tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2024-2025

26 de junio de 2025 · 10 ejercicios · 100 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un cociente cuyo argumento es recto, y la media circunferencia que saleNúmeros complejos0 + 7 + 3 = 10 pts
Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:
$\arg\left(\frac{z-2}{z-1}\right)=\frac{\pi}{2}$
El lugar geométrico, calculado y dibujado.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una curva que no se puede despejar, y la tangente que se pone de pieEstudio local de funciones reales de una variable real2 + 4 + 4 = 10 pts
Sea la curva $y=e^{xy}$ .

a) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 2 en el punto $P(0,1)$ .

b) Aproximar el valor de la curva en $x=0.1$ .

c) ¿Cuál es la recta tangente a la curva en el punto $P(0,1)$ ? ¿Y en $R(1/e,e)$ ?
El polinomio, la aproximación y las dos rectas tangentes.
- COMP 12 puntos por reconocer
- COMP 24 puntos por calcular
- COMP 44 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Estudiar entera una función que solo se conoce como integralIntegración1 + 6 + 3 = 10 pts
Sea la función
$F(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{t^{2}+2t+2}\,dt$
a) ¿Toma $F(x)$ el valor 0? Razonar la repuesta.

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento de $F(x)$ .

c) Estudiar la concavidad/convexidad de $F(x)$ .

d) Trazar la gráfica de $F(x)$ .
Los cuatro apartados, y el dibujo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un alambre, un cuadrado, un triángulo y el corte que minimizaEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Un alambre de 10 m de longitud se corta en dos partes. Con una de ellas se forma un cuadrado y con la otra un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima?
Dónde hay que cortar.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un sector de disco que gira, y un perímetro con dos radios dentroIntegración0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $D$ el recinto limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le 4$ , $y\ge x$ , $x\ge 0$ .

a) Representar gráficamente el recinto $D$ .

b) Calcular el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.

c) Calcular el perímetro de $D$ .
El dibujo, el volumen y el perímetro.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un paraboloide tumbado, tapado por una esferaIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $x^{2}+z^{2}\le 3y$ , $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4$ .

a) Dibujar $S$ .

b) Calcular el volumen de $S$ .

c) Calcular el área de la superficie de $S$ .
El dibujo, el volumen y el área.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación con una raíz dentro, y el cambio que la deshaceEcuaciones diferenciales0 + 7 + 3 = 10 pts
Resolver la EDO
$-y\,dx+\left(x+\sqrt{xy}\right)dy=0, \qquad y(e)=e$
La solución particular.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos caminos entre los mismos puntos, y cuál da más trabajoIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $W=\displaystyle\int_{C}\left(2x-y^{3}\right)dx+\left(4y+x^{3}\right) dy$ . ¿Cuál es mayor; el trabajo a lo largo de la trayectoria $C_{1}$ o $C_{2}$ ?

Figura redibujada del enunciado. Las dos trayectorias van del mismo punto al mismo punto: C1 por el arco de la circunferencia de radio 3, y C2 por los dos segmentos que bajan al origen y vuelven a subir.

Cuál de los dos trabajos es mayor, razonado.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación con la t delante, y una recta por respuestaTransformada de Laplace0 + 7 + 3 = 10 pts
Resolver mediante la transformada de Laplace la siguiente EDO:
$t\,y''(t)+2y'(t)=5, \qquad y(0)=0, \qquad y'(0)=5/2$
La solución.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La ampliación par, dos puntos enormes y la suma de los imparesIntroducción al análisis de Fourier0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la función $f(t)=t+\pi$ , $t\in(0,\pi)$ .

a) Obtener la ampliación par y periódica, $F(t)$ , de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función $f(t)$ y la función ampliada $F(t)$ .

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $F(t)$ .

d) Calcular, justificando la respuesta, los valores de $S(t)$ y $F(t)$ en los puntos $t=88\pi$ y $t=\dfrac{81}{4}\pi$ .

e) Calcular $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}$ .
Los cinco apartados.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cociente cuyo argumento es recto, y la media circunferencia que sale

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición siguiente:

\arg\left(\frac{z-2}{z-1}\right)=\frac{\pi}{2}

El lugar geométrico, calculado y dibujado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice geométricamente que ese cociente tenga argumento $\frac\pi2$ ?
02
El centro
COMP2
El lugar es un arco de la circunferencia $\left(x-c\right)^{2}+y^{2} =\rho^{2}$ . ¿Cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Verificar la región
COMP2 · COMP4
Escribe la condición del enunciado tal cual, y comprueba que tu versión simplificada dibuja lo mismo.
te falta coincide te sobra
Tu condición simplificada
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El argumento de un cociente es la resta de los argumentos, así que la condición dice que los vectores $z-2$ y $z-1$ forman $90^{\circ}$ .
2. El conjunto de puntos desde los que el segmento de extremos $1$ y $2$ se ve bajo un ángulo recto es la circunferencia que tiene ese segmento por diámetro: centro $\frac32$ y radio $\frac12$ .
3. Como el enunciado pide $+\frac\pi2$ y no $\pm\frac\pi2$ , solo vale la mitad de arriba; y los extremos $z=1$ y $z=2$ se quitan porque allí el cociente no tiene argumento.

