tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2021-2022

29 de junio de 2022 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una ecuación con conjugado, y el triángulo que saleNúmeros complejos0 + 7 + 3 = 10 pts
Resolver y representar gráficamente las soluciones de la ecuación compleja
$z^{4}\,\overline{z}\,i+1=0$
Las soluciones, y su dibujo.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos curvas, cuál es cuál, y una tercera función construida con las dosEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 4 + 5 = 10 pts
La figura muestra las gráficas de una función $y(x)$ y de su derivada $y'(x)$ , definidas en un intervalo $\left(a,b\right)$ . Se pide:

a) Identificar de forma razonada qué gráfica corresponde a $y(x)$ y qué gráfica corresponde a $y'(x)$ .

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos de la nueva función $h(x)=e^{-2x}\,y^{2}(x)$ .

Figura redibujada del enunciado. Una de las dos curvas empieza por debajo del eje, sube hasta un máximo y luego baja; la otra empieza arriba, desciende hasta un tramo casi llano y sigue bajando. No hay escala: lo único que se puede leer son los signos y los cortes.

Cuál es cuál, y el estudio de h.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 45 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un polinomio de dos términos y un elipsoide de revoluciónEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
a) Sea la función
$f(x)=3+\int_{0}^{x}\frac{1+\operatorname{sen}t}{2+t^{2}}\,dt$
definida $\forall x\in\mathbb{R}$ . Calcular el polinomio de McLaurin de orden 2 de $f(x)$ .

b) Sea la elipse $\dfrac{x^{2}}{25}+y^{2}=1$ . Calcular el volumen del elipsoide generado al girar la elipse alrededor del eje OY.
El polinomio y el volumen.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Tres barras, un pórtico, y un ángulo que sale redondoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 8 + 1 = 10 pts
Se desea construir un pórtico simétrico de área máxima utilizando tres barras de longitud $L$ . ¿Cuál debería ser el ángulo $\alpha$ ?

Figura redibujada del enunciado. Tres barras iguales forman un trapecio isósceles abierto por abajo: la de arriba horizontal y las dos laterales inclinadas el mismo ángulo alfa respecto del suelo.

El ángulo que maximiza el área.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La curva de la que no se dice nada, y el área que lo resuelveIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular el valor de la integral curvilínea $I=\displaystyle\int_{L_{1}}-y\,dx+x\,dy$ sabiendo que el área sombreada de la figura vale $A=10$ .

Figura redibujada del enunciado. Arriba, la semicircunferencia de radio dos marcada como L2; abajo, la curva L1, de la que el enunciado no dice nada salvo que va de (−2,0) a (2,0).

El valor de la integral a lo largo de L1.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Tres ecuaciones, y hay que decir cuál es cuál antes de resolverEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Sean las EDOs
$y'=\frac{2xy}{3x^{2}-y^{2}} \quad;\quad xy'-y=x^{3} \quad;\quad \frac{-e^{y}}{2y+xe^{y}}=y'$
Una de ellas es exacta, otra homogénea y la otra lineal. Decir de qué tipo es cada una y resolver la que sea exacta.
La clasificación de las tres y la solución de la exacta.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos ecuaciones que se persiguen, resueltas de un tirónTransformada de Laplace0 + 8 + 2 = 10 pts
Utilizando la transformada de Laplace resolver el sistema
$\left\{ \begin{aligned} x'(t)&=2x(t)+3y(t)\\ y'(t)&=3x(t)+2y(t)\\ x(0)&=2,\qquad y(0)=0 \end{aligned} \right.$
Las dos funciones.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una rampa que solo ocupa media onda, y la suma que sale del origenIntroducción al análisis de Fourier0 + 8 + 2 = 10 pts
Sea $f(t)$ la función periódica de periodo $T=2\pi$ definida de la siguiente forma:
$f(t)= \begin{cases} 0 & -\pi<t\le0\\ t & 0<t<\pi \end{cases}$
a) Dibujar la función periódica $f(t)$ .

b) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

c) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=3\pi$ .

d) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2n-1\right)^{2}}$ .
Los cuatro apartados.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 29 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El mismo ejercicio es el 1 del examen global del mismo cuadernillo · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación con conjugado, y el triángulo que sale

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver y representar gráficamente las soluciones de la ecuación compleja

z^{4}\,\overline{z}\,i+1=0

Las soluciones, y su dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al pasar el $1$ al otro lado y despejar, ¿a qué es igual $z^{4}\overline z$ ?
02
El exponente del módulo
COMP2
En polar, $\left|z^{4}\overline z\right|=\rho^{n}$ . ¿Cuánto vale $n$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El primer argumento
COMP2
¿Cuánto vale el primer argumento, como múltiplo de $\pi$ ? Es decir, contesta $\theta/\pi$ .
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Despejando, $z^{4}\overline z=-\frac1i=i$ , que en polar es $1_{\pi/2}$ .
2. En polar, $z^{4}\overline z=\rho^{5}_{\,3\theta}$ : los módulos se multiplican y el conjugado resta su argumento.
3. De $\rho^{5}=1$ sale $\rho=1$ , y de $3\theta=\frac\pi2+2k\pi$ salen tres argumentos separados $\frac{2\pi}{3}$ : los vértices de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia unidad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 29 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · La figura está redibujada del original · El mismo ejercicio es el 2 del examen global del mismo cuadernillo · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos curvas, cuál es cuál, y una tercera función construida con las dos

COMP 11 punto por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 45 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra las gráficas de una función $y(x)$ y de su derivada $y'(x)$ , definidas en un intervalo $\left(a,b\right)$ . Se pide:

a) Identificar de forma razonada qué gráfica corresponde a $y(x)$ y qué gráfica corresponde a $y'(x)$ .

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y los extremos de la nueva función $h(x)=e^{-2x}\,y^{2}(x)$ .

Figura redibujada del enunciado. Una de las dos curvas empieza por debajo del eje, sube hasta un máximo y luego baja; la otra empieza arriba, desciende hasta un tramo casi llano y sigue bajando. No hay escala: lo único que se puede leer son los signos y los cortes.

Cuál es cuál, y el estudio de h.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el criterio para decidir cuál de las dos curvas es la derivada?
02
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la derivada de $h(x)=e^{-2x}y^{2}(x)$ ?
03
Cuántos extremos
COMP2
¿Cuántos extremos locales tiene $h$ en $\left(a,b\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
Los dos ceros de $y$ dan dos mínimos, sí, pero también hay que contar los dos puntos donde las curvas se cruzan, que son los ceros del otro factor.
Tres serían si las curvas se cortaran una sola vez. En la figura se cortan dos veces, y $y$ se anula otras dos.
$h'$ es un producto de dos factores, y cada uno se anula dos veces en el intervalo: son cuatro cambios de signo.
$h'=2e^{-2x}y\left(y'-y\right)$ se anula donde $y=0$ y donde las dos curvas del dibujo se cortan.
Desarrollo
El factor $e^{-2x}$ nunca se anula. Quedan dos:
- $y=0$ : la curva de la función corta al eje dos veces;
- $y'-y=0$ : las dos curvas se cortan dos veces.
Cuatro ceros de $h'$ , y en los cuatro cambia de signo.
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de $h$ . Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $h'=2e^{-2x}y\left(y'-y\right)$ , y como la exponencial es siempre positiva, el signo lo deciden $y$ y la diferencia $y'-y$ .
2. $y=0$ donde la curva de la función corta al eje, y allí $h=0$ : como $h$ nunca es negativa, esos puntos son mínimos y valen cero.
3. $y'-y=0$ donde las dos curvas se cortan en el dibujo, y allí $h$ tiene sus máximos.

Resolución completa

a) Cuál es cuál. El criterio es uno solo: la derivada corta al eje donde la función tiene un extremo.

