y \neq 0$ , y esos puntos son precisamente donde la tangente es vertical. Merece una línea, no un descarte.

Resolución completa

Datos. La curva $4x^{2}+y^{2} = 72$ y la recta $x+2y+3=0$ .

1 · Qué curva es

4x^{2}+y^{2} = 72 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{72} = 1

Una elipse centrada en el origen, con semieje horizontal $\sqrt{18} = 3\sqrt2 \approx 4{,}24$ y semieje vertical $\sqrt{72} = 6\sqrt2 \approx 8{,}49$ . Es alargada en vertical.

2 · La pendiente que se impone

x+2y+3 = 0 \;\Longrightarrow\; y = -\frac{x}{2}-\frac32

Pendiente $-\frac12$ . Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes vale $-1$ :

m\cdot\left(-\frac12\right) = -1 \;\Longrightarrow\; m = 2

El $+3$ no interviene: la posición de la recta dada es irrelevante, solo importa su dirección.

3 · Derivar implícitamente

\frac{d}{dx}\left(4x^{2}+y^{2}\right) = 0 \;\Longrightarrow\; 8x+2y\,y' = 0

y' = -\frac{4x}{y}, \qquad y \neq 0

La condición $y \neq 0$ deja fuera los puntos $\left(\pm3\sqrt2,\,0\right)$ , donde la tangente es vertical. Como buscamos pendiente 2, ninguno de ellos podría servir: la restricción no pierde soluciones.

4 · Imponer la pendiente

-\frac{4x}{y} = 2 \;\Longrightarrow\; -4x = 2y \;\Longrightarrow\; y = -2x

Esta recta —que pasa por el centro— corta a la elipse en los dos puntos buscados. Sustituyendo:

4x^{2}+(-2x)^{2} = 72 \;\Longrightarrow\; 8x^{2} = 72 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 9 \;\Longrightarrow\; x = \pm3

$x$	$y = -2x$	punto
$3$	$-6$	$(3,-6)$
$-3$	$6$	$(-3,6)$

5 · Las dos tangentes

y+6 = 2(x-3) \;\Longrightarrow\; \boxed{y = 2x-12}

y-6 = 2(x+3) \;\Longrightarrow\; \boxed{y = 2x+12}

Son paralelas entre sí y simétricas respecto del origen, como corresponde a una cónica centrada: si $P$ es punto de tangencia, $-P$ también lo es y con la misma pendiente.

Figura nuestra: la elipse 4x cuadrado mas y cuadrado igual a 72, con las dos tangentes de pendiente 2 y sus puntos de contacto.

6 · Comprobación

Que los puntos están en la elipse. $(3,-6)$ :

4\cdot9+36 = 36+36 = 72 \quad\checkmark

Que las rectas son tangentes y no secantes. Sustituyendo $y = 2x-12$ en la elipse:

4x^{2}+(2x-12)^{2} = 72

4x^{2}+4x^{2}-48x+144 = 72 \;\Longrightarrow\; 8x^{2}-48x+72 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}-6x+9 = 0

(x-3)^{2} = 0

Raíz doble en $x=3$ : se tocan en un solo punto ✔ Con la otra sale $(x+3)^{2} = 0$ ✔

Que el discriminante sea cero es la definición de tangencia, y es la comprobación más fuerte del ejercicio.

De la perpendicularidad. $2\cdot\left(-\frac12\right) = -1$ ✔

De la simetría. Las dos rectas cortan al eje $OY$ en $\pm12$ y son simétricas respecto del origen, igual que los puntos de tangencia ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El polinomio del logaritmo de una función que no se conoce

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $P_2(x) = 1-\dfrac{x}{2}+\dfrac34x^{2}$ el polinomio de McLaurin de orden 2 de la función $f(x)$ . Calcular el polinomio de McLaurin de orden 2 de la función $g(x) = \ln\left(f(x)\right)$ .