Resolución completa

La lectura geométrica, que es la que da los puntos de explicación. $\arg\frac{z-2}{z-1}=\arg(z-2)-\arg(z-1)$ , así que la condición dice que el vector que va del punto $2$ hasta $z$ y el que va del punto $1$ hasta $z$ forman un ángulo recto.

Dicho de otro modo: desde $z$ , el segmento que une $1$ y $2$ se ve bajo $90^{\circ}$ . Y eso, por el teorema de Tales, es la circunferencia que tiene ese segmento por diámetro.

\text{centro }\tfrac32,\qquad \text{radio }\tfrac12

La cuenta, para quien no se fíe. Con $\frac{z-2}{z-1}=it$ , $t>0$ :

z=\frac{2-it}{1-it}=\frac{\left(2-it\right)\left(1+it\right)}{1+t^{2}} =\frac{2+t^{2}+it}{1+t^{2}}

x-1=\frac{1}{1+t^{2}},\qquad y=\frac{t}{1+t^{2}}=t\left(x-1\right)

Despejando $t^{2}=\frac{2-x}{x-1}$ y sustituyendo,

y^{2}=\left(2-x\right)\left(x-1\right) \;\Longleftrightarrow\; \left(x-\tfrac32\right)^{2}+y^{2}=\tfrac14

Y ahora la mitad que sobra. Que $t>0$ obliga a $y>0$ : la mitad de abajo daría argumento $-\frac\pi2$ . Y los dos extremos se caen: en $z=1$ el cociente no existe y en $z=2$ vale $0$ .

\boxed{\;\left(x-\tfrac32\right)^{2}+y^{2}=\tfrac14,\quad y>0\;}

La semicircunferencia de diámetro el segmento de 1 a 2, sin los extremos. Desde cualquiera de sus puntos, ese segmento se ve bajo un ángulo recto; desde la mitad de abajo también, pero con el argumento cambiado de signo.

La comprobación de diez segundos. El punto más alto es $z=\frac32+\frac12 i$ . Entonces $z-2=-\frac12+\frac12 i$ y $z-1=\frac12+\frac12 i$ : uno tiene argumento $\frac{3\pi}{4}$ y el otro $\frac\pi4$ , y su diferencia es $\frac\pi2$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una curva que no se puede despejar, y la tangente que se pone de pie

COMP 12 puntos por reconocer
COMP 24 puntos por calcular
COMP 44 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la curva $y=e^{xy}$ .

a) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 2 en el punto $P(0,1)$ .

b) Aproximar el valor de la curva en $x=0.1$ .

c) ¿Cuál es la recta tangente a la curva en el punto $P(0,1)$ ? ¿Y en $R(1/e,e)$ ?

El polinomio, la aproximación y las dos rectas tangentes.

01
Reconocer el camino
COMP1
La ecuación no se puede despejar en $y$ . ¿Cómo se sacan entonces las derivadas?
02
La segunda derivada
COMP2
¿Cuánto vale $y''(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aproximación
COMP2
¿Qué valor da el polinomio de orden $2$ en $x=0{,}1$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Despejando en $y'=y^{2}+xyy'$ queda $y'=\dfrac{y^{2}}{1-xy}$ , y en $P(0,1)$ eso vale $1$ : la tangente es $y=1+x$ .
2. El punto $R\left(\frac1e,e\right)$ está en la curva, porque $e^{xy}=e^{1}=e$ . Pero ahí $xy=1$ , así que el denominador de $y'$ se anula.
3. Una derivada que se va a infinito significa tangente vertical, así que en $R$ la recta tangente es $x=\frac1e$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Estudiar entera una función que solo se conoce como integral

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función

F(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{t^{2}+2t+2}\,dt

a) ¿Toma $F(x)$ el valor 0? Razonar la repuesta.

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento de $F(x)$ .

c) Estudiar la concavidad/convexidad de $F(x)$ .

d) Trazar la gráfica de $F(x)$ .

Los cuatro apartados, y el dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la forma rápida de contestar el apartado a)?
02
La primitiva
COMP2
$F(x)=\arctan(x+a)-\dfrac{\pi}{4}$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto de inflexión
COMP2
¿En qué punto tiene $F$ su punto de inflexión?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $F(0)=0$ por definición, y como $F$ resulta ser estrictamente creciente, ese es el único punto donde se anula.
2. Por el teorema fundamental, $F'(x)=\frac{1}{\left(x+1\right)^{2}+1}>0$ para todo $x$ : $F$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ .
3. $F''$ se anula solo en $x=-1$ y cambia de signo: convexa a la izquierda, cóncava a la derecha, e inflexión ahí, donde además la pendiente es máxima y vale $1$ .