En la figura, la curva que empieza arriba y desciende cruza el eje exactamente en la abscisa donde la otra alcanza su máximo. Luego:

la que empieza por debajo del eje, sube hasta un máximo y luego baja, es $y(x)$ ;
la que empieza arriba y desciende cruzando el eje en ese máximo es $y'(x)$ .

Las dos comprobaciones que confirman. Donde $y'$ está por encima del eje, $y$ sube ✓. Y el mínimo de $y'$ —el tramo donde más negativa se pone— cae donde $y$ baja más deprisa, que es su punto de inflexión ✓.

b) El estudio de $h$ . Lo primero es derivar bien, y sacar factor común:

h'(x)=-2e^{-2x}y^{2}+e^{-2x}\cdot2yy' =2e^{-2x}\,y\left(y'-y\right)

El $e^{-2x}$ es siempre positivo, así que el signo de $h'$ es el de $y\left(y'-y\right)$ , y los dos factores se leen en el dibujo:

factor	se anula donde…
$y$	la curva de la función corta al eje
$y'-y$	las dos curvas se cortan entre sí

Y de ahí sale todo:

en los ceros de $y$ , $h=0$ ; y como $h=e^{-2x}y^{2}$ nunca es negativa, esos son mínimos, con valor cero;
en los cortes de las dos curvas, $h$ tiene sus máximos.

Con la figura del enunciado, $y$ corta el eje dos veces y las curvas se cortan dos veces: cuatro extremos, alternando mínimo y máximo, y $h$ decrece, crece, decrece, crece y vuelve a decrecer.

Por qué el reparto es 5 de explicación y 4 de cálculo. Porque el cálculo es una derivada de producto y se acaba en dos líneas. Lo que se evalúa es leer el dibujo: identificar quién es quién y traducir «las dos curvas se cortan» en «el segundo factor se anula». Sin eso, la fórmula de $h'$ no sirve de nada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 29 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El mismo ejercicio es el 3 del examen global del mismo cuadernillo · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un polinomio de dos términos y un elipsoide de revolución

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Sea la función

f(x)=3+\int_{0}^{x}\frac{1+\operatorname{sen}t}{2+t^{2}}\,dt

definida $\forall x\in\mathbb{R}$ . Calcular el polinomio de McLaurin de orden 2 de $f(x)$ .

b) Sea la elipse $\dfrac{x^{2}}{25}+y^{2}=1$ . Calcular el volumen del elipsoide generado al girar la elipse alrededor del eje OY.

El polinomio y el volumen.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado b), al girar alrededor de OY, ¿qué papel juega el $25$ ?
02
El coeficiente cuadrático
COMP2
En $P_{2}(x)=3+\frac{x}{2}+kx^{2}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del elipsoide?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al girar alrededor de OY, cada sección horizontal es un disco cuyo radio es la coordenada $x$ de la elipse a esa altura.
2. De $\frac{x^{2}}{25}+y^{2}=1$ sale $x^{2}=25\left(1-y^{2}\right)$ , y la elipse va de $y=-1$ a $y=1$ .
3. $V=\pi\int_{-1}^{1}25\left(1-y^{2}\right)dy=\frac{100\pi}{3}$ , que es la fórmula $\frac43\pi a^{2}b$ con $a=5$ y $b=1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 29 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · La figura está redibujada del original · Este no entra en el examen global del cuadernillo · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres barras, un pórtico, y un ángulo que sale redondo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desea construir un pórtico simétrico de área máxima utilizando tres barras de longitud $L$ . ¿Cuál debería ser el ángulo $\alpha$ ?

Figura redibujada del enunciado. Tres barras iguales forman un trapecio isósceles abierto por abajo: la de arriba horizontal y las dos laterales inclinadas el mismo ángulo alfa respecto del suelo.

