tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2020-2021

1 de julio de 2021 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Dos cuadrados posibles, y el afijo que decide cuálNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Un recinto cuadrado contiene el afijo del número complejo $-2+2i$ . Dos vértices contiguos del cuadrado son $z_{1}=-3+3i$ y $z_{2}=-2+i$ . Calcular los otros dos vértices y representar gráficamente el recinto.
Los otros dos vértices, y el cuadrado dibujado.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Hacia dónde va, y cuándo va más rápido hacia la izquierdaEstudio local de funciones reales de una variable real3 + 4 + 3 = 10 pts
Un objeto se mueve sobre uno de los ejes de coordenadas. Su posición $x$ en función del tiempo $t$ viene dada por la función $x\left(t\right)=\left(4t-1\right)\left(t-1\right)^{2}$ , $t\ge0$ .

a) ¿Cuándo se mueve el objeto hacia la derecha?, ¿cuándo hacia la izquierda?, ¿cuándo cambia de sentido?

b) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto cuando se mueve hacia la izquierda?
Los intervalos de cada sentido, y la velocidad máxima hacia la izquierda.
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El McLaurin de una integral que no se sabe hacerEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular el polinomio de McLaurin de orden $2$ de la función
$F\left(x\right)=3+\int_{0}^{x}\frac{1+\operatorname{sen}t}{2+t^{2}}\,dt$
El polinomio de Taylor de orden dos en el origen.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La recta, la hipérbola, y el agujero que deja al girarIntegración0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $D$ el recinto definido por las condiciones $y\le x$ , $y\ge\frac{1}{x}$ , $1\le x\le4$ .

a) Dibujar $D$ .

b) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar $D$ sobre el eje OX.
El recinto dibujado y el volumen del sólido que genera.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El cilindro dentro de la esfera, y dónde está su centroIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $y\ge0$ , $x^{2}+z^{2}\le9$ , $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le25$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Sabiendo que la densidad en cada punto es constante, calcular el centro de gravedad de $S$ .
El sólido dibujado y su centro de gravedad.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Green entre dos parábolas, y la misma cuenta por el camino largoIntegral curvilínea0 + 8 + 2 = 10 pts
Sea la integral $\displaystyle\oint_{L}\left(2xy-x^{2}\right)dx+\left(x+y^{2}\right)dy$ , donde $L$ es la curva limitada por las condiciones $y=x^{2}$ y $x=y^{2}$ . Calcular la integral de dos formas: parametrizando $L$ y empleando el teorema de Green.
El mismo número por los dos caminos.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El embalse que se llena y se evapora a la vezEcuaciones diferenciales1 + 7 + 2 = 10 pts
En un embalse se acumulan mensualmente $1000$ litros de agua. Por otra parte, el agua se evapora con una tasa mensual del $5\,\%$ . Si representamos la cantidad de agua del embalse mediante la función $C\left(t\right)$ , donde $t$ se mide en meses:

a) Escribir la EDO que debe cumplir $C\left(t\right)$ .

b) Obtener la solución general de la EDO anterior.

c) Estudiar qué ocurrirá en el embalse a largo plazo.
La ecuación, su solución general y el comportamiento a largo plazo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Laplace con un cinco a la derechaTransformada de Laplace0 + 8 + 2 = 10 pts
Utilizando la transformada de Laplace resolver la EDO
$\begin{cases} y''+2y'+5y=5\\ y\left(0\right)=1,\quad y'\left(0\right)=2 \end{cases}$
La solución del problema de valores iniciales.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos cuadrados posibles, y el afijo que decide cuál

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un recinto cuadrado contiene el afijo del número complejo $-2+2i$ . Dos vértices contiguos del cuadrado son $z_{1}=-3+3i$ y $z_{2}=-2+i$ . Calcular los otros dos vértices y representar gráficamente el recinto.

Los otros dos vértices, y el cuadrado dibujado.

