tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2016-2017

26 de junio de 2017 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un coseno que vale cincoNúmeros complejos0 + 9 + 1 = 10 pts
Resolver la ecuación $\cos z=5$ , $z\in\mathbb{C}$ .
Todas las soluciones complejas.
- COMP 29 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una función que crece siempre y no tiene ni un extremoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 3 + 6 = 10 pts
Sea la función $f\left(x\right)=\dfrac{x}{1-x^{2}}$ .

a) Calcular el dominio de definición de $f\left(x\right)$ . ¿En qué intervalos es creciente?

b) Razonar si tiene máximos y mínimos. En caso afirmativo hallarlos.

c) Calcular la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x=0$ .

d) Representar gráficamente $f\left(x\right)$ .
Dominio, crecimiento, extremos, la tangente en el origen y la gráfica.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 46 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Por qué la derivada se anula en un máximolos 10 puntos son demostración — cero cálculoEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 0 + 10 = 10 pts
Demostrar que si la función $h\left(x\right)$ es derivable y tiene un máximo en $x_{0}$ entonces $h'\left(x_{0}\right)=0$ .
La demostración del teorema de Fermat.
- COMP 410 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una integral que se calcula, y otra que no existeIntegración1 + 7 + 2 = 10 pts
a) Calcular $\displaystyle\int\frac{x^{2}+5}{x^{3}-2x^{2}+x}\,dx$

b) Calcular $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{x^{2}+5}{x^{3}-2x^{2}+x}\,dx$
La primitiva, y el valor de la integral definida.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cilindro dentro de una esfera, y dónde está su centroIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le1$ ; $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le5$ ; $z\ge0$ .

a) Dibujar el sólido y calcular su volumen.

b) Calcular las coordenadas del centro de gravedad del sólido.
El dibujo, el volumen y el centro de gravedad.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El área de diez, por tercera vezIntegral curvilínea3 + 5 + 2 = 10 pts
Calcular el valor de la integral curvilínea $I=\displaystyle\int_{L_{1}}-y\,dx+x\,dy$ sabiendo que el área sombreada de la figura vale $A=10$ .

Figura redibujada del enunciado. Arriba, la semicircunferencia de radio dos marcada como L2; abajo, la curva L1, que el enunciado no describe. Lo único que se sabe de ella es que va de (−2,0) a (2,0) y que encierra, con la de arriba, un área de diez.

El valor de la integral sobre L₁.
- COMP 13 puntos por reconocer
- COMP 25 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La lineal cuyo factor integrante es x al cuadradoEcuaciones diferenciales0 + 7 + 3 = 10 pts
Resolver la EDO $xy'+2y=\operatorname{sen}x$ , $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=4\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}$ , con $x>0$ .
La solución del problema de valores iniciales.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un sistema cruzado donde una incógnita sale solaTransformada de Laplace0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver el siguiente problema utilizando la transformada de Laplace:
$\begin{cases} x'+y=2\\ y'+x=t\\ x\left(0\right)=1,\;y\left(0\right)=0 \end{cases}$
Las dos funciones x(t) e y(t).
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2017 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un coseno que vale cinco

COMP 29 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la ecuación $\cos z=5$ , $z\in\mathbb{C}$ .

Todas las soluciones complejas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado insiste en que $z$ es complejo?
02
La incógnita auxiliar
COMP2
Llamando $w=e^{iz}$ , la ecuación queda $w+\frac1w=10$ . ¿Cuál es la raíz mayor?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La parte imaginaria
COMP2
¿Cuál es la parte imaginaria positiva de las soluciones?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por definición $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ , así que con $w=e^{iz}$ la ecuación es $w^{2}-10w+1=0$ .
2. Sus raíces son $5\pm2\sqrt6$ , y su producto vale $1$ : una es la inversa de la otra.
3. Deshaciendo la exponencial, $z=-i\ln w+2k\pi$ , y las dos raíces dan el mismo conjunto: $z=2k\pi\pm i\ln\left(5+2\sqrt6\right)$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Resolución completa

Por qué hace falta salir de los reales. El coseno de un real vive entre $-1$ y $1$ : no hay ningún $x$ con $\cos x=5$ . El de un complejo, en cambio, no está acotado, y basta mirar el eje imaginario para verlo:

\cos\left(bi\right)=\cosh b\;\xrightarrow[b\to\infty]{}\;+\infty

La definición, que es todo el ejercicio.