El ángulo que maximiza el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué figura forman las tres barras y el suelo?
02
El ángulo óptimo
COMP2
¿Cuánto vale $\cos\alpha$ en el óptimo?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área máxima
COMP2
¿Cuánto vale el área máxima, en unidades de $L^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El trapecio tiene el lado de arriba $L$ , el de abajo $L+2L\cos\alpha$ y altura $L\operatorname{sen}\alpha$ .
2. Su área es $A=\frac12\left(L+L+2L\cos\alpha\right)L\operatorname{sen}\alpha =L^{2}\left(1+\cos\alpha\right)\operatorname{sen}\alpha$ .
3. Derivando sale $2\cos^{2}\alpha+\cos\alpha-1=0$ , con soluciones $\cos\alpha=\frac12$ y $\cos\alpha=-1$ ; la segunda es degenerada, así que $\alpha=60^{\circ}$ .

Resolución completa

La figura. Tres barras iguales de longitud $L$ : una horizontal arriba y dos inclinadas $\alpha$ respecto del suelo. El suelo cierra la figura pero no es una barra — y ahí está la gracia del problema: abrir el ángulo alarga la base sin gastar material.

elemento	medida
lado de arriba	$L$
lado de abajo	$L+2L\cos\alpha$
altura	$L\operatorname{sen}\alpha$

El área del trapecio.

A=\frac{\text{arriba}+\text{abajo}}{2}\cdot\text{altura} =\frac{2L+2L\cos\alpha}{2}\cdot L\operatorname{sen}\alpha

A(\alpha)=L^{2}\left(1+\cos\alpha\right)\operatorname{sen}\alpha, \qquad \alpha\in\left(0,\pi\right)

El máximo.

A'(\alpha)=L^{2}\left[-\operatorname{sen}^{2}\alpha+\cos\alpha +\cos^{2}\alpha\right] =L^{2}\left[2\cos^{2}\alpha+\cos\alpha-1\right]

—usando $\operatorname{sen}^{2}=1-\cos^{2}$ —. Con $c=\cos\alpha$ :

2c^{2}+c-1=0 \;\Longrightarrow\; c=\frac{-1\pm3}{4} \;\Longrightarrow\; c=\frac12\ \text{ o }\ c=-1

$c=-1$ sería $\alpha=180^{\circ}$ , con la figura aplastada y área cero: se descarta.

\boxed{\;\alpha=\frac{\pi}{3}=60^{\circ}, \qquad A_{\max}=\frac{3\sqrt3}{4}L^{2}\approx1{,}299\,L^{2}\;}

Y lo bonito del resultado. Con $\alpha=60^{\circ}$ el trapecio tiene los tres lados iguales a $L$ y la base $2L$ : es exactamente medio hexágono regular. La figura que más área encierra con tres lados iguales y una base libre resulta ser la mitad de la que embaldosa el plano.

La comparación que conviene hacer. El pórtico rectangular — $\alpha=90^{\circ}$ — encierra $L^{2}$ . El óptimo encierra un treinta por ciento más, y sin gastar ni un centímetro más de barra. La diferencia la paga el suelo, que se alarga de $L$ a $2L$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 29 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · La figura está redibujada del original · Es el mismo enunciado, palabra por palabra, que el ejercicio 2 del segundo parcial de la extraordinaria de 2023-2024; y también es el 4 del examen global de este mismo cuadernillo · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La curva de la que no se dice nada, y el área que lo resuelve

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el valor de la integral curvilínea $I=\displaystyle\int_{L_{1}}-y\,dx+x\,dy$ sabiendo que el área sombreada de la figura vale $A=10$ .

Figura redibujada del enunciado. Arriba, la semicircunferencia de radio dos marcada como L2; abajo, la curva L1, de la que el enunciado no dice nada salvo que va de (−2,0) a (2,0).