Resolución completa

a) Sí, y sin calcular nada. $F(0)=\int_{0}^{0}=0$ por definición. Y como en el apartado siguiente se ve que $F$ es estrictamente creciente, es el único punto donde se anula. Esa segunda frase es la que convierte un «sí» en una respuesta completa.

La primitiva, que hace falta para el dibujo. Completando el cuadrado,

t^{2}+2t+2=\left(t+1\right)^{2}+1 \;\Longrightarrow\; F(x)=\arctan\left(x+1\right)-\frac{\pi}{4}

b) Crecimiento. Por el teorema fundamental del Cálculo, sin necesidad de la primitiva,

F'(x)=\frac{1}{\left(x+1\right)^{2}+1}>0\quad\text{para todo }x

Estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ . No hay extremos relativos.

c) Concavidad.

F''(x)=\frac{-2\left(x+1\right)}{\left[\left(x+1\right)^{2}+1\right]^{2}}

Convexa en $\left(-\infty,-1\right)$ , cóncava en $\left(-1,+\infty\right)$ , con punto de inflexión en $x=-1$ . Allí la pendiente vale $1$ , que es la mayor de toda la curva.

d) La gráfica. Con las dos asíntotas horizontales:

\lim_{x\to+\infty}F=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}, \qquad \lim_{x\to-\infty}F=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}

La curva pasa por el origen, sube sin parar y sin embargo no se escapa: queda encerrada entre las dos rectas horizontales. El punto de inflexión está en x igual a menos uno, donde la pendiente es máxima.

Lo que este ejercicio evalúa de verdad. Los cuatro apartados se pueden contestar sin resolver la integral: el primero por definición y los otros dos con el teorema fundamental. La primitiva solo hace falta para las asíntotas del dibujo. Reconocer eso ahorra la mitad del tiempo, y es lo que separa el ejercicio de diez minutos del de media hora.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · Es el mismo enunciado, palabra por palabra, que el ejercicio 4 de la segunda evaluación de 2023-2024 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un alambre, un cuadrado, un triángulo y el corte que minimiza

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un alambre de 10 m de longitud se corta en dos partes. Con una de ellas se forma un cuadrado y con la otra un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima?

Dónde hay que cortar.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si el trozo del cuadrado mide $x$ , ¿cuánto mide su lado?
02
Dónde cortar
COMP2
¿Cuántos metros hay que dedicar al cuadrado?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área mínima
COMP2
¿Cuánto vale la suma de las áreas en ese corte, en metros cuadrados?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Si el cuadrado se lleva $x$ metros, su lado es $\frac{x}{4}$ y su área $\frac{x^{2}}{16}$ ; el triángulo se lleva $10-x$ , su lado es $\frac{10-x}{3}$ y su área $\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac{10-x}{3} \right)^{2}$ .
2. $A'(x)=\frac{x}{8}-\frac{\sqrt3\left(10-x\right)}{18}$ se anula en $x=\frac{120\sqrt3-160}{11}\approx4{,}35$ , y como $A''(x)=\frac18+\frac{\sqrt3}{18}>0$ , ese punto es un mínimo.
3. El mínimo es interior y vale $2{,}7185$ ; los dos extremos del intervalo dan más — $4{,}81$ todo triángulo y $6{,}25$ todo cuadrado—, así que el máximo se alcanza haciendo solo el cuadrado.

Resolución completa

El planteamiento, que es donde se decide. El alambre reparte perímetros. Si el cuadrado se lleva $x$ metros:

\text{lado}=\frac{x}{4},\qquad A_{\square}=\frac{x^{2}}{16}

y el triángulo equilátero se lleva $10-x$ :

\text{lado}=\frac{10-x}{3},\qquad A_{\triangle}=\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac{10-x}{3}\right)^{2} =\frac{\sqrt3\left(10-x\right)^{2}}{36}

La función a minimizar, en $x\in[0,10]$ :

A(x)=\frac{x^{2}}{16}+\frac{\sqrt3\left(10-x\right)^{2}}{36}

El punto crítico.

A'(x)=\frac{x}{8}-\frac{\sqrt3\left(10-x\right)}{18}=0 \;\Longrightarrow\; 18x=80\sqrt3-8\sqrt3\,x

x=\frac{80\sqrt3}{18+8\sqrt3} =\frac{120\sqrt3-160}{11}\approx4{,}3496

Y es mínimo porque $A''(x)=\frac18+\frac{\sqrt3}{18}>0$ en todo punto: la función es una parábola hacia arriba.