01
Reconocer el camino
COMP1
Conocido el lado $z_{2}-z_{1}$ , ¿cómo se obtiene el lado perpendicular a él y del mismo largo?
02
El vértice contiguo a z₂
COMP2
¿Cuál es el vértice del cuadrado que va pegado a $z_{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2forma binómica, por ejemplo 0+2i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El centro del cuadrado
COMP2
¿Dónde está el centro del cuadrado bueno?
Tu respuesta al paso 3forma binómica, por ejemplo -1.5+2.5i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento que elige una de las dos orientaciones. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El lado es $z_{2}-z_{1}=1-2i$ , y girarlo noventa grados da $i\left(1-2i\right)=2+i$ o su opuesto $-2-i$ .
2. Las dos orientaciones dan cuadrados legítimos: uno con vértices $2i$ y $-1+4i$ , el otro con $-4$ y $-5+2i$ .
3. El enunciado desempata: el afijo $-2+2i$ solo cae dentro del primero.

Resolución completa

El lado, como vector. Dos vértices contiguos definen un lado, y en el plano complejo un lado es una resta:

\vec{u}=z_{2}-z_{1}=\left(-2+i\right)-\left(-3+3i\right)=1-2i, \qquad \left|\vec{u}\right|=\sqrt{1+4}=\sqrt5

El giro. Los otros dos vértices salen de avanzar desde $z_{1}$ y $z_{2}$ en dirección perpendicular y con la misma longitud. Perpendicular y del mismo módulo es exactamente lo que hace multiplicar por $i$ :

i\,\vec{u}=i\left(1-2i\right)=2+i, \qquad -i\,\vec{u}=-2-i

Los dos candidatos. Cada signo da un cuadrado:

	$z_{3}=z_{2}+\vec{w}$	$z_{4}=z_{1}+\vec{w}$	centro
$\vec{w}=2+i$	$2i$	$-1+4i$	$-\frac32+\frac52 i$
$\vec{w}=-2-i$	$-4$	$-5+2i$	$-\frac72+\frac32 i$

Los dos son cuadrados de verdad, y el enunciado no sobra: hace falta el dato del afijo para elegir.

Quién contiene a $-2+2i$ . Basta con mirar de qué lado de la recta $z_{1}z_{2}$ cae el punto. El vector que va de $z_{1}$ al afijo es $\left(-2+2i\right)-\left(-3+3i\right)=1-i$ , y comparándolo con la dirección perpendicular $\vec{w}=2+i$ :

\left(1,-1\right)\cdot\left(2,1\right)=2-1=1>0

Positivo: el afijo está en el mismo semiplano hacia el que crece el primer cuadrado. Con la otra orientación el producto saldría $-1$ y el punto quedaría fuera.

\boxed{\;z_{3}=2i,\qquad z_{4}=-1+4i\;}

Los dos cuadrados que se apoyan en el lado z₁z₂. El de trazo continuo contiene el afijo −2+2i, marcado en rojo; el de trazo discontinuo lo deja fuera, y por eso se descarta.

La comprobación. Los cuatro lados miden $\sqrt5$ y los cuatro ángulos son rectos: $\left(1,-2\right)\cdot\left(2,1\right)=0$ , $\left(2,1\right)\cdot\left(-1,2\right)=0$ , y así con todos. Las dos diagonales miden $\sqrt{10}$ y se cortan en $-\frac32+\frac52 i$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Hacia dónde va, y cuándo va más rápido hacia la izquierda

COMP 13 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un objeto se mueve sobre uno de los ejes de coordenadas. Su posición $x$ en función del tiempo $t$ viene dada por la función $x\left(t\right)=\left(4t-1\right)\left(t-1\right)^{2}$ , $t\ge0$ .

a) ¿Cuándo se mueve el objeto hacia la derecha?, ¿cuándo hacia la izquierda?, ¿cuándo cambia de sentido?

b) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto cuando se mueve hacia la izquierda?

Los intervalos de cada sentido, y la velocidad máxima hacia la izquierda.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que mirar para saber hacia dónde se mueve el objeto?
02
El instante de la rapidez máxima hacia la izquierda
COMP2
Dentro del tramo en el que el objeto retrocede, ¿en qué instante $t$ va más rápido?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad en ese instante
COMP2
¿Cuánto vale $x'\left(t\right)$ en el instante anterior?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $x'\left(t\right)=6\left(t-1\right)\left(2t-1\right)$ , que se anula en $t=\frac12$ y en $t=1$ .
2. Entre $\frac12$ y $1$ los dos factores tienen signos distintos, así que $x'<0$ : ahí el objeto va hacia la izquierda.
3. La rapidez en ese tramo es $\left|x'\right|$ , y su máximo está donde $x''=24t-18=0$ , o sea en $t=\frac34$ .

