tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2015-2016

20 de junio de 2016 · 7 ejercicios · 70 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un logaritmo complejo cuyo resultado es realNúmeros complejos1 + 5 + 4 = 10 pts
Calcular y representar el lugar geométrico de los afijos de los complejos que verifican la siguiente ecuación:
$z=\frac{2}{i}\ln\left(\frac{1+i}{1-i}\right)$
Todos los valores de z, y su representación.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La función que promedia lo que lleva detrásIntegración2 + 5 + 3 = 10 pts
Sea la función continua $y\left(x\right)$ de la figura, definida en el intervalo $\left[1,3\right]$ . Se pide:

a) Calcular $\overline{y}\left(x\right)$ , la función valor medio de $y\left(x\right)$ .

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y concavidad/convexidad de $\overline{y}\left(x\right)$ .

c) Calcular el valor medio de $y\left(x\right)$ en el intervalo $\left[1,\frac32\right]$ .

Figura redibujada del enunciado. La función vale 0 en x = 1, sube en línea recta hasta valer 1 en x = 2, y de ahí a x = 3 se queda constante.

La función valor medio, su forma, y un valor concreto.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Enunciar y demostrar el teorema del valor medioEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 2 + 8 = 10 pts
Enunciar y demostrar el Teorema de Lagrange (teorema del valor medio).
El enunciado con sus hipótesis, y la demostración.
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El agujero de un punto que rompe el teorema de GreenIntegral curvilínea2 + 4 + 4 = 10 pts
Sea $C$ la circunferencia de centro $\left(0,0\right)$ y radio $R$ . Calcular $\displaystyle\oint_{C}\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}$

a) Parametrizando la curva.

b) Aplicando, si es posible, la fórmula de Green.
El valor por parametrización, y si Green se puede aplicar o no.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Comprobar un factor integrante y resolver con élEcuaciones diferenciales2 + 5 + 3 = 10 pts
Utilizando la función $g\left(x,y\right)=e^{x}$ ,

a) Demostrar que es factor integrante de la ecuación diferencial
$\left(2xy+x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)dx+\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=0$
b) Resolver la ecuación.
La comprobación del factor y la solución general.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación con la incógnita dentro de la integralTransformada de Laplace2 + 4 + 4 = 10 pts
Resolver la siguiente ecuación integral utilizando la transformada de Laplace:
$y\left(t\right)=t+\int_{0}^{t} \operatorname{sen}\left(t-u\right)y\left(u\right)du$
La función y(t).
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El semicírculo, y la integral que solo sale en polaresIntegral múltiple1 + 5 + 4 = 10 pts
Considerar la integral
$\int_{-a}^{a}\left(\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \left(x^{2}+y^{2}\right)dy\right)dx$
Se pide:

a) Representar el recinto de integración.

b) Invertir el orden de integración.

c) Calcular el valor de la integral.
El recinto, la integral con el orden cambiado, y su valor.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 20 de junio de 2016 · Cálculo – Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un logaritmo complejo cuyo resultado es real

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar el lugar geométrico de los afijos de los complejos que verifican la siguiente ecuación:

z=\frac{2}{i}\ln\left(\frac{1+i}{1-i}\right)

Todos los valores de z, y su representación.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el resultado no es un solo número?
02
El cociente de dentro
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{1+i}{1-i}$ ?
Tu respuesta al paso 2forma binómica, por ejemplo 0+1i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor principal
COMP2
Tomando el valor principal del logaritmo, ¿cuánto vale $z$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\frac{1+i}{1-i}=i$ , así que la ecuación es $z=\frac{2}{i}\operatorname{Ln}i$ .
2. $\operatorname{Ln}i=0+i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$ , porque el módulo vale $1$ y el argumento está definido salvo $2\pi$ .
3. Multiplicando por $\frac{2}{i}$ los dos íes se cancelan y queda $z=2\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)=\left(4k+1\right)\pi$ : puntos del eje real separados por $4\pi$ .