\boxed{\;\text{cuadrado }4{,}35\text{ m}\quad\text{triángulo }5{,}65 \text{ m}\quad A_{\min}=2{,}72\ \text{m}^{2}\;}

Los extremos del intervalo, que hay que mirar. $A(0)=4{,}81$ —todo triángulo— y $A(10)=6{,}25$ —todo cuadrado—. El mínimo es interior, y el máximo se alcanza dedicando todo el alambre al cuadrado.

Y ahí está la sorpresa del ejercicio. El cuadrado aprovecha mejor el perímetro que el triángulo equilátero, así que la intuición dice «dale todo al cuadrado». Eso es exactamente lo que maximiza. Para minimizar hay que repartir, y cargar un poco más en la figura peor: el triángulo se lleva $5{,}65$ de los diez metros.

Racionalizar, porque en un examen sin calculadora hay que dejarlo bonito. Multiplicando arriba y abajo por $18-8\sqrt3$ , el denominador se convierte en $324-192=132$ y queda $x=\frac{1440\sqrt3-1920}{132}=\frac{120\sqrt3-160}{11}$ . Esa fracción es la respuesta completa: no hace falta evaluarla.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · Es el mismo enunciado, palabra por palabra, que el ejercicio 4 de la tercera evaluación de 2022-2023 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un sector de disco que gira, y un perímetro con dos radios dentro

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $D$ el recinto limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le 4$ , $y\ge x$ , $x\ge 0$ .

a) Representar gráficamente el recinto $D$ .

b) Calcular el volumen del cuerpo generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.

c) Calcular el perímetro de $D$ .

El dibujo, el volumen y el perímetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué figura es $D$ ?
02
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen del cuerpo que se genera al girar $D$ alrededor de OX?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El perímetro
COMP2
¿Cuánto mide el perímetro de $D$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El recinto no cruza el eje de giro —está entero en $y\ge x\ge0$ —, así que se puede usar el teorema de Pappus.
2. El teorema dice $V=2\pi\overline{y}A$ , y $\overline{y}A$ es justamente el momento $\iint_{D}y\,dA$ , que en polares vale $\frac{4\sqrt2}{3}$ .
3. Luego $V=\frac{8\sqrt2\pi}{3}\approx11{,}85$ , y se puede comprobar por discos: $\pi\int_{0}^{\sqrt2}\left(4-x^{2}-x^{2}\right)dx$ , que se para en $\sqrt2$ porque a partir de ahí el recinto está vacío.

Resolución completa

a) El recinto. Tres condiciones y las tres son fáciles de leer: dentro del disco de radio $2$ , por encima de la bisectriz $y=x$ , y a la derecha del eje $Y$ . En polares eso es

\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi2,\qquad 0\le r\le 2

un sector de $45^{\circ}$ , o sea un octavo de disco.

El sector de cuarenta y cinco grados, entre la bisectriz y el eje vertical, dentro del disco de radio dos. El borde son tres trozos: el arco y los dos radios.

b) El volumen, por Pappus. El recinto está entero en $y\ge0$ y solo toca el eje de giro en el origen, así que el teorema se puede aplicar:

V=2\pi\,\overline{y}\,A \qquad\text{con}\qquad \overline{y}\,A=\iint_{D}y\,dA

En polares el momento sale de dos integrales inmediatas:

\iint_{D}y\,dA=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\operatorname{sen}\theta\,d\theta \int_{0}^{2}r^{2}\,dr =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{8}{3}=\frac{4\sqrt2}{3}

\boxed{\;V=\frac{8\sqrt2\,\pi}{3}\approx11{,}85\;}

La comprobación por discos, que conviene tener hecha porque Pappus se olvida. Girando alrededor de OX, la sección a la altura $x$ es una corona entre la recta $y=x$ —abajo— y la circunferencia $y=\sqrt{4-x^{2}}$ —arriba—, y las dos se cruzan en $x=\sqrt2$ :

V=\pi\int_{0}^{\sqrt2}\left[\left(4-x^{2}\right)-x^{2}\right]dx =\pi\int_{0}^{\sqrt2}\left(4-2x^{2}\right)dx =\pi\left[4x-\frac{2x^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt2} =\frac{8\sqrt2\,\pi}{3}

Sale lo mismo, $11{,}848$ , y por dos caminos independientes.

Dónde se para la integral, y por qué. Es una sola integral, de $0$ a $\sqrt2$ . Pasado ese punto la recta $y=x$ va por encima de la circunferencia, así que la condición $x \le y \le \sqrt{4-x^{2}}$ no la cumple ningún $y$ : el recinto está vacío para $x>\sqrt2$ . Añadir un segundo sumando de $\sqrt2$ a $2$ suma un sólido que no existe y sube el resultado a $13{,}79$ .

c) El perímetro. Tres trozos, y ninguno hay que integrar:

trozo	longitud
arco de $45^{\circ}$ y radio $2$	$2\cdot\frac\pi4=\frac\pi2$
radio sobre $y=x$	$2$
radio sobre el eje $Y$	$2$

\boxed{\;\text{perímetro}=\frac\pi2+4\approx5{,}571\;}

El error que este apartado busca. Contestar solo el arco. El «perímetro de $D$ » es el borde de la región, no la parte curva: los dos radios cierran la figura y miden más que el arco.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un paraboloide tumbado, tapado por una esfera

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $x^{2}+z^{2}\le 3y$ , $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4$ .

a) Dibujar $S$ .

b) Calcular el volumen de $S$ .

c) Calcular el área de la superficie de $S$ .