Resolución completa

La velocidad. Se deriva con la regla del producto y se saca factor común, que es lo que permite leer el signo de un vistazo:

x'\left(t\right) =4\left(t-1\right)^{2}+\left(4t-1\right)\cdot2\left(t-1\right) =\left(t-1\right)\left[4\left(t-1\right)+2\left(4t-1\right)\right]

x'\left(t\right)=\left(t-1\right)\left(12t-6\right) =6\left(t-1\right)\left(2t-1\right)

a) El signo, tramo a tramo. Los dos factores cambian de signo en $t=\frac12$ y en $t=1$ :

tramo	$t-1$	$2t-1$	$x'$	el objeto
$0\le t<\frac12$	$-$	$-$	$+$	va a la derecha
$\frac12<t<1$	$-$	$+$	$-$	va a la izquierda
$t>1$	$+$	$+$	$+$	va a la derecha

\boxed{\;\text{cambia de sentido en }t=\tfrac12\text{ y en }t=1\;}

En $t=\frac12$ está en $x=\frac14$ , que es un máximo local de la posición; en $t=1$ está en $x=0$ , que es un mínimo local. Es coherente: sube, se da la vuelta, baja, se vuelve a dar la vuelta.

La velocidad x′(t) es una parábola hacia arriba que corta el eje en t = ½ y en t = 1. Solo entre esos dos instantes es negativa —el objeto retrocede— y su punto más bajo, la rapidez máxima, está en t = ¾ con x′ = −¾.

b) La rapidez máxima hacia la izquierda. En $\left(\frac12,1\right)$ la velocidad es negativa, así que la rapidez es $-x'$ . Maximizar $-x'$ es minimizar $x'$ , y $x'$ es una parábola hacia arriba:

x'\left(t\right)=12t^{2}-18t+6 \;\Longrightarrow\; x''\left(t\right)=24t-18=0 \;\Longrightarrow\; t=\frac34

El $\frac34$ cae dentro del tramo, y $x''$ pasa de negativa a positiva, así que es mínimo de $x'$ :

\boxed{\;x'\!\left(\tfrac34\right)=-\tfrac34\;}

Cómo se dice esto bien. «Velocidad máxima» y «rapidez máxima» no son lo mismo cuando el movimiento es hacia atrás: la velocidad más grande del tramo es $0$ —en los extremos—, y la que el enunciado busca es la de módulo mayor. Merece la pena escribirlo con esas palabras: es un punto de COMP 4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · Enunciado idéntico al 3a del primer cuatrimestral de la extraordinaria de 2021-2022. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El McLaurin de una integral que no se sabe hacer

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el polinomio de McLaurin de orden $2$ de la función

F\left(x\right)=3+\int_{0}^{x}\frac{1+\operatorname{sen}t}{2+t^{2}}\,dt

El polinomio de Taylor de orden dos en el origen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se deriva una función definida por una integral con la $x$ en el extremo superior?
02
La segunda derivada en el origen
COMP2
¿Cuánto vale $F''\left(0\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de x²
COMP2
¿Cuál es el coeficiente que acompaña a $x^{2}$ en el polinomio?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $F\left(0\right)=3$ , porque la integral entre $0$ y $0$ vale cero.
2. Por el teorema fundamental, $F'\left(x\right)=\frac{1+\operatorname{sen}x}{2+x^{2}}$ , y $F'\left(0\right)=\frac12$ .
3. $F''\left(0\right)=\frac12$ , así que el coeficiente de $x^{2}$ es $\frac{1/2}{2!}=\frac14$ .

Resolución completa

Qué pide un McLaurin de orden 2. Tres números: $F\left(0\right)$ , $F'\left(0\right)$ y $F''\left(0\right)$ .

P_{2}\left(x\right)=F\left(0\right)+F'\left(0\right)x +\frac{F''\left(0\right)}{2!}x^{2}

El valor. La integral entre $0$ y $0$ es cero, así que $F\left(0\right)=3$ . Aquí no hay nada que calcular, y por eso el $3$ del enunciado no sobra: es el término independiente.

La primera derivada. Teorema fundamental del cálculo: si $F\left(x\right)=C+\int_{a}^{x}g\left(t\right)dt$ con $g$ continua, entonces $F'\left(x\right)=g\left(x\right)$ .