Resolución completa

Primero, simplificar lo de dentro. Multiplicando por el conjugado del denominador:

\frac{1+i}{1-i}=\frac{\left(1+i\right)^{2}}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)} =\frac{2i}{2}=i

Merece la pena hacerlo antes de tocar el logaritmo: sin esa simplificación hay que restar dos argumentos y el riesgo de error se dispara.

El logaritmo complejo, con todas sus ramas.

\operatorname{Ln}i=\ln\left|i\right|+i\left(\arg i+2k\pi\right) =0+i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}

El módulo de $i$ es $1$ , así que la parte real del logaritmo se anula: todo lo que queda es imaginario puro.

Y el factor de fuera lo convierte en real.

z=\frac{2}{i}\cdot i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right) =2\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)

\boxed{\;z=\pi+4k\pi=\left(4k+1\right)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}\;}

Los dos íes se cancelan porque $\frac{2}{i}=-2i$ y $-2i\cdot i=2$ . Ese es todo el truco del ejercicio: un logaritmo complejo que da un resultado real.

El lugar geométrico no es una recta: son puntos sueltos del eje real, uno cada 4π, empezando en π. Cada uno viene de una rama distinta del logaritmo.

La representación. No es una recta: son puntos sueltos del eje real, uno cada $4\pi\approx12{,}57$ unidades, empezando en $\pi$ y siguiendo en las dos direcciones. Los primeros:

\ldots,\;-7\pi,\;-3\pi,\;\pi,\;5\pi,\;9\pi,\;\ldots

Por qué el salto es $4\pi$ y no $2\pi$ . El logaritmo salta de $2\pi$ en el argumento, y luego se multiplica por $2$ . Es fácil escribir $2k\pi$ por inercia; hay que arrastrar el factor.

Si solo se pide el valor principal, la respuesta es $z=\pi$ y ya está. El enunciado, al hablar de «lugar geométrico» y de «los afijos» en plural, pide todas las ramas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 20 de junio de 2016 · Cálculo – Industriales, UPV/EHU · La figura está redibujada del original · Es copia literal del ejercicio 2 de la TERCERA EVALUACIÓN DEL MISMO CURSO, del 13 de enero de 2016: el único caso detectado en que una extraordinaria repite un parcial de su propio año. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La función que promedia lo que lleva detrás

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función continua $y\left(x\right)$ de la figura, definida en el intervalo $\left[1,3\right]$ . Se pide:

a) Calcular $\overline{y}\left(x\right)$ , la función valor medio de $y\left(x\right)$ .

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y concavidad/convexidad de $\overline{y}\left(x\right)$ .

c) Calcular el valor medio de $y\left(x\right)$ en el intervalo $\left[1,\frac32\right]$ .

Figura redibujada del enunciado. La función vale 0 en x = 1, sube en línea recta hasta valer 1 en x = 2, y de ahí a x = 3 se queda constante.

La función valor medio, su forma, y un valor concreto.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es la «función valor medio» de $y$ ?
02
El promedio hasta x = 2
COMP2
¿Cuánto vale $\overline{y}\left(2\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El apartado c)
COMP2
¿Cuál es el valor medio de $y$ en $\left[1,\frac32\right]$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $\left(1,2\right)$ es $\overline{y}\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$ : una recta de pendiente $\frac12$ , creciente y sin concavidad.
2. En $\left(2,3\right)$ es $\overline{y}\left(x\right)=\frac{x-\frac32}{x-1} =1-\frac{1}{2\left(x-1\right)}$ .
3. Ahí $\overline{y}'=\frac{1}{2\left(x-1\right)^{2}}>0$ y $\overline{y}''=-\frac{1}{\left(x-1\right)^{3}}<0$ : sigue creciendo, pero ahora es cóncava.