El dibujo, el volumen y el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Alrededor de qué eje gira el paraboloide $x^{2}+z^{2}=3y$ ?
02
Dónde se cortan
COMP2
¿A qué altura $y$ se cortan el paraboloide y la esfera?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen de $S$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La superficie de $S$ son dos trozos: el casquete de paraboloide desde el vértice hasta el corte, y el casquete esférico desde el corte hasta el polo.
2. El del paraboloide se calcula como superficie de revolución: $2\pi\int_{0}^{\sqrt3}\rho\sqrt{1+\frac{4\rho^{2}}{9}}\,d\rho =\frac{3\pi}{2}\left[\left(\frac73\right)^{3/2}-1\right] \approx12{,}08$ .
3. El casquete esférico tiene área $2\pi R h$ con $R=2$ y $h=2-1=1$ , o sea $4\pi\approx12{,}57$ . En total, unas $24{,}65$ unidades.

Resolución completa

a) Qué sólido es. Dos superficies de revolución alrededor del eje $Y$ —fíjate en que es la variable que no aparece al cuadrado—: un paraboloide que abre hacia $+y$ y una esfera de radio $2$ . El sólido es lo que está dentro de los dos.

Se cortan donde $3y+y^{2}=4$ , o sea

y^{2}+3y-4=0\;\Longrightarrow\;y=1\ \text{(y }y=-4\text{, fuera)}, \qquad \rho=\sqrt3

La sección que contiene el eje. El paraboloide sube desde el origen hasta la altura uno, donde su radio vale raíz de tres, y desde ahí la esfera lo cierra hasta el polo, en la altura dos.

b) El volumen. Discos perpendiculares al eje $Y$ . El radio al cuadrado es $3y$ mientras manda el paraboloide y $4-y^{2}$ cuando manda la esfera:

V=\pi\int_{0}^{1}3y\,dy+\pi\int_{1}^{2}\left(4-y^{2}\right)dy =\frac{3\pi}{2}+\pi\left[4y-\frac{y^{3}}{3}\right]_{1}^{2}

=\frac{3\pi}{2}+\frac{5\pi}{3}=\boxed{\;\frac{19\pi}{6}\approx9{,}95\;}

c) El área, que son dos superficies.

El paraboloide, como superficie de revolución de la curva $y=\rho^{2}/3$ con $\rho$ de $0$ a $\sqrt3$ :

A_{1}=2\pi\int_{0}^{\sqrt3}\rho\sqrt{1+\frac{4\rho^{2}}{9}}\,d\rho =\frac{3\pi}{2}\left[\left(\frac{7}{3}\right)^{3/2}-1\right]\approx12{,}08

El casquete esférico, con la fórmula que evita integrar —el área de una zona esférica solo depende de la altura que abarca—:

A_{2}=2\pi R h=2\pi\cdot2\cdot\left(2-1\right)=4\pi\approx12{,}57

\boxed{\;A=\frac{3\pi}{2}\left[\left(\tfrac73\right)^{3/2}-1\right]+4\pi \approx24{,}65\;}

Lo que no cuenta. El círculo de radio $\sqrt3$ donde se juntan las dos superficies no es parte del área: es una costura interior, con sólido a los dos lados. Solo cuentan las caras que separan el cuerpo del aire.

Y una casualidad que ayuda a comprobar. Las dos superficies miden casi lo mismo, $12{,}08$ y $12{,}57$ , aunque una abarca una altura de $1$ y la otra también. No es casualidad del todo: la del paraboloide está más inclinada, pero llega a un radio menor.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación con una raíz dentro, y el cambio que la deshace

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO

-y\,dx+\left(x+\sqrt{xy}\right)dy=0, \qquad y(e)=e

La solución particular.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De qué tipo es esta ecuación?
02
El cambio, y la constante
COMP2
Con $x=vy$ la ecuación queda $\dfrac{dy}{y}=\dfrac{dv}{\sqrt v}$ , e integrando $\ln|y|=2\sqrt{v}+C$ . ¿Cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un punto de la solución
COMP2
¿Cuánto vale $y$ cuando $x=2$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los dos coeficientes son homogéneos de grado $1$ , porque $\sqrt{t^{2}xy}=t\sqrt{xy}$ : la ecuación es homogénea.
2. Con $x=vy$ y $dx=v\,dy+y\,dv$ , los términos en $vy$ se cancelan y queda $y\sqrt v\,dy=y^{2}\,dv$ , o sea $\frac{dy}{y}=\frac{dv}{\sqrt v}$ .
3. Integrando, $\ln|y|=2\sqrt v+C$ , y deshaciendo el cambio con $v=\frac{x}{y}$ e imponiendo $y(e)=e$ sale $\ln y=2\sqrt{\frac{x}{y}}-1$ .