\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

Llamando $w=e^{iz}$ , la ecuación $\cos z=5$ se vuelve algebraica:

\frac{w+\frac1w}{2}=5 \;\Longrightarrow\; w^{2}-10w+1=0 \;\Longrightarrow\; w=\frac{10\pm\sqrt{96}}{2}=5\pm2\sqrt6

Las dos raíces son positivas y una es la inversa de la otra: $\left(5+2\sqrt6\right)\left(5-2\sqrt6\right)=25-24=1$ . Eso adelanta que las dos van a dar el mismo conjunto de soluciones con el signo cambiado.

Deshacer la exponencial. Aquí es donde aparece el infinito:

e^{iz}=w \;\Longrightarrow\; iz=\operatorname{Ln}w=\ln\left|w\right|+i\left(\arg w+2k\pi\right)

Como $w$ es real y positivo, $\arg w=0$ :

iz=\ln w+2k\pi i \;\Longrightarrow\; z=2k\pi-i\ln w

Y con las dos raíces, usando $\ln\left(5-2\sqrt6\right)=-\ln\left(5+2\sqrt6\right)$ :

\boxed{\;z=2k\pi\pm i\ln\left(5+2\sqrt6\right),\qquad k\in\mathbb{Z}\;}

Numéricamente, $\ln\left(5+2\sqrt6\right)\approx2{,}2924$ , así que las soluciones son $\ldots,\;-2\pi\pm2{,}2924i,\;\pm2{,}2924i,\; 2\pi\pm2{,}2924i,\;\ldots$

Las soluciones de cos z = 5. Dos filas horizontales infinitas, a altura más y menos ln(5+2√6), con los puntos separados por 2π dentro de cada fila. Ninguna cae sobre el eje real: la ecuación no tiene solución en los reales.

La comprobación, que se hace sin calculadora. Para $z=bi$ con $b=\ln\left(5+2\sqrt6\right)$ :

\cos\left(bi\right)=\cosh b=\frac{e^{b}+e^{-b}}{2} =\frac{\left(5+2\sqrt6\right)+\left(5-2\sqrt6\right)}{2} =\frac{10}{2}=5\;\checkmark

Los radicales se cancelan solos. Que la comprobación salga tan limpia no es casualidad: es la misma relación de inversas de antes, vista desde el otro lado.

Una forma alternativa de escribirlo. Como $\ln\left(5+2\sqrt6\right)=\operatorname{arccosh}5$ , la respuesta se puede dar como $z=2k\pi\pm i\operatorname{arccosh}5$ . Es la misma, y deja ver de un vistazo de dónde sale el $5$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2017 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una función que crece siempre y no tiene ni un extremo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 46 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f\left(x\right)=\dfrac{x}{1-x^{2}}$ .

a) Calcular el dominio de definición de $f\left(x\right)$ . ¿En qué intervalos es creciente?

b) Razonar si tiene máximos y mínimos. En caso afirmativo hallarlos.

c) Calcular la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x=0$ .

d) Representar gráficamente $f\left(x\right)$ .

Dominio, crecimiento, extremos, la tangente en el origen y la gráfica.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si $f'\left(x\right)>0$ en todo el dominio, ¿qué se puede afirmar?
02
La derivada en el origen
COMP2
¿Cuánto vale $f'\left(0\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El número de extremos
COMP2
¿Cuántos máximos o mínimos locales tiene $f$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El denominador se anula en $x=\pm1$ , así que el dominio es $\mathbb{R}\setminus\left\{-1,1\right\}$ .
2. $f'\left(x\right)=\frac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}$ , con numerador y denominador estrictamente positivos: $f'>0$ en todo el dominio.
3. Por tanto $f$ es creciente en cada uno de los tres intervalos $\left(-\infty,-1\right)$ , $\left(-1,1\right)$ y $\left(1,+\infty\right)$ .

Resolución completa

a) Dominio y crecimiento. El denominador $1-x^{2}$ se anula en $x=\pm1$ :

\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\left\{-1,\,1\right\} =\left(-\infty,-1\right)\cup\left(-1,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)

La derivada, por la regla del cociente:

f'\left(x\right) =\frac{\left(1-x^{2}\right)-x\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}} =\frac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}

Numerador $\ge1$ y denominador un cuadrado: $f'>0$ en todo el dominio. Luego $f$ crece en cada uno de los tres intervalos.

