tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2017-2018

25 de junio de 2018 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una circunferencia y una recta, y los dos puntos que quedanNúmeros complejos1 + 8 + 1 = 10 pts
Obtener y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:
$\begin{cases} \left|z\right|=\left|\dfrac{1}{z}\right|\\[8pt] \left|z\right|=\left|1-z\right| \end{cases}$
Los complejos que cumplen las dos a la vez, y su dibujo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El cuadrado de la derivada, leído solo en el dibujoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 1 + 8 = 10 pts
Sea $f(x)$ la función dos veces derivable en $\left(a,b\right)$ cuya gráfica se muestra en la figura. Consideremos la función $h(x)=\left(f'(x)\right)^{2}$ .

a) Estudiar el crecimiento de $h(x)$ .

b) Estudiar la existencia de extremos locales de $h(x)$ .

Figura redibujada del enunciado. La curva sube desde a hasta un máximo, baja hasta un mínimo y vuelve a subir con fuerza hasta b. No hay escala: lo único que se puede leer son los signos.

Dónde crece h y dónde tiene extremos, leyéndolo en la gráfica de f.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 21 punto por calcular
- COMP 48 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La raíz de 0,9 sin calculadora, y cuánto te puedes equivocarEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la función $f\left(x\right)=\sqrt{1+x}$ .

a) Calcular el desarrollo de McLaurin de orden 2 de $f\left(x\right)$ .

b) Utilizando el desarrollo anterior calcular el valor aproximado de $\sqrt{0{,}9}$ .

c) Acotar el error cometido en dicho cálculo.
El polinomio, la aproximación y una cota del error.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Hacia dónde nadar para calentarseFunciones reales de varias variables reales1 + 6 + 3 = 10 pts
La temperatura en la superficie de un lago viene dada por la función $T\left(x,y\right)=y^{2}x+x^{2}\ln x$ .

a) Un bañista se encuentra en el punto $\left(1,3\right)$ y se da cuenta de que se está quedando frío. ¿En qué dirección debe nadar para calentarse lo más rápido posible?

b) Si se dirigiese al punto $P\left(5,5\right)$ , ¿qué le pasaría, se calentaría o se enfriaría?
La dirección de máximo crecimiento, y el signo de la variación hacia P.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un paraboloide con tapa de cono, y dónde está su centroIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido delimitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z$ ; $x^{2}+y^{2}\le\left(z-2\right)^{2}$ ; $z\le2$ .

a) Dibujar $S$ y calcular el área de su superficie.

b) Suponiendo que la densidad en cada punto es constante, calcular las coordenadas del centro de gravedad de $S$ .
El dibujo, el área de la superficie y el centro de gravedad.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El factor que convierte una EDO cualquiera en una exactaEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
a) Demostrar que $g\left(x,y\right)=\left(x+y\right)^{2}$ es un factor integrante de la EDO $3y\,dx+\left(x+4y\right)dy=0$ .

b) Resolver la EDO anterior utilizando el factor integrante.
La comprobación del factor y la solución general.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un sistema acoplado cuya respuesta es la más simple posibleTransformada de Laplace0 + 8 + 2 = 10 pts
Utilizando la transformada de Laplace, resolver el sistema
$\begin{cases} x'\left(t\right)=x\left(t\right)+y\left(t\right)-e^{t}\\ y'\left(t\right)=x\left(t\right)-y\left(t\right)+e^{t}\\ x\left(0\right)=y\left(0\right)=1 \end{cases}$
Las dos funciones x(t) e y(t).
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La rampa, su espectro y la serie de LeibnizIntroducción al análisis de Fourier1 + 6 + 3 = 10 pts
Sea $f\left(t\right)$ la función periódica de periodo $2\pi$ , $f\left(t\right)=\dfrac{t}{2}$ , $-\pi\le t<\pi$ .

a) Representar gráficamente la función.

b) Obtener la serie de Fourier, $S\left(t\right)$ , de la función.

c) Calcular los valores de $S\left(t\right)$ y $f\left(t\right)$ en los puntos $t=0$ y $t=\dfrac{\pi}{2}$ .

d) Dibujar el espectro discreto correspondiente a los cinco primeros armónicos.

e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}$ .
El dibujo, la serie, dos valores, el espectro y la suma.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 25 de junio de 2018 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una circunferencia y una recta, y los dos puntos que quedan

COMP 11 punto por reconocer
COMP 28 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Obtener y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican las siguientes condiciones:

\begin{cases} \left|z\right|=\left|\dfrac{1}{z}\right|\\[8pt] \left|z\right|=\left|1-z\right| \end{cases}

Los complejos que cumplen las dos a la vez, y su dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué lugar geométrico describe la segunda condición, $\left|z\right|=\left|1-z\right|$ ?
02
El módulo
COMP2
De la primera condición, ¿cuánto vale $\left|z\right|$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Una de las dos soluciones
COMP2
¿Cuál es la solución con parte imaginaria positiva?
Tu respuesta al paso 3forma binómica, por ejemplo 0.5+0.866i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De $\left|z\right|=\left|\frac1z\right|=\frac{1}{\left|z\right|}$ sale $\left|z\right|^{2}=1$ : la circunferencia unidad.
2. De $\left|z-0\right|=\left|z-1\right|$ sale la mediatriz de $0$ y $1$ , que es la recta $x=\frac12$ .
3. La recta corta a la circunferencia en dos puntos: $\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i$ , que en polar son $e^{\pm i\pi/3}$ .