Resolución completa

La función del dibujo. Es continua y lineal a trozos:

y\left(x\right)= \begin{cases} x-1 & 1\le x\le2\\ 1 & 2\le x\le3 \end{cases}

Sube desde $0$ hasta $1$ en el primer tramo y se queda plana en el segundo.

a) La función valor medio. Por definición,

\overline{y}\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}y\left(t\right)dt

y hay que calcularla por tramos, porque la integral cambia de fórmula al pasar por $x=2$ .

En $\left[1,2\right]$ :

\int_{1}^{x}\left(t-1\right)dt=\frac{\left(x-1\right)^{2}}{2} \;\Longrightarrow\; \overline{y}\left(x\right)=\frac{x-1}{2}

En $\left[2,3\right]$ : lo acumulado hasta $2$ más el trozo plano,

\int_{1}^{x}y=\frac12+\left(x-2\right)=x-\frac32 \;\Longrightarrow\; \overline{y}\left(x\right)=\frac{x-\frac32}{x-1}

\boxed{\;\overline{y}\left(x\right)= \begin{cases} \dfrac{x-1}{2} & 1<x\le2\\[8pt] \dfrac{2x-3}{2\left(x-1\right)} & 2\le x\le3 \end{cases}\;}

Dos comprobaciones que hay que hacer y decir.

En $x=2$ las dos fórmulas dan $\frac12$ , así que $\overline{y}$ es continua. Y las dos derivadas laterales valen $\frac12$ : además es derivable, aunque $y$ tenga ahí un pico.
En $x=1$ la fórmula es $\frac00$ , pero el límite existe y vale $0$ , que es $y\left(1\right)$ . Se extiende con continuidad.

b) Crecimiento y concavidad. Conviene reescribir el segundo tramo:

\overline{y}\left(x\right)=\frac{x-\frac32}{x-1} =1-\frac{1}{2\left(x-1\right)}

tramo	$\overline{y}'$	$\overline{y}''$	qué es
$\left(1,2\right)$	$\frac12>0$	$0$	crece; es una recta
$\left(2,3\right)$	$\frac{1}{2\left(x-1\right)^{2}}>0$	$-\frac{1}{\left(x-1\right)^{3}}<0$	crece y es cóncava

\boxed{\;\overline{y}\text{ crece en todo }\left[1,3\right]; \text{ es recta en }\left[1,2\right]\text{ y cóncava en }\left[2,3\right]\;}

La función y su promedio acumulado. La media va por debajo y sube más despacio, y sigue subiendo después de x = 2 aunque la función ya se haya estancado: mientras entren valores mayores que el promedio, el promedio crece.

Por qué la media sigue subiendo cuando la función ya no sube. A partir de $x=2$ entra en el promedio el valor $1$ , que es mayor que lo acumulado — $\frac12$ en ese momento—, así que la media tira hacia arriba. Sube cada vez menos, y de ahí la concavidad, pero sube: en $x=3$ vale $\frac34$ y su límite si el tramo plano siguiera sería $1$ .

c) El valor medio en $\left[1,\frac32\right]$ . Es $\overline{y}\left(\frac32\right)$ , y $\frac32$ está en el primer tramo:

\boxed{\;\overline{y}\!\left(\tfrac32\right)=\frac{\frac32-1}{2} =\frac14\;}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 20 de junio de 2016 · Cálculo – Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Enunciar y demostrar el teorema del valor medio

COMP 22 puntos por calcular
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enunciar y demostrar el Teorema de Lagrange (teorema del valor medio).

El enunciado con sus hipótesis, y la demostración.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Sobre qué función auxiliar se aplica el teorema de Rolle?
02
La pendiente que hay que igualar
COMP2
Para $f\left(x\right)=x^{3}-2x+1$ en $\left[0,2\right]$ , ¿cuál es la pendiente de la cuerda?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se define $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(a\right) -\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)$ , que es continua en $\left[a,b\right]$ y derivable en $\left(a,b\right)$ por serlo $f$ .
2. $g\left(a\right)=0$ por construcción, y $g\left(b\right)=f\left(b\right)-f\left(a\right) -\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)=0$ : se cumplen las hipótesis de Rolle.
3. Rolle da un $c\in\left(a,b\right)$ con $g'\left(c\right)=0$ , y como $g'\left(x\right)=f'\left(x\right) -\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ , eso es exactamente la tesis.