Calcular el polinomio de orden 2 de $g$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace falta comprobar antes de escribir $\ln\left(f\right)$ ?
02
La segunda derivada de f
COMP2
¿Cuánto vale $f''(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente cuadrático de g
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de $x^{2}$ en el polinomio de $g$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la vía alternativa, la de sustituir en la serie del logaritmo. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Escribir $f$ como $1+u$ , con $u = -\frac x2+\frac34x^{2}$ , que tiende a 0 cuando $x\to0$ .
2. Usar el desarrollo conocido $\ln(1+u) = u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}-\ldots$ , válido para $\left|u\right|<1$ .
3. Quedarse hasta el grado 2. De $u^{2}$ solo sobrevive $\frac{x^{2}}{4}$ ; los términos $u^{3}$ y superiores son de grado 3 o más.
4. Sustituir: $\ln f \approx \left(-\frac x2+\frac34x^{2}\right) -\frac12\cdot\frac{x^{2}}{4} = -\frac x2+\frac{5}{8}x^{2}$ .
5. Coincide con la vía de las derivadas, y la unicidad del desarrollo de Taylor es lo que garantiza que tenía que coincidir.
Las dos vías dan lo mismo, y eso es la mejor comprobación posible. La segunda es más rápida cuando la función de fuera tiene desarrollo conocido.

	valor
$f(0)$	$1$
$f'(0)$	$-\frac12$
$\frac{f''(0)}{2}$	$\frac34$

Resolución completa

Datos. $P_2(x) = 1-\frac x2+\frac34x^{2}$ es el McLaurin de orden 2 de $f$ , y $g = \ln f$ .

1 · Lo que trae el polinomio

P_2(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}

coeficiente	vale	derivada
independiente	$1$	$f(0) = 1$
de $x$	$-\frac12$	$f'(0) = -\frac12$
de $x^{2}$	$\frac34$	$f''(0) = 2\cdot\frac34 = \frac32$

La hipótesis que hay que declarar: $f(0) = 1 > 0$ . Por continuidad, $f>0$ en todo un entorno del origen, y ahí $g = \ln f$ está definida y es dos veces derivable. Sin eso el ejercicio no tendría sentido.

2 · Vía 1: derivar

g' = \frac{f'}{f} \;\Longrightarrow\; g'(0) = \frac{-\frac12}{1} = -\frac12

g'' = \frac{f''\,f-\left(f'\right)^{2}}{f^{2}} \;\Longrightarrow\; g''(0) = \frac{\frac32\cdot1-\left(-\frac12\right)^{2}}{1^{2}} = \frac32-\frac14 = \frac54

Y por supuesto $g(0) = \ln1 = 0$ .

Q_2(x) = 0+\left(-\frac12\right)x+\frac{5/4}{2}x^{2}

\boxed{Q_2(x) = -\frac{x}{2}+\frac58x^{2}}

3 · Vía 2: sustituir en la serie

Más rápida, y sirve de comprobación. Escribiendo $f = 1+u$ con

u = -\frac x2+\frac34x^{2} \xrightarrow[x\to0]{} 0

y usando $\ln(1+u) = u-\frac{u^{2}}{2}+\ldots$ :

u^{2} = \left(-\frac x2+\frac34x^{2}\right)^{2} = \frac{x^{2}}{4}-\frac34x^{3}+\frac{9}{16}x^{4}

De todo eso, solo el $\frac{x^{2}}{4}$ importa: lo demás es de grado 3 o más y no cabe en un polinomio de orden 2. Y $u^{3}$ empieza en grado 3, así que se descarta entero.

\ln f \approx \left(-\frac x2+\frac34x^{2}\right) -\frac12\cdot\frac{x^{2}}{4} = -\frac x2+\frac{6-1}{8}x^{2}

= -\frac x2+\frac58x^{2} \quad\checkmark

Las dos vías coinciden, y por la unicidad del desarrollo de Taylor tenían que hacerlo.

4 · Qué ha hecho el logaritmo

Comparando los dos polinomios:

	$f$	$g = \ln f$
término independiente	$1$	$0$
coeficiente de $x$	$-\frac12$	$-\frac12$
coeficiente de $x^{2}$	$\frac34$	$\frac58$

La derivada primera se conserva —porque $f(0)=1$ y $g' = \frac{f'}{f}$ —, pero la segunda baja: de $\frac32$ a $\frac54$ . Es el término $-\left(f'\right)^{2}$ , que siempre resta.