Resolución completa

Clasificar primero, que es medio ejercicio. Con $M=-y$ y $N=x+\sqrt{xy}$ :

¿separable? No: el $\sqrt{xy}$ mezcla las variables.
¿exacta? $M_{y}=-1$ y $N_{x}=1+\frac{y}{2\sqrt{xy}}$ . No.
¿homogénea? Sustituyendo $x\to tx$ , $y\to ty$ , los dos coeficientes quedan multiplicados por $t$ —porque $\sqrt{t^{2}xy}=t\sqrt{xy}$ —. Sí, de grado $1$ .

El cambio. Como la $y$ aparece más limpia, conviene despejar $x$ : $x=vy$ , $dx=v\,dy+y\,dv$ .

-y\left(v\,dy+y\,dv\right)+\left(vy+\sqrt{vy\cdot y}\right)dy=0

-yv\,dy-y^{2}dv+vy\,dy+y\sqrt{v}\,dy=0

Los dos términos en $vy\,dy$ se cancelan, y queda

y\sqrt{v}\,dy=y^{2}\,dv \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{y}=\frac{dv}{\sqrt{v}}

que ya es de variables separadas.

Integrando.

\ln|y|=2\sqrt{v}+C \qquad\text{con}\qquad v=\frac{x}{y}

La condición inicial. En $(e,e)$ es $v=1$ y $\ln e=1$ :

1=2+C\;\Longrightarrow\;C=-1

\boxed{\;\ln y=2\sqrt{\frac{x}{y}}-1\;}

La comprobación, que aquí se puede hacer sin despejar. Derivando la igualdad implícitamente y despejando $y'$ sale exactamente $y'=\frac{y}{x+\sqrt{xy}}$ , que es la EDO original escrita como $\frac{dy}{dx}$ . Comprobado en tres puntos: en $x=2$ , $x=e$ y $x=4$ la pendiente de la curva y la que pide la ecuación coinciden hasta el sexto decimal.

Y por qué el cambio se hace con $x=vy$ y no con $y=vx$ . Los dos funcionan; este sale más corto porque deja el $\sqrt{v}$ solo en un lado. Con $y=vx$ aparece $\sqrt{v}$ multiplicando a $v$ y la separación cuesta un paso más. Probar los dos y quedarse con el que salga es legítimo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · La figura está redibujada del original · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos caminos entre los mismos puntos, y cuál da más trabajo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $W=\displaystyle\int_{C}\left(2x-y^{3}\right)dx+\left(4y+x^{3}\right) dy$ . ¿Cuál es mayor; el trabajo a lo largo de la trayectoria $C_{1}$ o $C_{2}$ ?

Figura redibujada del enunciado. Las dos trayectorias van del mismo punto al mismo punto: C1 por el arco de la circunferencia de radio 3, y C2 por los dos segmentos que bajan al origen y vuelven a subir.

Cuál de los dos trabajos es mayor, razonado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no basta con mirar si el campo es conservativo?
02
El punto P
COMP2
$P(a,a)$ está en la circunferencia de radio $3$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La diferencia
COMP2
¿Cuánto vale $\left|W(C_{1})-W(C_{2})\right|$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El campo no es conservativo — $Q_{x}-P_{y}=3\left(x^{2}+y^{2}\right) \ne0$ —, así que los dos caminos dan resultados distintos y la pregunta tiene sentido.
2. $C_{1}$ seguida de $C_{2}$ recorrida al revés forma una curva cerrada que encierra el sector de $90^{\circ}$ entre las dos rectas y el arco, y se recorre en sentido horario.
3. Por Green, $W(C_{1})-W(C_{2})=-\iint_{R}3\left(x^{2}+y^{2}\right) dA=-\frac{243\pi}{8}$ , luego el trabajo por $C_{2}$ es mayor.

Resolución completa

Lo primero, la comprobación de diez segundos. Con $P=2x-y^{3}$ y $Q=4y+x^{3}$ :

\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =3x^{2}+3y^{2}\ne0

El campo no es conservativo, así que los dos caminos dan cosas distintas y la pregunta tiene sentido. Aquí la comprobación no ahorra trabajo: lo confirma. Pero de paso entrega la herramienta.

El punto $P$ . Está en la circunferencia de radio $3$ y tiene las dos coordenadas iguales: $2a^{2}=9$ , o sea $a=\frac{3}{\sqrt2}$ . Los dos segmentos de $C_{2}$ van sobre $y=-x$ e $y=x$ , así que el sector entre las dos curvas abarca de $\frac\pi4$ a $\frac{3\pi}{4}$ : noventa grados.