Resolución completa

La primera condición: un módulo. El módulo de un cociente es el cociente de los módulos, así que

\left|z\right|=\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{\left|z\right|} \;\Longrightarrow\; \left|z\right|^{2}=1 \;\Longrightarrow\; \left|z\right|=1

la circunferencia unidad, con el origen excluido de oficio porque $\frac1z$ no existe ahí — y de todos modos no la cumple.

La segunda condición: una distancia contra otra. Escribir $\left|1-z\right|=\left|z-1\right|$ deja la lectura a la vista:

\left|z-0\right|=\left|z-1\right|

$z$ equidista de $0$ y de $1$ , así que está en la mediatriz del segmento que los une: la recta vertical $x=\frac12$ .

Y con coordenadas sale lo mismo, por si hace falta escribirlo:

x^{2}+y^{2}=\left(1-x\right)^{2}+y^{2} \;\Longrightarrow\; 0=1-2x \;\Longrightarrow\; x=\tfrac12

El corte. Se sustituye $x=\frac12$ en $x^{2}+y^{2}=1$ :

y^{2}=1-\tfrac14=\tfrac34 \;\Longrightarrow\; y=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}

\boxed{\;z=\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\,i \;=\;e^{\pm i\pi/3}\;}

Las dos condiciones a la vez: la circunferencia de radio uno y la mediatriz de 0 y 1. Se cortan en dos puntos, que en polar son e elevado a más y menos i por pi tercios.

Lo que se ve al pasarlos a polar. Los dos tienen módulo $1$ y argumento $\pm60°$ : son dos de los seis vértices del hexágono regular inscrito en la circunferencia unidad, y también dos de las seis raíces sextas de la unidad. No es casualidad: el triángulo que forman $0$ , $1$ y $\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ tiene los tres lados de longitud $1$ , o sea que es equilátero, y por eso el ángulo en el origen es $60°$ .

La comprobación. Para $z=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ :


$\left\\|z\right\\|$	$\sqrt{\frac14+\frac34}=1$ ✓
$\left\\|\frac1z\right\\|$	$\frac11=1$ ✓
$\left\\|1-z\right\\|$	$\left\\|\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right\\|=1$ ✓

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 25 de junio de 2018 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · Enunciado y figura idénticos al ejercicio 2 del primer parcial de la extraordinaria de 2023-2024; la figura está redibujada del original. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El cuadrado de la derivada, leído solo en el dibujo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 21 punto por calcular
COMP 48 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(x)$ la función dos veces derivable en $\left(a,b\right)$ cuya gráfica se muestra en la figura. Consideremos la función $h(x)=\left(f'(x)\right)^{2}$ .

a) Estudiar el crecimiento de $h(x)$ .

b) Estudiar la existencia de extremos locales de $h(x)$ .

Figura redibujada del enunciado. La curva sube desde a hasta un máximo, baja hasta un mínimo y vuelve a subir con fuerza hasta b. No hay escala: lo único que se puede leer son los signos.

Dónde crece h y dónde tiene extremos, leyéndolo en la gráfica de f.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que mirar en la gráfica de $f$ para saber dónde crece $h$ ?
02
El número de extremos de h
COMP2
¿Cuántos extremos locales tiene $h$ dentro de $\left(a,b\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de h en los extremos de f
COMP2
¿Cuánto vale $h$ en el máximo y en el mínimo de $f$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de $h$ . Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $h'=2f'f''$ , así que el signo de $h'$ es el producto de los signos de la pendiente y de la concavidad de $f$ .
2. Entre $a$ y el máximo, $f$ crece y es cóncava hacia abajo: $f'>0$ y $f''<0$ , luego $h$ decrece. Entre el máximo y la inflexión, $f'<0$ y $f''<0$ : $h$ crece.
3. Entre la inflexión y el mínimo, $f'<0$ y $f''>0$ : $h$ decrece. Y de ahí a $b$ , los dos son positivos: $h$ crece.

Resolución completa

La derivada, que es todo el ejercicio.

h\left(x\right)=\left(f'\left(x\right)\right)^{2} \;\Longrightarrow\; h'\left(x\right)=2\,f'\left(x\right)\,f''\left(x\right)

El $2$ no decide nada; el signo de $h'$ es el producto de dos signos que se leen directamente en el dibujo:

en la gráfica	qué se lee
la pendiente sube o baja	el signo de $f'$
la curva abre hacia arriba o hacia abajo	el signo de $f''$

Los puntos que parten el intervalo. En la gráfica hay tres, y hay que nombrarlos: el máximo $x_{1}$ , el punto de inflexión $x_{2}$ y el mínimo $x_{3}$ , con $a<x_{1}<x_{2}<x_{3}<b$ .