Dicho de otro modo: el logaritmo empuja hacia la concavidad. Aquí no llega a cambiar el signo —las dos siguen siendo convexas en 0—, pero lo acerca.

5 · Comprobación numérica

Tomando como $f$ el propio polinomio —lo único que se conoce de ella—:

$x$	$f(x)$	$\ln f(x)$	$Q_2(x)$	diferencia
$0{,}1$	$0{,}9575$	$-0{,}04343$	$-0{,}04375$	$3{,}2\cdot10^{-4}$
$-0{,}1$	$1{,}0575$	$0{,}05591$	$0{,}05625$	$3{,}4\cdot10^{-4}$
$0{,}2$	$0{,}93$	$-0{,}07257$	$-0{,}0750$	$2{,}4\cdot10^{-3}$

El error se multiplica por unas 8 veces al doblar $x$ , que es lo esperable de un resto de orden $x^{3}$ : $2^{3} = 8$ ✔

De coherencia. $g(0) = \ln1 = 0$ ✔ El polinomio no tiene término independiente, como debe ser.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un sector de cuarenta y cinco grados, su volumen y su perímetro

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el recinto limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2} \le 4$ , $y \ge x$ , $x \ge 0$ .

a) Representar gráficamente el recinto $D$ .

b) Calcular el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.

c) Calcular el perímetro de $D$ .

Representar, calcular el volumen y el perímetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué figura es $D$ ?
02
El volumen al girar sobre OX
COMP2
¿Cuál es el volumen del cuerpo de revolución? En forma exacta, o con cuatro decimales.
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

El perímetro

COMP2

¿Cuál es el perímetro de $D$ ? En forma exacta, o con cuatro decimales.

Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

El contorno tiene tres piezas:

pieza	longitud
segmento sobre $y=x$ , de $(0,0)$ a $\left(\sqrt2,\sqrt2\right)$	$2$
arco de 45° de radio 2	$2\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
segmento sobre $OY$ , de $(0,2)$ a $(0,0)$	$2$

P = 2+\frac{\pi}{2}+2 = 4+\frac{\pi}{2} \approx 5{,}5708

Los dos segmentos son radios de la circunferencia, así que miden 2 cada uno: no hace falta calcular ninguna distancia.

04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del volumen. Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Localizar el corte. La recta $y=x$ corta a la circunferencia donde $2x^{2} = 4$ , es decir en $\left(\sqrt2,\sqrt2\right)$ .
2. Elegir el método. El eje de giro es $OX$ y el recinto no lo toca salvo en el origen, así que cada corte vertical barre una corona.
3. Los dos radios: exterior $\sqrt{4-x^{2}}$ —la circunferencia— e interior $x$ —la recta—, para $x \in \left[0,\sqrt2\right]$ .
4. Integrar: $V = \pi\int_0^{\sqrt2}\left(4-2x^{2}\right)dx = \frac{8\sqrt2\,\pi}{3} \approx 11{,}85$ .
5. Comprobarlo por geometría: el cuarto de disco daría una semiesfera de $\frac{16\pi}{3}$ , y el sector de 0° a 45° un «cucurucho» de $\frac{16\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)$ ; la diferencia es exactamente $\frac{8\sqrt2\pi}{3}$ .
Comprobar un volumen de revolución con geometría elemental —esferas, conos, casquetes— es la forma más rápida de detectar un error de límites.

Resolución completa

Datos. $D$ definido por $x^{2}+y^{2}\le4$ , $y\ge x$ y $x\ge0$ .

1 · Apartado (a): qué recinto es

Las tres condiciones, leídas en polares:

condición	en polares
$x^{2}+y^{2}\le4$	$r \le 2$
$x \ge 0$	$\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$
$y \ge x$	$\theta \in \left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]$

Intersecando:

\boxed{r \le 2, \qquad \frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2}}

Un sector circular de 45°, la octava parte del disco. Sus vértices son el origen, $\left(\sqrt2,\sqrt2\right)$ y $(0,2)$ .

Figura nuestra: el enunciado pide representarla. En violeta el arco de radio dos y en negro los dos radios rectos que cierran el sector.