Resolución completa

El enunciado, con las hipótesis separadas. Son dos, y son distintas:

Si $f$ es continua en el cerrado $\left[a,b\right]$ y derivable en el abierto $\left(a,b\right)$ , entonces existe al menos un $c\in\left(a,b\right)$ tal que
$f'\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

Los dos puntos de COMP 2 son por esto, y hay que escribirlo con cuidado:

continua en el cerrado, para poder hablar de $f\left(a\right)$ y $f\left(b\right)$ ;
derivable solo en el abierto, porque en los extremos no hace falta —y eso permite aplicarlo a funciones con tangente vertical en un extremo, como $\sqrt x$ en $\left[0,1\right]$ —;
existe al menos un $c$ , no «el» $c$ .

La lectura geométrica, que ayuda a no olvidar la fórmula: en algún punto interior la tangente es paralela a la cuerda que une los extremos.

El teorema, en un dibujo: en algún punto interior la tangente a la curva es paralela a la cuerda que une los extremos. La demostración consiste en restarle la cuerda a la función y aplicar Rolle a lo que queda.

La demostración. La idea es reducirlo a Rolle, y para eso hay que fabricar una función que valga lo mismo en los dos extremos. La distancia vertical entre la curva y la cuerda hace ese papel:

g\left(x\right)=f\left(x\right)-\underbrace{\left[f\left(a\right) +\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)\right]} _{\text{la cuerda}}

Se comprueban las tres hipótesis de Rolle:

hipótesis	por qué
$g$ continua en $\left[a,b\right]$	$f$ lo es, y la cuerda es un polinomio
$g$ derivable en $\left(a,b\right)$	igual
$g\left(a\right)=g\left(b\right)$	los dos valen cero, y se comprueba

g\left(a\right)=f\left(a\right)-f\left(a\right)-0=0

g\left(b\right)=f\left(b\right)-f\left(a\right) -\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(b-a\right) =f\left(b\right)-f\left(a\right)-\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)=0

Rolle da entonces un $c\in\left(a,b\right)$ con $g'\left(c\right)=0$ . Y derivando $g$ :

g'\left(x\right)=f'\left(x\right) -\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}

g'\left(c\right)=0 \;\Longleftrightarrow\; f'\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} \qquad\blacksquare

Un ejemplo para comprobar que se ha entendido. Con $f\left(x\right)=x^{3}-2x+1$ en $\left[0,2\right]$ , la cuerda tiene pendiente $\frac{5-1}{2}=2$ , y $f'\left(c\right)=3c^{2}-2=2$ da $c=\frac{2}{\sqrt3}\approx1{,}155$ , dentro del intervalo.

Dos avisos que suman puntos.

Las hipótesis no sobran. $f\left(x\right)=\left|x\right|$ en $\left[-1,1\right]$ es continua pero no derivable en el interior, y la cuerda tiene pendiente $0$ sin que exista ningún $c$ con $f'=0$ .
El teorema no dice dónde está $c$ , ni que sea único. Es un teorema de existencia, y de ahí sale su utilidad: casi todo lo que se demuestra con él —que derivada nula implica constante, que derivada positiva implica creciente— solo necesita que ese $c$ exista.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 20 de junio de 2016 · Cálculo – Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El agujero de un punto que rompe el teorema de Green

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $C$ la circunferencia de centro $\left(0,0\right)$ y radio $R$ . Calcular $\displaystyle\oint_{C}\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}$

a) Parametrizando la curva.

b) Aplicando, si es posible, la fórmula de Green.