F'\left(x\right)=\frac{1+\operatorname{sen}x}{2+x^{2}} \;\Longrightarrow\; F'\left(0\right)=\frac{1+0}{2+0}=\frac12

La segunda. Es la derivada del integrando, con la regla del cociente:

F''\left(x\right) =\frac{\cos x\left(2+x^{2}\right)-\left(1+\operatorname{sen}x\right)2x} {\left(2+x^{2}\right)^{2}} \;\Longrightarrow\; F''\left(0\right)=\frac{2-0}{4}=\frac12

Un detalle que conviene no celebrar demasiado: en $x=0$ el segundo sumando del numerador se anula, así que quien se olvide de derivar el denominador obtiene el mismo número. Aquí el error no se ve; en cualquier otro punto, sí.

\boxed{\;P_{2}\left(x\right)=3+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}\;}

La función F, en azul, y su polinomio de McLaurin de orden dos, a trazos. En el origen coinciden en valor, pendiente y curvatura; medio punto a cada lado todavía se confunden, y a partir de ahí la parábola se despega por arriba.

Cuánto se parece. En $x=0{,}2$ la función vale $3{,}1092$ y el polinomio $3{,}1100$ : ocho diezmilésimas de diferencia. En $x=0{,}4$ ya son siete milésimas, y en $x=1$ el polinomio se despega. Es lo normal: un Taylor de orden dos es una parábola, y solo copia bien lo que pasa cerca del punto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La recta, la hipérbola, y el agujero que deja al girar

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el recinto definido por las condiciones $y\le x$ , $y\ge\frac{1}{x}$ , $1\le x\le4$ .

a) Dibujar $D$ .

b) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar $D$ sobre el eje OX.

El recinto dibujado y el volumen del sólido que genera.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al girar $D$ sobre el eje OX, ¿qué forma tiene cada sección perpendicular al eje?
02
El área del recinto
COMP2
Antes de girarlo, ¿qué área tiene $D$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del sólido de revolución?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del volumen. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $\left[1,4\right]$ se cumple $x\ge\frac1x$ , así que la recta va por encima de la hipérbola y el recinto no está vacío.
2. Al girar sobre OX, la sección en cada $x$ es una corona de radio exterior $x$ y radio interior $\frac1x$ , de área $\pi\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)$ .
3. $V=\pi\int_{1}^{4}\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)dx =\pi\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac1x\right]_{1}^{4}=\frac{81\pi}{4}$ .

Resolución completa

a) El recinto. Tres condiciones. La recta $y=x$ por arriba, la hipérbola $y=\frac1x$ por abajo, y la franja vertical $1\le x\le4$ . Las dos curvas se cortan donde $x=\frac1x$ , o sea en $x=1$ : el recinto arranca en un punto, en $\left(1,1\right)$ , y se va abriendo. En $x=4$ mide $4-\frac14 =\frac{15}{4}$ de alto.

El recinto D arranca en el punto (1,1), donde la recta y la hipérbola se cortan, y se abre hasta x = 4. La vertical a trazos marca los dos radios de la arandela que genera al girar sobre OX: el exterior es x y el interior 1/x.

Y una cosa que hay que decir en voz alta porque decide el apartado b): el recinto no toca el eje OX. Su borde de abajo es la hipérbola, que en $\left[1,4\right]$ va de $1$ a $\frac14$ , siempre por encima de cero.

b) El sólido. Al girar sobre OX, cada vertical del recinto describe una circunferencia. Como la vertical no empieza en el eje, lo que se genera en cada $x$ es una corona:

	radio
exterior, lo que genera la recta	$x$
interior, lo que genera la hipérbola	$\frac1x$

A\left(x\right)=\pi x^{2}-\pi\frac{1}{x^{2}}

V=\int_{1}^{4}A\left(x\right)dx =\pi\int_{1}^{4}\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)dx

La primitiva, con cuidado del signo. $\int-x^{-2}dx=x^{-1}$ , así que el término del agujero entra sumando:

V=\pi\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac1x\right]_{1}^{4} =\pi\left[\left(\frac{64}{3}+\frac14\right)-\left(\frac13+1\right)\right]

=\pi\left[\frac{63}{3}-\frac34\right]=\pi\left(21-\frac34\right)

\boxed{\;V=\frac{81\pi}{4}\approx63{,}62\;}

La comprobación de tamaño. El cono exterior solo, sin agujero, daría $\pi\int_{1}^{4}x^{2}dx=21\pi\approx65{,}97$ . El agujero se lleva $\frac34\pi\approx2{,}36$ , poco más del tres por ciento: tiene sentido, porque el agujero es finísimo salvo cerca de $x=1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El cilindro dentro de la esfera, y dónde está su centro

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $y\ge0$ , $x^{2}+z^{2}\le9$ , $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le25$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Sabiendo que la densidad en cada punto es constante, calcular el centro de gravedad de $S$ .