El valor de la integral a lo largo de L1.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado da el área y no la curva?
02
La circulación completa
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\oint$ sobre la frontera, en sentido positivo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El resultado
COMP2
¿Cuánto vale $I$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La frontera positiva es $L_{1}$ de $\left(-2,0\right)$ a $\left(2,0\right)$ y después $L_{2}$ de vuelta: por abajo de izquierda a derecha y por arriba al revés.
2. Green da $\oint=\iint_{R}2\,dA=20$ , y no hace falta conocer $L_{1}$ porque el integrando es constante.
3. Sobre $L_{2}$ el integrando se simplifica a $4\,d\theta$ y la integral vale $4\pi$ , así que $I=20-4\pi\approx7{,}43$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 29 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El mismo ejercicio es el 5 del examen global del mismo cuadernillo · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres ecuaciones, y hay que decir cuál es cuál antes de resolver

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean las EDOs

y'=\frac{2xy}{3x^{2}-y^{2}} \quad;\quad xy'-y=x^{3} \quad;\quad \frac{-e^{y}}{2y+xe^{y}}=y'

Una de ellas es exacta, otra homogénea y la otra lineal. Decir de qué tipo es cada una y resolver la que sea exacta.

La clasificación de las tres y la solución de la exacta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál de las tres es la homogénea?
02
La comprobación de la exacta
COMP2
Escribiendo la tercera como $e^{y}dx+\left(2y+xe^{y}\right)dy=0$ , ¿cuánto valen $M_{y}$ y $N_{x}$ en el punto $x=2$ , $y=1$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La constante de una solución
COMP2
La solución es $xe^{y}+y^{2}=C$ . ¿Cuánto vale $C$ para la curva que pasa por $\left(1,0\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución de la exacta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Escrita en forma diferencial, la tercera es $e^{y}dx+\left(2y+xe^{y}\right)dy=0$ , y $M_{y}=N_{x}=e^{y}$ : es exacta.
2. Integrando $F_{x}=e^{y}$ respecto de $x$ sale $F=xe^{y}+g(y)$ , con una función de $y$ como constante de integración.
3. Derivando respecto de $y$ e igualando a $N$ : $xe^{y}+g'(y)=2y+xe^{y}$ , o sea $g'(y)=2y$ y $g=y^{2}$ . La solución es $xe^{y}+y^{2}=C$ .

Resolución completa

La clasificación, con su comprobación.

Homogénea: la primera. $y'=\frac{2xy}{3x^{2}-y^{2}}$ . Sustituyendo $x\to tx$ , $y\to ty$ , arriba sale $t^{2}\cdot2xy$ y abajo $t^{2}\left(3x^{2}-y^{2}\right)$ : los $t^{2}$ se cancelan y $y'$ solo depende del cociente $y/x$ . Es la definición.

Lineal: la segunda. $xy'-y=x^{3}$ , y dividiendo entre $x$ :

y'-\frac{1}{x}\,y=x^{2}

Forma estándar $y'+p(x)y=q(x)$ .

Exacta: la tercera. Escrita en forma diferencial,

\frac{-e^{y}}{2y+xe^{y}}=y'=\frac{dy}{dx} \;\Longrightarrow\; e^{y}\,dx+\left(2y+xe^{y}\right)dy=0

M_{y}=e^{y},\qquad N_{x}=e^{y}

Coinciden en todo punto. Y no es homogénea —la exponencial no lo es— ni lineal —la incógnita está en un exponente—.

Resolver la exacta. Se busca $F$ con $F_{x}=M$ y $F_{y}=N$ :

F=\int e^{y}\,dx=x\,e^{y}+g(y)

La constante de integración es una función de $y$ : al derivar respecto de $x$ , cualquier cosa que solo dependa de $y$ desaparece.

F_{y}=xe^{y}+g'(y)=2y+xe^{y} \;\Longrightarrow\; g'(y)=2y \;\Longrightarrow\; g(y)=y^{2}

\boxed{\;x\,e^{y}+y^{2}=C\;}

La comprobación, derivando implícitamente.

e^{y}+xe^{y}y'+2yy'=0 \;\Longrightarrow\; y'=\frac{-e^{y}}{xe^{y}+2y}

que es exactamente la ecuación del enunciado ✓.

Y no se despeja. $xe^{y}+y^{2}=C$ no tiene solución explícita en $y$ y no hace falta que la tenga: una solución implícita es una solución. Lo que sí sería incompleto es dejar la constante sin nombre o no comprobar la exactitud, que es justo lo que el enunciado pide con «comprobando».