El valor por parametrización, y si Green se puede aplicar o no.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hipótesis del teorema de Green hay que comprobar aquí antes de nada?
02
El valor por parametrización
COMP2
Con $R=3$ , ¿cuánto vale la integral?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El rotacional
COMP2
¿Cuánto vale $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$ en el punto $\left(1,2\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El campo es irrotacional: $Q_{x}-P_{y}=0$ en todo punto distinto del origen.
2. Pero el origen está dentro de $C$ , y ahí $P$ y $Q$ ni siquiera están definidos: falla la hipótesis de Green.
3. Así que Green no se puede aplicar, y el apartado a) lo confirma: la integral vale $2\pi$ y no $0$ .

Resolución completa

a) Parametrizando. Con $x=R\cos\theta$ , $y=R\operatorname{sen}\theta$ , $\theta\in\left[0,2\pi\right]$ :

dx=-R\operatorname{sen}\theta\,d\theta, \qquad dy=R\cos\theta\,d\theta

-y\,dx+x\,dy =R^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\,d\theta+R^{2}\cos^{2}\theta\,d\theta =R^{2}\,d\theta

y el denominador es constante sobre la curva, $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ :

\oint_{C}\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}} =\int_{0}^{2\pi}\frac{R^{2}}{R^{2}}\,d\theta =\boxed{\;2\pi\;}

Y no depende de $R$ , lo cual ya es sospechoso: si la integral midiera algo proporcional al área, crecería con el radio. No lo hace, porque lo que mide es cuántas vueltas da la curva alrededor del origen.

b) Green: la respuesta es que no se puede. Con $P=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$ y $Q=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$ , las dos derivadas cruzadas coinciden:

\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \;\Longrightarrow\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0

Si Green fuese aplicable, la integral valdría $\iint_{D}0\,dA=0$ . Y el apartado a) dice que vale $2\pi$ .

La contradicción se resuelve mirando las hipótesis. Green exige que $P$ y $Q$ sean de clase $C^{1}$ en todo el recinto encerrado por $C$ , y ese recinto contiene el origen, donde el campo ni siquiera está definido: el denominador se anula.

\boxed{\;\text{Green no se puede aplicar: el campo no es }C^{1} \text{ en el origen}\;}

El campo gira alrededor del origen y tiene rotacional nulo en todos los puntos donde existe. Pero en el origen no existe, y el origen está dentro de C: por eso Green no se puede aplicar y la integral no vale cero.

Lo que este ejercicio enseña, y por qué es un clásico. Este campo es el contraejemplo estándar de que

irrotacional no implica conservativo si el dominio tiene agujeros.

En $\mathbb{R}^{2}$ menos el origen, el campo tiene rotacional nulo y sin embargo su circulación alrededor del origen no es cero. Lo que falla no es el campo: es la topología del dominio, que ya no es simplemente conexo.

Dónde sí se puede usar Green. Si la curva no rodea al origen —una circunferencia pequeña centrada en $\left(5,0\right)$ , por ejemplo—, entonces el recinto no contiene el punto malo, las hipótesis se cumplen y la integral sí vale cero. Es la misma fórmula y el mismo campo: lo único que cambia es dónde está el agujero.

Y una lectura de propina. La cantidad $\frac{1}{2\pi}\oint\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}$ cuenta las vueltas que la curva da alrededor del origen. Aquí da una, y por eso sale $2\pi$ . Recorriendo la circunferencia dos veces saldría $4\pi$ , y al revés, $-2\pi$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 20 de junio de 2016 · Cálculo – Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Comprobar un factor integrante y resolver con él

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la función $g\left(x,y\right)=e^{x}$ ,

a) Demostrar que es factor integrante de la ecuación diferencial

\left(2xy+x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)dx+\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=0

b) Resolver la ecuación.