El sólido dibujado y su centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué sistema de coordenadas conviene aquí?
02
El volumen
COMP2
¿Cuál es el volumen de $S$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura del centro de gravedad
COMP2
¿Cuánto vale $\overline{y}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento del centro de gravedad. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría en $x$ y en $z$ , el centro de gravedad está sobre el eje OY: $\overline{x}=\overline{z}=0$ .
2. En cilíndricas alrededor de OY el sólido es $0\le r\le3$ , $0\le\theta\le2\pi$ , $0\le y\le\sqrt{25-r^{2}}$ .
3. $V=\frac{122\pi}{3}$ y $\int y\,dV=\frac{369\pi}{4}$ , así que $\overline{y}=\frac{1107}{488}$ .

Resolución completa

a) Qué sólido es. Tres condiciones, y conviene leerlas por separado:

condición	qué es
$x^{2}+z^{2}\le9$	dentro de un cilindro de radio $3$ y eje OY
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le25$	dentro de una esfera de radio $5$
$y\ge0$	solo la mitad, la de $y$ positiva

El cilindro es más estrecho que la esfera ( $3<5$ ), así que lo que queda es un cilindro con la tapa abombada: la pared lateral es el cilindro y el techo es un casquete esférico. En el borde, $r=3$ , el techo está a $y=\sqrt{25-9}=4$ ; en el eje, $r=0$ , llega hasta $y=5$ .

La sección del sólido por un plano que contiene al eje OY. La pared es el cilindro de radio 3 y el techo es el casquete de la esfera de radio 5: en el borde llega a y = 4 y en el eje a y = 5. Girando esta figura alrededor del eje vertical se obtiene S.

b) Las coordenadas. El eje de simetría es OY, así que se usan cilíndricas alrededor de OY:

x=r\cos\theta,\qquad z=r\operatorname{sen}\theta,\qquad y=y, \qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dy

Con eso las tres condiciones se vuelven $0\le r\le3$ , $0\le\theta\le2\pi$ , $0\le y\le\sqrt{25-r^{2}}$ .

Por simetría, dos de las tres coordenadas son gratis. El sólido es invariante al cambiar $x$ por $-x$ y $z$ por $-z$ , así que $\overline{x}=\overline{z}=0$ . Merece la pena decirlo con esas palabras en el examen: es COMP 4 y ahorra dos integrales.

El volumen.

V=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{\sqrt{25-r^{2}}} r\,dy\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{3}r\sqrt{25-r^{2}}\;dr

Con el cambio $u=25-r^{2}$ , $du=-2r\,dr$ :

V=2\pi\left[-\frac13\left(25-r^{2}\right)^{3/2}\right]_{0}^{3} =\frac{2\pi}{3}\left(125-64\right)=\frac{122\pi}{3}

El momento respecto del plano $y=0$ . La integral en $y$ se hace primero y deja un cuadrado:

\int_{0}^{\sqrt{25-r^{2}}}y\,dy=\frac{25-r^{2}}{2}

\int_{S}y\,dV=2\pi\int_{0}^{3}\frac{25-r^{2}}{2}\,r\,dr =\pi\left[\frac{25r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{3} =\frac{369\pi}{4}

El cociente.