tramo	$f'$	$f''$	$h'$	$h$
$\left(a,x_{1}\right)$	$+$	$-$	$-$	decrece
$\left(x_{1},x_{2}\right)$	$-$	$-$	$+$	crece
$\left(x_{2},x_{3}\right)$	$-$	$+$	$-$	decrece
$\left(x_{3},b\right)$	$+$	$+$	$+$	crece

Arriba f y abajo h. Donde f se para —el máximo y el mínimo— h toca el cero, y donde f baja más deprisa —la inflexión— h tiene su máximo local. h mide cuánto cambia f, sin importar hacia dónde.

b) Los extremos. Tres, y de dos clases distintas:

En $x_{1}$ y en $x_{3}$ , donde $f'=0$ : ahí $h=0$ , y como $h$ es un cuadrado no puede bajar de cero. Son mínimos, y además absolutos.
En $x_{2}$ , el punto de inflexión: ahí $f''=0$ pero $f'\neq0$ , así que $h'$ se anula cambiando de $+$ a $-$ . Es un máximo local, y su valor es $\left(f'\left(x_{2}\right)\right)^{2}$ , el cuadrado de la pendiente más pronunciada del tramo intermedio.

La lectura corta. $h$ mide cuánto cambia $f$ , sin importar hacia dónde. Es cero donde $f$ se para y grande donde $f$ va deprisa, suba o baje. Contado así, la tabla de arriba se puede recitar mirando el dibujo: $h$ baja hasta el máximo de $f$ , sube hasta el punto de máxima pendiente de bajada, vuelve a bajar hasta el mínimo y se dispara.

Ocho de los diez puntos son COMP 4, y con razón: aquí no hay ni un número. Lo que se puntúa es nombrar los tres puntos, justificar cada signo con lo que se ve, y decir por qué los mínimos son absolutos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 25 de junio de 2018 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La raíz de 0,9 sin calculadora, y cuánto te puedes equivocar

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f\left(x\right)=\sqrt{1+x}$ .

a) Calcular el desarrollo de McLaurin de orden 2 de $f\left(x\right)$ .

b) Utilizando el desarrollo anterior calcular el valor aproximado de $\sqrt{0{,}9}$ .

c) Acotar el error cometido en dicho cálculo.

El polinomio, la aproximación y una cota del error.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para aproximar $\sqrt{0{,}9}$ con el desarrollo de $\sqrt{1+x}$ alrededor de $0$ , ¿qué valor de $x$ hay que tomar?
02
El coeficiente de x²
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de $x^{2}$ en el polinomio de McLaurin?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
¿Qué valor da el polinomio para $\sqrt{0{,}9}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cinco decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la acotación del error del apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El resto de Lagrange de orden 2 es $R_{2}\left(x\right)=\frac{f'''\left(\xi\right)}{3!}x^{3}$ con $\xi$ entre $0$ y $x$ .
2. $f'''\left(x\right)=\frac{3}{8\left(1+x\right)^{5/2}}$ , que en $\left[-0{,}1,\,0\right]$ es decreciente, así que su máximo está en $x=-0{,}1$ y vale $\frac{3}{8\cdot0{,}9^{5/2}}$ .
3. Con $\left|x\right|=0{,}1$ queda $\left|R_{2}\right|\le\frac{3}{8\cdot0{,}9^{5/2}}\cdot \frac{0{,}001}{6}\approx8{,}1\cdot10^{-5}$ .

Resolución completa

a) El desarrollo. Tres derivadas en el origen y ya está.

	fórmula	en $x=0$
$f$	$\left(1+x\right)^{1/2}$	$1$
$f'$	$\frac12\left(1+x\right)^{-1/2}$	$\frac12$
$f''$	$-\frac14\left(1+x\right)^{-3/2}$	$-\frac14$

\boxed{\;P_{2}\left(x\right)=1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}\;}

El signo menos del término cuadrático tiene lectura: la raíz cuadrada es cóncava, crece cada vez más despacio, y la parábola que la imita tiene que abrir hacia abajo.

b) La aproximación. Lo único que hay que decidir es el valor de $x$ , y se decide escribiendo el número como $1$ más algo pequeño:

0{,}9=1+\left(-0{,}1\right) \;\Longrightarrow\; x=-0{,}1

\sqrt{0{,}9}\approx P_{2}\left(-0{,}1\right) =1-0{,}05-\frac{0{,}01}{8} =\boxed{\;0{,}94875\;}

Tres restas de cabeza, que es exactamente el punto: en este examen no hay calculadora, y la cabecera lo dice por escrito.

c) La cota. El resto de Lagrange de un desarrollo de orden 2 es

R_{2}\left(x\right)=\frac{f'''\left(\xi\right)}{3!}\,x^{3}, \qquad \xi \text{ entre } 0 \text{ y } x

No se sabe dónde está $\xi$ , y no hace falta: basta con acotar $\left|f'''\right|$ en todo el intervalo.

f'''\left(x\right)=\frac{3}{8}\left(1+x\right)^{-5/2}

es decreciente, así que en $\left[-0{,}1,\,0\right]$ su máximo está en el extremo izquierdo:

\max\left|f'''\right|=\frac{3}{8\cdot\left(0{,}9\right)^{5/2}} \approx0{,}488

\left|R_{2}\right|\le \frac{3}{8\left(0{,}9\right)^{5/2}}\cdot\frac{\left(0{,}1\right)^{3}}{6} =\frac{1}{16\,000\left(0{,}9\right)^{5/2}} \approx8{,}1\cdot10^{-5}

\boxed{\;\left|\sqrt{0{,}9}-0{,}94875\right|<10^{-4}\;}

La comprobación. El error de verdad es $0{,}94875-0{,}9486833=6{,}7\cdot10^{-5}$ , y la cota daba $8{,}1\cdot10^{-5}$ : la cota es correcta y además ajustada, apenas un $22\,\%$ por encima. Una cota que saliera por debajo del error real sería un error de cuentas, y merece la pena hacer esta comparación siempre que se pueda.