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 29 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · El mismo ejercicio es el 6 del examen global del mismo cuadernillo · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos ecuaciones que se persiguen, resueltas de un tirón

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace resolver el sistema

\left\{ \begin{aligned} x'(t)&=2x(t)+3y(t)\\ y'(t)&=3x(t)+2y(t)\\ x(0)&=2,\qquad y(0)=0 \end{aligned} \right.

Las dos funciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué se convierte el sistema al transformar?
02
Las raíces del sistema
COMP2
Al despejar, el denominador es $\left(s-a\right)\left(s+1\right)$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución en un instante
COMP2
¿Cuánto vale $y\left(0{,}2\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando y metiendo las condiciones iniciales: $\left(s-2\right)X-3Y=2$ y $-3X+\left(s-2\right)Y=0$ .
2. Despejando, $X=\frac{2\left(s-2\right)}{\left(s-5\right)\left(s+1\right)} =\frac{1}{s-5}+\frac{1}{s+1}$ , y de ahí $x(t)=e^{5t}+e^{-t}$ .
3. Y $Y=\frac{3X}{s-2}=\frac{6}{\left(s-5\right)\left(s+1\right)} =\frac{1}{s-5}-\frac{1}{s+1}$ , o sea $y(t)=e^{5t}-e^{-t}$ .

Resolución completa

Transformar las dos, con sus condiciones iniciales. Con $\mathcal{L}\{x'\}=sX-x(0)=sX-2$ y $\mathcal{L}\{y'\}=sY-0$ :

\left\{ \begin{aligned} sX-2&=2X+3Y\\ sY&=3X+2Y \end{aligned} \right. \;\Longrightarrow\; \left\{ \begin{aligned} \left(s-2\right)X-3Y&=2\\ -3X+\left(s-2\right)Y&=0 \end{aligned} \right.

Un sistema lineal de bachillerato. De la segunda, $Y=\frac{3X}{s-2}$ , y sustituyendo en la primera:

\left(s-2\right)X-\frac{9X}{s-2}=2 \;\Longrightarrow\; X\cdot\frac{\left(s-2\right)^{2}-9}{s-2}=2

X=\frac{2\left(s-2\right)}{\left(s-2\right)^{2}-9} =\frac{2\left(s-2\right)}{\left(s-5\right)\left(s+1\right)}

—porque $\left(s-2\right)^{2}-9$ es una diferencia de cuadrados: $\left(s-2-3\right)\left(s-2+3\right)$ —.

Las fracciones simples, con el método de cubrir.

X=\frac{1}{s-5}+\frac{1}{s+1}, \qquad Y=\frac{3X}{s-2}=\frac{6}{\left(s-5\right)\left(s+1\right)} =\frac{1}{s-5}-\frac{1}{s+1}

\boxed{\;x(t)=e^{5t}+e^{-t},\qquad y(t)=e^{5t}-e^{-t}\;}

Las comprobaciones, y hay tres gratis.

$x(0)=1+1=2$ ✓ e $y(0)=1-1=0$ ✓.
Sustituyendo en la primera ecuación: $x'=5e^{5t}-e^{-t}$ , y $2x+3y=2e^{5t}+2e^{-t}+3e^{5t}-3e^{-t}=5e^{5t}-e^{-t}$ ✓.
Y la elegante: $x+y=2e^{5t}$ y $x-y=2e^{-t}$ . Sumando y restando las dos ecuaciones del sistema original sale $\left(x+y\right)'=5\left(x+y\right)$ y $\left(x-y\right)'=-\left(x-y\right)$ , que es el mismo sistema desacoplado a mano. Los $5$ y $-1$ que aparecieron en el denominador son $2+3$ y $2-3$ .