2 · Apartado (b): el volumen al girar sobre OX

El eje de giro es horizontal, así que conviene cortar por planos verticales e integrar en $x$ .

El límite superior. La recta corta a la circunferencia donde

x^{2}+x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt2

Para $x \in \left[0,\sqrt2\right]$ , el recinto va desde $y=x$ hasta $y=\sqrt{4-x^{2}}$ . Al girar, ese segmento barre una corona circular:

radio	vale	de dónde
exterior	$\sqrt{4-x^{2}}$	la circunferencia
interior	$x$	la recta $y=x$

Hay hueco porque el recinto no llega al eje $OX$ : la recta $y=x$ lo separa de él, y al girar genera la superficie de un cono que queda vacío.

V = \pi\int_0^{\sqrt2}\left[\left(4-x^{2}\right)-x^{2}\right]dx = \pi\int_0^{\sqrt2}\left(4-2x^{2}\right)dx

= \pi\left[4x-\frac{2x^{3}}{3}\right]_0^{\sqrt2} = \pi\left[4\sqrt2-\frac{2\cdot2\sqrt2}{3}\right] = \pi\sqrt2\left[4-\frac43\right]

\boxed{V = \frac{8\sqrt2\,\pi}{3} \approx 11{,}8477}

3 · Comprobación del volumen por geometría

Merece la pena, porque es rápida y detecta cualquier error de límites.

El cuarto de disco entero —de 0° a 90°— genera al girar una semiesfera de radio 2:

V_{\text{semiesfera}} = \frac23\pi r^{3} = \frac{16\pi}{3} \approx 16{,}755

El sector de 0° a 45° genera un «cucurucho» —un sector esférico—, cuyo volumen es

\frac23\pi r^{3}\left(1-\cos\alpha\right) = \frac{16\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right) \approx 4{,}9067

V = 16{,}755-4{,}907 = 11{,}848 \quad\checkmark

Coincide con la integral, y por una vía completamente independiente.

4 · Apartado (c): el perímetro

El contorno tiene tres trozos:

trozo	qué es	longitud
de $(0,0)$ a $\left(\sqrt2,\sqrt2\right)$	radio sobre $y=x$	$2$
de $\left(\sqrt2,\sqrt2\right)$ a $(0,2)$	arco de 45°	$r\theta = 2\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
de $(0,2)$ a $(0,0)$	radio sobre $OY$	$2$

Los dos segmentos miden 2 porque son radios: no hace falta calcular ninguna distancia.

\boxed{P = 4+\frac{\pi}{2} \approx 5{,}5708}

5 · Comprobación del perímetro

Del primer segmento, por la distancia:

\sqrt{\left(\sqrt2\right)^{2}+\left(\sqrt2\right)^{2}} = \sqrt4 = 2 \quad\checkmark

Del arco, por la integral de longitud. Parametrizando $\left(2\cos t,2\sin t\right)$ con $t$ de $\frac{\pi}{4}$ a $\frac{\pi}{2}$ , la velocidad tiene módulo constante 2:

L = \int_{\pi/4}^{\pi/2}2\,dt = 2\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \quad\checkmark

Por acotación. El perímetro del triángulo de los tres vértices es $2+2+\sqrt{2\left(2-\sqrt2\right)^{2}+\ldots}$ ; más simple: la cuerda entre $\left(\sqrt2,\sqrt2\right)$ y $(0,2)$ mide

\sqrt{2+\left(2-\sqrt2\right)^{2}} = \sqrt{2+0{,}343} = 1{,}531

y el arco debe ser algo mayor: $1{,}571 > 1{,}531$ ✔ La diferencia es pequeña, como corresponde a un arco de solo 45°.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Tercera evaluación, 17 de enero de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Integrar un valor absoluto, y comprobar una función de densidad

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Sea $f(x) = \displaystyle\int_0^{x}\left|z-1\right|dz$ .

a.1) Calcular $f(x)$ .

a.2) ¿Es derivable la función $f(x)$ ? Razonar la respuesta.

b) En Estadística, se llama función de densidad de probabilidad a una función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ tal que $f(x) \ge 0$ y $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = 1$ . Comprobar que la función $f(x)$ definida de la siguiente forma es una función de densidad:

f(x) = \begin{cases} 0 & x<0\\[6pt] \dfrac{6x}{\left(1+3x^{2}\right)^{2}} & x \ge 0 \end{cases}