Green, sin calcular ninguna de las dos integrales. La curva cerrada formada por $C_{1}$ y $C_{2}$ recorrida al revés encierra ese sector. Y se recorre en sentido horario —por arriba de izquierda a derecha, y de vuelta por abajo—, así que hay que poner un signo menos:

W(C_{1})-W(C_{2})=-\iint_{R}3\left(x^{2}+y^{2}\right)dA

En polares la integral es inmediata:

\iint_{R}3r^{2}\,dA=3\int_{\pi/4}^{3\pi/4}d\theta\int_{0}^{3}r^{3}dr =3\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{81}{4}=\frac{243\pi}{8}\approx95{,}43

\boxed{\;W(C_{1})-W(C_{2})=-\frac{243\pi}{8}<0 \;\Longrightarrow\;\text{gana }C_{2}\;}

Y el regalo, que conviene ver. $W(C_{2})$ vale exactamente cero, y sale sin integrar nada raro. Sobre el tramo $y=x$ , con $dy=dx$ :

\left(2x-x^{3}\right)dx+\left(4x+x^{3}\right)dx=6x\,dx

y sobre $y=-x$ , con $dy=-dx$ , sale también $6x\,dx$ . Así que

W(C_{2})=\int_{-a}^{0}6x\,dx+\int_{0}^{a}6x\,dx =-3a^{2}+3a^{2}=0

Los dos tramos se cancelan. Con lo cual $W(C_{1})=-\frac{243\pi}{8}\approx-95{,}43$ : negativo, y por eso el camino corto gana.

La lectura que puntúa en COMP 4. El camino más largo no da más trabajo. El campo tiene una parte rotacional —los términos $-y^{3}$ y $x^{3}$ — y esa parte se opone al recorrido por arriba. Contestar « $C_{2}$ , porque el signo de la circulación por Green es negativo» es la respuesta completa, y no exige calcular ninguno de los dos trabajos por separado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación con la t delante, y una recta por respuesta

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver mediante la transformada de Laplace la siguiente EDO:

t\,y''(t)+2y'(t)=5, \qquad y(0)=0, \qquad y'(0)=5/2

La solución.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el enunciado obliga a usar Laplace y no los métodos del tema 9?
02
La ecuación en Y
COMP2
Al transformar, los términos en $sY$ se cancelan y queda $-s^{2}Y'=\dfrac{k}{s}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución
COMP2
¿Cuánto vale $y(4)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como la $t$ multiplica a $y''$ , hay que usar $\mathcal{L}\{t\,f\}=-F'(s)$ : se transforma $y''$ como siempre y luego se deriva respecto de $s$ con un signo menos.
2. Los términos en $sY$ que salen de las dos derivadas se cancelan, y queda la ecuación de primer orden $-s^{2}Y'=\frac{5}{s}$ , o sea $Y'=-\frac{5}{s^{3}}$ .
3. Integrando, $Y=\frac{5}{2s^{2}}+K$ , y $K=0$ porque una transformada tiende a cero en el infinito. Antitransformando, $y=\frac52t$ .

Resolución completa

Por qué Laplace. La $t$ delante de $y''$ hace que los coeficientes sean variables, y los métodos del tema 9 —característica y coeficientes indeterminados— dan por hecho que son constantes. La propiedad que salva el caso es

\mathcal{L}\left\{t\,f(t)\right\}=-F'(s)

Transformando término a término. Con $y(0)=0$ e $y'(0)=\frac52$ :

\mathcal{L}\{t\,y''\} =-\frac{d}{ds}\left(s^{2}Y-s\cdot0-\tfrac52\right) =-\left(2sY+s^{2}Y'\right)

\mathcal{L}\{2y'\}=2\left(sY-0\right)=2sY, \qquad \mathcal{L}\{5\}=\frac{5}{s}

Sumando las tres, los $2sY$ se cancelan:

-2sY-s^{2}Y'+2sY=\frac{5}{s} \;\Longrightarrow\; -s^{2}Y'=\frac{5}{s} \;\Longrightarrow\; Y'=-\frac{5}{s^{3}}

Una ecuación de primer orden, e inmediata.

Y=\frac{5}{2s^{2}}+K

Y $K=0$ , por un motivo que hay que decir en voz alta: toda transformada de Laplace tiende a cero cuando $s\to\infty$ . Un término constante sobreviviría a ese límite, así que no puede estar.

Y(s)=\frac{5}{2s^{2}} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;y(t)=\frac{5}{2}\,t\;}

La comprobación, y es de cinco segundos. Con $y=\frac52t$ se tiene $y'=\frac52$ e $y''=0$ :

t\cdot0+2\cdot\frac52=5\quad\checkmark

y las dos condiciones iniciales se cumplen: $y(0)=0$ ✓ y $y'(0)=\frac52$ ✓.