Cuántos decimales se pueden dar. Como el error es menor que $10^{-4}$ , de $0{,}94875$ se pueden defender las tres primeras cifras decimales: $\sqrt{0{,}9}=0{,}949$ con seguridad. Decir « $0{,}94875$ » sin más es prometer cinco cifras que el método no garantiza.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 25 de junio de 2018 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Hacia dónde nadar para calentarse

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La temperatura en la superficie de un lago viene dada por la función $T\left(x,y\right)=y^{2}x+x^{2}\ln x$ .

a) Un bañista se encuentra en el punto $\left(1,3\right)$ y se da cuenta de que se está quedando frío. ¿En qué dirección debe nadar para calentarse lo más rápido posible?

b) Si se dirigiese al punto $P\left(5,5\right)$ , ¿qué le pasaría, se calentaría o se enfriaría?

La dirección de máximo crecimiento, y el signo de la variación hacia P.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué dirección crece más deprisa una función de dos variables?
02
La componente x del gradiente
COMP2
¿Cuánto vale $T_{x}\left(1,3\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La rapidez con la que se calienta
COMP2
Nadando en la mejor dirección, ¿a qué ritmo sube la temperatura por unidad de distancia?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El vector que va de $\left(1,3\right)$ a $P\left(5,5\right)$ es $\left(4,2\right)$ , y normalizado $\vec u=\frac{1}{\sqrt{20}}\left(4,2\right)$ .
2. La derivada direccional es $D_{\vec u}T=\nabla T\cdot\vec u =\frac{10\cdot4+6\cdot2}{\sqrt{20}}=\frac{52}{\sqrt{20}}$ .
3. Sale positiva, unas $11{,}6$ unidades de temperatura por unidad de distancia, así que se calentaría.

Resolución completa

a) El gradiente. Hay que derivar $x^{2}\ln x$ como un producto, y ahí está el único sitio donde se puede resbalar:

\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}\ln x\right) =2x\ln x+x^{2}\cdot\frac1x=2x\ln x+x

T_{x}=y^{2}+2x\ln x+x, \qquad T_{y}=2xy

En $\left(1,3\right)$ , con $\ln 1=0$ :

\nabla T\left(1,3\right)=\left(9+0+1,\;6\right)=\left(10,\,6\right)

La dirección, unitaria, es

\boxed{\;\vec u=\frac{\left(10,6\right)}{\sqrt{136}} =\frac{\left(5,3\right)}{\sqrt{34}} \approx\left(0{,}857;\,0{,}514\right)\;}

y nadando así la temperatura sube a razón de $\left|\nabla T\right|=2\sqrt{34}\approx11{,}66$ grados por unidad de distancia, que es lo máximo posible desde ese punto.

Merece la pena decir por qué es el máximo, porque son puntos de COMP 4: para $\vec u$ unitario,

D_{\vec u}T=\nabla T\cdot\vec u =\left|\nabla T\right|\cos\theta

y eso es máximo cuando $\cos\theta=1$ , es decir cuando $\vec u$ apunta como el gradiente.

b) Hacia $P\left(5,5\right)$ . Lo que decide es el signo de la derivada direccional en el punto de partida:

\vec v=P-\left(1,3\right)=\left(4,2\right), \qquad \left|\vec v\right|=\sqrt{20}=2\sqrt5

D_{\vec v/\left|\vec v\right|}T =\frac{\left(10,6\right)\cdot\left(4,2\right)}{2\sqrt5} =\frac{52}{2\sqrt5}=\frac{26}{\sqrt5}\approx11{,}63

\boxed{\;\text{positiva: se calentaría}\;}

Y casi tan deprisa como en la mejor dirección, $11{,}63$ frente a $11{,}66$ . No es casualidad: $\left(4,2\right)$ y $\left(10,6\right)$ apuntan casi al mismo sitio —el ángulo entre ellos es de unos $4°$ —, así que el coseno vale $0{,}997$ .