Y aquí está el punto fino del ejercicio, que es donde se van los seis puntos de COMP 4: no es cierto que $f$ sea creciente en todo su dominio, porque el dominio no es un intervalo. Un contraejemplo de una línea:

-2<0 \qquad\text{y sin embargo}\qquad f\left(-2\right)=\frac{-2}{1-4}=\frac23>0=f\left(0\right)

b) Extremos. Un extremo local de una función derivable exige $f'=0$ (Fermat), y aquí $f'$ no se anula nunca. Los puntos $x=\pm1$ tampoco valen: no pertenecen al dominio.

\boxed{\;f\text{ no tiene ni máximos ni mínimos}\;}

c) La tangente en el origen. $f\left(0\right)=0$ y $f'\left(0\right)=1$ :

\boxed{\;y=x\;}

d) La gráfica. Lo que hay que decir antes de dibujar:


simetría	$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ : impar, simétrica respecto del origen
asíntotas verticales	$x=-1$ y $x=1$
asíntota horizontal	$y=0$ , porque el grado de abajo es mayor
corte con los ejes	solo el origen
signo	$f>0$ en $\left(-\infty,-1\right)$ y en $\left(0,1\right)$

Los límites laterales, que deciden hacia dónde se va cada rama:

\lim_{x\to1^{-}}f=+\infty,\quad \lim_{x\to1^{+}}f=-\infty,\quad \lim_{x\to-1^{-}}f=+\infty,\quad \lim_{x\to-1^{+}}f=-\infty

Las tres ramas de f, separadas por las asíntotas x = ±1. Cada una sube, pero la función no es creciente en todo su dominio: f(−2) = 2/3 queda por encima de f(0) = 0. La recta y = x es la tangente en el origen.

La lectura del dibujo. Las tres ramas suben, cada una por su cuenta, y entre ellas la función «reaparece» desde $-\infty$ . Esa es la imagen de por qué la derivada positiva no basta para decir «creciente»: la función sube dentro de cada tramo y se despeña al pasar de uno a otro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2017 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El mismo teorema, con otras palabras, cayó en la segunda evaluación de 2019-2020 y en la de 2016-2017 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Por qué la derivada se anula en un máximo

COMP 410 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que si la función $h\left(x\right)$ es derivable y tiene un máximo en $x_{0}$ entonces $h'\left(x_{0}\right)=0$ .

La demostración del teorema de Fermat.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la idea de la demostración?
02
El valor de la derivada
COMP2
Si el cociente incremental está acotado por $\le0$ por un lado y por $\ge0$ por el otro, ¿cuánto vale $h'\left(x_{0}\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como $h$ tiene un máximo local en $x_{0}$ , existe $\delta>0$ tal que $h\left(x_{0}+t\right)\le h\left(x_{0}\right)$ para $\left|t\right|<\delta$ : el numerador del cociente incremental es $\le0$ .
2. Para $0<t<\delta$ el denominador es positivo, así que el cociente es $\le0$ , y su límite —que existe por hipótesis— cumple $h'\left(x_{0}\right)\le0$ .
3. Para $-\delta<t<0$ el denominador es negativo, así que el cociente es $\ge0$ y $h'\left(x_{0}\right)\ge0$ .

Resolución completa

El enunciado, y una hipótesis que se calla. Tal como está escrito falta decir que $x_{0}$ es un punto interior del dominio. Si no, el resultado es falso: $h\left(x\right)=-x$ en $\left[0,1\right]$ tiene su máximo en $x=0$ y $h'\left(0\right)=-1$ . Conviene empezar la demostración diciéndolo: es un punto de COMP 4 gratis, y este ejercicio es COMP 4 entero.

La demostración. Sea $x_{0}$ interior, $h$ derivable en $x_{0}$ y con un máximo local ahí. Por definición de máximo local, existe $\delta>0$ tal que

h\left(x_{0}+t\right)\le h\left(x_{0}\right) \qquad\text{para todo }\left|t\right|<\delta

es decir, el numerador del cociente incremental nunca es positivo:

h\left(x_{0}+t\right)-h\left(x_{0}\right)\le0

Todo lo demás lo decide el signo del denominador.