La comprobación del factor y la solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué hace falta un factor integrante aquí?
02
La derivada cruzada, sin factor
COMP2
¿Cuánto vale $M_{y}$ en el punto $\left(1,2\right)$ , con $M=2xy+x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La constante de la solución
COMP2
La solución es $e^{x}\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)=C$ . ¿Qué constante corresponde a la curva que pasa por $\left(0,3\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Multiplicada por $e^{x}$ , la ecuación tiene $M=e^{x}\left(2xy+x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)$ y $N=e^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ .
2. $M_{y}=e^{x}\left(2x+x^{2}+y^{2}\right)$ y $N_{x}=e^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right)+e^{x}\cdot2x$ : coinciden, así que ya es exacta.
3. Integrando $N$ respecto de $y$ sale $F=e^{x}\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)+g\left(x\right)$ , y al derivar respecto de $x$ resulta $g'=0$ .

Resolución completa

a) Por qué hace falta el factor. Con $M_{0}=2xy+x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}$ y $N_{0}=x^{2}+y^{2}$ :

\frac{\partial M_{0}}{\partial y}=2x+x^{2}+y^{2}, \qquad \frac{\partial N_{0}}{\partial x}=2x

No coinciden, así que no es exacta y no existe ninguna $F$ con $\nabla F=\left(M_{0},N_{0}\right)$ .

La comprobación. Multiplicando todo por $e^{x}$ :

M=e^{x}\left(2xy+x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right), \qquad N=e^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right)

\frac{\partial M}{\partial y}=e^{x}\left(2x+x^{2}+y^{2}\right)

\frac{\partial N}{\partial x} =\underbrace{e^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right)}_{\text{derivando }e^{x}} +\underbrace{e^{x}\cdot 2x}_{\text{derivando el paréntesis}} =e^{x}\left(x^{2}+y^{2}+2x\right)

\boxed{\;M_{y}=N_{x}\;}

Los dos paréntesis son el mismo con los sumandos en otro orden. Ya es exacta.

Por qué funciona, dicho en general. El factor $\mu\left(x\right)$ depende solo de $x$ cuando el cociente $\frac{M_{0y}-N_{0x}}{N_{0}}$ depende solo de $x$ . Aquí

\frac{M_{0y}-N_{0x}}{N_{0}} =\frac{\left(2x+x^{2}+y^{2}\right)-2x}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1

y de $\frac{\mu'}{\mu}=1$ sale $\mu=e^{x}$ . El enunciado da el factor hecho, pero decir de dónde viene son puntos de COMP 4.

b) La solución. Conviene integrar $N$ respecto de $y$ , que es el lado corto:

F=\int e^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy =e^{x}\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)+g\left(x\right)

Y se ajusta con la otra componente:

F_{x}=e^{x}\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)+e^{x}\cdot 2xy+g'\left(x\right) =e^{x}\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}+2xy\right)+g'\left(x\right)

que es exactamente $M$ si $g'\left(x\right)=0$ :

\boxed{\;e^{x}\left(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)=C\;}

La comprobación. Derivando implícitamente, $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}$ , y eso tiene que coincidir con $-\frac{M_{0}}{N_{0}}$ de la ecuación original. En $\left(1,2\right)$ las dos dan $-\frac{23{,}558}{13{,}591}\cdot\frac{1}{e}$ … o mejor, sin exponenciales: $-\frac{M_{0}}{N_{0}} =-\frac{2+2+\frac83}{1+4}=-\frac{20/3}{5}=-\frac43$ .