Un aviso sobre lo que se ha contestado. La derivada direccional es una respuesta en el punto de partida: dice qué pasa en los primeros metros. Que el bañista siga calentándose durante todo el trayecto es otra pregunta, y aquí la respuesta también es que sí —a lo largo de todo el segmento la derivada direccional se mantiene positiva—, pero eso hay que comprobarlo aparte, no se deduce del cálculo anterior. Y de hecho $T\left(1,3\right)=9$ mientras que $T\left(5,5\right)=125+25\ln5\approx165$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 25 de junio de 2018 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · Es el mismo sólido que el ejercicio 6 de la ordinaria de 2013-2014 y el 5 de la de 2021-2022, pero con el vértice del cono en 2 en vez de en 6, y aquí además se pide el centro de gravedad. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un paraboloide con tapa de cono, y dónde está su centro

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido delimitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z$ ; $x^{2}+y^{2}\le\left(z-2\right)^{2}$ ; $z\le2$ .

a) Dibujar $S$ y calcular el área de su superficie.

b) Suponiendo que la densidad en cada punto es constante, calcular las coordenadas del centro de gravedad de $S$ .

El dibujo, el área de la superficie y el centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con $z\le2$ , ¿qué superficie es $x^{2}+y^{2}=\left(z-2\right)^{2}$ ?
02
Dónde se cortan las dos superficies
COMP2
¿A qué distancia del eje se tocan el paraboloide y el cono?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área total de la superficie
COMP2
¿Cuánto mide la superficie de $S$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del centro de gravedad. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría de revolución alrededor del eje OZ, $\overline{x}=\overline{y}=0$ .
2. En cilíndricas el sólido es $0\le r\le1$ , $0\le\theta\le2\pi$ , $r^{2}\le z\le2-r$ , y $V=2\pi\int_{0}^{1}\left(2-r-r^{2}\right)r\,dr=\frac{5\pi}{6}$ .
3. $\int_{S}z\,dV=\pi\int_{0}^{1}\left[\left(2-r\right)^{2}-r^{4}\right] r\,dr=\frac{3\pi}{4}$ , así que $\overline{z}=\frac{3\pi/4}{5\pi/6}=\frac{9}{10}$ .

Resolución completa

a) Qué sólido es. Las tres condiciones, traducidas a cilíndricas $\left(r,\theta,z\right)$ con $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ :

condición	qué dice
$x^{2}+y^{2}\le z$	por encima del paraboloide $z=r^{2}$
$x^{2}+y^{2}\le\left(z-2\right)^{2}$	dentro del cono $r\le\left\\|z-2\right\\|$
$z\le2$	y por debajo de la altura del vértice

Las dos últimas juntas dicen $r\le2-z$ , o sea $z\le2-r$ : por debajo del cono que baja desde $\left(0,0,2\right)$ . Así que

S=\left\{r^{2}\le z\le 2-r\right\}

y eso solo tiene sentido mientras $r^{2}\le2-r$ :

r^{2}+r-2=\left(r+2\right)\left(r-1\right)\le0 \;\Longrightarrow\; 0\le r\le1

Las dos superficies se encuentran exactamente en $r=1$ , $z=1$ , así que el sólido queda cerrado con solo dos tapas y sin pared lateral.

La sección del sólido por un plano que contiene al eje OZ. El fondo es el paraboloide z = r² y la tapa el cono z = 2 − r; se encuentran en r = 1, a la altura 1. Girando esta figura alrededor del eje vertical se obtiene S.

El área, superficie a superficie. La fórmula es $dS=\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\,dA$ , y ese factor es lo que distingue una superficie curva de su sombra sobre el plano.

El fondo parabólico, $z=r^{2}$ : $z_{x}=2x$ , $z_{y}=2y$ , así que $\sqrt{1+4r^{2}}$ .

A_{1}=2\pi\int_{0}^{1}r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr =2\pi\left[\frac{\left(1+4r^{2}\right)^{3/2}}{12}\right]_{0}^{1} =\frac{\pi\left(5\sqrt5-1\right)}{6}\approx5{,}33

La tapa cónica, $z=2-r$ : el factor es constante. Para un cono de pendiente $1$ , $z_{x}^{2}+z_{y}^{2}=1$ y el factor vale $\sqrt2$ .

A_{2}=2\pi\sqrt2\int_{0}^{1}r\,dr=\pi\sqrt2\approx4{,}44

\boxed{\;A=\frac{\pi\left(5\sqrt5-1\right)}{6}+\pi\sqrt2\approx9{,}77\;}

La comprobación del cono, sin integrar. El área lateral de un cono de radio $R$ y generatriz $g$ es $\pi R g$ . Aquí $R=1$ y la generatriz, con altura $1$ y radio $1$ , mide $\sqrt2$ : $\pi\sqrt2$ ✓.

b) El centro de gravedad. Densidad constante, así que es el centroide, y por simetría de revolución $\overline{x}=\overline{y}=0$ . Queda una integral:

V=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{r^{2}}^{2-r}r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}\left(2-r-r^{2}\right)r\,dr

=2\pi\left[r^{2}-\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =2\pi\left(1-\frac13-\frac14\right)=\frac{5\pi}{6}

El momento respecto del plano $z=0$ sale de integrar primero en $z$ , que deja un cuadrado:

\int_{r^{2}}^{2-r}z\,dz=\frac{\left(2-r\right)^{2}-r^{4}}{2}

\int_{S}z\,dV=\pi\int_{0}^{1}\left[\left(2-r\right)^{2}-r^{4}\right]r\,dr =\pi\int_{0}^{1}\left(4r-4r^{2}+r^{3}-r^{5}\right)dr