Por la derecha, con $0<t<\delta$ :

\frac{h\left(x_{0}+t\right)-h\left(x_{0}\right)}{t}\le0 \;\Longrightarrow\; h'\left(x_{0}\right)=\lim_{t\to0^{+}} \frac{h\left(x_{0}+t\right)-h\left(x_{0}\right)}{t}\le0

Por la izquierda, con $-\delta<t<0$ , el denominador es negativo y la desigualdad se da la vuelta:

\frac{h\left(x_{0}+t\right)-h\left(x_{0}\right)}{t}\ge0 \;\Longrightarrow\; h'\left(x_{0}\right)=\lim_{t\to0^{-}} \frac{h\left(x_{0}+t\right)-h\left(x_{0}\right)}{t}\ge0

Los dos límites son el mismo número, porque $h$ es derivable en $x_{0}$ y eso significa exactamente que los dos laterales existen y coinciden. Y un número real que es a la vez $\le0$ y $\ge0$ solo puede ser uno:

\boxed{\;h'\left(x_{0}\right)=0\;}

Las dos secantes desde el máximo. La de la izquierda tiene pendiente no negativa y la de la derecha no positiva, y las dos son cocientes incrementales: al acercar los puntos, sus límites atrapan a h′(x₀) entre 0 y 0.

Dos avisos que se agradecen en la corrección.

El paso al límite conserva el $\le$ , no el $<$ . Aunque el cociente fuese estrictamente negativo para todo $t>0$ , del límite solo se puede concluir $\le0$ . Aquí da igual, pero escribir $<$ ahí es un error.
El recíproco es falso. Que $h'\left(x_{0}\right)=0$ no da máximo: $h\left(x\right)=x^{3}$ en el origen. Este teorema solo sirve para buscar candidatos, no para clasificarlos.

Por qué este ejercicio vale diez puntos de COMP 4 y cero de cálculo. No hay ninguna cuenta. Lo que se puntúa es escribir la definición de máximo local con su $\delta$ , distinguir los dos límites laterales, justificar por qué coinciden y cerrar con la antisimetría. Es el ejercicio más puro de COMP 4 del corpus, y el mismo teorema ha caído al menos tres veces.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2017 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una integral que se calcula, y otra que no existe

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular $\displaystyle\int\frac{x^{2}+5}{x^{3}-2x^{2}+x}\,dx$

b) Calcular $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{x^{2}+5}{x^{3}-2x^{2}+x}\,dx$

La primitiva, y el valor de la integral definida.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se descompone el denominador $x^{3}-2x^{2}+x$ ?
02
El coeficiente del término dominante
COMP2
En $\frac{x^{2}+5}{x\left(x-1\right)^{2}} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{\left(x-1\right)^{2}}$ , ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Una integral que sí existe
COMP2
Sobre un intervalo sin polos, la primitiva sirve. ¿Cuánto vale $\displaystyle\int_{2}^{3}\frac{x^{2}+5}{x^{3}-2x^{2}+x}\,dx$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El integrando es $\frac{x^{2}+5}{x\left(x-1\right)^{2}}$ , que no está definido en $x=0$ ni en $x=1$ .
2. El intervalo $\left[-1,1\right]$ contiene el $0$ en su interior y el $1$ como extremo: hay dos puntos donde el integrando se dispara.
3. Cerca de $x=0$ el integrando se comporta como $\frac5x$ , cuya integral impropia diverge, así que la integral del apartado b) no existe.

Resolución completa

a) La primitiva. Lo primero es factorizar el denominador, y sale un cuadrado perfecto:

x^{3}-2x^{2}+x=x\left(x^{2}-2x+1\right)=x\left(x-1\right)^{2}

Raíz simple en $0$ y doble en $1$ , así que la descomposición lleva tres fracciones:

\frac{x^{2}+5}{x\left(x-1\right)^{2}} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{\left(x-1\right)^{2}}

x^{2}+5=A\left(x-1\right)^{2}+Bx\left(x-1\right)+Cx

se hace	sale
$x=0$	$5=A$
$x=1$	$6=C$
coeficiente de $x^{2}$	$1=A+B\;\Rightarrow\;B=-4$

\frac{x^{2}+5}{x\left(x-1\right)^{2}} =\frac{5}{x}-\frac{4}{x-1}+\frac{6}{\left(x-1\right)^{2}}

Los tres términos se integran de vista, y el tercero no da logaritmo:

\boxed{\;\int\frac{x^{2}+5}{x^{3}-2x^{2}+x}\,dx =5\ln\left|x\right|-4\ln\left|x-1\right|-\frac{6}{x-1}+K\;}

La comprobación, que en las fracciones simples es barata: se evalúa la descomposición y el original en un punto cualquiera. En $x=2$ los dos dan $\frac92$ ; en $x=-1$ , los dos dan $-\frac32$ .

b) La que no existe. Aquí la respuesta no es un número.