Calcular la integral, razonar la derivabilidad y comprobar la densidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué hay que partir la integral del apartado (a)?
02
El valor en un punto pasado el corte
COMP2
¿Cuánto vale $f(3)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La integral impropia del apartado (b)
COMP2
¿Cuánto vale $\int_0^{\infty}\frac{6x}{\left(1+3x^{2}\right)^{2}}dx$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado (a.2). Una de las piezas no debe entrar.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El integrando $\left|z-1\right|$ es continuo en todo $\mathbb{R}$ , incluido $z=1$ : las dos ramas valen 0 ahí.
2. El teorema fundamental del cálculo exige exactamente eso: continuidad del integrando. Luego $f$ es derivable en todo punto y $f'(x) = \left|x-1\right|$ .
3. Comprobándolo con las dos fórmulas: a la izquierda $f' = 1-x$ , a la derecha $f' = x-1$ . En $x=1$ las dos dan 0: coinciden.
4. Y $f''$ no existe en $x=1$ , porque $f' = \left|x-1\right|$ tiene ahí un pico. $f$ es de clase $C^{1}$ pero no $C^{2}$ .
5. La moraleja: integrar suaviza. El integrando tiene un pico y su integral no.
Cada integración sube un escalón de suavidad: de continua a $C^{1}$ , de $C^{1}$ a $C^{2}$ . Derivar hace lo contrario.

Resolución completa

Datos. Una integral con valor absoluto y una candidata a función de densidad.

1 · Apartado (a.1): partir el valor absoluto

\left|z-1\right| = \begin{cases} 1-z & z \le 1\\ z-1 & z \ge 1 \end{cases}

Caso $x \le 1$ . En todo $[0,x]$ se tiene $z\le1$ :

f(x) = \int_0^{x}(1-z)\,dz = \left[z-\frac{z^{2}}{2}\right]_0^{x} = x-\frac{x^{2}}{2}

Caso $x \ge 1$ . Hay que partir en $z=1$ :

f(x) = \int_0^{1}(1-z)\,dz+\int_1^{x}(z-1)\,dz = \frac12+\left[\frac{(z-1)^{2}}{2}\right]_1^{x}

f(x) = \frac12+\frac{(x-1)^{2}}{2}

\boxed{f(x) = \begin{cases} x-\dfrac{x^{2}}{2} & x \le 1\\[8pt] \dfrac12+\dfrac{(x-1)^{2}}{2} & x \ge 1 \end{cases}}

Que encajan en $x=1$ : la primera da $1-\frac12 = \frac12$ y la segunda $\frac12+0 = \frac12$ ✔ $f$ es continua.

Nótese que la primera fórmula vale también para $x<0$ , donde la integral sale negativa por recorrerse al revés.

2 · Apartado (a.2): sí es derivable

El integrando $\left|z-1\right|$ es continuo en todo $\mathbb{R}$ —en $z=1$ las dos ramas valen 0—, aunque no sea derivable ahí.

La hipótesis del teorema fundamental del cálculo es precisamente la continuidad. Por tanto:

\boxed{f \text{ es derivable en todo } \mathbb{R}, \text{ con } f'(x) = \left|x-1\right|}

Comprobándolo con las fórmulas:

tramo	$f(x)$	$f'(x)$
$x<1$	$x-\frac{x^{2}}{2}$	$1-x = \lvert x-1\rvert$ ✔
$x>1$	$\frac12+\frac{(x-1)^{2}}{2}$	$x-1 = \lvert x-1\rvert$ ✔

En $x=1$ las dos derivadas laterales valen 0: coinciden, así que $f'(1)=0$ existe.

Dónde sí falla la suavidad. $f' = \left|x-1\right|$ tiene un pico en $x=1$ , así que $f''(1)$ no existe. La función es de clase $C^{1}$ pero no $C^{2}$ .

La moraleja: integrar suaviza. El integrando tiene un pico y su integral no; el pico reaparece un escalón más arriba.