=\pi\left(2-\frac43+\frac14-\frac16\right)=\frac{3\pi}{4}

\overline{z}=\frac{3\pi/4}{5\pi/6}=\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{5}=\frac{9}{10}

\boxed{\;G=\left(0,\,0,\,\tfrac{9}{10}\right)\;}

¿Es razonable? El sólido va de $z=0$ a $z=2$ , y su parte ancha está abajo: en $z=1$ ya tiene el radio máximo, y de ahí arriba se cierra en punta. Un centroide en $0{,}9$ —por debajo de la altura del encuentro, y muy por debajo de la mitad de $2$ — es justo lo que cabe esperar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 25 de junio de 2018 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El factor que convierte una EDO cualquiera en una exacta

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Demostrar que $g\left(x,y\right)=\left(x+y\right)^{2}$ es un factor integrante de la EDO $3y\,dx+\left(x+4y\right)dy=0$ .

b) Resolver la EDO anterior utilizando el factor integrante.

La comprobación del factor y la solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que comprobar para demostrar que $g$ es factor integrante?
02
La derivada cruzada, ya multiplicada
COMP2
Con $M=3y\left(x+y\right)^{2}$ , ¿cuánto vale $M_{y}$ en el punto $\left(1,2\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El potencial en un punto
COMP2
La solución es $F\left(x,y\right)=C$ con $F=y\left(x+y\right)^{3}$ . ¿Qué constante corresponde a la curva que pasa por $\left(1,2\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Multiplicada por $\left(x+y\right)^{2}$ , la ecuación es exacta, así que existe $F$ con $F_{x}=3y\left(x+y\right)^{2}$ y $F_{y}=\left(x+4y\right)\left(x+y\right)^{2}$ .
2. Integrando la primera respecto de $x$ : $F=y\left(x+y\right)^{3}+g\left(y\right)$ .
3. Derivando eso respecto de $y$ sale $\left(x+y\right)^{2}\left(x+4y\right)+g'\left(y\right)$ , que ya coincide con $F_{y}$ : luego $g'=0$ y la solución es $y\left(x+y\right)^{3}=C$ .

Resolución completa

a) Por qué hace falta un factor. La ecuación de partida es $M_{0}\,dx+N_{0}\,dy=0$ con $M_{0}=3y$ y $N_{0}=x+4y$ :

\frac{\partial M_{0}}{\partial y}=3, \qquad \frac{\partial N_{0}}{\partial x}=1

No coinciden: la ecuación no es exacta, así que no hay ninguna $F$ cuyo gradiente sea $\left(M_{0},N_{0}\right)$ .

La comprobación. Multiplicando todo por $g=\left(x+y\right)^{2}$ :

M=3y\left(x+y\right)^{2}, \qquad N=\left(x+4y\right)\left(x+y\right)^{2}

M_{y}=3\left(x+y\right)^{2}+3y\cdot2\left(x+y\right) =3\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)+2y\right] =3\left(x+y\right)\left(x+3y\right)

N_{x}=\left(x+y\right)^{2}+\left(x+4y\right)\cdot2\left(x+y\right) =\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)+2x+8y\right] =3\left(x+y\right)\left(x+3y\right)

\boxed{\;M_{y}=N_{x}\;}

Sacar factor común $\left(x+y\right)$ en los dos casos ahorra desarrollar polinomios de grado tres, y deja las dos expresiones idénticas a la vista sin operar.

b) La función potencial. Se integra $M$ respecto de $x$ , tratando $y$ como constante:

F=\int 3y\left(x+y\right)^{2}dx =3y\cdot\frac{\left(x+y\right)^{3}}{3}+g\left(y\right) =y\left(x+y\right)^{3}+g\left(y\right)

Y se ajusta con la otra componente:

F_{y}=\left(x+y\right)^{3}+y\cdot3\left(x+y\right)^{2}+g'\left(y\right) =\left(x+y\right)^{2}\left[\left(x+y\right)+3y\right]+g'\left(y\right)

=\left(x+y\right)^{2}\left(x+4y\right)+g'\left(y\right)

Comparando con $N$ , sale $g'\left(y\right)=0$ :

\boxed{\;y\left(x+y\right)^{3}=C\;}

La comprobación, derivando implícitamente. Si $y\left(x+y\right)^{3}=C$ , entonces $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}$ , y eso tiene que coincidir con lo que dice la ecuación original, $-\frac{3y}{x+4y}$ . En $\left(1,2\right)$ las dos dan $-\frac{2}{3}$ .