El integrando tiene dos puntos malos y los dos caen en el intervalo: $x=0$ está dentro y $x=1$ es el extremo derecho. Cerca del cero el integrando se comporta como

\frac{x^{2}+5}{x\left(x-1\right)^{2}}\approx\frac{5}{x}

y $\int\frac{dx}{x}$ diverge en el origen. Con el criterio de comparación basta, pero también se ve calculando:

\int_{-1}^{-\varepsilon} \xrightarrow[\varepsilon\to0^{+}]{}\;-\infty

$\varepsilon$	$\int_{-1}^{-\varepsilon}$
$0{,}1$	$-6{,}67$
$0{,}01$	$-17{,}35$
$0{,}001$	$-28{,}78$
$0{,}0001$	$-40{,}28$

\boxed{\;\text{la integral del apartado b) es divergente: no existe}\;}

El error que este apartado está buscando. La primitiva del apartado a) está ahí, tentando: se evalúa en $-1$ y en $1$ y sale un número. Pero Barrow exige continuidad en todo el intervalo cerrado, y aquí el integrando ni siquiera está definido en dos de sus puntos. El número que saldría no sería el área de nada.

Es el mismo motivo por el que $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}$ no vale $-2$ —que es lo que da Barrow a lo bruto— sino que diverge a $+\infty$ : un integrando positivo no puede dar una integral negativa, y esa contradicción es la señal de alarma.

Cómo se escribe la respuesta. No basta con «diverge»: hay que decir dónde —en $x=0$ , y también en $x=1$ — y por qué —comparación con $\frac1x$ —. Son los dos puntos de COMP 4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2017 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · Es el mismo sólido que el ejercicio 1 del segundo cuatrimestral de la extraordinaria de 2020-2021, con otros radios y girado de eje · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cilindro dentro de una esfera, y dónde está su centro

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le1$ ; $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le5$ ; $z\ge0$ .

a) Dibujar el sólido y calcular su volumen.

b) Calcular las coordenadas del centro de gravedad del sólido.

El dibujo, el volumen y el centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué forma tiene la tapa de arriba del sólido?
02
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del sólido?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura del centro de gravedad
COMP2
¿Cuánto vale $\overline{z}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría de revolución alrededor de OZ, $\overline{x}=\overline{y}=0$ : solo hay una coordenada que calcular.
2. En cilíndricas el sólido es $0\le r\le1$ , $0\le\theta\le2\pi$ , $0\le z\le\sqrt{5-r^{2}}$ , y $V=\frac{2\pi}{3}\left(5\sqrt5-8\right)$ .
3. $\int z\,dV=\frac{9\pi}{4}$ , así que $\overline{z}=\frac{27}{8\left(5\sqrt5-8\right)}\approx1{,}06$ .

Resolución completa

a) Qué sólido es. Tres condiciones, y conviene leerlas por separado:

condición	qué es
$x^{2}+y^{2}\le1$	dentro de un cilindro de radio $1$ y eje OZ
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\le5$	dentro de la esfera de radio $\sqrt5$
$z\ge0$	solo la mitad de arriba

Como $1<\sqrt5$ , el cilindro es más estrecho: la pared lateral la pone él y el techo lo pone la esfera. Es un cilindro con la tapa abombada. En el borde, $r=1$ , el techo está a $z=\sqrt{5-1}=2$ ; en el eje llega hasta $\sqrt5\approx2{,}24$ .

La sección del sólido por un plano que contiene al eje OZ. La pared es el cilindro de radio 1 y el techo el casquete de la esfera de radio √5: en el borde llega a z = 2 y en el eje a √5. Girando esta figura alrededor del eje vertical se obtiene el sólido.

El volumen. Cilíndricas, con $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$ :

V=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{\sqrt{5-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}r\sqrt{5-r^{2}}\;dr

Con el cambio $u=5-r^{2}$ , $du=-2r\,dr$ :

V=2\pi\left[-\frac13\left(5-r^{2}\right)^{3/2}\right]_{0}^{1} =\frac{2\pi}{3}\left(5^{3/2}-4^{3/2}\right)

\boxed{\;V=\frac{2\pi}{3}\left(5\sqrt5-8\right)\approx6{,}66\;}

La comprobación de tamaño. El cilindro con tapa plana a la altura $2$ mediría $\pi\cdot1^{2}\cdot2=2\pi\approx6{,}28$ , y el sólido tiene además el casquete de encima: $6{,}66$ es un poco más, que es lo que debe ser.

b) El centro de gravedad. Densidad constante, así que es el centroide. Por simetría de revolución $\overline{x}=\overline{y}=0$ —y decirlo así ahorra dos integrales y da puntos de COMP 4—.