Lo que se ve en la solución. Las dos funciones se disparan igual a la larga —domina $e^{5t}$ — pero al principio se separan: $x$ arranca en $2$ y $y$ en $0$ . La diferencia entre las dos, $2e^{-t}$ , se apaga; el sistema «olvida» las condiciones iniciales y las dos incógnitas acaban siendo la misma función.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 29 de junio de 2022 · Cálculo, UPV/EHU · Este no entra en el examen global del cuadernillo · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una rampa que solo ocupa media onda, y la suma que sale del origen

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(t)$ la función periódica de periodo $T=2\pi$ definida de la siguiente forma:

f(t)= \begin{cases} 0 & -\pi<t\le0\\ t & 0<t<\pi \end{cases}

a) Dibujar la función periódica $f(t)$ .

b) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

c) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=3\pi$ .

d) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2n-1\right)^{2}}$ .

Los cuatro apartados.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Es esta función par, impar, o ninguna de las dos?
02
El término constante
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{a_{0}}{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en el punto grande
COMP2
¿Cuánto vale $S\left(3\pi\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado d). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los cosenos salen $a_{n}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\left(-1\right)^{n}-1}{n^{2}}$ : cero si $n$ es par y $-\frac{2}{\pi n^{2}}$ si es impar.
2. En $t=0$ la función es continua —los dos lados valen cero— así que $S(0)=f(0)=0$ , y los senos se anulan todos.
3. Queda $0=\frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum\frac{1}{\left(2n-1 \right)^{2}}$ , y de ahí la suma vale $\frac{\pi^{2}}{8}$ .

Resolución completa

a) La función. Cero en media onda y una rampa en la otra, repetido cada $2\pi$ : una sierra con los dientes separados por tramos planos.

La función vale cero de menos pi a cero y sube linealmente de cero a pi, y ese patrón se repite. Los saltos están en los múltiplos impares de pi, donde cae de pi a cero.

Los saltos, que hay que localizar antes de nada: en $t=\pi$ —y en cada múltiplo impar— la función cae de $\pi$ a $0$ . En $t=0$ no hay salto: los dos lados valen cero.

b) La serie. La función no es par ni impar, así que hacen falta las dos familias de coeficientes.

\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}t\,dt=\frac{\pi}{4}

a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\cos nt\,dt =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\left(-1\right)^{n}-1}{n^{2}}

b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\operatorname{sen}nt\,dt =\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n}

Los $a_{n}$ se anulan para $n$ par y valen $-\frac{2}{\pi n^{2}}$ para $n$ impar:

\boxed{\;S(t)=\frac{\pi}{4} -\frac{2}{\pi}\sum_{n\ \text{impar}}\frac{\cos nt}{n^{2}} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n}\operatorname{sen}nt\;}

c) Los dos puntos.

punto	reduce a	qué hay ahí	$S$	$f$
$0$	$0$	continuo	$0$	$0$
$3\pi$	$\pi$	salto de $\pi$ a $0$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$

Y eso es lo que hay que justificar: en el origen la serie coincide con la función porque no hay salto; en $3\pi$ no, y la diferencia es de $\frac\pi2$ .

d) La suma. Evaluando en $t=0$ , donde todos los senos valen cero y todos los cosenos valen uno:

0=S(0)=\frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2n-1\right)^{2}}

\frac{2}{\pi}\sum=\frac{\pi}{4} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2n-1\right)^{2}} =\frac{\pi^{2}}{8}\;}

Por qué el origen es el punto bueno. Porque los senos se anulan todos —y son los que estorban— y los cosenos valen uno, dejando la suma desnuda. Y porque es continuo: si hubiera un salto, el lado izquierdo no sería $f(0)$ y la cuenta saldría otra. Evaluar en $\pi$ , por ejemplo, daría $\frac\pi2=\frac\pi4+\frac{2}{\pi}\sum$ , o sea la misma suma con otro camino — pero solo si se acuerda uno de poner $\frac\pi2$ y no $\pi$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2021-2022

Reconocer el camino

El exponente del módulo

El primer argumento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Reconocer el camino

Cuántos extremos

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente cuadrático

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El ángulo óptimo

El área máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La circulación completa

El resultado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La comprobación de la exacta

La constante de una solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Las raíces del sistema

La solución en un instante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término constante

El valor en el punto grande

Justificar el argumento