3 · Apartado (b): la primera condición

f(x) \ge 0 \quad\text{para todo } x

tramo	valor	signo
$x<0$	$0$	$\ge0$ ✔
$x\ge0$	$\frac{6x}{\left(1+3x^{2}\right)^{2}}$	numerador $\ge0$ , denominador $>0$ ✔

El denominador es un cuadrado de algo que vale al menos 1: nunca se anula y siempre es positivo.

4 · Apartado (b): la integral vale 1

\int_{-\infty}^{\infty}f = \underbrace{\int_{-\infty}^{0}0\,dx}_{=0} +\int_0^{\infty}\frac{6x}{\left(1+3x^{2}\right)^{2}}dx

El numerador es exactamente la derivada del paréntesis:

u = 1+3x^{2}, \qquad du = 6x\,dx

$x$	$u$
$0$	$1$
$\to\infty$	$\to\infty$

\int_1^{\infty}\frac{du}{u^{2}} = \lim_{M\to\infty}\left[-\frac1u\right]_1^{M} = \lim_{M\to\infty}\left(1-\frac1M\right) = 1

\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = 1}

Se cumplen las dos condiciones: es una función de densidad.

5 · Un par de observaciones

La integral es impropia y hay que tratarla como tal: con un límite, no sustituyendo «infinito». Escribir el $\lim_{M\to\infty}$ es lo que pide COMP4.

El 6 del numerador está elegido. Con cualquier otro coeficiente $k$ la integral valdría $\frac k6$ , y la función no sería una densidad. El enunciado lo ha ajustado para que salga exactamente 1.

La función de distribución que sale de aquí es

F(x) = \int_0^{x}f = 1-\frac{1}{1+3x^{2}} = \frac{3x^{2}}{1+3x^{2}}, \qquad x \ge 0

que crece de 0 a 1, como corresponde ✔

6 · Comprobación

Del apartado (a) en varios puntos:

$x$	$f(x)$	interpretación geométrica
$0$	$0$	intervalo vacío ✔
$1$	$\frac12$	triángulo de base 1 y altura 1 ✔
$2$	$1$	$\frac12$ más otro triángulo igual ✔
$3$	$\frac52$	$\frac12$ más un triángulo de base 2 y altura 2 ✔

Que $f$ del apartado (a) crece en $x>0$ , como debe ser un área acumulada de una función no negativa: en efecto $f' = \left|x-1\right| \ge 0$ ✔ Y se queda plana un instante en $x=1$ , justo donde el integrando se anula.

Del apartado (b), numéricamente. Integrando hasta $x=10$ :

F(10) = \frac{300}{301} = 0{,}99668

ya casi 1, y la cola que falta — $\frac{1}{301}$ — tiende a cero ✔

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Tercera evaluación · 2022-2023

Reconocer el camino

El numerador, una vez racionalizado

El radio del disco

Verificar la región

Justificar el argumento

1 · Racionalizar

2 · La desigualdad

3 · El punto prohibido

4 · Comprobación

Reconocer el camino

Los puntos de tangencia

La ordenada en el origen

Justificar el argumento

1 · Qué curva es

2 · La pendiente que se impone

3 · Derivar implícitamente

4 · Imponer la pendiente

5 · Las dos tangentes

6 · Comprobación

Reconocer el camino

La segunda derivada de f

El coeficiente cuadrático de g

Justificar el argumento

1 · Lo que trae el polinomio

2 · Vía 1: derivar

3 · Vía 2: sustituir en la serie

4 · Qué ha hecho el logaritmo

5 · Comprobación numérica

Reconocer el camino

El volumen al girar sobre OX

El perímetro

Justificar el argumento

1 · Apartado (a): qué recinto es

2 · Apartado (b): el volumen al girar sobre OX

3 · Comprobación del volumen por geometría

4 · Apartado (c): el perímetro

5 · Comprobación del perímetro

Reconocer el camino

El valor en un punto pasado el corte

La integral impropia del apartado (b)

Justificar el argumento

1 · Apartado (a.1): partir el valor absoluto

2 · Apartado (a.2): sí es derivable

3 · Apartado (b): la primera condición

4 · Apartado (b): la integral vale 1

5 · Un par de observaciones

6 · Comprobación