Integrando primero en $z$ , que deja un cuadrado:

\int_{0}^{\sqrt{5-r^{2}}}z\,dz=\frac{5-r^{2}}{2}

\int_{S}z\,dV=2\pi\int_{0}^{1}\frac{5-r^{2}}{2}\,r\,dr =\pi\left[\frac{5r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{9\pi}{4}

\overline{z}=\frac{9\pi/4}{\frac{2\pi}{3}\left(5\sqrt5-8\right)} =\frac{27}{8\left(5\sqrt5-8\right)}

\boxed{\;G=\left(0,\,0,\;\frac{27}{8\left(5\sqrt5-8\right)}\right) \approx\left(0;\,0;\,1{,}06\right)\;}

¿Es razonable? El sólido va de $z=0$ a $z=\sqrt5\approx2{,}24$ , y es casi un cilindro: el casquete de arriba aporta poco volumen. Un cilindro puro de altura $2$ tendría el centro en $1$ ; el casquete lo sube un poco, a $1{,}06$ . Encaja.

Para comparar, media esfera maciza de radio $\sqrt5$ lo tendría en $\frac{3\sqrt5}{8}\approx0{,}84$ , más abajo, porque su parte ancha está pegada al suelo. Aquí el cilindro corta justamente esa parte ancha.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2017 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · Enunciado y figura idénticos al ejercicio 1 del segundo cuatrimestral de la extraordinaria de 2021-2022 y al 2 del segundo parcial de la de 2023-2024; la figura está redibujada del original. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El área de diez, por tercera vez

COMP 13 puntos por reconocer
COMP 25 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el valor de la integral curvilínea $I=\displaystyle\int_{L_{1}}-y\,dx+x\,dy$ sabiendo que el área sombreada de la figura vale $A=10$ .

Figura redibujada del enunciado. Arriba, la semicircunferencia de radio dos marcada como L2; abajo, la curva L1, que el enunciado no describe. Lo único que se sabe de ella es que va de (−2,0) a (2,0) y que encierra, con la de arriba, un área de diez.

El valor de la integral sobre L₁.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se puede resolver sin conocer la ecuación de $L_{1}$ ?
02
La circulación por la curva cerrada
COMP2
¿Cuánto vale $\oint_{L_{1}\cup L_{2}}-y\,dx+x\,dy$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El tramo semicircular
COMP2
¿Cuánto vale la integral a lo largo de $L_{2}$ , la semicircunferencia de radio $2$ de $\left(2,0\right)$ a $\left(-2,0\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $L_{1}$ y $L_{2}$ juntas forman una curva cerrada que encierra el recinto sombreado, de área $10$ .
2. Con $P=-y$ y $Q=x$ , Green da $\oint_{L_{1}\cup L_{2}}=\iint_{D}2\,dA=2\cdot10=20$ .
3. Sobre $L_{2}$ , parametrizando la semicircunferencia de radio $2$ , la integral vale $4\pi$ .

Resolución completa

Por qué el enunciado no da la curva. El campo es $P=-y$ , $Q=x$ , y su rotacional escalar es constante:

\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1-\left(-1\right)=2

Cuando esa diferencia es constante, la integral doble de Green solo depende del área, no de la forma:

\oint_{L_{1}\cup L_{2}}-y\,dx+x\,dy=\iint_{D}2\,dA=2A=20

Es la fórmula del área por integral curvilínea leída al revés: $A=\frac12\oint\left(-y\,dx+x\,dy\right)$ .

El trozo que sí se conoce. $L_{2}$ es la semicircunferencia superior de radio $2$ , recorrida de $\left(2,0\right)$ a $\left(-2,0\right)$ , o sea con $\theta$ de $0$ a $\pi$ . Parametrizando $x=2\cos\theta$ , $y=2\operatorname{sen}\theta$ :

-y\,dx+x\,dy=4\operatorname{sen}^{2}\theta\,d\theta +4\cos^{2}\theta\,d\theta=4\,d\theta

\int_{L_{2}}=\int_{0}^{\pi}4\,d\theta=4\pi

Que el integrando salga constante tampoco es casualidad: para una circunferencia centrada en el origen, $-y\,dx+x\,dy=r^{2}d\theta$ .