\overline{y}=\frac{\int y\,dV}{V} =\frac{369\pi/4}{122\pi/3}=\frac{1107}{488}

\boxed{\;G=\left(0,\;\frac{1107}{488},\;0\right)\approx \left(0;\,2{,}27;\,0\right)\;}

¿Es razonable? El sólido va de $y=0$ a $y=5$ y su altura típica ronda el $4$ , así que un centro de gravedad en $2{,}27$ —un poco por encima de la mitad de $4{,}5$ no, un poco por debajo— encaja: el casquete de arriba tiene poco volumen y no tira mucho. Para comparar, media esfera maciza de radio $5$ tendría el suyo en $\frac{3\cdot5}{8}=1{,}875$ ; recortar los bordes bajos con el cilindro lo sube, y eso es lo que pasa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Green entre dos parábolas, y la misma cuenta por el camino largo

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la integral $\displaystyle\oint_{L}\left(2xy-x^{2}\right)dx+\left(x+y^{2}\right)dy$ , donde $L$ es la curva limitada por las condiciones $y=x^{2}$ y $x=y^{2}$ . Calcular la integral de dos formas: parametrizando $L$ y empleando el teorema de Green.

El mismo número por los dos caminos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué integrando deja el teorema de Green en la integral doble?
02
El tramo de la parábola y = x²
COMP2
Recorriendo $y=x^{2}$ desde $\left(0,0\right)$ hasta $\left(1,1\right)$ , ¿cuánto vale la integral en ese tramo?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La integral completa
COMP2
¿Cuánto vale la circulación sobre la curva cerrada, recorrida en sentido positivo?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento por Green. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos parábolas se cortan en $\left(0,0\right)$ y $\left(1,1\right)$ , y entre ellas $\sqrt x\ge x^{2}$ .
2. Green convierte la circulación en $\iint_{D}\left(Q_{x}-P_{y}\right)dA=\iint_{D}\left(1-2x\right)dA$ .
3. $\int_{0}^{1}\left(1-2x\right)\left(\sqrt x-x^{2}\right)dx =\frac23-\frac13-\frac45+\frac12=\frac1{30}$ .

Resolución completa

El recinto. Las dos parábolas se cortan donde $x=\left(x^{2}\right)^{2} =x^{4}$ , o sea en $x=0$ y $x=1$ . Entre esos dos valores $\sqrt x\ge x^{2}$ , así que el recinto es

D=\left\{\left(x,y\right):0\le x\le1,\;x^{2}\le y\le\sqrt x\right\}

El recinto entre y = x² y x = y², que se cortan en (0,0) y en (1,1). Las flechas marcan el sentido positivo: se sube por la parábola de abajo y se vuelve por la de arriba, dejando el recinto siempre a la izquierda.

Camino corto: Green.

P=2xy-x^{2}\;\Longrightarrow\;\frac{\partial P}{\partial y}=2x, \qquad Q=x+y^{2}\;\Longrightarrow\;\frac{\partial Q}{\partial x}=1

\oint_{L}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(1-2x\right)dA =\int_{0}^{1}\left(1-2x\right)\left(\sqrt x-x^{2}\right)dx

=\int_{0}^{1}\left(x^{1/2}-x^{2}-2x^{3/2}+2x^{3}\right)dx =\frac23-\frac13-\frac45+\frac12

\boxed{\;\oint_{L}=\frac1{30}\;}

Camino largo: parametrizando. En sentido positivo se sube por $y=x^{2}$ y se baja por $x=y^{2}$ .

Tramo 1, $x=t$ , $y=t^{2}$ , $t\in\left[0,1\right]$ , $dx=dt$ , $dy=2t\,dt$ :

\int_{0}^{1}\left[\left(2t\cdot t^{2}-t^{2}\right) +\left(t+t^{4}\right)2t\right]dt =\int_{0}^{1}\left(2t^{3}-t^{2}+2t^{2}+2t^{5}\right)dt

=\frac12-\frac13+\frac23+\frac13=\frac76

Tramo 2, de $\left(1,1\right)$ a $\left(0,0\right)$ por $x=y^{2}$ . Con $y=s$ bajando de $1$ a $0$ , $x=s^{2}$ , $dx=2s\,ds$ :

\int_{1}^{0}\left[\left(2s^{2}\cdot s-s^{4}\right)2s +\left(s^{2}+s^{2}\right)\right]ds =\int_{1}^{0}\left(4s^{4}-2s^{5}+2s^{2}\right)ds

=-\left(\frac45-\frac13+\frac23\right)=-\frac{17}{15}

Y la suma:

\frac76-\frac{17}{15}=\frac{35}{30}-\frac{34}{30}=\frac1{30}\;\checkmark

Lo que enseña este ejercicio. Los dos tramos valen $1{,}17$ y $-1{,}13$ , y el resultado es $0{,}033$ : casi se cancelan. Por eso el camino largo es peligroso a mano — un error de una milésima en cualquiera de los dos arruina la respuesta — y por eso el enunciado pide los dos caminos: Green no es un atajo cualquiera, es el que evita restar dos números grandes y parecidos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El embalse que se llena y se evapora a la vez

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En un embalse se acumulan mensualmente $1000$ litros de agua. Por otra parte, el agua se evapora con una tasa mensual del $5\,\%$ . Si representamos la cantidad de agua del embalse mediante la función $C\left(t\right)$ , donde $t$ se mide en meses:

a) Escribir la EDO que debe cumplir $C\left(t\right)$ .

b) Obtener la solución general de la EDO anterior.

c) Estudiar qué ocurrirá en el embalse a largo plazo.

La ecuación, su solución general y el comportamiento a largo plazo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa «se evapora con una tasa mensual del $5\,\%$ »?
02
El nivel de equilibrio
COMP2
¿En cuántos litros se estabiliza el embalse?
Tu respuesta al paso 2un número de litros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La constante, si el embalse empieza vacío
COMP2
En $C\left(t\right)=20000+K e^{-0,05t}$ , ¿cuánto vale $K$ si $C\left(0\right)=0$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento completo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El balance es entrada menos salida: $C'\left(t\right)=1000-0{,}05\,C\left(t\right)$ .
2. Es lineal de primer orden con coeficientes constantes: la solución general es $C\left(t\right)=20000+K e^{-0,05t}$ .
3. Como $e^{-0,05t}\to0$ , a largo plazo el embalse se estabiliza en $20\,000$ litros, empiece como empiece.

Resolución completa

a) La ecuación. Un balance: lo que cambia por unidad de tiempo es lo que entra menos lo que sale.

término	cuánto	de qué depende
entrada	$1000$ l/mes	de nada, es constante
evaporación	$0{,}05\,C\left(t\right)$ l/mes	del agua que hay

\boxed{\;C'\left(t\right)=1000-0{,}05\,C\left(t\right)\;}

Que la pérdida sea proporcional al contenido es lo que hace que esto sea una EDO y no una progresión aritmética.

b) La solución general. Es lineal de primer orden. Se puede resolver de dos maneras y las dos son cortas.

Separando variables:

\frac{dC}{1000-0{,}05\,C}=dt \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{0{,}05}\ln\left|1000-0{,}05\,C\right|=t+c

1000-0{,}05\,C=A e^{-0,05t} \;\Longrightarrow\; C=20\,000-\frac{A}{0{,}05}e^{-0,05t}

Como lineal, solución particular más homogénea: la particular constante es $C_{p}=20\,000$ y la homogénea es $C_{h}=K e^{-0,05t}$ .

\boxed{\;C\left(t\right)=20\,000+K e^{-0,05t}\;}

c) A largo plazo. La exponencial tiende a cero, así que

\lim_{t\to\infty}C\left(t\right)=20\,000\ \text{litros}

y el valor de $K$ no importa: da igual cómo estuviera el embalse al principio. Si empieza por debajo de $20\,000$ sube, si empieza por encima baja, y si empieza justo ahí se queda.

Tres soluciones con constantes distintas. Empiece el embalse vacío, a medio llenar o por encima del equilibrio, todas acaban en los mismos 20 000 litros: la exponencial se apaga y solo queda el término constante.

De dónde sale ese número, sin resolver nada. El embalse se estabiliza cuando la evaporación iguala a la entrada:

0{,}05\,C=1000\;\Longrightarrow\;C=20\,000

Es la comprobación que hay que hacer siempre en estos problemas: el equilibrio se lee directamente de la ecuación anulando la derivada, y tiene que coincidir con el límite de la solución. Si no coincide, hay un error de cuentas en medio.