La letra pequeña: la recta $y=-x$ . El factor se anula ahí, y en esa recta la ecuación multiplicada se vuelve $0=0$ , que no dice nada. Conviene mirarla aparte: sobre $y=-x$ es $dy=-dx$ , y la ecuación original queda $3y\,dx+\left(x-4x\right)\left(-dx\right)=-3x\,dx+3x\,dx=0$ , que se cumple. Así que $y=-x$ sí es solución, y además está contenida en la familia con $C=0$ . No se pierde nada, pero eso hay que verlo, no suponerlo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 25 de junio de 2018 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un sistema acoplado cuya respuesta es la más simple posible

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace, resolver el sistema

\begin{cases} x'\left(t\right)=x\left(t\right)+y\left(t\right)-e^{t}\\ y'\left(t\right)=x\left(t\right)-y\left(t\right)+e^{t}\\ x\left(0\right)=y\left(0\right)=1 \end{cases}

Las dos funciones x(t) e y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la transformada del segundo miembro $-e^{t}$ ?
02
El determinante del sistema
COMP2
Al transformar queda $\left(s-1\right)X-Y=\ldots$ y $-X+\left(s+1\right)Y=\ldots$ ¿Cuál es el determinante de la matriz de coeficientes, evaluado en $s=3$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución en t = 1
COMP2
¿Cuánto valen $x\left(1\right)$ e $y\left(1\right)$ ? (las dos valen lo mismo)
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando con $x\left(0\right)=y\left(0\right)=1$ : $\left(s-1\right)X-Y=1-\frac{1}{s-1}=\frac{s-2}{s-1}$ y $-X+\left(s+1\right)Y=1+\frac{1}{s-1}=\frac{s}{s-1}$ .
2. El determinante es $s^{2}-2$ , y por Cramer el numerador de $X$ es $\frac{\left(s-2\right)\left(s+1\right)+s}{s-1} =\frac{s^{2}-2}{s-1}$ .
3. El $s^{2}-2$ se cancela entero, así que $X=Y=\frac{1}{s-1}$ y $x\left(t\right)=y\left(t\right)=e^{t}$ .

Resolución completa

Transformar. Con $\mathcal{L}\left\{x'\right\}=sX-x\left(0\right)$ , $x\left(0\right)=y\left(0\right)=1$ y $\mathcal{L}\left\{e^{t}\right\}=\frac{1}{s-1}$ :

\begin{cases} sX-1=X+Y-\frac{1}{s-1}\\ sY-1=X-Y+\frac{1}{s-1} \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} \left(s-1\right)X-Y=\dfrac{s-2}{s-1}\\[6pt] -X+\left(s+1\right)Y=\dfrac{s}{s-1} \end{cases}

donde $1-\frac{1}{s-1}=\frac{s-2}{s-1}$ y $1+\frac{1}{s-1}=\frac{s}{s-1}$ .

Resolver el sistema.

\Delta=\begin{vmatrix}s-1 & -1\\ -1 & s+1\end{vmatrix} =s^{2}-1-1=s^{2}-2

X=\frac{1}{\Delta} \begin{vmatrix}\frac{s-2}{s-1} & -1\\[4pt] \frac{s}{s-1} & s+1\end{vmatrix} =\frac{1}{s^{2}-2}\cdot \frac{\left(s-2\right)\left(s+1\right)+s}{s-1}

Y ahora el numerador:

\left(s-2\right)\left(s+1\right)+s=s^{2}-s-2+s=s^{2}-2

X=\frac{1}{s^{2}-2}\cdot\frac{s^{2}-2}{s-1}=\frac{1}{s-1}

Con $Y$ pasa lo mismo:

Y=\frac{1}{s^{2}-2}\cdot\frac{s\left(s-1\right)+\left(s-2\right)}{s-1} =\frac{1}{s^{2}-2}\cdot\frac{s^{2}-2}{s-1}=\frac{1}{s-1}

Antitransformar.

\boxed{\;x\left(t\right)=y\left(t\right)=e^{t}\;}

La comprobación, que aquí es inmediata.

qué	cuenta
$x\left(0\right)=y\left(0\right)$	$e^{0}=1$ ✓
$x'=x+y-e^{t}$	$e^{t}=e^{t}+e^{t}-e^{t}$ ✓
$y'=x-y+e^{t}$	$e^{t}=e^{t}-e^{t}+e^{t}$ ✓

Lo que este ejercicio está midiendo. El determinante $s^{2}-2$ invita a escribir $\pm\sqrt2$ y a montar una solución con $e^{\sqrt2 t}$ y $e^{-\sqrt2 t}$ . Es falso: los polos de la solución son las raíces del denominador que no cancele el numerador, y aquí el $s^{2}-2$ se va entero en las dos incógnitas. El único polo que sobrevive es $s=1$ .

Visto al revés, el enunciado está construido para que la solución sea la más simple posible: si $x=y=e^{t}$ , entonces $x+y-e^{t}=e^{t}$ y $x-y+e^{t}=e^{t}$ , que es justo la derivada. Comprobarlo cuesta dos líneas, y quien lo intuya puede escribir la respuesta antes de transformar nada — aunque el enunciado pide hacerlo por Laplace, y por Laplace hay que escribirlo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 25 de junio de 2018 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La rampa, su espectro y la serie de Leibniz

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f\left(t\right)$ la función periódica de periodo $2\pi$ , $f\left(t\right)=\dfrac{t}{2}$ , $-\pi\le t<\pi$ .

a) Representar gráficamente la función.

b) Obtener la serie de Fourier, $S\left(t\right)$ , de la función.

c) Calcular los valores de $S\left(t\right)$ y $f\left(t\right)$ en los puntos $t=0$ y $t=\dfrac{\pi}{2}$ .

d) Dibujar el espectro discreto correspondiente a los cinco primeros armónicos.

e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}$ .