Lo que hay que decir sobre el factor. Multiplicar una ecuación igualada a cero por algo que no se anula nunca no cambia sus soluciones, y $e^{x}>0$ para todo $x$ . Con factores que sí se anulan —como el $\left(x+y\right)^{2}$ de otras convocatorias— hay que mirar aparte la curva donde se anulan; aquí no hace falta, y decirlo es lo que demuestra que se sabe por qué.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 20 de junio de 2016 · Cálculo – Industriales, UPV/EHU · La misma ecuación integral volvió a caer, palabra por palabra, en la extraordinaria de 2022-2023, seis años después. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación con la incógnita dentro de la integral

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la siguiente ecuación integral utilizando la transformada de Laplace:

y\left(t\right)=t+\int_{0}^{t} \operatorname{sen}\left(t-u\right)y\left(u\right)du

La función y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es la integral que aparece en el segundo miembro?
02
La transformada del núcleo
COMP2
¿Cuánto vale $\mathcal{L}\left\{\operatorname{sen}t\right\}$ evaluada en $s=2$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de la solución
COMP2
¿Cuánto vale $y\left(3\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La integral es la convolución $\operatorname{sen}*y$ , así que su transformada es $\frac{1}{s^{2}+1}\,Y\left(s\right)$ .
2. Transformando la ecuación: $Y=\frac{1}{s^{2}}+\frac{Y}{s^{2}+1}$ , y despejando $Y\left(1-\frac{1}{s^{2}+1}\right)=\frac{1}{s^{2}}$ .
3. $1-\frac{1}{s^{2}+1}=\frac{s^{2}}{s^{2}+1}$ , así que $Y=\frac{s^{2}+1}{s^{4}}=\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s^{4}}$ y $y\left(t\right)=t+\frac{t^{3}}{6}$ .

Resolución completa

Reconocer la convolución. La forma

\int_{0}^{t}f\left(t-u\right)g\left(u\right)du

es la definición de $\left(f*g\right)\left(t\right)$ , y lo que la hace valiosa es que su transformada es un producto:

\mathcal{L}\left\{f*g\right\}=F\left(s\right)G\left(s\right)

Aquí $f=\operatorname{sen}$ y $g=y$ , así que la integral transforma a $\frac{1}{s^{2}+1}\,Y\left(s\right)$ .

Transformar la ecuación entera.

Y=\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s^{2}+1}\,Y

Y ahora ya es álgebra:

Y\left(1-\frac{1}{s^{2}+1}\right)=\frac{1}{s^{2}} \;\Longrightarrow\; Y\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}+1}=\frac{1}{s^{2}}

Y=\frac{s^{2}+1}{s^{4}}=\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s^{4}}

Antitransformar, con $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{n+1}}\right\}=\frac{t^{n}}{n!}$ :

\boxed{\;y\left(t\right)=t+\frac{t^{3}}{6}\;}

El factorial es donde se pierde el ejercicio. $\frac{1}{s^{4}}$ corresponde a $\frac{t^{3}}{3!}=\frac{t^{3}}{6}$ , no a $\frac{t^{3}}{3}$ . El $n$ del numerador es uno menos que el exponente de $s$ , y el factorial es del exponente de $t$ .

La comprobación, que aquí es obligada porque la ecuación no tiene condiciones iniciales que verificar. Sustituyendo $y\left(t\right) =t+\frac{t^{3}}{6}$ en el segundo miembro:

$t$	$t+\int_{0}^{t}\operatorname{sen}\left(t-u\right)y\left(u\right)du$	$y\left(t\right)$
$0{,}5$	$0{,}520833$	$0{,}520833$
$1$	$1{,}166667$	$1{,}166667$
$2$	$3{,}333333$	$3{,}333333$
$3$	$7{,}500000$	$7{,}500000$

Por qué la respuesta es un polinomio, si hay un seno de por medio. La convolución con el seno actúa como una «doble integración con corrección»: su transformada, $\frac{1}{s^{2}+1}$ , se parece a $\frac{1}{s^{2}}$ para $s$ grande. Al despejar, el $s^{2}+1$ del denominador se cancela contra el del numerador y solo quedan potencias de $s$ — es decir, polinomios. Si el término independiente fuese otro, el seno sí aparecería.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 20 de junio de 2016 · Cálculo – Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El semicírculo, y la integral que solo sale en polares

COMP 11 punto por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considerar la integral

\int_{-a}^{a}\left(\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \left(x^{2}+y^{2}\right)dy\right)dx

Se pide:

a) Representar el recinto de integración.

b) Invertir el orden de integración.

c) Calcular el valor de la integral.