Y por diferencia:

\boxed{\;I=\int_{L_{1}}=20-4\pi\approx7{,}43\;}

La comprobación de sentido. El área que $L_{2}$ encierra con el eje OX es $\frac{\pi\cdot2^{2}}{2}=2\pi\approx6{,}28$ , y su circulación es $4\pi=2\cdot2\pi$ , o sea el doble de esa media luna, como manda la fórmula. El resto, $20-4\pi$ , corresponde a las $10-2\pi\approx3{,}72$ unidades de área que $L_{1}$ añade por debajo del eje. Todo cuadra.

Este ejercicio ha caído tres veces: aquí en 2016-2017, otra vez en 2021-2022 y otra en 2023-2024, con la misma figura y el mismo $A=10$ . En una ruta de estudio de la extraordinaria, es de los primeros que hay que saber hacer.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2017 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La lineal cuyo factor integrante es x al cuadrado

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $xy'+2y=\operatorname{sen}x$ , $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=4\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}$ , con $x>0$ .

La solución del problema de valores iniciales.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tipo de ecuación es y cómo se ataca?
02
La constante de integración
COMP2
De $x^{2}y=-x\cos x+\operatorname{sen}x+C$ y la condición inicial, ¿cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en x = π
COMP2
¿Cuánto vale $y\left(\pi\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Dividiendo entre $x$ —lícito porque $x>0$ — queda $y'+\frac{2}{x}y=\frac{\operatorname{sen}x}{x}$ , lineal de primer orden.
2. El factor integrante es $e^{\int\frac2x dx}=e^{2\ln x}=x^{2}$ , y con él el miembro izquierdo es $\left(x^{2}y\right)'$ .
3. $\left(x^{2}y\right)'=x\operatorname{sen}x$ , y por partes $x^{2}y=-x\cos x+\operatorname{sen}x+C$ .

Resolución completa

El tipo. Con $x>0$ se puede dividir:

y'+\frac{2}{x}\,y=\frac{\operatorname{sen}x}{x}

Lineal de primer orden. El factor integrante es

\mu\left(x\right)=e^{\int\frac{2}{x}dx}=e^{2\ln x}=x^{2}

y multiplicando la ecuación original —no la normalizada, que es lo cómodo aquí— por $x$ :

x^{2}y'+2xy=x\operatorname{sen}x \;\Longleftrightarrow\; \left(x^{2}y\right)'=x\operatorname{sen}x

Merece la pena comprobar el paso, porque es donde se resbala: la derivada de $x^{2}y$ es $x^{2}y'+2xy$ , que es exactamente el miembro izquierdo multiplicado por $x$ ✓.

La integral, por partes. Con $u=x$ y $dv=\operatorname{sen}x\,dx$ :

\int x\operatorname{sen}x\,dx =-x\cos x+\int\cos x\,dx =-x\cos x+\operatorname{sen}x+C

x^{2}y=-x\cos x+\operatorname{sen}x+C

La condición inicial. El enunciado la escribe como $4\left(\frac2\pi\right)^{2}$ , y no por gusto: multiplicada por $x^{2}=\frac{\pi^{2}}{4}$ da un número redondo.

\frac{\pi^{2}}{4}\cdot 4\cdot\frac{4}{\pi^{2}}=4

4=-\frac{\pi}{2}\underbrace{\cos\frac{\pi}{2}}_{0} +\underbrace{\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}}_{1}+C \;\Longrightarrow\; C=3

\boxed{\;y\left(x\right)= \frac{3+\operatorname{sen}x-x\cos x}{x^{2}}\;}

La comprobación. En $x=\frac{\pi}{2}$ :

y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3+1-0}{\pi^{2}/4} =\frac{16}{\pi^{2}}=4\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}\;\checkmark

Y derivando la solución en un punto cualquiera, por ejemplo $x=2{,}5$ : $xy'+2y$ sale $0{,}5985$ , que es $\operatorname{sen}2{,}5$ ✓.

Por qué la condición $x>0$ no es decoración. El factor integrante lleva un $\ln x$ , y la solución un $x^{2}$ en el denominador: en $x=0$ todo se rompe. La ecuación original, $xy'+2y=\operatorname{sen}x$ , ni siquiera determina $y'$ en el origen. Decir eso en el examen es uno de los tres puntos de COMP 4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2017 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un sistema cruzado donde una incógnita sale sola

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver el siguiente problema utilizando la transformada de Laplace:

\begin{cases} x'+y=2\\ y'+x=t\\ x\left(0\right)=1,\;y\left(0\right)=0 \end{cases}