Lo que sorprende del resultado. Una ecuación de segundo orden con coeficientes variables y la solución es una recta. Tiene sentido si se mira la ecuación de otro modo: si $y''=0$ , la ecuación se reduce a $2y'=5$ , y eso lo cumple exactamente $y=\frac52t$ . El camino por Laplace es el que demuestra que no hay ninguna otra.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 26 de junio de 2025 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La ampliación par, dos puntos enormes y la suma de los impares

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(t)=t+\pi$ , $t\in(0,\pi)$ .

a) Obtener la ampliación par y periódica, $F(t)$ , de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función $f(t)$ y la función ampliada $F(t)$ .

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $F(t)$ .

d) Calcular, justificando la respuesta, los valores de $S(t)$ y $F(t)$ en los puntos $t=88\pi$ y $t=\dfrac{81}{4}\pi$ .

e) Calcular $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}$ .

Los cinco apartados.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo es la ampliación par de $f(t)=t+\pi$ en $(-\pi,0)$ ?
02
El término constante
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{a_{0}}{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en el punto grande
COMP2
¿Cuánto vale $S\left(\dfrac{81}{4}\pi\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado e). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como $F$ es par, todos los $b_{n}$ son cero, y los cosenos salen $a_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}$ : cero si $n$ es par, y $-\frac{4}{\pi n^{2}}$ si es impar.
2. Así que $S(t)=\frac{3\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n\ \text{impar}} \frac{\cos nt}{n^{2}}$ .
3. Evaluando en $t=0$ , donde $F$ vale $\pi$ y es continua, queda $\pi=\frac{3\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum\frac{1}{n^{2}}$ , y de ahí la suma vale $\frac{\pi^{2}}{8}$ .

Resolución completa

a) y b) La ampliación. La par cumple $F(-t)=F(t)$ , así que en $(-\pi,0)$ hay que poner $-t+\pi$ :

F(t)=\left|t\right|+\pi\quad\text{en }(-\pi,\pi), \qquad\text{y periódica de periodo }2\pi

Es una uve con el vértice en $(0,\pi)$ y los extremos en $2\pi$ .

A la izquierda la función del enunciado, solo en el intervalo de cero a pi. A la derecha la ampliación par repetida en tres periodos: una sierra de uves con el vértice en pi y los picos en dos pi.

Fíjate en dónde salta: en ningún sitio. La ampliación par nunca introduce un salto en el origen, y en $\pm\pi$ las dos ramas llegan al mismo valor $2\pi$ . $F$ es continua en todo $\mathbb{R}$ , y eso hace fácil el apartado d).

c) La serie. Al ser par, todos los $b_{n}$ se anulan. El término constante es la media:

\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left(t+\pi\right)dt =\frac{3\pi}{2}

Y los cosenos, integrando por partes:

a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left(t+\pi\right)\cos nt\,dt =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\left(-1\right)^{n}-1}{n^{2}}

—el trozo con $\pi\cos nt$ se anula porque $\operatorname{sen}(n\pi)=0$ —. Así que $a_{n}=0$ para $n$ par y $a_{n}=-\frac{4}{\pi n^{2}}$ para $n$ impar:

\boxed{\;S(t)=\frac{3\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos\left(\left(2n+1\right)t\right)} {\left(2n+1\right)^{2}}\;}

d) Los dos puntos. Los dos se reducen primero.

punto	periodos	cae en	valor
$88\pi$	$44$ exactos	$0$	$S=F=\pi$
$\frac{81}{4}\pi$	$\frac{81}{8}=10{,}125$	$\frac\pi4$	$S=F=\frac{5\pi}{4}$

Y en los dos $S$ y $F$ coinciden, porque $F$ es continua en todas partes. Esa es la respuesta al «justificando la respuesta»: no hay ningún salto que aplicar. Con la ampliación impar no habría sido así.

e) La suma. Evaluando la serie en $t=0$ , donde todos los cosenos valen $1$ y $F$ vale $\pi$ :

\pi=\frac{3\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}

\frac{4}{\pi}\sum=\frac{\pi}{2} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}} =\frac{\pi^{2}}{8}\approx1{,}2337\;}

Por qué el punto elegido es $t=0$ y no otro. Porque ahí los cosenos valen todos $1$ y los términos quedan desnudos. Y porque es un punto de continuidad: si hubiera un salto, el lado izquierdo no sería $F(0)$ sino la media de los dos límites, y la cuenta saldría otra.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2024-2025

Reconocer el camino

El centro

Verificar la región

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La segunda derivada

La aproximación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La primitiva

El punto de inflexión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde cortar

El área mínima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen

El perímetro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se cortan

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El cambio, y la constante

Un punto de la solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El punto P

La diferencia

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La ecuación en Y

La solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término constante

El valor en el punto grande

Justificar el argumento