El recinto, la integral con el orden cambiado, y su valor.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué recinto describen los límites?
02
El coeficiente del resultado
COMP2
El valor de la integral es $k\,a^{4}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor con a = 2
COMP2
¿Cuánto vale la integral si $a=2$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El recinto es el semicírculo superior de radio $a$ : para cada $x\in\left[-a,a\right]$ , la $y$ va de $0$ a $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ .
2. Invirtiendo, la $y$ recorre $\left[0,a\right]$ y para cada $y$ la $x$ va de $-\sqrt{a^{2}-y^{2}}$ a $\sqrt{a^{2}-y^{2}}$ .
3. En polares el recinto es $0\le r\le a$ , $0\le\theta\le\pi$ , y la integral vale $\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a}r^{3}dr\,d\theta =\frac{\pi a^{4}}{4}$ .

Resolución completa

a) El recinto. Los límites se leen de dentro afuera:

variable	de	a
$y$ (interior)	$0$	$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$
$x$ (exterior)	$-a$	$a$

La curva $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ es la mitad superior de la circunferencia $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ , así que el recinto es el semicírculo superior de radio $a$ .

El recinto es el semicírculo superior de radio a. En rojo, la franja vertical del orden del enunciado; en morado, la horizontal del orden invertido. Los dos barren el mismo recinto.

b) El orden invertido. Ahora la $y$ es la variable exterior y recorre todo su rango, $\left[0,a\right]$ . Para cada $y$ fija, la $x$ va de un lado de la circunferencia al otro:

x^{2}+y^{2}\le a^{2} \;\Longrightarrow\; -\sqrt{a^{2}-y^{2}}\le x\le\sqrt{a^{2}-y^{2}}

\boxed{\;\int_{0}^{a}\left(\int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}} \left(x^{2}+y^{2}\right)dx\right)dy\;}

c) El valor. En los dos órdenes cartesianos la cuenta es fea —salen raíces al cubo—, y el integrando está pidiendo polares a gritos: $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ .

\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{a}r^{2}\underbrace{\cdot\,r\,dr\,d\theta} _{dA=r\,dr\,d\theta} =\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{a}r^{3}dr =\pi\cdot\frac{a^{4}}{4}

\boxed{\;\frac{\pi a^{4}}{4}\;}

El jacobiano no es decoración. Sin el $r$ de $dA=r\,dr\,d\theta$ saldría $\frac{\pi a^{3}}{3}$ , con el exponente equivocado. Una forma de cazarlo sin recordar la fórmula: el integrando tiene dimensiones de longitud al cuadrado y el área otras dos, así que el resultado tiene que ir con $a^{4}$ .

Por qué el enunciado pide invertir el orden si luego se resuelve en polares. Porque son tres competencias distintas: leer un recinto a partir de unos límites (COMP 1), reescribirlos (COMP 2) y elegir el sistema de coordenadas que hace la cuenta viable (COMP 2 otra vez). El apartado b) se puede responder sin calcular nada, y vale sus puntos igual.

Comprobación numérica. Con $a=2$ la integral doble en cartesianas, por sumas de Riemann sobre una malla de $2000\times2000$ , da $12{,}5665$ , y $\frac{\pi\cdot16}{4}=4\pi=12{,}5664$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2015-2016

Reconocer el camino

El cociente de dentro

El valor principal

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El promedio hasta x = 2

El apartado c)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pendiente que hay que igualar

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor por parametrización

El rotacional

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada cruzada, sin factor

La constante de la solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La transformada del núcleo

El valor de la solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente del resultado

El valor con a = 2

Justificar el argumento