Las dos funciones x(t) e y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la transformada del segundo miembro de la segunda ecuación, $t$ ?
02
El determinante del sistema
COMP2
Al transformar queda $sX+Y=\frac{s+2}{s}$ y $X+sY=\frac{1}{s^{2}}$ . ¿Cuál es el determinante de la matriz de coeficientes, evaluado en $s=3$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La segunda función en t = 1
COMP2
¿Cuánto vale $y\left(1\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando con $x\left(0\right)=1$ e $y\left(0\right)=0$ : $sX-1+Y=\frac2s$ y $sY+X=\frac{1}{s^{2}}$ .
2. El determinante es $s^{2}-1=\left(s-1\right)\left(s+1\right)$ , y al despejar $Y$ el factor $s+1$ se cancela con el numerador: $Y=\frac{-1}{s\left(s-1\right)}$ .
3. Antitransformando, $y\left(t\right)=1-e^{t}$ ; y con $X=\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s-1}$ sale $x\left(t\right)=t+e^{t}$ .

Resolución completa

Transformar. Con $\mathcal{L}\left\{x'\right\}=sX-x\left(0\right)$ , $\mathcal{L}\left\{2\right\}=\frac2s$ y $\mathcal{L}\left\{t\right\}=\frac{1}{s^{2}}$ :

\begin{cases} sX-1+Y=\dfrac{2}{s}\\[6pt] sY-0+X=\dfrac{1}{s^{2}} \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} sX+Y=\dfrac{s+2}{s}\\[6pt] X+sY=\dfrac{1}{s^{2}} \end{cases}

Resolver. El determinante es

\Delta=s^{2}-1=\left(s-1\right)\left(s+1\right)

Para $Y$ :

Y=\frac{1}{\Delta}\left(s\cdot\frac{1}{s^{2}}-1\cdot\frac{s+2}{s}\right) =\frac{1}{\Delta}\cdot\frac{1-\left(s+2\right)}{s} =\frac{-\left(s+1\right)}{s\left(s-1\right)\left(s+1\right)}

El $s+1$ se cancela:

Y=\frac{-1}{s\left(s-1\right)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s-1} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;y\left(t\right)=1-e^{t}\;}

Para $X$ :

X=\frac{1}{\Delta}\left(\frac{s+2}{s}\cdot s-\frac{1}{s^{2}}\right) =\frac{\left(s+2\right)-\frac{1}{s^{2}}}{s^{2}-1} =\frac{s^{3}+2s^{2}-1}{s^{2}\left(s^{2}-1\right)}

El numerador se anula en $s=-1$ — $-1+2-1=0$ —, así que el $s+1$ vuelve a salir:

s^{3}+2s^{2}-1=\left(s+1\right)\left(s^{2}+s-1\right) \;\Longrightarrow\; X=\frac{s^{2}+s-1}{s^{2}\left(s-1\right)}

Y en fracciones simples:

\frac{s^{2}+s-1}{s^{2}\left(s-1\right)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s-1}

se hace	sale
$s=0$	$-1=-B\;\Rightarrow\;B=1$
$s=1$	$1=C$
coeficiente de $s^{2}$	$1=A+C\;\Rightarrow\;A=0$

X=\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s-1} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;x\left(t\right)=t+e^{t}\;}

Las comprobaciones, que valen los dos puntos de COMP 4:

qué	cuenta
$x\left(0\right)$	$0+1=1$ ✓
$y\left(0\right)$	$1-1=0$ ✓
$x'+y$	$\left(1+e^{t}\right)+\left(1-e^{t}\right)=2$ ✓
$y'+x$	$-e^{t}+\left(t+e^{t}\right)=t$ ✓

Lo que enseña. El determinante $s^{2}-1$ tiene dos raíces, y la tentación es escribir una solución con $e^{t}$ y $e^{-t}$ . Pero el $s+1$ se cancela en las dos incógnitas, y de la solución desaparece por completo: no hay ningún $e^{-t}$ .

Y las exponenciales que quedan se cancelan entre sí al sumarlas — $x'+y=2$ es constante—, que es la señal de que el sistema estaba construido para que la respuesta saliera limpia.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2016-2017

Reconocer el camino

La incógnita auxiliar

La parte imaginaria

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada en el origen

El número de extremos

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor de la derivada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente del término dominante

Una integral que sí existe

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen

La altura del centro de gravedad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La circulación por la curva cerrada

El tramo semicircular

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La constante de integración

El valor en x = π

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante del sistema

La segunda función en t = 1

Justificar el argumento