Cuánto tarda. El tiempo característico es $\frac{1}{0{,}05}=20$ meses: en ese plazo se recorre el $63\,\%$ del camino que quede, y en unos $60$ meses el embalse está al $95\,\%$ de su nivel final. La constante $0{,}05$ no solo fija el destino: fija el ritmo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2021 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Laplace con un cinco a la derecha

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace resolver la EDO

\begin{cases} y''+2y'+5y=5\\ y\left(0\right)=1,\quad y'\left(0\right)=2 \end{cases}

La solución del problema de valores iniciales.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la transformada de Laplace del miembro de la derecha?
02
El cuadrado completado
COMP2
Escribiendo $s^{2}+2s+5=\left(s+1\right)^{2}+a$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de la oscilación
COMP2
En la solución $y\left(t\right)=1+c\,e^{-t}\operatorname{sen}2t$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución por Laplace. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando la ecuación: $\left(s^{2}+2s+5\right)Y=\frac5s+s+4$ , donde el $s+4$ trae las condiciones iniciales.
2. $Y=\frac{s^{2}+4s+5}{s\left(s^{2}+2s+5\right)} =\frac1s+\frac{2}{\left(s+1\right)^{2}+4}$ .
3. Antitransformando cada sumando: $y\left(t\right)=1+e^{-t}\operatorname{sen}2t$ .

Resolución completa

Transformar los tres términos. Las dos fórmulas de las derivadas:

\mathcal{L}\left\{y'\right\}=sY-y\left(0\right), \qquad \mathcal{L}\left\{y''\right\}=s^{2}Y-s\,y\left(0\right)-y'\left(0\right)

Con $y\left(0\right)=1$ y $y'\left(0\right)=2$ :

\left[s^{2}Y-s-2\right]+2\left[sY-1\right]+5Y=\frac5s

\left(s^{2}+2s+5\right)Y=\frac5s+s+4

Despejar y juntar.

Y=\frac{5+s^{2}+4s}{s\left(s^{2}+2s+5\right)}

Fracciones simples. El denominador tiene una raíz real, $s=0$ , y un factor cuadrático irreducible:

\frac{s^{2}+4s+5}{s\left(s^{2}+2s+5\right)} =\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+2s+5}

s^{2}+4s+5=A\left(s^{2}+2s+5\right)+\left(Bs+C\right)s

se hace	sale
$s=0$	$5=5A\;\Rightarrow\;A=1$
coeficiente de $s^{2}$	$1=A+B\;\Rightarrow\;B=0$
coeficiente de $s$	$4=2A+C\;\Rightarrow\;C=2$

Y=\frac1s+\frac{2}{s^{2}+2s+5}

Completar el cuadrado, que es lo que deja la forma de tabla:

s^{2}+2s+5=\left(s+1\right)^{2}+2^{2} \;\Longrightarrow\; Y=\frac1s+\frac{2}{\left(s+1\right)^{2}+2^{2}}

Antitransformar. El primer sumando da $1$ ; el segundo es exactamente $\mathcal{L}\left\{e^{-t}\operatorname{sen}2t\right\}$ , sin ajustar nada:

\boxed{\;y\left(t\right)=1+e^{-t}\operatorname{sen}2t\;}

La solución y = 1 + e⁻ᵗ sen 2t. Oscila con periodo π —eso lo fija la parte imaginaria 2 de las raíces— dentro de la envolvente 1 ± e⁻ᵗ, que se cierra al ritmo que marca la parte real −1. A los cuatro segundos ya está en el uno.

Las tres comprobaciones. Se hacen en veinte segundos y valen puntos:

qué	cuenta
$y\left(0\right)$	$1+0=1$ ✓
$y'\left(0\right)$	$y'=-e^{-t}\operatorname{sen}2t+2e^{-t}\cos2t$ , y en $0$ da $2$ ✓
el régimen permanente	$y\to1$ , que es justo $\frac{5}{5}$ , la solución constante de $y''+2y'+5y=5$ ✓

Qué está diciendo la solución. El $1$ es el equilibrio al que la ecuación tira; el $e^{-t}\operatorname{sen}2t$ es una oscilación amortiguada que se lo come todo en unos pocos segundos. La parte real $-1$ del par de raíces $-1\pm2i$ fija lo rápido que se apaga, y la imaginaria $2$ fija a qué ritmo oscila mientras tanto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2020-2021

Reconocer el camino

El vértice contiguo a z₂

El centro del cuadrado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El instante de la rapidez máxima hacia la izquierda

La velocidad en ese instante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La segunda derivada en el origen

El coeficiente de x²

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El área del recinto

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen

La altura del centro de gravedad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El tramo de la parábola y = x²

La integral completa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El nivel de equilibrio

La constante, si el embalse empieza vacío

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El cuadrado completado

El coeficiente de la oscilación

Justificar el argumento