El dibujo, la serie, dos valores, el espectro y la suma.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de integrar nada, ¿qué se puede decir de los coeficientes $a_{n}$ ?
02
El primer coeficiente del seno
COMP2
¿Cuánto vale $b_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La suma del apartado e)
COMP2
¿Cuánto vale $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El teorema de Dirichlet dice que donde $f$ es continua la serie converge a $f$ , y donde hay un salto, a la semisuma de los límites laterales.
2. En $t=0$ la función es continua y vale $0$ , así que $S\left(0\right)=f\left(0\right)=0$ . Y se ve directamente: todos los senos valen cero.
3. En $t=\frac{\pi}{2}$ también es continua y vale $\frac{\pi}{4}$ , así que $S\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$ .

Resolución completa

a) La función. Es una rampa periódica: en cada periodo sube linealmente de $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$ y en los múltiplos impares de $\pi$ pega un salto de altura $\pi$ hacia abajo.

La rampa, y encima la suma de sus cinco primeros armónicos. La aproximación es buena en el centro de cada tramo y se dispara junto al salto: es el fenómeno de Gibbs, y no desaparece por muchos armónicos que se añadan.

b) La serie. $f\left(-t\right)=-f\left(t\right)$ : la función es impar, así que todos los $a_{n}$ —incluido $a_{0}$ — se anulan sin integrar nada. Merece la pena decirlo con esas palabras: es medio ejercicio.

b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{t}{2} \operatorname{sen}\left(nt\right)dt =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\operatorname{sen}\left(nt\right)dt

—el $\frac12$ se cancela con el $2$ que aparece al doblar la integral por simetría—. Por partes:

\int_{0}^{\pi}t\operatorname{sen}\left(nt\right)dt =\left[-\frac{t\cos nt}{n}+\frac{\operatorname{sen}nt}{n^{2}}\right]_{0}^{\pi} =-\frac{\pi\cos\left(n\pi\right)}{n} =\frac{\pi\left(-1\right)^{n+1}}{n}

\boxed{\;S\left(t\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n}\operatorname{sen}\left(nt\right) =\operatorname{sen}t-\frac{\operatorname{sen}2t}{2} +\frac{\operatorname{sen}3t}{3}-\ldots\;}

c) Los dos valores. Por el teorema de Dirichlet, donde $f$ es continua la serie converge a $f$ :

$t$	$f\left(t\right)$	$S\left(t\right)$	por qué
$0$	$0$	$0$	continua; y todos los senos valen $0$
$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{4}$	continua

Y de propina, el punto que el enunciado no pide y que conviene mencionar: en $t=\pi$ hay salto, $f\left(\pi^{-}\right)=\frac{\pi}{2}$ y $f\left(\pi^{+}\right)=-\frac{\pi}{2}$ , así que $S\left(\pi\right)=0$ , la semisuma. La función ni siquiera está definida ahí por el enunciado —el intervalo es $\left[-\pi,\pi\right)$ —, y la serie sí lo está.

d) El espectro. La amplitud del armónico $n$ es $\left|b_{n}\right|=\frac1n$ :

El espectro discreto. La amplitud del armónico n vale 1/n, y esa caída lenta es la firma de una función con salto.

La caída como $\frac1n$ es la firma de una función con salto: cuanto más brusca es la discontinuidad, más despacio se apagan los armónicos. Una función continua a trozos con derivada continua cae como $\frac{1}{n^{2}}$ .

e) La suma. Se usa el apartado c) al revés. En $t=\frac{\pi}{2}$ :

\operatorname{sen}\frac{n\pi}{2}= \begin{cases} 0 & n \text{ par}\\ \left(-1\right)^{k} & n=2k+1 \end{cases}

y como para $n=2k+1$ el factor $\left(-1\right)^{n+1}$ vale $1$ :

S\!\left(\frac{\pi}{2}\right) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{2k+1} =1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots

Y por el apartado c) eso vale $\frac{\pi}{4}$ . Es la serie de Leibniz, que aparece aquí sola.

La serie del enunciado es la misma, pero empezando en $n=1$ , así que le falta el primer término:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1} =\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}\right)-1

\boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1} =\frac{\pi}{4}-1\approx-0{,}2146\;}

Que salga negativa es la comprobación de bolsillo. El primer término es $-\frac13$ y la serie es alternada decreciente, así que su suma está entre $-\frac13$ y $-\frac13+\frac15=-\frac{2}{15}$ . Y $-0{,}2146$ está justo ahí en medio.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.


$\left\\|z\right\\|$	$\sqrt{\frac14+\frac34}=1$ ✓
$\left\\|\frac1z\right\\|$	$\frac11=1$ ✓
$\left\\|1-z\right\\|$	$\left\\|\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right\\|=1$ ✓

Convocatoria extraordinaria · 2017-2018

Reconocer el camino

El módulo

Una de las dos soluciones

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El número de extremos de h

El valor de h en los extremos de f

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de x²

La aproximación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente x del gradiente

La rapidez con la que se calienta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se cortan las dos superficies

El área total de la superficie

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La derivada cruzada, ya multiplicada

El potencial en un punto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante del sistema

La solución en t = 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer coeficiente del seno

La suma del apartado e)

Justificar el argumento